Derivadas
Nos capítulos anteriores, limites descreviam o comportamento de uma função quando a variável se aproximava de um ponto. A derivada acrescenta uma pergunta mais precisa: com que velocidade a função varia nessa aproximação?
O quociente incremental compara a variação de \(f\) com a variação da própria variável. Quando esse quociente possui limite, o comportamento de primeira ordem da função deixa de ser apenas contínuo e passa a ser essencialmente linear. Essa é a ideia que organiza o capítulo.
Partiremos da derivada em um ponto e de sua interpretação como aproximação linear. Depois veremos como derivadas se combinam, o que dizem sobre extremos e como os teoremas do valor médio transformam informação local em conclusões globais. L’Hôpital, convexidade e a fórmula de Taylor aparecerão então como consequências e refinamentos dessa mesma estrutura.
9.1 Derivada e aproximação linear
A inclinação de uma secante mede uma taxa média de variação. Fazer o segundo ponto da secante aproximar-se do primeiro leva à taxa instantânea. Analiticamente, essa passagem é um limite; geometricamente, produz a reta tangente.
A expressão \(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) é o quociente incremental de \(f\) em torno de \(a\). Geometricamente, ela representa o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de \(f\) que passa pelos pontos \((a,f(a))\) e \((x,f(x))\). Quando o limite acima existe, a reta que passa por \((a,f(a))\) e tem coeficiente angular \(f'(a)\) é chamada reta tangente ao gráfico de \(f\) nesse ponto. Em outras palavras, a derivada é o limite dos coeficientes angulares das secantes quando o segundo ponto se aproxima do primeiro.
Escrevendo \(h=x-a\), isto é, \(x=a+h\), a definição assume a forma equivalente
Nesse caso, a função \(h\mapsto \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) fica definida no conjunto
e \(0\) é ponto de acumulação de \(Y\).
Nesta seção, denotaremos por \(E'\) o conjunto dos pontos de acumulação de \(E\); analogamente, \(E_+'\) e \(E_-'\) denotam, respectivamente, os conjuntos dos pontos de acumulação à direita e à esquerda de \(E\).
Quando \(a\in E\cap E_+'\), isto é, quando \(a\) pertence a \(E\) e é ponto de acumulação à direita de \(E\), definimos a derivada à direita de \(f\) em \(a\) por
se esse limite existir.
De modo análogo, se \(a\in E\cap E_-'\), definimos a derivada à esquerda de \(f\) em \(a\) por
quando esse limite existir.
Assim, se \(a\) é ponto de acumulação de \(E\) à direita e à esquerda, por exemplo se \(a\in \operatorname {int}(E)\), então \(f'(a)\) existe se, e somente se, existem as duas derivadas laterais e elas coincidem.
Assim, em intervalos fechados, a noção adotada coincide com a derivada usual no interior e com a derivada lateral pertinente nas extremidades.
Uma caracterização útil, que seguiremos empregando várias vezes, é a sequencial: \(f\) é diferenciável em \(a\) se, e somente se, para toda sequência \((x_n)\) em \(E\setminus \{ a\} \) com \(x_n\to a\), vale
Mais geralmente, se \(Y\subset \mathbb {R}\) e \(g:Y\to \mathbb {R}\) satisfaz \(g(Y)\subset E\), \(\lim _{y\to b}g(y)=a\), com \(b\in Y'\), e ainda \(g(y)\neq a\) para \(y\neq b\), então a existência de \(f'(a)\) implica
Trata-se apenas da estabilidade da definição de derivada por mudança de variável ou por passagem a sequências.
Da definição segue imediatamente que diferenciabilidade é uma hipótese mais forte do que continuidade.
Para \(x\neq a\), escrevemos
Quando \(x\to a\), o primeiro fator tende a \(f'(a)\) e o segundo tende a \(0\). Portanto, o produto tende a \(0\), isto é, \(f(x)\to f(a)\). Logo, \(f\) é contínua em \(a\).
A existência de apenas uma derivada lateral não garante continuidade no ponto. Por exemplo, a função
satisfaz \(f_+'(0)=0\), mas não é contínua em \(0\).
O mesmo argumento do teorema mostra que, se \(f_+'(a)\) existe, então \(f\) é contínua à direita em \(a\), e, se \(f_-'(a)\) existe, então \(f\) é contínua à esquerda em \(a\).
Em particular, se ambas as derivadas laterais existem, então \(f\) é contínua no ponto, ainda que elas sejam diferentes, pois a existência de cada derivada lateral já implica a continuidade lateral correspondente.
Convém registrar outra formulação equivalente: uma função é diferenciável em um ponto precisamente quando sua variação, em relação a esse ponto, admite uma fatoração por \((x-a)\) com quociente contínuo.
Suponha primeiro que \(f\) seja diferenciável em \(a\) e defina
Então \(f(x)-f(a)=(x-a)f^*(x)\) para todo \(x\in E\), e a própria definição de derivada mostra que \(f^*\) é contínua em \(a\).
Reciprocamente, suponha que exista uma função \(f^*:E\to \mathbb {R}\), contínua em \(a\), tal que \(f(x)-f(a)=(x-a)f^*(x)\) para todo \(x\in E\). Para \(x\neq a\), segue que
Passando ao limite quando \(x\to a\), obtemos \(f'(a)=f^*(a)\). Portanto, \(f\) é diferenciável em \(a\).
A fatoração anterior contém uma formulação ainda mais reveladora. Se \(f\) é diferenciável em \(a\), então, para \(h\to 0\),
Assim, a função afim
é a aproximação de primeira ordem de \(f(a+h)\). O erro é pequeno não apenas em valor absoluto: ele é de ordem estritamente menor que \(|h|\). É nesse sentido preciso que diferenciabilidade significa existência de uma aproximação linear.
Reciprocamente, uma decomposição dessa forma implica imediatamente a existência da derivada e identifica seu coeficiente linear com \(f'(a)\).
Os exemplos seguintes ilustram essa caracterização e fixam procedimentos de cálculo que reaparecerão ao longo do capítulo.
Seja \(n\ge 1\) um inteiro e considere \(f(x)=x^n\). Então \(f\) é diferenciável em todo ponto \(a\in \mathbb {R}\), com
De fato, para \(h\neq 0\), pelo binômio de Newton,
Fazendo \(h\to 0\), todos os termos com \(j\ge 2\) tendem a \(0\), restando
Para \(n=0\), a função é constante e sua derivada é identicamente nula.
A função \(f(x)=|x|\) é contínua em toda a reta, mas não é diferenciável em \(0\). Com efeito,
que vale \(1\) para \(x\gt 0\) e \(-1\) para \(x\lt 0\). Assim,
Como as derivadas laterais são distintas, \(f'(0)\) não existe.
Nos demais pontos a função coincide localmente com uma função afim: \(f(x)=x\) em uma vizinhança de cada \(a\gt 0\), e \(f(x)=-x\) em uma vizinhança de cada \(a\lt 0\). Portanto,
Considere \(f:(0,+\infty )\to \mathbb {R}\), \(f(x)=\sqrt{x}\). Para \(a\gt 0\) e \(h\neq 0\), com \(a+h\gt 0\), temos
após racionalizar o numerador. Logo,
Se a mesma expressão for considerada como função em \([0,+\infty )\), o ponto \(0\) passa a exigir a derivada lateral à direita. Nesse caso, para \(h\gt 0\),
que não possui limite real finito quando \(h\to 0^+\). Assim, \(\sqrt{x}\) não é diferenciável em \(0\), no sentido adotado neste capítulo.
Seja \(f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) definida por
Assim, \(f(x)\) é a distância de \(x\) ao inteiro mais próximo. Em cada intervalo \([n,n+1]\), o gráfico é formado por dois segmentos de reta:
e
Portanto, \(f\) é diferenciável nos intervalos abertos
com derivada igual a \(1\) no primeiro caso e igual a \(-1\) no segundo.
Nos pontos \(n\) e \(n+\frac12\), as derivadas laterais existem, mas não coincidem. Em particular, \(f\) não é diferenciável nesses pontos. Esse exemplo mostra que a não diferenciabilidade pode ocorrer não por descontinuidade da função, mas pela presença de uma mudança brusca de inclinação.
Como a derivada é definida por um limite, ela é uma noção local. Se \(f:E\to \mathbb {R}\) é diferenciável em um ponto de acumulação \(a\in E\) e \(Y\subset E\) é tal que \(a\) também é ponto de acumulação de \(Y\), então a restrição \(g=f|_Y\) é diferenciável em \(a\), com \(g'(a)=f'(a)\).
Reciprocamente, se \(Y=I\cap E\), onde \(I\) é um intervalo aberto contendo \(a\), então a existência de \(g'(a)\) implica a de \(f'(a)\), pois, em uma vizinhança de \(a\), as duas funções coincidem.
Diremos que \(f:E\to \mathbb {R}\) é diferenciável em \(E\) quando \(f'(a)\) existe em todo ponto \(a\in E\) que seja ponto de acumulação de \(E\).
\(f\) é diferenciável em \(a\);
existe uma constante \(L\in \mathbb {R}\) e uma função \(r\), definida para \(h\) suficientemente próximo de \(0\) com \(a+h\in E\), tais que
\[ f(a+h)=f(a)+Lh+r(h) \qquad \text{e}\qquad \lim _{h\to 0}\frac{r(h)}{h}=0. \]
Suponha primeiro que \(f\) seja diferenciável em \(a\). Definindo
para \(h\) suficientemente próximo de \(0\), com \(h\neq 0\) e \(a+h\in E\), obtemos a decomposição
Além disso,
e o segundo membro tende a \(0\) quando \(h\to 0\). Logo, \(\frac{r(h)}{h}\to 0\), o que prova (i)\(\Rightarrow \)(ii).
Reciprocamente, suponha que exista \(L\in \mathbb {R}\) tal que \(f(a+h)=f(a)+Lh+r(h)\), com \(\frac{r(h)}{h}\to 0\). Então, para \(h\neq 0\),
Passando ao limite quando \(h\to 0\), obtemos
Portanto, \(f\) é diferenciável em \(a\) e \(f'(a)=L\). Isso prova (ii)\(\Rightarrow \)(i).
A unicidade de \(L\) é imediata: se
com \(\frac{r(h)}{h}\to 0\) e \(\frac{s(h)}{h}\to 0\), então, para \(h\neq 0\),
Passando ao limite quando \(h\to 0\), concluímos que \(L=M\).
A definição fornece a estrutura local. Para que o cálculo diferencial seja útil, porém, precisamos saber como essa estrutura se comporta quando somamos, multiplicamos ou compomos funções.
9.2 Regras de derivação
As regras de derivação mostram que diferenciabilidade é estável sob as operações usuais. Em particular, a regra da cadeia traduz a ideia de que taxas de variação sucessivas se multiplicam, enquanto a fórmula da inversa permite recuperar a variação de uma função a partir da variação de sua bijeção inversa.
A fórmula da soma segue imediatamente da linearidade do limite.
Para o produto, escrevemos
Dividindo por \(x-a\) e passando ao limite quando \(x\to a\), obtemos
pois \(f\) é contínua em \(a\).
Para o quociente, basta observar que
Novamente dividimos por \(x-a\) e passamos ao limite. Como \(g(x)\to g(a)\neq 0\), segue que
Resta analisar o comportamento da derivada sob composição. A regra da cadeia mostra como se combinam aproximações lineares sucessivas.
Como \(g\) é diferenciável em \(b\), pela caracterização por fatoração existe uma função \(g^*:Y\to \mathbb {R}\), contínua em \(b\), tal que
com \(g^*(b)=g'(b)\). Aplicando essa identidade a \(y=f(x)\), obtemos, para \(x\in E\),
Se \(x\neq a\), então
Como \(f\) é diferenciável em \(a\), ela é contínua em \(a\); logo, \(f(x)\to f(a)=b\) quando \(x\to a\). Pela continuidade de \(g^*\) em \(b\), temos \(g^*(f(x))\to g^*(b)=g'(b)\). Passando ao limite, concluímos que
Como \(f\) é contínua e estritamente monótona no intervalo \(I\), sua inversa \(g:J\to I\) é contínua. Além disso, para \(y\in J\) com \(y\neq b\), temos \(g(y)\neq a\) e \(f(g(y))=y.\) Portanto,
Como \(g\) é contínua em \(b\), segue que \(g(y)\to a\) quando \(y\to b\) em \(J\). Como o quociente incremental de \(f\) tende a \(f'(a)\neq 0\), ele permanece não nulo para \(u\) suficientemente próximo de \(a\), com \(u\neq a\). Logo,
Assim, \(g\) é diferenciável em \(b\) e \(g'(b)=\frac{1}{f'(a)}.\)
A função \(f:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\), \(f(x)=x^3\), é uma bijeção contínua e estritamente crescente. Sua inversa é
Como \(f'(a)=3a^2\), o corolário sobre a derivada da inversa se aplica em todo ponto \(a\neq 0\). Se \(b=a^3\), então
No ponto \(b=0\), entretanto, o corolário não se aplica, pois \(f'(0)=0\). De fato,
e esse quociente não admite limite real finito quando \(y\to 0\). Logo, \(g\) não é diferenciável em \(0\).
Calcular derivadas é apenas metade da teoria. A outra metade consiste em interpretar o que o valor e o sinal da derivada dizem sobre a função original.
9.3 Derivada e extremos locais
Em um extremo local interior, a função não pode continuar variando na mesma direção dos dois lados. Quando a derivada existe, essa observação elementar leva ao Teorema de Fermat e ao primeiro critério necessário para localizar extremos.
Definições análogas valem para mínimo local e mínimo local estrito.
Como
existe \(\delta \gt 0\) tal que, para todo \(x\in E\) com \(a\lt x\lt a+\delta \), vale
Como \(x-a\gt 0\), concluímos que \(f(x)-f(a)\gt 0\), isto é, \(f(x)\gt f(a)\).
se \(f_+'(a)\gt 0\), então \(f(x)\gt f(a)\) para todo \(x\gt a\) suficientemente próximo de \(a\);
se \(f_+'(a)\lt 0\), então \(f(x)\lt f(a)\) para todo \(x\gt a\) suficientemente próximo de \(a\);
se \(f_-'(a)\gt 0\), então \(f(x)\lt f(a)\) para todo \(x\lt a\) suficientemente próximo de \(a\);
se \(f_-'(a)\lt 0\), então \(f(x)\gt f(a)\) para todo \(x\lt a\) suficientemente próximo de \(a\).
Em particular, se \(f'(a)\gt 0\), então \(f(x)\lt f(a)\lt f(y)\) para \(x\lt a\lt y\) suficientemente próximos de \(a\). Analogamente, se \(f'(a)\lt 0\), então \(f(x)\gt f(a)\gt f(y)\) para \(x\lt a\lt y\) suficientemente próximos de \(a\).
Suponha que \(f\) tenha um máximo local em \(a\). Então existe \(\delta \gt 0\) tal que \(f(x)\le f(a)\) para todo \(x\in E\cap (a-\delta ,a+\delta )\). Se \(x\lt a\), então \(f(x)-f(a)\le 0\) e \(x-a\lt 0\), de modo que
Passando ao limite quando \(x\to a^-\), obtemos \(f'(a)\ge 0\). Se \(x\gt a\), temos \(f(x)-f(a)\le 0\) e \(x-a\gt 0\), logo
Fazendo \(x\to a^+\), segue que \(f'(a)\le 0\). Portanto, \(f'(a)=0\).
O caso de mínimo local é análogo.
O Teorema de Fermat é local. Para relacionar o sinal da derivada ao comportamento da função em um intervalo inteiro precisamos de um mecanismo que compare dois pontos afastados. Esse mecanismo é fornecido pelos teoremas do valor médio.
9.4 Teoremas do valor médio e consequências
A partir daqui o domínio será, em geral, um intervalo. Essa hipótese não é um detalhe técnico: ela garante que todos os pontos entre dois valores do domínio continuam disponíveis. É exatamente isso que permite converter informação sobre derivadas em conclusões globais sobre crescimento, estimativas e monotonicidade.
Rolle é o caso fundamental. O Teorema de Cauchy organiza a comparação entre duas funções, e o Teorema do Valor Médio aparece como o caso particular \(g(x)=x\). Darboux completa o quadro mostrando uma propriedade surpreendente: mesmo quando \(f'\) não é contínua, ela ainda não pode saltar valores.
Se \(f:I\to \mathbb {R}\) é diferenciável em todo ponto de um intervalo \(I\), podemos então considerar sua derivada como uma nova função, \(f':I\to \mathbb {R}\), dada por \(x\mapsto f'(x)\).
Fixaremos agora, para todo o capítulo, a convenção que será usada para as classes \(C^n\). Se \(I\subset \mathbb {R}\) é um intervalo com interior não vazio, diremos que \(f\in C^n(I)\) quando \(f\) é contínua em \(I\), as derivadas \(f^{(k)}\) existem em \(\operatorname {int}(I)\), para \(1\le k\le n\), e cada uma delas admite extensão contínua a \(I\). Quando \(I\) é aberto, essa definição coincide com a usual.
Quando \(I\) possui extremidades, os valores de \(f^{(k)}\) nas extremidades serão sempre entendidos como os valores desses prolongamentos contínuos. Em particular, dizer que \(f\) é de classe \(C^1\) em \(I\), ou continuamente diferenciável em \(I\), significa que \(f\) é diferenciável no interior de \(I\), que \(f'\) é contínua no interior e que \(f'\) se prolonga continuamente às extremidades de \(I\), caso elas existam. Para \(n=0\), escrevemos \(C(I)\) para a classe das funções contínuas em \(I\). Finalmente, \(f\in C^\infty (I)\) significa que \(f\in C^n(I)\) para todo \(n\ge 0\).
Nem toda função diferenciável em um intervalo tem derivada contínua.
Quando \(f'\) é contínua, podemos aplicar diretamente a ela o Teorema do Valor Intermediário. Mesmo sem continuidade, porém, as derivadas ainda satisfazem uma propriedade análoga, expressa pelo Teorema de Darboux. Antes disso, veremos os teoremas do valor médio, que permitem transformar informações locais sobre a derivada em conclusões globais sobre a função.
Se \(f\) for constante, o resultado é imediato. Suponhamos, então, que \(f\) não seja constante. Como \(f\) é contínua em \([a,b]\), ela atinge nesse intervalo um máximo e um mínimo.
Se ambos esses extremos fossem atingidos nas extremidades, então, como \(f(a)=f(b)\), os valores máximo e mínimo coincidiriam. Isso implicaria que \(f\) é constante em \([a,b]\), em contradição com a hipótese.
Logo, pelo menos um desses extremos é atingido em algum ponto interior \(c\in (a,b)\). Como \(c\) é ponto de máximo ou de mínimo local e \(f\) é diferenciável em \(c\), o Teorema de Fermat fornece \(f'(c)=0\).
Defina \(f:[0,1]\to \mathbb {R}\) por
\[ f(x)=x \quad \text{se } x\in [0,1), \qquad f(1)=0. \]Então \(f(0)=f(1)\) e \(f\) é diferenciável em \((0,1)\), com \(f'(x)=1\) para todo \(x\in (0,1)\). Portanto, não existe \(c\in (0,1)\) tal que \(f'(c)=0\). O que falha aqui é a continuidade em \(x=1\).
Se \(g:[-1,1]\to \mathbb {R}\) é dada por \(g(x)=|x|\), então \(g\) é contínua em \([-1,1]\) e satisfaz \(g(-1)=g(1)\), mas não é diferenciável em \(0\).
Considere
A função \(h\) é contínua em \([a,b]\) e diferenciável em \((a,b)\). Além disso, uma conta direta mostra que \(h(a)=h(b)\). Pelo Teorema de Rolle, existe \(c\in (a,b)\) tal que \(h'(c)=0\). Como
obtemos
Basta aplicar o Teorema de Cauchy à função \(g(x)=x\).
Geometricamente, o Teorema do Valor Médio afirma que existe um ponto do intervalo em que a tangente ao gráfico de \(f\) é paralela à secante que liga os extremos do arco considerado.
Esse resultado permite obter propriedades globais da função a partir de hipóteses sobre sua derivada. Os corolários seguintes ilustram esse princípio.
Sejam \(x,y\in [a,b]\) com \(x\lt y\). Pelo Teorema do Valor Médio, existe \(c\in (x,y)\) tal que
Como \(f'(c)=0\), segue que \(f(y)=f(x)\). Logo, \(f\) é constante em \([a,b]\).
Basta aplicar o corolário anterior à função \(g-f\).
Sejam \(x,y\in I\) com \(x\lt y\). Pelo Teorema do Valor Médio, existe \(c\in (x,y)\) tal que
Tomando módulo, obtemos
Em particular, toda função com derivada limitada em um intervalo aberto é Lipschitziana e, portanto, uniformemente contínua.
\(f'(x)\ge 0\) para todo \(x\in I\) se, e somente se, \(f\) é não decrescente em \(I\);
se \(f'(x)\gt 0\) para todo \(x\in I\), então \(f\) é crescente em \(I\).
Suponha primeiro que \(f'(x)\ge 0\) para todo \(x\in I\). Se \(a\lt b\) pertencem a \(I\), o Teorema do Valor Médio fornece um ponto \(c\in (a,b)\) tal que
Assim, \(f(a)\le f(b)\), e \(f\) é não decrescente em \(I\).
Reciprocamente, suponha que \(f\) seja não decrescente. Fixe \(x\in I\) e tome \(h\neq 0\) com \(x+h\in I\). Se \(h\gt 0\), então \(f(x+h)\ge f(x)\), e portanto
Se \(h\lt 0\), como \(f(x+h)\le f(x)\), o numerador é não positivo e o denominador é negativo, de modo que novamente
Passando ao limite quando \(h\to 0\), obtemos \(f'(x)\ge 0\).
Se agora \(f'(x)\gt 0\) para todo \(x\in I\) e \(a\lt b\), o Teorema do Valor Médio fornece \(c\in (a,b)\) tal que
Logo \(f(a)\lt f(b)\), isto é, \(f\) é crescente em \(I\).
A hipótese \(f'(x)\ge 0\) em todo ponto de um intervalo garante que \(f\) seja não decrescente, mas não exige que a derivada seja estritamente positiva em todos os pontos para que a função seja estritamente crescente.
Um exemplo simples é \(f(x)=x^3\). Temos
em toda a reta, e \(f'(0)=0\). Ainda assim, \(f\) é estritamente crescente em \(\mathbb {R}\), pois \(x\lt y\) implica \(x^3\lt y^3\). Portanto, a condição \(f'(x)\gt 0\) é suficiente para crescimento estrito, mas não é necessária.
As conclusões globais obtidas por meio do Teorema do Valor Médio dependem essencialmente do fato de o domínio ser um intervalo.
Por exemplo, a função \(f:\mathbb {R}\setminus \{ 0\} \to \mathbb {R}\), dada por \(f(x)=x/|x|\), satisfaz \(f'(x)=0\) para todo \(x\neq 0\), mas não é constante. O que falha aqui é justamente o fato de o domínio não ser um intervalo.
A função exponencial permite ilustrar como o Teorema do Valor Médio transforma uma informação local sobre a derivada em uma desigualdade global. Como \(f(x)=e^x\) satisfaz \(f'(x)=e^x\), aplicando o Teorema do Valor Médio em \([0,x]\), com \(x\gt 0\), obtemos \(c\in (0,x)\) tal que
Como \(e^c\gt 1\), segue que
Iterações dessa estimativa, ou formas mais refinadas dela, permitem comparar o crescimento da exponencial com o de potências. Em particular, para todo \(n\in \mathbb {N}\),
Considere
Essa função é o exemplo prototípico de função suave que se anula em \(0\) com ordem maior do que qualquer potência. Ela é contínua em \(0\), pois \(e^{-1/x^2}\to 0\) quando \(x\to 0\).
Para \(x\neq 0\),
No ponto \(0\),
Além disso,
pois, escrevendo \(t=1/|x|\), essa expressão é dominada por um múltiplo de \(t^3e^{-t^2}\), que tende a \(0\) quando \(t\to +\infty \). Assim, \(f'\) é contínua em \(0\).
O próximo corolário refina o Teorema do Valor Médio: se a derivada admite limite ao nos aproximarmos de uma extremidade, então a derivada lateral correspondente existe e coincide com esse limite.
Seja \((x_n)\) uma sequência com \(x_n\gt a\) e \(x_n\to a\). Pelo Teorema do Valor Médio, para cada \(n\) existe \(y_n\in (a,x_n)\) tal que
Como \(a\lt y_n\lt x_n\) e \(x_n\to a\), segue que \(y_n\to a\). Pela hipótese, \(f'(y_n)\to L\). Portanto,
Como isso vale para toda sequência \((x_n)\) com \(x_n\gt a\) e \(x_n\to a\), o critério sequencial para limites laterais mostra que \(f_+'(a)\) existe e é igual a \(L\).
Embora a derivada possa deixar de ser contínua, ela não pode apresentar saltos. Essa é a propriedade expressa pelo Teorema de Darboux.
Os casos em que \(d=f'(x_1)\) ou \(d=f'(x_2)\) são imediatos, tomando respectivamente \(c=x_1\) ou \(c=x_2\). Basta considerar, portanto, o caso em que
pois o caso \(f'(x_2)\lt d\lt f'(x_1)\) é análogo.
Definamos \(g:[x_1,x_2]\to \mathbb {R}\) por \(g(x)=f(x)-dx\). Então \(g\) é contínua em \([x_1,x_2]\) e diferenciável em \((x_1,x_2)\), com
Como \(x_1,x_2\in I\) e \(I\) é aberto, as derivadas \(g'(x_1)\) e \(g'(x_2)\) estão bem definidas. Como \(g'(x_1)=f'(x_1)-d\lt 0\), segue da definição de derivada que existe \(\eta _1\gt 0\) tal que, para todo \(x\in (x_1,x_1+\eta _1)\),
Como \(x-x_1\gt 0\), isso implica \(g(x)\lt g(x_1)\). Logo, \(x_1\) não pode ser ponto de mínimo de \(g\) em \([x_1,x_2]\).
De modo análogo, como \(g'(x_2)=f'(x_2)-d\gt 0\), existe \(\eta _2\gt 0\) tal que, para todo \(x\in (x_2-\eta _2,x_2)\),
Como agora \(x-x_2\lt 0\), segue novamente que \(g(x)\lt g(x_2)\). Portanto, \(x_2\) também não pode ser ponto de mínimo de \(g\) em \([x_1,x_2]\).
Como \(g\) é contínua no compacto \([x_1,x_2]\), ela atinge seu mínimo nesse intervalo. Como esse mínimo não ocorre em nenhuma das extremidades, ele é atingido em algum ponto \(c\in (x_1,x_2)\).
Pelo Teorema de Fermat, temos \(g'(c)=0\). Como \(g'(c)=f'(c)-d\), concluímos que \(f'(c)=d\).
Pelo Teorema de Darboux, a derivada não pode mudar de sinal sem assumir o valor \(0\) em algum ponto intermediário. Como \(f'(x)\neq 0\) para todo \(x\in I\), segue que \(f'\) é sempre positiva ou sempre negativa em \(I\).
Se \(f'(x)\gt 0\) para todo \(x\in I\), então o corolário anterior mostra que \(f\) é crescente em \(I\). Se \(f'(x)\lt 0\) para todo \(x\in I\), aplicamos esse mesmo resultado à função \(-f\), cuja derivada é positiva em todo ponto. Concluímos, portanto, que \(f\) é estritamente monótona em \(I\).
Suponha, por absurdo, que \(f'\) tenha uma descontinuidade de primeira espécie em algum ponto \(c\in I\). Então os limites laterais de \(f'\) em \(c\) existem e são finitos, mas a continuidade falha em \(c\). Em particular, pelo menos um desses limites é diferente de \(f'(c)\), ou os dois limites laterais são distintos entre si. Tratemos, por exemplo, o caso em que
Se \(L\gt f'(c)\), escolha \(d\) tal que
Pela definição de limite lateral, existe \(\delta \gt 0\) tal que
Fixado \(x\in (c,c+\delta )\), temos
Aplicando o Teorema de Darboux ao intervalo \((c,x)\), obtemos um ponto \(u\in (c,x)\) tal que \(f'(u)=d\), o que contradiz a desigualdade anterior.
O caso \(L\lt f'(c)\) é análogo, e o mesmo raciocínio vale para o limite pela esquerda. Logo, \(f'\) não pode ter descontinuidade de primeira espécie em nenhum ponto de \(I\).
Seja \(I\subset \mathbb {R}\) um intervalo. Dizemos que uma função \(f:I\to \mathbb {R}\) é uniformemente diferenciável em \(I\) quando \(f\) é diferenciável em todo ponto de \(I\) e, além disso, para todo \(\varepsilon \gt 0\) existe \(\delta \gt 0\) tal que, para quaisquer \(x\in I\) e \(h\in \mathbb {R}\) com \(x+h\in I\),
Equivalentemente, \(f\) é uniformemente diferenciável em \(I\) se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que, para quaisquer \(x\in I\) e \(h\in \mathbb {R}\) com \(x+h\in I\),
Suponha primeiro que \(f'\) seja contínua em \([a,b]\). Como \([a,b]\) é compacto, \(f'\) é uniformemente contínua. Dado \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que
para quaisquer \(u,v\in [a,b]\).
Fixemos \(x\in [a,b]\) e \(h\in \mathbb {R}\) com \(x+h\in [a,b]\) e \(0\lt |h|\lt \delta \). Pelo Teorema do Valor Médio, existe \(y\) entre \(x\) e \(x+h\) tal que \(f(x+h)-f(x)=f'(y)h\). Portanto,
Como \(|y-x|\le |h|\lt \delta \), segue que
Logo, \(f\) é uniformemente diferenciável em \([a,b]\).
Reciprocamente, suponha que \(f\) seja uniformemente diferenciável em \([a,b]\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que, sempre que \(u,u+t\in [a,b]\) e \(0\lt |t|\lt \delta \), vale
Se \(x,y\in [a,b]\) satisfazem \(0\lt |y-x|\lt \delta \), aplicamos essa estimativa primeiro a \((u,t)=(x,y-x)\) e depois a \((u,t)=(y,x-y)\). Como os dois quocientes incrementais coincidem, obtemos
Assim, \(f'\) é uniformemente contínua em \([a,b]\) e, em particular, contínua em \([a,b]\).
O Teorema de Cauchy também permite comparar dois quocientes que tendem a uma forma indeterminada. Essa observação conduz à regra de L’Hôpital.
9.5 Regra de L’Hôpital
L’Hôpital não é uma regra algébrica de cancelamento. Sua justificativa é o Teorema de Cauchy: o quociente entre duas funções próximas de uma forma indeterminada é controlado, em pontos intermediários, pelo quociente entre suas derivadas. Por isso as hipóteses sobre diferenciabilidade e sobre \(g'\) são parte essencial do resultado.
O Teorema de Cauchy pode ser visto como a forma estrutural do Teorema do Valor Médio. O caso usual corresponde à escolha \(g(x)=x\). Uma de suas aplicações mais importantes é a regra de L’Hôpital, que permite calcular certos limites de quocientes a partir da razão entre as derivadas.
Apresentaremos aqui a forma mais básica do resultado, correspondente à indeterminação \(0/0\) com limite finito. Os demais casos, análogos em espírito, serão propostos nos exercícios.
Provaremos primeiro o caso \(x\to a^+\); o caso \(x\to a^-\) é análogo.
Mostremos inicialmente que
Com efeito, se existisse \(x\in (a,a+\delta )\) tal que \(g(x)=0\), então teríamos \(g(a)=g(x)=0\), e o Teorema de Rolle aplicado a \(g\) em \([a,x]\) forneceria um ponto \(c\in (a,x)\) com \(g'(c)=0\), o que contradiz a hipótese.
Fixe agora \(x\in (a,a+\delta )\). Como \(f\) e \(g\) são contínuas em \([a,x]\) e diferenciáveis em \((a,x)\), o Teorema de Cauchy fornece um ponto \(c\in (a,x)\) tal que
Usando \(f(a)=g(a)=0\), obtemos
Como \(g(x)\neq 0\) e \(g'(c)\neq 0\), segue que
Quando \(x\to a^+\), temos também \(c\to a^+\), pois \(a\lt c\lt x\). Como
concluímos que
O mesmo argumento à esquerda mostra que
Como os limites laterais coincidem, segue que
Os casos em que \(\frac{f'(x)}{g'(x)}\) tende a \(\pm \infty \), bem como a forma correspondente à indeterminação \(\infty /\infty \), podem ser obtidos por argumentos semelhantes e ficam como exercícios.
Até aqui, a derivada primeira controlou crescimento e taxas de variação. Quando essa própria taxa é monótona, surge uma informação geométrica adicional sobre o formato do gráfico.
9.6 Convexidade
Convexidade pode ser lida de duas maneiras complementares: geometricamente, o gráfico fica abaixo de suas cordas; diferencialmente, as inclinações das secantes e, quando existe, a derivada, crescem da esquerda para a direita. Essa ponte transforma uma propriedade geométrica global numa condição diferencial.
A convexidade relaciona de modo particularmente claro uma propriedade geométrica do gráfico com uma propriedade analítica da função. A desigualdade acima diz que, na abscissa \(x\), o ponto \((x,f(x))\) do gráfico fica abaixo, ou sobre, a secante que liga \((a,f(a))\) a \((b,f(b))\), como mostra a Figura 9.1. Analiticamente, essa mesma condição se traduz no comportamento das inclinações das secantes e, no caso diferenciável, na monotonicidade da derivada.
A definição admite uma caracterização equivalente em termos das inclinações das secantes.
Como \(a\lt x\lt b\), todos os denominadores são positivos. Pela definição, a convexidade equivale a
Subtraindo \((b-a)f(a)\) de ambos os lados e rearranjando, obtemos
isto é,
Do mesmo modo, subtraindo \((b-a)f(b)\) de ambos os lados e rearranjando, a mesma desigualdade equivale a
ou seja,
Logo, a convexidade implica a cadeia de desigualdades das inclinações. A recíproca segue refazendo os mesmos passos em sentido inverso.
A proposição mostra que, para funções convexas, as inclinações das secantes crescem da esquerda para a direita. Quando a função é diferenciável, isso se reflete na monotonicidade da derivada.
Suponha primeiro que \(f\) seja convexa. Dados \(a\lt b\) em \(I\), a Proposição 9.48 mostra que, para todo \(x\in (a,b)\),
Fazendo \(x\to a^+\) na primeira desigualdade e usando a diferenciabilidade de \(f\) em \(a\), obtemos
Fazendo \(x\to b^-\) na segunda, segue que
Portanto,
e, em particular, \(f'(a)\le f'(b)\) sempre que \(a\lt b\). Logo, \(f'\) é não decrescente em \(I\).
Reciprocamente, suponha que \(f'\) seja não decrescente em \(I\) e tomemos \(a\lt x\lt b\) em \(I\). Pelo Teorema do Valor Médio, existem \(u\in (a,x)\) e \(v\in (x,b)\) tais que
Como \(u\lt v\) e \(f'\) é não decrescente, temos \(f'(u)\le f'(v)\). Assim,
Multiplicando pelos denominadores positivos e rearranjando os termos, chegamos a
Pela definição de convexidade, concluímos que \(f\) é convexa.
No caso em que existe segunda derivada, obtém-se uma caracterização ainda mais simples.
Pelo teorema anterior, \(f\) é convexa se, e somente se, \(f'\) é não decrescente em \(I\). Como \(f'\) é diferenciável, o critério de monotonicidade aplicado a \(f'\) mostra que isso equivale a exigir \(f''(x)\ge 0\) para todo \(x\in I\).
Substituindo o sinal \(\le \) por \(\lt \) na desigualdade que define convexidade, obtemos o conceito de função estritamente convexa. Mais precisamente, \(f\) é estritamente convexa quando, para quaisquer \(a\lt x\lt b\) em \(I\),
Além disso, se \(f''(x)\gt 0\) para todo \(x\in I\), então \(f\) é estritamente convexa. De fato, nesse caso \(f'\) é estritamente crescente e, por conseguinte, as inclinações das secantes crescem estritamente da esquerda para a direita. A recíproca, porém, é falsa. Por exemplo, a função \(f(x)=x^4\) é estritamente convexa em \(\mathbb {R}\), mas satisfaz \(f''(0)=0\).
Convexidade já usa a variação da derivada. O passo seguinte é sistematizar derivadas sucessivas para obter aproximações locais de ordem cada vez maior.
9.7 Fórmula de Taylor
As derivadas de ordem superior permitem descrever com mais precisão o comportamento local de uma função. A derivada primeira fornece a melhor aproximação linear; derivadas de ordens mais altas conduzem a aproximações polinomiais progressivamente mais refinadas.
Usaremos aqui a convenção já fixada para derivadas de ordem superior em intervalos com extremidades.
Todo polinômio é de classe \(C^\infty \) em \(\mathbb {R}\). Mais geralmente, funções racionais são \(C^\infty \) em qualquer intervalo no qual o denominador não se anule. O mesmo vale para as funções trigonométricas, para a exponencial e para o logaritmo em seus respectivos domínios.
Esse exemplo fornece uma primeira classe ampla de funções suaves: nesses casos, a derivação sucessiva não introduz singularidades novas dentro do domínio natural considerado.
Para cada inteiro \(n\ge 0\), defina
Então \(\varphi _n\) é de classe \(C^n\), mas não é de classe \(C^{n+1}\).
Para \(n=0\), temos \(\varphi _0(x)=|x|\), que é contínua, mas não diferenciável em \(0\). Suponha agora \(n\ge 1\). Para \(x\neq 0\),
Além disso,
Por indução, as derivadas até a ordem \(n\) existem e são contínuas. Em particular,
Essa função ainda é contínua, mas não é diferenciável em \(0\). Logo, \(\varphi _n\in C^n\), mas \(\varphi _n\notin C^{n+1}\).
Antes dos resultados principais, observemos que, se
então os coeficientes de \(q\) são determinados pelas derivadas em \(0\):
Considere
onde a constante \(K\) será escolhida de modo que \(\phi (a)=0\).
Com essa escolha, também temos \(\phi (b)=0\), pois, em \(x=b\), o termo correspondente a \(k=0\) na soma é \(f(b)\), e todos os demais termos contêm alguma potência positiva de \(b-x\). Pelas hipóteses, \(\phi \) é contínua em \([a,b]\) e diferenciável em \((a,b)\). Pelo Teorema de Rolle, existe \(c\in (a,b)\) tal que \(\phi '(c)=0\).
Derivando termo a termo, obtemos, para \(x\in (a,b)\),
Reindexando a segunda soma, ocorre cancelamento termo a termo, e resta
Como \(c\in (a,b)\), temos \(b-c\neq 0\). Portanto, da igualdade \(\phi '(c)=0\), segue que \(K=f^{(n)}(c)\).
Por fim, a condição \(\phi (a)=0\) afirma que
Substituindo \(K=f^{(n)}(c)\), obtemos a fórmula desejada.
Para \(h\) suficientemente pequeno e não nulo, o intervalo de extremos \(a\) e \(a+h\) está contido em \(I\). Pelo corolário anterior, existe um ponto \(c_h\) entre \(a\) e \(a+h\) tal que
Escrevendo \(c_h=a+\theta _h h\), com \(0\lt \theta _h\lt 1\), obtemos
Assim,
Como \(\theta _hh\to 0\) quando \(h\to 0\), a continuidade de \(f^{(n)}\) em \(a\) implica \(r(h)/h^n\to 0\).
Para provar a unicidade, suponha que \(Q\) seja um polinômio de grau menor ou igual a \(n\) tal que
Subtraindo essa expressão da expansão anterior, segue que
Se
então \(R\) é um polinômio em \(h\) de grau menor ou igual a \(n\). Se \(R\not\equiv 0\), existe \(m\in \{ 0,\dots ,n\} \) e existe um polinômio \(T\), com \(T(0)\neq 0\), tais que \(R(h)=h^mT(h)\). Nesse caso,
Essa expressão não tende a \(0\): se \(m\lt n\), ela não permanece limitada em módulo ao longo de alguma sequência \(h\to 0\); se \(m=n\), ela tende a \(T(0)\neq 0\). Logo, \(R\equiv 0\), e portanto \(Q(h)=P_{n,a}(a+h)\).
Em outras palavras, o polinômio de Taylor de ordem \(n\), escrito na variável \(h\), é o único polinômio de grau menor ou igual a \(n\) que aproxima \(f(a+h)\) com erro desprezível diante de \(h^n\).
se \(n\) é par, \(a\) é ponto de mínimo local quando \(f^{(n)}(a)\gt 0\), e ponto de máximo local quando \(f^{(n)}(a)\lt 0\);
se \(n\) é ímpar, \(a\) não é ponto de máximo nem de mínimo local.
Pela fórmula de Taylor infinitesimal e pela hipótese de anulação das derivadas até a ordem \(n-1\),
Logo,
Como \(f^{(n)}(a)\neq 0\), para \(x\) suficientemente próximo de \(a\), com \(x\neq a\), o sinal de \(f(x)-f(a)\) coincide com o sinal de \(f^{(n)}(a)(x-a)^n\).
Se \(n\) é par, então \((x-a)^n\gt 0\) para todo \(x\neq a\), e o sinal de \(f(x)-f(a)\) é o sinal de \(f^{(n)}(a)\). Isso dá a caracterização de mínimo local quando \(f^{(n)}(a)\gt 0\) e de máximo local quando \(f^{(n)}(a)\lt 0\).
Se \(n\) é ímpar, então \((x-a)^n\) muda de sinal quando \(x\) atravessa \(a\). Portanto, \(f(x)-f(a)\) assume sinais opostos à esquerda e à direita de \(a\), e \(a\) não pode ser ponto de máximo nem de mínimo local.
Aplicando a fórmula de Taylor infinitesimal a \(f\) e a \(g\), obtemos
e
quando \(x\to a\). Dividindo numerador e denominador por \((x-a)^n/n!\), segue que
onde \(\varepsilon (x)\to 0\) e \(\delta (x)\to 0\) quando \(x\to a\).
Como \(g^{(n)}(a)\neq 0\), o denominador permanece não nulo para \(x\) suficientemente próximo de \(a\). Passando ao limite, obtemos
O polinômio de Taylor é, neste capítulo, um objeto essencialmente finito: derivadas sucessivas determinam a aproximação polinomial local e o resto mede quanto dessa informação ainda falta para recuperar a função.
Perguntar o que acontece quando a ordem tende a infinito é uma questão de outra natureza. É preciso estudar convergência de séries de funções e séries de potências antes de decidir quando os polinômios de Taylor convergem para a própria função. Essa passagem, bem como a definição de função analítica, será feita no capítulo Sequências, séries e aproximação de funções.
O percurso do capítulo pode agora ser visto como uma única ideia em escalas sucessivas. A derivada produz a melhor aproximação linear; os teoremas do valor médio transformam essa informação local em controle global; convexidade lê a variação das inclinações; e Taylor usa derivadas sucessivas para produzir aproximações polinomiais locais de ordem cada vez maior.
Lista de exercícios
Prove que, se \(f\) é diferenciável em \(a\), então Mostre, por meio de um exemplo, que a existência desse limite não implica, em geral, a existência de \(f'(a)\). Seja \(X\subset \mathbb {R}\), seja \(f:X\to \mathbb {R}\) contínua e seja \(a\in X\cap X'\). Defina Prove que \(\xi \) é contínua em \(a\) se, e somente se, \(f'(a)\) existe, no sentido relativo a \(X\), e \(f'(a)=L\). Seja \(I\subset \mathbb {R}\) um intervalo, seja \(a\in I\) e seja \(f\in C^1(I)\). Sejam \((x_n)\) e \((y_n)\) sequências em \(I\) tais que \(x_n\neq y_n\) para todo \(n\) e Prove que Suponha que \(f\) esteja definida numa vizinhança de \(x\) e que \(f''(x)\) exista. Mostre que Exiba também um exemplo em que esse limite exista, mas \(f''(x)\) não exista. Mostre que \(f\in C^1(\mathbb {R})\). Prove que \(f\) não é uniformemente diferenciável em \(\mathbb {R}\). Mais precisamente, mostre que existe \(\varepsilon _0\gt 0\) tal que, para todo \(\delta \gt 0\), existem \(x\in \mathbb {R}\) e \(h\in \mathbb {R}\), com \(0\lt |h|\lt \delta \), satisfazendo Estude a diferenciabilidade em \(0\) de \(f\), \(g\) e \(h\). Mostre que \(h'(0)\) existe, mas \(h'\) não tem limite em \(0\). Encontre sequências \((x_n)\) e \((y_n)\) convergindo para \(0\) tais que as inclinações das secantes de \(h\) não convirjam. quando \(f\) é contínua em \(0\); quando \(f'(0)\) existe; quando \(f'\) é limitada; quando \(f'\) é contínua em \(0\). Prove que, se \(\alpha \gt 0\), então \(f\) é contínua em \(c\). Prove que, se \(\alpha \gt 1\), então \(f'(c)=0\). Mostre que, se essa condição vale em todo ponto de um intervalo \(I\) com \(\alpha \gt 1\), então \(f\) é constante em \(I\). Dê um exemplo com \(\alpha =1\) em que a derivada no ponto não exista. Suponha que \(f\) seja contínua em \([a,b]\), diferenciável em \((a,b)\) e satisfaça Prove que, para todo \(k\in \mathbb {R}\), existe \(c\in (a,b)\) tal que Reescreva o Teorema do Valor Médio na forma Determine \(\theta =\theta (x,h)\) nos casos e, com \(x\) fixo, calcule \(\lim \limits _{h\to 0}\theta (x,h)\) em cada caso. Prove que existe \(c\in (a,b)\) tal que Considere em \([0,1]\). Mostre que, nos pontos em que o quociente está definido, nunca é igual a para \(0\lt x\le 1\), e explique por que isso não contradiz o resultado anterior. Suponha que \(f\) e \(g\) sejam diferenciáveis numa vizinhança de \(a\), que e que Prove que Seja \(X\subset \mathbb {R}\) e sejam \(f,g,h:X\to \mathbb {R}\) tais que Suponha que \(a\in X\cap X'\), que \(f(a)=h(a)\) e que \(f'(a)\) e \(h'(a)\) existam e sejam iguais. Prove que \(g'(a)\) existe e coincide com esse valor. \(f(x)=x^3+ax+b\); \(f(x)=\log (x^2-9)\), em seu domínio; \(f(x)=x^{2/3}(x-1)^4\), em \([0,1]\); \(f(x)=\dfrac {\operatorname {sen}x}{x}\) para \(x\neq 0\), com \(f(0)=1\), em \(\left[0,\dfrac {\pi }{2}\right]\). Mostre que, se existe a derivada à direita em \(a\), então Mostre que, se existe a derivada à esquerda em \(a\), então Dê um exemplo em que ambas existam, mas sejam diferentes. Suponha que \(g:\mathbb {R}\to \mathbb {R}\) tenha derivada limitada: Fixado \(\varepsilon \gt 0\), defina Prove que, se \(\varepsilon M\lt 1\), então \(f\) é injetiva e sua inversa \(f^{-1}:f(\mathbb {R})\to \mathbb {R}\) é diferenciável. Prove a versão lateral da regra de L’Hôpital: sejam \(f\) e \(g\) funções definidas em uma vizinhança à direita perfurada de \(a\), diferenciáveis em \((a,a+\delta )\) para algum \(\delta \gt 0\), com Suponha que e que Mostre que, para \(x\gt a\) suficientemente próximo de \(a\), tem-se \(g(x)\neq 0\) e Na situação da regra de L’Hôpital na forma \(0/0\), suponha agora que mantendo as hipóteses de continuidade em \(a\), diferenciabilidade em uma vizinhança perfurada de \(a\) e \(g'(x)\neq 0\) para \(x\neq a\) suficientemente próximo de \(a\). Mostre que, respectivamente, Prove a seguinte versão da regra de L’Hôpital para a indeterminação \(\infty /\infty \): suponha que \(f\) e \(g\) sejam diferenciáveis em uma vizinhança perfurada de \(a\), que \(g'(x)\neq 0\) para \(x\neq a\) suficientemente próximo de \(a\), que \(|g(x)|\to \infty \) quando \(x\to a\) e que Mostre que, se também \(|f(x)|\to \infty \) quando \(x\to a\), então Prove que \(g\circ f\) é de classe \(C^n\). Seja agora \(f:I\to J\) bijetiva, de classe \(C^2\), com \(f'(x)\neq 0\) em todo ponto de \(I\). Se \(a\in I\) e \(b=f(a)\), calcule \(\bigl(f^{-1}\bigr)''(b)\) em termos de \(f'(a)\) e \(f''(a)\). Se \(f\) possui \(n+1\) raízes distintas em \([a,b]\), prove que existe pelo menos um ponto \(c\in (a,b)\) tal que Utilize o item anterior para demonstrar que um polinômio de grau \(n\) não pode possuir mais do que \(n\) raízes reais. Suponha que \(f\) seja contínua em \([a,b]\) e duas vezes diferenciável em \((a,b)\). Se a reta secante que passa por \((a,f(a))\) e \((b,f(b))\) encontra o gráfico de \(f\) em um terceiro ponto distinto, prove que existe \(c\in (a,b)\) tal que Exercício avançado. Seja \(f\in C^\infty (\mathbb {R})\) tal que Prove que, para cada \(k\in \mathbb {N}\), existe \(\varphi \in C^\infty (\mathbb {R})\) tal que Exercício avançado. Suponha que \(f\) seja de classe \(C^{n+2}\) em uma vizinhança de \(a\) e que \(f^{(n+2)}(a)\neq 0\). Na fórmula de Taylor com resto de Lagrange, prove que, para \(h\) suficientemente pequeno, o parâmetro \(\theta _n(h)\) é determinado de modo único e satisfaz Prove que, se todas as derivadas de \(f\) e \(g\) coincidem em um ponto \(a\in I\), então em todo o intervalo. Sugestão: considere o conjunto dos pontos \(x\in I\) para os quais todas as derivadas de \(f-g\) se anulam em \(x\), e mostre que esse conjunto é não vazio, aberto e fechado em \(I\). Mostre também que basta que \(f\) e \(g\) coincidam num subconjunto de \(I\) com ponto de acumulação. Explique por que isso falha, em geral, para funções apenas de classe \(C^\infty \). Verifique que \(f(x)=e^x\) é convexa e deduza a desigualdade quando \(a,b\gt 0\), \(\alpha ,\beta \ge 0\) e \(\alpha +\beta =1\). Prove a desigualdade de Jensen para combinações convexas finitas. Deduza daí a desigualdade entre média aritmética e média geométrica ponderadas. Prove que, para todo \(x\in (a,b)\), existem as derivadas laterais e que Mostre que o conjunto dos pontos em que \(f\) não é diferenciável é, no máximo, enumerável. Prove que \(f\) é localmente Lipschitziana em \((a,b)\) e, consequentemente, contínua em todo o intervalo. Prove que \(f\) tem um único ponto fixo. Prove que, para qualquer \(x_0\in I\), a sequência definida por converge para esse ponto fixo. Dê um exemplo de função \(C^\infty \) em \(\mathbb {R}\) tal que \(|f'(x)|\lt 1\) para todo \(x\), mas que não possua ponto fixo. Seja \(f\) diferenciável em \([a,b]\), com \(f(a)=0\), e suponha que exista \(A\gt 0\) tal que Prove que em \([a,b]\). Considere o problema de valor inicial Suponha que \(\phi \) satisfaça uma condição de Lipschitz na variável \(y\), isto é, que exista \(A\gt 0\) tal que para todos os pontos considerados. Prove, usando o exercício anterior, que esse problema admite no máximo uma solução em qualquer intervalo comum de definição. Mostre que a unicidade falha para Reescreva uma equação diferencial linear de ordem \(n\) como um sistema de primeira ordem e deduza, a partir disso, um teorema de unicidade para o problema de valor inicial de equações lineares de ordem superior.