Capítulo 7

Continuidade em espaços métricos

Até aqui, a métrica nos permitiu falar de proximidade entre pontos, de convergência de sequências e da estrutura de conjuntos. Agora passamos a uma pergunta diferente: como uma função transforma essa proximidade?

Há duas escalas no capítulo. A primeira é local. Queremos compreender o comportamento de \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima de um ponto e, em particular, quando esse comportamento é compatível com o valor da própria função. A segunda é global: sob hipóteses como compacidade e conexidade, a continuidade passa a impor restrições fortes à imagem da função.

Esse percurso começa com limites, chega à continuidade e termina mostrando que uma hipótese local pode preservar estruturas globais inteiras.

7.1 Limites

O limite descreve o comportamento de uma função ao redor de um ponto. Se \(x\) se aproxima de \(p\), perguntamos se \(f(x)\) se aproxima de algum \(q\). O valor de \(f\) no próprio ponto \(p\) não participa dessa pergunta; por isso \(p\) nem sequer precisa pertencer ao domínio.

Definição 7.1

Sejam \((X,d_X)\) e \((Y,d_Y)\) espaços métricos, seja \(E\subset X\) e seja \(p\in X\) um ponto de acumulação de \(E\). Dizemos que o limite de \(f\colon E\to Y\) quando \(x\) tende a \(p\) é \(q\in Y\), e escrevemos

\[ \lim _{x\to p}f(x)=q, \]

se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que

\[ d_Y(f(x),q)\lt \varepsilon \qquad \text{sempre que}\qquad 0\lt d_X(x,p)\lt \delta \ \text{e}\ x\in E. \]

forall ε > 0, exists δ > 0 tal que 0< |x-p|< δ Longrightarrow |f(x)-q|< ε . Figura 7.1 Interpretação geométrica da definição de limite. Se 0< |x-p|< δ , então f(x) permanece na faixa horizontal |f(x)-q|< ε . — Figura 7.1 Interpretação geométrica da definição de limite. Se \(0\lt |x-p|\lt \delta \), então \(f(x)\) permanece na faixa horizontal \( |f(x)-q|\lt \varepsilon \).

A hipótese de que \(p\) seja ponto de acumulação de \(E\) é indispensável, pois o limite descreve o comportamento de \(f(x)\) quando \(x\) se aproxima de \(p\) por pontos de \(E\) distintos de \(p\). Em particular, não é necessário que \(p\in E\); e, mesmo quando \(p\in E\), o valor de \(f(p)\) não intervém na definição do limite.

Proposição 7.2

Se o limite de uma função em um ponto existe, então ele é único.

Demonstração ▼

Suponha que \(\lim _{x\to p}f(x)=q_1\) e \(\lim _{x\to p}f(x)=q_2\). Vamos mostrar que \(q_1=q_2\).

Seja \(\varepsilon \gt 0\). Pela definição de limite, existem \(\delta _1,\delta _2\gt 0\) tais que

\[ 0\lt d_X(x,p)\lt \delta _1 \quad \Rightarrow \quad d_Y(f(x),q_1)\lt \frac{\varepsilon }{2}, \]

\[ 0\lt d_X(x,p)\lt \delta _2 \quad \Rightarrow \quad d_Y(f(x),q_2)\lt \frac{\varepsilon }{2}. \]

Tomando \(\delta =\min \{ \delta _1,\delta _2\} \) e usando que \(p\) é ponto de acumulação de \(E\), existe \(x\in E\) com \(0\lt d_X(x,p)\lt \delta \). Para esse ponto, temos simultaneamente

\[ d_Y(f(x),q_1)\lt \frac{\varepsilon }{2} \qquad \text{e}\qquad d_Y(f(x),q_2)\lt \frac{\varepsilon }{2}. \]

Pela desigualdade triangular,

\[ d_Y(q_1,q_2)\le d_Y(q_1,f(x))+d_Y(f(x),q_2)\lt \varepsilon . \]

Como \(\varepsilon \gt 0\) é arbitrário, segue que \(d_Y(q_1,q_2)=0\), e portanto \(q_1=q_2\).

Exemplo 7.3

Considere \(f\colon \mathbb {R}\setminus \{ 1\} \to \mathbb {R}\) dada por

\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. \]

Para \(x\neq 1\), temos \(f(x)=x+1\). Assim,

\[ \lim _{x\to 1} f(x)=\lim _{x\to 1}(x+1)=2. \]

Embora \(f\) não esteja definida em \(1\), o limite existe; portanto, o ponto em torno do qual se toma o limite não precisa pertencer ao domínio.

Em espaços métricos, essa noção admite uma caracterização sequencial particularmente útil.

Teorema 7.4

Sejam \((X,d_X)\) e \((Y,d_Y)\) espaços métricos, seja \(E\subset X\), seja \(f\colon E\to Y\) e seja \(p\) um ponto de acumulação de \(E\). Então

\[ \lim _{x\to p}f(x)=q \]

se, e somente se, para toda sequência \(\{ p_n\} \) em \(E\) tal que \(p_n\neq p\) para todo \(n\) e \(p_n\to p\), vale

\[ f(p_n)\to q. \]

Demonstração ▼

Suponha primeiro que \(\lim _{x\to p}f(x)=q\), e seja \(\{ p_n\} \) uma sequência em \(E\) tal que \(p_n\neq p\) para todo \(n\) e \(p_n\to p\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), pela definição de limite existe \(\delta \gt 0\) tal que, sempre que \(x\in E\) e \(0\lt d_X(x,p)\lt \delta \), temos \(d_Y(f(x),q)\lt \varepsilon \). Como \(p_n\to p\), existe \(N\in \mathbb {N}\) tal que, para todo \(n\ge N\), vale \(d_X(p_n,p)\lt \delta \). Como, além disso, \(p_n\neq p\), segue que \(0\lt d_X(p_n,p)\lt \delta \) para todo \(n\ge N\). Portanto, \(d_Y(f(p_n),q)\lt \varepsilon \) para todo \(n\ge N\), e assim \(f(p_n)\to q\).

Reciprocamente, suponha que a condição sequencial seja verdadeira e que \(\lim _{x\to p}f(x)\neq q\). Negando a definição de limite, obtemos a existência de \(\varepsilon _0\gt 0\) tal que, para todo \(\delta \gt 0\), existe \(x\in E\) com

\[ 0\lt d_X(x,p)\lt \delta \qquad \text{e}\qquad d_Y(f(x),q)\ge \varepsilon _0. \]

Aplicando isso a \(\delta =1/n\), escolhemos, para cada \(n\in \mathbb {N}\), um ponto \(p_n\in E\) tal que

\[ 0\lt d_X(p_n,p)\lt \frac1n \qquad \text{e}\qquad d_Y(f(p_n),q)\ge \varepsilon _0. \]

Então \(p_n\neq p\) para todo \(n\) e \(p_n\to p\). Pela hipótese sequencial, deveríamos ter \(f(p_n)\to q\), o que é impossível, já que \(d_Y(f(p_n),q)\ge \varepsilon _0\) para todo \(n\). Essa contradição mostra que \(\lim _{x\to p}f(x)=q\).

Exemplo 7.5

Defina \(f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}\) por

\[ f(x)= \begin{cases} 0, & \text{se }x\in \mathbb {Q}, \\ 1, & \text{se }x\in \mathbb {R}\setminus \mathbb {Q}. \end{cases} \]

Então, para todo \(a\in \mathbb {R}\), o limite \(\lim _{x\to a} f(x)\) não existe.

De fato, podemos escolher uma sequência \(\{ x_n\} \) de números racionais com \(x_n\to a\). Então \(f(x_n)=0\) para todo \(n\), de modo que \(f(x_n)\to 0\). Por outro lado, podemos escolher uma sequência \(\{ y_n\} \) de números irracionais com \(y_n\to a\). Então \(f(y_n)=1\) para todo \(n\), de modo que \(f(y_n)\to 1\). Como os limites ao longo dessas duas sequências são diferentes, o limite de \(f\) em \(a\) não existe.

Entretanto, se definirmos \(g(x)=(x-a)f(x)\), então \(\lim _{x\to a} g(x)=0\), pois \(|g(x)|\le |x-a|\) para todo \(x\).

Exemplo 7.6

Defina \(f\colon \mathbb {Q}\to \mathbb {R}\) do seguinte modo: para cada número racional \(\frac pq\in \mathbb {Q}\), escrito em forma irredutível com \(q\gt 0\), ponha

\[ f\! \left(\frac pq\right)=\frac1q. \]

Então, para todo número irracional \(a\in \mathbb {R}\setminus \mathbb {Q}\), vale

\[ \lim _{x\to a} f(x)=0, \]

onde \(x\) percorre apenas valores racionais.

De fato, dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(N\in \mathbb {N}\) com \(1/N\lt \varepsilon \). Em qualquer intervalo limitado, há apenas finitos racionais, em forma irredutível, com denominador menor que \(N\). Como \(a\) é irracional, podemos tomar \(x\in \mathbb {Q}\) arbitrariamente próximo de \(a\) sem coincidir com nenhum deles. Se \(x=\frac pq\) está em forma irredutível, então \(q\ge N\), e por isso

\[ f(x)=\frac1q\le \frac1N\lt \varepsilon . \]

Logo, \(f(x)\to 0\) quando \(x\to a\) com \(x\in \mathbb {Q}\).

Exemplo 7.7

Um exemplo clássico de função sem limite em um ponto é a função \(f\colon \mathbb {R}\setminus \{ 0\} \to \mathbb {R}\) dada por \(f(x)=\sin \! \left(\frac1x\right)\).

Tomando \(x_n=\frac1{n\pi }\), temos \(x_n\to 0\) e \(f(x_n)=\sin (n\pi )=0\). Por outro lado, tomando \(y_n=\frac1{2n\pi +\pi /2}\), temos \(y_n\to 0\) e

\[ f(y_n)=\sin \! \left(2n\pi +\frac\pi 2\right)=1. \]

Logo,

\[ \lim _{x\to 0}\sin \! \left(\frac1x\right) \]

não existe.

Apesar disso, a função é limitada por \(1\) em módulo. Portanto, se \(g\colon \mathbb {R}\setminus \{ 0\} \to \mathbb {R}\) satisfaz \(\lim _{x\to 0} g(x)=0\), então

\[ \lim _{x\to 0} g(x)\sin \! \left(\frac1x\right)=0, \]

pois \(\bigl|g(x)\sin \! \left(\frac1x\right)\bigr|\le |g(x)|\) para todo \(x\neq 0\). Em particular,

\[ \lim _{x\to 0} x^n\sin \! \left(\frac1x\right)=0 \qquad \text{para todo }n\in \mathbb {N}. \]

Figura 7.2 Gráfico de f(x)=sin (frac1x), definida em ℝsetminus \ 0\ . — Figura 7.2 Gráfico de \(f(x)=\sin \! \left(\frac1x\right)\), definida em \(\mathbb {R}\setminus \{ 0\} \).

Álgebra de limites

No caso de funções reais, os limites são compatíveis com as operações algébricas usuais. Para enunciar esse fato com precisão, fixemos antes a notação.

Definição 7.8

Sejam \(f,g\colon E\to \mathbb {R}\) funções reais. Definimos, ponto a ponto,

\[ (f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x),\qquad (fg)(x)=f(x)g(x), \]

e, nos pontos em que \(g(x)\neq 0\),

\[ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}. \]

Além disso, para uma constante \(c\in \mathbb {R}\), denotamos por \(f=c\) a função constante dada por \(f(x)=c\) para todo \(x\in E\).

Teorema 7.9

Seja \(p\) um ponto de acumulação de \(E\subset X\). Se \(f,g\colon E\to \mathbb {R}\) satisfazem \(\lim _{x\to p}f(x)=A\) e \(\lim _{x\to p}g(x)=B\), então:

\(\displaystyle \lim _{x\to p}(f+g)(x)=A+B\);
\(\displaystyle \lim _{x\to p}(fg)(x)=AB\);
\(\displaystyle \lim _{x\to p}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{A}{B}\), desde que \(B\neq 0\).

Demonstração ▼

Provamos cada item separadamente.

(a) Seja \(\varepsilon \gt 0\). Como \(f(x)\to A\) e \(g(x)\to B\), existem \(\delta _1,\delta _2\gt 0\) tais que

\[ 0\lt d_X(x,p)\lt \delta _1 \ \Rightarrow \ |f(x)-A|\lt \frac{\varepsilon }{2}, \]

\[ 0\lt d_X(x,p)\lt \delta _2 \ \Rightarrow \ |g(x)-B|\lt \frac{\varepsilon }{2}. \]

Se \(\delta =\min \{ \delta _1,\delta _2\} \), então, para \(x\in E\) com \(0\lt d_X(x,p)\lt \delta \),

\[ |(f+g)(x)-(A+B)|\le |f(x)-A|+|g(x)-B|\lt \varepsilon . \]

Assim, \((f+g)(x)\to A+B\).

(b) Seja \(\varepsilon \gt 0\). Como \(f(x)\to A\), existe \(\delta _1\gt 0\) tal que

\[ 0\lt d_X(x,p)\lt \delta _1 \ \Rightarrow \ |f(x)-A|\lt 1. \]

Para esses pontos, segue que \(|f(x)|\le |A|+1\). Além disso, existem \(\delta _2,\delta _3\gt 0\) tais que

\[ 0\lt d_X(x,p)\lt \delta _2 \ \Rightarrow \ |g(x)-B|\lt \frac{\varepsilon }{2(|A|+1)}, \]

\[ 0\lt d_X(x,p)\lt \delta _3 \ \Rightarrow \ |f(x)-A|\lt \frac{\varepsilon }{2(|B|+1)}. \]

Tomando \(\delta =\min \{ \delta _1,\delta _2,\delta _3\} \), para \(0\lt d_X(x,p)\lt \delta \) temos

\[ f(x)g(x)-AB=f(x)(g(x)-B)+B(f(x)-A), \]

e, portanto,

\[ |f(x)g(x)-AB| \le |f(x)|\, |g(x)-B|+|B|\, |f(x)-A|. \]

Usando as estimativas acima, obtemos

\[ |f(x)g(x)-AB| \lt (|A|+1)\frac{\varepsilon }{2(|A|+1)} + |B|\frac{\varepsilon }{2(|B|+1)} \le \varepsilon . \]

Concluímos que \(f(x)g(x)\to AB\).

(c) Suponha agora que \(B\neq 0\). Como \(g(x)\to B\), existe \(\delta _1\gt 0\) tal que

\[ 0\lt d_X(x,p)\lt \delta _1 \ \Rightarrow \ |g(x)-B|\lt \frac{|B|}{2}. \]

Então, para tais \(x\), temos \(|g(x)|\ge |B|-|g(x)-B|\gt \frac{|B|}{2}\), de modo que \(g(x)\neq 0\) em uma vizinhança de \(p\) dentro de \(E\), exceto talvez no próprio ponto \(p\).

Mostremos primeiro que

\[ \lim _{x\to p}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{B}. \]

De fato, para \(0\lt d_X(x,p)\lt \delta _1\),

\[ \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{B}\right| = \frac{|g(x)-B|}{|B|\, |g(x)|} \le \frac{2}{|B|^2}|g(x)-B|. \]

Como \(g(x)\to B\), o lado direito tende a \(0\), e portanto \(\frac1{g(x)}\to \frac1B\).

Aplicando agora o item (b) às funções \(f\) e \(1/g\), obtemos

\[ \lim _{x\to p}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim _{x\to p}\left(f(x)\frac1{g(x)}\right) = A\cdot \frac1B = \frac{A}{B}. \]

Exemplo 7.10

Considere a função identidade \(f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}\), dada por \(f(x)=x\). Então \(\lim _{x\to a} f(x)=a\) para todo \(a\in \mathbb {R}\). Usando as propriedades algébricas dos limites, obtemos \(\lim _{x\to a} x^2=a^2\) e, por indução,

\[ \lim _{x\to a} x^n=a^n \qquad \text{para todo }n\in \mathbb {N}. \]

Daí segue que todo polinômio

\[ p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n \]

satisfaz \(\lim _{x\to a} p(x)=p(a)\) para todo \(a\in \mathbb {R}\).

Do mesmo modo, se

\[ r(x)=\frac{p(x)}{q(x)} \]

é uma função racional e \(q(a)\neq 0\), então \(\lim _{x\to a} r(x)=r(a)\).

Quando trabalhamos com funções com valores em \(\mathbb {R}^k\), os limites podem ser estudados coordenada a coordenada.

Teorema 7.11

Seja \(E\subset X\), seja \(p\) um ponto de acumulação de \(E\) e seja

\[ \mathbf f=(f_1,\ldots ,f_k)\colon E\to \mathbb {R}^k. \]

Então

\[ \lim _{x\to p}\mathbf f(x)=\mathbf a=(a_1,\ldots ,a_k) \]

se, e somente se,

\[ \lim _{x\to p}f_j(x)=a_j \qquad \text{para todo }j=1,\ldots ,k. \]

Demonstração ▼

Suponha primeiro que \(\mathbf f(x)\to \mathbf a\). Fixe \(j\in \{ 1,\ldots ,k\} \). Como

\[ |f_j(x)-a_j|\le \| \mathbf f(x)-\mathbf a\| , \]

segue imediatamente que \(f_j(x)\to a_j\).

Reciprocamente, suponha que \(f_j(x)\to a_j\) para todo \(j=1,\ldots ,k\). Seja \(\varepsilon \gt 0\). Para cada \(j\), existe \(\delta _j\gt 0\) tal que

\[ 0\lt d_X(x,p)\lt \delta _j \quad \Rightarrow \quad |f_j(x)-a_j|\lt \frac{\varepsilon }{\sqrt{k}}. \]

Tomando \(\delta =\min \{ \delta _1,\ldots ,\delta _k\} \), se \(x\in E\) e \(0\lt d_X(x,p)\lt \delta \), então

\[ \| \mathbf f(x)-\mathbf a\| ^2 = \sum _{j=1}^k |f_j(x)-a_j|^2 \lt k\cdot \frac{\varepsilon ^2}{k} = \varepsilon ^2. \]

Logo \(\| \mathbf f(x)-\mathbf a\| \lt \varepsilon \), e isso mostra que \(\mathbf f(x)\to \mathbf a\).

Teorema 7.12 (Critério de comparação para limites)

Seja \(X\) um espaço métrico, \(E\subset X\) e \(a\) um ponto de acumulação de \(E\). Sejam \(f,g\colon E\to \mathbb {R}\) funções tais que

\[ f(x)\le g(x)\qquad \text{para todo }x\in E\setminus \{ a\} . \]

\[ \lim _{x\to a}f(x)=L \qquad \text{e}\qquad \lim _{x\to a}g(x)=M, \]

então \(L\le M\).

Demonstração ▼

Suponha, por absurdo, que \(L\gt M\). Então o número \(\frac{L+M}{2}\) satisfaz

\[ M\lt \frac{L+M}{2}\lt L. \]

Como \(\lim _{x\to a}f(x)=L\), existe \(\delta _1\gt 0\) tal que, para todo \(x\in E\), se \(0\lt d(x,a)\lt \delta _1\), então

\[ f(x)\gt \frac{L+M}{2}. \]

Como \(\lim _{x\to a}g(x)=M\), existe \(\delta _2\gt 0\) tal que, para todo \(x\in E\), se \(0\lt d(x,a)\lt \delta _2\), então

\[ g(x)\lt \frac{L+M}{2}. \]

Logo, se \(0\lt d(x,a)\lt \min \{ \delta _1,\delta _2\} \), temos \(f(x)\gt g(x)\), o que contradiz a hipótese. Portanto, \(L\le M\).

A caracterização sequencial torna a ideia particularmente concreta: todas as maneiras de se aproximar de \(p\) devem produzir a mesma aproximação no contradomínio. As regras algébricas que aparecem depois mostram que, uma vez estabelecidos limites básicos, podemos combiná-los sem retornar a cada vez à definição \(\varepsilon \)-\(\delta \).

Mas limite e valor da função ainda são informações independentes. A continuidade nasce exatamente quando exigimos que elas coincidam.

7.2 Continuidade

Se \(p\in E\), uma função \(f:E\to Y\) é contínua em \(p\) quando seu comportamento próximo de \(p\) é compatível com o valor \(f(p)\). Em termos informais: pontos próximos de \(p\) devem ter imagens próximas de \(f(p)\).

Essa formulação parece apenas uma pequena modificação da definição de limite, mas é a propriedade que permite transportar estrutura de um espaço para outro.

Definição 7.13

Sejam \((X,d_X)\) e \((Y,d_Y)\) espaços métricos, seja \(E\subset X\), seja \(f\colon E\to Y\) e seja \(p\in E\). Dizemos que \(f\) é contínua em \(p\) se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que

\[ x\in E \ \text{e} d_X(x,p)\lt \delta \quad \Rightarrow \quad d_Y(f(x),f(p))\lt \varepsilon . \]

Figura 7.3 Interpretação geométrica da continuidade em p: pontos de E suficientemente próximos de p têm imagens suficientemente próximas de f(p). — Figura 7.3 Interpretação geométrica da continuidade em \(p\): pontos de \(E\) suficientemente próximos de \(p\) têm imagens suficientemente próximas de \(f(p)\).

Ao contrário do que ocorre com limites, não é necessário supor que \(p\) seja ponto de acumulação de \(E\). Se \(p\) é isolado em \(E\), então \(f\) é automaticamente contínua em \(p\), pois existe \(r\gt 0\) tal que \(B_X(p,r)\cap E=\{ p\} \); nesse caso, basta tomar \(\delta =r\).

A noção de limite depende apenas do comportamento de \(f(x)\) em pontos de \(E\) próximos de \(p\) e distintos de \(p\); por isso, independe do valor de \(f(p)\), quando este existe. Já a continuidade em \(p\) exige que esse comportamento local seja compatível com o valor assumido pela função no ponto. Assim, se \(p\) é ponto de acumulação de \(E\), \(f\) é contínua em \(p\) se, e somente se,

\[ \lim _{x\to p}f(x)=f(p). \]

Proposição 7.14

Sejam \((X,d_X)\) e \((Y,d_Y)\) espaços métricos, seja \(E\subset X\), seja \(f\colon E\to Y\) e seja \(p\in E\) um ponto de acumulação de \(E\). Então \(f\) é contínua em \(p\) se, e somente se,

\[ \lim _{x\to p}f(x)=f(p). \]

Demonstração ▼

Suponha primeiro que \(f\) seja contínua em \(p\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que, se \(x\in E\) e \(d_X(x,p)\lt \delta \), então \(d_Y(f(x),f(p))\lt \varepsilon \). Em particular, isso vale quando \(x\in E\) e \(0\lt d_X(x,p)\lt \delta \). Assim, \(\lim _{x\to p}f(x)=f(p)\).

Reciprocamente, suponha que \(\lim _{x\to p}f(x)=f(p)\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que, se \(x\in E\) e \(0\lt d_X(x,p)\lt \delta \), então \(d_Y(f(x),f(p))\lt \varepsilon \). Como também temos \(d_Y(f(p),f(p))=0\lt \varepsilon \), segue que a mesma condição vale para todo \(x\in E\) com \(d_X(x,p)\lt \delta \). Portanto, \(f\) é contínua em \(p\).

Definição 7.15

Dizemos que \(f\colon E\to Y\) é contínua em \(E\) se for contínua em todo ponto de \(E\).

A caracterização sequencial dos limites conduz imediatamente ao critério sequencial de continuidade.

Teorema 7.16

Sejam \((X,d_X)\) e \((Y,d_Y)\) espaços métricos, seja \(E\subset X\), seja \(f\colon E\to Y\) e seja \(p\in E\). Então \(f\) é contínua em \(p\) se, e somente se, para toda sequência \(\{ p_n\} \) em \(E\) tal que \(p_n\to p\), tem-se \(f(p_n)\to f(p)\).

Demonstração ▼

Se \(p\) não é ponto de acumulação de \(E\), a continuidade em \(p\) é automática, e a condição sequencial também é trivial. Suponhamos, então, que \(p\) seja ponto de acumulação de \(E\).

Pela Proposição 7.14, \(f\) é contínua em \(p\) se, e somente se, \(\lim _{x\to p}f(x)=f(p)\). Pelo Teorema 7.4, isso equivale a dizer que, para toda sequência \(\{ p_n\} \) em \(E\) com \(p_n\neq p\) para todo \(n\) e \(p_n\to p\), vale \(f(p_n)\to f(p)\). Isso equivale à formulação usual com sequências arbitrárias \(\{ p_n\} \subset E\) tais que \(p_n\to p\), já que termos eventualmente iguais a \(p\) não alteram o limite.

Teorema 7.17

Seja

\[ \mathbf f=(f_1,\ldots ,f_k)\colon E\to \mathbb {R}^k. \]

Então \(\mathbf f\) é contínua em \(p\in E\) se, e somente se, cada função coordenada \(f_j\colon E\to \mathbb {R}\) é contínua em \(p\).

Demonstração ▼

Pela Proposição 7.14 e pelo Teorema 7.11, temos que \(\mathbf f\) é contínua em \(p\) se, e somente se,

\[ \lim _{x\to p}\mathbf f(x)=\mathbf f(p), \]

o que equivale a

\[ \lim _{x\to p}f_j(x)=f_j(p) \qquad \text{para todo }j=1,\ldots ,k. \]

Aplicando novamente a Proposição 7.14 a cada coordenada, obtemos o resultado.

Exemplo 7.18

Toda função constante é contínua. De fato, se \(f(x)=c\) para todo \(x\in E\), então \(d_Y(f(x),f(p))=d_Y(c,c)=0\) para todos \(x,p\in E\).

Exemplo 7.19

A função identidade

\[ \mathrm{id}\colon X\to X,\qquad \mathrm{id}(x)=x, \]

é contínua em todo ponto de \(X\). Com efeito, para todo \(\varepsilon \gt 0\), basta tomar \(\delta =\varepsilon \).

Exemplo 7.20

Toda aplicação Lipschitz é contínua. Mais precisamente, se \(f\colon X\to Y\) satisfaz

\[ d_Y(f(x),f(y))\le L\, d_X(x,y) \qquad \text{para todos }x,y\in X, \]

com alguma constante \(L\ge 0\), então \(f\) é contínua em todo ponto de \(X\).

Demonstração ▼

Fixe \(p\in X\) e seja \(\varepsilon \gt 0\). Se \(L=0\), então \(f\) é constante. Se \(L\gt 0\), tome \(\delta =\frac{\varepsilon }{L}\). Então, sempre que \(d_X(x,p)\lt \delta \), temos

\[ d_Y(f(x),f(p))\le L\, d_X(x,p)\lt L\delta =\varepsilon . \]

Logo \(f\) é contínua em \(p\).

As propriedades algébricas dos limites se traduzem imediatamente em propriedades análogas para funções contínuas.

Proposição 7.21

Sejam \(f,g\colon E\to \mathbb {R}\) contínuas em \(p\in E\). Então:

\(f+g\) é contínua em \(p\);
\(fg\) é contínua em \(p\);
\(\dfrac {f}{g}\) é contínua em \(p\), desde que \(g(p)\neq 0\).

Demonstração ▼

Como \(f\) e \(g\) são contínuas em \(p\), temos \(\lim _{x\to p}f(x)=f(p)\) e \(\lim _{x\to p}g(x)=g(p)\). Pelo Teorema 7.9,

\[ \lim _{x\to p}(f+g)(x)=f(p)+g(p)=(f+g)(p), \]

\[ \lim _{x\to p}(fg)(x)=f(p)g(p)=(fg)(p), \]

e, se \(g(p)\neq 0\),

\[ \lim _{x\to p}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(p)}{g(p)}=\left(\frac{f}{g}\right)(p). \]

Logo, pela Proposição 7.14, as funções indicadas são contínuas em \(p\).

Outra operação fundamental é a composição de funções.

Teorema 7.22

Sejam \(f\colon E\to Y\) e \(g\colon Y\to Z\) aplicações entre espaços métricos. Se \(f\) é contínua em \(p\in E\) e \(g\) é contínua em \(f(p)\), então a composição

\[ g\circ f\colon E\to Z \]

é contínua em \(p\).

Demonstração ▼

Seja \(\varepsilon \gt 0\). Como \(g\) é contínua em \(f(p)\), existe \(\eta \gt 0\) tal que

\[ d_Y(y,f(p))\lt \eta \quad \Rightarrow \quad d_Z(g(y),g(f(p)))\lt \varepsilon . \]

Como \(f\) é contínua em \(p\), existe \(\delta \gt 0\) tal que, se \(x\in E\) e \(d_X(x,p)\lt \delta \), então \(d_Y(f(x),f(p))\lt \eta \). Portanto, para todo \(x\in E\) com \(d_X(x,p)\lt \delta \), temos

\[ d_Z(g(f(x)),g(f(p)))\lt \varepsilon . \]

Isso mostra que \(g\circ f\) é contínua em \(p\).

Observação 7.23

A continuidade também pode ser caracterizada em termos de imagens inversas de conjuntos abertos ou fechados. Essas caracterizações serão particularmente úteis nas seções seguintes.

Teorema 7.24

Sejam \((X,d_X)\) e \((Y,d_Y)\) espaços métricos, seja \(E\subset X\) e seja \(f\colon E\to Y\). Então \(f\) é contínua em \(E\) se, e somente se, para todo aberto \(V\subset Y\), o conjunto

\[ f^{-1}(V)=\{ x\in E:f(x)\in V\} \]

é aberto em \(E\), com a topologia induzida por \(X\).

Demonstração ▼

Suponha primeiro que \(f\) seja contínua em \(E\), e seja \(V\subset Y\) aberto. Queremos mostrar que \(f^{-1}(V)\) é aberto em \(E\).

Se \(p\in f^{-1}(V)\), então \(f(p)\in V\). Como \(V\) é aberto, existe \(\varepsilon \gt 0\) tal que \(B_Y(f(p),\varepsilon )\subset V\). Como \(f\) é contínua em \(p\), existe \(\delta \gt 0\) tal que, se \(x\in E\) e \(d_X(x,p)\lt \delta \), então \(d_Y(f(x),f(p))\lt \varepsilon \). Portanto, se \(x\in E\cap B_X(p,\delta )\), então \(f(x)\in V\), isto é,

\[ E\cap B_X(p,\delta )\subset f^{-1}(V). \]

Assim, \(f^{-1}(V)\) é aberto em \(E\).

Reciprocamente, suponha que a imagem inversa de todo aberto de \(Y\) seja aberta em \(E\). Fixe \(p\in E\) e seja \(\varepsilon \gt 0\). A bola \(B_Y(f(p),\varepsilon )\) é aberta em \(Y\), logo

\[ U=f^{-1}(B_Y(f(p),\varepsilon )) \]

é aberta em \(E\). Como \(p\in U\), existe \(\delta \gt 0\) tal que

\[ E\cap B_X(p,\delta )\subset U. \]

Assim, se \(x\in E\) e \(d_X(x,p)\lt \delta \), então \(f(x)\in B_Y(f(p),\varepsilon )\), ou seja, \(d_Y(f(x),f(p))\lt \varepsilon \). Isso mostra que \(f\) é contínua em \(p\). Como \(p\) é arbitrário, concluímos que \(f\) é contínua em \(E\).

Corolário 7.25

Sejam \((X,d_X)\) e \((Y,d_Y)\) espaços métricos, seja \(E\subset X\) e seja \(f\colon E\to Y\). Então \(f\) é contínua em \(E\) se, e somente se, para todo fechado \(F\subset Y\), o conjunto

\[ f^{-1}(F) \]

é fechado em \(E\).

Demonstração ▼

Basta aplicar o Teorema 7.24 aos complementares, usando que

\[ f^{-1}(Y\setminus F)=E\setminus f^{-1}(F). \]

As caracterizações sequencial e topológica mostram duas faces da mesma noção. A primeira diz que funções contínuas preservam limites de sequências; a segunda, que a pré-imagem de um aberto é aberta. Esta última será especialmente importante agora, porque permite combinar continuidade com propriedades globais do domínio.

7.3 Continuidade e compacidade

Continuidade é uma condição local: em cada ponto escolhemos um controle adequado. A compacidade transforma esse controle local em conclusões globais. É isso que explica por que funções contínuas em conjuntos compactos se comportam tão melhor que funções contínuas em domínios arbitrários.

A primeira manifestação desse princípio é simples e poderosa: imagens contínuas de compactos continuam compactas. Dela surgirão, em seguida, limitação, existência de extremos e continuidade da inversa.

O primeiro resultado mostra que a imagem contínua de um conjunto compacto continua sendo compacta.

Teorema 7.26

Se \(f\colon X\to Y\) é contínua e \(X\) é compacto, então \(f(X)\) é compacto.

Demonstração ▼

Seja \(\{ V_\alpha \} _{\alpha \in A}\) uma cobertura aberta de \(f(X)\). Como \(f\) é contínua, pelo Teorema 7.24 cada conjunto \(f^{-1}(V_\alpha )\) é aberto em \(X\). Além disso, essa família cobre \(X\), pois, dado \(x\in X\), temos \(f(x)\in f(X)\) e, portanto, \(f(x)\in V_\alpha \) para algum \(\alpha \in A\). Em outras palavras,

\[ X\subset \bigcup _{\alpha \in A} f^{-1}(V_\alpha ). \]

Como \(X\) é compacto, existem \(\alpha _1,\ldots ,\alpha _n\in A\) tais que

\[ X\subset f^{-1}(V_{\alpha _1})\cup \cdots \cup f^{-1}(V_{\alpha _n}). \]

Agora, se \(y\in f(X)\), então \(y=f(x)\) para algum \(x\in X\). Pela inclusão acima, esse ponto \(x\) pertence a algum dos conjuntos \(f^{-1}(V_{\alpha _j})\), e portanto \(y=f(x)\in V_{\alpha _j}\). Logo,

\[ f(X)\subset V_{\alpha _1}\cup \cdots \cup V_{\alpha _n}. \]

Assim, toda cobertura aberta de \(f(X)\) admite uma subcobertura finita. Portanto, \(f(X)\) é compacto.

Observação 7.27

A hipótese de continuidade é essencial. De fato, considere

\[ X=[0,1]\subset \mathbb {R} \]

e a função

\[ f:X\to \mathbb {R}, \qquad f(x)= \begin{cases} \dfrac {1}{x}, & x\gt 0, \\[4pt] 0, & x=0. \end{cases} \]

Então \(X\) é compacto, mas

\[ f(X)=\{ 0\} \cup [1,+\infty ) \]

não é compacto.

Definição 7.28

Uma aplicação \(\mathbf f\colon E\to \mathbb {R}^k\) é dita limitada se existe \(M\gt 0\) tal que

\[ \| \mathbf f(x)\| \le M \qquad \text{para todo }x\in E. \]

Quando \(k=1\), isso coincide com a noção usual de função real limitada.

No caso de aplicações com valores em \(\mathbb {R}^k\), obtemos a seguinte consequência.

Teorema 7.29

Se \(\mathbf f\colon X\to \mathbb {R}^k\) é contínua e \(X\) é compacto, então \(\mathbf f(X)\) é fechado e limitado. Em particular, \(\mathbf f\) é limitada.

Demonstração ▼

Pelo Teorema 7.26, o conjunto \(\mathbf f(X)\) é compacto. Como estamos em \(\mathbb {R}^k\), segue do teorema de Heine–Borel que \(\mathbf f(X)\) é fechado e limitado. Assim, existe \(M\gt 0\) tal que

\[ \| \mathbf y\| \le M \qquad \text{para todo }\mathbf y\in \mathbf f(X). \]

Em particular,

\[ \| \mathbf f(x)\| \le M \qquad \text{para todo }x\in X, \]

isto é, \(\mathbf f\) é limitada.

No caso de funções reais, a compacidade garante a existência de máximos e mínimos absolutos.

Teorema 7.30

Seja \(f\colon X\to \mathbb {R}\) contínua, com \(X\) compacto e não vazio. Então existem pontos \(p,q\in X\) tais que

\[ f(q)\le f(x)\le f(p) \qquad \text{para todo }x\in X. \]

Em outras palavras, \(f\) atinge seu máximo e seu mínimo em \(X\).

Demonstração ▼

Pelo Teorema 7.26, o conjunto \(f(X)\subset \mathbb {R}\) é compacto. Em particular, é não vazio, fechado e limitado. Sendo não vazio e limitado, o conjunto \(f(X)\) admite supremo e ínfimo. Como é fechado em \(\mathbb {R}\), contém esses dois valores. Logo existem \(p,q\in X\) tais que

\[ f(p)=\sup f(X) \qquad \text{e}\qquad f(q)=\inf f(X). \]

Assim,

\[ f(q)\le f(x)\le f(p) \qquad \text{para todo }x\in X. \]

A compacidade também permite obter continuidade da inversa em uma situação muito importante.

Teorema 7.31

Suponha que \(f\colon X\to Y\) seja uma aplicação contínua e bijetora, com \(X\) compacto. Então a inversa

\[ f^{-1}\colon Y\to X \]

é contínua.

Demonstração ▼

Seja \(F\subset X\) fechado. Como \(X\) é compacto, \(F\) também é compacto. Pela continuidade de \(f\), o conjunto \(f(F)\) é compacto em \(Y\), e portanto fechado. Como

\[ (f^{-1})^{-1}(F)=f(F), \]

segue que a imagem inversa de todo fechado de \(X\) por \(f^{-1}\) é fechada em \(Y\). Logo, \(f^{-1}\) é contínua.

Outra consequência importante é que, em conjuntos compactos, a continuidade implica continuidade uniforme.

Definição 7.32

Seja \(f\colon X\to Y\) uma aplicação entre espaços métricos. Dizemos que \(f\) é uniformemente contínua em \(X\) se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que

\[ d_X(p,q)\lt \delta \quad \Rightarrow \quad d_Y(f(p),f(q))\lt \varepsilon \]

para todos \(p,q\in X\).

A diferença em relação à continuidade usual está no fato de que, na continuidade uniforme, \(\delta \) depende apenas de \(\varepsilon \), e não do ponto do domínio. Na continuidade em um ponto, o controle é local; na continuidade uniforme, o mesmo \(\delta \) deve funcionar simultaneamente para todos os pares de pontos do domínio.

Exemplo 7.33

A função \(f\colon [0,+\infty )\to \mathbb {R}\), dada por \(f(x)=x^2\), é uniformemente contínua em \([0,1]\), mas não em \(\mathbb {R}_+=[0,+\infty )\).

Com efeito, se \(x,y\in [0,1]\), então \(|x+y|\le 2\), e portanto

\[ |x^2-y^2|=|x-y|\, |x+y|\le 2|x-y|. \]

Segue que, dado \(\varepsilon \gt 0\), basta tomar \(\delta =\varepsilon /2\) para garantir que \(|x-y|\lt \delta \) implique \(|x^2-y^2|\lt \varepsilon \). Logo, \(f\) é uniformemente contínua em \([0,1]\).

Mostremos agora que \(f\) não é uniformemente contínua em \(\mathbb {R}_+\). Para isso, considere as sequências \(x_n=n\) e \(y_n=n+\frac1n\). Então \(|x_n-y_n|=\frac1n\to 0\), mas

\[ |f(x_n)-f(y_n)|=\left|n^2-\left(n+\frac1n\right)^2\right|=2+\frac1{n^2}, \]

que não converge para \(0\). Portanto, não pode existir um único \(\delta \gt 0\) que funcione para todos os pontos de \(\mathbb {R}_+\). Conclui-se que \(f(x)=x^2\) não é uniformemente contínua em \(\mathbb {R}_+\).

Figura 7.4 Dois pares de pontos do gráfico de f(x)=x^2 separados pela mesma distância horizontal δ . — Figura 7.4 Dois pares de pontos do gráfico de \(f(x)=x^2\) separados pela mesma distância horizontal \(\delta \). Em uma região mais próxima do início do intervalo, a variação vertical é \(\Delta y\); já perto do fim do intervalo, a mesma separação horizontal produz uma variação maior, \(\Delta y'\). Isso ilustra por que \(f\) não é uniformemente contínua em \(\mathbb {R}_+\).

Teorema 7.34

Se \(f\colon X\to Y\) é contínua e \(X\) é compacto, então \(f\) é uniformemente contínua em \(X\).

Demonstração ▼

Fixe \(\varepsilon \gt 0\). Como \(f\) é contínua em cada ponto \(p\in X\), existe um número \(\delta (p)\gt 0\) tal que

\[ d_X(p,q)\lt \delta (p) \quad \Rightarrow \quad d_Y(f(p),f(q))\lt \frac{\varepsilon }{2}. \]

Para cada \(p\in X\), consideremos a bola aberta

\[ J(p)=B\! \left(p,\frac{\delta (p)}{2}\right). \]

Essas bolas formam uma cobertura aberta de \(X\). Como \(X\) é compacto, podemos extrair uma subcobertura finita

\[ X\subset J(p_1)\cup \cdots \cup J(p_n). \]

Definamos

\[ \delta =\frac12\min \{ \delta (p_1),\ldots ,\delta (p_n)\} . \]

Como o mínimo acima é tomado sobre um conjunto finito de números positivos, temos \(\delta \gt 0\).

Tomemos agora \(p,q\in X\) tais que \(d_X(p,q)\lt \delta \). Como os conjuntos \(J(p_1),\ldots ,J(p_n)\) recobrem \(X\), existe \(m\in \{ 1,\ldots ,n\} \) tal que \(p\in J(p_m)\). Portanto,

\[ d_X(p,p_m)\lt \frac{\delta (p_m)}{2}. \]

Além disso, pela desigualdade triangular,

\[ d_X(q,p_m)\le d_X(q,p)+d_X(p,p_m) \lt \delta +\frac{\delta (p_m)}{2} \le \delta (p_m). \]

Da definição de \(\delta (p_m)\) segue então que

\[ d_Y(f(p),f(p_m))\lt \frac{\varepsilon }{2} \qquad \text{e}\qquad d_Y(f(q),f(p_m))\lt \frac{\varepsilon }{2}. \]

Aplicando novamente a desigualdade triangular, obtemos

\[ d_Y(f(p),f(q)) \le d_Y(f(p),f(p_m))+d_Y(f(p_m),f(q)) \lt \varepsilon . \]

Como \(\delta \) depende apenas de \(\varepsilon \), concluímos que \(f\) é uniformemente contínua em \(X\).

A hipótese de compacidade é essencial: sem ela, várias das conclusões anteriores deixam de valer.

Teorema 7.35

Seja \(E\subset \mathbb {R}\) não compacto. Então:

existe uma função contínua em \(E\) que não é limitada;
existe uma função contínua e limitada em \(E\) que não atinge seu máximo.

Se, além disso, \(E\) for limitado, então:

existe uma função contínua em \(E\) que não é uniformemente contínua.

Demonstração ▼

Dividimos a prova em dois casos.

Suponha primeiro que \(E\) seja limitado. Como \(E\) não é compacto, pelo teorema de Heine–Borel ele não é fechado. Logo existe \(x_0\in \overline E\setminus E\).

Considere a função

\[ f(x)=\frac{1}{x-x_0}, \qquad x\in E. \]

Ela é contínua em \(E\) e não é limitada, pois \(x_0\) é ponto de acumulação de \(E\): existe uma sequência \(\{ x_n\} \) em \(E\) tal que \(x_n\to x_0\), e então

\[ |f(x_n)|=\frac{1}{|x_n-x_0|}\to \infty . \]

Isso prova (a) nesse caso.

Considere agora

\[ g(x)=\frac{1}{1+(x-x_0)^2}, \qquad x\in E. \]

Essa função é contínua e limitada em \(E\), pois

\[ 0\lt g(x)\le 1 \qquad \text{para todo }x\in E. \]

Além disso, seu maior valor possível é \(1\), atingido apenas em \(x=x_0\). Como \(x_0\notin E\), a função não atinge esse valor em \(E\). Por outro lado, como existe uma sequência \(\{ x_n\} \) em \(E\) com \(x_n\to x_0\), temos \(g(x_n)\to 1\). Logo

\[ \sup g(E)=1, \]

mas esse supremo não é atingido. Isso prova (b) quando \(E\) é limitado.

Mostremos agora (c). Como \(x_0\in \overline E\setminus E\), pelo menos um dos conjuntos

\[ E\cap (x_0,x_0+1) \qquad \text{ou}\qquad E\cap (x_0-1,x_0) \]

acumula em \(x_0\). Fixemos um desses lados. Escolha uma sequência \((p_n)\) de pontos de \(E\) nesse mesmo lado tal que

\[ p_n\to x_0, \qquad p_n\neq x_0. \]

Depois de escolhido \(p_n\), como \(x_0\) continua sendo ponto de acumulação desse lado, podemos escolher \(q_n\in E\), no mesmo lado de \(x_0\), de modo que

\[ 0\lt |q_n-x_0|\lt \frac12|p_n-x_0|. \]

Então

\[ |p_n-q_n| \le |p_n-x_0|+|q_n-x_0| \lt \frac32|p_n-x_0| \longrightarrow 0. \]

Por outro lado, como \(p_n\) e \(q_n\) estão do mesmo lado de \(x_0\) e \(q_n\) está mais próximo de \(x_0\), temos

\[ \begin{aligned} |f(p_n)-f(q_n)| & = \left| \frac1{p_n-x_0}-\frac1{q_n-x_0} \right|\\ & = \frac1{|q_n-x_0|}-\frac1{|p_n-x_0|}\\ & \gt \frac2{|p_n-x_0|}-\frac1{|p_n-x_0|}\\ & = \frac1{|p_n-x_0|} \longrightarrow \infty . \end{aligned} \]

Assim existem pares de pontos cuja distância tende a zero, enquanto a diferença entre suas imagens não tende a zero. Logo \(f\) não é uniformemente contínua em \(E\).

Suponha agora que \(E\) seja ilimitado. Então a função identidade

\[ h(x)=x \]

é contínua e não limitada em \(E\), o que prova (a).

Para provar (b), considere

\[ u(x)=\frac{x^2}{1+x^2}. \]

Essa função é contínua em \(\mathbb {R}\) e satisfaz

\[ 0\le u(x)\lt 1 \qquad \text{para todo }x\in \mathbb {R}. \]

Como \(E\) é ilimitado, existe uma sequência \(\{ x_n\} \) em \(E\) tal que \(|x_n|\to \infty \). Então

\[ u(x_n)=\frac{x_n^2}{1+x_n^2}\to 1. \]

Logo

\[ \sup u(E)=1. \]

Como \(u(x)\lt 1\) para todo \(x\in E\), esse supremo não é atingido. Portanto, \(u\) é contínua e limitada em \(E\), mas não atinge seu máximo.

Exemplo 7.36

Seja \(X=[0,2\pi )\) e seja \(Y\subset \mathbb {R}^2\) o círculo unitário. A aplicação

\[ \mathbf f(t)=(\cos t,\sin t), \qquad 0\le t\lt 2\pi , \]

é contínua e bijetora de \(X\) sobre \(Y\). No entanto, sua inversa não é contínua no ponto \((1,0)\in Y\). De fato, se definirmos

\[ y_n=\mathbf f\! \left(2\pi -\frac1n\right), \]

então \(y_n\to (1,0)\) em \(Y\), mas

\[ \mathbf f^{-1}(y_n)=2\pi -\frac1n\to 2\pi \neq 0=\mathbf f^{-1}(1,0). \]

Logo \(\mathbf f^{-1}\) não é contínua em \((1,0)\). Isso mostra que a compacidade do domínio é essencial no Teorema 7.31.

A continuidade uniforme é talvez a expressão mais clara dessa passagem do local ao global: o mesmo \(\delta \) deve funcionar em todo o domínio. O Teorema de Heine–Cantor mostra que a compacidade é precisamente a hipótese que permite obter esse controle uniforme a partir da continuidade ponto a ponto.

Os contraexemplos ao fim da seção têm, portanto, uma função conceitual: eles mostram o que pode falhar quando retiramos a compacidade.

7.4 Continuidade e conexidade

A compacidade controla a extensão global de um espaço; a conexidade responde a outra pergunta: ele pode ser separado em partes independentes? A continuidade também respeita essa estrutura. Uma função contínua não pode transformar um conjunto conexo em uma imagem desconexa.

No caso real, essa afirmação abstrata é exatamente o mecanismo por trás do teorema do valor intermediário.

Teorema 7.37

Se \(f\colon X\to Y\) é contínua e \(E\subset X\) é conexo, então \(f(E)\) é conexo.

Demonstração ▼

Suponha, por absurdo, que \(f(E)\) não seja conexo. Então existem subconjuntos não vazios e separados \(A,B\subset f(E)\) tais que

\[ f(E)=A\cup B. \]

Defina

\[ G=E\cap f^{-1}(A) \qquad \text{e}\qquad H=E\cap f^{-1}(B). \]

Então \(E=G\cup H\), e ambos os conjuntos são não vazios.

Mostremos que \(G\) e \(H\) são separados. Como \(A\) e \(B\) são separados, temos

\[ \overline A\cap B=\varnothing \qquad \text{e}\qquad A\cap \overline B=\varnothing . \]

Além disso, pelo Corolário 7.25, a imagem inversa de um fechado por \(f\) é fechada. Assim, \(f^{-1}(\overline A)\) é fechado em \(X\) e contém \(G\), logo

\[ \overline G\subset f^{-1}(\overline A). \]

Se existisse \(x\in \overline G\cap H\), então teríamos \(f(x)\in B\) porque \(x\in H\), e também \(f(x)\in \overline A\) porque \(x\in \overline G\subset f^{-1}(\overline A)\). Isso contradiz a igualdade \(\overline A\cap B=\varnothing \). Portanto,

\[ \overline G\cap H=\varnothing . \]

De modo análogo,

\[ G\cap \overline H=\varnothing . \]

Logo \(G\) e \(H\) são separados, o que contradiz a conexidade de \(E\). Portanto, \(f(E)\) é conexo.

Observação 7.38

O resultado anterior não admite recíproca, e a hipótese de continuidade é essencial.

De fato, a recíproca falha mesmo em \(\mathbb {R}\): se

\[ f(x)=x^2 \qquad \text{e}\qquad E=\{ -1,1\} , \]

então \(E\) não é conexo, mas

\[ f(E)=\{ 1\} \]

é conexo. Por outro lado, sem continuidade a conclusão também pode falhar: se

\[ E=[0,1] \]

\[ f(x)= \begin{cases} 0, & x\lt \frac12, \\ 1, & x\ge \frac12, \end{cases} \]

então \(E\) é conexo, mas

\[ f(E)=\{ 0,1\} \]

não é conexo.

No caso de funções reais definidas em intervalos, o teorema anterior se traduz na propriedade do valor intermediário. Como os subconjuntos conexos de \(\mathbb {R}\) são exatamente os intervalos, obtemos o seguinte resultado.

Teorema 7.39

Seja \(f\colon [a,b]\to \mathbb {R}\) contínua. Se \(c\) está estritamente entre \(f(a)\) e \(f(b)\), isto é,

\[ \min \{ f(a),f(b)\} \lt c\lt \max \{ f(a),f(b)\} , \]

então existe \(x\in (a,b)\) tal que \(f(x)=c\).

Demonstração ▼

O intervalo \([a,b]\) é conexo. Pelo Teorema 7.37, o conjunto \(f([a,b])\) é conexo em \(\mathbb {R}\). Como \(f(a),f(b)\in f([a,b])\) e \(c\) está estritamente entre esses dois valores, o Corolário 6.95 implica que \(c\in f([a,b])\). Portanto, existe \(x\in [a,b]\) tal que \(f(x)=c\).

Como \(f(a)\neq c\) e \(f(b)\neq c\), segue que esse ponto pertence, na verdade, a \((a,b)\).

Observação 7.40

O Teorema 7.39 afirma que uma função contínua em um intervalo não pode “pular” valores intermediários. A recíproca é falsa: existem funções com a propriedade do valor intermediário que não são contínuas.

Até aqui, conexidade foi tratada sem exigir que soubéssemos construir uma curva entre dois pontos. Agora que a continuidade já está disponível, podemos introduzir uma noção mais geométrica.

7.5 Conexidade por caminhos

Um conjunto pode ser conexo sem que tenhamos descrito como passar de um ponto a outro dentro dele. A conexidade por caminhos exige mais: quaisquer dois pontos devem poder ser ligados por uma curva contínua que permaneça no conjunto.

Definição 7.41

Seja \(E\) um subconjunto de um espaço métrico \(X\). Um caminho de \(p\) a \(q\) em \(E\) é uma aplicação contínua

\[ \gamma :[0,1]\longrightarrow E \]

tal que

\[ \gamma (0)=p, \qquad \gamma (1)=q. \]

Dizemos que \(E\) é conexo por caminhos se quaisquer dois pontos de \(E\) podem ser ligados por um caminho em \(E\).

A diferença entre as duas ideias é importante. Conexidade é uma propriedade de separação por abertos; conexidade por caminhos pede a existência efetiva de uma família contínua de pontos ligando os extremos.

Exemplo 7.42

Todo subconjunto convexo \(E\subset \mathbb {R}^k\) é conexo por caminhos. Se \(p,q\in E\), basta considerar

\[ \gamma (t)=(1-t)p+tq, \qquad 0\le t\le 1. \]

A aplicação \(\gamma \) é contínua e, pela convexidade, sua imagem permanece em \(E\).

Teorema 7.43

Todo conjunto conexo por caminhos é conexo.

Demonstração ▼

Suponha que \(E\) seja conexo por caminhos e escolha \(p,q\in E\). Existe um caminho

\[ \gamma :[0,1]\to E \]

ligando \(p\) a \(q\). Como \([0,1]\) é conexo e imagens contínuas de conjuntos conexos são conexas, \(\gamma ([0,1])\) é um subconjunto conexo de \(E\) contendo \(p\) e \(q\).

Se \(E\) fosse a união de dois conjuntos separados não vazios \(A\) e \(B\), poderíamos escolher \(p\in A\) e \(q\in B\). Mas então o conjunto conexo \(\gamma ([0,1])\) encontraria as duas partes separadas, o que é impossível. Logo \(E\) é conexo.

A recíproca é falsa em geral. Antes do exemplo clássico, há uma situação importante em que as duas noções coincidem.

Teorema 7.44

Se \(E\subset \mathbb {R}^k\) é aberto e conexo, então \(E\) é conexo por caminhos.

Demonstração ▼

Fixe \(p\in E\) e seja

\[ A=\{ q\in E:\text{ existe um caminho em }E\text{ ligando }p\text{ a }q\} . \]

Temos \(p\in A\), logo \(A\neq \varnothing \).

Mostremos que \(A\) é aberto relativamente a \(E\). Se \(q\in A\), como \(E\) é aberto existe \(r\gt 0\) tal que \(B(q,r)\subset E\). Para qualquer \(z\in B(q,r)\), o segmento

\[ t\longmapsto (1-t)q+tz \]

permanece na bola \(B(q,r)\), que é convexa. Concatenando esse segmento com um caminho de \(p\) a \(q\), obtemos um caminho de \(p\) a \(z\). Portanto \(B(q,r)\subset A\).

O mesmo argumento mostra que \(E\setminus A\) é aberto relativamente a \(E\). Se \(q\notin A\) e \(B(q,r)\subset E\), nenhum ponto dessa bola pode pertencer a \(A\); caso contrário, um segmento dentro da bola ligaria tal ponto a \(q\), e a concatenação produziria um caminho de \(p\) a \(q\).

Assim, \(A\) e \(E\setminus A\) são abertos relativamente a \(E\). Como \(E\) é conexo e \(A\neq \varnothing \), necessariamente \(E\setminus A=\varnothing \). Logo todo ponto de \(E\) pode ser ligado a \(p\) por um caminho.

Exemplo 7.45 (A curva do seno do topólogo)

Considere

\[ G= \left\{ \left(x,\sin \frac1x\right)\in \mathbb {R}^2:0\lt x\le 1 \right\} , \qquad V=\{ 0\} \times [-1,1], \]

\[ S=G\cup V. \]

O conjunto \(G\) é a imagem contínua do intervalo conexo \((0,1]\) pela aplicação

\[ x\longmapsto \left(x,\sin \frac1x\right), \]

logo é conexo. Além disso,

\[ S=\overline G. \]

Como o fecho de um conjunto conexo é conexo, \(S\) é conexo.

Entretanto, \(S\) não é conexo por caminhos. Assim,

\[ \text{conexo por caminhos}\Longrightarrow \text{conexo} \]

é uma implicação estrita.

Figura 7.5 Curva do seno do topólogo.

Exercício 7.1

Prove que a curva do seno do topólogo não é conexa por caminhos. Mais precisamente, mostre que não existe caminho em \(S\) ligando um ponto de \(\{ 0\} \times [-1,1]\) a um ponto de \(G\).

O capítulo termina, assim, com duas formas de preservar estrutura: continuidade preserva conexidade, e a existência de caminhos transforma essa propriedade qualitativa em uma ligação geométrica explícita entre pontos.

7.6 Exercícios

Exercício 7.2

Suponha que \(f\) seja uma função real definida em \(\mathbb {R}\) e que

\[ \lim _{h \to 0} \bigl[f(x+h)-f(x-h)\bigr]=0 \qquad \text{para todo }x\in \mathbb {R}. \]

Verifique se essa condição implica que \(f\) é contínua em \(\mathbb {R}\).

Exercício 7.3

Seja \((X,d)\) um espaço métrico e seja \(p\in X\). Prove que a função

\[ f(x)=d(x,p) \]

é contínua em \(X\).

Exercício 7.4

Prove que a aplicação

\[ x\mapsto \| x\| \]

é contínua em \(\mathbb {R}^k\). Deduza que, para cada \(a\in \mathbb {R}^k\), a função

\[ x\mapsto \| x-a\| \]

também é contínua.

Exercício 7.5

Se \(f,g\colon X\to \mathbb {R}\) são contínuas, prove que as funções

\[ \max \{ f,g\} \qquad \text{e}\qquad \min \{ f,g\} \]

também são contínuas.

Exercício 7.6

Seja \(A\) um subconjunto não vazio de um espaço métrico \((X,d)\) e defina

\[ \varphi (x)=d(x,A)=\inf \{ d(x,a):a\in A\} . \]

Prove que \(\varphi \) é contínua em \(X\).

Exercício 7.7

Dê um exemplo de uma função contínua \(f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}\) e de um conjunto aberto \(U\subset \mathbb {R}\) tal que \(f(U)\) não seja aberto.

Exercício 7.8

Considere a aplicação

\[ f\colon [0,2\pi )\to S^1,\qquad f(t)=(\cos t,\sin t), \]

onde

\[ S^1=\{ (x,y)\in \mathbb {R}^2:x^2+y^2=1\} . \]

Prove que \(f\) é contínua e bijetora, mas que \(f^{-1}\) não é contínua.

Exercício 7.9

Se \(f\) é uma aplicação contínua de um espaço métrico \(X\) em um espaço métrico \(Y\), prove que

\[ f(\overline{E}) \subset \overline{f(E)} \]

para todo conjunto \(E \subset X\). Apresente um exemplo em que \(f(\overline{E})\) seja um subconjunto próprio de \(\overline{f(E)}\).

Exercício 7.10

Seja \(f\) uma função real contínua em um espaço métrico \(X\). Defina

\[ Z(f)=\{ p\in X:f(p)=0\} . \]

Prove que \(Z(f)\) é um conjunto fechado.

Exercício 7.11

Sejam \(f\) e \(g\) aplicações contínuas de um espaço métrico \(X\) em um espaço métrico \(Y\), e seja \(E\) um subconjunto denso de \(X\). Prove que \(f(E)\) é denso em \(f(X)\). Se \(g(p)=f(p)\) para todo \(p\in E\), prove que \(g(p)=f(p)\) para todo \(p\in X\), mostrando que uma aplicação contínua é determinada por seus valores em um subconjunto denso.

Exercício 7.12

Se \(f\) é uma função real contínua definida em um conjunto fechado \(E\subset \mathbb {R}\), prove que existe uma extensão contínua \(g\) de \(f\) para \(\mathbb {R}\) tal que

\[ g(x)=f(x)\qquad \text{para todo }x\in E. \]

Mostre que o resultado pode ser falso se \(E\) não for fechado.

Exercício 7.13

Seja \(f\colon X\to Y\) uma aplicação entre espaços métricos. Suponha que exista \(L\ge 0\) tal que

\[ d_Y(f(x),f(y))\le L\, d_X(x,y) \qquad \text{para todos }x,y\in X. \]

Prove que \(f\) é uniformemente contínua.

Exercício 7.14

Seja \(f\) uma função definida em um conjunto \(E\). O gráfico de \(f\) é o conjunto

\[ \Gamma _f=\{ (x,f(x)):x\in E\} \subset E\times \mathbb {R}. \]

Suponha que \(E\) seja compacto. Prove que \(f\) é contínua em \(E\) se, e somente se, o seu gráfico é compacto.

Exercício 7.15

Seja \(f\) uma função real uniformemente contínua em um conjunto limitado \(E\subset \mathbb {R}\). Prove que \(f\) é limitada em \(E\). Mostre que a conclusão pode falhar se \(E\) não for limitado.

Exercício 7.16

Mostre que a definição de continuidade uniforme pode ser reformulada em termos de diâmetros de conjuntos: uma aplicação \(f\colon X\to Y\) é uniformemente contínua se, e somente se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que

\[ \operatorname {diam} f(E)\lt \varepsilon \]

para todo \(E\subset X\) com

\[ \operatorname {diam} E\lt \delta . \]

Exercício 7.17

Seja \(f\colon X\to Y\) uma aplicação contínua, onde \(X\) é compacto. Prove que \(f\) é uniformemente contínua em \(X\) pelo seguinte argumento por contradição: suponha que \(f\) não seja uniformemente contínua. Mostre então que existe \(\varepsilon \gt 0\) e existem sequências \(\{ p_n\} \) e \(\{ q_n\} \) em \(X\) tais que

\[ d_X(p_n,q_n)\to 0, \qquad \text{mas}\qquad d_Y\bigl(f(p_n),f(q_n)\bigr)\ge \varepsilon \quad \text{para todo }n. \]

Use a compacidade de \(X\) e a continuidade de \(f\) para obter uma contradição.

Exercício 7.18

Se \(f\) é uma aplicação uniformemente contínua de um espaço métrico \(X\) em um espaço métrico \(Y\), prove que \(\{ f(x_n)\} \) é uma sequência de Cauchy em \(Y\) sempre que \(\{ x_n\} \) for uma sequência de Cauchy em \(X\).

Exercício 7.19

Prove que a composição de duas funções uniformemente contínuas é uniformemente contínua. Enuncie esse fato com precisão antes de demonstrá-lo.

Exercício 7.20

Seja \(E\) um subconjunto denso de um espaço métrico \(X\) e \(f: E \to \mathbb {R}\) uma função uniformemente contínua. Prove que \(f\) possui uma extensão contínua única para todo o espaço \(X\).

Exercício 7.21

Seja \(I = [0, 1]\) o intervalo unitário fechado e \(f: I \to I\) uma aplicação contínua. Prove que \(f\) possui um ponto fixo, isto é, existe pelo menos um \(x \in I\) tal que \(f(x) = x\).

Exercício 7.22

Defina as funções \(f\) e \(g\) em \(\mathbb {R}^2\) por \(f(0,0) = g(0,0) = 0\) e, para \((x, y) \neq (0,0)\):

\[ f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^4}, \quad g(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^6}. \]

Prove que \(f\) é limitada em \(\mathbb {R}^2\), que \(g\) é ilimitada em qualquer vizinhança de \((0,0)\) e que \(f\) não é contínua em \((0,0)\). No entanto, mostre que as restrições de \(f\) e \(g\) a qualquer reta em \(\mathbb {R}^2\) são contínuas.

Exercício 7.23

Uma aplicação \(f: X \to Y\) é dita aberta se \(f(V)\) é aberto em \(Y\) sempre que \(V\) for aberto em \(X\). Prove que toda aplicação contínua e aberta de \(\mathbb {R}\) em \(\mathbb {R}\) deve ser monótona.

Exercício 7.24

Dado um subconjunto não vazio \(E\) de um espaço métrico \(X\), defina a distância de \(x \in X\) a \(E\) como \(\rho _E(x) = \inf _{z \in E} d(x, z)\).

Prove que \(\rho _E(x) = 0\) se, e somente se, \(x\) pertence ao fecho \(\overline{E}\).
Prove que \(\rho _E\) é uma função uniformemente contínua em \(X\).

Exercício 7.25

Sejam \(K\) e \(F\) subconjuntos disjuntos de um espaço métrico \(X\), onde \(K\) é compacto e \(F\) é fechado. Prove que existe \(\delta \gt 0\) tal que \(d(p, q) \gt \delta \) para quaisquer \(p \in K\) e \(q \in F\).

Exercício 7.26

Sejam \(A\) e \(B\) conjuntos fechados, não vazios e disjuntos em um espaço métrico \(X\). Mostre que a função \(f(p) = \frac{\rho _A(p)}{\rho _A(p) + \rho _B(p)}\) é contínua em \(X\), possui imagem em \([0, 1]\) e satisfaz \(f(p) = 0\) se \(p \in A\) e \(f(p) = 1\) se \(p \in B\).

Exercício 7.27

Uma função real \(f\) definida em \((a, b)\) é dita convexa se \(f(\lambda x + (1-\lambda ) y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda ) f(y)\) para quaisquer \(x, y \in (a, b)\) e \(0 \lt \lambda \lt 1\). Prove que toda função convexa é contínua.

Exercício 7.28

Suponha que \(f\) seja uma função real contínua em \((a, b)\) que satisfaz \(f(\frac{x+y}{2}) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2}\) para todos \(x, y \in (a, b)\). Prove que \(f\) é convexa.

Exercício 7.29

Para subconjuntos \(A, B \subset \mathbb {R}^k\), defina a soma de Minkowski \(A + B = \{ \mathbf{x} + \mathbf{y} : \mathbf{x} \in A, \mathbf{y} \in B\} \).

Se \(K\) é compacto e \(C\) é fechado em \(\mathbb {R}^k\), prove que \(K + C\) é fechado.
Demonstre, por meio de um contraexemplo em \(\mathbb {R}\), que a soma de dois conjuntos fechados não é necessariamente fechada.

Exercício 7.30

Sejam \(X, Y, Z\) espaços métricos, com \(Y\) compacto. Se \(f: X \to Y\) é uma aplicação, \(g: Y \to Z\) é contínua e injetiva, e a composição \(h = g \circ f\) é uniformemente contínua, prove que \(f\) também é uniformemente contínua.