Prefácio

Este livro foi elaborado para os cursos de Números Reais e Sequências e Análise Real I da Universidade Federal do ABC (UFABC). Apresenta uma introdução gradual ao estudo rigoroso da análise real.

A estrutura algébrica, a ordem e a completude dos números reais constituem os fundamentos da teoria. Seu estudo oferece também uma primeira experiência sistemática com a formulação de conceitos e a construção de demonstrações. Ao longo do texto, procuramos explicitar as relações entre esses princípios e as propriedades que deles decorrem.

O estudo das demonstrações ocupa parte importante deste livro. Compreender um resultado requer examinar suas hipóteses, o alcance de sua conclusão e a organização do argumento que o estabelece. Procuramos desenvolver essa leitura junto com a apresentação da teoria, indicando como cada etapa da demonstração depende das definições e dos resultados anteriores.

Nos exemplos e aplicações, usaremos às vezes as funções elementares já familiares do Cálculo — exponencial, logaritmo, seno, cosseno e suas propriedades usuais — antes de construí-las internamente no livro. Esse uso antecipado tem apenas finalidade didática: permite empregar exemplos naturais sem interromper o argumento principal. Nos capítulos apropriados, essas funções serão construídas e estudadas em detalhe, e as propriedades relevantes serão então demonstradas dentro da própria teoria.

A obra está organizada em capítulos que tratam dos seguintes temas:

  • Números reais: propriedades algébricas, de ordem e de completude dos números reais, além de uma introdução à topologia da reta;

  • Sequências: convergência, subsequências, sequências de Cauchy e critérios de convergência;

  • Construção dos números reais: construção dos reais via sequências de Cauchy e via cortes de Dedekind;

  • Séries numéricas: convergência de séries numéricas, incluindo convergência absoluta e condicional, bem como critérios de convergência;

  • Espaços métricos e continuidade: noções básicas de espaços métricos, topologia, compacidade, conexidade, limites e continuidade;

  • Limites e derivadas de funções reais: limites de funções, continuidade, derivação, teoremas fundamentais do cálculo diferencial, convexidade e fórmula de Taylor;

  • Integração: integral de Riemann, critérios de integrabilidade, Teorema Fundamental do Cálculo, integrais infinitas, integral de Riemann–Stieltjes e funções de variação limitada;

  • Séries de funções e séries de potências: convergência pontual e uniforme, raio de convergência, séries de potência e séries de Taylor.

Os exercícios acompanham o desenvolvimento da teoria. Alguns permitem verificar a compreensão de definições e resultados; outros exigem combinar argumentos ou examinar situações que ampliam os exemplos apresentados. Convém resolvê-los durante a leitura e, quando necessário, retomar as demonstrações correspondentes. Esse trabalho ajuda o estudante a reconhecer o papel das hipóteses e a adquirir autonomia na elaboração de seus próprios argumentos.