Para uma configuração \(\omega \) e um vértice \(x\), seja \(n_{\mathsf T}(x,\omega )\) o número de pontos de trifurcação na componente de \(x\). Defina

Assim, quando a componente de \(x\) contém um número finito e positivo de trifurcações, o vértice \(x\) distribui uma unidade de massa igualmente entre elas. Em qualquer outro caso, não envia massa.

A regra é equivariante. Portanto, pelo princípio de transporte de massa,

A massa enviada por \(o\) é sempre no máximo \(1\).

Considere agora o evento \(A\) em que \(o\) é uma trifurcação e sua componente contém um número finito e positivo de trifurcações. Como uma trifurcação pertence a uma componente infinita, essa componente contém infinitos vértices. Em cada configuração de \(A\), todos esses vértices enviam para \(o\) a mesma massa positiva

Logo,

O transporte de massa força então \(\mathbb P(A)=0\).

O mesmo vale para qualquer vértice. Como \(V(G)\) é enumerável, quase certamente não existe nenhuma trifurcação pertencente a uma componente com um número finito e positivo de trifurcações. Isso prova a afirmação.

Como \(G\) é transitivo, ele é regular; escreva \(d=\operatorname {deg}_G\). Se \(S\) é finito, conexo e não vazio, então

Além disso, cada vértice da fronteira exterior de \(S\) é extremo de alguma aresta de \(\partial _eS\). Pela definição de \(\Phi (G)\),

Portanto

Aplicamos essa desigualdade às componentes de \(\Xi \). Defina

Cada vértice envia, ao todo, \(\operatorname {deg}_\Xi (x)\) unidades de massa. Por outro lado, a massa recebida por \(x\) é a média dos graus na sua componente. O princípio de transporte de massa fornece

Suponha agora que \(G\) seja não amenável, de modo que \(\Phi (G)\gt 0\). Como \(x\) tem apenas \(d\) arestas incidentes e a probabilidade de cada uma delas pertencer a \(\Xi _\varepsilon \) tende a \(1\), para \(\varepsilon \) suficientemente pequeno temos

Se todas as componentes de \(\Xi _\varepsilon \) fossem finitas quase certamente, a primeira parte do lema daria a desigualdade oposta. Logo existe, com probabilidade positiva, uma componente infinita.

Como \(G\) é infinito, conexo, transitivo e localmente finito, seu grau comum \(d\) é finito e satisfaz \(d\ge 2\). A cota do Teorema 3.1 fornece

Para a desigualdade oposta, aplique a segunda parte do Lema 11.3 à família em que \(\Xi _\varepsilon \) tem lei de percolação de Bernoulli com parâmetro \(1-\varepsilon \). Para toda aresta \(e\),

Logo, para algum \(\varepsilon \gt 0\), a percolação com parâmetro \(1-\varepsilon \) possui uma componente infinita com probabilidade positiva. Pela lei \(0\)–\(1\), essa probabilidade é \(1\), e portanto

Considere o acoplamento monótono do Capítulo 2, construído a partir de variáveis i.i.d. \(U(e)\) uniformes em \([0,1]\):

Como \(N\) é quase certamente constante, se o evento \(\{ N=1\} \) tivesse probabilidade positiva, ele teria probabilidade um. Suponha, portanto, por contradição, que em \(p_c\) exista quase certamente uma única componente infinita, denotada por \(\mathcal C_\infty \).

Para cada vértice \(x\), seja

O conjunto \(c(x)\) é não vazio e finito: ele está contido numa esfera finita em torno de \(x\). Além disso, a construção é equivariante pelos automorfismos de \(G\).

Para \(0\lt \varepsilon \lt p_c\), definimos uma configuração auxiliar \(H_\varepsilon \subseteq E(G)\). Uma aresta \(e=\{ x,y\} \) pertence a \(H_\varepsilon \) quando

1. \(d_G(x,\mathcal C_\infty )\lt \varepsilon ^{-1}\) e \(d_G(y,\mathcal C_\infty )\lt \varepsilon ^{-1}\);

2. todos os vértices de \(c(x)\cup c(y)\) pertencem a uma mesma componente de \(\omega _{p_c-\varepsilon }\).

É importante notar que \(H_\varepsilon \) é apenas uma configuração auxiliar no grafo \(G\); não estamos afirmando que ela seja subgrafo de \(\omega _{p_c}\). Como todas as operações usadas na definição são equivariantes, \(H_\varepsilon \) é uma percolação invariante.

Fixe agora uma aresta \(e=\{ x,y\} \). O conjunto finito \(c(x)\cup c(y)\) está contido na componente conexa \(\mathcal C_\infty \). Escolha uma coleção finita de caminhos de \(\omega _{p_c}\) que conecte todos os seus vértices. Quase certamente, nenhuma das arestas dessa coleção finita tem rótulo exatamente \(p_c\). Consequentemente, existe \(\eta \gt 0\) tal que todos esses caminhos já pertencem a \(\omega _{p_c-\varepsilon }\) quando \(0\lt \varepsilon \lt \eta \). Para \(\varepsilon \) ainda menor, a condição de distância também é satisfeita. Logo

e, portanto,

Pelo Lema 11.3, para algum \(\varepsilon \gt 0\) a configuração \(H_\varepsilon \) possui, com probabilidade positiva, uma componente infinita. Numa realização desse evento, escolha um caminho simples infinito

formado por arestas de \(H_\varepsilon \) e ponha

Afirmamos primeiro que \(A\) é infinito. Se fosse finito, todos os \(x_j\) estariam na união das bolas de raio \(\lceil \varepsilon ^{-1}\rceil \) centradas nos vértices de \(A\). Essa união é finita, pois \(G\) é localmente finito, o que contradiz o fato de \((x_j)\) ser um caminho simples infinito.

Por outro lado, para cada \(j\), a aresta \(\{ x_j,x_{j+1}\} \) pertence a \(H_\varepsilon \). Pela segunda condição da definição, os conjuntos \(c(x_j)\) e \(c(x_{j+1})\) estão numa mesma componente de \(\omega _{p_c-\varepsilon }\). Encadeando essas conexões, vemos que todo o conjunto \(A\) está contido em uma única componente de \(\omega _{p_c-\varepsilon }\). Como \(A\) é infinito, essa componente é infinita.

Obtivemos percolação com probabilidade positiva no parâmetro \(p_c-\varepsilon \lt p_c\), contradizendo a definição de \(p_c\). Portanto \(\P _{p_c}(N=1)=0\).

Para vértices adjacentes \(x\) e \(y\), seja \(R(x,y,\Xi )\) o indicador de que existe um caminho simples infinito aberto que começa com a aresta orientada \(x\to y\). Defina

A regra é invariante.

Se a aresta \(\{ x,y\} \) pertence a uma componente infinita, ao menos uma das duas orientações pode ser prolongada até um raio infinito. Da definição segue que

Somando em \(y\), tomando esperança e usando o princípio de transporte de massa, obtemos

Resta interpretar a soma do lado direito. Se \(x\) pertence a uma componente infinita, existe ao menos um vizinho \(y\) com \(R(x,y,\Xi )=1\). Se \(R(y,x,\Xi )=0\), essa única direção já contribui \(2\). Se \(R(y,x,\Xi )=1\), o raio que começa por \(y\to x\) deve sair de \(x\) por um segundo vizinho, que fornece mais uma contribuição. Em ambos os casos,

Se, além disso, \(x\) é uma trifurcação, há pelo menos três vizinhos que levam a três componentes infinitas distintas de \(\mathcal C_\Xi (x)\setminus \{ x\} \); cada um contribui pelo menos \(1\). Portanto

Consequentemente,

Dividindo pela probabilidade de \(x\) pertencer a uma componente infinita, obtemos a desigualdade desejada.

Pelo Lema 11.6,

Escolha \(q\lt 1\) suficientemente próximo de \(1\) para que \(qm\gt 2\).

Introduza, independentemente de \(\Xi \), variáveis de Bernoulli de parâmetro \(q\) nas arestas e denote por \(\Xi ^{(q)}\) o subgrafo obtido mantendo apenas as arestas aprovadas. Como \(\Xi \) é uma floresta, \(\Xi ^{(q)}\) também é uma floresta. Além disso,

Portanto o lado direito é

Suponha, por contradição, que todas as componentes de \(\Xi ^{(q)}\) sejam finitas quase certamente. Defina

O último indicador é constante em cada componente de \(\Xi ^{(q)}\), pois essa componente está contida numa componente de \(\Xi \). Pelo transporte de massa, a esperança da massa enviada é igual à da massa recebida. Como cada componente finita de \(\Xi ^{(q)}\) é uma árvore finita \(T\),

Segue que

contradizendo a desigualdade anterior. Logo \(\Xi ^{(q)}\) possui uma componente infinita com probabilidade positiva.

A inclusão em \(\omega _p\) faz parte da definição. Se \(\mathcal F_p\) contivesse um ciclo, tome nesse ciclo a aresta de maior rótulo. O restante do ciclo seria um caminho alternativo entre suas extremidades composto apenas por arestas de rótulo menor, contradizendo a Definição 11.2. Logo não há ciclos.

Finalmente, a construção depende apenas da configuração e dos rótulos por uma regra preservada por automorfismos. Como os rótulos são i.i.d., a lei de \(\mathcal F_p\) é invariante.

Basta mostrar que as extremidades de toda aresta aberta de \(\omega _{p_c}\) permanecem conectadas em \(\mathcal F_{p_c}\).

Fixe uma aresta aberta \(e=\{ x,y\} \) e ponha \(u=U(e)\). Como usamos o acoplamento \(\omega _p=\{ f:U(f)\le p\} \), temos \(e\in \omega _u\). Suponha inicialmente que a componente

seja finita. Considere, no grafo finito \(K\), uma árvore geradora mínima \(T\), usando os rótulos \(U(f)\) como pesos.

Afirmamos que toda aresta de \(T\) pertence a \(\mathcal F_{p_c}\). De fato, seja \(f\in T\) e suponha que \(f\notin \mathcal F_{p_c}\). Pela definição da FGM, existe um caminho alternativo \(\gamma \) entre as extremidades de \(f\), contido em \(\omega _{p_c}\setminus \{ f\} \), tal que

Como \(f\in T\subseteq K\subseteq \omega _u\), temos \(U(f)\le u\). Logo todas as arestas de \(\gamma \) pertencem a \(\omega _u\). Como uma extremidade de \(\gamma \) pertence a \(K\), o caminho inteiro está contido na mesma componente \(K\).

Remova agora \(f\) de \(T\). A árvore se divide em duas componentes. O caminho \(\gamma \), por ligar as extremidades de \(f\), deve conter alguma aresta \(g\) que atravessa esse corte. Substituindo \(f\) por essa aresta, obtemos outra árvore geradora de \(K\):

Mas \(U(g)\lt U(f)\), de modo que o peso total de \(T'\) é estritamente menor que o de \(T\). Isso contradiz a minimalidade de \(T\).

Portanto \(T\subseteq \mathcal F_{p_c}\). Como \(T\) conecta \(x\) a \(y\), concluímos: se \(x\) e \(y\) não estiverem conectados em \(\mathcal F_{p_c}\), então \(\mathcal C_u(x)\) necessariamente é infinita.

Resta excluir essa possibilidade. Para cada vértice fixo \(x\),

De fato, se a componente já é infinita em algum \(u\lt p_c\), basta escolher um racional \(q\) com \(u\lt q\lt p_c\) e usar a monotonicidade do acoplamento. Cada evento do lado direito tem probabilidade zero pela definição de \(p_c\). A união é contável, portanto também tem probabilidade zero.

Além disso, como o conjunto de arestas é enumerável e os rótulos são contínuos, quase certamente nenhuma aresta satisfaz \(U(e)=p_c\). Assim, toda aresta de \(\omega _{p_c}\) possui rótulo \(u\lt p_c\). Aplicando o argumento anterior a todas as arestas, concluímos que suas extremidades estão conectadas em \(\mathcal F_{p_c}\). Como \(\mathcal F_{p_c}\subseteq \omega _{p_c}\) e \(\mathcal F_{p_c}\) não contém ciclos, cada uma de suas componentes é uma árvore que contém exatamente os vértices da componente correspondente de \(\omega _{p_c}\).

Finalmente, suponha que \(x\) seja uma trifurcação de \(\omega _{p_c}\). A remoção de \(x\) deixa pelo menos três componentes infinitas na componente crítica. A árvore \(\mathcal F_{p_c}\) abrange todos os seus vértices. Como \(x\) tem grau finito, cada uma dessas três componentes infinitas contém ao menos uma componente infinita da árvore depois da remoção de \(x\). Portanto \(x\) também é uma trifurcação na árvore de \(\mathcal F_{p_c}\).

Como \(N\) é quase certamente constante, basta excluir o caso em que \(N=\infty \) quase certamente. Suponha, por contradição, que esse caso ocorra. Pelo Lema 6.3,

Considere a floresta geradora mínima livre \(\mathcal F_{p_c}\). Pelo Lema 11.9, toda trifurcação da configuração crítica continua sendo uma trifurcação em uma árvore infinita de \(\mathcal F_{p_c}\). Logo, com probabilidade positiva, \(x\) é um ponto de trifurcação da floresta \(\mathcal F_{p_c}\). Como \(\mathcal F_{p_c}\) é uma floresta invariante, o Lema 11.7 fornece um número \(q\lt 1\) tal que o afinamento independente de \(\mathcal F_{p_c}\) com parâmetro \(q\) possui uma componente infinita com probabilidade positiva.

O mesmo afinamento pode ser aplicado a toda a configuração \(\omega _{p_c}\): introduzimos variáveis i.i.d. \(V(e)\), uniformes em \([0,1]\) e independentes dos rótulos \(U(e)\), e mantemos uma aresta de \(\omega _{p_c}\) quando \(V(e)\le q\). Como

o afinamento de \(\omega _{p_c}\) contém o afinamento de \(\mathcal F_{p_c}\). Portanto também possui uma componente infinita com probabilidade positiva.

Porém, para cada aresta \(e\), ela pertence ao afinamento de \(\omega _{p_c}\) se e somente se

Os pares \((U(e),V(e))\) são independentes de aresta para aresta. Logo a configuração afinada tem exatamente a lei de uma percolação de Bernoulli com parâmetro

Isso contradiz a definição do parâmetro crítico. Portanto \(\P _{p_c}(N=\infty )=0\).