Limites de funções reais
A noção de limite em espaços métricos depende da distância entre pontos. Na reta real, a ordem permite distinguir a aproximação pela direita da aproximação pela esquerda e estudar o comportamento de uma função quando a variável tende a \(+\infty \) ou a \(-\infty \).
Neste capítulo, estudaremos limites laterais, limites no infinito e limites infinitos. Os limites laterais serão usados para classificar descontinuidades e descrever as restrições impostas pela monotonicidade. Essas propriedades da ordem de \(\mathbb {R}\) também serão utilizadas no estudo das derivadas.
8.1 Limites laterais
A ordem da reta permite restringir a aproximação de \(x\) a um ponto \(a\) aos valores que satisfazem \(x\gt a\) ou aos que satisfazem \(x\lt a\). Essas duas possibilidades dão origem aos limites pela direita e pela esquerda.
Seja \(E\subset \mathbb {R}\), seja \(f\colon E\to \mathbb {R}\) e seja \(a\in \mathbb {R}\).
Suponha que \(a\) seja ponto de acumulação à direita de \(E\). Dizemos que \(f(x)\) converge para \(L\in \mathbb {R}\) quando \(x\to a^+\), e escrevemos
\[ \lim \limits _{x\to a^+}f(x)=L, \]se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que, para todo \(x\in E\), da condição \(0\lt x-a\lt \delta \) decorre \(|f(x)-L|\lt \varepsilon \).
Suponha que \(a\) seja ponto de acumulação à esquerda de \(E\). Dizemos que \(f(x)\) converge para \(L\in \mathbb {R}\) quando \(x\to a^-\), e escrevemos
\[ \lim \limits _{x\to a^-}f(x)=L, \]se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que, para todo \(x\in E\), da condição \(0\lt a-x\lt \delta \) decorre \(|f(x)-L|\lt \varepsilon \).
Os limites laterais são versões unilaterais do limite usual: restringimos a aproximação de \(x\) a \(a\) aos pontos de \(E\) situados de um dos lados de \(a\).
Suponha primeiro que \(\lim \limits _{x\to a}f(x)=L\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que, para todo \(x\in E\), de \(0\lt |x-a|\lt \delta \) segue \(|f(x)-L|\lt \varepsilon \). Em particular, isso vale quando \(0\lt x-a\lt \delta \), e portanto \(\lim \limits _{x\to a^+}f(x)=L\). Pelo mesmo motivo, também vale quando \(0\lt a-x\lt \delta \), de modo que \(\lim \limits _{x\to a^-}f(x)=L\).
Reciprocamente, suponha que os dois limites laterais existam e sejam iguais a \(L\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), existem \(\delta _1,\delta _2\gt 0\) tais que
e
Tomando \(\delta =\min \{ \delta _1,\delta _2\} \), se \(x\in E\) satisfaz \(0\lt |x-a|\lt \delta \), então ou \(0\lt a-x\lt \delta \) ou \(0\lt x-a\lt \delta \). Em ambos os casos, obtemos \(|f(x)-L|\lt \varepsilon \). Logo, \(\lim \limits _{x\to a}f(x)=L\).
Pela definição de continuidade em \(a\), a função \(f\) é contínua em \(a\) se, e somente se, \(\lim \limits _{x\to a}f(x)=f(a)\). A conclusão segue então da proposição anterior.
Os limites laterais também permitem classificar as descontinuidades de uma função, como veremos a seguir.
8.2 Descontinuidades e funções monótonas
Uma descontinuidade pode ocorrer porque os dois lados se aproximam de valores diferentes, porque o valor da função não coincide com um limite comum, ou porque algum dos limites laterais não existe como número real. A classificação seguinte distingue esses casos.
Descontinuidade removível: ocorre quando
\[ \lim \limits _{x\to a^-} f(x)=\lim \limits _{x\to a^+} f(x)=L, \]mas \(f(a)\neq L\). Nesse caso, bastaria redefinir \(f(a)=L\) para tornar a função contínua em \(a\).
Descontinuidade por salto: ocorre quando os limites laterais existem, mas são distintos, isto é,
\[ \lim \limits _{x\to a^-} f(x)\neq \lim \limits _{x\to a^+} f(x). \]A quantidade
\[ \bigl|\lim \limits _{x\to a^+} f(x)-\lim \limits _{x\to a^-} f(x)\bigr| \]é chamada salto da função no ponto \(a\).
A função
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x\in \mathbb {Q},\\ 0, & x\notin \mathbb {Q}, \end{cases} \]é descontínua em todo ponto de \(\mathbb {R}\). De fato, toda vizinhança de qualquer ponto contém números racionais e irracionais, e o mesmo vale para qualquer intervalo lateral. Assim, a função assume nessas vizinhanças os valores \(0\) e \(1\), de modo que não admite limite, nem bilateral nem lateral, em nenhum ponto. Logo, \(f\) tem descontinuidade da segunda espécie em todo ponto.
A função
\[ f(x)= \begin{cases} x, & x\in \mathbb {Q},\\ 0, & x\notin \mathbb {Q}, \end{cases} \]é contínua em \(0\) e descontínua em todo ponto \(x\neq 0\). De fato, para todo \(x\in \mathbb {R}\), temos \(|f(x)|\le |x|\), e portanto \(\lim \limits _{x\to 0}f(x)=0=f(0)\). Por outro lado, se \(x\neq 0\), ao longo de uma sequência de racionais que converge para \(x\), os valores de \(f\) convergem para \(x\), enquanto, ao longo de uma sequência de irracionais que converge para \(x\), os valores de \(f\) convergem para \(0\). Como esses limites são distintos, \(f\) é descontínua em todo ponto \(x\neq 0\); trata-se, mais precisamente, de uma descontinuidade da segunda espécie.
A função
\[ f(x)=\sin (1/x),\qquad x\neq 0, \]não admite limite quando \(x\to 0\), nem pela direita nem pela esquerda. Assim, qualquer extensão dessa função em \(x=0\) terá uma descontinuidade da segunda espécie nesse ponto.
Funções monótonas
Para funções monótonas, os limites laterais nos pontos interiores de um intervalo podem ser descritos por supremos e ínfimos. Essa descrição permite determinar o tipo de descontinuidade que pode ocorrer e mostrar que o conjunto desses pontos é no máximo enumerável.
Fixe \(x\in (a,b)\). Como \(f\) é crescente, o conjunto
é não vazio e é limitado superiormente por \(f(x)\). Logo, existe \(\alpha =\sup A\). Mostremos que \(\lim \limits _{t\to x^-}f(t)=\alpha \). Seja \(\varepsilon \gt 0\). Pela definição de supremo, existe \(t_0\in (a,x)\) tal que \(\alpha -\varepsilon \lt f(t_0)\le \alpha \). Se \(t_0\lt t\lt x\), então, pela monotonicidade de \(f\),
Daí segue que \(|f(t)-\alpha |\lt \varepsilon \) para todo \(t\) suficientemente próximo de \(x\) pela esquerda. Portanto,
De modo análogo, o conjunto
é não vazio e é limitado inferiormente por \(f(x)\). Existe, então, \(\beta =\inf B\), e o mesmo raciocínio mostra que
Como \(f(t)\le f(x)\) para todo \(t\lt x\), concluímos que \(\lim \limits _{t\to x^-}f(t)\le f(x)\). Analogamente, de \(f(x)\le f(t)\) para todo \(t\gt x\) obtemos \(f(x)\le \lim \limits _{t\to x^+}f(t)\). Por fim, se \(x\lt y\), então, para todo \(t\) com \(x\lt t\lt y\), temos
Como isso vale para todo \(t\in (x,y)\), segue que
Se \(f\) é monótona, então ela é crescente ou decrescente. No caso crescente, o resultado decorre imediatamente do teorema anterior. No caso decrescente, basta aplicar esse mesmo resultado à função \(-f\).
Podemos supor que \(f\) seja crescente. Seja \(x\in (a,b)\) um ponto de descontinuidade. Pelo corolário anterior, os limites laterais em \(x\) existem e são finitos; além disso, como \(f\) não é contínua em \(x\), necessariamente
Assim, o intervalo aberto
é não vazio. Pela densidade de \(\mathbb {Q}\) em \(\mathbb {R}\), podemos escolher um racional \(r_x\in I_x\). Se \(x\lt y\), então, pelo teorema anterior,
Logo, os intervalos \(I_x\) e \(I_y\) são disjuntos. Em particular, se \(x\neq y\), então \(r_x\neq r_y\). Obtivemos, assim, uma aplicação injetiva do conjunto dos pontos de descontinuidade de \(f\) em \(\mathbb {Q}\). Como \(\mathbb {Q}\) é enumerável, segue que esse conjunto é no máximo enumerável.
Assim, no interior do intervalo, as descontinuidades de uma função monótona são saltos e formam um conjunto no máximo enumerável.
Consideraremos agora o comportamento de uma função quando a variável se afasta indefinidamente, em vez de se aproximar de um ponto real.
8.3 Limites no infinito
A notação \(x\to +\infty \) indica que \(x\) ultrapassa qualquer cota previamente fixada; não pressupõe que \(+\infty \) seja um número real. Como no limite em um ponto finito, exigiremos que o erro seja menor que cada \(\varepsilon \gt 0\), mas agora para valores suficientemente grandes da variável.
Como \(f(E)\) é não vazio e limitado superiormente, existe \(L=\sup f(E)\). Mostremos que \(\lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=L\).
Seja \(\varepsilon \gt 0\). Pela definição de supremo, existe \(x_0\in E\) tal que \(L-\varepsilon \lt f(x_0)\le L\). Como \(f\) é crescente, para todo \(x\in E\) com \(x\gt x_0\) temos
Daí resulta que \(|f(x)-L|\lt \varepsilon \) sempre que \(x\in E\) e \(x\gt x_0\). Portanto, \(\lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=L\).
O teorema retoma uma relação já observada nos limites laterais: a monotonicidade, acompanhada da limitação adequada, garante a convergência. No caso crescente, o limite é o supremo da imagem da função.
Passaremos agora a outra situação: a variável se aproxima de um ponto finito, enquanto os valores da função crescem sem limite.
8.4 Limites infinitos de funções
Quando escrevemos
não estamos afirmando a existência de um limite real. Essa notação indica que, para qualquer cota \(M\), os valores de \(f(x)\) são maiores que \(M\) quando \(x\) está suficientemente próximo de \(a\), com \(x\neq a\).
Seja
Então \(\lim \limits _{x\to a}f(x)=+\infty \).
De fato, dado \(M\gt 0\), escolha \(\delta \gt 0\) tal que \(0\lt \delta \lt 1/\sqrt{M}\). Se \(0\lt |x-a|\lt \delta \), então
e, portanto,
Isso mostra que
As noções de limite no infinito e de limite infinito podem ser combinadas. Por exemplo,
significa que, para todo \(M\gt 0\), existe \(A\gt 0\) tal que
para todo \(x\) do domínio. As outras combinações de sinais são definidas de modo análogo.
Com essas definições, podemos precisar a observação sobre monotonicidade: nos pontos interiores de um intervalo, uma função real monótona possui limites laterais finitos; em extremidades do domínio ou quando a variável tende a \(\pm \infty \), os limites correspondentes podem ser infinitos.
As noções estudadas descrevem aproximações laterais, o comportamento no infinito e a divergência dos valores de uma função. No capítulo seguinte, essas formas de aproximação serão utilizadas no estudo da derivada.
8.5 Exercícios
Considere a função “maior inteiro” \([x]=\max \{ n\in \mathbb {Z}:n\le x\} \), e a função “parte fracionária” \((x)=x-[x]\). Determine a natureza das descontinuidades de ambas as funções. Seja \(f\) uma função real definida em \((a,b)\). Prove que o conjunto de pontos onde \(f\) possui uma descontinuidade da primeira espécie é, no máximo, enumerável. Considere a função \(f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}\) definida por Prove que \(f\) é contínua em todos os pontos irracionais e possui descontinuidades da primeira espécie em todos os pontos racionais. Suponha que \(f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}\) possua a propriedade do valor intermediário e que, para cada número racional \(r\), o conjunto \(\{ x : f(x) = r\} \) seja fechado. Prove que \(f\) é contínua. Sejam \(f,g\colon E\to \mathbb {R}\) funções reais. Estude, no caso de funções reais de variável real, como as propriedades de limite no infinito e de limite infinito se comportam em relação às operações algébricas usuais. Seja \(f\colon E\to \mathbb {R}\), com \(E\subset \mathbb {R}\), e seja \(a\in \mathbb {R}\) um ponto de acumulação de \(E\). Suponha que \(f\) seja limitada numa vizinhança de \(a\). Defina a oscilação de \(f\) em \(a\) por Prove que se, e somente se, Mostre ainda que, se \(a\in E\) e \(a\) é ponto de acumulação de \(E\), então Seja \(f\colon E\to \mathbb {R}\), com \(E\subset \mathbb {R}\), e seja \(a\in \mathbb {R}\) um ponto de acumulação de \(E\). Prove que, se \(f\) é monótona numa vizinhança de \(a\), então os limites laterais em \(a\) existem, podendo ser finitos ou infinitos. Dê um exemplo de uma função definida em um intervalo que tenha exatamente um conjunto enumerável prescrito de pontos de descontinuidade da primeira espécie. Sejam \(E\subset \mathbb {R}\), \(a\in \mathbb {R}\) um ponto de acumulação de \(E\) e \(f\colon E\to \mathbb {R}\). Suponha que \(\lim \limits _{x\to a}f(x)=+\infty \). Prove o critério sequencial correspondente: para toda sequência \(\{ x_n\} \subset E\setminus \{ a\} \) com \(x_n\to a\), tem-se \(f(x_n)\to +\infty \). Mostre que, se \(f\) é monótona em um intervalo, então o conjunto de seus pontos de continuidade é denso nesse intervalo.