Se \(p=0\), então

e a conclusão é imediata, por exemplo com \(C=1\) e \(c=1\). Suponha, portanto, \(p\gt 0\).

Pela transitividade,

não depende de \(x\). Como

podemos escolher \(m\ge 1\) tal que \(a_m=:\alpha \lt 1\). Como \(G\) é infinito e conexo, \(S(x,m)\neq \emptyset \); uma geodésica de comprimento \(m\) está aberta com probabilidade \(p^m\gt 0\), de modo que

Se \(x\leftrightarrow S(x,n+m)\), existe um caminho aberto simples que parte de \(x\) e alcança \(S(x,n+m)\). Seja \(y\) o primeiro vértice desse caminho em \(S(x,m)\). Os dois trechos do caminho, antes e depois de \(y\), fornecem ocorrência disjunta dos eventos

Logo, pela desigualdade BK,

onde usamos novamente a transitividade na última igualdade.

Iterando,

Isso já é decaimento exponencial. Por exemplo, tomando \(c=-m^{-1}\log \alpha \) e ajustando uma constante \(C\) para os primeiros \(m\) valores de \(n\), obtemos a forma anunciada.

Escreva \(q=1-\varepsilon \), \(X_r=|\mathcal C_r|\) e \(X=|\mathcal C(o)|\). Os eventos que definem \(M_r\) crescem para o evento que define \(M\). Mais precisamente, se a componente completa de \(o\) encontra um vértice verde mas \(\mathcal C_r\) não encontra nenhum, então \(\mathcal C_r\) alcança \(S(o,r)\) e todos os seus vértices são não verdes. Consequentemente,

de modo que a convergência é, inclusive, uniforme em \(p\).

Para a derivada em \(\varepsilon \), temos

Se \(X\lt \infty \), então \(X_r=X\) para todo \(r\) suficientemente grande; se \(X=\infty \), então \(X_r\to \infty \) e \(X_rq^{X_r-1}\to 0\). Como

o teorema da convergência dominada fornece

Para a derivada em \(p\), na representação pelo vértice fantasma, seja \(I_r(e)\) o evento de que a aresta ordinária \(e\) seja pivotal para \(\{ o\leftrightarrow \mathfrak g\} \) dentro de \(B_r\), e seja \(I(e)\) o evento pivotal correspondente no grafo inteiro. Pela fórmula de Russo em volume finito,

Para justificar a passagem ao limite, precisamos de um controle uniforme em \(p\). Fixe um intervalo compacto

O primeiro passo é controlar as arestas distantes. Como a pivotalidade de \(e\) não depende do estado da própria aresta, para \(s\in J\),

Se \(e\) está fechada e é pivotal, a componente de \(o\) não contém vértices verdes e uma das extremidades de \(e\) pertence a essa componente. Se \(e\not\subset B_{R-1}\), a componente alcança distância pelo menos \(R-1\) de \(o\) e, portanto, possui ao menos \(R\) vértices.

Fixada a configuração das arestas ordinárias, há no máximo \(DX_r\) arestas incidentes a \(\mathcal C_r\). Condicionando em \(\mathcal C_r\) e usando que a probabilidade de seus \(X_r\) vértices serem todos não verdes é \(q^{X_r}\), obtemos, uniformemente em \(r\) e em \(s\in J\),

O lado direito tende a zero quando \(R\to \infty \). O mesmo argumento, aplicado à componente completa de \(o\), fornece

também uniformemente em \(s\in J\). Em particular, a série das influências no volume infinito tem cauda uniformemente pequena em \(J\).

Fixadas as caudas, resta apenas um conjunto finito de arestas próximas da origem. Fixe uma aresta \(e\). Para todos os valores de \(s\in J\), use o mesmo acoplamento por variáveis uniformes para as arestas ordinárias e o mesmo campo verde. Para \(r\) suficientemente grande para conter \(e\), se \(I_r(e)\) e \(I(e)\) diferem, então, em pelo menos um dos dois estados forçados de \(e\) — aberta ou fechada —, a componente de \(o\) dentro de \(B_r\) alcança \(S(o,r)\) sem conter vértices verdes. Se \(K_r^\xi \) denota essa componente quando \(e\) é forçada ao estado \(\xi \in \{ 0,1\} \), então, nesse evento, \(|K_r^\xi |\ge r+1\). Condicionando nas arestas ordinárias,

Como há apenas dois estados forçados,

Logo, em qualquer conjunto finito de arestas, a soma das probabilidades de pivotalidade converge uniformemente em \(s\in J\).

Combinando essa convergência nas arestas de \(B_{R-1}\) com (7.1) e (7.2), concluímos que

uniformemente em \(s\in J\).

Cada função \(p\mapsto M_r(p,\varepsilon )\) é diferenciável e já vimos que \(M_r(\, \cdot \, ,\varepsilon )\to M(\, \cdot \, ,\varepsilon )\) uniformemente. Pelo teorema de convergência uniforme das derivadas, \(M\) é diferenciável em \(J\) e

Como \(J\subset (0,1)\) foi arbitrário, a conclusão vale para todo \(p\in (0,1)\). Além disso,

localmente uniformemente em \(p\).

Escrevemos \(A\circ B\) para ocorrência disjunta, no sentido da desigualdade BK.

Primeiro considere o evento \(A_o\circ A_o\): existem duas conexões abertas, disjuntas em arestas, de \(o\) a vértices verdes. Pela desigualdade BK,

Resta tratar configurações em que \(|\mathcal C_r\cap \Gamma |\ge 2\), mas \(A_o\circ A_o\) não ocorre. Trabalhe no grafo finito aumentado por \(\mathfrak g\). Há pelo menos duas arestas fantasma abertas ligadas a vértices distintos da componente de \(o\). Como não existem dois caminhos \(o\)–\(\mathfrak g\) disjuntos em arestas, o teorema de Menger, na versão para arestas, mostra que existe uma aresta aberta cuja remoção separa \(o\) de \(\mathfrak g\). Essa aresta não pode ser fantasma, pois há pelo menos duas arestas fantasma abertas.

Escolha, entre as arestas pivotais que aparecem em um caminho aberto de \(o\) a \(\mathfrak g\), a última antes de chegar a \(\mathfrak g\), e escreva-a como \(e=\{ x,y\} \), com \(x\) do lado de \(o\). Ao remover \(e\), a componente de \(o\) não contém vértices verdes. Além disso, existem dois caminhos de \(y\) a \(\mathfrak g\) disjuntos em arestas: caso contrário, Menger produziria outra aresta de corte entre \(y\) e \(\mathfrak g\), que seria uma aresta pivotal situada depois de \(e\), contradizendo a escolha de \(e\). Em termos do campo verde, do lado de \(y\) ocorrem, portanto, duas conexões disjuntas a vértices verdes distintos.

Para tornar a contagem compatível com Russo, force \(e\) a estar fechada e denote por \(\mathcal C_{r,e}\) a componente de \(o\) em \(B_r\). Defina

Defina ainda \(A_y^{(e)}\) como o evento de que \(y\) esteja ligado a \(\Gamma \) no grafo em que \(e\) foi removida. Os eventos \(B_{x,y}\) e \(A_y^{(e)}\) não dependem do estado original de \(e\), e

é exatamente o evento de que \(e\) seja pivotal para \(A_o\), com orientação de \(x\) para \(y\).

O condicionamento usado nesse passo pode ser escrito explicitamente. Fixe \(C\subseteq B_r\) com \(o,x\in C\) e \(y\notin C\). O evento

é determinado pelas arestas com pelo menos uma extremidade em \(C\) e pelas cores dos vértices de \(C\): as arestas internas determinam a conexão de \(o\) aos vértices de \(C\), as arestas da fronteira de \(C\) devem estar fechadas no grafo em que \(e\) foi removida, e nenhum vértice de \(C\) pode ser verde. Consequentemente, depois de condicionarmos nesse evento, as arestas com ambas as extremidades em \(B_r\setminus C\) e as cores dos vértices de \(B_r\setminus C\) continuam independentes, com parâmetros \(p\) e \(\varepsilon \).

Nesse condicionamento, \(A_y^{(e)}\) coincide com o evento, que denotaremos por \(A_y^C\), de que \(y\) se conecta a um vértice verde usando apenas o subgrafo induzido por \(B_r\setminus C\). Com efeito, qualquer caminho que entrasse em \(C\) teria de atravessar uma aresta da fronteira de \(C\), e todas essas arestas estão fechadas quando \(\mathcal C_{r,e}=C\). Além disso, como \(y\in B_r\),

Por monotonicidade e transitividade, a probabilidade de \(A_y^C\) sob a medida produto restante é, portanto, no máximo

A medida condicional nas coordenadas externas a \(C\) ainda é produto. Aplicando BK nesse espaço,

Como o último fator é no máximo \(M_{2r}\), obtemos

Multiplicando pela probabilidade do evento condicionado e somando sobre todos os conjuntos \(C\) admissíveis, segue que

Finalmente, se \(e\) é pivotal, há uma única orientação \(e=(x,y)\) para a qual \(x\in \mathcal C_{r,e}\) e \(y\notin \mathcal C_{r,e}\). Nessa orientação,

é exatamente o evento \(I_r(e)\). Portanto, ao somarmos sobre as arestas orientadas, cada aresta pivotal é contada uma única vez. Pela fórmula de Russo,

Na configuração original a aresta separadora \(e\) deve estar aberta. Como o evento no lado direito da definição acima independe do estado de \(e\), aparece um fator \(p\). Consequentemente,

Somando os dois casos, obtemos a desigualdade desejada.

Pela fórmula de Russo,

Quando uma aresta fechada \(e=\{ x,y\} \) é pivotal, podemos orientá-la de modo que \(x\in \mathcal C_r\) e \(y\notin \mathcal C_r\). Necessariamente \(\mathcal C_r\cap \Gamma =\emptyset \), enquanto \(y\) se conecta a um vértice verde fora de \(\mathcal C_r\).

Condicionando em \(\mathcal C_r=C\), a probabilidade dessa conexão a partir de \(y\) é, por monotonicidade e transitividade, no máximo \(M_{2r}\). Como cada vértice de \(C\) é incidente a no máximo \(D\) arestas, obtemos

Temos a decomposição

O primeiro termo é

e o segundo é controlado pelo Lema 7.5. O Lema 7.4 permite passar ao limite. A segunda desigualdade segue da mesma forma a partir do Lema 7.6.

Fixe

Para todo \(s\in [p,q]\),

Escolha \(\eta \gt 0\) de modo que

para todos \(s\in [p,q]\) e \(0\lt \varepsilon \lt \eta \).

Além disso,

Logo, para cada \(s\in [p,q]\), a função \(\varepsilon \mapsto M(s,\varepsilon )\) é estritamente crescente em \((0,\eta )\). Como \(M(s,0)=0\) e

temos \(M(s,\eta )\ge \eta (1-q)^D\). Fixe

A inversa \(f_s\) de \(\varepsilon \mapsto M(s,\varepsilon )\) está, portanto, definida em \([0,x_0]\), uniformemente em \(s\in [p,q]\), e satisfaz

Pela regra da função inversa,

de modo que, para \(0\lt x\le x_0\),

Usando a segunda desigualdade do Lema 7.7 na primeira, obtemos, uniformemente em \(s\in [p,q]\),

Escrevendo \(x=M(s,\varepsilon )\) e \(\varepsilon =f_s(x)\), essa desigualdade equivale a

Portanto,

O lado esquerdo é exatamente

Como \(f_s'\) é uniformemente limitado, existe uma constante \(C_q\lt \infty \), dependente apenas de \(q\) e de \(D\), tal que

Suponha, por contradição, que

Como \(p\lt p_c\), a componente de \(o\) é finita quase certamente, e portanto

Consequentemente,

Integrando a desigualdade anterior entre \(y\) e \(x\), e depois fazendo \(y\downarrow 0\), obtemos

ou seja,

Para \(\varepsilon \gt 0\) suficientemente pequeno, temos \(M(p,\varepsilon )\le x_0\), e portanto \(f_p(M(p,\varepsilon ))=\varepsilon \). Assim,

Em particular, para \(\varepsilon \gt 0\) fixo e \(\varepsilon '\) suficientemente pequeno,

Retomando a primeira desigualdade do Lema 7.7, podemos escrevê-la como

Integramos essa desigualdade no retângulo

Como \(M\) é crescente nas duas variáveis,

Dividindo por \(\log (\varepsilon /\varepsilon ')\) e fazendo \(\varepsilon '\downarrow 0\), obtemos

pois \(M(p,0)=\theta _G(p)=0\). Assim,

Finalmente, fazendo \(\varepsilon \downarrow 0\), chegamos a

contradizendo \(q\lt p_c\).

Logo \(\chi (p)\lt \infty \). Como \(p\lt p_c\) era arbitrário, concluímos que \(p_T\ge p_c\). Juntamente com a desigualdade trivial \(p_T\le p_c\), isso prova \(p_T=p_c\).