Capítulo 8

O argumento de Duminil-Copin e Tassion

A prova de Duminil-Copin e Tassion para a nitidez da transição de fase na percolação de Bernoulli se baseia em um critério de fronteira. Para cada conjunto finito, o argumento considera uma quantidade que mede o fluxo esperado de conexões através de sua fronteira. A condição de que esse fluxo seja menor que um caracteriza o regime subcrítico.

Ao longo deste capítulo, \(G=(V,E)\) é um grafo infinito, conexo, localmente finito e transitivo, e \(o\in V\) é um vértice fixo. Consideramos percolação de elos de Bernoulli com parâmetro \(p\).

8.1 O critério de fronteira

Se \(S\subset V\) e \(x,y\in S\), escrevemos

\[ x\stackrel{S}{\leftrightarrow }y \]

quando existe um caminho aberto de \(x\) a \(y\) cujos vértices pertencem a \(S\). Para conjuntos \(A,B\subset S\), a notação \(A\stackrel{S}{\leftrightarrow }B\) tem o significado análogo.

Para \(S\subset V\), definimos a fronteira orientada de arestas por

\[ \partial _e S = \{ (x,y):x\in S,\ y\notin S,\ x\sim y\} . \]

Cada aresta que cruza a fronteira de \(S\) aparece exatamente uma vez nessa orientação.

Se \(S\) é finito e contém \(o\), definimos

\[ \varphi _p(S) = p\sum _{(x,y)\in \partial _e S} \P _p\bigl[o\stackrel{S}{\leftrightarrow }x\bigr]. \]

Assim, \(\varphi _p(S)\) é o número esperado de arestas abertas que saem de \(S\) e cuja extremidade interna está conectada a \(o\) por um caminho aberto inteiramente contido em \(S\).

Para \(r\ge 0\), seja \(B_r=B(o,r)\) e defina a susceptibilidade truncada por

\[ \chi (r,p) = \sum _{x\in B_r} \P _p\bigl[o\leftrightarrow x\bigr]. \]

A truncação se aplica apenas à soma sobre os vértices de \(B_r\); a conexão continua sendo tomada no grafo inteiro.

Exercício 8.1
Mostre que, para todo \(p\in [0,1]\),
\[ \lim _{r\to \infty }\chi (r,p) = \chi (p) = \mathbf{E}_p\bigl[|\mathcal C(o)|\bigr]. \]

A decomposição de um caminho em sua primeira saída de um conjunto finito permite relacionar as conexões internas às conexões que alcançam o exterior. O lema seguinte expressa essa relação.

Lema 8.1
Sejam \(z\in S\subset V\), com \(S\) finito, e sejam \(A,B\subset V\) tais que \(z\in A\), \(B\subset A\) e \(B\cap S=\varnothing \). Então
\[ \P _p\bigl[z\stackrel{A}{\leftrightarrow }B\bigr] \le \sum _{(x,y)\in \partial _e S} p\, \P _p\bigl[z\stackrel{S}{\leftrightarrow }x\bigr] \P _p\bigl[y\stackrel{A}{\leftrightarrow }B\bigr]. \]

Demonstração ▼

Suponha que \(z\stackrel{A}{\leftrightarrow }B\). Escolha um caminho aberto simples

\[ z=x_0,x_1,\ldots ,x_m\in B \]

contido em \(A\), e seja \(k\) o primeiro índice tal que \(x_{k+1}\notin S\). Então

\[ z\stackrel{S}{\leftrightarrow }x_k, \qquad \{ x_k,x_{k+1}\} \text{ está aberta}, \qquad x_{k+1}\stackrel{A}{\leftrightarrow }B. \]

Os três eventos podem ser testemunhados por conjuntos disjuntos de arestas, usando respectivamente o trecho inicial do caminho, a aresta de saída e o trecho final. Portanto,

\[ \{ z\stackrel{A}{\leftrightarrow }B\} \subseteq \bigcup _{(x,y)\in \partial _eS} \Bigl( \{ z\stackrel{S}{\leftrightarrow }x\} \circ \{ \{ x,y\} \text{ aberta}\} \circ \{ y\stackrel{A}{\leftrightarrow }B\} \Bigr). \]

A desigualdade de BK e a independência do estado da aresta \(\{ x,y\} \) dão o resultado.

Lema 8.2
Suponha que exista um conjunto finito \(S\ni o\) tal que \(\varphi _p(S)\lt 1\). Então
\[ \chi (p) \le \frac{|S|}{1-\varphi _p(S)} \lt \infty . \]

Demonstração ▼

Para \(u\in V(G)\), defina

\[ H_r(u) = \sum _{v\in B_r} \P _p[u\leftrightarrow v], \qquad H_r^*=\sup _{u\in V(G)}H_r(u). \]

Como \(B_r\) é finito, \(H_r^*\le |B_r|\lt \infty \), e

\[ \chi (r,p)=H_r(o)\le H_r^*. \]

Fixe \(u\in V(G)\) e escolha um automorfismo \(\psi _u\) tal que \(\psi _u(o)=u\). Para \(v\in B_r\setminus \psi _uS\), aplique o Lema 8.1 com raiz \(u\), conjunto \(\psi _uS\), \(A=V(G)\) e \(B=\{ v\} \). Obtemos

\[ \P _p[u\leftrightarrow v] \le \sum _{(x,y)\in \partial _e(\psi _uS)} p\, \P _p\bigl[u\stackrel{\psi _uS}{\leftrightarrow }x\bigr] \P _p[y\leftrightarrow v]. \]

Somando em \(v\in B_r\setminus \psi _uS\) e usando a transitividade,

\begin{align*} \sum _{v\in B_r\setminus \psi _uS} \P _p[u\leftrightarrow v] & \le \sum _{(x,y)\in \partial _e(\psi _uS)} p\, \P _p\bigl[u\stackrel{\psi _uS}{\leftrightarrow }x\bigr] H_r(y)\\ & \le \varphi _p(S)H_r^*. \end{align*}

A contribuição dos vértices de \(B_r\cap \psi _uS\) é no máximo \(|S|\). Portanto

\[ H_r(u) \le |S|+\varphi _p(S)H_r^*. \]

Tomando o supremo em \(u\),

\[ H_r^* \le |S|+\varphi _p(S)H_r^*, \]

e, como \(\varphi _p(S)\lt 1\),

\[ H_r^* \le \frac{|S|}{1-\varphi _p(S)}. \]

Assim

\[ \chi (r,p) \le \frac{|S|}{1-\varphi _p(S)}. \]

Fazendo \(r\to \infty \) e usando o Exercício 8.1, obtemos

\[ \chi (p)\le \frac{|S|}{1-\varphi _p(S)}. \]

8.2 Um parâmetro crítico alternativo

Defina

\[ q_c = \sup \Bigl\{ p\in [0,1]: \text{ existe }S\ni o\text{ finito com }\varphi _p(S)\lt 1 \Bigr\} . \]

Para cada \(S\) finito, \(p\mapsto \varphi _p(S)\) é contínua e não decrescente. Consequentemente, o conjunto

\[ \mathcal Q = \Bigl\{ p:\exists S\ni o\text{ finito com }\varphi _p(S)\lt 1\Bigr\} \]

é um intervalo inicial de \([0,1]\). Em particular, todo \(p\lt q_c\) pertence a \(\mathcal Q\).

Se \(p\lt q_c\), o Lema 8.2 implica \(\chi (p)\lt \infty \). Pelo Lema 7.1, existe \(c(p)\gt 0\) tal que

\[ \P _p\bigl[o\leftrightarrow S_n(o)\bigr] \le C(p)e^{-c(p)n}. \]

Em particular, \(\theta _G(p)=0\). Logo

\[ q_c\le p_c. \]

A desigualdade oposta será obtida por uma estimativa diferencial para probabilidades de conexão em volume finito.

8.3 A desigualdade diferencial

Para \(r\ge 1\), escreva

\[ A_r = \{ o\stackrel{B_r}{\leftrightarrow }S_r(o)\} . \]

O evento \(A_r\) depende apenas das arestas com as duas extremidades em \(B_r\).

Lema 8.3
Para todo \(r\ge 1\) e todo \(p\in (0,1)\),
\[ \frac{d}{dp}\P _p(A_r) \ge \frac{1}{p(1-p)} \inf _{o\in S\subset B_r}\varphi _p(S) \bigl(1-\P _p(A_r)\bigr). \]

Demonstração ▼

Seja \(E_r\) o conjunto das arestas com ambas as extremidades em \(B_r\). Para uma configuração em \(E_r\), defina

\[ \mathcal S = \{ x\in B_r:x\stackrel{B_r}{\not\leftrightarrow }S_r(o)\} . \]

No evento \(A_r^c\), temos \(o\in \mathcal S\).

Como \(A_r\) é crescente e depende de um número finito de arestas, a fórmula de Russo dá

\[ \frac{d}{dp}\P _p(A_r) = \sum _{e\in E_r}\P _p(e\text{ é pivotal}). \]

Para um evento crescente, condicionado a \(e\) ser pivotal, \(A_r^c\) ocorre exatamente quando \(e\) está fechada. Como a pivotalidade não depende do estado da própria aresta,

\[ \frac{d}{dp}\P _p(A_r) = \frac{1}{1-p} \sum _{e\in E_r} \P _p(e\text{ é pivotal},A_r^c). \]

Fixe agora \(S\subset B_r\) com \(o\in S\). No evento \(\{ \mathcal S=S\} \), uma aresta \((x,y)\in \partial _eS\) é pivotal para \(A_r\) precisamente quando

\[ o\stackrel{S}{\leftrightarrow }x. \]

Com efeito, todo \(y\in B_r\setminus S\) está conectado a \(S_r(o)\), enquanto toda aresta da fronteira de \(S\) está fechada sempre que sua extremidade interna pertence à componente de \(o\) em \(S\). Além disso, o evento \(\{ \mathcal S=S\} \) é determinado pelas arestas que não têm as duas extremidades em \(S\), ao passo que \(\{ o\stackrel{S}{\leftrightarrow }x\} \) depende apenas das arestas internas a \(S\). Esses eventos são, portanto, independentes.

Decompondo segundo os possíveis valores de \(\mathcal S\), obtemos

\begin{align*} \frac{d}{dp}\P _p(A_r) & = \frac{1}{1-p} \sum _{\substack {o\in S\subset B_r}} \sum _{(x,y)\in \partial _eS} \P _p\bigl[o\stackrel{S}{\leftrightarrow }x,\ \mathcal S=S\bigr] \\ & = \frac{1}{1-p} \sum _{\substack {o\in S\subset B_r}} \P _p(\mathcal S=S) \sum _{(x,y)\in \partial _eS} \P _p\bigl[o\stackrel{S}{\leftrightarrow }x\bigr] \\ & = \frac{1}{p(1-p)} \sum _{\substack {o\in S\subset B_r}} \varphi _p(S)\, \P _p(\mathcal S=S) \\ & \ge \frac{1}{p(1-p)} \inf _{o\in S\subset B_r}\varphi _p(S) \P _p(A_r^c), \end{align*}

que é a desigualdade desejada.

Teorema 8.4 (Duminil–Copin–Tassion)
Para a percolação de Bernoulli em \(G\), vale \(q_c=p_c\). Além disso:

  1. para todo \(p\lt p_c\), existem \(c(p)\gt 0\) e \(C(p)\lt \infty \) tais que

    \[ \P _p\bigl[o\leftrightarrow S_n(o)\bigr] \le C(p)e^{-c(p)n}; \]

  2. para todo \(p\gt p_c\),

    \[ \theta _G(p) \ge \frac{p-p_c}{p(1-p_c)}. \]

Demonstração ▼

Já vimos que \(q_c\le p_c\). Fixe agora \(p\gt q_c\). Para todo \(t\gt q_c\) e todo conjunto finito \(S\ni o\), temos \(\varphi _t(S)\ge 1\). Portanto, pelo Lema 8.3,

\[ \frac{d}{dt}\P _t(A_r) \ge \frac{1}{t(1-t)}\bigl(1-\P _t(A_r)\bigr). \]

Escrevendo \(f_r(t)=1-\P _t(A_r)\),

\[ \frac{d}{dt}\log f_r(t) \le -\frac{1}{t(1-t)}. \]

Integre entre \(q\) e \(p\), onde \(q_c\lt q\lt p\):

\[ \log \frac{f_r(p)}{f_r(q)} \le -\int _q^p\frac{dt}{t(1-t)} = -\log \frac{p(1-q)}{q(1-p)}. \]

Como \(f_r(q)\le 1\),

\[ f_r(p) \le \frac{q(1-p)}{p(1-q)}. \]

Fazendo \(q\downarrow q_c\),

\[ \P _p(A_r) \ge \frac{p-q_c}{p(1-q_c)}. \]

Finalmente, fazendo \(r\to \infty \),

\[ \theta _G(p) \ge \frac{p-q_c}{p(1-q_c)} \gt 0. \]

Logo \(p_c\le q_c\), e portanto \(p_c=q_c\). A mesma desigualdade, agora com \(q_c=p_c\), dá o segundo item.

Para o primeiro item, se \(p\lt p_c=q_c\), então \(p\in \mathcal Q\), de modo que existe \(S\ni o\) finito com \(\varphi _p(S)\lt 1\). O Lema 8.2 fornece \(\chi (p)\lt \infty \), e o Lema 7.1 fornece o decaimento exponencial.

8.4 A susceptibilidade no ponto crítico

O critério de fronteira também permite provar a divergência da susceptibilidade no ponto crítico.

Proposição 8.5
Temos
\[ \chi (p_c)=\infty . \]
Consequentemente,
\[ p\lt p_c \quad \Longleftrightarrow \quad \chi (p)\lt \infty . \]

Demonstração ▼

Como \(q_c=p_c\), nenhum conjunto finito \(S\ni o\) satisfaz \(\varphi _{p_c}(S)\lt 1\). De fato, se \(p_c\lt 1\) e tal conjunto existisse, a continuidade de \(p\mapsto \varphi _p(S)\) daria a mesma desigualdade para algum \(p\gt p_c\), contradizendo a definição de \(q_c\). Se \(p_c=1\), considere a componente \(K\) de \(o\) no subgrafo induzido por \(S\). Como \(K\) é finita e \(G\) é infinito e conexo, existe uma aresta \((x,y)\) com \(x\in K\) e \(y\notin K\). Em \(p=1\), temos \(o\stackrel{S}{\leftrightarrow }x\), e portanto \(\varphi _1(S)\ge 1\).

Logo, para todo \(r\),

\[ \varphi _{p_c}(B_r)\ge 1. \]

Se \(D\) é o grau de \(G\), então

\begin{align*} \infty & = \sum _{r\ge 0}1 \le \sum _{r\ge 0}\varphi _{p_c}(B_r) \\ & = p_c\sum _{r\ge 0} \sum _{(x,y)\in \partial _eB_r} \P _{p_c}\bigl[o\stackrel{B_r}{\leftrightarrow }x\bigr] \\ & \le D\sum _{x\in V} \P _{p_c}(o\leftrightarrow x) = D\, \chi (p_c). \end{align*}

Na última desigualdade usamos que, se \((x,y)\in \partial _eB_r\), então \(d(o,x)=r\), que cada \(x\) participa de no máximo \(D\) arestas de saída e que

\[ \P _{p_c}\bigl[o\stackrel{B_r}{\leftrightarrow }x\bigr] \le \P _{p_c}(o\leftrightarrow x). \]

Portanto \(\chi (p_c)=\infty \).

A equivalência final segue do teorema anterior e do fato de que \(\chi (p)=\infty \) para \(p\gt p_c\).