Particione \(A\) de acordo com os \(2^{|F|}\) possíveis estados das arestas de \(F\). Existe \(\xi \in \{ 0,1\} ^{F}\) tal que

Dentro de um cilindro, a medida produto se decompõe entre as coordenadas de \(F\) e as coordenadas fora de \(F\). Substituir o padrão \(\xi \) pelo padrão \(\eta \) multiplica o peso das coordenadas de \(F\) por um fator estritamente positivo, pois \(0\lt p\lt 1\). Portanto, a imagem desse subconjunto pela modificação \(\omega \mapsto \omega _{\eta ,F}\) tem probabilidade positiva.

O número \(N\) é invariante por automorfismos de \(G\). Como \(G\) é transitivo e infinito, a órbita de cada vértice é todo \(V(G)\), portanto é infinita. A Proposição 2.5 aplica-se e mostra que a percolação de Bernoulli é ergódica sob \(\operatorname {Aut}(G)\). Consequentemente, existe

tal que \(N=k_p\) quase certamente.

Resta excluir \(2\le k_p\lt \infty \). Fixe \(o\in V(G)\) e denote por \(N_r\) o número de componentes infinitas que intersectam a bola \(B(o,r)\). Como as bolas exaurem o grafo,

e, portanto,

Se \(2\le k_p\lt \infty \), então \(N\ge 2\) quase certamente e, pela continuidade crescente da probabilidade,

Em particular, existe \(r\) tal que

A bola \(B(o,r)\) é conexa. Considere o conjunto finito \(F_r\) das arestas com ambas as extremidades em \(B(o,r)\). Se declararmos todas as arestas de \(F_r\) abertas, todas as componentes infinitas que intersectam \(B(o,r)\) passam a pertencer a uma única componente aberta. Assim, em qualquer configuração com \(N_r\ge 2\), essa modificação reduz o número total de componentes infinitas em pelo menos uma unidade.

Pelo lema de energia finita, a configuração modificada ocorre com probabilidade positiva. Teríamos, portanto,

em contradição com \(N=k_p\) quase certamente. Logo, nenhum valor finito maior que \(1\) é possível.

Fixe \(o\in V(G)\). Como o número de componentes infinitas que intersectam \(B(o,r)\) cresce para \(N=\infty \), existe \(r\) tal que o evento

tem probabilidade positiva.

Escreva \(K=B(o,r)\). Em cada configuração de \(A\), cada uma dessas componentes possui, após a remoção de \(K\), uma componente infinita ligada a \(K\) por alguma aresta aberta da fronteira. Como \(K\) é finito e localmente finito, sua fronteira de arestas é finita e há apenas finitas triplas possíveis dessas arestas. O evento \(A\) é a união dos eventos em que alguma dessas triplas liga \(K\) a três componentes infinitas distintas fora de \(K\). Como \(\P _p(A)\gt 0\), ao menos uma dessas triplas determina um subevento de probabilidade positiva. Assim, existem três arestas fixas

e um subevento \(A'\subset A\), de probabilidade positiva, tal que:

• as três arestas \(e_1,e_2,e_3\) estão abertas;

• para cada \(i\), o vértice \(b_i\) pertence a uma componente aberta infinita do subgrafo induzido por \(V(G)\setminus K\);

• essas três componentes infinitas são distintas.

Escolha uma árvore geradora do subgrafo induzido por \(K\). Acrescente a ela as três arestas \(e_i\) e considere a subárvore mínima \(Q\) que contém \(b_1,b_2,b_3\). Essa árvore possui um único vértice de ramificação \(v\in K\) no qual se encontram os três caminhos que levam a \(b_1,b_2,b_3\).

Agora modificamos apenas as arestas que têm pelo menos uma extremidade em \(K\): declaramos abertas as arestas de \(Q\) e fechadas todas as demais. Fora desse conjunto finito, a configuração permanece inalterada. Após essa modificação, os três braços de \(Q\) ligam \(v\) às três componentes infinitas distintas localizadas fora de \(K\), e nenhuma outra aresta incidente a \(K\) pode reconectá-las. Consequentemente, a remoção de \(v\) deixa pelo menos três componentes abertas infinitas.

Pelo lema de energia finita, o evento obtido por essa modificação tem probabilidade positiva. Portanto,

para algum \(v\in K\). Pela transitividade e invariância da medida de Bernoulli, a probabilidade de ser ponto de trifurcação é a mesma em todos os vértices, e assim

Fixe uma componente aberta infinita \(C\) que contenha pelo menos um ponto de trifurcação de \(S\), e escreva

Usaremos o seguinte fato elementar de teoria de grafos.

Fato combinatório. Se \(H\) é um grafo conexo e localmente finito e \(T\) é um conjunto finito não vazio de vértices tal que, para cada \(t\in T\), o grafo \(H\setminus \{ t\} \) possui pelo menos três componentes infinitas, então \(H\setminus T\) possui pelo menos \(|T|+2\) componentes infinitas.

A justificativa usa a árvore bloco–corte de \(H\). Cada \(t\in T\) é um ponto de articulação. Os vértices dessa árvore são os pontos de articulação e os blocos maximais de \(H\), e ligamos um ponto de articulação a cada bloco que o contém. Para um grafo conexo, essa estrutura é uma árvore.

Remova dessa árvore os vértices correspondentes aos elementos de \(T\). Como \(T\) é finito e \(H\) é localmente finito, cada elemento de \(T\) tem grau finito na árvore bloco–corte; logo surgem apenas finitas componentes. Contraia cada uma delas a um único vértice e mantenha os vértices de \(T\). Obtemos uma árvore finita \(Q\).

A interpretação dos vértices contraídos merece um pequeno cuidado. Uma componente da árvore bloco–corte após a remoção de \(T\) determina uma parte de \(H\setminus T\), mas essa parte não precisa ser conexa: um bloco que contém vários vértices de \(T\) pode se separar quando eles são removidos. O que usaremos é apenas o seguinte. Partes associadas a vértices contraídos distintos de \(Q\) não podem ser ligadas em \(H\setminus T\) sem atravessar algum vértice de \(T\). Chamaremos um vértice contraído de \(Q\) infinito quando sua parte associada contém pelo menos uma componente infinita de \(H\setminus T\).

Fixe \(t\in T\). As pelo menos três componentes infinitas de \(H\setminus \{ t\} \) determinam três direções distintas na árvore bloco–corte depois da remoção de \(t\). Ao remover também os demais vértices de \(T\), essas direções não podem se fundir. Além disso, remover um conjunto finito de vértices de uma componente infinita e localmente finita deixa ao menos uma componente infinita: há apenas finitas componentes novas, pois somente finitas arestas são incidentes ao conjunto removido. Assim, em cada uma das três direções resta uma componente infinita de \(H\setminus T\). Portanto, em \(Q\), de cada vértice \(t\in T\) partem pelo menos três ramos que contêm vértices contraídos infinitos.

Agora tome a menor subárvore \(Q_\infty \) de \(Q\) que contém todos os vértices contraídos infinitos. Equivalentemente, remova sucessivamente de \(Q\) as folhas que não são infinitas. Nenhum dos três ramos infinitos que partem de um vértice de \(T\) é eliminado; assim, todo vértice de \(T\) tem grau pelo menos \(3\) em \(Q_\infty \). Todas as folhas de \(Q_\infty \) são vértices contraídos infinitos.

Seja \(L\) o número de folhas de \(Q_\infty \) e seja \(m\) o número de vértices de grau pelo menos \(3\). Para uma árvore finita,

As folhas contribuem \(-1\) cada uma, os vértices de grau \(2\) contribuem \(0\) e cada um dos \(m\) vértices de grau pelo menos \(3\) contribui ao menos \(1\). Portanto,

e assim

Como todo vértice de \(T\) tem grau pelo menos \(3\), temos \(m\ge |T|\). Logo \(Q_\infty \) possui pelo menos \(|T|+2\) folhas infinitas. Por definição, a parte associada a cada uma dessas folhas contém uma componente infinita de \(H\setminus T\); e folhas distintas fornecem componentes distintas, pois suas partes não podem ser conectadas em \(H\setminus T\) sem atravessar \(T\). Portanto \(H\setminus T\) possui pelo menos \(|T|+2\) componentes infinitas, provando o fato combinatório.

Aplicando o fato a \(H=C\) e \(T=T_C\), concluímos que

possui pelo menos \(|T_C|+2\) componentes infinitas.

Cada uma dessas componentes contém um vértice distinto de \(C\cap \partial S\). De fato, se a componente já começa fora de \(S\), ela contém um vizinho externo de algum ponto de \(T_C\subset S\). Caso contrário, ela contém um vértice de \(S\) e, por ser infinita, algum caminho aberto nela precisa sair de \(S\); o primeiro vértice após a saída pertence a \(\partial S\). Componentes distintas são disjuntas e, portanto, fornecem vértices de fronteira distintos. Logo,

Somando sobre as diferentes componentes abertas infinitas \(C\) que contêm pontos de trifurcação em \(S\), os conjuntos \(C\cap \partial S\) são disjuntos. Consequentemente,

como queríamos.

Os casos \(p=0\) e \(p=1\) são imediatos. Suponha \(p\in (0,1)\).

Pelo Lema 6.2,

Resta excluir \(N=\infty \).

Suponha, por absurdo, que \(N=\infty \) quase certamente. Pelo Lema 6.3,

Por transitividade, essa probabilidade independe de \(o\).

Se \(S\subset V(G)\) é finito, denote por

o número de pontos de trifurcação em \(S\). Pela invariância,

Por outro lado, o Lema 6.4 fornece, configuração por configuração,

Tomando expectativas,

Dividindo por \(|S|\),

Como \(G\) é amenável, escolha uma sequência de Følner \((S_n)_n\). Fazendo \(n\to \infty \),

contradizendo \(t_p\gt 0\).

Portanto \(N\neq \infty \) quase certamente. A lei \(0,1,\infty \) conclui que \(N\in \{ 0,1\} \) quase certamente.