Capítulo 2

Percolação

Seja $G=(V,E)$ um grafo infinito, conexo e localmente finito. Como as bolas finitas em torno de um vértice esgotam $V$, tanto $V$ quanto $E$ são enumeráveis. Na percolação de elos de Bernoulli com parâmetro $p\in [0,1]$, cada aresta é declarada aberta com probabilidade $p$ e fechada com probabilidade $1-p$, independentemente das demais. O objeto resultante é um subgrafo aleatório de $G$, e nosso interesse principal será compreender suas propriedades de conectividade.

O modelo foi introduzido por Broadbent e Hammersley em 1957. Apesar da simplicidade da definição, ele apresenta uma transição de fase: ao variar $p$, passa-se de um regime sem componentes infinitas para outro em que componentes infinitas podem ocorrer.

2.1 O modelo de Bernoulli

O espaço de configurações é

\[ \Omega =\{ 0,1\} ^{E}. \]

Para $\omega \in \Omega $ e $e\in E$, dizemos que $e$ está aberta quando $\omega (e)=1$ e fechada quando $\omega (e)=0$.

Se $F\subset E$ é finito e $\sigma \in \{ 0,1\} ^{F}$, o cilindro determinado por $(F,\sigma )$ é

\[ C(F,\sigma )=\{ \omega \in \Omega :\omega (e)=\sigma (e)\text{ para todo }e\in F\} . \]

Denotamos por $\mathcal{F}_0$ a álgebra dos eventos cilíndricos e por

\[ \mathcal{F}=\sigma (\mathcal{F}_0) \]

a $\sigma $-álgebra produto. A medida produto $\P _p$ é caracterizada por

\[ \P _p(C(F,\sigma )) = \prod _{\substack {e\in F\\ \sigma (e)=1}}p \prod _{\substack {e\in F\\ \sigma (e)=0}}(1-p). \]

Equivalentemente, sob $\P _p$ as variáveis $(\omega (e))_{e\in E}$ são independentes e têm distribuição de Bernoulli com parâmetro $p$. A tripla $(\Omega ,\mathcal{F},\P _p)$ será nosso espaço de probabilidade.

Dada $\omega \in \Omega $, escrevemos $G_\omega $ para o subgrafo de $G$ com conjunto de vértices $V$ e conjunto de arestas abertas

\[ E(\omega )=\{ e\in E:\omega (e)=1\} . \]

Para $x\in V$, denotamos por $\mathcal{C}(x)=\mathcal{C}_\omega (x)$ a componente de $x$ em $G_\omega $. Escrevemos

\[ x\leftrightarrow y \]

quando $x$ e $y$ pertencem à mesma componente aberta. Para $A,B\subset V$, o evento $A\leftrightarrow B$ significa que existem $a\in A$ e $b\in B$ com $a\leftrightarrow b$. Finalmente,

\[ x\leftrightarrow \infty \]

denota o evento $|\mathcal{C}(x)|=\infty $.

Exercício 2.1

Mostre que, para cada $x\in V$, o evento $\{ x\leftrightarrow \infty \} $ é mensurável. Sugestão: escreva-o como uma interseção enumerável de eventos que dependem apenas de uma bola finita em torno de $x$.

2.2 Eventos caudais e a lei 0–1

A existência de uma componente infinita é um evento global: modificar um número finito de arestas não altera sua ocorrência. A linguagem adequada para formalizar essa observação é a de eventos caudais.

Se $(A_n)_{n\ge 1}$ é uma sequência de eventos, definimos sua $\sigma $-álgebra caudal por

\[ \mathcal{T} = \bigcap _{n\ge 1}\sigma (A_n,A_{n+1},\ldots ). \]

Os eventos de $\mathcal{T}$ são chamados eventos caudais.

Teorema 2.1 (Lei $0$–$1$ de Kolmogorov)

Se $A_1,A_2,\ldots $ são eventos independentes e $A$ pertence à $\sigma $-álgebra caudal associada, então

\[ \P (A)\in \{ 0,1\} . \]

Demonstração ▼

Para cada $n$, o evento $A$ pertence a $\sigma (A_{n+1},A_{n+2},\ldots )$ e, portanto, é independente de $\sigma (A_1,\ldots ,A_n)$. Como

\[ \sigma (A_1,A_2,\ldots ) = \sigma \! \left(\bigcup _{n\ge 1}\sigma (A_1,\ldots ,A_n)\right), \]

um argumento padrão de classe monótona mostra que $A$ é independente de toda a $\sigma $-álgebra $\sigma (A_1,A_2,\ldots )$. Mas $A$ pertence a essa $\sigma $-álgebra. Logo, $A$ é independente de si mesmo e

\[ \P (A)=\P (A\cap A)=\P (A)^2. \]

Portanto, $\P (A)$ é $0$ ou $1$.

No espaço de percolação, para $F\subset E$ finito, escrevemos

\[ \mathcal{F}_F=\sigma (\omega (e):e\in F) \qquad \text{e}\qquad \mathcal{T}_F=\sigma (\omega (e):e\notin F). \]

A $\sigma $-álgebra caudal das arestas é

\[ \mathcal{T}_{\mathrm{edge}} = \bigcap _{F\subset E,\, F\text{ finito}}\mathcal{T}_F. \]

Assim, um evento é caudal quando seu valor não pode ser alterado modificando apenas um número finito de arestas.

A aproximação por eventos cilíndricos será usada várias vezes neste livro.

Teorema 2.2

Seja $(\Omega ,\mathcal{F},\P )$ um espaço de probabilidade e seja $\mathcal{A}\subset \mathcal{F}$ uma álgebra que gera $\mathcal{F}$. Para todo $B\in \mathcal{F}$ e todo $\varepsilon \gt 0$, existe $A\in \mathcal{A}$ tal que

\[ \P (A\triangle B)\lt \varepsilon . \]

Demonstração ▼

Seja $\mathcal{M}$ a classe dos conjuntos $B\in \mathcal{F}$ que podem ser aproximados, em diferença simétrica, por elementos de $\mathcal{A}$ com erro arbitrariamente pequeno. Claramente $\mathcal{A}\subset \mathcal{M}$ e $\mathcal{M}$ é fechada por complementos.

Suponha agora que $B_n\uparrow B$ com $B_n\in \mathcal{M}$. Pela continuidade da medida, para todo $\varepsilon \gt 0$ existe $n$ tal que $\P (B\setminus B_n)\lt \varepsilon /2$. Escolhendo $A\in \mathcal{A}$ com $\P (A\triangle B_n)\lt \varepsilon /2$, obtemos $\P (A\triangle B)\lt \varepsilon $. Logo $B\in \mathcal{M}$. A estabilidade por interseções decrescentes segue tomando complementos. Portanto $\mathcal{M}$ é uma classe monótona que contém a álgebra $\mathcal{A}$. Pelo teorema da classe monótona,

\[ \mathcal{F}=\sigma (\mathcal{A})\subseteq \mathcal{M}, \]

e a inclusão oposta é imediata.

Considere o evento

\[ I=\{ \omega :\text{$G_\omega $ contém uma componente infinita}\} . \]

Ele é mensurável, pois, sendo $V$ enumerável,

\[ I=\bigcup _{x\in V}\{ x\leftrightarrow \infty \} . \]

Mais importante, $I$ é caudal. De fato, suponha que duas configurações $\omega $ e $\eta $ coincidam fora de um conjunto finito $F\subset E$. Se $\omega $ possui uma componente infinita $C$, remover as arestas de $F$ de $C$ produz apenas um número finito de componentes; pelo menos uma delas continua infinita. Abrir depois algumas arestas de $F$ não pode destruir essa componente. Logo, $\eta $ também possui uma componente infinita. Trocando os papéis de $\omega $ e $\eta $, obtemos a equivalência.

Teorema 2.3

Para todo grafo infinito, conexo e localmente finito $G$, defina

\[ \Theta _G(p)=\P _p(I) = \P _p(\text{existe uma componente infinita}). \]

Então

\[ \Theta _G(p)\in \{ 0,1\} \qquad \text{para todo }p\in [0,1]. \]

Demonstração ▼

Enumere $E=\{ e_1,e_2,\ldots \} $. As variáveis coordenadas $\omega (e_i)$ são independentes e, como acabamos de mostrar, $I$ pertence à $\sigma $-álgebra caudal dessas coordenadas. A conclusão segue da lei $0$–$1$ de Kolmogorov.

2.3 Acoplamento monótono e parâmetro crítico

É útil construir simultaneamente as percolações para todos os valores de $p$. Seja $(U_e)_{e\in E}$ uma família de variáveis independentes, uniformes em $[0,1]$, e defina

\[ \omega _p(e)=\mathbf{1}_{\{ U_e\le p\} }. \]

Para cada $p$, a configuração $\omega _p$ tem distribuição $\P _p$. Além disso,

\[ p\le q \quad \Longrightarrow \quad \omega _p\le \omega _q \]

coordenada a coordenada.

Um evento $A\subset \Omega $ é crescente se

\[ \omega \in A,\quad \omega \le \eta \quad \Longrightarrow \quad \eta \in A. \]

É decrescente quando seu complementar é crescente.

Lema 2.4

Se $A$ é crescente e $B$ é decrescente, então, para $p\le q$,

\[ \P _p(A)\le \P _q(A), \qquad \P _p(B)\ge \P _q(B). \]

Demonstração ▼

No acoplamento acima, $\omega _p\le \omega _q$. Assim, $\omega _p\in A$ implica $\omega _q\in A$, enquanto $\omega _q\in B$ implica $\omega _p\in B$. Tomando probabilidades, obtemos as duas desigualdades.

O evento $I$ é crescente. Portanto, $p\mapsto \Theta _G(p)$ é não decrescente. Como $\Theta _G(p)$ só assume os valores $0$ e $1$, existe um único limiar entre os dois regimes.

Definição 2.1

Definimos o parâmetro crítico de $G$ por

\[ p_c(G) = \sup \{ p:\Theta _G(p)=0\} = \inf \{ p:\Theta _G(p)=1\} . \]

Como $G$ é infinito e conexo, $\Theta _G(0)=0$ e $\Theta _G(1)=1$. Consequentemente,

\[ \Theta _G(p)=0\quad \text{se }p\lt p_c(G), \qquad \Theta _G(p)=1\quad \text{se }p\gt p_c(G). \]

Nada nessa definição determina o comportamento exatamente em $p=p_c(G)$. A percolação crítica é um dos temas centrais da teoria, e seu comportamento depende fortemente da geometria do grafo.

Exercício 2.2

Mostre diretamente que $p_c(\mathbb {Z})=1$.

2.4 Invariância e ergodicidade

Em grafos com muitas simetrias, a lei $0$–$1$ também pode ser vista como uma consequência da ergodicidade.

Se $\varphi \in \operatorname {Aut}(G)$ e $\omega \in \Omega $, definimos

\[ (\varphi \omega )(e)=\omega (\varphi ^{-1}e). \]

Para um evento $A\in \mathcal{F}$, escrevemos

\[ \varphi A=\{ \varphi \omega :\omega \in A\} . \]

Dizemos que $A$ é invariante se $\varphi A=A$ para todo $\varphi \in \operatorname {Aut}(G)$. A medida de Bernoulli $\P _p$ é invariante sob automorfismos, pois os estados das arestas são i.i.d.

Denote por $\mathcal{I}_{\operatorname {Aut}(G)}$ a $\sigma $-álgebra dos eventos invariantes. Dizemos que $\P _p$ é $\operatorname {Aut}(G)$-ergódica se

\[ A\in \mathcal{I}_{\operatorname {Aut}(G)} \quad \Longrightarrow \quad \P _p(A)\in \{ 0,1\} . \]

Proposição 2.5 (Ergodicidade da percolação)

Suponha que $G$ seja conexo e localmente finito e que toda órbita de vértices sob $\operatorname {Aut}(G)$ seja infinita. Então $\P _p$ é $\operatorname {Aut}(G)$-ergódica.

Demonstração ▼

Seja $A$ um evento invariante e fixe $\varepsilon \gt 0$. Pelo Teorema 2.2, existe um evento cilíndrico $B$, dependente apenas de um conjunto finito de arestas $F$, tal que

\[ \P _p(A\triangle B)\lt \varepsilon . \]

Se $F=\varnothing $, então $B$ é constante e a estimativa abaixo é imediata. Podemos, portanto, supor $F\neq \varnothing $. Escolha um vértice $x$ incidente a alguma aresta de $F$ e seja $K$ o conjunto finito dos extremos das arestas de $F$. Como a órbita de $x$ é infinita e $G$ é localmente finito, ela é não limitada. Logo existe $\varphi \in \operatorname {Aut}(G)$ tal que

\[ \operatorname {dist}(\varphi x,K)\gt \operatorname {diam}(K)+1. \]

Como automorfismos preservam distâncias, isso implica $\varphi F\cap F=\emptyset $. Portanto, os eventos $B$ e $\varphi B$ dependem de conjuntos disjuntos de coordenadas e são independentes.

Além disso, $A=\varphi A$ e $\P _p(\varphi B)=\P _p(B)$. Usando

\[ (C_1\cap D_1)\triangle (C_2\cap D_2) \subseteq (C_1\triangle C_2)\cup (D_1\triangle D_2), \]

obtemos

\[ \bigl|\P _p(A\cap \varphi A)-\P _p(B\cap \varphi B)\bigr| \le \P _p(A\triangle B) +\P _p(\varphi A\triangle \varphi B) \lt 2\varepsilon . \]

Por outro lado,

\begin{align*} \bigl|\P _p(B)^2-\P _p(A)^2\bigr| & = |\P _p(B)-\P _p(A)|\, \bigl(\P _p(B)+\P _p(A)\bigr)\\ & \le 2\P _p(A\triangle B) \lt 2\varepsilon . \end{align*}

Como $A=\varphi A$ e $B$ e $\varphi B$ são independentes,

\begin{align*} \bigl|\P _p(A)-\P _p(A)^2\bigr| & = \bigl|\P _p(A\cap \varphi A)-\P _p(A)^2\bigr|\\ & \le \bigl|\P _p(A\cap \varphi A)-\P _p(B\cap \varphi B)\bigr| + \bigl|\P _p(B)^2-\P _p(A)^2\bigr|\\ & \lt 4\varepsilon . \end{align*}

Como $\varepsilon $ é arbitrário, $\P _p(A)=\P _p(A)^2$.

Exercício 2.3

Mostre que o evento $I$ de existência de uma componente infinita é invariante sob $\operatorname {Aut}(G)$. Conclua que, em um grafo transitivo infinito, a Proposição 2.5 fornece outra prova do Teorema 2.3.

2.5 Desigualdade de Harris

A monotonicidade também produz correlação positiva. O resultado seguinte é a forma da desigualdade FKG de que precisaremos. No contexto de medidas produto de Bernoulli, ela é usualmente chamada de desigualdade de Harris.

Uma função $f:\Omega \to \mathbb {R}$ é crescente quando

\[ \omega \le \eta \quad \Longrightarrow \quad f(\omega )\le f(\eta ). \]

Antes da prova, registramos uma forma conveniente da aproximação por informação finita. Enumere $E=\{ e_1,e_2,\ldots \} $ e defina

\[ \mathcal{F}_n=\sigma (\omega (e_1),\ldots ,\omega (e_n)). \]

Lema 2.6 (Aproximação por informação finita)

Se $X\in L^2(\P _p)$ e

\[ X_n=\mathbf{E}_p[X\mid \mathcal{F}_n], \]

então $X_n\to X$ em $L^2$. Além disso, se $X$ é crescente, cada $X_n$ é crescente como função das primeiras $n$ coordenadas.

Demonstração ▼

Pelo Teorema 2.2, indicadores de eventos cilíndricos são densos, em $L^2$, entre indicadores de eventos mensuráveis. Por aproximação por funções simples, as variáveis que dependem de um número finito de coordenadas são densas em $L^2(\P _p)$.

Fixe $\varepsilon \gt 0$ e escolha uma variável $Y$, mensurável com respeito a $\mathcal{F}_N$ para algum $N$, tal que $\| X-Y\| _2\lt \varepsilon $. Para $n\ge N$, temos $\mathbf{E}_p[Y\mid \mathcal{F}_n]=Y$. Pela contração da esperança condicional em $L^2$,

\[ \| X_n-X\| _2 \le \| \mathbf{E}_p[X-Y\mid \mathcal{F}_n]\| _2+\| Y-X\| _2 \le 2\varepsilon . \]

Isso prova a convergência.

Se $X$ é crescente, fixar as primeiras $n$ coordenadas e fazer a média sobre as restantes preserva a ordem coordenada a coordenada. Logo, $X_n$ também é crescente.

Proposição 2.7 (Desigualdade de Harris)

Se $A$ e $B$ são eventos crescentes, então

\[ \P _p(A\cap B)\ge \P _p(A)\P _p(B). \]

Mais geralmente, se $f$ e $g$ são funções mensuráveis, limitadas e crescentes, então

\[ \mathbf{E}_p[fg]\ge \mathbf{E}_p[f]\mathbf{E}_p[g]. \]

Demonstração ▼

Começamos com o caso em que $f$ e $g$ dependem apenas de $n$ arestas. A prova é por indução em $n$.

Para $n=1$,

\[ \mathbf{E}_p[fg] =pf(1)g(1)+(1-p)f(0)g(0), \]

enquanto

\[ \mathbf{E}_p[f]=pf(1)+(1-p)f(0), \qquad \mathbf{E}_p[g]=pg(1)+(1-p)g(0). \]

Subtraindo e fatorando,

\[ \mathbf{E}_p[fg]-\mathbf{E}_p[f]\mathbf{E}_p[g] = p(1-p)\bigl(f(1)-f(0)\bigr)\bigl(g(1)-g(0)\bigr) \ge 0, \]

pois $f$ e $g$ são crescentes.

Suponha o resultado válido para $n-1$ coordenadas. Condicione nos primeiros $n-1$ estados e aplique o caso de uma coordenada à última. Se

\[ \bar f=\mathbf{E}_p[f\mid \omega (e_1),\ldots ,\omega (e_{n-1})], \qquad \bar g=\mathbf{E}_p[g\mid \omega (e_1),\ldots ,\omega (e_{n-1})], \]

então

\[ \mathbf{E}_p[fg]\ge \mathbf{E}_p[\bar f\, \bar g]. \]

As funções $\bar f$ e $\bar g$ são crescentes nas primeiras $n-1$ coordenadas. Pela hipótese de indução,

\begin{equation} \label{eq3} \mathbf{E}_p[\bar f\, \bar g] \ge \mathbf{E}_p[\bar f]\mathbf{E}_p[\bar g] = \mathbf{E}_p[f]\mathbf{E}_p[g]. \tag{2.1} \end{equation}

Isso prova o caso finito.

Para o caso geral, defina

\[ f_n=\mathbf{E}_p[f\mid \mathcal{F}_n], \qquad g_n=\mathbf{E}_p[g\mid \mathcal{F}_n]. \]

Pelo lema anterior, $f_n$ e $g_n$ são crescentes, dependem apenas de $n$ coordenadas e convergem em $L^2$ para $f$ e $g$, respectivamente. Pelo caso finito,

\[ \mathbf{E}_p[f_ng_n]\ge \mathbf{E}_p[f_n]\mathbf{E}_p[g_n]. \]

Tomando limites, obtemos a desigualdade desejada. A versão para eventos segue aplicando o resultado a $f=\mathbf{1}_A$ e $g=\mathbf{1}_B$.

Corolário 2.8

Se $A_1,\ldots ,A_k$ são eventos crescentes, então

\[ \P _p\! \left(\bigcap _{j=1}^k A_j\right) \ge \prod _{j=1}^k\P _p(A_j). \]

A mesma afirmação vale para eventos decrescentes.

Demonstração ▼

A primeira afirmação segue por indução. Para eventos decrescentes, aplique a desigualdade de Harris às funções $-\mathbf{1}_{A_j}$ ou, equivalentemente, troque aberta por fechada.

2.6 A componente de um vértice

Para $x\in V$, definimos a função de percolação enraizada

\[ \theta _{G,x}(p)=\P _p(x\leftrightarrow \infty ). \]

Se $G$ é transitivo, esse valor não depende de $x$, e escrevemos simplesmente $\theta _G(p)$.

A função $p\mapsto \theta _{G,x}(p)$ é não decrescente. A relação entre $\theta _{G,x}$ e a probabilidade global $\Theta _G$ é especialmente simples em grafos conexos.

Teorema 2.9

Seja $G$ um grafo infinito, conexo e localmente finito. Para cada $p\in [0,1]$, as seguintes afirmações são equivalentes:

$\Theta _G(p)=1$;
existe $x\in V$ tal que $\theta _{G,x}(p)\gt 0$;
para todo $x\in V$, $\theta _{G,x}(p)\gt 0$.

Demonstração ▼

Como

\[ I=\bigcup _{z\in V}\{ z\leftrightarrow \infty \} \]

e $V$ é enumerável, $\Theta _G(p)=1$ implica que existe $z$ com $\theta _{G,z}(p)\gt 0$.

Fixe agora $x\in V$. Se $\theta _{G,z}(p)\gt 0$, então necessariamente $p\gt 0$. Escolha um caminho simples entre $x$ e $z$ com $m$ arestas. Se todas essas arestas estiverem abertas, então $x\leftrightarrow z$; pela independência,

\[ \P _p(x\leftrightarrow z)\ge p^m\gt 0. \]

Os eventos $\{ x\leftrightarrow z\} $ e $\{ z\leftrightarrow \infty \} $ são crescentes. Pela desigualdade de Harris,

\[ \theta _{G,x}(p) \ge \P _p(x\leftrightarrow z,\ z\leftrightarrow \infty ) \ge \P _p(x\leftrightarrow z)\, \theta _{G,z}(p) \gt 0. \]

Logo, (2) implica (3).

Finalmente, (3) implica (2), e se $\theta _{G,x}(p)\gt 0$ para algum $x$, então $\Theta _G(p)\gt 0$. Pelo Teorema 2.3, $\Theta _G(p)=1$.

Corolário 2.10

Para todo $x\in V$,

\[ p_c(G) = \sup \{ p:\theta _{G,x}(p)=0\} = \inf \{ p:\theta _{G,x}(p)\gt 0\} . \]

Em particular, o parâmetro crítico não depende da escolha da raiz.

2.7 Grafos unidimensionais

O caso de $\mathbb {Z}$ sugere uma classe de grafos que podem ser separados do infinito por cortes de tamanho uniformemente limitado.

Definição 2.2 (Conjunto de corte)

Seja $o\in V$. Um conjunto finito de arestas $A\subset E$ é um conjunto de corte para $o$ se a componente de $o$ no grafo $G\setminus A$ é finita. Equivalentemente, todo caminho infinito simples iniciado em $o$ utiliza alguma aresta de $A$.

Em $\mathbb {Z}$, tomando $o=0$, podemos escolher

\[ A_n=\bigl\{ \{ n,n+1\} ,\{ -n,-n-1\} \bigr\} , \qquad n\ge 0. \]

Os conjuntos $A_n$ são dois a dois disjuntos, são conjuntos de corte para $0$ e têm cardinalidade $2$.

Definição 2.3 (Grafo unidimensional)

Um grafo infinito e conexo $G$ é chamado unidimensional se existem um vértice $o\in V$ e uma sequência $(A_n)_{n\ge 1}$ de conjuntos de corte para $o$, dois a dois disjuntos, tais que

\[ \sup _n|A_n|\lt \infty . \]

Exercício 2.4

Mostre que o grafo escada $\mathbb {Z}\times \{ 0,1\} $ é unidimensional.

Exercício 2.5

Seja $G$ um grupo finitamente gerado e suponha que $H\le G$ tenha índice finito e seja isomorfo a $\mathbb {Z}$. Mostre que qualquer grafo de Cayley de $G$ é unidimensional.

Teorema 2.11

Se $G$ é unidimensional, então

\[ p_c(G)=1. \]

Demonstração ▼

Sejam $o$ e $(A_n)$ como na definição, e escolha $M\lt \infty $ tal que $|A_n|\le M$ para todo $n$. Para $p\lt 1$, denote por $\mathcal{E}_n$ o evento de que todas as arestas de $A_n$ estão fechadas. Então

\[ \P _p(\mathcal{E}_n)=(1-p)^{|A_n|}\ge (1-p)^M\gt 0. \]

Como os conjuntos $A_n$ são dois a dois disjuntos, os eventos $\mathcal{E}_n$ são independentes. Assim,

\begin{align*} \P _p\! \left(\bigcap _{k=1}^n\mathcal{E}_k^c\right) & =\prod _{k=1}^n\P _p(\mathcal E_k^c)\\ & =\prod _{k=1}^n\bigl(1-\P _p(\mathcal E_k)\bigr)\\ & \le \bigl(1-(1-p)^M\bigr)^n \longrightarrow 0. \end{align*}

Como os eventos $\bigcap _{k=1}^n\mathcal E_k^c$ decrescem com $n$, pela continuidade da probabilidade,

\[ \P _p\! \left(\bigcap _{k\ge 1}\mathcal E_k^c\right) = \lim _{n\to \infty } \P _p\! \left(\bigcap _{k=1}^n\mathcal E_k^c\right) =0. \]

Portanto, quase certamente algum $\mathcal{E}_n$ ocorre. Quando isso acontece, todas as arestas de um conjunto de corte para $o$ estão fechadas, e então $|\mathcal{C}(o)|\lt \infty $. Logo,

\[ \theta _{G,o}(p)=0 \qquad \text{para todo }p\lt 1. \]

Pelo corolário anterior, $p_c(G)=1$.