Capítulo 4

Séries

Uma série numérica é uma soma infinita interpretada por meio do limite de suas somas parciais. Essa interpretação é essencial: embora a notação sugira uma soma com infinitas parcelas, o objeto rigoroso que se estuda é uma sequência de somas finitas. Desse modo, a teoria das séries prolonga naturalmente a teoria das sequências, mas introduz fenômenos próprios das somas infinitas.

Neste capítulo, estudaremos critérios de convergência, convergência absoluta e condicional, séries alternadas, rearranjos e exemplos fundamentais. O objetivo é desenvolver ferramentas que permitam decidir quando uma soma infinita é bem definida e compreender de que modo seu valor depende da estrutura dos termos e, em certos casos, da ordem em que eles são somados.

4.1 Convergência

A teoria começa exatamente onde terminou o capítulo anterior: uma série é convergente quando a sequência de suas somas parciais converge. Convém manter essa tradução em mente, pois quase todos os argumentos deste capítulo serão, em última instância, argumentos sobre sequências.

Dada uma sequência $(a_n)$ de números reais, associamos a ela a sequência $(s_n)$ de suas somas parciais, definida por

\[ s_1=a_1,\qquad s_2=a_1+a_2,\qquad s_3=a_1+a_2+a_3, \]

e, em geral,

\[ s_n=\sum _{k=1}^{n} a_k=a_1+a_2+\cdots +a_n. \]

A expressão

\[ \sum _{k=1}^{\infty } a_k \]

é chamada série infinita, ou simplesmente série. A sequência $(s_n)$ é chamada sequência das somas parciais, e $s_n$ é a $n$-ésima soma parcial da série. Os termos da série são os números $a_1,a_2,a_3,\ldots $, enquanto $s_1,s_2,s_3,\ldots $ são suas somas parciais.

Exemplo 4.1

As primeiras somas parciais da série $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$ são

\[ s_1=1,\qquad s_2=1+\frac12,\qquad s_3=1+\frac12+\frac13,\qquad s_4=1+\frac12+\frac13+\frac14. \]
As primeiras somas parciais da série $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^k}$ são

\[ s_1=\frac12,\qquad s_2=\frac12+\frac14,\qquad s_3=\frac12+\frac14+\frac18,\qquad s_4=\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}. \]
As primeiras somas parciais da série $\sum _{k=1}^{\infty }x^{k-1}$ são

\[ s_1=1,\qquad s_2=1+x,\qquad s_3=1+x+x^2,\qquad s_4=1+x+x^2+x^3. \]

O estudo de uma série reduz-se, portanto, ao estudo de sua sequência de somas parciais.

Definição 4.2 (Convergência de séries)

Seja $\sum _{k=1}^{\infty }a_k$ uma série e seja $s_n=\sum _{k=1}^{n}a_k$ sua sequência de somas parciais. Dizemos que a série converge para $L$ se $s_n\to L$, isto é, se para todo $\varepsilon \gt 0$ existe $M\in \mathbb {N}$ tal que, para todo $n\gt M$,

\[ \left|s_n-L\right|=\left|\sum _{k=1}^{n}a_k-L\right|\lt \varepsilon . \]

Nesse caso, $L$ é chamado soma da série.

Observação. Por abuso de linguagem, é usual escrever $\sum _{k=1}^{\infty }a_k$ tanto para a série quanto, quando há convergência, para a sua soma.

Assim como ocorre nas somas finitas, o índice de uma série é uma variável muda. Portanto,

\[ \sum _{j=0}^\infty z_j = \sum _{k=0}^\infty z_k. \]

Também usaremos a notação

\[ \sum _{j=m}^{\infty } z_j \coloneqq \sum _{k=0}^{\infty } z_{m+k}, \]

sempre que os termos envolvidos estejam definidos.

A convergência de uma série não depende de seus termos iniciais, mas apenas do comportamento de sua cauda. Mais precisamente, vale a proposição seguinte.

Proposição 4.3

A série $\sum _{j=1}^{\infty } z_j$ converge se, e somente se, a série $\sum _{j=m+1}^{\infty } z_j$ converge. Nesse caso,

\[ \sum _{j=1}^{\infty } z_j=\sum _{j=1}^{m} z_j+\sum _{j=m+1}^{\infty } z_j. \]

Demonstração ▼

Se $s_n=\sum _{j=1}^{n} z_j$, então, para $n\ge m$, temos

\[ \sum _{j=m+1}^{n} z_j=s_n-\sum _{j=1}^{m} z_j. \]

Logo, a sequência das somas parciais da série de cauda difere da sequência $(s_n)$ apenas por uma constante. Portanto, uma delas converge se, e somente se, a outra converge, e a identidade da soma segue passando ao limite.

Exemplo 4.4

A série

\[ \sum _{n=1}^{\infty } \left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots \]

é um dos exemplos mais simples de série convergente.

Provemos que ela converge para 1. A soma parcial dos primeiros $n$ termos é

\[ s_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^n} \]

Como se trata de uma soma geométrica finita,

\[ s_n = 1 - \frac{1}{2^n} \]

e logo

\[ \left\lvert s_n -1\right\rvert = \frac{1}{2^n} \]

de modo que $s_n$ tende a 1.

Teorema 4.5

Se a série $\sum _{k=1}^{\infty } a_k$ converge, então $a_k\to 0$.

Demonstração ▼

Seja $s_n=\sum _{k=1}^{n} a_k$. Como a série converge, a sequência $(s_n)$ converge para algum número $s$. Para $n\ge 2$, temos

\[ a_n=s_n-s_{n-1}. \]

Como $s_n\to s$ e também $s_{n-1}\to s$, segue que

\[ a_n=s_n-s_{n-1}\to s-s=0. \]

Portanto, $a_n\to 0$.

Exemplo 4.6

A série

\[ \sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{3n^2+7} \]

diverge. De fato, seu termo geral satisfaz

\[ \frac{n^2}{3n^2+7} = \frac{1}{3+7/n^2} \longrightarrow \frac13\neq 0. \]

Logo, a condição necessária $a_n\to 0$ não é satisfeita, e a série diverge pelo Teorema 4.5.

Exemplo 4.7

A série harmônica

\[ \sum _{n=1}^{\infty }\frac1n = 1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots \]

diverge. Ela é um exemplo fundamental: seus termos tendem a zero, mas a série não converge. Ao longo do texto, denotaremos por $H_n$ sua $n$-ésima soma parcial, isto é,

\[ H_n=1+\frac12+\frac13+\cdots +\frac1n. \]

Para provar a divergência, ⁵ consideremos a subsequência $\bigl(H_{2^k}\bigr)_{k\ge 0}$. Agrupando os termos entre potências sucessivas de $2$, obtemos

\[ H_{2^k} = 1+\frac12 + \left(\frac13+\frac14\right) + \left(\frac15+\cdots +\frac18\right) +\cdots + \left(\frac1{2^{k-1}+1}+\cdots +\frac1{2^k}\right). \]

Em cada bloco

\[ \frac1{2^{j-1}+1}+\cdots +\frac1{2^j}, \qquad 1\le j\le k, \]

há $2^{j-1}$ termos, todos maiores ou iguais a $1/2^j$. Portanto, cada bloco é maior ou igual a $1/2$. Assim,

\[ H_{2^k}\ge 1+\frac{k}{2}. \]

Como essa subsequência é ilimitada, a sequência $(H_n)$ também é ilimitada. Logo, a série harmônica diverge.

Linearidade

Como vimos na Seção 1.6, os somatórios finitos possuem as seguintes propriedades:

\begin{align} & \sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}+b_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n} a_{k}+\sum _{k=1}^{n} b_{k} \quad \text{ (propriedade aditiva)} \label{eq:10.17} \tag{4.1} \\ & \sum _{k=1}^{n}\left(c a_{k}\right)=c \sum _{k=1}^{n} a_{k} \quad \text{ (propriedade homogênea).} \label{eq:10.18} \tag{4.2} \end{align}

O próximo teorema é a extensão natural dessas propriedades para séries infinitas convergentes.

Teorema 4.8

Se $\sum a_n$ e $\sum b_n$ são séries convergentes e se $c,d\in \mathbb {R}$, então a série $\sum (ca_n+db_n)$ também converge e

\begin{equation} \sum _{n=1}^{\infty }(c a_n+d b_n)=c\sum _{n=1}^{\infty } a_n+d\sum _{n=1}^{\infty } b_n. \label{eq:10.19} \tag{4.3} \end{equation}

Demonstração ▼

Para cada $n$, pelas propriedades dos somatórios finitos,

\begin{equation} \sum _{k=1}^{n}(c a_k+d b_k)=c\sum _{k=1}^{n} a_k+d\sum _{k=1}^{n} b_k. \label{eq:10.20} \tag{4.4} \end{equation}

Passando ao limite quando $n\to \infty $, o primeiro termo do lado direito converge para $c\sum _{k=1}^{\infty } a_k$ e o segundo para $d\sum _{k=1}^{\infty } b_k$. Logo, a sequência das somas parciais de $\sum (ca_n+db_n)$ converge, e sua soma é dada por (4.3).

O teorema anterior tem o seguinte corolário, frequentemente útil para concluir divergência.

Corolário 4.9

Se $\sum a_n$ converge e $\sum b_n$ diverge, então $\sum (a_n+b_n)$ diverge.

Demonstração ▼

De fato, $b_n=(a_n+b_n)-a_n$. Se $\sum (a_n+b_n)$ convergisse, então, pela linearidade e pela convergência de $\sum a_n$, a série $\sum b_n$ também convergiria. Isso contradiz a hipótese. Logo, $\sum (a_n+b_n)$ diverge.

Exemplo 4.10

A série $\sum _{k=1}^{\infty }\left(1/k+1/2^k\right)$ diverge, pois $\sum _{k=1}^{\infty }1/k$ diverge e $\sum _{k=1}^{\infty }1/2^k$ converge.

Se $\sum a_n$ e $\sum b_n$ são ambas divergentes, a série $\sum (a_n+b_n)$ pode convergir ou divergir. Por exemplo, se $a_n=b_n=1$ para todo $n$, então $\sum (a_n+b_n)$ diverge. Por outro lado, se $a_n=1$ e $b_n=-1$ para todo $n$, então $\sum (a_n+b_n)$ converge.

Teorema 4.11 (Critério de Cauchy para séries)

A série $\sum _{n=1}^{\infty }a_n$ converge se, e somente se, para todo $\varepsilon \gt 0$ existe $N\in \mathbb {N}$ tal que

\[ \left|a_m+a_{m+1}+\cdots +a_n\right|\lt \varepsilon \]

sempre que $n\ge m\ge N$.

Demonstração ▼

Seja $s_n=\sum _{k=1}^{n}a_k$. Se a série converge, então $(s_n)$ é uma sequência de Cauchy. Escolhendo $N$ suficientemente grande e tomando $n\ge m\ge N$, temos

\[ \left|a_m+\cdots +a_n\right| =|s_n-s_{m-1}|\lt \varepsilon , \]

após aumentar $N$ em uma unidade, se necessário.

Reciprocamente, suponha que as caudas da série satisfaçam a condição do enunciado. Para $n\gt m\ge N$,

\[ |s_n-s_m|=|a_{m+1}+\cdots +a_n|\lt \varepsilon . \]

Logo $(s_n)$ é de Cauchy. Pela completude de $\mathbb {R}$, ela converge; portanto a série converge.

O critério de Cauchy muda o ponto de vista: em vez de procurar a soma, podemos perguntar se toda cauda suficientemente distante tem soma pequena. Essa ideia será decisiva quando tratarmos de convergência absoluta.

Exercício 4.1

Dadas as séries $\sum a_n$ e $\sum b_n$, suponha que existe um número natural $N$ tal que $a_n = b_n$ para todo $n \geq N$. Prove que $\sum a_n$ é convergente se, e somente se, $\sum b_n$ é convergente. Assim, a convergência de uma série não é afetada pela alteração de um número finito de termos. (Claro, o valor da soma pode mudar.)

Exercício 4.2

Seja $(a_n)$ uma sequência de números reais não negativos. Prove que $\sum a_n$ converge se, e somente se, a sequência das somas parciais é limitada.

Exercício 4.3

Prove que a série $\sum _{j=1}^\infty z_j$ converge se, e somente se, $\sum _{j=m+1}^\infty z_j$ converge. Se uma dessas séries converge, então

\[ \sum _{j=1}^\infty z_j = \sum _{j=1}^m z_j + \sum _{j=m+1}^\infty z_j. \]

Exercício 4.4

Reprove diretamente, a partir do critério de Cauchy para sequências, o Teorema 4.11:

Uma série infinita $\sum a_n$ converge se, e somente se, para cada $\varepsilon \gt 0$, existe um número natural $N$ tal que, se $n \geq m \geq N$, então

\[ \lvert a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n \rvert \lt \varepsilon . \]

4.2 Primeiros modelos: séries que podemos somar

Antes de acumular critérios de decisão, vale conhecer séries cuja soma pode ser calculada diretamente. Elas serão nossas primeiras referências: mais adiante, em vez de tentar somar uma série complicada, tentaremos compará-la com um desses modelos.

4.2.1 Série geométrica

A série geométrica é obtida somando os termos de uma progressão geométrica, isto é,

\[ \sum _{k=1}^{\infty } p x^{k-1}. \]

Como vimos no exercício 1.14, se $x\neq 1$, então a $n$-ésima soma parcial é dada por

\[ \sum _{k=1}^{n} p x^{k-1}=\frac{p-px^n}{1-x}. \]

No caso $x=1$, temos simplesmente

\[ \sum _{k=1}^{n} p=np. \]

Passemos ao limite das somas parciais. Se $x\neq 1$, então

\[ \sum _{k=1}^{n} p x^{k-1}=\frac{p-px^n}{1-x}=p\, \frac{1-x^n}{1-x}. \]

Assim, o comportamento das somas parciais é determinado pelo comportamento de $x^n$. Como vimos no exercício 2.34, se $\left\lvert x\right\rvert \lt 1$, então $x^n\to 0$, e portanto

\[ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n} p x^{k-1}=\frac{p}{1-x}. \]

Se $|x|\ge 1$ e $p\neq 0$, os termos $px^{k-1}$ não tendem a zero. Portanto, pela condição necessária de convergência, a série diverge.

Obtemos, assim, o seguinte resultado.

Teorema 4.12 (Série geométrica)

Sejam $p,x\in \mathbb {R}$. Se $\left\lvert x\right\rvert \lt 1$, então a série $\sum _{k=1}^{\infty } p x^{k-1}$ converge e

\begin{equation} p+px+px^2+\cdots = \frac{p}{1-x}. \label{somageometrica} \tag{4.5} \end{equation}

Se $\left\lvert x\right\rvert \ge 1$ e $p\neq 0$, então a série diverge. Se $p=0$, a série converge para $0$, qualquer que seja $x$.

Algumas consequências imediatas são as seguintes.

Exemplo 4.13

Tomando $p=1$ na fórmula da série geométrica, obtemos

\[ 1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots =\frac{1}{1-x}, \qquad |x|\lt 1. \]
Tomando $p=1$ e substituindo $x$ por $-x$, obtemos

\[ 1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots +(-1)^n x^n+\cdots =\frac{1}{1+x}, \qquad |x|\lt 1. \]

Exemplo 4.14

A série

\[ 3-\frac65+\frac{12}{25}-\frac{24}{125}+\cdots \]

é geométrica, de termo inicial $3$ e razão $-2/5$. Como $|-2/5|\lt 1$, ela converge, e sua soma é

\[ 3-\frac65+\frac{12}{25}-\frac{24}{125}+\cdots = \frac{3}{1+2/5} = \frac{15}{7}. \]

4.2.2 Série telescópica

A propriedade telescópica de soma (vide exercício 1.6.c)) nos diz que

\[ \sum _{k=1}^{n}(b_k-b_{k+1})=b_1-b_{n+1}. \]

Uma série $\sum _{k=1}^{\infty }a_k$ é dita telescópica em relação à sequência $(b_n)$ se cada termo $a_n$ puder ser expresso como

\[ a_n=b_n-b_{n+1}. \]

Exemplo 4.15

Para a série infinita $ \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n(n+1)} $, temos as somas parciais dadas por

\begin{align*} s_n & = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)} \\ & = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\ & = 1 - \frac{1}{n+1}. \end{align*}

e logo $\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n(n+1)} $ converge para $1$.

O exemplo anterior pode ser generalizado para o seguinte teorema.

Teorema 4.16

Seja $\sum _{k=1}^{\infty }a_k$ uma série telescópica em relação à sequência $(b_n)$, isto é, suponha que $a_n=b_n-b_{n+1}$ para todo $n\ge 1$. Então:

a série $\sum _{k=1}^{\infty }a_k$ converge se, e somente se, a sequência $(b_n)$ converge;
se $b_n\to b$, então

\[ \sum _{k=1}^{\infty }a_k=b_1-b. \]

Demonstração ▼

Seja $s_n$ a $n$-ésima soma parcial. Então

\[ s_n=\sum _{k=1}^{n}a_k=\sum _{k=1}^{n}(b_k-b_{k+1})=b_1-b_{n+1}. \]

Logo, $(s_n)$ converge se, e somente se, $(b_{n+1})$ converge, o que equivale à convergência de $(b_n)$. Se $b_n\to b$, então

\[ s_n=b_1-b_{n+1}\to b_1-b, \]

de modo que

\[ \sum _{k=1}^{\infty }a_k=b_1-b. \]

Exemplo 4.17

A série

\[ \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2}{n^{3}+6n^{2}+11n+6} \]

converge e sua soma é $1/6$. De fato,

\[ \frac{2}{n^{3}+6n^{2}+11n+6} =\frac{1}{(n+1)(n+2)}-\frac{1}{(n+2)(n+3)}. \]

Portanto, a série é telescópica com $b_n=1/((n+1)(n+2))$. Como $b_1=1/6$ e $b_n\to 0$, segue que

\[ \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {2}{n^{3}+6n^{2}+11n+6}=\frac16. \]

Exercícios básicos

Exercício 4.5

Para cada uma das séries abaixo, identifique se ela é geométrica, telescópica ou se possui somas parciais que podem ser simplificadas diretamente. Determine se a série converge e, quando convergir, calcule sua soma.

$\displaystyle \sum _{j=0}^\infty \frac{2}{3^j}$
$\displaystyle \sum _{j=1}^\infty \frac{1}{j(j+2)}$
$\displaystyle \sum _{j=3}^\infty \frac{4}{j^2-4}$
$\displaystyle \sum _{j=0}^\infty \frac{2}{j^2+4j+3}$
$\displaystyle \sum _{j=1}^\infty \frac{6}{(3j-2)(3j+1)}$
$\displaystyle \sum _{n=1}^\infty \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} . $
$\displaystyle \sum _{n=1}^\infty \frac{2}{3^{n-1}} . $
$\displaystyle \sum _{n=2}^\infty \frac{2}{n^2 - 1}. $
$\displaystyle \sum _{n=1}^\infty \frac{2^n + 3^n}{6^n} . $
$\displaystyle \sum _{j=1}^\infty \frac{2j+1}{j^2(j+1)^2}$
$\displaystyle \sum _{j=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{j}+\sqrt{j+1}}$
$\displaystyle \sum _{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n^2 + n}} $
$\displaystyle \sum _{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)} $
$\displaystyle \sum _{n=1}^\infty \frac{2n + 1}{n^2(n+1)^2} $
$\displaystyle \sum _{n=1}^\infty \frac{2^n + n^2 + n}{2^{n+1}n(n+1)} $

Exercícios complementares

Exercício 4.6

Seja $(x_j)$ uma sequência de números reais não nulos tal que $x_j\to +\infty $. Mostre que $ \displaystyle \sum _{j=0}^\infty \left( \frac{1}{x_j} - \frac{1}{x_{j+1}} \right) $ converge.

Exercício 4.7

Pode $\sum _{j=0}^\infty (x_j + y_j)$ convergir quando pelo menos uma de $\sum _{j=0}^\infty x_j$ e $\sum _{j=0}^\infty y_j$ diverge?

Exercício 4.8

Mostre que, se $\sum _{j=0}^\infty z_j$ converge, onde $z_j \neq 0$ para todo $j$, então $ \displaystyle \sum _{j=0}^\infty \frac{1}{z_j} $ diverge.

Exercício 4.9

A série $ \displaystyle \sum _{j=1}^\infty (-1)^j 2^{1/j} $ é convergente?

Exercício 4.10

Mostre que $\sum _{j=1}^\infty a\, j$ converge se, e somente se, $a = 0$.

Exercício 4.11

Avalie as seguintes somas:

$\sum _{j=0}^\infty \frac{(-1)^j + 2j}{3^j}$;
$\sum _{j=1}^\infty \left(\frac{2}{5^j} - \frac{1}{j(j+1)}\right)$.

Exercício 4.12

Seja $(x_n)$ uma sequência decrescente de termos positivos e suponha que $\sum _{j=0}^\infty x_j$ converge. Mostre que $ \displaystyle \lim _{n \to \infty } nx_n = 0. $ Este resultado é conhecido como o teorema de Pringsheim.

Dica: Defina $m=\lfloor n/2\rfloor $. Como $(x_n)$ é decrescente, $ \displaystyle S_n-S_m=\sum _{k=m+1}^{n}x_k\geq (n-m)x_n. $ Além disso, $n-m\ge n/2$. Use o fato de que $S_n-S_m\to 0$.

4.3 Séries de termos não negativos: comparar com modelos

Para termos não negativos não há cancelamento: as somas parciais só podem crescer. A pergunta deixa então de ser “qual é a soma?” e passa a ser “esse crescimento permanece limitado?”. As próximas ferramentas são três formas da mesma estratégia: comparar a série desconhecida com um comportamento que já entendemos.

4.3.1 Comparação termo a termo

Comecemos pelo caso em que a desigualdade entre os termos é visível. Para séries de termos não negativos, as somas parciais são crescentes; por isso, comparar termos equivale a comparar o crescimento dessas somas.

Teorema 4.18

Se $a_{n} \geq 0$ para todo $n \geq 1$, então a série $\sum a_n$ converge se e somente se a sequência das respectivas somas parciais é limitada superiormente.

Se as somas parciais são limitadas superiormente por um número $M$, então a soma da série não pode exceder $M$.

Teorema 4.19 (Critério da Comparação)

Sejam $\sum a_n$ e $\sum b_n$ séries infinitas de termos não negativos. Isto é, $a_n \geq 0$ e $b_n \geq 0$ para todo $n$. Então:

Se $\sum a_n$ converge e $0 \leq b_n \leq a_n$ para todo $n$, então $\sum b_n$ converge.
Se $\sum a_n$ diverge e $0 \leq a_n \leq b_n$ para todo $n$, então $\sum b_n$ diverge.

Demonstração ▼

Seja $t_n=\sum _{k=1}^{n} b_k$ a sequência de somas parciais de $\sum b_n$. Como $b_n\ge 0$ para todo $n$, a sequência $(t_n)$ é crescente.

Na parte 1, se $s_n=\sum _{k=1}^{n} a_k$, então $0\le t_n\le s_n$ para todo $n$. Como $\sum a_n$ converge, a sequência $(s_n)$ é limitada superiormente; logo, $(t_n)$ também é limitada superiormente. Pelo teorema da convergência monótona, $(t_n)$ converge, e portanto $\sum b_n$ converge.

A parte 2 é a contrapositiva da parte 1: se $\sum b_n$ convergisse e $0\le a_n\le b_n$ para todo $n$, então $\sum a_n$ também convergiria, o que contradiz a hipótese. Portanto, $\sum b_n$ diverge.

Exemplo 4.20

A série

\[ \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(n+1)^2} \]

converge. Para todo $n\ge 1$,

\[ 0\lt \frac{1}{(n+1)^2}\lt \frac{1}{n(n+1)}. \]

Como a série $\sum _{n=1}^{\infty }1/(n(n+1))$ converge pelo Exemplo 4.15, o critério da comparação implica a convergência da série dada.

Exemplo 4.21

A série

\[ \sum _{n=1}^{\infty }\frac1{n!} \]

converge. De fato, $n!\ge 2^{n-1}$ para todo $n\ge 1$, e portanto

\[ 0\lt \frac1{n!}\le \frac1{2^{n-1}}. \]

Como a série geométrica $\sum _{n=1}^{\infty }2^{-(n-1)}$ converge, o critério da comparação implica a convergência de $\sum 1/n!$.

Exemplo 4.22

A série

\[ \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\log n}{n} \]

diverge. De fato, para $n\ge 3$, temos $\log n\gt 1$, e portanto

\[ \frac{\log n}{n}\gt \frac1n. \]

Como a série harmônica diverge, o critério da comparação implica a divergência da série dada.

Exercícios básicos

Exercício 4.13

Use o Critério da Comparação para determinar se as séries são convergentes ou divergentes:

$\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + n + 1}$
$\sum _{n=2}^\infty \frac{\sqrt{n}}{n - 1}$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 + 3n + 1}$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{2^n + 1}$
$\sum _{n=2}^\infty \frac{1}{\ln n}$

Exercício 4.14

Mostre que $ \displaystyle \sum _{j=1}^\infty \frac{1}{e^j \sqrt{j}} $ converge.

Exercício 4.15

Mostre que $ \displaystyle \sum _{j=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{j}} $ diverge.

Exercício 4.16

Seja $(x_n)$ uma sequência de termos positivos e suponha que $\sum _{j=0}^\infty x_j$ converge. Mostre que $\sum _{j=0}^\infty x_j^2$ também converge.

Exercício 4.17

Seja $(x_n)$ uma sequência de termos positivos. Mostre que $\sum _{j=0}^\infty x_j$ converge se, e somente se, $ \displaystyle \sum _{j=0}^\infty \frac{x_j}{1 + x_j} $ converge.

Exercício 4.18

Mostre que, se $\sum _{j=0}^\infty x_j^2$ converge, então $ \displaystyle \sum _{j=1}^\infty \frac{|x_j|}{j} $ também converge.

Exercícios mais difíceis

Exercício 4.19 (difficulty=3)

Seja $(a_n)$ uma sequência decrescente de termos não negativos. Prove o critério de condensação de Cauchy: a série $\sum _{n=1}^\infty a_n$ converge se, e somente se, a série $\sum _{k=0}^\infty 2^k a_{2^k}$ converge.
Use a parte (a) para mostrar que a série $p$-série $\sum 1/n^p$ converge se $p \gt 1$ e diverge se $0 \lt p \leq 1$.
Use as partes (a) e (b) para mostrar que $\sum _{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^p}$ converge se $p \gt 1$ e diverge se $0 \lt p \leq 1$.

A comparação direta é poderosa quando a desigualdade é evidente, mas às vezes obriga a adivinhar uma estimativa pouco natural. Há outra maneira de construir séries-modelo: transformar a soma discreta em uma questão sobre áreas.

4.3.2 Comparação com integrais e séries $p$

Comparar uma série nova só é útil quando já possuímos bons modelos. A série geométrica é um deles; as séries $p$ formarão outra família fundamental. O elo entre somas e integrais fornece esses modelos de maneira sistemática.

A noção de integral sobre um intervalo ilimitado será formalizada na Seção 10.8, no capítulo de integração. Em particular, para uma função Riemann-integrável em todo intervalo $[1,R]$, escrevemos

\[ \int _1^\infty f(x)\, dx = \lim _{R\to \infty }\int _1^R f(x)\, dx, \]

quando esse limite existe como número real; veja a Definição 10.33. É essa noção que usaremos no critério a seguir.

Figura 4.1 Ilustração do critério de comparação com a integral.

Teorema 4.23 (Critério de comparação com a integral)

Seja $f:[1,\infty )\to \mathbb {R}$ uma função contínua, positiva e decrescente. Então a série

\[ \sum _{k=1}^{\infty } f(k) \]

converge se, e somente se, a integral infinita

\[ \int _1^{\infty } f(x)\, dx, \]

no sentido da Definição 10.33, converge.

Demonstração ▼

Escreva $a_k=f(k)$ e $s_n=\sum _{k=1}^n a_k$. Como $f$ é decrescente, para todo $k\ge 2$ e todo $x\in [k-1,k]$ temos $f(k)\le f(x)$. Logo,

\[ \sum _{k=2}^n f(k)\le \int _1^n f(x)\, dx. \]

Se $\int _1^\infty f(x)\, dx$ converge, então

\[ s_n\le f(1)+\int _1^n f(x)\, dx\le f(1)+\int _1^\infty f(x)\, dx. \]

Como $(s_n)$ é crescente, por ter termos positivos, ela converge. Portanto, a série converge.

Reciprocamente, para todo $k\ge 1$ e todo $x\in [k,k+1]$ temos $f(x)\le f(k)$. Assim,

\[ \int _1^{n+1} f(x)\, dx\le \sum _{k=1}^n f(k)=s_n. \]

Se a série converge, então $(s_n)$ é limitada, e a desigualdade anterior mostra que as integrais $\int _1^t f(x)\, dx$ também são limitadas superiormente. Como essas integrais crescem com $t$, a integral imprópria converge. Equivalentemente, se a integral imprópria diverge, a série também diverge.

Exemplo 4.24 (Série $p$)

O critério de comparação com a integral permite demonstrar que

\[ \sum _{n=1}^{\infty }\frac1{n^p} \quad \text{converge se, e somente se,}\quad p\gt 1. \]

De fato, para $f(x)=x^{-p}$, temos

\[ \int _1^n x^{-p}\, dx= \begin{cases} \dfrac {n^{1-p}-1}{1-p}, & \text{se } p\neq 1,\\[0.5em] \log n, & \text{se } p=1. \end{cases} \]

Pelo Exemplo 10.38, a integral infinita converge exatamente quando $p\gt 1$. Para $0\lt p\le 1$, o critério da integral mostra que a série diverge; para $p\le 0$, nem precisamos do critério, pois o termo $1/n^p$ não tende a zero. Portanto, em todos os casos, a série-$p$ converge exatamente quando $p\gt 1$.

Exemplo 4.25

O mesmo método mostra que ⁶

\[ \sum _{n=2}^{\infty } \frac{1}{n(\log n)^s} \quad \text{converge se, e somente se,}\quad s\gt 1. \]

De fato,

\[ \int _2^n \frac{1}{x(\log x)^s}\, dx= \begin{cases} \dfrac {(\log n)^{1-s}-(\log 2)^{1-s}}{1-s}, & \text{se } s\neq 1,\\[0.5em] \log (\log n)-\log (\log 2), & \text{se } s=1. \end{cases} \]

A função $x\mapsto 1/[x(\log x)^s]$ é positiva e, para cada $s\in \mathbb {R}$, é decrescente a partir de algum ponto. Como retirar um número finito de termos não altera a convergência, aplicamos o critério da integral à cauda. A integral imprópria converge exatamente quando $s\gt 1$; portanto, o mesmo vale para a série.

Exercício 4.20

Determine se as seguintes séries convergem ou divergem e justifique sua resposta:

$\sum _{n=1}^\infty \frac{n}{(4n - 3)(4n - 1)}$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{\sqrt{2n - 1} \log (4n + 1)}{n(n + 1)}$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{n + 1}{2^n}$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n}$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{|\sin (nx)|}{n^2}$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{2 + (-1)^n}{2^n}$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{n!}{(n + 2)!}$
$\sum _{n=2}^\infty \frac{\log n}{n\sqrt{n + 1}}$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n(n + 1)}}$

As séries $p$ passam agora a funcionar como uma régua assintótica. Muitas séries não são literalmente maiores ou menores que $1/n^p$ de maneira conveniente, mas se tornam indistinguíveis dela na escala correta.

4.3.3 Comportamento assintótico

A comparação termo a termo pode ser artificial quando duas sequências têm a mesma escala assintótica. Nessa situação, o quociente entre os termos revela a comparação que realmente importa.

Definição 4.26

Sejam $(a_n)$ e $(b_n)$ sequências de termos positivos. Dizemos que $a_n$ é assintoticamente equivalente a $L b_n$, com $L\gt 0$, se

\[ \lim _{n \to \infty } \frac{a_n}{b_n} = L. \]

Nesse caso, escrevemos $a_n\sim Lb_n$. Em particular, quando $L=1$, escrevemos simplesmente $a_n\sim b_n$.

Teorema 4.27 (Critério do Limite)

Sejam $\sum _{j=0}^\infty a_j$ e $\sum _{j=0}^\infty b_j$ séries de termos positivos. Se $a_n \sim L b_n$ para algum $L \gt 0$, então ambas as séries convergem ou ambas divergem.

Demonstração ▼

Como

\[ \lim _{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}=L\gt 0, \]

existe $N\in \mathbb {N}$ tal que, para todo $n\ge N$,

\[ \frac{L}{2}\lt \frac{a_n}{b_n}\lt \frac{3L}{2}. \]

Logo,

\[ \frac{L}{2}b_n\lt a_n\lt \frac{3L}{2}b_n,\qquad n\ge N. \]

Se $\sum b_n$ converge, então $\sum (3L/2)b_n$ converge e, pelo critério da comparação, a cauda de $\sum a_n$ converge. Portanto, $\sum a_n$ converge. Reciprocamente, se $\sum a_n$ converge, então a desigualdade $b_n\lt (2/L)a_n$, válida para $n\ge N$, mostra novamente pelo critério da comparação que $\sum b_n$ converge. Assim, as duas séries têm o mesmo comportamento quanto à convergência.

Exemplo 4.28

A série

\[ \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+n+1} \]

converge. Com efeito, se $a_n=1/(n^2+n+1)$ e $b_n=1/n^2$, então

\[ \frac{a_n}{b_n}=\frac{n^2}{n^2+n+1}\longrightarrow 1. \]

Logo, $a_n\sim b_n$. Como $\sum _{n=1}^{\infty }1/n^2$ converge, o critério do limite implica a convergência da série dada.

Exemplo 4.29

A série

\[ \sum _{n=0}^{\infty }\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)^2 \]

diverge. Para $n\ge 1$, racionalizando o termo geral, obtemos

\[ \left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)^2 = \frac{1}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt n\right)^2}. \]

Comparando com $b_n=1/n$, temos

\[ \frac{b_n}{a_n} = \frac{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt n\right)^2}{n} = 2+\frac1n+2\sqrt{1+\frac1n} \longrightarrow 4. \]

Assim, $a_n\sim b_n/4$. Como a série harmônica diverge, o critério do limite implica a divergência da série dada.

Exercícios básicos

Exercício 4.21

Determine a convergência de cada uma das seguintes séries:

$\sum _{j=0}^\infty \frac{2j+1}{5^j - j}$
$\sum _{j=1}^\infty \frac{\sqrt{j+1} - \sqrt{j}}{j}$
$\sum _{j=1}^\infty \frac{e^j}{j^2}$
$\sum _{j=3}^\infty \frac{1}{\sqrt{j-3} + \sqrt{j+3}}$
$\sum _{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n^2 + 1}\right)^2$
$\sum _{n=4}^\infty \frac{n^2}{n^3 - 3}$
$\sum _{n=2}^\infty \frac{4}{n(n+1)}$
$\sum _{n=7}^\infty \frac{2}{n^2 - 2n - 3}$
$\sum _{n=2}^\infty \frac{n - 1}{\sqrt{n^6 + 9}}$
$\sum _{n=0}^\infty \frac{2^n \sin ^2(5n)}{4^n + \cos ^2(n)}$
$\sum _{n=3}^\infty \frac{e^{-n}}{n^2 + 2n}$
$\sum _{n=3}^\infty \frac{4n^2 - n}{n^3 + 9}$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{\sqrt{2n^2 + 4n + 1}}{n^3 + 1}$
$\sum _{j=1}^\infty \left(e^{1/j} - 1\right)^p$ para todo $p$ racional;
$\sum _{j=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{j^2 + 1 - j}}$
$\sum _{j=1}^\infty \frac{\sqrt{j+1} - \sqrt{j}}{\sqrt{j+1}}$
$\sum _{j=1}^\infty \frac{1}{j^{2+1/j}}$

Exercícios complementares

Exercício 4.22

Encontre todos os inteiros $t\ge 0$ tais que:

\[ \sum _{j=1}^\infty \frac{1}{j^{1+t-\sqrt{t}}} \]

seja convergente.

Exercício 4.23

Considere $a \gt 0$ e $b \gt 0$. Encontre todo $p$ racional tal que:

\[ \sum _{j=0}^\infty \frac{1}{(aj+b)^p} \]

seja convergente.

Convém guardar a diferença entre as três ideias. A comparação direta usa uma desigualdade; o critério integral constrói modelos a partir de funções; a comparação assintótica ignora constantes e detalhes de baixa ordem. Não são três receitas concorrentes, mas três maneiras de responder à mesma pergunta: com que série conhecida este termo se parece?

4.4 Sinais e cancelamento

Quando os termos mudam de sinal, a monotonicidade das somas parciais desaparece. Há então duas razões muito diferentes para uma série convergir: ou seus módulos já formam uma série convergente, ou sinais opostos produzem cancelamento. Essa distinção organiza o restante da teoria.

4.4.1 Convergência absoluta

Até aqui, a positividade dos termos permitiu controlar as somas parciais por monotonicidade e comparação. Quando aparecem sinais diferentes, surge uma possibilidade nova: o cancelamento. Antes de explorá-lo, isolamos uma situação especialmente estável, a convergência absoluta.

Definição 4.30

Dizemos que uma série $\sum a_n$ converge absolutamente se a série $\sum |a_n|$ converge. Dizemos que $\sum a_n$ converge condicionalmente se $\sum a_n$ converge, mas $\sum |a_n|$ diverge.

Teorema 4.31

Se uma série converge absolutamente, então ela converge.

Demonstração ▼

Suponha que $\sum a_n$ seja absolutamente convergente. Pelo critério de Cauchy aplicado à série $\sum |a_n|$, dado $\varepsilon \gt 0$, existe $N\in \mathbb {N}$ tal que, se $n\ge m\ge N$, então

\[ |a_m|+|a_{m+1}|+\cdots +|a_n|\lt \varepsilon . \]

Pela desigualdade triangular,

\[ |a_m+a_{m+1}+\cdots +a_n| \le |a_m|+|a_{m+1}|+\cdots +|a_n| \lt \varepsilon . \]

Portanto, $\sum a_n$ satisfaz o critério de Cauchy para séries e, consequentemente, converge.

Quando os termos de uma série são não negativos, convergência e convergência absoluta são equivalentes.

Se $\sum a_n$ e $\sum b_n$ são absolutamente convergentes, o mesmo se verifica para a série $\sum (\alpha a_n+\beta b_n)$ qualquer que seja a escolha de $\alpha $ e $ \beta $. Essa é uma consequência imediata da desigualdade triangular, e a demonstração será deixada ao leitor.

Exercício 4.24

Prove que, se $\sum |a_n|$ converge e $(b_n)$ é uma sequência limitada, então $\sum a_n b_n$ também converge.

Exercício 4.25

Mostre que, se $\sum _{j=0}^\infty x_j$ converge absolutamente, então $\sum _{j=0}^\infty x_j^2$ também converge.
O recíproco é verdadeiro?
É verdade que, se $\sum _{j=0}^\infty x_j$ converge, então $\sum _{j=0}^\infty x_j^2$ também converge?

Exercício 4.26

Mostre que, se $\sum _{j=0}^\infty z_j$ e $\sum _{j=0}^\infty w_j$ são séries absolutamente convergentes, então $\sum _{j=0}^\infty z_j w_j$ e $\sum _{j=0}^\infty (\alpha z_j + \beta w_j)$ também são absolutamente convergentes para todos os números reais $\alpha $ e $\beta $.

Exercício 4.27

Mostre que, se $\sum _{j=0}^\infty z_j$ é uma série absolutamente convergente, então

\[ \left| \sum _{j=0}^\infty z_j \right| \leq \sum _{j=0}^\infty |z_j|. \]

A convergência absoluta permite esquecer os sinais e voltar ao mundo das séries positivas. Em algumas famílias, a própria forma algébrica dos termos fornece uma comparação geométrica sem que seja preciso adivinhar uma série-modelo.

4.4.2 Quando a forma do termo decide: raiz e razão

Teorema 4.32 (Critério da Raiz)

Dada uma série $\sum a_n$, seja

\[ R=\limsup _{n\to \infty }|a_n|^{1/n}. \]

Então:

se $R\lt 1$, a série converge absolutamente;
se $R\gt 1$, a série diverge;
se $R=1$, o critério não fornece informação sobre a convergência ou divergência.

Demonstração ▼

Se $R\lt 1$, escolha $r$ tal que $R\lt r\lt 1$. Então, para $n$ suficientemente grande, temos $|a_n|^{1/n}\le r$, isto é, $|a_n|\le r^n$. Como a série geométrica $\sum r^n$ converge, o critério da comparação mostra que $\sum a_n$ converge absolutamente.

Se $R\gt 1$, então existem infinitos índices $n$ tais que $|a_n|^{1/n}\gt 1$, e portanto $|a_n|\gt 1$. Em particular, $a_n\not\to 0$, de modo que a série diverge pelo Teorema 4.5.

Quando $R=1$, o critério é inconclusivo. De fato, para a série harmônica $\sum _{n=1}^{\infty }\frac1n$ e para a série $\sum _{n=1}^{\infty }\frac1{n^2}$, temos $|a_n|^{1/n}\to 1$ em ambos os casos, mas a primeira diverge e a segunda converge.

Exemplo 4.33

O Critério da Raiz determina diretamente a convergência da série $\sum _{n=3}^{\infty }(\log n)^{-n}$. De fato, se $a_n=(\log n)^{-n}$, então

\[ |a_n|^{1/n}=\frac1{\log n}\to 0. \]

Logo, a série converge absolutamente.

Exemplo 4.34

Aplicando o Critério da Raiz à série

\[ \sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}, \]

temos, para $a_n=(n/(n+1))^{n^2}$,

\[ |a_n|^{1/n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\frac1{(1+1/n)^n}\to \frac1e. \]

Como $1/e\lt 1$, a série converge.

Uma variante do mesmo tipo de argumento conduz ao critério da razão.

Teorema 4.35 (Critério da Razão)

Seja $\sum a_n$ uma série de termos não nulos.

Se $ \limsup \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \lt 1 $, então a série converge absolutamente.
Se $ \liminf \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \gt 1 $, então a série diverge.
Nos casos restantes, isto é, quando $ \liminf \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq 1 \leq \limsup \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| $, o critério da razão, por si só, não decide a convergência.

Demonstração ▼

Seja $L=\limsup \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$. Se $L\lt 1$, escolha $r$ tal que $L\lt r\lt 1$. Então, para $n$ suficientemente grande,

\[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le r. \]

Fixado tal $n$, obtemos por indução que $|a_{n+k}|\le r^k |a_n|$ para todo $k\ge 0$. Logo, a cauda de $\sum |a_n|$ é dominada por uma série geométrica, e portanto $\sum a_n$ converge absolutamente.

Se $\liminf \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\gt 1$, existe $r\gt 1$ tal que, para $n$ suficientemente grande,

\[ \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge r. \]

Assim, $|a_n|$ não pode tender a zero. Pelo Teorema 4.5, a série diverge.

A parte (c) decorre do fato de que tanto a série harmônica quanto a série $\sum 1/n^2$ satisfazem

\[ \lim _{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1, \]

mas a primeira diverge e a segunda converge.

Exemplo 4.36

Considere a série $\sum n/2^n$. Para $a_n=n/2^n$, temos

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)2^n}{2^{n+1}n}=\frac{n+1}{2n}\to \frac12. \]

Além disso,

\[ |a_n|^{1/n}=\frac{n^{1/n}}2\to \frac12. \]

Assim, tanto o critério da razão quanto o critério da raiz mostram que $\sum n/2^n$ converge.
Qualquer série da forma $\sum 1/n^p$, onde $p \in \mathbb {R}$, é chamada de série-$p$. Para essa série, se $p\gt 0$, então

\[ \lim _{n\to \infty }\left(\frac{1}{n^p}\right)^{1/n}=1 \qquad \text{e}\qquad \lim _{n\to \infty }\frac{(n+1)^{-p}}{n^{-p}}=1. \]

Assim, os critérios da raiz e da razão são inconclusivos.

Para $p \leq 1$, temos $n^p \leq n$, de modo que $\frac{1}{n^p} \geq \frac{1}{n}$. Como a série harmônica $\sum 1/n$ diverge, concluímos, pelo critério da comparação, que a série-$p$ diverge para $p \leq 1$.
Considere

\[ \sum _{k=1}^{\infty } \frac{p^k}{k!}, \quad 0\lt p\lt \infty . \]

Aqui, $a_k=\frac{p^k}{k!}$. Assim,

\[ \lim _{k \rightarrow \infty } \frac{a_{k+1}}{a_k}=\lim _{k \rightarrow \infty } \frac{p^{k+1}}{p^k} \frac{k!}{(k+1)!}=p \lim _{k \rightarrow \infty } \frac{1}{k+1}=0. \]

Pelo critério da razão, a série converge para todo $p, 0\lt p\lt \infty $. Neste exemplo, a presença de $k!$ torna o critério da raiz difícil de usar.
Considere $\sum a_n$, onde

\[ a_n= \begin{cases} \frac{1}{2^k}, & \text{se } n=2k \\ \frac{1}{3^k}, & \text{se } n=2k+1\end{cases}. \]

Aqui,

\[ \sum _{n=1}^{\infty } a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots \]

Por cálculo,

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}= \begin{cases} \left(\frac{2}{3}\right)^k, & n=2k \\ \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^k, & n=2k+1\end{cases}. \]

Consequentemente, o critério da razão é inconclusivo. Por outro lado,

\[ \sqrt[n]{a_n}=\left\{ \begin{array}{cl} \frac{1}{\sqrt{2}}, & n=2k \\ \frac{1}{\sqrt{3}}(\sqrt{3})^{1/(2k+1)}, & n=2k+1 \end{array}\right. \]

Como $\lim _{k \rightarrow \infty }(\sqrt{3})^{1/(2k+1)}=1$, obtemos

\[ \limsup _{n\to \infty }\sqrt[n]{a_n}=\frac1{\sqrt2}\lt 1. \]

Portanto, a série converge pelo critério da raiz.

O último item do Exemplo 4.36 mostra uma série para a qual o critério da razão é inconclusivo, enquanto o critério da raiz decide a convergência. O resultado seguinte explica essa diferença.

Teorema 4.37

Seja $(a_n)$ uma sequência de números positivos. Então

\[ \liminf _{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \liminf _{n\to \infty }\sqrt[n]{a_n} \leq \limsup _{n\to \infty }\sqrt[n]{a_n} \leq \limsup _{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}. \]

Observação. Como consequência do teorema, sempre que o critério da razão decide a convergência ou a divergência de uma série de termos positivos, o critério da raiz também decide. O recíproco é falso, como mostra o exemplo anterior.

Demonstração ▼

Seja

\[ R=\limsup _{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}. \]

Se $R=\infty $, a última desigualdade é imediata. Suponha, então, que $R\lt \infty $, e fixe $\beta \gt R$. Pela definição de limite superior, existe $n_0$ tal que

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}\le \beta \qquad (n\ge n_0). \]

Por iteração, para todo $n\ge n_0$,

\[ a_n\le a_{n_0}\beta ^{n-n_0}=M\beta ^n, \qquad M=\frac{a_{n_0}}{\beta ^{n_0}}. \]

Logo, $\sqrt[n]{a_n}\le \beta \sqrt[n]{M}$ para $n\ge n_0$, e portanto

\[ \limsup _{n\to \infty }\sqrt[n]{a_n}\le \beta . \]

Como $\beta \gt R$ é arbitrário, obtemos

\[ \limsup _{n\to \infty }\sqrt[n]{a_n} \le \limsup _{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}. \]

A desigualdade envolvendo os limites inferiores é análoga. Se

\[ \rho =\liminf _{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}, \]

então, para todo $0\lt \alpha \lt \rho $, existe $n_1$ tal que $a_{n+1}/a_n\ge \alpha $ para $n\ge n_1$. Por iteração, $a_n\ge C\alpha ^n$ para $n$ suficientemente grande, e assim

\[ \liminf _{n\to \infty }\sqrt[n]{a_n}\ge \alpha . \]

Fazendo $\alpha \uparrow \rho $, obtemos a primeira desigualdade. A desigualdade central é tautológica.

Exercícios básicos

Exercício 4.28

Seja $\sum _{j=0}^\infty a_j$ uma série de termos positivos. Mostre que, se $a_{n+1} \geq a_n$ para todo $n$, então a série diverge.

Exercício 4.29

Determine a convergência das seguintes séries:

$\sum _{j=1}^\infty \frac{j!}{e^j}$;
$\sum _{j=1}^\infty \frac{j!}{j^j}$;
$\sum _{j=1}^\infty \frac{2^j}{j!}$;
$\sum _{j=1}^\infty \frac{j^j}{j!}$;
$\sum _{j=0}^\infty \frac{(j!)^2}{(2j)!}$;
$\sum _{j=0}^\infty \frac{(j!)^3}{(3j)!}$.

Exercícios complementares

Exercício 4.30

Suponha que $a_n \gt 0$, $b_n \gt 0$, e $a_{n+1}/a_n \leq b_{n+1}/b_n$ para todo $n$. Mostre que $\sum _{j=0}^\infty a_j$ converge se $\sum _{j=0}^\infty b_j$ converge.

Dica: Mostre que a sequência $\{ a_n/b_n\} $ é não-crescente e use o Exercício 4.24.)
Use a parte (a) para testar a convergência das seguintes séries:
1. $\quad \sum _{j=1}^{\infty } \frac{j^j}{j e^j j!}$;
2. $\sum _{j=1}^{\infty } \frac{j^j}{e^j j!}$.
Note que o critério da razão não fornece conclusões nesses exemplos.

Exercício 4.31

Determine a convergência da série $ \displaystyle \sum _{j=1}^\infty \frac{j!x^j}{j^j} $ para todo $x \gt 0$.

Exercício 4.32

Aplique o critério da raiz para investigar a convergência da série $ \displaystyle \sum _{j=0}^\infty \frac{e^j}{j!}. $

Exercício 4.33

Determine a convergência das seguintes séries:

$\sum _{j=1}^\infty \left(\frac{j}{2j - 1}\right)^j$;
$\sum _{j=2}^\infty \left(j^{1/j} - 1\right)^j$;
$\sum _{j=0}^\infty \frac{3j/2}{2^j}$;
$\sum _{j=1}^\infty j^2 e^{\alpha j}$ para todo $\alpha $ real;
$\sum _{j=1}^\infty \frac{x^j}{\left(j^{1/2} + 1\right)^j}$ para todo $x \gt 0$;
$\sum _{j=0}^\infty (j + 1)^2 \left( \frac{x}{x+1} \right)^j$, para todo $x \neq -1$;
$\sum _{j=0}^\infty \frac{\left(j^2 + 1\right)^{-j^2}}{\left(j^2 + j + 1\right)^{-j^2}}$;
$\sum _{j=1}^\infty \left(1 - \frac{1}{j}\right)^{j^2}$;
$\sum _{j=1}^\infty \frac{j^j}{2^{j^2}}$.

Exercício 4.34

Considere a série $ \displaystyle \sum _{j=2}^\infty \frac{1}{j} \left(1 - \frac{1}{j}\right)^j. $

Mostre que o critério da raiz não é aplicável.
Determine a convergência da série. (Dica: use uma série conhecida.)

Os critérios da raiz e da razão detectam sobretudo decaimento geométrico. Quando o limite relevante é $1$, isso não representa uma falha: significa apenas que a escala é mais lenta e devemos voltar à comparação, às séries $p$ ou a outra estrutura do problema.

4.4.3 Cancelamento controlado: séries alternadas

A convergência absoluta não é a única forma de uma série com sinais diferentes convergir. O exemplo mais simples de cancelamento persistente ocorre quando os sinais alternam de maneira regular.

\begin{equation*} \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1} a_{n}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\cdots +(-1)^{n-1} a_{n}+\cdots \end{equation*}

com $a_n\gt 0$.

Teorema 4.38 (Critério das Séries Alternadas)

Se $ (a_n) $ é uma sequência decrescente de números positivos e $ \lim _{n\to \infty }a_n = 0 $, então a série $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}a_n$ converge.

Demonstração ▼

Seja $s_n$ a sequência das somas parciais. As somas parciais pares satisfazem

\[ s_{2n}=a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots +a_{2n-1}-a_{2n}. \]

Como $(a_n)$ é decrescente, temos

\[ s_{2(n+1)}-s_{2n}=a_{2n+1}-a_{2n+2}\ge 0. \]

Logo, $(s_{2n})$ é crescente. Além disso,

\[ s_{2n}=a_1-(a_2-a_3)-\cdots -(a_{2n-2}-a_{2n-1})-a_{2n}\le a_1, \]

e portanto $(s_{2n})$ converge, pelo Teorema da Convergência Monótona. Seja $s$ seu limite.

Como $s_{2n+1}=s_{2n}+a_{2n+1}$ e $a_{2n+1}\to 0$, segue que $s_{2n+1}\to s$. As subsequências de índices pares e ímpares têm, portanto, o mesmo limite. Consequentemente, a sequência completa $(s_n)$ converge para $s$, e a série alternada converge.

Exemplo 4.39

Como a sequência $(1/n)$ é decrescente e $1/n\to 0$, a série harmônica alternada

\[ \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\frac1n \]

converge. Mais adiante, a partir da série de Taylor de $\log (1+x)$, veremos que

\[ \log 2=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots . \]

Assim, a soma da série harmônica alternada é $\log 2$.

Exercícios básicos

Exercício 4.35

Determine a convergência ou divergência das seguintes séries.

$\sum _{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \sqrt{n}}{1 + 2 \sqrt{n}}$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{(-1)^n (3n - 1)}{2n + 1}$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} \ln n}{n}$

Exercícios complementares

Exercício 4.36

Determine, conforme o caso, se as seguintes séries convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem:

$\sum _{j=2}^\infty \frac{(-1)^{j+1}}{j - \sqrt{j}}$.
$\sum _{j=0}^\infty (-1)^j \left( \frac{j+2}{3} \right)^j$.
$\sum _{j=1}^\infty (-1)^j \frac{j}{j^2+1}$.
$\sum _{j=1}^\infty (-1)^j \left( 1 + \frac{j - 1}{2j} \right)$.

Exercício 4.37

Seja $(a_n)$ uma sequência decrescente de números positivos tal que $ \lim _{n\to \infty }a_n = 0$. Mostre que a soma $s$ da série alternada $\sum (-1)^{n+1} a_n$ está entre qualquer par de somas parciais sucessivas. Isto é, mostre que $s_{2n} \leq s \leq s_{2n+1}$. Use isso para concluir que, para todo $n$, $|s - s_n| \leq a_{n+1}$. Assim, o erro ao parar no $n$-ésimo termo não excede o valor absoluto do próximo termo.

Exercício 4.38

Mostre que a série é convergente. Quantos termos da série são necessários para somar com a precisão indicada?

$\sum _{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \quad (\text{erro} \lt 0{,}01)$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^5} \quad (\text{erro} \lt 0{,}0001)$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^6} \quad (\text{erro} \lt 0{,}00005)$
$\sum _{n=1}^\infty (-1)^{n-1} n e^{-n} \quad (\text{erro} \lt 0{,}01)$

A série harmônica alternada mostra a fronteira essencial: uma série pode convergir mesmo quando a série dos módulos diverge. A partir daqui, a ordem dos termos deixa de ser um detalhe inocente.

4.5 A ordem dos termos importa

Para somas finitas, reordenar parcelas é inofensivo. Para séries infinitas, isso só continua verdadeiro sob uma hipótese forte: convergência absoluta. O caso condicionalmente convergente revela um fenômeno genuinamente novo.

4.5.1 Rearranjos e convergência absoluta

A propriedade comutativa da adição garante que, em uma soma finita, a ordem dos termos não altera o resultado. Para séries infinitas, a situação é mais delicada. Em 1852, Bernhard Riemann mostrou que a ordem dos termos de uma série condicionalmente convergente pode alterar sua soma e pode até produzir rearranjos divergentes.

Considere, por exemplo, a série

\[ 1-1+\frac12-\frac12+\frac13-\frac13+\frac14-\frac14+\cdots . \]

Ela converge para $0$. No entanto, a série dos valores absolutos é

\[ 1+1+\frac12+\frac12+\frac13+\frac13+\frac14+\frac14+\cdots , \]

que diverge, pois corresponde à série harmônica duplicada. Assim, a série original é condicionalmente convergente.

Rearranjos apropriados de séries condicionalmente convergentes podem produzir outras somas. Por exemplo, tomando dois termos positivos seguidos de um termo negativo, repetidamente, obtemos

\[ 1+\frac12-1+\frac13+\frac14-\frac12+\frac15+\frac16-\frac13+\cdots . \]

O fenômeno geral é descrito pelo Teorema de Riemann: uma série condicionalmente convergente pode ser rearranjada para convergir a qualquer número real previamente fixado. Em contraste, séries absolutamente convergentes preservam sua soma sob qualquer rearranjo.

Definição 4.40

Uma permutação dos números naturais é uma bijeção $\sigma :\mathbb {N}\to \mathbb {N}$.

Exemplo 4.41

A função $\sigma :\mathbb {N}\to \mathbb {N}$ definida por

\[ \sigma (k)= \begin{cases} k-1, & \text{se $k$ é par,}\\ k+1, & \text{se $k$ é ímpar,} \end{cases} \]

é uma permutação dos naturais.

Se $\sigma $ é uma permutação, cada natural aparece exatamente uma vez como valor de $\sigma $. Em particular, $x\neq y$ implica $\sigma (x)\neq \sigma (y)$.

Definição 4.42

Se $\sum _{n=1}^{\infty }a_n$ é uma série e $\sigma $ é uma permutação dos números naturais, então a série $\sum _{n=1}^{\infty }b_n$, onde $b_n=a_{\sigma (n)}$, é chamada rearranjo da série original.

Teorema 4.43

Seja $\sum _{n=1}^{\infty } a_n$ uma série absolutamente convergente com soma $L$. Então, todo rearranjo dessa série também converge absolutamente e tem soma $L$.

Demonstração ▼

Seja $\sigma $ uma permutação de $\mathbb {N}$ e ponha $b_n=a_{\sigma (n)}$. A série $\sum |b_n|$ converge, pois cada soma parcial de $\sum |b_n|$ é uma soma finita de termos da série $\sum |a_n|$ e, portanto, é limitada superiormente por $\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|$. Logo, o rearranjo converge absolutamente.

Resta provar que sua soma é $L$. Seja $B_n=\sum _{k=1}^n b_k$. Dado $\varepsilon \gt 0$, escolha $N$ tal que

\[ \left|\sum _{k=1}^N a_k-L\right|\lt \varepsilon \qquad \text{e}\qquad \sum _{k=N+1}^{\infty }|a_k|\lt \varepsilon . \]

Como $\sigma $ é sobrejetiva, existe $M$ tal que o conjunto

\[ \{ \sigma (1),\ldots ,\sigma (M)\} \]

contém todos os índices $1,2,\ldots ,N$. Para $n\ge M$, podemos escrever

\[ B_n=\sum _{k=1}^N a_k+\sum _{j\in J_n}a_j, \]

onde $J_n$ é um subconjunto finito de $\{ N+1,N+2,\ldots \} $. Assim,

\[ |B_n-L|\le \left|\sum _{k=1}^N a_k-L\right|+ \sum _{j\in J_n}|a_j|\lt 2\varepsilon . \]

Portanto, $B_n\to L$, e o rearranjo tem a mesma soma da série original.

A hipótese de convergência absoluta no Teorema 4.43 é essencial. Para preparar o Teorema de Riemann, convém decompor uma série real em suas partes positiva e negativa. Definimos

\[ a_n^{+}=\max \{ a_n,0\} , \qquad a_n^{-}=\min \{ a_n,0\} . \]

Então

\[ a_n=a_n^+ + a_n^- \qquad \text{e}\qquad |a_n|=a_n^+ - a_n^-. \]

Note que $a_n^+\ge 0$ e $a_n^-\le 0$.

Teorema 4.44

Dada uma série $\sum _{n=1}^{\infty }a_n$ de termos reais, valem as seguintes afirmações.

Se $\sum a_n$ é condicionalmente convergente, então $\sum a_n^+$ diverge para $+\infty $ e $\sum a_n^-$ diverge para $-\infty $.
Se $\sum a_n$ é absolutamente convergente, então $\sum a_n^+$ e $\sum a_n^-$ convergem, e

\[ \sum _{n=1}^{\infty }a_n= \sum _{n=1}^{\infty }a_n^+ + \sum _{n=1}^{\infty }a_n^-. \]

Demonstração ▼

Como $a_n^+=(|a_n|+a_n)/2$ e $a_n^-=(a_n-|a_n|)/2$, a convergência simultânea de $\sum a_n$ e $\sum |a_n|$ implica a convergência de $\sum a_n^+$ e de $\sum a_n^-$. Isso prova a segunda afirmação, quando a série é absolutamente convergente, e a identidade das somas segue de $a_n=a_n^+ + a_n^-$ e da linearidade.

Suponha agora que $\sum a_n$ seja condicionalmente convergente. Se $\sum a_n^+$ e $\sum a_n^-$ convergissem, então $\sum |a_n|=\sum (a_n^+-a_n^-)$ também convergiria, contradizendo a convergência apenas condicional. Além disso, como $\sum a_n=\sum a_n^+ + \sum a_n^-$ converge, não pode ocorrer que apenas uma das duas séries convirja. Logo, $\sum a_n^+$ diverge e $\sum a_n^-$ diverge. Como a primeira tem termos não negativos e a segunda tem termos não positivos, suas divergências são, respectivamente, para $+\infty $ e para $-\infty $.

No rearranjo exibido acima, em que tomamos dois termos positivos para cada termo negativo da série

\[ 1-1+\frac12-\frac12+\frac13-\frac13+\cdots , \]

as somas ao final de cada bloco são

\[ H_{2n}-H_n, \]

e portanto tendem a $\log 2$. A mudança de ordem não apenas pode alterar a soma: aqui ela transforma uma série de soma $0$ em outra de soma $\log 2$.

4.5.2 Teorema do Rearranjo de Riemann

Teorema 4.45 (Teorema do Rearranjo de Riemann)

Seja $\sum _{n=1}^{\infty } a_n$ uma série condicionalmente convergente de termos reais e seja $L\in \mathbb {R}$. Então existe um rearranjo $\sum _{n=1}^{\infty } b_n$ dos termos de $\sum _{n=1}^{\infty } a_n$ que converge para $L$.

Demonstração ▼

Liste os termos positivos da série, na ordem em que aparecem, como $p_1,p_2,p_3,\ldots $, e os módulos dos termos negativos como $q_1,q_2,q_3,\ldots $. Pelo resultado anterior,

\[ \sum _{j=1}^{\infty }p_j=+\infty , \qquad \sum _{j=1}^{\infty }q_j=+\infty . \]

Além disso, como $a_n\to 0$, temos $p_j\to 0$ e $q_j\to 0$.

Construímos o rearranjo por etapas. A partir da soma parcial zero, somamos termos positivos $p_j$, em ordem, até ultrapassar $L$. Depois somamos termos negativos $-q_j$, em ordem, até ficar abaixo de $L$. Repetimos esse procedimento indefinidamente: após ficar abaixo de $L$, acrescentamos termos positivos até ultrapassar $L$; após ultrapassar $L$, acrescentamos termos negativos até ficar abaixo de $L$.

Além disso, nenhum termo positivo ou negativo é repetido ou omitido. Se a série original contém termos nulos, eles podem ser inseridos em quaisquer posições do rearranjo sem alterar as somas parciais relevantes nem o limite. Dentro de cada classe, positiva ou negativa, os termos são usados em sua ordem original.

Seja $S_m$ a sequência de somas parciais do rearranjo construído. Dado $\varepsilon \gt 0$, escolha $J$ tal que $p_j\lt \varepsilon $ e $q_j\lt \varepsilon $ para todo $j\ge J$. Depois que todos os termos $p_1,\ldots ,p_{J-1}$ e $q_1,\ldots ,q_{J-1}$ tiverem sido usados, cada ultrapassagem de $L$ excede $L$ por menos de $\varepsilon $, pois ocorre pela adição de um termo positivo menor que $\varepsilon $. Do mesmo modo, cada passagem abaixo de $L$ fica a menos de $\varepsilon $ de $L$, pois ocorre pela adição de um termo negativo de módulo menor que $\varepsilon $.

Entre uma ultrapassagem e a passagem seguinte, as somas parciais diminuem monotonamente e permanecem entre esses dois valores. Entre uma passagem abaixo de $L$ e a ultrapassagem seguinte, elas aumentam monotonamente e também permanecem entre esses dois valores. Assim, para todo $m$ suficientemente grande,

\[ |S_m-L|\lt \varepsilon . \]

Logo, $S_m\to L$, isto é, o rearranjo construído converge para $L$.

Exercícios de síntese

Exercício 4.39

Determine se cada série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Justifique sua resposta.

$\sum _{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{\ln n}$
$\sum _{n=2}^\infty \frac{(-2)^n}{n^2}$
$\sum _{n=0}^\infty \frac{(-3)^n}{n!}$
$\sum _{n=0}^\infty \frac{(-5)^n}{2^n}$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{\cos n\pi }{\sqrt{n}}$
$\sum _{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n \ln n}$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{(-1)^n n}{n+1}$
$\sum _{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2 + 1}}$
$\sum _{n=2}^\infty \frac{(-1)^n \ln n}{n}$
$\sum _{n=1}^{\infty } \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n} \right)$

4.6 O número $e$ revisitado

Os critérios anteriores não servem apenas para classificar séries. Eles também permitem voltar a objetos já conhecidos e vê-los de outra forma. O número $e$, definido anteriormente por um limite, reaparece agora como soma de uma série de termos positivos.

Como aplicação dos critérios de convergência, retomamos o número de Euler e mostramos que ele admite a representação

\[ e=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}. \]

Em seguida, usamos essa representação para provar que $e$ é irracional.

Defina

\[ e'=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}. \]

A série converge pelo critério da razão, pois, para $a_n=1/n!$, temos

\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}\to 0. \]

Teorema 4.46

Vale a identidade

\[ e'=\lim _{n\to \infty }\left(1+\frac1n\right)^n=e. \]

Demonstração ▼

Escreva

\[ s_n=\sum _{k=0}^{n}\frac1{k!} \qquad \text{e}\qquad t_n=\left(1+\frac1n\right)^n. \]

Por definição, $s_n\to e'$. Provaremos que $t_n\to e'$.

Pelo teorema binomial,

\[ t_n=\sum _{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \left(1-\frac1n\right) \left(1-\frac2n\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right), \]

onde, para $k=0$ e $k=1$, o produto vazio é entendido como $1$. Como todos os fatores são menores ou iguais a $1$, obtemos $t_n\le s_n$ e, portanto,

\[ \limsup _{n\to \infty } t_n\le e'. \]

Para a desigualdade oposta, fixe $m\in \mathbb {N}$. Se $n\ge m$, então

\[ t_n\ge \sum _{k=0}^{m}\frac{1}{k!} \left(1-\frac1n\right) \left(1-\frac2n\right)\cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right). \]

Passando ao limite inferior quando $n\to \infty $, cada produto finito tende a $1$, e segue que

\[ \liminf _{n\to \infty }t_n\ge \sum _{k=0}^{m}\frac1{k!}=s_m. \]

Como isso vale para todo $m$, obtemos $\liminf t_n\ge e'$. Logo, $t_n\to e'$.

A estimativa seguinte mede a rapidez com que as somas parciais da série de $e$ se aproximam do limite.

Proposição 4.47 (Estimativa do resto)

Para todo $n\ge 1$, se $s_n=\sum _{k=0}^{n}1/k!$, então

\[ 0\lt e-s_n\lt \frac{1}{n!\, n}. \]

Demonstração ▼

Como $e=\sum _{k=0}^{\infty }1/k!$, temos

\[ e-s_n=\sum _{k=n+1}^{\infty }\frac1{k!} =\frac1{(n+1)!}\left(1+\frac1{n+2}+\frac1{(n+2)(n+3)}+\cdots \right). \]

Cada termo entre parênteses, a partir do segundo, é dominado pela correspondente potência de $1/(n+1)$. Portanto,

\[ e-s_n\lt \frac1{(n+1)!}\left(1+\frac1{n+1}+\frac1{(n+1)^2}+\cdots \right) =\frac1{(n+1)!}\cdot \frac{n+1}{n} =\frac1{n!\, n}. \]

A desigualdade $e-s_n\gt 0$ é imediata, pois o resto é soma de termos positivos.

Teorema 4.48

O número $e$ é irracional.

Demonstração ▼

Suponha, por absurdo, que $e=p/q$, com $p,q\in \mathbb {N}$. Aplicando a proposição anterior com $n=q$, obtemos

\[ 0\lt e-s_q\lt \frac{1}{q!\, q}. \]

Multiplicando por $q!$, segue que

\[ 0\lt q!e-q!s_q\lt \frac1q\le 1. \]

Por outro lado, $q!e=q!p/q=(q-1)!p$ é inteiro, e

\[ q!s_q=\sum _{k=0}^{q}\frac{q!}{k!} \]

também é inteiro. Assim, $q!e-q!s_q$ seria um inteiro positivo estritamente menor que $1$, o que é impossível. Logo, $e$ é irracional.

4.7 Representação decimal dos números reais II

Na Seção 1.13, a representação decimal foi introduzida por meio de truncamentos. A teoria de séries permite agora dizer com precisão o que a notação decimal infinita significa.

Seja $r\ge 0$. Escolhidos $a_0\in \mathbb {N}\cup \{ 0\} $ e dígitos $a_k\in \{ 0,1,\ldots ,9\} $, definimos os truncamentos

\[ s_n=a_0+\sum _{k=1}^{n}\frac{a_k}{10^k}. \]

Escrever

\[ r=a_0{,}a_1a_2a_3\ldots \]

significa precisamente que $s_n\to r$, isto é,

\[ r=a_0+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{a_k}{10^k}. \]

Reciprocamente, qualquer sequência de dígitos determina um número real. De fato, para

\[ S_n=\sum _{k=1}^{n}\frac{a_k}{10^k} \]

temos $S_{n+1}\ge S_n$ e

\[ 0\le S_n\le 9\sum _{k=1}^{n}\frac1{10^k}\lt 1. \]

Assim, $(S_n)$ é crescente e limitada; pelo Teorema da Convergência Monótona, ela converge. Portanto toda sequência de dígitos determina um número de $[0,1]$. Todo real não negativo admite uma representação desse tipo; para números negativos, aplicamos a construção ao módulo e acrescentamos o sinal.

A representação não é única exatamente quando uma expansão termina, a partir de certo ponto, em uma cauda infinita de algarismos $9$. Por exemplo,

\[ 1=0{,}999\ldots , \]

pois

\[ \sum _{k=1}^{\infty }\frac9{10^k} =9\frac{1/10}{1-1/10}=1. \]

De modo geral,

\[ 0{,}5000\ldots =0{,}4999\ldots . \]

Exercícios complementares

Exercício 4.40

Prove que a representação decimal de um número racional é finita ou eventualmente periódica.

Exercício 4.41

Prove que, se a representação decimal de um número é finita ou eventualmente periódica, então ele é racional.

Exercício 4.42

Prove que todo número cuja representação decimal é da forma $a_0{,}a_1a_2\cdots a_n$, com $a_n\neq 0$, também pode ser representado como $a_0{,}a_1a_2\cdots (a_n-1)99999\cdots $.

Exercício 4.43

Prove que a constante de Liouville $L=\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}$ é irracional.

Exercício 4.44 (difficulty=2)

Transformação de Abel e critério de Dirichlet. Sejam $(a_n)$ e $(b_n)$ sequências reais e defina

\[ A_n=\sum _{k=1}^n a_k. \]

Prove a identidade de Abel

\[ \sum _{k=m}^n a_kb_k = A_nb_n-A_{m-1}b_m + \sum _{k=m}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}). \]

Deduza o critério de Dirichlet: se as somas parciais de $\sum a_n$ são limitadas e $(b_n)$ é monótona com $b_n\to 0$, então

\[ \sum _{n=1}^{\infty }a_nb_n \]

converge.

Ver solução

Adote $A_0=0$. Como $a_k=A_k-A_{k-1}$, uma mudança de índice dá

\[ \begin{aligned} \sum _{k=m}^n a_kb_k & =\sum _{k=m}^n(A_k-A_{k-1})b_k\\ & =A_nb_n-A_{m-1}b_m+ \sum _{k=m}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}). \end{aligned} \]

Se $|A_k|\le M$, então

\[ \left|\sum _{k=m}^n a_kb_k\right| \le M\left(|b_n|+|b_m|+ \sum _{k=m}^{n-1}|b_k-b_{k+1}|\right). \]

Pela monotonicidade, a última soma é $|b_m-b_n|$. Como $b_n\to 0$, a estimativa tende uniformemente a zero para $n\ge m\to \infty $. O critério de Cauchy para séries conclui a prova.

Exercício 4.45 (difficulty=3)

Teorema de rearranjo de Riemann. Seja

\[ \sum _{n=1}^{\infty }a_n \]

uma série real condicionalmente convergente. Prove que, para todo $L\in \mathbb {R}$, existe um rearranjo da série que converge para $L$.

Mostre também que existem rearranjos cujas somas parciais tendem a $+\infty $ e rearranjos cujas somas parciais tendem a $-\infty $.

Ver solução

Separe os termos positivos $p_j$ e os módulos dos termos negativos $q_j$, conservando a ordem original dentro de cada grupo. A convergência condicional implica

\[ \sum _jp_j=+\infty ,\qquad \sum _jq_j=+\infty , \qquad p_j,q_j\to 0. \]

Para obter soma $L$, some positivos até ultrapassar $L$, depois negativos até ficar abaixo de $L$, e repita. As ultrapassagens ficam limitadas pelo último termo utilizado e, portanto, tendem a zero. Entre duas ultrapassagens consecutivas, as somas parciais são monótonas e permanecem entre os valores extremos dessas etapas. Logo todas as somas parciais convergem para $L$.

Para obter $+\infty $, na etapa $k$ use os próximos termos positivos até que a soma ultrapasse $k$, e acrescente então o próximo termo negativo, $-q_k$. A soma ao fim da etapa é maior que $k-q_k$. Durante a etapa seguinte, ela não desce abaixo do menor entre esse valor e o valor final da etapa seguinte. Como $q_k\to 0$, todas as somas parciais tendem a $+\infty $. O caso $-\infty $ é simétrico.

Esses procedimentos utilizam todos os termos positivos e negativos, sem repetições: os índices de ambos os grupos avançam indefinidamente. Se houver termos nulos, insira o próximo deles ao fim de cada etapa, até esgotá-los ou indefinidamente. Isso não altera os limites e garante que o resultado seja um rearranjo de toda a série.

Exercício 4.46 (difficulty=2)

Produto de Cauchy. Sejam

\[ \sum _{n=0}^{\infty }a_n=A, \qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_n=B \]

duas séries absolutamente convergentes. Defina

\[ c_n=\sum _{k=0}^n a_kb_{n-k}. \]

Prove que

\[ \sum _{n=0}^{\infty }c_n \]

converge absolutamente e que

\[ \sum _{n=0}^{\infty }c_n=AB. \]

Ver solução

Escreva $A_* =\sum _{k\ge 0}|a_k|$ e $B_* =\sum _{j\ge 0}|b_j|$. Para todo $N$,

\[ \sum _{n=0}^N|c_n| \le \sum _{k+j\le N}|a_k||b_j|\le A_*B_*. \]

As somas parciais de $\sum |c_n|$ são crescentes e limitadas, logo essa série converge.

A diferença entre $ (\sum _{k=0}^Na_k)(\sum _{j=0}^Nb_j)$ e $\sum _{n=0}^Nc_n$ é a soma dos produtos no quadrado $0\le k,j\le N$ que satisfazem $k+j\gt N$. Nessa região, $k\gt N/2$ ou $j\gt N/2$. Portanto o módulo da diferença é no máximo

\[ B_*\sum _{k\gt N/2}|a_k|+A_*\sum _{j\gt N/2}|b_j|\longrightarrow 0. \]

Como o produto das somas parciais converge para $AB$, segue que $\sum _{n=0}^{\infty }c_n=AB$.

Exercício 4.47 (difficulty=2)

Séries logarítmicas clássicas. Determine, em função dos parâmetros reais $p$ e $q$, a convergência das séries

\[ \sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\log n)^p} \]

\[ \sum _{n=3}^{\infty } \frac{1}{n\log n\, (\log \log n)^q}. \]

Ver solução

A primeira série converge se, e somente se, $p\gt 1$; a segunda, se, e somente se, $q\gt 1$. Uma prova que não usa integrais é a seguinte.

Agrupe os índices em blocos $2^k\le n\lt 2^{k+1}$. Há $2^k$ termos em cada bloco. Nele, $n$ é comparável a $2^k$, e $\log n$ é comparável a $k$. Para cada $p$ fixado, existem constantes $c_p,C_p\gt 0$, independentes de $k$, tais que

\[ c_pk^{-p}\le \sum _{n=2^k}^{2^{k+1}-1}\frac1{n(\log n)^p} \le C_pk^{-p}. \]

A comparação com a série $\sum k^{-p}$ fornece o primeiro critério.

Para a segunda série, em blocos suficientemente distantes do início, $\log \log n$ é comparável a $\log k$. Portanto existem $c_q,C_q\gt 0$ tais que

\[ \frac{c_q}{k(\log k)^q}\le \sum _{n=2^k}^{2^{k+1}-1} \frac1{n\log n(\log \log n)^q} \le \frac{C_q}{k(\log k)^q}. \]

A primeira parte, com parâmetro $q$, conclui a prova. Essas comparações valem também para parâmetros negativos, ajustando as constantes; alterar finitíssimos termos não modifica a convergência.

Exercício 4.48 (difficulty=3)

Sub-séries e convergência absoluta. Prove que uma série real

\[ \sum _{n=1}^{\infty }a_n \]

é absolutamente convergente se, e somente se, toda sub-série

\[ \sum _{k=1}^{\infty }a_{n_k}, \qquad n_1\lt n_2\lt \cdots , \]

é convergente.

Ver solução

Se a série converge absolutamente, toda subsérie também converge absolutamente, pela comparação entre somas de termos não negativos.

Reciprocamente, suponha que toda subsérie convirja. Separe os índices $P=\{ n:a_n\ge 0\} $ e $N=\{ n:a_n\lt 0\} $. Se um desses conjuntos é infinito, a subsérie correspondente converge por hipótese; se é finito, sua soma é finita. Assim,

\[ \sum _{n\in P}a_n\lt \infty , \qquad \sum _{n\in N}(-a_n)\lt \infty . \]

Consequentemente,

\[ \sum _{n=1}^{\infty }|a_n| =\sum _{n\in P}a_n+\sum _{n\in N}(-a_n)\lt \infty . \]

Séries

4.1 Convergência

Linearidade

4.2 Primeiros modelos: séries que podemos somar

4.2.1 Série geométrica

4.2.2 Série telescópica

Exercícios básicos

Exercícios complementares

4.3 Séries de termos não negativos: comparar com modelos

4.3.1 Comparação termo a termo

Exercícios básicos

Exercícios mais difíceis

4.3.2 Comparação com integrais e séries \(p\)

4.3.3 Comportamento assintótico

Exercícios básicos

Exercícios complementares

4.4 Sinais e cancelamento

4.4.1 Convergência absoluta

4.4.2 Quando a forma do termo decide: raiz e razão

Exercícios básicos

Exercícios complementares

4.4.3 Cancelamento controlado: séries alternadas

Exercícios básicos

Exercícios complementares

4.5 A ordem dos termos importa

4.5.1 Rearranjos e convergência absoluta

4.5.2 Teorema do Rearranjo de Riemann

Exercícios de síntese

4.6 O número \(e\) revisitado

4.7 Representação decimal dos números reais II

Exercícios complementares