Pela transitividade,

não depende de \(x\). Como

podemos escolher \(m\ge 1\) tal que \(a_m=:\alpha \lt 1\).

Se \(x\leftrightarrow S_{n+m}(x)\), existe um caminho aberto simples que parte de \(x\) e alcança \(S_{n+m}(x)\). Seja \(y\) o primeiro vértice desse caminho em \(S_m(x)\). Os dois trechos do caminho, antes e depois de \(y\), fornecem ocorrência disjunta dos eventos

Logo, pela desigualdade BK,

onde usamos novamente a transitividade na última igualdade.

Iterando,

Isso já é decaimento exponencial. Por exemplo, tomando \(c=-m^{-1}\log \alpha \) e ajustando uma constante \(C\) para os primeiros \(m\) valores de \(n\), obtemos a forma anunciada.

Ponha \(q=1-\varepsilon \), \(X_r=|\mathcal C_r|\) e \(X=|\mathcal C(o)|\). Os eventos que definem \(M_r\) crescem para o evento que define \(M\). Mais precisamente, se a componente completa de \(o\) encontra um vértice verde mas \(\mathcal C_r\) não encontra nenhum, então \(\mathcal C_r\) alcança \(S_r(o)\) e todos os seus vértices são não verdes. Consequentemente,

de modo que a convergência é, inclusive, uniforme em \(p\).

Para a derivada em \(\varepsilon \), temos

Se \(X\lt \infty \), então \(X_r=X\) para todo \(r\) suficientemente grande; se \(X=\infty \), então \(X_r\to \infty \) e \(X_rq^{X_r-1}\to 0\). Como

o teorema da convergência dominada fornece

Resta a derivada em \(p\). Na representação pelo vértice fantasma, seja \(I_r(e)\) o evento de que a aresta ordinária \(e\) seja pivotal para \(\{ o\leftrightarrow \mathfrak g\} \) dentro de \(B_r\), e seja \(I(e)\) o evento pivotal correspondente no grafo inteiro. Pela fórmula de Russo em volume finito,

Para cada aresta fixa \(e\), como os eventos de conexão ao vértice fantasma crescem com \(r\), temos

O ponto delicado é justificar que, ao aumentar o volume, a soma das influências não perde massa em arestas cada vez mais distantes. Como a pivotalidade de \(e\) não depende do estado da própria aresta,

Se \(e\) está fechada e é pivotal, então \(o\) ainda não está ligado ao vértice fantasma; logo a componente \(\mathcal C_r\) não contém vértices verdes. Além disso, uma das extremidades de \(e\) pertence a \(\mathcal C_r\). Se \(e\not\subset B_{R-1}\), essa componente alcança distância pelo menos \(R-1\) de \(o\) e, portanto,

Fixada uma configuração das arestas ordinárias, há no máximo \(DX_r\) arestas incidentes a \(\mathcal C_r\). Assim, o número de arestas fechadas e pivotais com \(e\not\subset B_{R-1}\) é no máximo

Condicionando agora em \(\mathcal C_r\), a probabilidade de nenhum de seus \(X_r\) vértices ser verde é \(q^{X_r}\). Consequentemente,

A cota não depende de \(r\) e seu lado direito tende a zero quando \(R\to \infty \). A mesma estimativa, obtida do mesmo modo, vale para as influências no volume infinito.

Agora a passagem ao limite das somas fica explícita. Dado \(\delta \gt 0\), escolha \(R\) de modo que as duas caudas, finita e infinita, sejam menores que \(\delta \). Dentro de \(B_{R-1}\) há apenas um número finito de arestas; para cada uma delas,

Logo a soma sobre as arestas de \(B_{R-1}\) converge termo a termo, enquanto as duas caudas permanecem uniformemente pequenas. Portanto

e a série do lado direito é convergente.

A forma contável da fórmula de Russo, obtida por truncação da fórmula finita quando a soma das influências é finita, fornece

Isso conclui também a convergência das derivadas em \(p\).

Escrevemos \(A\circ B\) para ocorrência disjunta, no sentido da desigualdade BK.

Primeiro considere o evento \(A_o\circ A_o\): existem duas conexões abertas, disjuntas em arestas, de \(o\) a vértices verdes. Pela desigualdade BK,

Resta tratar configurações em que \(|\mathcal C_r\cap \Gamma |\ge 2\), mas \(A_o\circ A_o\) não ocorre. Trabalhe no grafo finito aumentado por \(\mathfrak g\). Há pelo menos duas arestas fantasma abertas ligadas a vértices distintos da componente de \(o\). Como não existem dois caminhos \(o\)–\(\mathfrak g\) disjuntos em arestas, o teorema de Menger, na versão para arestas, mostra que existe uma aresta aberta cuja remoção separa \(o\) de \(\mathfrak g\). Essa aresta não pode ser fantasma, pois há pelo menos duas arestas fantasma abertas.

Escolha, entre as arestas pivotais que aparecem em um caminho aberto de \(o\) a \(\mathfrak g\), a última antes de chegar a \(\mathfrak g\), e escreva-a como \(e=\{ x,y\} \), com \(x\) do lado de \(o\). Ao remover \(e\), a componente de \(o\) não contém vértices verdes. Além disso, existem dois caminhos de \(y\) a \(\mathfrak g\) disjuntos em arestas: caso contrário, Menger produziria outra aresta de corte entre \(y\) e \(\mathfrak g\), que seria uma aresta pivotal situada depois de \(e\), contradizendo a escolha de \(e\). Em termos do campo verde, do lado de \(y\) ocorrem, portanto, duas conexões disjuntas a vértices verdes distintos.

Para tornar a contagem compatível com Russo, force \(e\) a estar fechada e denote por \(\mathcal C_{r,e}\) a componente de \(o\) em \(B_r\). Defina

Defina ainda \(A_y^{(e)}\) como o evento de que \(y\) esteja ligado a \(\Gamma \) no grafo em que \(e\) foi removida. Os eventos \(B_{x,y}\) e \(A_y^{(e)}\) não dependem do estado original de \(e\), e

é exatamente o evento de que \(e\) seja pivotal para \(A_o\), com orientação de \(x\) para \(y\).

Condicione agora em \(\mathcal C_{r,e}=C\). No complemento de \(C\), a desigualdade BK e a estimativa \(\P (A_y^{(e)})\le M_{2r}\) dão

Somando sobre as arestas orientadas e usando a fórmula de Russo,

Na configuração original a aresta separadora \(e\) deve estar aberta. Como o evento no lado direito da definição acima independe do estado de \(e\), aparece um fator \(p\). Consequentemente,

Somando os dois casos, obtemos a desigualdade desejada.

Pela fórmula de Russo,

Quando uma aresta fechada \(e=\{ x,y\} \) é pivotal, podemos orientá-la de modo que \(x\in \mathcal C_r\) e \(y\notin \mathcal C_r\). Necessariamente \(\mathcal C_r\cap \Gamma =\emptyset \), enquanto \(y\) se conecta a um vértice verde fora de \(\mathcal C_r\).

Condicionando em \(\mathcal C_r=C\), a probabilidade dessa conexão a partir de \(y\) é, por monotonicidade e transitividade, no máximo \(M_{2r}\). Como cada vértice de \(C\) é incidente a no máximo \(D\) arestas, obtemos

Temos a decomposição

O primeiro termo é

e o segundo é controlado pelo Lema 7.5. O Lema 7.4 permite passar ao limite. A segunda desigualdade segue da mesma forma a partir do Lema 7.6.

Fixe

Para todo \(s\in [p,q]\),

Escolha \(\eta \gt 0\) de modo que

para todos \(s\in [p,q]\) e \(0\lt \varepsilon \lt \eta \).

Além disso,

Logo, para cada \(s\in [p,q]\), a função \(\varepsilon \mapsto M(s,\varepsilon )\) é estritamente crescente em \((0,\eta )\). Como \(M(s,0)=0\) e

temos \(M(s,\eta )\ge \eta (1-q)^D\). Fixe

A inversa \(f_s\) de \(\varepsilon \mapsto M(s,\varepsilon )\) está, portanto, definida em \([0,x_0]\), uniformemente em \(s\in [p,q]\), e satisfaz

Pela regra da função inversa,

de modo que, para \(0\lt x\le x_0\),

Usando a segunda desigualdade do Lema 7.7 na primeira, obtemos, uniformemente em \(s\in [p,q]\),

Escrevendo \(x=M(s,\varepsilon )\) e \(\varepsilon =f_s(x)\), essa desigualdade equivale a

Portanto,

O lado esquerdo é exatamente

Como \(f_s'\) é uniformemente limitado, existe uma constante \(C_q\lt \infty \), dependente apenas de \(q\) e de \(D\), tal que

Suponha, por contradição, que

Como \(p\lt p_c\), a componente de \(o\) é finita quase certamente, e portanto

Consequentemente,

Integrando a desigualdade anterior entre \(y\) e \(x\), e depois fazendo \(y\downarrow 0\), obtemos

ou seja,

Para \(\varepsilon \gt 0\) suficientemente pequeno, temos \(M(p,\varepsilon )\le x_0\), e portanto \(f_p(M(p,\varepsilon ))=\varepsilon \). Assim,

Em particular, para \(\varepsilon \gt 0\) fixo e \(\varepsilon '\) suficientemente pequeno,

Voltamos agora à primeira desigualdade do Lema 7.7. Ela pode ser reescrita como

Integramos essa desigualdade no retângulo

Como \(M\) é crescente nas duas variáveis,

Dividindo por \(\log (\varepsilon /\varepsilon ')\) e fazendo \(\varepsilon '\downarrow 0\), obtemos

pois \(M(p,0)=\theta _G(p)=0\). Assim,

Finalmente, fazendo \(\varepsilon \downarrow 0\), chegamos a

contradizendo \(q\lt p_c\).

Logo \(\chi (p)\lt \infty \). Como \(p\lt p_c\) era arbitrário, concluímos que \(p_T\ge p_c\). Juntamente com a desigualdade trivial \(p_T\le p_c\), isso prova \(p_T=p_c\).