Integrais Múltiplas

Neste capítulo desenvolvemos a integração de funções escalares em regiões do plano e do espaço. O princípio é somar uma quantidade local, como densidade, pressão ou taxa de aquecimento, multiplicada pelo tamanho de uma pequena região. A geometria do domínio determina os limites de integração; o modelo determina o integrando.

Recordemos também que a integral definida de uma função não negativa \(f(x)\ge 0\) representa a área sob a curva \(y=f(x)\). Veremos agora que a integral dupla de uma função real não negativa \(f(x,y)\ge 0\) representa o volume sob a superfície \(z=f(x,y)\).

5.1 Integrais Duplas

Seja \(R=[a,b]\times [c,d]\subseteq \mathbb {R}^2\) um retângulo e seja \(f:R\to \mathbb {R}\) contínua. Seja \(P\) uma partição formada por \(a=x_0\lt x_1\lt \cdots \lt x_M=b\) e \(c=y_0\lt y_1\lt \cdots \lt y_N=d\). O conjunto \(P\) determina uma partição de \(R\) em uma malha de retângulos, sem sobreposição, \(R_{i,j}=[x_i,x_{i+1}]\times [y_j,y_{j+1}]\), para \(0\le i\lt M\) e \(0\le j\lt N\). Fixada \(P\), escolha pontos \(\mathsf{M}=\set {\xi _{i,j}}\) tais que \(\xi _{i,j}\in R_{i,j}\) para todos \(i,j\).

Suponha agora que \(U\subseteq \mathbb {R}^2\) seja um domínio limitado regular ³ e que \(f:U\to \mathbb {R}\) seja uma função. Escolha um retângulo limitado \(R\supseteq U\) e, como antes, seja \(P\) uma partição de \(R\) em uma malha de retângulos. Definimos agora a soma de Riemann somando apenas sobre os retângulos \(R_{i,j}\) inteiramente contidos em \(U\). Explicitamente, seja

e defina

Para tratar funções não limitadas ou domínios não limitados, usamos um processo de limite.

Exercícios

5.2 Integrais Iteradas e o Teorema de Fubini

A definição por somas explica o significado da integral. Para calculá-la, queremos somar primeiro ao longo de uma variável e depois ao longo da outra. O Teorema de Fubini justifica essa passagem e esclarece quando a ordem pode ser trocada. Em regiões limitadas, funções contínuas não apresentam dificuldade; singularidades e domínios ilimitados exigem verificar integrabilidade absoluta.

Seja \(f(x,y)\) uma função contínua tal que \(f(x,y)\ge 0\) para todo \((x,y)\) no retângulo \(R=\lbrace (x,y):a\le x\le b,\ c\le y\le d\rbrace \subseteq \mathbb {R}^2\). Escreveremos frequentemente \(R=\lbrack a,b\rbrack \times \lbrack c,d\rbrack \). Para um número \(x_0\) no intervalo \(\lbrack a,b\rbrack \), corte a superfície \(z=f(x,y)\) pelo plano \(x=x_0\), paralelo ao plano \(yz\). A interseção da superfície com esse plano é a curva \(z=f(x_0,y)\), na qual \(x_0\) permanece fixo e apenas \(y\) varia. A área \(A\) sob essa curva, isto é, a área entre a curva e o plano \(xy\), quando \(y\) percorre \(\lbrack c,d\rbrack \), depende apenas do valor de \(x_0\). Usando então a variável \(x\) no lugar de \(x_0\), denotemos essa área por \(A(x)\); veja a Figura 5.1.

Temos \(A(x)=\displaystyle \int _c^d f(x,y)\, dy\), pois \(x\) é mantido fixo e apenas \(y\) varia. Para cada \(x\) fixado, \(f(x,y)\) é uma função contínua de \(y\) em \(\lbrack c,d\rbrack \), de modo que a área sob a curva é dada pela integral definida. Como \(A(x)\) é função de \(x\), o método das seções transversais do cálculo de uma variável mostra que o volume \(V\) do sólido situado sob \(z=f(x,y)\), acima do plano \(xy\) e sobre o retângulo \(R\), é a integral, em \(\lbrack a,b\rbrack \), das áreas dessas seções:

Chamaremos esse volume simplesmente de “volume sob a superfície”. A expressão acima envolve integrais iteradas. Primeiro integramos \(f(x,y)\) como função de \(y\), tratando \(x\) como constante; isso é integrar em relação a \(y\). É o que ocorre na integral “interna”, entre colchetes, em (5.1): essa é a primeira integral iterada. Depois dessa integração, resta uma expressão apenas em \(x\), que pode ser integrada em relação a \(x\). Essa é a integral “externa”, a segunda integral iterada. O resultado final é um número, o volume. O processo de realizar essas duas integrações sucessivas é chamado de integração dupla, e a última expressão em (5.1) é uma integral dupla.

Observe que integrar \(f(x,y)\) em relação a \(y\) é a operação inversa de derivar parcialmente \(f\) em relação a \(y\). Poderíamos igualmente usar seções sob a superfície paralelas ao plano \(xz\); nesse caso, a área da seção dependeria apenas de \(y\), e o volume \(V\) seria

O Teorema de Fubini garante, sob hipóteses adequadas, que a ordem das integrais iteradas não altera o resultado. Em geral omitiremos os colchetes e escreveremos simplesmente

O fato de \(dx\) aparecer antes de \(dy\) indica que \(f(x,y)\) é primeiro integrada em relação a \(x\), entre os limites “internos” \(a\) e \(b\); a função resultante é então integrada em relação a \(y\), entre os limites “externos” \(c\) e \(d\). A ordem de integração pode ser trocada quando isso for conveniente.

Seja \(U\subseteq \mathbb {R}^2\) um domínio.

Nos domínios que consideraremos, \(S_xU\) e \(T_yU\) serão tipicamente intervalos, ou uniões finitas de intervalos.

Suponha que \(f(x,y)\) represente a densidade de uma lâmina no ponto \((x,y)\). Para qualquer \(x\in \mathbb {R}\),

representa a massa por unidade de comprimento na direção \(x\), obtida ao integrar a densidade ao longo da seção vertical. A massa de uma faixa estreita de largura \(\Delta x\) é aproximadamente essa quantidade multiplicada por \(\Delta x\). É natural esperar que, integrando essas massas de seção em \(x\), obtenhamos a massa total, isto é, a integral dupla. Pelo mesmo argumento, devemos obter o mesmo valor se primeiro tomarmos seções horizontais. Portanto, esperamos que as duas integrais iteradas coincidam com a integral dupla. Isso é verdadeiro sob uma hipótese de finitude.

Sem a hipótese (5.4), as integrais iteradas podem existir e ser finitas sem, contudo, serem iguais.

Para uma função geral \(f(x)\), a integral \(\displaystyle \int _a^b f(x)\, dx\) representa área orientada: regiões entre o gráfico \(y=f(x)\) e o eixo \(x\) contribuem positivamente quando \(f(x)\ge 0\) e negativamente quando \(f(x)\le 0\). De modo análogo, a integral dupla de uma função contínua \(f(x,y)\) representa volume orientado: a parte situada entre \(z=f(x,y)\) e o plano \(xy\) contribui com sinal positivo quando \(f(x,y)\ge 0\) e com sinal negativo quando \(f(x,y)\le 0\). Assim, a integração dupla por integrais iteradas pode ser usada para calcular a integral dupla de qualquer função contínua sobre um retângulo, independentemente do sinal de \(f\).

Exercícios

A

Nos Exercícios 1–4, calcule o volume sob a superfície \(z=f(x,y)\) sobre o retângulo \(R\).

1. Consolidaçãobásico \(f(x,y) = 4xy\), \(R= \lbrack 0,1 \rbrack \times \lbrack 0,1 \rbrack \)

   Solução

   \(\iint _R4xy\, dA=4(\frac12)(\frac12)=1\).

   Consolidaçãobásico \(f(x,y) = e^{x+y}\), \(R= \lbrack 0,1 \rbrack \times \lbrack -1,1 \rbrack \)

   Solução

   Pela separação das variáveis, o volume é \((\int _0^1e^x\, dx)(\int _{-1}^1e^y\, dy)=(e-1)(e-e^{-1})\).

3. Consolidaçãobásico \(f(x,y) = x^3 + y^2\), \(R= \lbrack 0,1 \rbrack \times \lbrack 0,1 \rbrack \)

   Solução

   \(\iint _R(x^3+y^2)\, dA=\frac14+\frac13=\frac7{12}\).

   Consolidaçãobásico \(f(x,y) = x^4 + xy + y^3\), \(R= \lbrack 1,2 \rbrack \times \lbrack 0,2 \rbrack \)

   Solução

   Integrando termo a termo, \(\iint _Rx^4\, dA=\frac{31}{5}\), \(\iint _Rxy\, dA=3\) e \(\iint _Ry^3\, dA=4\); o volume é \(\frac{66}{5}\).

Nos Exercícios 5–12, calcule a integral dupla indicada.

1. Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _0^1 \displaystyle \displaystyle \int _1^2 (1-y)x^2 \, dx\, dy\)

   Solução

   \(\frac12\int _1^2x^2\, dx=\frac76\).

   Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _0^1 \displaystyle \displaystyle \int _0^2 x(x+y) \, dx\, dy\)

   Solução

   A integral interna vale \(\frac83+2y\); integrando em \(y\), obtemos \(\frac{11}{3}\).

3. Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _0^2 \displaystyle \displaystyle \int _0^1 (x+2) \, dx\, dy\)

   Solução

   A integral interna vale \(\frac52\), logo o resultado é \(5\).

   Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _{-1}^2 \displaystyle \displaystyle \int _{-1}^1 x(xy+ \sin x) \, dx\, dy\)

   Solução

   A integral em \(x\) é \(\frac23y+2(\sin 1-\cos 1)\). Integrando de \(-1\) a \(2\) em \(y\), obtemos \(1+6(\sin 1-\cos 1)\).

5. Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _0^{\pi /2} \displaystyle \displaystyle \int _0^1 xy \cos (x^2 y) \, dx\, dy\)

   Solução

   Com \(u=x^2y\), a integral interna é \(\frac12\sin y\); a integral total vale \(\frac12\).

   Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _0^{\pi } \displaystyle \displaystyle \int _0^{\pi /2} \sin x \cos (y-\pi ) \, dx\, dy\)

   Solução

   A integral em \(x\) vale \(1\) e \(\cos (y-\pi )=-\cos y\); a integral em \(y\) é \(0\).

7. Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _0^2 \displaystyle \displaystyle \int _1^4 xy \, dx\, dy\)

   Solução

   \(\int _0^2y\, dy\int _1^4x\, dx=2\cdot \frac{15}{2}=15\).

   Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _{-1}^1 \displaystyle \displaystyle \int _{-1}^2 1 \, dx\, dy\)

   Solução

   O integrando é \(1\) num retângulo de lados \(3\) e \(2\); a integral vale \(6\).

9. Justificaçãomédio Seja \(M\) constante. Mostre que \(\displaystyle \int _c^d\displaystyle \int _a^b M\, dx\, dy=M(d-c)(b-a)\).

   Solução

   Integrando primeiro em \(x\), obtemos \(M(b-a)\), constante em \(y\); a integral externa dá \(M(b-a)(d-c)\).

5.3 Integrais Duplas sobre Regiões Gerais

Em uma região não retangular, os limites internos acompanham sua fronteira. Antes de integrar, descreva uma seção típica e identifique a projeção do domínio sobre o eixo externo. Trocar a ordem significa redescrever a mesma região; não basta permutar os símbolos diferenciais.

Na seção anterior vimos o significado de uma integral dupla sobre um retângulo. Podemos agora definir a integral dupla de uma função real \(f(x,y)\) sobre regiões mais gerais de \(\mathbb {R}^2\).

Suponha que uma região \(R\) no plano \(xy\) seja limitada à esquerda pela reta vertical \(x=a\), à direita pela reta \(x=b\), com \(a\lt b\), abaixo pela curva \(y={g}_{1}(x)\) e acima pela curva \(y={g}_{2}(x)\), como na Figura 5.2(a). Suporemos que \({g}_{1}(x)\) e \({g}_{2}(x)\) não se intersectem no intervalo aberto \((a,b)\), embora possam se encontrar nos extremos.

Pelo método das seções da seção anterior, a integral dupla de uma função real \(f(x,y)\) sobre \(R\), denotada por \(\displaystyle \iint \limits _R f(x,y)\, dA\), é dada por

Isto corresponde a tomar seções verticais em \(R\) entre as curvas \(y={g}_{1}(x)\) e \(y={g}_{2}(x)\). O símbolo \(dA\) é chamado, às vezes, de elemento de área ou infinitesimal, com \(A\) indicando área. Observe que \(f(x,y)\) é primeiro integrada em relação a \(y\), com funções de \(x\) como limites de integração. O resultado da primeira integral iterada depende apenas de \(x\), permitindo então realizar a segunda integral em \(x\).

Analogamente, se \(R\) é limitada à esquerda por \(x={h}_{1}(y)\), à direita por \(x={h}_{2}(y)\), abaixo pela reta horizontal \(y=c\) e acima pela reta \(y=d\), com \(c\lt d\), como na Figura 5.2(b), e se \({h}_{1}(y)\) e \({h}_{2}(y)\) não se intersectam no intervalo aberto \((c,d)\), então seções horizontais fornecem

Essas definições incluem, em particular, o caso em que \(R\) é um retângulo. Além disso, se \(f(x,y)\ge 0\) em toda a região \(R\), então \(\iint \limits _R f(x,y)\, dA\) é o volume sob a superfície \(z=f(x,y)\) sobre \(R\).

Para uma região geral \(R\), que pode não ser de nenhum dos tipos considerados até aqui, a integral dupla \(\iint \limits _R f(x,y)\, dA\) pode ser construída diretamente. Suponha que \(f(x,y)\) seja não negativa e que \(R\) seja uma região limitada de \(\mathbb {R}^2\), contida em algum retângulo \(\lbrack a,b\rbrack \times \lbrack c,d\rbrack \). Divida esse retângulo em uma malha de sub-retângulos e considere apenas aqueles inteiramente contidos em \(R\), como os sub-retângulos sombreados da Figura 5.4(a). Em cada \(\lbrack {x}_{i},{x}_{i+1}\rbrack \times \lbrack {y}_{j},{y}_{j+1}\rbrack \), escolha um ponto \(({x}_{i*},{y}_{j*})\). O volume sob \(z=f(x,y)\) sobre esse sub-retângulo é aproximadamente \(f({x}_{i*},{y}_{j*})\, \Delta {x}_{i}\, \Delta {y}_{j}\), onde \(\Delta {x}_{i}={x}_{i+1}-{x}_{i}\), \(\Delta {y}_{j}={y}_{j+1}-{y}_{j}\), \(f({x}_{i*},{y}_{j*})\) é a altura e \(\Delta {x}_{i}\Delta {y}_{j}\) é a área da base do paralelepípedo, como na Figura 5.4(b). Assim, o volume total é aproximado pela soma dos volumes desses paralelepípedos, paralelepípedos, a saber,

onde a soma percorre os índices dos sub-retângulos contidos em \(R\). Tomando sub-retângulos cada vez menores, de modo que o comprimento da maior diagonal tenda a \(0\), eles preenchem uma porção cada vez maior de \(R\) e a soma acima converge para o volume efetivo sob \(z=f(x,y)\) sobre \(R\). Definimos então \(\iint \limits _R f(x,y)\, dA\) como o limite dessa soma dupla, tomando o limite sobre todas as subdivisões do retângulo \(\lbrack a,b\rbrack \times \lbrack c,d\rbrack \) à medida que a maior diagonal dos sub-retângulos tende a \(0\).

Uma definição análoga vale para funções \(f(x,y)\) que não sejam sempre não negativas: quando \(f(x,y)\lt 0\), substitui-se a interpretação de volume pela de volume orientado negativo. Para regiões do tipo mostrado na Figura 5.2, a definição de integral de Riemann de uma variável reduz a definição de \(\iint \limits _R f(x,y)\, dA\) a duas integrais iteradas.

Por fim, a região \(R\) não precisa ser limitada. Integrais duplas impróprias, seja por domínio não limitado, seja pela presença de pontos onde \(f(x,y)\) não está definida, podem ser calculadas como uma sequência de integrais impróprias iteradas de uma variável.

Exercícios

A

Nos Exercícios 1–6, calcule a integral dupla indicada.

1. Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _0^1 \displaystyle \displaystyle \int _{\sqrt{x}}^1 24x^2 y \, dy\, dx\)

   Solução

   A integral interna é \(12x^2(1-x)\); assim, a integral vale \(12(\frac13-\frac14)=1\).

   Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _0^{\pi } \displaystyle \displaystyle \int _0^y \sin x \, dx\, dy\)

   Solução

   Integrando em \(x\), obtemos \(1-\cos y\); a integral vale \(\int _0^\pi (1-\cos y)\, dy=\pi \).

3. Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _1^2 \displaystyle \displaystyle \int _0^{\ln x} 4x \, dy\, dx\)

   Solução

   A integral reduz-se a \(\int _1^2 4x\ln x\, dx=[2x^2\ln x-x^2]_1^2=8\ln 2-3\).

   Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _0^2 \displaystyle \displaystyle \int _0^{2y} e^{y^2} \, dx\, dy\)

   Solução

   A integral em \(x\) dá \(2ye^{y^2}\); com \(u=y^2\), o resultado é \(e^4-1\).

5. Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _0^{\pi /2} \displaystyle \displaystyle \int _0^y \cos x \, \sin y \, dx\, dy\)

   Solução

   A integral interna é \(\sin ^2 y\); logo, o resultado é \(\frac\pi 4\).

   Consolidaçãomédio \(\displaystyle \displaystyle \int _0^{\infty } \displaystyle \displaystyle \int _0^{\infty } xye^{-(x^2 + y^2 )} \, dx\, dy\)

   Solução

   O integrando separa-se e cada fator \(\int _0^\infty xe^{-x^2}\, dx\) vale \(\frac12\); o resultado é \(\frac14\).

7. Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _0^2 \displaystyle \displaystyle \int _0^y 1 \, dx\, dy\)

   Solução

   \(\int _0^2y\, dy=2\).

   Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _0^1 \displaystyle \displaystyle \int _0^{x^2} 2 \, dy\, dx\)

   Solução

   \(\int _0^1 2x^2\, dx=\frac23\).

9. Aplicaçãobásico Calcule o volume \(V\) do sólido limitado pelos três planos coordenados e pelo plano \(x+y+z=1\).

   Solução

   O tetraedro tem interceptos unitários nos três eixos; seu volume é \(1/6\).

10. Aplicaçãobásico Calcule o volume \(V\) do sólido limitado pelos três planos coordenados e pelo plano \(3x+2y+5z=6\).

    Solução

    Os interceptos são \(2\), \(3\) e \(6/5\). Portanto, \(V=\frac16(2)(3)(6/5)=6/5\).

B

1. Justificaçãomédio Explique por que a integral dupla \(\iint \limits _R1\, dA\) fornece a área de \(R\). Para simplificar, você pode supor que \(R\) seja uma região do tipo mostrado na Figura 5.2(a).

   Solução

   Se \(R=\{ (x,y):a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\} \), então \(\iint _R1\, dA=\int _a^b\int _{g_1(x)}^{g_2(x)}1\, dy\, dx=\int _a^b(g_2(x)-g_1(x))\, dx\), que é a soma das áreas das seções verticais, isto é, a área de \(R\).

C

1. 

3. Justificaçãodifícil Prove que o volume de um tetraedro com três arestas adjacentes mutuamente perpendiculares de comprimentos \(a\), \(b\) e \(c\), como na figura ao lado, é \(\frac{abc}{6}\). (Sugestão: imite o Exemplo 5.11 e recorde como três pontos não colineares determinam um plano.)

   Solução

   Coloque o vértice comum na origem e as arestas sobre os eixos. O plano oposto tem equação \(x/a+y/b+z/c=1\). Assim, \(V=\int _0^a\int _0^{b(1-x/a)}c(1-x/a-y/b)\, dy\, dx=abc/6\).

4. Aprofundamentodifícil Mostre como o Exercício 12 pode ser usado para resolver o Exercício 10.

   Solução

   No plano \(3x+2y+5z=6\), os interceptos são \(2,3,6/5\). O tetraedro tem três arestas perpendiculares de comprimentos iguais a esses interceptos; pelo Exercício 12, \(V=(2)(3)(6/5)/6=6/5\).

5.4 Integrais Triplas

A integral tripla acrescenta uma terceira direção de acumulação. Para montar seus limites, escolha primeiro uma projeção plana do sólido; sobre cada ponto dessa projeção, descreva o intervalo da variável restante. A densidade é por unidade de volume, de modo que a integral fornece massa, carga ou outra quantidade total.

A definição de integral dupla de uma função real \(f(x,y)\) sobre uma região \(R\subseteq \mathbb {R}^2\) estende-se naturalmente à integral tripla de uma função real \(f(x,y,z)\) sobre um sólido limitado \(S\subseteq \mathbb {R}^3\) cuja fronteira tenha volume zero. Procedemos como antes: encerramos \(S\) em um paralelepípedo retangular e o subdividimos em pequenos paralelepípedos. Em cada bloco contido em \(S\), com arestas \(\Delta x\), \(\Delta y\) e \(\Delta z\), escolhemos um ponto \(({x}_{*},{y}_{*},{z}_{*})\). Definimos então a integral tripla de \(f\) sobre \(S\), denotada por \(\iiint \limits _S f(x,y,z)\, dV\), por

onde \(P\) percorre partições do paralelepípedo que contém \(S\) e \(\lVert P\rVert \) é o comprimento da maior diagonal de seus subparalelepípedos, e a soma tripla percorre todos os subparalelepípedos contidos em \(S\). Pode-se mostrar que o limite não depende da escolha do paralelepípedo retangular exterior. O símbolo \(dV\) é chamado de elemento de volume.

Geometricamente, a integral tripla generaliza a interpretação da integral dupla. Uma integral dupla pode ser vista como o volume sob uma superfície bidimensional; de modo análogo, a integral tripla pode ser interpretada como o hipervolume sob uma hipersuperfície tridimensional \(w=f(x,y,z)\) em \(\mathbb {R}^{4}\). Em geral, a palavra “volume” é usada em sentido amplo para a medida de um objeto \(n\)-dimensional, incluindo comprimento em \(\mathbb {R}^{1}\) e área em \(\mathbb {R}^2\). Embora seja difícil visualizar o volume de um objeto quadridimensional, a integral fornece uma maneira precisa de calculá-lo.

No caso em que \(S\) é um paralelepípedo retangular \(\lbrack {x}_{1},{x}_{2} \rbrack \times \lbrack {y}_{1},{y}_{2} \rbrack \times \lbrack {z}_{1},{z}_{2} \rbrack \), isto é, \(S = \lbrace (x,y,z): {x}_{1} \le x \le {x}_{2},~ {y}_{1}\le y\le {y}_{2},~ {z}_{1}\le z\le {z}_{2}\rbrace \), a integral tripla é uma sequência de três integrais iteradas:

e a ordem de integração pode ser permutada. Este é o caso mais simples.

Um caso mais geral ocorre quando \(S\) é limitado abaixo por \(z={g}_{1}(x,y)\), acima por \(z={g}_{2}(x,y)\), enquanto \(y\) varia entre as curvas \({h}_{1}(x)\) e \({h}_{2}(x)\) e \(x\) varia entre \(a\) e \(b\). Então

Nesse caso, a primeira integral iterada produz uma função de \(x\) e \(y\), pois seus limites dependem dessas variáveis, restando depois uma integral dupla do tipo estudado na seção anterior. Naturalmente, há muitas variações possíveis, por exemplo permutando os papéis de \(x\), \(y\) e \(z\). A principal dificuldade prática das integrais triplas costuma ser descrever corretamente o sólido e escolher uma ordem de integração conveniente. Por ora, o essencial é dominar o cálculo dessas integrais; veremos adiante outras aplicações.

Como o integrando é a constante \(1\), a integral tripla acima reduz-se a uma integral dupla do tipo estudado na seção anterior quando o sólido é limitado acima por uma superfície \(z=f(x,y)\) e abaixo pelo plano \(xy\), isto é, \(z=0\). Há muitas outras possibilidades. Por exemplo, o sólido pode ser limitado abaixo e acima por \(z={g}_{1}(x,y)\) e \(z={g}_{2}(x,y)\), respectivamente, com \(y\) entre \({h}_{1}(x)\) e \({h}_{2}(x)\) e \(x\) entre \(a\) e \(b\). Então

como em (5.10). Veja o Exercício 10 para um exemplo.

Exercícios

A

Nos Exercícios 1–8, calcule a integral tripla indicada.

1. Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _0^3 \displaystyle \displaystyle \int _0^2 \displaystyle \displaystyle \int _0^1 xyz \, dx\, dy\, dz\)

   Solução

   As integrais separam-se: \((\frac12)(2)(\frac92)=\frac92\).

   Consolidaçãomédio \(\displaystyle \displaystyle \int _0^1 \displaystyle \displaystyle \int _0^x \displaystyle \displaystyle \int _0^y xyz \, dz\, dy\, dx\)

   Solução

   Integrando sucessivamente, obtemos \(\int _0^1 x^5/8\, dx=1/48\).

3. Consolidaçãomédio \(\displaystyle \displaystyle \int _0^{\pi } \displaystyle \displaystyle \int _0^x \displaystyle \displaystyle \int _0^{xy} x^2 \sin z \, dz\, dy\, dx\)

   Solução

   As integrais em \(z\) e \(y\) dão \(x^3-x\sin (x^2)\). Logo, o valor é \(\frac{\pi ^4}{4}-\frac{1-\cos (\pi ^2)}2\).

   Consolidaçãomédio \(\displaystyle \displaystyle \int _0^1 \displaystyle \displaystyle \int _0^z \displaystyle \displaystyle \int _0^y ze^{y^2} \, dx\, dy\, dz\)

   Solução

   Integrando em \(x\) e depois em \(y\), a integral externa fica \(\frac12\int _0^1 z(e^{z^2}-1)\, dz=\frac{e-2}{4}\).

5. Consolidaçãomédio \(\displaystyle \displaystyle \int _1^e \displaystyle \displaystyle \int _0^y \displaystyle \displaystyle \int _0^{1/y} x^2 z \, dx\, dz\, dy\)

   Solução

   Integrando em \(x\) e depois em \(z\), resta \(\int _1^e(6y)^{-1}\, dy=1/6\).

   Consolidaçãomédio \(\displaystyle \displaystyle \int _1^2 \displaystyle \displaystyle \int _0^{y^2} \displaystyle \displaystyle \int _0^{z^2} yz \, dx\, dz\, dy\)

   Solução

   A integral em \(x\) dá \(yz^3\); em \(z\), \(y^9/4\). Portanto, o valor é \([y^{10}/40]_1^2=1023/40\).

7. Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _1^2 \displaystyle \displaystyle \int _2^4 \displaystyle \displaystyle \int _0^3 1 \, dx\, dy\, dz\)

   Solução

   O volume do paralelepípedo é \(3\cdot 2\cdot 1=6\).

   Consolidaçãobásico \(\displaystyle \displaystyle \int _0^1 \displaystyle \displaystyle \int _0^{1-x} \displaystyle \displaystyle \int _0^{1-x-y} 1 \, dz\, dy\, dx\)

   Solução

   Integrando em \(z\) e \(y\), obtemos \(\int _0^1(1-x)^2/2\, dx=1/6\).

9. Justificaçãomédio Seja \(M\) constante. Mostre que \(\displaystyle \int _{{z}_{1}}^{{z}_{2}}\displaystyle \int _{{y}_{1}}^{{y}_{2}} \displaystyle \int _{{x}_{1}}^{{x}_{2}} M\, dx\, dy\, dz = M({z}_{2} - {z}_{1})({y}_{2} - {y}_{1}) ({x}_{2} - {x}_{1})\).

   Solução

   Integrando a constante sucessivamente, obtemos \(M(x_2-x_1)(y_2-y_1)(z_2-z_1)\).

B

1. Aplicaçãomédio Calcule o volume \(V\) do sólido \(S\) limitado pelos três planos coordenados, acima pelo plano \(x+y+z=2\) e abaixo pelo plano \(z=x+y\).

   Solução

   O sólido satisfaz \(x,y\ge 0\), \(x+y\le 1\) e \(x+y\le z\le 2-x-y\). Logo, \(V=\int _0^1\int _0^{1-x}2(1-x-y)\, dy\, dx=1/3\).

C

1. Aprofundamentodifícil Suponha \(a\lt b\) e \(f\) contínua em \([a,b]\). Mostre que

   \[ \displaystyle \int _a^b\displaystyle \int _a^z\displaystyle \int _a^y f(x)\, dx\, dy\, dz= \displaystyle \int _a^b\frac{(b-x)^2}{2}f(x)\, dx. \]

   (Sugestão: examine como a mudança da ordem de integração altera os limites da integral tripla.)

   Solução

   Suponha \(f\) contínua em \([a,b]\). A região é \(a\le x\le y\le z\le b\). Fixado \(x\), a área correspondente no plano \(yz\) é \(\int _x^b\int _y^b1\, dz\, dy=(b-x)^2/2\). Trocando a ordem de integração, obtemos a identidade.

5.5 Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas

Uma boa mudança de variáveis simplifica simultaneamente o domínio e o integrando. O jacobiano corrige a área ou o volume de cada célula transformada. Em integrais escalares usamos seu valor absoluto; o sinal ficará relevante mais adiante, nas integrais orientadas de formas.

Diante da dificuldade de algumas integrais múltiplas, é natural perguntar se uma substituição adequada pode simplificá-las. A resposta é afirmativa, embora a mudança de variáveis seja um pouco mais sutil do que no cálculo de uma variável.

Recordemos primeiro um exemplo de uma variável. Considere a integral

Fazemos a substituição

e obtemos

Vale a pena reinterpretar essa substituição, pois isso esclarece o que ocorre em várias variáveis. Tomamos \(u=x^2-1\). No intervalo \(\lbrack 1,2\rbrack \), a função \(x\mapsto x^2-1\) é estritamente crescente e leva \(\lbrack 1,2\rbrack \) sobre \(\lbrack 0,3\rbrack \); portanto possui uma inversa nesse último intervalo. Assim, em \(\lbrack 0,3\rbrack \) podemos escrever \(x\) como função de \(u\):

Substituindo essa expressão de \(x\) em \(f(x)=x^3\sqrt{x^2-1}\), obtemos

e observamos que

Além disso, como

a substituição realizada acima fornece

Em geral, se \(x=g(u)\) é uma função diferenciável e estritamente crescente de um intervalo \(\lbrack c,d\rbrack \) sobre \(\lbrack a,b\rbrack \), com \(g'(u)\ne 0\) em \((c,d)\), \(a=g(c)\) e \(b=g(d)\), então \(c=g^{-1}(a)\), \(d=g^{-1}(b)\) e

Essa é a fórmula de mudança de variável para integrais de funções de uma variável, usada implicitamente na integração por substituição. Ela é um caso particular de uma fórmula mais geral para integrais múltiplas. Enunciaremos as versões para integrais duplas e triplas de funções reais de duas e três variáveis, respectivamente. Suporemos que as mudanças de coordenadas sejam continuamente diferenciáveis e que as regiões e os sólidos tenham fronteiras de medida nula. A demonstração do teorema seguinte está além do escopo deste texto.

O determinante \(J(u,v)\) em (5.13) é o jacobiano de \(x\) e \(y\) em relação a \(u\) e \(v\), e também é escrito como

Analogamente, o jacobiano \(J(u,v,w)\) de três variáveis pode ser escrito como

A fórmula (5.14) afirma, em particular, que \(dA(x,y)=\left\lvert J(u,v)\right\rvert \, dA(u,v)\), a versão bidimensional da relação \(dx=g'(u)\, du\) do caso de uma variável.

O exemplo seguinte mostra como usar a fórmula de mudança de variáveis.

Solução

Sem uma substituição, esta integral dupla é difícil de calcular em forma fechada. A forma do expoente sugere \(u=x-y\) e \(v=x+y\). Para aplicar (5.14), precisamos escrever \(x\) e \(y\) em termos de \(u\) e \(v\). Resolvendo o sistema, obtemos \(x=\frac12(u+v)\) e \(y=\frac12(v-u)\). A Figura 5.5 mostra como a aplicação \(x=x(u,v)=\frac12(u+v)\), \(y=y(u,v)=\frac12(v-u)\) leva a região \(R'\) sobre \(R\) de modo injetivo.

Agora,

\[ J(u,v) ~ =~ \begin{vmatrix} \dfrac {\partial x}{\partial u} & \dfrac {\partial x}{\partial v}\vspace{2mm} \\ \dfrac {\partial y}{\partial u} & \dfrac {\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} ~ =~ \left| \begin{array}{rr} \tfrac {1}{2} & \tfrac {1}{2}\vspace{2mm}\\ -\tfrac {1}{2} & \tfrac {1}{2} \end{array}\right| ~ =~ \frac{1}{2} ~ \Rightarrow ~ \left\lvert J(u,v)\right\rvert ~ =~ \left| \frac{1}{2} \right| ~ =~ \frac{1}{2} ~ , \]

e, usando seções horizontais em \(R'\), obtemos

\begin{align*} \iint \limits _{R} e^{\frac{x-y}{x+y}} \, dA ~ & =~ \iint \limits _{R'} f(x(u,v),y(u,v))\, \left\lvert J(u,v)\right\rvert \, dA\\ & =~ \displaystyle \int _0^1 \displaystyle \int _{-v}^v e^{\frac{u}{v}} \, \tfrac {1}{2}\, du\, dv\\ & =~ \displaystyle \int _0^1 \left( \tfrac {v}{2} e^{\frac{u}{v}} \, \Big|_{u=-v}^{u=v} \right) \, dv\\ & =~ \displaystyle \int _0^1 \tfrac {v}{2} (e - e^{-1})\, dv\\ & =~ \frac{v^2}{4} (e - e^{-1}) \, \Big|_{0}^{1} ~ =~ \frac{1}{4} \left( e - \frac{1}{e} \right) ~ =~ \frac{e^2 - 1}{4e} \end{align*}

temos

e, portanto, obtemos a fórmula:

De modo semelhante, pode-se mostrar, veja os Exercícios 5–6, que integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas assumem as formas seguintes:

Exercícios

A

1. Aplicaçãobásico Calcule o volume \(V\) no interior do paraboloide \(z=x^2+y^2\) para \(0\le z\le 4\).

   Solução

   Em coordenadas cilíndricas, \(0\le r\le 2\) e \(r^2\le z\le 4\). Assim, \(V=2\pi \int _0^2(4-r^2)r\, dr=8\pi \).

2. Aplicaçãobásico Calcule o volume \(V\) no interior do cone \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) para \(0\le z\le 3\).

   Solução

   O sólido fica entre \(z=r\) e \(z=3\), com \(0\le r\le 3\); \(V=2\pi \int _0^3(3-r)r\, dr=9\pi \).

B

1. Aplicaçãomédio Calcule o volume \(V\) do sólido contido simultaneamente em \(x^2+y^2+z^2\le 4\) e \(x^2+y^2\le 1\).

   Solução

   Em coordenadas cilíndricas, \(0\le r\le 1\), \(0\le \theta \le 2\pi \) e \(-\sqrt{4-r^2}\le z\le \sqrt{4-r^2}\). Logo, \(V=4\pi \int _0^1r\sqrt{4-r^2}\, dr=\frac{4\pi }{3}(8-3\sqrt3)\).

2. Aplicaçãomédio Calcule o volume \(V\) contido simultaneamente na esfera \(x^2+y^2+z^2\le 1\) e no cone \(z\ge \sqrt{x^2+y^2}\).

   Solução

   Em coordenadas esféricas, \(0\le \rho \le 1\), \(0\le \phi \le \pi /4\) e \(0\le \theta \le 2\pi \). Portanto, \(V=2\pi \int _0^{\pi /4}\int _0^1\rho ^2\sin \phi \, d\rho \, d\phi =\frac{\pi }{3}(2-\sqrt2)\).

   Justificaçãomédio Demonstre a fórmula (5.20).

   Solução

   Para \(\Phi (r,\theta ,z)=(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)\), \(D\Phi =\begin{bmatrix} \cos \theta & -r\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r\cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\), de modo que \(|\det D\Phi |=r\). Aplicando a mudança de variáveis, obtemos (5.20); o eixo e a semirreta de corte angular têm volume zero.

   Justificaçãomédio Demonstre a fórmula (5.21).

   Solução

   Para \(\Phi (\rho ,\phi ,\theta )=(\rho \sin \phi \cos \theta ,\rho \sin \phi \sin \theta ,\rho \cos \phi )\), seu jacobiano é \(\det D\Phi =\rho ^2\sin \phi \), logo \(|\det D\Phi |=\rho ^2\sin \phi \). A fórmula segue da mudança de variáveis; a origem, o eixo e a semirreta angular são de volume zero.

3. Consolidaçãomédio Calcule \(\iint \limits _R\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)\, dA\), onde \(R\) é o triângulo de vértices \((0,0)\), \((2,0)\) e \((1,1)\). (Sugestão: use a mudança de variáveis \(u=(x+y)/2\), \(v=(x-y)/2\).)

   Solução

   A inversa é \(x=u+v\), \(y=u-v\), com jacobiano de módulo \(2\); a região vira \(0\le u\le 1\), \(0\le v\le u\). A integral vale \(2\int _0^1\sin u\int _0^u\cos v\, dv\, du=2\int _0^1\sin ^2u\, du=1-\frac12\sin 2\).

4. Aplicaçãomédio Calcule o volume do sólido limitado por \(z=x^2+y^2\) e \(z^2=4(x^2+y^2)\).

   Solução

   A componente limitada fica entre \(z=r^2\) e o cone superior \(z=2r\), para \(0\le r\le 2\). Logo, \(V=2\pi \int _0^2(2r-r^2)r\, dr=8\pi /3\).

5. Aplicaçãomédio Calcule o volume no interior do cilindro elíptico \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\), para \(0\le z\le 2\).

   Solução

   A base tem área \(\pi ab\) e altura \(2\), portanto \(V=2\pi ab\).

C

1. Justificaçãodifícil Mostre que, para \(a,b,c\gt 0\), o volume do elipsoide \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) é \(\tfrac {4\pi abc}{3}\). (Sugestão: use \(x=au\), \(y=bv\), \(z=cw\) e o Exemplo 5.20.)

   Solução

   A aplicação \((u,v,w)\mapsto (au,bv,cw)\) tem jacobiano \(abc\) e leva a esfera unitária ao elipsoide. Assim, \(V=abc\cdot (4\pi /3)=4\pi abc/3\).

2. Aprofundamentodifícil Mostre que a função Beta, definida por

   \[ B(x,y) ~ =~ \displaystyle \int _0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt ~ ,\quad \text{para $x > 0$, $y > 0$,} \]

   satisfaz \(B(y,x)=B(x,y)\) para \(x\gt 0\), \(y\gt 0\).

   Solução

   Na integral que define \(B(y,x)\), faça \(s=1-t\); os fatores trocam de posição e obtemos \(B(x,y)\).

3. Aprofundamentodifícil Usando a substituição \(t=u/(u+1)\), mostre que a função Beta pode ser escrita como

   \[ B(x,y) ~ =~ \displaystyle \int _0^{\infty } \frac{u^{x-1}}{(u+1)^{x+y}}\, du ~ ,\quad \text{para $x > 0$, $y > 0$.} \]
   Solução

   Temos \(1-t=1/(u+1)\) e \(dt=du/(u+1)^2\). Substituindo, \(t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt=u^{x-1}(u+1)^{-x-y}\, du\); os limites passam de \(0,1\) a \(0,\infty \).

5.6 Aplicação: Centro de Massa

O centro de massa é uma média das posições ponderada pela massa. A integral da densidade fornece o denominador; a integral da coordenada multiplicada pela densidade fornece o numerador. Simetrias só podem simplificar o cálculo quando preservam tanto o domínio quanto a densidade.

Recordemos do cálculo de uma variável que, para uma região \(R=\lbrace (x,y):a\le x\le b,\ 0\le y\le f(x)\rbrace \subseteq \mathbb {R}^2\) representando uma lâmina fina (veja a figura ao lado), com \(f\) contínua em \(\left[{a},{b}\right]\), supondo que \(R\) tenha área positiva, as coordenadas \((\overline{x},\overline{y})\) do centro de massa de \(R\) são

onde

supondo que \(R\) tenha densidade uniforme, isto é, que sua massa esteja distribuída uniformemente. Nesse caso, a área \(M\) da região é tomada como sua massa, com densidade constante igual a \(1\) para simplificar.

No caso geral, a densidade de uma região, ou lâmina, \(R\) é uma função contínua \(\delta =\delta (x,y)\) das coordenadas \((x,y)\) dos pontos de \(R\). Para uma região limitada regular \(R\subseteq \mathbb {R}^2\) e densidade contínua não negativa com massa total positiva, as coordenadas \((\overline{x},\overline{y})\) do centro de massa são dadas por

onde

As quantidades \(M_x\) e \(M_y\) são os momentos, ou primeiros momentos, de \(R\) em relação aos eixos \(x\) e \(y\), respectivamente. A quantidade \(M\) é a massa de \(R\). Para compreender a fórmula, considere um pequeno retângulo em \(R\), de dimensões \(\Delta x\) e \(\Delta y\) próximas de \(0\). Sua massa é aproximadamente \(\delta (x_*,y_*)\Delta x\, \Delta y\), para algum ponto \((x_*,y_*)\) do retângulo. A massa total de \(R\) é o limite das somas dessas massas quando as diagonais dos retângulos tendem a \(0\), isto é, \(\iint \limits _R\delta (x,y)\, dA\).

As fórmulas em (5.22) são o caso particular de (5.24) em que \(\delta (x,y)=1\) em toda a região \(R\).

Se \(\delta (x,y)\) é constante em \(R\), o centro de massa \((\overline{x},\overline{y})\) é chamado de centroide de \(R\).

As fórmulas do centro de massa em \(\mathbb {R}^2\) generalizam-se para um sólido limitado regular \(S\subseteq \mathbb {R}^3\). Se \(S\) possui densidade de massa contínua não negativa \(\delta (x,y,z)\) e massa total positiva, então seu centro de massa tem coordenadas \((\overline{x},\overline{y},\overline{z})\), onde

onde

Nesse caso, \(M_{yz}\), \(M_{xz}\) e \(M_{xy}\) são os momentos, ou primeiros momentos, de \(S\) em relação aos planos \(yz\), \(xz\) e \(xy\), respectivamente. Além disso, \(M\) é a massa de \(S\).

Exercícios

A

Nos Exercícios 1–5, determine o centro de massa da região \(R\) com a densidade indicada \(\delta (x,y)\).

1. Aplicaçãobásico \(R = \lbrace (x,y): 0 \le x \le 2,~ 0 \le y \le 4~ \rbrace \), \(\delta (x,y) = 2y\)

   Solução

   Pela simetria, \(\overline{x}=1\). Além disso, \(M=32\) e \(M_x=256/3\), de modo que \(\overline{y}=M_x/M=8/3\).

2. Aplicaçãobásico \(R = \lbrace (x,y): 0 \le x \le 1,~ 0 \le y \le x^2 \rbrace \), \(\delta (x,y) = x+y\)

   Solução

   A massa e os momentos são \(M=7/20\), \(M_y=17/60\) e \(M_x=11/84\). Portanto, \((\overline{x},\overline{y})=(17/21,55/147)\).

3. Aplicaçãobásico Para \(a\gt 0\), \(R = \lbrace (x,y): y \ge 0, ~ x^2 + y^2 \le a^2 \rbrace \), \(\delta (x,y) = 1\)

   Solução

   Pela simetria, \(\overline{x}=0\). Em polares, \(M=\pi a^2/2\) e \(M_x=\int _0^\pi \int _0^a(r\sin \theta )r\, dr\, d\theta =2a^3/3\); logo, \(\overline{y}=4a/(3\pi )\).

4. Aplicaçãobásico \(R = \lbrace (x,y): y \ge 0,~ x \ge 0, ~ 1 \le x^2 + y^2 \le 4~ \rbrace \), \(\delta (x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}\)

   Solução

   A região e a densidade são simétricas na troca de \(x\) por \(y\), então as coordenadas do centro coincidem. Em polares, \(M=\int _0^{\pi /2}\int _1^2r^2\, dr\, d\theta =7\pi /6\) e \(M_y=\int _0^{\pi /2}\int _1^2r^3\cos \theta \, dr\, d\theta =15/4\). Assim, \((\overline{x},\overline{y})=(45/(14\pi ),45/(14\pi ))\).

5. Aplicaçãobásico \(R = \lbrace (x,y): y \ge 0, ~ x^2 + y^2 \le 1~ \rbrace \), \(\delta (x,y) = y\)

   Solução

   Pela simetria, \(\overline{x}=0\). Em polares, \(M=\int _0^\pi \int _0^1r^2\sin \theta \, dr\, d\theta =2/3\) e \(M_x=\int _0^\pi \int _0^1r^3\sin ^2\theta \, dr\, d\theta =\pi /8\). Portanto, \(\overline{y}=3\pi /16\).

B

Nos Exercícios 6–10, determine o centro de massa do sólido \(S\) com a densidade indicada \(\delta (x,y,z)\).

1. Aplicaçãomédio \(S = \lbrace (x,y,z): 0 \le x \le 1,~ 0 \le y \le 1,~ 0 \le z \le 1~ \rbrace \), \(\delta (x,y,z) = xyz\)

   Solução

   \(M=1/8\) e cada momento coordenado, por simetria, é \(\int _0^1x^2\, dx(\int _0^1y\, dy)^2=1/12\). Logo, \(\overline{x}=\overline{y}=\overline{z}=2/3\).

2. Aplicaçãomédio Para \(a\gt 0\), \(S = \lbrace (x,y,z): z \ge 0,~ x^2 + y^2 + z^2 \le a^2 \rbrace \), \(\delta (x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\)

   Solução

   A simetria dá \(\overline{x}=\overline{y}=0\). Em esféricas, \(M=2\pi a^5/5\) e \(M_{xy}=\int _0^{2\pi }\int _0^{\pi /2}\int _0^a\rho ^5\sin \phi \cos \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta =\pi a^6/6\). Portanto, \(\overline{z}=5a/12\).

3. Aplicaçãomédio Para \(a\gt 0\), \(S = \lbrace (x,y,z): x \ge 0,~ y \ge 0,~ z \ge 0, ~ x^2 + y^2 + z^2 \le a^2 \rbrace \), \(\delta (x,y,z) = 1\)

   Solução

   Pela simetria, basta calcular \(\overline{x}\). O volume é \(\pi a^3/6\); em esféricas, \(M_{yz}=\int _0^{\pi /2}\int _0^{\pi /2}\int _0^a\rho ^3\sin ^2\phi \cos \theta \, d\rho \, d\phi \, d\theta =\pi a^4/16\). Logo, o centro é \((3a/8,3a/8,3a/8)\).

4. Aplicaçãomédio \(S = \lbrace (x,y,z): 0 \le x \le 1,~ 0 \le y \le 1,~ 0 \le z \le 1~ \rbrace \), \(\delta (x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\)

   Solução

   Pela simetria, as três coordenadas são iguais. A massa é \(M=1\). Um momento é \(\int _{[0,1]^3}x(x^2+y^2+z^2)\, dV=1/4+1/6+1/6=7/12\). Assim, o centro de massa é \((7/12,7/12,7/12)\).

5. Aplicaçãomédio \(S = \lbrace (x,y,z): 0 \le x \le 1,~ 0 \le y \le 1,~ 0 \le z \le 1 - x - y \rbrace \), \(\delta (x,y,z) = 1\)

   Solução

   O sólido é o tetraedro \(x,y,z\ge 0\), \(x+y+z\le 1\), simétrico nas coordenadas. Sua massa é \(1/6\) e \(M_{yz}=\int _0^1\int _0^{1-x}x(1-x-y)\, dy\, dx=1/24\). Portanto, o centro é \((1/4,1/4,1/4)\).

5.7 Aplicação: Probabilidade e Valor Esperado

Uma densidade de probabilidade funciona como uma distribuição de massa total igual a \(1\). Integrar sobre uma região fornece a probabilidade do evento; integrar uma coordenada multiplicada pela densidade fornece sua média. Em duas variáveis, o formato do suporte pode produzir dependência mesmo quando a expressão da densidade é simples.

Nesta seção discutiremos brevemente algumas aplicações de integrais múltiplas à teoria da probabilidade. Em particular, veremos como usá-las para calcular probabilidades e valores esperados.

Probabilidade

Considere um dado honesto de seis faces e seja \(X\) a variável que registra o resultado. A probabilidade de obter \(3\), escrita \(P(X=3)\), é \(\frac16\), pois os seis resultados são equiprováveis. Da mesma forma, a probabilidade de obter no máximo \(3\), isto é, \(P(X\le 3)\), vale \(\frac36=\frac12\), pois há três resultados possíveis, \(1\), \(2\) e \(3\), entre os seis. Observe que \(P(X\le 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\). Dizemos que \(X\) é uma variável aleatória discreta no espaço amostral, ou espaço de probabilidade, \(\Omega \) formado por todos os resultados possíveis: \(\Omega =\lbrace 1,2,3,4,5,6\rbrace \). Um evento \(A\) é um subconjunto do espaço amostral. No exemplo do dado, o evento \(X\le 3\) é \(\lbrace 1,2,3\rbrace \).

Agora seja \(X\) uma variável que representa um número real escolhido ao acaso em \((0,1)\). O conjunto dos reais entre \(0\) e \(1\) não é discreto, nem enumerável: não pode ser colocado em correspondência biunívoca com os inteiros positivos. ⁴ Nesse caso, para cada \(x\in (0,1)\), a probabilidade \(P(X=x)\) deve ser \(0\). Em vez disso, consideramos \(P(X\le x)=x\). A razão é simples: \((0,1)\) tem comprimento \(1\), enquanto \((0,x)\) tem comprimento \(x\). Como \(X\) é escolhido uniformemente em \((0,1)\), isto é, é uniformemente distribuído, temos

Dizemos que \(X\) é uma variável aleatória contínua no espaço amostral \(\Omega =(0,1)\). Um evento \(A\) é um subconjunto do espaço amostral; por exemplo, o evento \(X\le x\) corresponde ao intervalo \((0,x)\).

Para uma variável aleatória discreta, a probabilidade de um evento é a soma das probabilidades dos resultados que o compõem. Para uma variável aleatória contínua, a probabilidade de um evento será, em vez disso, a integral de uma função, como veremos a seguir.

Seja \(X\) uma variável aleatória contínua real que assume valores em \(\Omega =(a,b)\) com probabilidade \(1\). A função de distribuição \(F\) de \(X\) é definida por

Suponha que exista uma função integrável não negativa \(f\) em \(\mathbb {R}\) tal que

e

Chamamos \(f\) de função densidade de probabilidade, ou f.d.p., de \(X\). Assim,

Além disso, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, nos pontos em que \(f\) é contínua,

Se existe uma função integrável não negativa \(f\) em \(\mathbb {R}^3\) tal que

e

então chamamos \(f\) de função densidade de probabilidade conjunta, ou f.d.p. conjunta, de \(X\), \(Y\) e \(Z\). Em geral, se \({a}_{1}\lt {b}_{1}\), \({a}_{2}\lt {b}_{2}\) e \({a}_{3}\lt {b}_{3}\), temos

Os símbolos \(\le \) e \(\lt \) podem ser trocados em qualquer combinação. Assim, uma integral tripla pode representar uma probabilidade quando \(f\) é uma densidade.

Valor Esperado

O valor esperado \(EX\) de uma variável aleatória \(X\) pode ser interpretado como o valor médio de \(X\), ponderado pelas probabilidades. Se \(X\) é discreta, então

onde a soma percorre todos os valores \(x\) do espaço amostral. Por exemplo, se \(X\) representa o resultado de um dado de seis faces, então

é o valor esperado de \(X\), isto é, a média dos números de \(1\) a \(6\).

Se \(X\) é uma variável aleatória contínua real com densidade \(f\) e \(\int _{-\infty }^{\infty }|x|f(x)\, dx\lt \infty \), então

Por exemplo, se \(X\) tem distribuição uniforme em \((0,1)\), sua densidade é

e portanto

Para duas variáveis aleatórias contínuas reais \(X\) e \(Y\), conjuntamente distribuídas com densidade \(f(x,y)\) e com primeiros momentos finitos, os valores esperados de \(X\) e \(Y\) são

respectivamente.

Exercícios

B

1. Consolidaçãomédio Calcule \(\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^2}\, dx\) usando os resultados deste capítulo.

   Solução

   Faça \(u=\sqrt2x\) e use \(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-u^2/2}\, du=\sqrt{2\pi }\); a integral pedida vale \(\sqrt\pi \).

2. Consolidaçãomédio Para \(\sigma \gt 0\) e \(\mu \in \mathbb {R}\), calcule \(\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\frac1{\sigma \sqrt{2\pi }} e^{-(x-\mu )^2/2\sigma ^2}\, dx\).

   Solução

   Com \(u=(x-\mu )/\sigma \), \(dx=\sigma \, du\); a integral torna-se a integral da densidade normal padrão, portanto vale \(1\).

3. Justificaçãomédio Mostre que \(EY=\frac{n}{n+1}\) no Exemplo 5.28.

   Solução

   Pela densidade conjunta do exemplo, \(EY=n(n-1)\int _0^1y\int _0^y(y-x)^{n-2}\, dx\, dy=n\int _0^1y^n\, dy=n/(n+1)\).

C

1. Aprofundamentodifícil Escreva um programa, na linguagem de sua escolha, que verifique numericamente o Exemplo 5.28 para \(n=3\), usando um grande número de amostras.

   Solução

   Uma implementação em Python é:

   import random
   N = 1000000
   amostras = [[random.random() for _ in range(3)] for _ in range(N)]
   minimo = sum(min(s) for s in amostras)/N
   maximo = sum(max(s) for s in amostras)/N

   As médias devem ficar próximas de \(1/4\) e \(3/4\), respectivamente.

2. Aprofundamentodifícil Repita o exercício anterior para \(n=4\).

   Solução

   No programa anterior, troque range(3) por range(4). As médias se aproximam de \(1/5\) e \(4/5\).

3. Aplicaçãodifícil Para variáveis aleatórias contínuas \(X,Y\) com densidade conjunta \(f(x,y)\), defina os segundos momentos \(E(X^2)\) e \(E(Y^2)\) por

   \[ E(X^2 ) ~ =~ \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty } \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty } x^2 \, f(x,y)\, dx\, dy \quad \text{e}\quad E(Y^2 ) ~ =~ \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty } \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty } y^2 \, f(x,y)\, dx\, dy ~ , \]

   e as variâncias \(\text{Var}(X)\) e \(\text{Var}(Y)\) por

   \[ \text{Var}(X) ~ =~ E(X^2 ) - (EX)^2 \quad \text{e}\quad \text{Var}(Y) ~ =~ E(Y^2 ) - (EY)^2 ~ . \]

   Calcule \(\text{Var}(X)\) e \(\text{Var}(Y)\) para \(X\) e \(Y\) do Exemplo 5.28.

   Solução

   \(X\) tem densidade marginal \(n(1-x)^{n-1}\) e \(Y\) tem densidade marginal \(ny^{n-1}\). Assim, \(E(X^2)=2/((n+1)(n+2))\) e \(E(Y^2)=n/(n+2)\). Subtraindo os quadrados das médias, \(\operatorname {Var}(X)=\operatorname {Var}(Y)=n/((n+1)^2(n+2))\).

4. Aprofundamentodifícil Prosseguindo o exercício anterior, a correlação \(\rho \) entre \(X\) e \(Y\) é definida por

   \[ \rho ~ =~ \frac{E(XY) - (EX)(EY)}{\sqrt{\text{Var}(X)\, \text{Var}(Y)}} ~ , \]

   onde \(E(XY)=\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }xy\, f(x,y)\, dx\, dy\). Calcule \(\rho \) para \(X\) e \(Y\) do Exemplo 5.28.
   (Observação: \(E(XY)-(EX)(EY)\) é a covariância de \(X\) e \(Y\).)

   Solução

   Com \(x=uy\) na integral conjunta, obtemos \(E(XY)=n(n-1)\int _0^1y^{n+1}\, dy\int _0^1u(1-u)^{n-2}\, du=1/(n+2)\). Logo, \(\operatorname {Cov}(X,Y)=1/((n+1)^2(n+2))\) e, usando as variâncias do exercício anterior, \(\rho =1/n\).

5. Aprofundamentodifícil No Exemplo 5.27, a resposta mudaria se o intervalo \((0,100)\) fosse usado no lugar de \((0,1)\)? Explique.

   Solução

   Não. Escreva \(a=100A\), \(b=100B\), \(c=100C\), com \(A,B,C\) independentes e uniformes em \((0,1)\). A condição \(b^2-4ac\ge 0\) equivale a \(B^2-4AC\ge 0\), pois o discriminante é multiplicado por \(100^2\gt 0\). A probabilidade continua sendo \((5+3\ln 4)/36\).