Capítulo 3

Transição de fase em Z^d

3 Transição de fase em \(\mathbb {Z}^d\)

3.1 Cota inferior por caminhos autoevitantes

Neste capítulo provaremos que

\[ 0\lt p_c(\mathbb Z^d)\lt 1 \qquad \text{para todo }d\ge 2. \]

As duas desigualdades vêm de ideias distintas: uma contagem de caminhos autoevitantes fornece a cota inferior, enquanto o argumento de Peierls, formulado em termos de conjuntos de corte, fornece a cota superior.

Teorema 3.1

Seja \( G \) um grafo infinito e conexo com graus uniformemente limitados por \( D \). Então,

\[ p_{c}(G) \geq \frac{1}{D-1}. \]

Demonstração ▼

Um caminho autoevitante em um grafo \(G\), com início em um vértice \(x\), é um caminho \(\gamma \) que satisfaz

\[ \gamma _{0}=x \quad \text{e} \quad \gamma _{i}\neq \gamma _{j} \text{ para todo } i\neq j, \]

ou seja, cada vértice é visitado no máximo uma vez. Denotemos por \(S_{n}\) o conjunto de todos os caminhos autoevitantes de comprimento \(n\) iniciados em \(x\) e defina

\[ \mu _{n}=|S_{n}|. \]

Introduzimos, então, o número de crescimento

\[ \mu =\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}^{1/n}. \]

Seja \(D\) o grau máximo de \(G\). Após o primeiro passo, que pode ser realizado de \(D\) formas, um caminho autoevitante não pode retroceder imediatamente, restando no máximo \(D-1\) escolhas em cada etapa subsequente. Assim, temos

\[ \mu _{n}\leq D(D-1)^{n-1}. \]

Tomando raízes \(n\)-ésimas,

\[ \mu _n^{1/n} \le D^{1/n}(D-1)^{(n-1)/n} \longrightarrow D-1, \]

e portanto

\[ \mu \leq D-1. \]

Basta, portanto, mostrar que \( p_{c}(G) \geq \mu ^{-1} \). Um caminho \(\gamma \in S_n\) usa \(n\) arestas distintas, pois é autoevitante; logo

\[ \P _{p}[\gamma \text{ é aberto}]=p^{n}. \]

Consequentemente, a probabilidade de que exista pelo menos um caminho \(\gamma \in S_{n}\) totalmente aberto na componente conexa de \(x\) é limitada por

\[ \P _{p}\Bigl[\exists \, \gamma \in S_{n}:\gamma \text{ é aberto}\Bigr] \leq \sum _{\gamma \in S_{n}}\P _{p}[\gamma \text{ é aberto}] =\mu _{n}\, p^{n}. \]

Seja \(E_n\) o evento de que existe um caminho aberto autoevitante de comprimento \(n\) iniciado em \(x\). Cada \(E_n\) é um evento crescente em relação à configuração, enquanto

\[ E_{n+1}\subseteq E_n. \]

Assim, \((E_n)\) é uma sequência decrescente de eventos crescentes. Como \(G\) é localmente finito, uma componente infinita de \(x\) contém um caminho autoevitante infinito; reciprocamente, se existem caminhos autoevitantes abertos de comprimentos arbitrariamente grandes, o lema de König aplicado à árvore dos caminhos simples finitos fornece um caminho aberto infinito. Portanto

\[ \{ x\leftrightarrow \infty \} =\bigcap _{n\ge 1}E_n. \]

Pela continuidade da probabilidade para sequências decrescentes,

\[ \P _{p}[x\leftrightarrow \infty ] =\lim _{n\to \infty }\P _p(E_n) \leq \limsup _{n\to \infty }\mu _n p^n. \]

Se \(p=0\), o lado direito é obviamente zero. Se \(0\lt p\lt \mu ^{-1}\), escolha \(\rho \) tal que

\[ \mu p\lt \rho \lt 1. \]

Pela definição de limite superior, para \(n\) suficientemente grande,

\[ \mu _n^{1/n}p\le \rho , \]

e, portanto,

\[ \mu _n p^n\le \rho ^n\longrightarrow 0. \]

Logo

\[ \theta _{G,x}(p)=0 \quad \text{para todo } p\lt \mu ^{-1}, \]

e assim

\[ p_{c}(G)\geq \mu ^{-1}\ge \frac1{D-1}. \]

Exemplo 3.1

Seja \( \mathbb {T}_{d} \) a árvore \( d \)-regular. A contagem de caminhos autoevitantes fornece a estimativa \( p_{c}(\mathbb {T}_{d}) \geq \frac{1}{d-1} \). Mais adiante veremos que, de fato, \( p_{c}(\mathbb {T}_{d}) = \frac{1}{d-1} \).

3.2 Cota superior via conjuntos de corte

Fixe um grafo infinito, conexo e localmente finito \(G\) e um vértice \(x\in V(G)\). Um conjunto finito de arestas \(\Pi \) é um conjunto de corte de \(x\) para o infinito se a componente de \(x\) em \(G\setminus \Pi \) é finita. Dizemos que \(\Pi \) é minimal quando nenhum subconjunto próprio de \(\Pi \) ainda é um conjunto de corte.

Exercício 3.1

Mostre que todo conjunto de corte finito contém um conjunto de corte minimal.

Proposição 3.2

Para uma configuração de percolação em \(G\),

\[ x\leftrightarrow \infty \]

se e somente se todo conjunto de corte minimal finito de \(x\) contém pelo menos uma aresta aberta.

Demonstração ▼

Suponha primeiro que \(\mathcal C(x)\) seja finita. Como \(G\) é localmente finito, sua fronteira de arestas

\[ \partial _e\mathcal C(x) =\{ \{ y,z\} \in E:y\in \mathcal C(x),\ z\notin \mathcal C(x)\} \]

é finita. Ela é um conjunto de corte de \(x\), e todas as suas arestas são fechadas. Escolhendo dentro dela um subconjunto minimal que ainda seja um corte, obtemos um conjunto de corte minimal inteiramente fechado.

Reciprocamente, se \(\mathcal C(x)\) é infinita, a local finitude e o lema de König fornecem um caminho aberto autoevitante infinito iniciado em \(x\). Todo conjunto de corte de \(x\) deve intersectar esse caminho e, portanto, contém uma aresta aberta.

A proposição anterior fornece a forma clássica do argumento de Peierls.

Proposição 3.3

Fixe \(x\in V(G)\) e denote por \(\mathcal Q_n(x)\) o conjunto dos conjuntos de corte minimais de \(x\) com cardinalidade \(n\). Suponha que \(|\mathcal Q_n(x)|\lt \infty \) para todo \(n\ge 1\) e que existam \(n_0\) e \(M\gt 1\) tais que

\[ |\mathcal Q_n(x)|\le M^n \qquad \text{para todo }n\gt n_0. \]

Então

\[ p_c(G)\le \frac{M-1}{M}. \]

Demonstração ▼

Fixe \(p\gt (M-1)/M\), de modo que \(M(1-p)\lt 1\). Se \(\Pi \in \mathcal Q_n(x)\), a probabilidade de todas as arestas de \(\Pi \) estarem fechadas é \((1-p)^n\). Logo, para \(N\gt n_0\),

\[ \P _p\! \left(\exists n\gt N,\ \exists \Pi \in \mathcal Q_n(x): \Pi \text{ está inteiramente fechada}\right) \le \sum _{n\gt N}[M(1-p)]^n. \]

Escolha \(N\) de modo que o lado direito seja no máximo \(1/2\) e denote o evento acima por \(A\).

Como \(\mathcal Q_n(x)\) é finito para \(1\le n\le N\), o conjunto

\[ F=\bigcup _{1\le n\le N}\ \bigcup _{\Pi \in \mathcal Q_n(x)}\Pi \]

é finito. Seja \(B\) o evento de que todas as arestas de \(F\) estão abertas. Então \(\P _p(B)\gt 0\). Os eventos \(B\) e \(A^c\) são crescentes; pela desigualdade de Harris,

\[ \P _p(B\cap A^c) \ge \P _p(B)\P _p(A^c) \ge \frac12\P _p(B)\gt 0. \]

Em \(B\cap A^c\) não existe conjunto de corte minimal inteiramente fechado: os cortes de tamanho no máximo \(N\) encontram \(F\), cujas arestas estão abertas, e os cortes maiores são excluídos por \(A^c\). Pela Proposição 3.2, \(x\leftrightarrow \infty \). Assim \(\theta _{G,x}(p)\gt 0\), e o Corolário 2.10 implica \(p_c(G)\le p\). Fazendo \(p\downarrow (M-1)/M\), obtemos a conclusão.

3.3 Dualidade em \(\mathbb Z^2\) e a cota superior

Como \(\mathbb Z^2\) é um subgrafo de \(\mathbb Z^d\) para todo \(d\ge 2\),

\[ p_c(\mathbb Z^d)\le p_c(\mathbb Z^2). \]

Assim, para obter uma cota superior uniforme para \(p_c(\mathbb Z^d)\), basta trabalhar no plano.

Considere a imersão usual de \(\mathbb Z^2\). Seu grafo dual é a rede deslocada

\[ \widehat{\mathbb Z^2} =\left(\tfrac 12,\tfrac 12\right)+\mathbb Z^2. \]

A cada aresta primal \(e\) corresponde a única aresta dual \(\widehat e\) que a cruza. Dada uma configuração \(\omega \), definimos

\[ \widehat\omega (\widehat e)=1-\omega (e). \]

Consequentemente, se \(\omega \) tem lei de percolação de Bernoulli com parâmetro \(p\), então \(\widehat\omega \) tem lei de percolação de Bernoulli com parâmetro \(1-p\) no grafo dual. Esta correspondência de configurações, por si só, não determina os parâmetros críticos; a identidade exata \(p_c(\mathbb Z^2)=1/2\) será provada mais adiante, no capítulo de percolação planar.

Figura 3.1 A rede primal Z^2 e a rede dual deslocada Z^2+(tfrac 12,tfrac 12). A aresta dual widehat e cruza exatamente a aresta primal correspondente e. — Figura 3.1 A rede primal \(\mathbb Z^2\) e a rede dual deslocada \(\mathbb Z^2+(\tfrac 12,\tfrac 12)\). A aresta dual \(\widehat e\) cruza exatamente a aresta primal correspondente \(e\).

Definição 3.1

Um polígono autoevitante no grafo dual é um caminho fechado finito

\[ \gamma =(\gamma _0,\ldots ,\gamma _n), \qquad \gamma _0=\gamma _n, \]

que não repete nenhum outro vértice. Dizemos que \(\gamma \) envolve a origem quando \(0\) pertence à componente limitada de \(\mathbb R^2\setminus \gamma \).

Proposição 3.4

Um conjunto finito de arestas \(\Pi \) é um conjunto de corte minimal de \(0\) para o infinito em \(\mathbb Z^2\) se e somente se

\[ \widehat\Pi =\{ \widehat e:e\in \Pi \} \]

é o conjunto de arestas de um polígono autoevitante em \(\widehat{\mathbb Z^2}\) que envolve a origem.

Demonstração ▼

Suponha primeiro que \(\Pi \) seja um conjunto de corte minimal e seja \(A\) a componente finita de \(0\) em \(\mathbb Z^2\setminus \Pi \). Seguindo, no grafo dual, a fronteira que separa \(A\) da componente infinita de \(\mathbb Z^2\setminus A\), obtemos um circuito dual contido em \(\widehat\Pi \) que envolve a origem. Eliminando eventuais laços do circuito, obtemos um polígono autoevitante \(\gamma \subseteq \widehat\Pi \) que ainda envolve a origem. As arestas primais duais a \(\gamma \) formam, pelo teorema da curva de Jordan, um conjunto de corte de \(0\) contido em \(\Pi \). Pela minimalidade de \(\Pi \), esse subconjunto deve ser o próprio \(\Pi \). Logo \(\widehat\Pi =\gamma \).

Reciprocamente, suponha que \(\widehat\Pi \) seja um polígono autoevitante que envolve a origem. Pelo teorema da curva de Jordan, qualquer caminho primal de \(0\) ao infinito deve cruzar o polígono dual e, portanto, atravessar uma aresta de \(\Pi \). Assim \(\Pi \) é um conjunto de corte. Escolha um subconjunto minimal \(\Pi '\subseteq \Pi \) que ainda seja um corte. Pela primeira parte da prova, \(\widehat{\Pi '}\) é um polígono autoevitante que envolve a origem e está contido no polígono \(\widehat\Pi \). Um ciclo simples não contém propriamente outro ciclo simples como subconjunto de suas arestas; portanto \(\widehat{\Pi '}=\widehat\Pi \) e \(\Pi '=\Pi \).

Figura 3.2 Um conjunto de corte minimal de 0 e o polígono autoevitante dual correspondente. As arestas do corte primal são contínuas e fechadas; a curva dual aberta é tracejada. A origem está marcada dentro da componente finita. — Figura 3.2 Um conjunto de corte minimal de \(0\) e o polígono autoevitante dual correspondente. As arestas do corte primal são contínuas e fechadas; a curva dual aberta é tracejada. A origem está marcada dentro da componente finita.

Corolário 3.5

Para todo \(d\ge 2\),

\[ \frac1{2d-1} \le p_c(\mathbb Z^d) \le \frac23. \]

Demonstração ▼

A cota inferior segue do primeiro teorema do capítulo, pois \(\mathbb Z^d\) tem grau \(2d\).

Para a cota superior, fixamos a origem em \(\mathbb Z^2\) e denotamos por \(\mathcal Q_n(0)\) os cortes minimais de tamanho \(n\). Pela Proposição 3.4, cada elemento de \(\mathcal Q_n(0)\) corresponde a um polígono autoevitante dual de comprimento \(n\) que envolve a origem.

Se \(w\) e \(h\) são, respectivamente, as amplitudes horizontal e vertical da caixa retangular mínima que contém tal polígono, então o fato de o polígono envolver a origem implica que essa caixa também contém a origem. Além disso, para um caminho fechado na rede quadrada,

\[ 2w+2h\le n. \]

Em particular, todos os vértices do polígono estão a distância \(\ell ^\infty \) no máximo \(n/2+1\) da origem. Há, portanto, no máximo \((2n+3)^2\) escolhas possíveis para um vértice inicial do polígono.

A partir de um vértice fixo da rede dual, há no máximo

\[ 4\cdot 3^{n-1} \]

caminhos autoevitantes de comprimento \(n\). Assim

\[ |\mathcal Q_n(0)| \le 4(2n+3)^2\, 3^{n-1}. \]

Tomando raízes \(n\)-ésimas,

\[ |\mathcal Q_n(0)|^{1/n} \le 3\left(\frac{4(2n+3)^2}{3}\right)^{1/n} \longrightarrow 3. \]

Portanto, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(n_0(\varepsilon )\) tal que

\[ |\mathcal Q_n(0)|\le (3+\varepsilon )^n \qquad \text{para }n\gt n_0(\varepsilon ). \]

A Proposição 3.3, com \(M=3+\varepsilon \), fornece

\[ p_c(\mathbb Z^2) \le \frac{2+\varepsilon }{3+\varepsilon }. \]

Fazendo \(\varepsilon \downarrow 0\), obtemos \(p_c(\mathbb Z^2)\le 2/3\). Finalmente,

\[ p_c(\mathbb Z^d)\le p_c(\mathbb Z^2) \]

para \(d\ge 2\).

3.4 Quando \(p_c\lt 1\)? Contagem de cortes minimais

Leitura avançada.

O argumento anterior provou \(p_c(\mathbb Z^d)\lt 1\) explorando a geometria planar de \(\mathbb Z^2\). Em grafos gerais, a pergunta natural é outra: que propriedade combinatória dos cortes minimais caracteriza a desigualdade \(p_c\lt 1\)? O teorema de Easo–Severo–Tassion responde a essa pergunta por meio do crescimento do número de cortes minimais.

Em um grafo não transitivo, a existência de percolação a partir de algum vértice não fornece, em geral, uma cota positiva uniforme sobre todos os vértices. Para formular o teorema de contagem de cortes minimais, definimos

\[ \theta _G^*(p):=\inf _{v\in V(G)}\theta _{G,v}(p) \]

e o parâmetro crítico uniforme

\[ p_c^*(G):=\inf \{ p\in [0,1]:\theta _G^*(p)\gt 0\} . \]

Sempre \(p_c(G)\le p_c^*(G)\). Se \(G\) é quase-transitivo, então

\[ p_c^*(G)=p_c(G). \]

De fato, para \(p\gt p_c(G)\) o Corolário 2.10 mostra que \(\theta _{G,v}(p)\gt 0\) para todo vértice \(v\); como essa probabilidade é constante em cada órbita e há apenas finitas órbitas, seu ínfimo é estritamente positivo.

Para \(v\in V(G)\) e \(n\ge 1\), mantenha a notação \(\mathcal Q_n(v)\) para a família de cortes minimais de \(v\) com cardinalidade \(n\) e defina

\[ q_n:=\sup _{v\in V(G)}|\mathcal Q_n(v)|, \qquad \kappa (G):=\sup _{n\ge 1}q_n^{1/n}. \]

Permitimos \(q_n=\infty \). Por exemplo, em \(\mathbb Z\) há infinitos cortes minimais de tamanho \(2\) para uma raiz fixa.

Para um conjunto \(S\subset V(G)\), definimos sua fronteira exposta por

\[ \partial _\infty S := \bigl\{ \{ a,b\} \in E: a\in S,\ b\notin S,\ b\text{ pertence a uma componente infinita de }G\setminus S\bigr\} . \]

Lema 3.6

Se \(S\) é finito e conexo e \(u\in S\), então \(\partial _\infty S\) é um conjunto de corte minimal de \(u\) para o infinito.

Demonstração ▼

Todo caminho infinito simples iniciado em \(u\) visita \(S\) apenas um número finito de vezes. Na última saída de \(S\), ele atravessa uma aresta de \(\partial _\infty S\). Portanto \(\partial _\infty S\) é um conjunto de corte.

Se \(e=\{ a,b\} \in \partial _\infty S\), com \(a\in S\), existe um caminho em \(S\) de \(u\) até \(a\) e existe um caminho infinito iniciado em \(b\) que permanece em \(G\setminus S\). Concatenando esses caminhos com \(e\), obtemos um caminho infinito a partir de \(u\) que não usa nenhuma outra aresta de \(\partial _\infty S\). Logo, a remoção de qualquer aresta de \(\partial _\infty S\) destrói a propriedade de corte, provando a minimalidade.

Proposição 3.7

Seja \(\Pi \) um conjunto de corte minimal de \(u\) e seja \(A\) a componente de \(u\) em \(G\setminus \Pi \). Denote por

\[ B=\{ a\in A:\exists b\notin A\text{ com }\{ a,b\} \in \Pi \} \]

o conjunto dos extremos internos das arestas de \(\Pi \). Se

\[ B\subset S\subset A, \]

então

\[ \partial _\infty S=\Pi . \]

Demonstração ▼

Como \(\Pi \) é um conjunto de corte, \(A\) é finito e conexo. Toda aresta de \(\partial _eA\) pertence a \(\Pi \), pois \(A\) é uma componente de \(G\setminus \Pi \). Pelo Lema 3.6, \(\partial _\infty A\) é um conjunto de corte minimal de \(u\), e

\[ \partial _\infty A\subseteq \partial _eA\subseteq \Pi . \]

A minimalidade de \(\Pi \) força

\[ \partial _\infty A=\partial _eA=\Pi . \]

Se \(e=\{ a,b\} \in \Pi \), com \(a\in A\), então \(a\in B\subset S\) e \(b\) possui um caminho infinito em \(G\setminus A\subset G\setminus S\). Logo \(e\in \partial _\infty S\), e portanto \(\Pi \subseteq \partial _\infty S\).

Reciprocamente, seja \(e=\{ a,b\} \in \partial _\infty S\), com \(a\in S\subset A\). Se \(e\notin \Pi \), então \(b\in A\), pois \(A\) é uma componente de \(G\setminus \Pi \). Um caminho infinito iniciado em \(b\) e contido em \(G\setminus S\) teria de sair do conjunto finito \(A\) por alguma aresta de \(\partial _eA=\Pi \). O extremo dessa aresta que pertence a \(A\) está em \(B\subset S\), uma contradição. Assim \(e\in \Pi \), concluindo a igualdade.

Proposição 3.8

Seja \(G=(V,E)\) um grafo finito e conexo, e seja \(\P \) uma medida de percolação positivamente associada em \(G\). Seja \(B\subseteq V\), e suponha que existam \(\theta ,p\in (0,1]\) tais que

\[ \P (u\leftrightarrow B)\ge \theta \qquad \text{para todo }u\in V, \]

\[ \P (e\text{ está aberta})\ge p \qquad \text{para toda }e\in E. \]

Então, para todo \(o\in V\),

\[ \P \left(\bigcap _{b\in B}\{ o\leftrightarrow b\} \right) \ge c^{|B|}, \qquad c:=\left(\frac{p\theta }{2}\right)^{3/\theta }. \]

Demonstração ▼

Escreva \(n=|B|\) e \(a=p\theta /2\). Chamaremos uma sequência de vértices

\[ x_1,\dots ,x_k \]

de encadeada quando \(x_1=o\) e, para cada \(i\ge 2\),

\begin{equation} \label{eq:encadeada} a \le \P \bigl(x_i\leftrightarrow \{ x_1,\dots ,x_{i-1}\} \bigr) \le \frac{\theta }{2}. \tag{3.1} \end{equation}

Como \(V\) é finito, existe uma sequência encadeada maximal. Fixe uma delas e escreva

\[ X=\{ x_1,\dots ,x_k\} . \]

A primeira estimativa é

\begin{equation} \label{eq:percposi-cobre} \P (u\leftrightarrow X)\ge \frac{\theta }{2} \qquad \text{para todo }u\in V. \tag{3.2} \end{equation}

Para prová-la, seja

\[ W=\left\{ u\in V:\P (u\leftrightarrow X)\ge \frac{\theta }{2}\right\} . \]

Temos \(X\subseteq W\). Se \(W\ne V\), a conexidade de \(G\) fornece uma aresta \(\{ u,v\} \) com \(u\in W\) e \(v\notin W\). Como os eventos

\[ \{ \{ u,v\} \text{ está aberta}\} \quad \text{e}\quad \{ u\leftrightarrow X\} \]

são crescentes, a associação positiva implica

\[ \P (v\leftrightarrow X) \ge \P \bigl(\{ u,v\} \text{ aberta},\ u\leftrightarrow X\bigr) \ge p\, \frac{\theta }{2}=a. \]

Por outro lado, \(v\notin W\) dá \(\P (v\leftrightarrow X)\lt \theta /2\). Portanto \(v\) poderia ser acrescentado ao fim da sequência encadeada, contrariando sua maximalidade. Isso prova (3.2).

Para limitar o tamanho de \(X\), ponha \(X_i=\{ x_1,\dots ,x_i\} \) e seja \(N_i\) o número de componentes abertas da configuração que intersectam simultaneamente \(X_i\) e \(B\). Para \(i\ge 2\),

\[ N_i-N_{i-1} = \mathbf1_{\{ x_i\leftrightarrow B,\ x_i\nleftrightarrow X_{i-1}\} } \ge \mathbf1_{\{ x_i\leftrightarrow B\} } - \mathbf1_{\{ x_i\leftrightarrow X_{i-1}\} }. \]

Logo

\begin{align*} \mathbf{E}(N_i-N_{i-1}) & \ge \P (x_i\leftrightarrow B) - \P (x_i\leftrightarrow X_{i-1})\\ & \ge \theta -\frac\theta 2 =\frac\theta 2. \end{align*}

Como \(\mathbf{E}N_1=\P (o\leftrightarrow B)\ge \theta \), somando de \(i=2\) até \(k\) obtemos

\[ \mathbf{E}N_k =\mathbf{E}N_1+\sum _{i=2}^k\mathbf{E}(N_i-N_{i-1}) \ge \theta +(k-1)\frac\theta 2. \]

Como \(N_k\le n\),

\[ n\ge \mathbf{E}N_k \ge \theta +(k-1)\frac\theta 2 \ge k\frac\theta 2, \]

e portanto

\begin{equation} \label{eq:percposi-tamanho} k\le \frac{2n}{\theta }. \tag{3.3} \end{equation}

Considere

\[ \mathcal A =\bigcap _{i=2}^k\{ x_i\leftrightarrow X_{i-1}\} . \]

Se \(\mathcal A\) ocorre, todos os vértices de \(X\) pertencem à componente de \(o\). Pela associação positiva,

\[ \P (\mathcal A) \ge \prod _{i=2}^k\P (x_i\leftrightarrow X_{i-1}) \ge a^{k-1} \ge a^{2n/\theta }. \]

Considere também

\[ \mathcal B =\bigcap _{b\in B}\{ b\leftrightarrow X\} . \]

Por (3.2) e associação positiva,

\[ \P (\mathcal B) \ge \left(\frac{\theta }{2}\right)^n. \]

Os eventos \(\mathcal A\) e \(\mathcal B\) são crescentes. Portanto, pela associação positiva,

\[ \P (\mathcal A\cap \mathcal B) \ge \P (\mathcal A)\P (\mathcal B) \ge a^{2n/\theta }\left(\frac{\theta }{2}\right)^n. \]

Se os dois eventos ocorrem, todo vértice de \(B\) está conectado a \(o\). Assim,

\[ \P \left(\bigcap _{b\in B}\{ o\leftrightarrow b\} \right) \ge a^{2n/\theta }\left(\frac{\theta }{2}\right)^n. \]

Como \(a=p\theta /2\le \theta /2\le 1\) e \(1/\theta \ge 1\),

\[ \frac{\theta }{2}\ge a^{1/\theta }, \]

e portanto

\[ a^{2n/\theta }\left(\frac{\theta }{2}\right)^n \ge a^{3n/\theta }=c^n. \]

Teorema 3.9 (Easo–Severo–Tassion)

Para todo grafo infinito, conexo e localmente finito \(G\),

\[ p_c^*(G)\lt 1 \quad \Longleftrightarrow \quad \kappa (G)\lt \infty . \]

Este é o teorema de contagem de cortes minimais de Easo, Severo e Tassion; veja (Easo et al. 2025). Para grafos quase-transitivos, como \(p_c^*=p_c\), recuperamos a formulação

\[ p_c(G)\lt 1\quad \Longleftrightarrow \quad \kappa (G)\lt \infty . \]

Demonstração ▼

Suponha primeiro que \(\kappa (G)\lt \infty \). Escolha \(K\lt \infty \) tal que

\[ |\mathcal Q_n(v)|\le K^n \qquad \text{para todo }v\in V(G),\ n\ge 1. \]

Se \(\mathcal C(v)\) é finita, o Lema 3.6 mostra que \(\partial _\infty \mathcal C(v)\) é um conjunto de corte minimal de \(v\), inteiramente formado por arestas fechadas. Portanto

\[ \P _p(|\mathcal C(v)|\lt \infty ) \le \sum _{n\ge 1}|\mathcal Q_n(v)|(1-p)^n \le \sum _{n\ge 1}[K(1-p)]^n. \]

A cota é uniforme em \(v\) e tende a zero quando \(p\uparrow 1\). Para algum \(p\lt 1\) ela é menor que \(1/2\), de modo que

\[ \inf _v\P _p(v\leftrightarrow \infty )\ge \frac12. \]

Logo \(p_c^*(G)\lt 1\).

Reciprocamente, suponha \(p_c^*(G)\lt 1\). Existem \(p\lt 1\) e \(\theta \gt 0\) tais que

\[ \P _p(v\leftrightarrow \infty )\ge \theta \qquad \text{para todo }v\in V(G). \]

Fixe \(o\in V(G)\) e \(\Pi \in \mathcal Q_n(o)\). Seja \(A\) a componente de \(o\) em \(G\setminus \Pi \) e \(B\) o conjunto dos extremos internos de \(\Pi \). Para \(u\in A\), todo caminho aberto infinito iniciado em \(u\) deve encontrar \(B\) antes de atravessar \(\Pi \); logo

\[ \P _p\bigl(u\stackrel{A}{\leftrightarrow }B\bigr)\ge \theta . \]

Aplicando a Proposição 3.8 à percolação de Bernoulli restrita ao subgrafo induzido por \(A\), obtemos, com

\[ c=\left(\frac{p\theta }{2}\right)^{3/\theta }, \]

que o evento \(\mathcal E\) de todos os vértices de \(B\) estarem ligados a \(o\) dentro de \(A\) satisfaz

\[ \P _p(\mathcal E)\ge c^{|B|}\ge c^n. \]

Se \(\mathcal F\) é o evento de todas as arestas de \(\Pi \) estarem fechadas, então \(\mathcal E\) depende apenas das arestas com ambos os extremos em \(A\), enquanto \(\mathcal F\) depende das arestas de \(\Pi \). Pela igualdade \(\Pi =\partial _eA\) estabelecida na prova da Proposição 3.7, esses conjuntos de arestas são disjuntos. Portanto

\[ \P _p(\mathcal E\cap \mathcal F) =\P _p(\mathcal E)\P _p(\mathcal F) \ge [c(1-p)]^n. \]

Em \(\mathcal E\cap \mathcal F\), a componente \(C\) de \(o\) satisfaz \(B\subset C\subset A\). Pela Proposição 3.7,

\[ \partial _\infty C=\Pi . \]

Os eventos \(\{ \partial _\infty C=\Pi \} \), \(\Pi \in \mathcal Q_n(o)\), são disjuntos. Assim,

\[ 1 \ge \sum _{\Pi \in \mathcal Q_n(o)}\P _p(\partial _\infty C=\Pi ) \ge |\mathcal Q_n(o)|[c(1-p)]^n. \]

Logo

\[ |\mathcal Q_n(o)|\le K^n, \qquad K=\frac1{c(1-p)}, \]

uniformemente em \(o\) e \(n\). Portanto \(\kappa (G)\lt \infty \).

Para grafos quase-transitivos, a identidade \(p_c^*=p_c\) transforma o teorema num critério direto para \(p_c\lt 1\). O argumento elementar de \(\mathbb Z^d\) aparece, assim, como um caso geométrico concreto de um fenômeno muito mais geral.

Exercício 3.2

Seja \(\Pi \) um conjunto de corte minimal de \(0\) para o infinito em \(\mathbb Z^2\). Mostre que, se

\[ |\Pi |\le n, \]

então \(\Pi \) contém uma aresta do subgrafo induzido pela caixa

\[ B_\infty (0,n) = \{ z\in \mathbb Z^2:\| z\| _\infty \le n\} . \]

Equivalentemente, se \(\Pi \) não contém nenhuma aresta dessa caixa, então

\[ |\Pi |\gt n. \]

A relação exata entre os parâmetros críticos de uma rede planar periódica e de sua rede dual exige ferramentas que só aparecem mais adiante. Ela será retomada, na forma de um exercício guiado, ao final do capítulo de percolação planar.