Capítulo 3

Construção dos reais

Nos capítulos anteriores, tratamos os números reais axiomaticamente: partimos de um corpo ordenado completo e deduzimos dele as propriedades necessárias para a Análise. Esse ponto de vista é o mais eficiente para desenvolver a teoria, mas deixa uma pergunta em aberto. Existe, de fato, um objeto matemático que satisfaz simultaneamente os axiomas de corpo, de ordem e de completude?

Neste capítulo, responderemos afirmativamente a essa pergunta. A primeira construção parte de sequências de Cauchy de números racionais. A ideia é simples: um número real pode ser aproximado por racionais com precisão arbitrária, mesmo quando o próprio número ainda não está disponível em \(\mathbb {Q}\). O que podemos reconhecer inteiramente dentro de \(\mathbb {Q}\) é que as aproximações se tornam progressivamente próximas entre si.

Esse ponto é importante. Não podemos definir \(\sqrt2\), por exemplo, como “o limite” de uma sequência racional antes de termos construído o espaço no qual esse limite vive. Podemos, porém, reconhecer uma sequência racional de Cauchy sem mencionar nenhum número real. É essa observação que torna a construção possível.

Ao final, veremos também uma segunda construção, por cortes de Dedekind. As duas realizam a mesma ideia de completude por caminhos diferentes: a primeira completa \(\mathbb {Q}\) acrescentando limites ausentes; a segunda preenche suas lacunas por meio da ordem.

3.1 Construção via sequências de Cauchy em \(\mathbb {Q}\)

Uma expansão decimal sugere naturalmente a ideia de aproximação. Ao escrever

\[ 3,\quad 3{,}1,\quad 3{,}14,\quad 3{,}141,\quad 3{,}1415,\ldots , \]

produzimos uma sequência de racionais cujos termos se tornam cada vez mais próximos. A construção que segue abstrai exatamente esse fenômeno.

Definição 3.1 (Sequências nulas de números racionais)
Uma sequência \(x=(x_n)\) de números racionais é chamada de sequência nula se, para todo \(\varepsilon \in \mathbb {Q}\), com \(\varepsilon \gt 0\), existe \(N\in \mathbb {N}\) tal que
\[ |x_n|\lt \varepsilon \qquad \text{para todo }n\ge N. \]
Denotamos por \(\mathcal N\) o conjunto das sequências nulas de números racionais.

Assim, \((1/n)\), \(((-1)^n/n)\) e \((n/(n^2+1))\) pertencem a \(\mathcal N\). A definição usa apenas a ordem, as operações e o valor absoluto em \(\mathbb {Q}\).

Definição 3.2 (Sequências de Cauchy de números racionais)
Uma sequência \(x=(x_n)\) de números racionais é chamada de sequência de Cauchy se, para todo \(\varepsilon \in \mathbb {Q}\), com \(\varepsilon \gt 0\), existe \(N\in \mathbb {N}\) tal que
\[ |x_m-x_n|\lt \varepsilon \qquad \text{para todos }m,n\ge N. \]
Denotamos por \(\mathcal C\) o conjunto das sequências de Cauchy de números racionais.

Quando uma sequência racional é vista, depois da construção de \(\mathbb {R}\), como uma sequência real, esta definição coincide com a do capítulo anterior. A quantificação por \(\varepsilon \in \mathbb {Q}\) é usada aqui justamente para que nenhuma propriedade dos reais seja pressuposta na construção.

Toda sequência nula é de Cauchy. Além disso, sequências de Cauchy são limitadas, e as operações termo a termo preservam as classes que precisaremos usar.

Lema 3.3 (Limitação das sequências de Cauchy)
Toda sequência de Cauchy de números racionais é limitada.

Demonstração ▼

Seja \(x=(x_n)\) uma sequência de Cauchy. Existe \(N\) tal que \(|x_n-x_N|\lt 1\) para \(n\ge N\). Com a convenção de que uma soma vazia vale zero, ponha

\[ M=|x_N|+1+\sum _{k=1}^{N-1}|x_k|. \]

Então \(|x_n|\lt |x_N|+1\le M\) para \(n\ge N\), enquanto \(|x_n|\le M\) para \(n\lt N\). Logo \(x\) é limitada.

Proposição 3.4
Sejam \(x,y\) sequências racionais.

  1. se \(x,y\in \mathcal C\), então \(x+y\in \mathcal C\) e \(xy\in \mathcal C\);

  2. se \(x,y\in \mathcal N\), então \(x+y\in \mathcal N\) e \(xy\in \mathcal N\);

  3. se \(x\in \mathcal N\) e \(y\in \mathcal C\), então \(xy\in \mathcal N\).

Os itens 1 e 2 são consequências diretas das estimativas triangulares e ficam como parte do Exercício 3.1. O terceiro item é o elo que será usado na boa definição do produto, por isso o registramos aqui.

Demonstração do item 3 ▼

Se \(x\in \mathcal N\) e \(y\in \mathcal C\), o Lema 3.3 fornece \(M\in \mathbb {Q}\), \(M\gt 0\), tal que \(|y_n|\le M\) para todo \(n\). Dado \(\varepsilon \in \mathbb {Q}\), \(\varepsilon \gt 0\), existe \(N\) tal que

\[ |x_n|\lt \frac{\varepsilon }{M} \qquad (n\ge N). \]

Logo

\[ |x_ny_n|\le M|x_n|\lt \varepsilon \qquad (n\ge N), \]

e portanto \(xy\in \mathcal N\).

Duas sequências de Cauchy podem representar a mesma aproximação assintótica. Isso ocorre precisamente quando sua diferença é nula.

Definição 3.5
Para \(x,y\in \mathcal C\), definimos
\[ x\sim y \qquad \Longleftrightarrow \qquad x-y\in \mathcal N. \]

Proposição 3.6
A relação \(\sim \) é uma relação de equivalência em \(\mathcal C\).

Demonstração ▼

A reflexividade segue de \(x-x=0\in \mathcal N\). Se \(x-y\in \mathcal N\), então \(y-x=-(x-y)\in \mathcal N\), o que prova a simetria. Finalmente, se \(x-y\in \mathcal N\) e \(y-z\in \mathcal N\), então

\[ x-z=(x-y)+(y-z)\in \mathcal N \]

pela Proposição 3.4. Logo a relação é transitiva.

Denotamos por

\[ \left[ x \right]=\{ y\in \mathcal C:y\sim x\} \]

a classe de equivalência de \(x\).

Definição 3.7 (Números reais)
Definimos
\[ \widetilde{\mathbb {R}}:=\mathcal C/\! \sim , \]
isto é, \(\widetilde{\mathbb {R}}\) é o conjunto das classes de equivalência de sequências de Cauchy de números racionais.

A partir daqui, o trabalho consiste em transportar para \(\widetilde{\mathbb {R}}\) as operações e a ordem de \(\mathbb {Q}\), verificando que elas não dependem do representante escolhido.

3.1.1 Operações e o mergulho dos racionais

Para \(q\in \mathbb {Q}\), escrevemos \(\bar q\) para a sequência constante \(\bar q_n=q\).

Definição 3.8 (Sequências constantes de números racionais)
A aplicação \(q\mapsto \bar q\) associa a cada racional uma sequência de Cauchy constante. Observe que \(\bar q\in \mathcal N\) se, e somente se, \(q=0\).

Definição 3.9 (Operações sobre os números reais)
Para \(\left[ x \right],\left[ y \right]\in \widetilde{\mathbb {R}}\), definimos
\[ \left[ x \right]+\left[ y \right]:=\left[ x+y \right], \qquad \left[ x \right]\, \left[ y \right]:=\left[ xy \right]. \]

Antes de usar essas fórmulas, é indispensável verificar que elas são independentes dos representantes.

Proposição 3.10
As operações da Definição 3.9 estão bem definidas.

Demonstração ▼

Suponha que \(x\sim x'\) e \(y\sim y'\). Escreva

\[ p=x'-x\in \mathcal N, \qquad q=y'-y\in \mathcal N. \]

Então

\[ (x'+y')-(x+y)=p+q\in \mathcal N, \]

logo \(x'+y'\sim x+y\). Para o produto,

\[ x'y'-xy=(x+p)(y+q)-xy=py+xq+pq. \]

Como \(x,y\in \mathcal C\) e \(p,q\in \mathcal N\), a Proposição 3.4 mostra que os três termos do lado direito pertencem a \(\mathcal N\). Portanto \(x'y'\sim xy\).

O único axioma de corpo que merece atenção especial é a existência do inverso multiplicativo. Para tratá-lo, isolamos primeiro uma propriedade elementar das sequências de Cauchy não nulas.

Proposição 3.11 (Separação do zero)
Se \(x\in \mathcal C\setminus \mathcal N\), então existem \(a\in \mathbb {Q}\), com \(a\gt 0\), e \(N\in \mathbb {N}\) tais que exatamente uma das alternativas vale:
\[ x_n\gt a\quad \text{para todo }n\ge N, \qquad \text{ou}\qquad x_n\lt -a\quad \text{para todo }n\ge N. \]
Além disso, qualquer sequência \(y\sim x\) tem, a partir de alguma ordem, o mesmo sinal de \(x\).

Demonstração ▼

Se para todo \(a\gt 0\) e todo \(N\) existisse \(n\ge N\) com \(|x_n|\le a\), a propriedade de Cauchy implicaria que \(x\) seria nula: dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(N\) tal que \(|x_m-x_n|\lt \varepsilon /2\) para \(m,n\ge N\), e depois escolha \(m\ge N\) com \(|x_m|\le \varepsilon /2\). Então, para \(n\ge N\),

\[ |x_n|\le |x_n-x_m|+|x_m|\lt \varepsilon . \]

Como \(x\notin \mathcal N\), existem portanto \(a\gt 0\) racional e \(N_0\) tais que \(|x_n|\gt a\) para todo \(n\ge N_0\).

Escolha agora \(N\ge N_0\) de modo que \(|x_m-x_n|\lt a\) para \(m,n\ge N\). Dois termos dessa cauda não podem ter sinais opostos, pois nesse caso

\[ |x_m-x_n|=|x_m|+|x_n|\gt 2a. \]

Logo toda a cauda tem o mesmo sinal, o que prova a primeira afirmação.

Se \(y\sim x\), então \(|x_n-y_n|\lt a/2\) para todo \(n\) suficientemente grande. Assim, uma cauda de \(x\) situada acima de \(a\) força a cauda correspondente de \(y\) a ficar acima de \(a/2\); o caso negativo é análogo.

Definição 3.12 (Ordem em \(\widetilde{\mathbb {R}}\))
Dizemos que \(\left[ x \right]\gt 0\) se existem \(a\in \mathbb {Q}\), \(a\gt 0\), e \(N\in \mathbb {N}\) tais que
\[ x_n\gt a\qquad \text{para todo }n\ge N. \]
Pela Proposição 3.11, essa condição não depende do representante. Definimos, então,
\[ r\lt s\quad \Longleftrightarrow \quad s-r\gt 0. \]

Teorema 3.13 (Estrutura de corpo)
Com as operações da Definição 3.9, \(\widetilde{\mathbb {R}}\) é um corpo.

Demonstração ▼

Os elementos neutros são \(\left[ \bar0 \right]\) e \(\left[ \bar1 \right]\), e o oposto de \(\left[ x \right]\) é \(\left[ -x \right]\). Associatividade, comutatividade e distributividade são herdadas termo a termo de \(\mathbb {Q}\); essas verificações são reunidas no Exercício 3.2.

Resta verificar o inverso multiplicativo. Seja \(\left[ x \right]\ne \left[ \bar0 \right]\). Pela Proposição 3.11, existem \(a\gt 0\) racional e \(N\) tais que \(|x_n|\gt a\) para \(n\ge N\). Defina

\[ y_n= \begin{cases} 0,& n\lt N,\\[1mm] 1/x_n,& n\ge N. \end{cases} \]

Para \(m,n\ge N\),

\[ |y_n-y_m| =\frac{|x_n-x_m|}{|x_nx_m|} \le \frac1{a^2}|x_n-x_m|, \]

de modo que \(y\in \mathcal C\). Além disso, \(x_ny_n=1\) para \(n\ge N\), logo \(xy-\bar1\in \mathcal N\). Portanto

\[ \left[ x \right]\left[ y \right]=\left[ \bar1 \right]. \]

Definição 3.14 (Mergulho canônico de \(\mathbb {Q}\) em \(\widetilde{\mathbb {R}}\))
Definimos
\[ \varphi :\mathbb {Q}\longrightarrow \widetilde{\mathbb {R}}, \qquad \varphi (q)=\left[ \bar q \right]. \]

Teorema 3.15
A aplicação \(\varphi \) é injetora e preserva soma, produto e ordem. Identificaremos, daqui em diante, \(\mathbb {Q}\) com sua imagem \(\varphi (\mathbb {Q})\subset \widetilde{\mathbb {R}}\).

Demonstração ▼

Se \(\left[ \bar p \right]=\left[ \bar q \right]\), então a sequência constante \(\overline{p-q}\) é nula, o que só ocorre quando \(p=q\). Logo \(\varphi \) é injetora. As identidades

\[ \overline{p+q}=\bar p+\bar q, \qquad \overline{pq}=\bar p\, \bar q \]

mostram que soma e produto são preservados. Finalmente, se \(p\lt q\), a sequência constante \(\overline{q-p}\) é estritamente maior que o racional positivo \((q-p)/2\); portanto \(\varphi (p)\lt \varphi (q)\).

Teorema 3.16 (Corpo ordenado)
A ordem da Definição 3.12 torna \(\widetilde{\mathbb {R}}\) um corpo ordenado.

Demonstração ▼

Primeiro, \(0\notin \widetilde{\mathbb {R}}^+\): a sequência constante nula não fica estritamente acima de racional positivo algum e a definição de positividade é independente do representante.

Se \(r\ne 0\), a Proposição 3.11 mostra que exatamente uma das relações \(r\gt 0\) ou \(-r\gt 0\) vale. Assim, a ordem é total.

Se \(r=\left[ x \right]\gt 0\) e \(s=\left[ y \right]\gt 0\), existem \(a,b\gt 0\) racionais e um índice \(N\) tais que \(x_n\gt a\) e \(y_n\gt b\) para \(n\ge N\). Consequentemente,

\[ x_n+y_n\gt a+b\gt 0, \qquad x_ny_n\gt ab\gt 0, \]

para \(n\) suficientemente grande. Logo \(r+s\gt 0\) e \(rs\gt 0\). Essas duas propriedades são exatamente as condições de compatibilidade entre a ordem e as operações de corpo.

3.2 Completude

Até aqui construímos um corpo ordenado que contém uma cópia de \(\mathbb {Q}\). Falta a propriedade decisiva: provar que esse corpo não possui lacunas. É justamente nesse ponto que a construção por sequências de Cauchy precisa devolver o que prometeu.

A estratégia será construir o supremo de um conjunto limitado por bisseções racionais. Para isso, começamos com duas observações sobre a ordem recém-definida.

Proposição 3.17
Se \(x\in \mathcal C\) representa \(r\in \widetilde{\mathbb {R}}\) e existe \(N\) tal que
\[ x_n\ge 0\qquad \text{para todo }n\ge N, \]
então \(r\ge 0\).

Demonstração ▼

Se \(r\lt 0\), então \(-r\gt 0\). Pela definição de positividade, existiriam \(a\gt 0\) racional e \(M\) tais que \(-x_n\gt a\) para todo \(n\ge M\), isto é, \(x_n\lt -a\lt 0\) nessa cauda. Isso contradiz a hipótese. Logo \(r\ge 0\).

Proposição 3.18
Se \(r\gt 0\) em \(\widetilde{\mathbb {R}}\), existe \(p\in \mathbb {Q}\) tal que
\[ 0\lt p\lt r. \]

Demonstração ▼

Seja \(x\) um representante de \(r\). Pela definição de positividade, existem \(a\gt 0\) racional e \(N\) tais que \(x_n\gt a\) para \(n\ge N\). A sequência \((x_n-a)\) é então eventualmente não negativa; pela Proposição 3.17, temos \(r-a\ge 0\), isto é, \(a\le r\). Tomando \(p=a/2\), obtemos

\[ 0\lt p\lt a\le r, \]

e portanto \(0\lt p\lt r\).

Proposição 3.19 (Densidade dos racionais)
Se \(r,s\in \widetilde{\mathbb {R}}\) e \(r\lt s\), existe \(q\in \mathbb {Q}\) tal que
\[ r\lt q\lt s. \]

Demonstração ▼

Como \(s-r\gt 0\), pela Proposição 3.18 existe \(p\in \mathbb {Q}\) tal que

\[ 0\lt p\lt s-r. \]

Seja \(x=(x_n)\) um representante de \(r\). Como \(x\) é de Cauchy, existe \(N\) tal que

\[ |x_n-x_N|\lt \frac p3 \qquad \text{para todo }n\ge N. \]

Defina

\[ q=x_N+\frac p2\in \mathbb {Q}. \]

Para \(n\ge N\),

\[ q-x_n=\frac p2+(x_N-x_n)\gt \frac p6, \]

logo \(q-r\gt 0\) e, portanto, \(r\lt q\). Por outro lado,

\[ p-(q-x_n)=\frac p2+(x_n-x_N)\gt \frac p6, \]

de modo que \(q-r\lt p\). Como \(p\lt s-r\), segue que

\[ q\lt r+p\lt s. \]

Assim, \(r\lt q\lt s\).

Agora podemos cercar qualquer conjunto não vazio e limitado superiormente por dois racionais cuja distância inicial é \(1\).

Proposição 3.20
Seja \(A\subseteq \widetilde{\mathbb {R}}\) não vazio e limitado superiormente. Então existe \(p\in \mathbb {Q}\) tal que \(p\) não é cota superior de \(A\), enquanto \(p+1\) é cota superior de \(A\).

Demonstração ▼

Escolha \(a\in A\) e uma cota superior \(u\) de \(A\). Pela densidade de \(\mathbb {Q}\), podemos escolher racionais \(s,q\) tais que

\[ a-1\lt s\lt a, \qquad u\lt q\lt u+1. \]

Assim, \(s\) não é cota superior de \(A\), enquanto \(q\) é.

Pela propriedade arquimediana dos racionais, existe \(n\in \mathbb {N}\) tal que

\[ n\gt q-s. \]

Logo \(s+n\gt q\), e portanto \(s+n\) também é cota superior de \(A\). Considere

\[ E=\{ m\in \mathbb {N}:s+m\text{ é cota superior de }A\} . \]

O conjunto \(E\) é não vazio; seja \(m_0\) seu menor elemento. Defina

\[ p=s+m_0-1. \]

Então \(p+1=s+m_0\) é cota superior. Se \(m_0=1\), temos \(p=s\), que não é cota superior. Se \(m_0\gt 1\), a minimalidade de \(m_0\) mostra que \(s+(m_0-1)=p\) não é cota superior. Em ambos os casos, \(p\) tem a propriedade desejada.

A partir desse primeiro intervalo racional, repetimos a bisseção e conservamos, em cada etapa, uma extremidade que não é cota superior e outra que é.

Proposição 3.21
Seja \(A\subseteq \widetilde{\mathbb {R}}\) não vazio e limitado superiormente. Existem sequências racionais \((p_n)\) e \((q_n)\) tais que, para todo \(n\ge 1\),

  1. \(p_n\) não é cota superior de \(A\);

  2. \(q_n\) é cota superior de \(A\);

  3. \(q_n-p_n=2^{-(n-1)}\);

  4. \(p_n\le p_{n+1}\le q_{n+1}\le q_n\).

Demonstração ▼

Escolha \(p_1\) pela Proposição 3.20 e ponha \(q_1=p_1+1\). Suponha construídos \(p_n,q_n\). Defina o ponto médio

\[ m_n=\frac{p_n+q_n}{2}. \]

Se \(m_n\) é cota superior de \(A\), ponha

\[ p_{n+1}=p_n, \qquad q_{n+1}=m_n. \]

Caso contrário, ponha

\[ p_{n+1}=m_n, \qquad q_{n+1}=q_n. \]

As quatro propriedades são preservadas e o comprimento do intervalo é dividido por \(2\) a cada passo. A construção segue por indução.

Proposição 3.22
As sequências \((p_n)\) e \((q_n)\) da Proposição 3.21 são sequências de Cauchy equivalentes.

Demonstração ▼

Se \(m\ge n\), a monotonicidade e o encaixe dos intervalos dão

\[ 0\le p_m-p_n\le q_n-p_n=2^{-(n-1)} \]

e

\[ 0\le q_n-q_m\le q_n-p_n=2^{-(n-1)}. \]

Essa quantidade pode ser tornada menor que qualquer racional positivo sem recorrer a uma teoria prévia de convergência. De fato, dado \(\varepsilon \in \mathbb {Q}\), \(\varepsilon \gt 0\), a propriedade arquimediana de \(\mathbb {Q}\) fornece \(N\) tal que \(N\gt 1/\varepsilon \). Pela desigualdade de Bernoulli, \(2^{n-1}=(1+1)^{n-1}\ge n\). Portanto, para \(n\ge N\), temos \(2^{-(n-1)}\le 1/n\lt \varepsilon \). As estimativas anteriores mostram que ambas as sequências são de Cauchy. Além disso,

\[ |q_n-p_n|=2^{-(n-1)}\lt \varepsilon \qquad (n\ge N), \]

logo \(q-p\in \mathcal N\), isto é, \(p\sim q\).

Chegamos agora ao ponto central da construção. A prova a seguir merece ser lida com atenção: é nela que uma sequência de intervalos racionais encaixados produz, dentro do corpo que construímos, o supremo de um conjunto arbitrário limitado superiormente.

Teorema 3.23 (Completude)
Todo subconjunto não vazio de \(\widetilde{\mathbb {R}}\) que é limitado superiormente possui supremo.

Demonstração ▼

Seja \(A\subseteq \widetilde{\mathbb {R}}\) não vazio e limitado superiormente. Construa \((p_n)\) e \((q_n)\) como nas Proposições 3.21 e 3.22. Como \(p\sim q\), as duas sequências representam o mesmo número real; denote-o por

\[ r=\left[ p \right]=\left[ q \right]. \]

Mostraremos que \(r=\sup A\).

Primeiro, \(r\) é cota superior de \(A\). Suponha, ao contrário, que exista \(a\in A\) com \(r\lt a\). Pela densidade dos racionais, escolha \(t\in \mathbb {Q}\) tal que

\[ r\lt t\lt a. \]

Como \(t-r\gt 0\) e \((q_n)\) representa \(r\), pela definição da ordem existem \(\delta \gt 0\) racional e \(N\) tais que

\[ t-q_n\gt \delta \gt 0 \qquad \text{para todo }n\ge N. \]

Assim, \(q_n\lt t\lt a\) para \(n\ge N\). Mas cada \(q_n\) é cota superior de \(A\), o que exigiria \(a\le q_n\). Contradição. Logo \(r\) é cota superior.

Resta provar que nenhuma cota superior é menor que \(r\). Suponha que \(s\) seja uma cota superior de \(A\) e que \(s\lt r\). Pela densidade de \(\mathbb {Q}\), escolha \(t\in \mathbb {Q}\) com

\[ s\lt t\lt r. \]

Como \(r-t\gt 0\) e \((p_n)\) representa \(r\), existem \(\delta \gt 0\) racional e \(N\) tais que

\[ p_n-t\gt \delta \gt 0 \qquad \text{para todo }n\ge N. \]

Fixe um desses índices. Como \(p_n\) não é cota superior de \(A\), existe \(a_n\in A\) tal que

\[ a_n\gt p_n\gt t\gt s. \]

Isso contradiz o fato de \(s\) ser cota superior de \(A\). Portanto nenhuma cota superior pode ser menor que \(r\).

Concluímos que \(r\) é a menor cota superior de \(A\), isto é,

\[ r=\sup A. \]

A construção está agora completa: começamos apenas com \(\mathbb {Q}\), formamos classes de sequências de Cauchy, definimos nelas operações e ordem e acabamos de provar a propriedade do supremo.

Teorema 3.24 (Existência dos reais)
Existe um corpo ordenado completo.

3.3 Unicidade

A construção anterior produz um corpo ordenado completo, mas isso não significa que exista uma única realização conjuntista desse objeto. O enunciado correto é estrutural: quaisquer duas realizações são isomorfas como corpos ordenados.

Definição 3.25
Sejam \(\mathbb {K}_1\) e \(\mathbb {K}_2\) corpos ordenados. Um isomorfismo de corpos ordenados é uma bijeção
\[ \varphi :\mathbb {K}_1\longrightarrow \mathbb {K}_2 \]
tal que, para todos \(a,b\in \mathbb {K}_1\),
\[ \varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b), \qquad \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b), \]
e
\[ a\lt b\quad \Longleftrightarrow \quad \varphi (a)\lt \varphi (b). \]

Teorema 3.26 (Unicidade do corpo ordenado completo)
Quaisquer dois corpos ordenados completos são isomorfos. Mais ainda, existe um único isomorfismo de corpos ordenados entre eles que identifica as cópias canônicas de \(\mathbb {Q}\).

Demonstração ▼

Identifique em cada corpo sua cópia canônica de \(\mathbb {Q}\). Para \(x\in K_1\), ponha

\[ L_x=\{ q\in \mathbb {Q}:q\lt x\} ,\qquad \varphi (x)=\sup _{K_2}L_x. \]

A propriedade arquimediana fornece inteiros \(m,n\) com \(-m\lt x\lt n\); logo \(L_x\) é não vazio e limitado superiormente. A densidade de \(\mathbb {Q}\) mostra que \(\varphi (q)=q\) para \(q\in \mathbb {Q}\).

Se \(x\lt y\), existem racionais \(r,s\) tais que \(x\lt r\lt s\lt y\). Então \(r\) é cota superior de \(L_x\) e \(s\in L_y\), de modo que \(\varphi (x)\le r\lt s\le \varphi (y)\). Assim, \(\varphi \) preserva estritamente a ordem.

Dados \(a\lt x\) e \(b\lt y\), temos \(a+b\lt x+y\); reciprocamente, se \(t\lt x+y\), a densidade permite escolher \(a\lt x\) com \(t-a\lt y\) e depois \(b\in \mathbb {Q}\) com \(t-a\lt b\lt y\). Tomando supremos, obtemos \(\varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)\). O argumento análogo com aproximações racionais positivas e a monotonicidade do produto dá \(\varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y)\) para \(x,y\gt 0\); os demais sinais seguem dos opostos.

Construa analogamente \(\psi :K_2\to K_1\). Para todo racional \(q\), a densidade dá

\[ q\lt \varphi (x)\quad \Longleftrightarrow \quad q\lt x. \]

Logo \(x\) e \(\psi (\varphi (x))\) têm os mesmos racionais estritamente abaixo deles; se fossem distintos, haveria um racional entre ambos. Portanto \(\psi \circ \varphi \) é a identidade, e simetricamente \(\varphi \circ \psi \) também é. Assim, \(\varphi \) é um isomorfismo.

Por fim, qualquer isomorfismo de corpos ordenados fixa \(\mathbb {Q}\) e preserva os conjuntos \(L_x\) e seus supremos. Consequentemente, ele coincide com \(\varphi \), provando a unicidade.

Assim, quando falamos em o corpo dos números reais, estamos usando a unicidade a menos de isomorfismo. A construção por sequências de Cauchy é uma realização concreta desse objeto; a construção de Dedekind, que veremos a seguir, produzirá outra.

3.4 Cortes de Dedekind

A construção por sequências de Cauchy completa \(\mathbb {Q}\) a partir de aproximações. Dedekind parte de outra característica dos racionais: sua ordem possui lacunas. Em vez de representar um real por uma sequência, representaremos sua posição na reta pelo conjunto dos racionais que ficam estritamente à sua direita.

Usaremos a convenção de cortes superiores. Para um racional \(r\), o modelo é

\[ Q_r:=\{ q\in \mathbb {Q}:q\gt r\} . \]

O ponto de fronteira \(r\) não pertence ao corte. Para um real ausente de \(\mathbb {Q}\), como \(\sqrt2\), a fronteira não será racional, mas o subconjunto de \(\mathbb {Q}\) ainda poderá ser descrito inteiramente em termos racionais.

Definição 3.27 (Corte de Dedekind)
Um subconjunto \(A\subseteq \mathbb {Q}\) é um corte de Dedekind superior se:

  1. \(A\ne \varnothing \) e \(A\ne \mathbb {Q}\);

  2. se \(x\in A\) e \(y\in \mathbb {Q}\) satisfaz \(y\ge x\), então \(y\in A\);

  3. \(A\) não possui elemento mínimo.

A antecipação do Capítulo 1 usa a convenção equivalente de um par inferior–superior e pode atribuir ao lado superior um ponto de fronteira racional. Para passar desse par \((L,U)\) à convenção aberta usada aqui, substitui-se \(U\) por \(U^\circ =\{ q\in \mathbb {Q}:\text{ existe }u\in U\text{ com }u\lt q\} \). Reciprocamente, dado um corte superior aberto \(A\), toma-se \(L=\{ q\in \mathbb {Q}:\text{ existe }c\notin A\text{ com }q\lt c\} \) e \(U=\mathbb {Q}\setminus L\). Essas operações apenas decidem em qual lado colocar uma eventual fronteira racional e representam a mesma separação de \(\mathbb {Q}\).

Exemplo 3.28 (Cortes racionais)
Para \(r\in \mathbb {Q}\), o conjunto
\[ Q_r=\{ q\in \mathbb {Q}:q\gt r\} \]
é um corte de Dedekind. Ele é não vazio e próprio; é fechado para cima; e, dado \(q\gt r\), a densidade de \(\mathbb {Q}\) fornece \(q'\) com \(r\lt q'\lt q\), de modo que \(q\) não pode ser mínimo.

A caracterização seguinte explica por que os cortes \(Q_r\) são exatamente aqueles cuja fronteira já pertence a \(\mathbb {Q}\).

Proposição 3.29
Um corte de Dedekind \(A\subseteq \mathbb {Q}\) possui ínfimo em \(\mathbb {Q}\) se, e somente se, \(A=Q_r\) para algum \(r\in \mathbb {Q}\).

Demonstração ▼

Se \(A=Q_r\), então \(r\) é cota inferior de \(A\). Se \(t\gt r\), a densidade de \(\mathbb {Q}\) fornece \(a\) com \(r\lt a\lt t\). Como \(a\in Q_r=A\), o número \(t\) não é cota inferior de \(A\). Logo \(\inf A=r\).

Reciprocamente, suponha que \(r=\inf A\in \mathbb {Q}\). Todo \(a\in A\) satisfaz \(r\le a\), e a igualdade é impossível porque \(A\) não possui mínimo. Assim, \(a\gt r\), e portanto \(A\subseteq Q_r\).

Se \(x\gt r\), então \(x\) não pode ser cota inferior de \(A\), pois é estritamente maior que o ínfimo. Existe, portanto, \(a\in A\) com \(a\lt x\). Como \(A\) é fechado para cima, \(x\in A\). Logo \(Q_r\subseteq A\), e \(A=Q_r\).

Exemplo 3.30 (O corte de \(\sqrt2\))
Considere
\[ D_2=\{ q\in \mathbb {Q}:q\gt 0\text{ e }q^2\gt 2\} . \]
Esse conjunto é um corte de Dedekind e não possui ínfimo racional. Pela Proposição 3.29, não é da forma \(Q_r\) com \(r\in \mathbb {Q}\). A verificação detalhada, que usa a irracionalidade de \(\sqrt2\) apenas para excluir um ínfimo racional, é o Exercício 3.6.

3.4.1 A ordem dos cortes

Escrevemos \(A^{\mathsf c}=\mathbb {Q}\setminus A\).

Proposição 3.31
Se \(A\) é um corte de Dedekind, então
\[ A^{\mathsf c}=\{ x\in \mathbb {Q}:x\lt a\text{ para todo }a\in A\} . \]
Em particular, \(A^{\mathsf c}\) é fechado para baixo.

Demonstração ▼

Se \(x\notin A\) e existisse \(a\in A\) com \(a\le x\), o fechamento de \(A\) para cima implicaria \(x\in A\), contradição. Portanto \(x\lt a\) para todo \(a\in A\).

Reciprocamente, se \(x\lt a\) para todo \(a\in A\), então \(x\notin A\), pois do contrário poderíamos tomar \(a=x\). A afirmação sobre o fechamento para baixo é imediata.

Uma propriedade especial dos cortes superiores é que quaisquer dois deles são comparáveis por inclusão.

Proposição 3.32
Se \(A\) e \(B\) são cortes de Dedekind, então exatamente uma das relações
\[ A\varsubsetneqq B, \qquad A=B, \qquad B\varsubsetneqq A \]
vale.

Demonstração ▼

Suponha \(A\ne B\). Se nenhum dos conjuntos estivesse contido no outro, existiriam

\[ a\in A\setminus B, \qquad b\in B\setminus A. \]

Se \(a\le b\), o fechamento de \(A\) para cima daria \(b\in A\), contradição. Se \(b\le a\), o fechamento de \(B\) para cima daria \(a\in B\), novamente uma contradição. Logo um dos cortes está propriamente contido no outro.

Definição 3.33
Definimos
\[ \widehat{\mathbb {R}}:=\{ A\subseteq \mathbb {Q}:A\text{ é um corte de Dedekind}\} . \]
Para \(A,B\in \widehat{\mathbb {R}}\), definimos a ordem por inclusão reversa:
\[ A\lt B\iff A\supsetneqq B, \qquad A\le B\iff A\supseteq B. \]

Essa inversão é natural para cortes superiores: se \(r\lt s\), então

\[ Q_r\supsetneqq Q_s. \]

Proposição 3.34
Seja \(A\in \widehat{\mathbb {R}}\) e \(r\in \mathbb {Q}\). Então:

  1. \(A\gt Q_r\) se, e somente se, existe \(q\in A^{\mathsf c}\) tal que \(q\gt r\);

  2. \(A\ge Q_r\) se, e somente se, \(r\in A^{\mathsf c}\);

  3. se \(A\lt Q_0\), então \(-A\gt Q_0\), onde \(-A\) será definido a seguir.

Demonstração ▼

Para o item 1, suponha primeiro \(A\gt Q_r\). Pela definição da ordem, \(A\varsubsetneqq Q_r\). Escolha \(q\in Q_r\setminus A\). Então \(q\in A^{\mathsf c}\) e \(q\gt r\).

Reciprocamente, suponha que exista \(q\in A^{\mathsf c}\) com \(q\gt r\). Pela Proposição 3.31, todo \(a\in A\) satisfaz \(a\gt q\gt r\), logo \(A\subseteq Q_r\). Como \(q\in Q_r\setminus A\), a inclusão é estrita e \(A\gt Q_r\).

O item 2 é uma reformulação da mesma ideia: \(A\ge Q_r\) significa \(A\subseteq Q_r\), o que equivale a \(r\notin A\), isto é, \(r\in A^{\mathsf c}\).

O item 3 será concluído depois da definição do oposto, mas registramos aqui a consequência que será usada na definição do produto. Sua verificação aparece ao final da Proposição 3.36.

3.4.2 Operações com cortes

Começamos pela soma e pelo oposto.

Definição 3.35
Para \(A,B\in \widehat{\mathbb {R}}\), definimos
\[ A+B=\{ a+b:a\in A,\ b\in B\} \]
e
\[ -A=\{ r\in \mathbb {Q}:-r\lt c\text{ para algum }c\in A^{\mathsf c}\} . \]

Proposição 3.36
Sejam \(A,B\in \widehat{\mathbb {R}}\).

  1. \(A+B\) é um corte de Dedekind;

  2. \(-A\) é um corte de Dedekind;

  3. se \(A\ge Q_0\) e \(B\ge Q_0\), então

    \[ AB:=\{ ab:a\in A,\ b\in B\} \]

    é um corte de Dedekind;

  4. se \(A\gt Q_0\), então

    \[ I(A):=\left\{ r\in \mathbb {Q}:r\gt 0\text{ e }\frac1r\lt c \text{ para algum }c\in A^{\mathsf c}\right\} \]

    é um corte de Dedekind.

Demonstração ▼

Para o item 1, \(A+B\) é não vazio. Se \(p\in A^{\mathsf c}\) e \(q\in B^{\mathsf c}\), então \(p\lt a\) e \(q\lt b\) para todos \(a\in A\), \(b\in B\); logo \(p+q\lt a+b\) para todo \(a+b\in A+B\), e portanto \(p+q\notin A+B\). Assim, \(A+B\ne \mathbb {Q}\).

Se \(r=a+b\in A+B\) e \(s\ge r\), então

\[ a'=a+(s-r)\ge a. \]

Como \(A\) é fechado para cima, \(a'\in A\), e \(s=a'+b\in A+B\). Finalmente, se \(r=a+b\in A+B\), escolha \(a'\in A\) com \(a'\lt a\); então \(a'+b\in A+B\) e \(a'+b\lt r\). Logo \(A+B\) não possui mínimo.

Para o item 2, escolha \(c\in A^{\mathsf c}\). Então \(-c+1\in -A\), logo \(-A\ne \varnothing \). Se \(a\in A\), não pode existir \(c\in A^{\mathsf c}\) com \(a\lt c\), pois todo elemento de \(A^{\mathsf c}\) é menor que todo elemento de \(A\). Portanto \(-a\notin -A\), e \(-A\ne \mathbb {Q}\).

Se \(r\in -A\) e \(s\ge r\), existe \(c\in A^{\mathsf c}\) com \(-r\lt c\); como \(-s\le -r\lt c\), temos \(s\in -A\). Se \(r\in -A\), escolha \(c\in A^{\mathsf c}\) com \(-r\lt c\) e depois, pela densidade de \(\mathbb {Q}\), escolha \(d\) com

\[ -r\lt d\lt c. \]

Então \(-d\lt r\) e \(-(-d)=d\lt c\), logo \(-d\in -A\). Portanto \(-A\) não tem mínimo.

Para o item 3, observe que \(A\ge Q_0\) e \(B\ge Q_0\) significam \(A,B\subseteq Q_0\); em particular, todos os seus elementos são positivos. Assim, \(AB\ne \varnothing \) e \(0\notin AB\), logo \(AB\ne \mathbb {Q}\). Se \(r=ab\in AB\) e \(s\ge r\), então \(b\gt 0\) e

\[ a'=\frac{s}{b}\ge a. \]

Logo \(a'\in A\) e \(s=a'b\in AB\). Se \(r=ab\in AB\), escolha \(a'\in A\) com \(0\lt a'\lt a\); então \(a'b\lt ab\), mostrando que \(AB\) não possui mínimo.

Para o item 4, como \(A\gt Q_0\), o item 1 da Proposição 3.34 fornece \(c_0\in A^{\mathsf c}\) com \(c_0\gt 0\). Então qualquer racional \(r\gt 1/c_0\) pertence a \(I(A)\), de modo que \(I(A)\ne \varnothing \). Escolha \(a\in A\). Como \(A\subseteq Q_0\), temos \(a\gt 0\); o número \(1/a\) não pertence a \(I(A)\), pois a condição \(a\lt c\) é impossível para \(c\in A^{\mathsf c}\). Logo \(I(A)\ne \mathbb {Q}\).

Se \(r\in I(A)\) e \(s\ge r\), então \(s\gt 0\) e \(1/s\le 1/r\lt c\) para algum \(c\in A^{\mathsf c}\), logo \(s\in I(A)\). Por fim, se \(r\in I(A)\), escolha \(c\in A^{\mathsf c}\) com \(1/r\lt c\). Pela densidade de \(\mathbb {Q}\), existe \(d\) tal que

\[ \frac1r\lt d\lt c. \]

Então \(d\gt 0\), \(r'=1/d\lt r\) e \(1/r'=d\lt c\). Logo \(r'\in I(A)\), e \(I(A)\) não possui mínimo.

Resta justificar o item 3 da Proposição 3.34. Se \(A\lt Q_0\), então \(A\supsetneqq Q_0\). Existe, portanto, \(a_0\in A\) com \(a_0\le 0\); como \(A\) não tem mínimo, podemos escolher \(a\in A\) com \(a\lt 0\). Todo \(c\in A^{\mathsf c}\) satisfaz \(c\lt a\lt 0\). Se \(r\in -A\), então \(-r\lt c\lt 0\) para algum \(c\in A^{\mathsf c}\), e portanto \(r\gt 0\). Logo \(-A\subseteq Q_0\). Além disso, \(-a/2\gt 0\) não pertence a \(-A\), pois \(a/2\gt a\gt c\) para todo \(c\in A^{\mathsf c}\). Assim \(-A\varsubsetneqq Q_0\), isto é, \(-A\gt Q_0\).

Agora podemos definir o produto em todos os casos e o inverso de todo elemento não nulo.

Definição 3.37
Para \(A,B\in \widehat{\mathbb {R}}\), definimos
\[ A\cdot B= \begin{cases} \{ ab:a\in A,\ b\in B\} ,& A\ge Q_0,\ B\ge Q_0,\\ -[(-A)\cdot B],& A\lt Q_0,\ B\ge Q_0,\\ -[A\cdot (-B)],& A\ge Q_0,\ B\lt Q_0,\\ (-A)\cdot (-B),& A\lt Q_0,\ B\lt Q_0. \end{cases} \]
Se \(A\ne Q_0\), definimos
\[ A^{-1}= \begin{cases} I(A),& A\gt Q_0,\\ -I(-A),& A\lt Q_0. \end{cases} \]

Uma pequena propriedade de aproximação dos cortes será útil para identificar o oposto aditivo.

Lema 3.38 (Lacunas racionais arbitrariamente pequenas)
Se \(A\in \widehat{\mathbb {R}}\) e \(\varepsilon \in \mathbb {Q}\), \(\varepsilon \gt 0\), existem \(c\in A^{\mathsf c}\) e \(a\in A\) tais que
\[ 0\lt a-c\lt \varepsilon . \]

Demonstração ▼

Escolha \(c_0\in A^{\mathsf c}\) e \(a_0\in A\). Pela Proposição 3.31, \(c_0\lt a_0\). Escolha \(N\in \mathbb {N}\) tal que

\[ h:=\frac{a_0-c_0}{N}\lt \varepsilon . \]

Entre os pontos \(c_0+kh\), \(k=0,\ldots ,N\), o primeiro está fora de \(A\) e o último pertence a \(A\). Seja \(k_0\) o menor índice para o qual \(c_0+k_0h\in A\). Então

\[ c=c_0+(k_0-1)h\in A^{\mathsf c}, \qquad a=c_0+k_0h\in A, \]

e \(a-c=h\lt \varepsilon \).

Teorema 3.39 (Estrutura algébrica e de ordem dos cortes)
Com a ordem e as operações acima, \(\widehat{\mathbb {R}}\) é um corpo ordenado. Seu zero é \(Q_0\) e sua unidade é \(Q_1\).

Demonstração ▼

A Proposição 3.32 mostra que a ordem é total. A associatividade e a comutatividade da soma seguem diretamente das propriedades correspondentes em \(\mathbb {Q}\).

Mostremos a identidade aditiva. Se \(a\in A\), escolha \(c\in A\) com \(c\lt a\). Como \(a-c\gt 0\), temos \(a-c\in Q_0\), e

\[ a=c+(a-c)\in A+Q_0. \]

Logo \(A\subseteq A+Q_0\). Reciprocamente, se \(d=s+t\in A+Q_0\), então \(t\gt 0\), de modo que \(d\gt s\). Como \(s\in A\) e \(A\) é fechado para cima, \(d\in A\). Portanto

\[ A+Q_0=A. \]

Agora provemos que \(-A\) é de fato o oposto aditivo de \(A\). Se \(x=a+t\in A+(-A)\), existe \(c\in A^{\mathsf c}\) tal que \(-t\lt c\). Pela Proposição 3.31, \(c\lt a\); logo \(-t\lt a\), isto é, \(x=a+t\gt 0\). Assim,

\[ A+(-A)\subseteq Q_0. \]

Para a inclusão inversa, seja \(x\in Q_0\), isto é, \(x\gt 0\). Pelo Lema 3.38, escolha \(c\in A^{\mathsf c}\) e \(a\in A\) com \(a-c\lt x\). Então

\[ a-x\lt c, \]

portanto \(x-a\in -A\). Consequentemente,

\[ x=a+(x-a)\in A+(-A). \]

Logo \(A+(-A)=Q_0\).

A compatibilidade da ordem com a soma também é transparente. Se \(A\lt B\), então \(A\supsetneqq B\), e portanto \(A+C\supseteq B+C\). A inclusão não pode ser uma igualdade: se fosse, somando \(-C\) aos dois lados e usando associatividade e o oposto já provados, obteríamos \(A=B\). Assim,

\[ A+C\lt B+C. \]

As verificações multiplicativas — associatividade, unidade, inverso, distributividade e compatibilidade da ordem com o produto positivo — são mais longas por causa da separação em casos de sinal, mas não introduzem uma ideia nova. Elas constituem o Exercício 3.8. Com essas verificações, todos os axiomas de corpo ordenado ficam estabelecidos.

3.4.3 Completude dos cortes

A grande vantagem da convenção por cortes superiores aparece agora: o ínfimo de uma família é simplesmente sua união.

Proposição 3.40
Se \(\mathcal A\) é uma família não vazia de cortes de Dedekind e
\[ \bigcup _{X\in \mathcal A}X\ne \mathbb {Q}, \]
então \(\bigcup _{X\in \mathcal A}X\) é um corte de Dedekind.

Demonstração ▼

Defina \(L=\bigcup _{X\in \mathcal A}X\). O conjunto \(L\) é não vazio e, por hipótese, próprio. Se \(x\in L\), então \(x\in X\) para algum \(X\in \mathcal A\). Para \(y\ge x\), o fechamento de \(X\) para cima dá \(y\in X\subseteq L\). Finalmente, como \(X\) não possui mínimo, existe \(z\in X\subseteq L\) com \(z\lt x\). Portanto \(L\) é um corte.

Teorema 3.41 (Existência do ínfimo)
Todo subconjunto não vazio de \(\widehat{\mathbb {R}}\) que é limitado inferiormente possui ínfimo.

Demonstração ▼

Seja \(\mathcal A\subseteq \widehat{\mathbb {R}}\) não vazio e limitado inferiormente. Defina

\[ L=\bigcup _{X\in \mathcal A}X. \]

Como \(\mathcal A\) possui um limitante inferior, existe \(B\in \widehat{\mathbb {R}}\) tal que

\[ B\le X\qquad \text{para todo }X\in \mathcal A. \]

Pela definição da ordem reversa, isso significa \(B\supseteq X\) para todo \(X\in \mathcal A\). Logo

\[ L\subseteq B\ne \mathbb {Q}. \]

A Proposição 3.40 mostra então que \(L\in \widehat{\mathbb {R}}\).

Para cada \(X\in \mathcal A\), temos \(L\supseteq X\), portanto \(L\le X\). Assim, \(L\) é um limitante inferior de \(\mathcal A\).

Se \(B'\) é qualquer outro limitante inferior, então \(B'\supseteq X\) para todo \(X\in \mathcal A\); consequentemente,

\[ B'\supseteq \bigcup _{X\in \mathcal A}X=L. \]

Pela ordem reversa, isso equivale a \(B'\le L\). Logo \(L\) é o maior dos limitantes inferiores, isto é,

\[ L=\inf \mathcal A. \]

Corolário 3.42 (Propriedade do supremo)
Todo subconjunto não vazio de \(\widehat{\mathbb {R}}\) que é limitado superiormente possui supremo.

Demonstração ▼

Seja \(S\subseteq \widehat{\mathbb {R}}\) não vazio e limitado superiormente. Então

\[ -S:=\{ -x:x\in S\} \]

é não vazio e limitado inferiormente. Seja \(m=\inf (-S)\). Para \(x\in S\), temos \(m\le -x\), logo \(x\le -m\); portanto \(-m\) é cota superior de \(S\). Se \(u\) é outra cota superior de \(S\), então \(-u\) é cota inferior de \(-S\), de modo que \(-u\le m\), ou seja, \(-m\le u\). Portanto

\[ -m=\sup S. \]

Teorema 3.43 (Construção de Dedekind)
O conjunto \(\widehat{\mathbb {R}}\), munido das operações e da ordem definidas acima, é um corpo ordenado completo.

Temos, assim, duas construções concretas de um corpo ordenado completo: \(\widetilde{\mathbb {R}}\), obtido de sequências de Cauchy, e \(\widehat{\mathbb {R}}\), obtido de cortes de Dedekind. Pelo Teorema 3.26, elas são isomorfas como corpos ordenados.

O ponto conceitual do capítulo é justamente este: a partir daqui, a maneira escolhida para construir os reais deixa de ser essencial. O que usaremos nos capítulos seguintes são suas propriedades abstratas — corpo, ordem e completude. As duas construções servem para garantir que esse objeto existe e que não há ambiguidade estrutural em chamá-lo de os números reais.

3.5 Exercícios

As verificações deixadas fora do fluxo principal estão reunidas aqui. Elas completam os detalhes algébricos das duas construções sem interromper a linha conceitual do capítulo.

Exercício 3.1

Demonstre os três itens da Proposição 3.4, usando o Lema 3.3. Em particular, mostre explicitamente por que o produto de uma sequência nula por uma sequência de Cauchy é nulo.

Exercício 3.2

Complete a demonstração do Teorema 3.13: verifique diretamente, nas classes de equivalência, a associatividade e a comutatividade da soma e do produto, a existência do oposto aditivo e a distributividade. Indique em cada passo onde é usada a boa definição das operações.

Exercício 3.3

Mostre que, para \(r\in \widetilde{\mathbb {R}}\), as seguintes condições são equivalentes:

  1. \(r\gt 0\);

  2. todo representante \(x=(x_n)\) de \(r\) é eventualmente positivo e fica uniformemente afastado de zero, isto é, existem \(a\gt 0\) racional e \(N\) tais que \(x_n\gt a\) para \(n\ge N\);

  3. algum representante possui essa propriedade.

Explique por que a condição “eventualmente positivo” sem afastamento uniforme de zero não seria suficiente para distinguir um número positivo do zero.

Ver solução

A condição (2) implica (3). Pela definição da ordem nas classes, (3) implica (1). Se (1) vale, um representante \((y_n)\) satisfaz \(y_n\gt a\gt 0\) a partir de certo índice. Para qualquer outro representante \((x_n)\), temos \(x_n-y_n\to 0\); portanto, eventualmente, \(x_n\gt a/2\gt 0\). Isso prova (2).

A sequência \(x_n=1/n\) é positiva em todos os índices, mas é nula e representa a classe zero. Logo a positividade eventual, sem afastamento uniforme, não distingue uma classe positiva da classe zero.

Exercício 3.4

Prove que o mergulho canônico \(\varphi :\mathbb {Q}\to \widetilde{\mathbb {R}}\) do Teorema 3.15 preserva também subtração, inversos multiplicativos não nulos e valor absoluto.

Ver solução

Como \(\varphi (p)=\left[ \bar p \right]\), as operações nas classes dão

\[ \varphi (p-q)=\left[ \overline{p-q} \right] =\left[ \bar p \right]-\left[ \bar q \right]=\varphi (p)-\varphi (q). \]

Se \(p\ne 0\), a classe da sequência constante \(1/p\) é o inverso da classe de \(\bar p\), pois seu produto é a classe de \(\bar1\). Logo \(\varphi (1/p)=\varphi (p)^{-1}\).

Finalmente, se \(p\ge 0\), a preservação da ordem dá \(\varphi (|p|)=\varphi (p)=|\varphi (p)|\). Se \(p\lt 0\), a preservação dos opostos dá \(\varphi (|p|)=\varphi (-p)=-\varphi (p)=|\varphi (p)|\).

Exercício 3.5

Mostre que a definição de corte superior usada neste capítulo é equivalente à seguinte: uma decomposição \(\mathbb {Q}=L\sqcup U\), com \(L,U\ne \varnothing \), tal que \(x\lt y\) para todos \(x\in L\), \(y\in U\), e \(U\) não possui elemento mínimo.

Exercício 3.6

Prove diretamente que

\[ D_2=\{ q\in \mathbb {Q}:q\gt 0\text{ e }q^2\gt 2\} \]

é um corte de Dedekind. Mostre que ele não possui ínfimo em \(\mathbb {Q}\). Você pode usar a irracionalidade de \(\sqrt2\) já estabelecida no Capítulo 1, mas a definição do conjunto e todas as verificações devem permanecer internas a \(\mathbb {Q}\).

Exercício 3.7

Mostre que a aplicação

\[ \iota :\mathbb {Q}\longrightarrow \widehat{\mathbb {R}}, \qquad \iota (r)=Q_r, \]

é injetora e preserva ordem e soma. Depois de estabelecidas as propriedades multiplicativas do exercício seguinte, mostre também que \(Q_rQ_s=Q_{rs}\) para \(r,s\ge 0\), e conclua a preservação do produto para todos os sinais.

Ver solução

Se \(r\lt s\), então \(Q_r\supsetneqq Q_s\): a inclusão decorre de \(q\gt s\Rightarrow q\gt r\), e \(s\in Q_r\setminus Q_s\). A ordem reversa dos cortes dá \(Q_r\lt Q_s\). Isso prova a preservação da ordem e também a injetividade.

Para a soma, se \(u\gt r\) e \(v\gt s\), então \(u+v\gt r+s\), logo \(Q_r+Q_s\subseteq Q_{r+s}\). Reciprocamente, dado \(t\gt r+s\), defina o racional \(\delta =(t-r-s)/2\gt 0\). Então

\[ t=(r+\delta )+(s+\delta )\in Q_r+Q_s. \]

Portanto \(Q_r+Q_s=Q_{r+s}\).

Suponha agora \(r,s\ge 0\). Se \(u\gt r\) e \(v\gt s\), ambos são positivos e \(uv\gt rs\), logo \(Q_rQ_s\subseteq Q_{rs}\). Dado \(t\gt rs\), escolha um racional \(\delta \gt 0\) tão pequeno que \((r+\delta )(s+\delta )\lt t\). Por exemplo, basta tomar

\[ 0\lt \delta \lt \min \left\{ 1,\frac{t-rs}{r+s+1}\right\} . \]

Ponha \(u=r+\delta \) e \(v=t/u\). Temos \(u\gt r\) e \(v\gt s\), logo \(t=uv\in Q_rQ_s\). Assim, \(Q_rQ_s=Q_{rs}\), inclusive quando \(r=0\) ou \(s=0\).

Pela definição do oposto, \(-Q_r=Q_{-r}\): para um racional \(t\), a condição \(-t\lt c\le r\) para algum \(c\in \mathbb {Q}\) equivale a \(t\gt -r\). As definições do produto por casos de sinal reduzem então o caso geral ao caso não negativo e fornecem \(Q_rQ_s=Q_{rs}\) para quaisquer \(r,s\in \mathbb {Q}\).

Exercício 3.8

Complete a demonstração do Teorema 3.39. Prove:

  1. \(-A=Q_{-1}\cdot A\) e \(-(-A)=A\);

  2. \((AB)C=A(BC)\) e \(AB=BA\);

  3. \(AQ_1=A\);

  4. se \(A\ne Q_0\), então \(AA^{-1}=Q_1\);

  5. \(A(B+C)=AB+AC\);

  6. se \(A\lt B\) e \(C\gt Q_0\), então \(AC\lt BC\).

Nos itens envolvendo sinais negativos, reduza primeiro ao caso não negativo usando as definições por casos. Registre cuidadosamente onde o fato de os cortes não possuírem mínimo é necessário.

Exercício 3.9

Dê uma prova direta da propriedade do supremo em \(\widehat{\mathbb {R}}\), sem passar pelo ínfimo e pela negação. Sugestão: procure descrever \(\sup \mathcal A\) em termos de interseções de cortes e determine qual pequena correção pode ser necessária para garantir a ausência de elemento mínimo.

Ver solução

Seja \(\mathcal A\) uma família não vazia de cortes, limitada superiormente na ordem reversa, e ponha

\[ H=\bigcap _{X\in \mathcal A}X. \]

Uma cota superior \(U\) satisfaz \(U\subseteq X\) para todo \(X\in \mathcal A\); assim \(U\subseteq H\), e \(H\ne \varnothing \). O conjunto \(H\) é próprio e fechado para cima. Se não possui mínimo, defina \(S=H\). Se possui mínimo \(h\), defina \(S=H\setminus \{ h\} \). Neste último caso, \(H=\{ q\in \mathbb {Q}:q\ge h\} \), e portanto \(S=Q_h\). Em ambos os casos, \(S\) é um corte.

Como \(S\subseteq X\) para todo \(X\in \mathcal A\), o corte \(S\) é cota superior. Seja \(V\) outra cota superior. Temos \(V\subseteq H\). Se \(H\) tem mínimo \(h\), o corte \(V\) não pode conter \(h\), pois não possui mínimo e então teria de conter um ponto menor que \(h\). Logo, em qualquer caso, \(V\subseteq S\).

Na ordem reversa, essa inclusão significa \(S\le V\). Portanto \(S\) é a menor cota superior de \(\mathcal A\), isto é, \(S=\sup \mathcal A\).

Exercício 3.10

Usando o Teorema 3.26, construa o isomorfismo de corpos ordenados entre \(\widetilde{\mathbb {R}}\) e \(\widehat{\mathbb {R}}\) e mostre que ele envia a classe da sequência constante \(\bar q\) no corte racional \(Q_q\), para todo \(q\in \mathbb {Q}\).

Ver solução
Seja \(\varphi :\mathbb {Q}\to \widetilde{\mathbb {R}}\) o mergulho nas classes de Cauchy. A construção do teorema de unicidade fornece o isomorfismo
\[ \Phi (r)=\sup _{\widehat{\mathbb {R}}}\{ Q_p:p\in \mathbb {Q},\ \varphi (p)\lt r\} . \]
Para \(r=\left[ \bar q \right]=\varphi (q)\), a preservação da ordem dá
\[ \Phi (\left[ \bar q \right])=\sup _{\widehat{\mathbb {R}}}\{ Q_p:p\lt q\} . \]
O corte \(Q_q\) é cota superior dessa família. Além disso,
\[ \bigcap _{p\lt q}Q_p=\{ t\in \mathbb {Q}:t\ge q\} . \]
Pela descrição do supremo por interseção, removemos o mínimo \(q\) e obtemos precisamente \(Q_q\). Portanto \(\Phi (\left[ \bar q \right])=Q_q\).