Números reais
Neste capítulo, apresentamos os números reais por meio de sua caracterização axiomática como corpo ordenado completo. Essa formulação separa três aspectos da reta real: a estrutura algébrica, a ordem e a completude.
Os números racionais já sustentam as operações algébricas usuais, mas deixam lacunas importantes. Há equações naturais cuja solução não pertence a \(\mathbb {Q}\), e processos de aproximação podem apontar para números que também escapam dos racionais. O axioma de completude é o princípio que fecha essas lacunas.
Adotaremos inicialmente um ponto de vista axiomático. Em vez de construir os reais a partir dos racionais, partiremos de um conjunto \(\mathbb {R}\) munido de operações e de uma ordem que satisfazem certos axiomas, e deduziremos suas propriedades fundamentais. A construção propriamente dita dos números reais será retomada no Capítulo 3.
O percurso começa com operações binárias, corpos e corpos ordenados. Depois entra a completude e, com ela, suas primeiras consequências: a propriedade arquimediana, a existência de raízes, supremos e ínfimos, o valor absoluto, a topologia básica da reta, a potenciação e a representação decimal.
1.1 Operações binárias
Os axiomas de corpo envolvem duas operações. Comecemos, portanto, pela noção geral de operação binária. Se \(A\) é um conjunto não vazio, uma operação binária em \(A\) é uma função
Assim, a cada par ordenado \((x,y)\) de elementos de \(A\) corresponde um novo elemento de \(A\), usualmente denotado por \(\mu (x,y)\).
Na prática, raramente escrevemos a operação por meio da letra \(\mu \). Dependendo do contexto, usamos notações como
O par \((A,\cdot )\) indica, portanto, um conjunto \(A\) munido de uma operação binária \(\cdot \).
A adição e a multiplicação usuais são operações binárias em \(\mathbb {Z}\), \(\mathbb {Q}\), \(\mathbb {R}\) e \(\mathbb {C}\).
A subtração é uma operação binária em \(\mathbb {Z}\), mas a divisão não é: por exemplo, \(1/2\notin \mathbb {Z}\), e \(1/0\) não está definido.
Se \(X\) é um conjunto e \(X^X\) denota o conjunto das funções de \(X\) em \(X\), então a composição
\[ (g,f)\mapsto g\circ f \]é uma operação binária em \(X^X\).
Se \(X\) é um conjunto, então a união e a interseção são operações binárias em \(\mathcal P(X)\).
Algumas propriedades de operações binárias terão papel central nos axiomas de corpo. A primeira é a associatividade. Uma operação \(\cdot \) em \(A\) é associativa quando
para todos \(x,y,z\in A\). Quando isso ocorre, podemos escrever simplesmente \(x\cdot y\cdot z\), sem indicar a ordem de associação.
A adição e a multiplicação usuais são associativas. A subtração, por outro lado, não é associativa, pois, em geral,
A composição de funções é associativa: se as composições fazem sentido, então
Outra propriedade importante é a existência de elemento neutro. Um elemento \(e\in A\) é neutro para uma operação \(\cdot \) se
para todo \(x\in A\). Se uma operação possui elemento neutro, ele é único: de fato, se \(e\) e \(e'\) são neutros, então \(e=e\cdot e'=e'\).
Finalmente, suponha que a operação seja associativa e possua elemento neutro \(e\). Dizemos que \(y\in A\) é inverso de \(x\in A\) quando
Nesse contexto, cada elemento possui no máximo um inverso. Com efeito, se \(y\) e \(z\) são inversos de \(x\), então
Com essa linguagem, podemos formular os axiomas de corpo: a adição terá neutro e opostos, a multiplicação terá neutro e inversos para elementos não nulos, e as duas operações serão ligadas pela distributividade.
1.2 Axiomas de corpo
Um corpo é uma estrutura algébrica na qual duas operações, chamadas adição e multiplicação, obedecem às regras formais que tornam possível somar, multiplicar, subtrair e dividir por elementos não nulos.
Comutatividade da soma \( x + y = y + x \) para todos os \( x, y \in \mathbb {K}.\)
Associatividade da soma \( x + (y + z) = (x + y) + z \) para todos os \( x, y, z \in \mathbb {K}.\)
Existência do elemento neutro Existe um elemento \( 0 \in \mathbb {K}\) tal que \( x +0 = x \) para todos os \( x \in \mathbb {K}.\)
Existência do oposto para todo \( x \in \mathbb {K}\), existe um elemento \(y \in \mathbb {K}\), de modo que \(x + (y) = 0.\)
Comutatividade do produto \( x y = y x \) para todos os \( x, y \in \mathbb {K}.\)
Associatividade do produto \(x (yz) = (x y) z \) para todos os \( x, y, z \in \mathbb {K}\)
Existência do elemento neutro multiplicativo Existe um elemento \( 1 \neq 0 \) em \( \mathbb {K}\) tal que \(1x = x \) para todos os \( x \in \mathbb {K}\).
Existência do inverso para todo \( x \neq 0 \) em \( \mathbb {K}\), existe \( y \in \mathbb {K}\), tal que \( x y = 1.\)
Distributividade \(x (y + z) = x y + x z \) para todos os \( x, y, z \in \mathbb {K}.\)
Estritamente falando, um corpo é uma tripla \((\mathbb {K},+,\cdot )\), formada por um conjunto e duas operações que satisfazem os axiomas acima. Por economia de notação, costuma-se escrever apenas \(\mathbb {K}\), deixando as operações subentendidas quando não houver risco de ambiguidade.
Os corpos dos Exemplos 1.4 e 1.5 são todos infinitos.
Para \(p=5\), as tabelas de Cayley das duas operações são:
| ^^I^^I^^I$+$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$\tabularnewline ^^I^^I^^I ^^I^^I^^I$\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$\tabularnewline ^^I^^I^^I$\overline{1}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ | $\overline{0}$\tabularnewline ^^I^^I^^I$\overline{2}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$\tabularnewline ^^I^^I^^I$\overline{3}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$\tabularnewline ^^I^^I^^I$\overline{4}$ | $\overline{4}$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$\tabularnewline ^^I^^I |
| ^^I^^I^^I$\cdot$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$\tabularnewline ^^I^^I^^I ^^I^^I^^I$\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{0}$\tabularnewline ^^I^^I^^I$\overline{1}$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$\tabularnewline ^^I^^I^^I$\overline{2}$ | $\overline{0}$ | $\overline{2}$ | $\overline{4}$ | $\overline{1}$ | $\overline{3}$\tabularnewline ^^I^^I^^I$\overline{3}$ | $\overline{0}$ | $\overline{3}$ | $\overline{1}$ | $\overline{4}$ | $\overline{2}$\tabularnewline ^^I^^I^^I$\overline{4}$ | $\overline{0}$ | $\overline{4}$ | $\overline{3}$ | $\overline{2}$ | $\overline{1}$\tabularnewline ^^I^^I |
A primalidade de \(p\) garante que toda classe não nula possui inverso multiplicativo módulo \(p\). Assim, \(\mathbb {Z}_p\) satisfaz os axiomas de corpo e possui exatamente \(p\) elementos.
O corpo \(\mathbb {Q}(i)\) pode ser descrito como \(\mathbb {Q}\times \mathbb {Q}\), com as operações
e
Os elementos neutros são \((0,0)\), para a adição, e \((1,0)\), para a multiplicação.
Identificando \(x\in \mathbb {Q}\) com \((x,0)\) e escrevendo \(i=(0,1)\), todo elemento de \(\mathbb {Q}(i)\) assume a forma \(x+iy\), com \(x,y\in \mathbb {Q}\), e satisfaz \(i^2=-1\). Assim, \(\mathbb {Q}(i)\) é o subcorpo de \(\mathbb {C}\) formado pelos números complexos com partes real e imaginária racionais.
A verificação dos axiomas de corpo é deixada como exercício. Por exemplo, dado um elemento \( z = (x, y) \neq 0 \), seu inverso é \( z^{-1} = \left( \frac{x}{x^2 + y^2}, \frac{-y}{x^2 + y^2} \right) \).
Dos axiomas anteriores podemos deduzir todas as regras usuais da álgebra elementar. As mais importantes são apresentadas a seguir como teoremas. Nestes teoremas os símbolos \(a\), \(b, c, d\) representam números reais arbitrários.
\( \mathbb {K}\) possui pelo menos dois elementos \( 0 \) e \(1\) e \( 0 \neq 1.\)
O número 0 (zero) é o único elemento neutro da soma.
O número 1 é o único elemento neutro da multiplicação.
Para todos os \( a \in \mathbb {K}, a0 = 0a = 0.\)
O oposto de um elemento é único.
O inverso de um elemento (não nulo) é único.
Para todos os \( a, b \in \mathbb {K}\), se \( ab = 0 \), então \( a = 0 \) ou \( b = 0 \). Nesse caso dizemos que \( \mathbb {K}\) não tem divisores de zero.
O item 1 é imediato do axioma que afirma a existência de \(1\neq 0\).
Provemos 2. Suponha que \(0\) e \(0'\) sejam ambos elementos neutros da soma. Então
logo o elemento neutro aditivo é único.
Provemos 3. Suponha que \(1\) e \(1'\) sejam ambos elementos neutros da multiplicação. Então
logo o elemento neutro multiplicativo é único.
Provemos 4. Para todo \(a\in \mathbb {K}\),
Somando o oposto de \(a\) aos dois membros, obtemos \(a0=0\). Como o produto é comutativo, segue também que \(0a=0\).
Provemos 5. Se \(a+a'=0\) e \(a+a''=0\), então
logo o oposto de \(a\) é único.
Para o item 6, seja \(a\neq 0\) e suponha que \(u\) e \(v\) sejam inversos de \(a\). Então
Logo o inverso multiplicativo de um elemento não nulo é único.
Provemos 7. Suponha que \(ab=0\). Se \(a=0\), nada há a provar. Se \(a\neq 0\), existe \(a^{-1}\) tal que \(a^{-1}a=1\). Multiplicando a igualdade \(ab=0\) por \(a^{-1}\), obtemos
Pela associatividade,
Portanto, \(b=0\).
Esta é precisamente a demonstração do item 6 da Proposição 1.10: se \(au=av=1\), então \(u=u(av)=(ua)v=v\).
Suponha que \(a+b=a+c\). Seja \(y\) o oposto de \(a\). Somando \(y\) aos dois membros e usando a associatividade da adição, obtemos \((y+a)+b=(y+a)+c\). Como \(y+a=0\), segue que \(b=c\).
Seja \(y\) o oposto de \(a\) e defina \(x=y+b\). Então \(a+x=a+(y+b)=(a+y)+b=0+b=b\), o que prova a existência.
Para a unicidade, suponha que \(x\) e \(x'\) satisfaçam \(a+x=b\) e \(a+x'=b\). Então \(a+x=a+x'\), e o Teorema 1.12 implica \(x=x'\).
\(b-a=b+(-a)\).
\(-(-a)=a\).
\(a(b-c)=ab-ac\).
Provemos o primeiro item. Sejam \(x=b-a\) e \(y=b+(-a)\). Por definição de \(b-a\), temos \(a+x=b\). Além disso,
Logo \(a+x=a+y\), e o cancelamento fornece \(x=y\).
Para o segundo item, observe que \(a+(-a)=0\). Portanto, \(a\) é o oposto de \(-a\). Pela unicidade do oposto, \(a=-(-a)\).
Por fim, usando o primeiro item e a distributividade, obtemos
Como \(ac+a(-c)=a(c+(-c))=a0=0\), temos \(a(-c)=-(ac)\). Assim,
como queríamos.
Como \(a\neq 0\), existe o inverso multiplicativo \(a^{-1}\). Tomando \(x=a^{-1}b\), temos \(ax=a(a^{-1}b)=(aa^{-1})b=1b=b\). Portanto, existe pelo menos um \(x\in \mathbb {K}\) tal que \(ax=b\).
Resta provar a unicidade. Suponha que \(x\) e \(y\) satisfaçam \(ax=b\) e \(ay=b\). Então \(ax=ay\). Multiplicando essa igualdade por \(a^{-1}\) e usando a associatividade da multiplicação, obtemos
Logo \(1x=1y\), isto é, \(x=y\). Assim, o elemento \(x\) é único.
Esse único elemento é denotado por \(b/a\). No caso particular \(b=1\), obtemos \(1/a=a^{-1}\), como queríamos.
Se \(a\neq 0\), então \(b/a=b\cdot a^{-1}\).
Se \(a\neq 0\), então \(\left(a^{-1}\right)^{-1}=a\).
Se \(ab=0\), então \(a=0\) ou \(b=0\).
\((-a)b=-(ab)\) e \((-a)(-b)=ab\).
\((a/b)+(c/d)=(ad+bc)/(bd)\), se \(b\neq 0\) e \(d\neq 0\).
\((a/b)(c/d)=(ac)/(bd)\), se \(b\neq 0\) e \(d\neq 0\).
\((a/b)/(c/d)=(ad)/(bc)\), se \(b\neq 0\), \(c\neq 0\) e \(d\neq 0\).
A demonstração da regra de simplificação e dos itens do teorema anterior é deixada ao leitor. Todas elas seguem diretamente da existência e unicidade dos inversos, da associatividade, da comutatividade e da distributividade. \(-0=0\). \(1^{-1}=1\). Zero não admite recíproco. Se \(a \neq 0\), então \(b / a=b \cdot a^{-1}\). Se \(a \neq 0\), então \(\left(a^{-1}\right)^{-1}=a\). \((-a) b=-(a b)\) e \((-a)(-b)=a b\). \((a / b)+(c / d)=(a d+b c) /(b d)\) se \(b \neq 0\) e \(d \neq 0\) \((a / b)(c / d)=(a c) /(b d)\) se \(b \neq 0\) e \(d \neq 0\). \(-(a-b)=-a+b\). Se \(a \neq 0\) e \(b \neq 0\), então \((a b)^{-1}=a^{-1} b^{-1}\).
1.3 Axiomas de ordem
Além das operações de soma e produto, os números reais possuem uma ordem compatível com essas operações. Introduziremos essa ordem por meio de um subconjunto de elementos positivos. A partir dele, definiremos as relações \(\lt \), \(\gt \), \(\leq \) e \(\geq \).
Um corpo ordenado é um corpo \(\mathbb {K}\) munido de um subconjunto não vazio \(\mathbb {K}^{+}\subset \mathbb {K}\), cujos elementos são chamados positivos, satisfazendo os três axiomas de ordem a seguir:
Compatibilidade com a soma e o produto Se \(x\) e \(y\) pertencem a \(\mathbb {K}^{+}\) então \(x+y\) e \(xy\) também pertencem.
Tricotomia para todo \(x \neq 0\), ou \(x \in \mathbb {K}^{+}\) ou \(-x \in \mathbb {K}^{+}\), mas não ambos.
\(0 \notin \mathbb {K}^{+}\).
O corpo \( \mathbb {Q}(t) \) pode ser ordenado, definindo uma fração \( r(t) = \frac{p(t)}{q(t)} \) como positiva quando o coeficiente do termo de maior grau no polinômio \( p(t) q(t) \) for positivo. Essa regra atribui a todo elemento não nulo exatamente um dos dois sinais. Resta verificar a compatibilidade com as operações. Se \( r = \frac{p}{q} \) e \( r' = \frac{p'}{q'} \) são positivas, os coeficientes dos termos de maior grau em \( pq \) e \( p' q' \) são ambos positivos.
Para a soma, escrevendo
o produto do numerador pelo denominador é
O termo de maior grau tem coeficiente positivo, pois os termos dominantes das duas parcelas têm coeficientes positivos. Assim, a soma de duas frações positivas é positiva. A compatibilidade com o produto segue de modo imediato pela multiplicação dos termos dominantes.
O corpo \(\mathbb {Z}_2\) não admite ordem compatível com suas operações. De fato, em qualquer corpo ordenado, temos \(1\gt 0\), e portanto \(1+1\gt 0\). Em \(\mathbb {Z}_2\), porém, vale \(1+1=0\), contradição.
O corpo \(\mathbb {Q}(i)\) também não pode ser ordenado. Como \(i^2=-1\), uma ordem compatível faria de \(-1\) um quadrado. Mas, em um corpo ordenado, todo quadrado de elemento não nulo é positivo, enquanto \(-1\lt 0\).
Assim temos \(x\gt 0\) se e só se \(x\) é positivo. Se \(x\lt 0\), dizemos que \(x\) é negativo; se \(x \geq 0\) dizemos que \(x\) é não negativo. Um par de desigualdades simultâneas tais como \(x\lt y, y\lt z\) escreve-se frequentemente de forma mais abreviada \(x\lt y\lt z\); interpretações semelhantes são dadas às desigualdades compostas \(x \leq y\lt z, x\lt y \leq z, x \leq y \leq z\).
As regras usuais para manipular desigualdades seguem desses axiomas. Registramos a seguir as que serão usadas com mais frequência.
Propriedade tricotômica. Para quaisquer \(a,b\) em um corpo ordenado, vale uma e apenas uma das três relações \(a\lt b\), \(b\lt a\) ou \(a=b\).
Propriedade transitiva. Se \(a\lt b\) e \(b\lt c \) então \( a\lt c\).
Se \(a\lt b \) então \( a+c\lt b+c\).
Se \(a\lt b\) e \(c\gt 0\) então \(a c\lt b c\).
Se \(a \neq 0\) então \(a^{2}\gt 0\).
\(1\gt 0\).
Se \(a\lt b\) e \(c\lt 0\) então \(a c\gt b c\).
Se \(a\lt b\) então \(-a\gt -b\). Em particular, se \(a\lt 0,\) então \(-a\gt 0\).
Se \(a b\gt 0\), então \(a\) e \(b\) são ambos positivos, ou ambos negativos.
Se \(a\lt c\) e \(b\lt d\), então \(a+b\lt c+d\).
Provaremos os pontos que exigem algum cuidado; os demais seguem diretamente das definições.
Para a tricotomia, aplique o axioma de ordem a \(x=b-a\). Se \(x=0\), então \(a=b\). Se \(x\gt 0\), então \(a\lt b\). Se \(-x\gt 0\), então \(b\lt a\). As alternativas são mutuamente exclusivas pelo axioma de tricotomia.
Se \(a\lt b\) e \(b\lt c\), então \(b-a\gt 0\) e \(c-b\gt 0\). Como a soma de positivos é positiva,
logo \(a\lt c\).
Se \(a\lt b\), então \((b+c)-(a+c)=b-a\gt 0\), e portanto \(a+c\lt b+c\). Se, além disso, \(c\gt 0\), então
de onde \(ac\lt bc\).
Se \(a\neq 0\), então, pela tricotomia, \(a\gt 0\) ou \(-a\gt 0\). No primeiro caso, \(a^2\gt 0\). No segundo, \((-a)^2\gt 0\), e como \((-a)^2=a^2\), novamente \(a^2\gt 0\). Em particular, tomando \(a=1\), obtemos \(1\gt 0\).
Se \(a\lt b\), então \(b-a\gt 0\). Como
segue que \(-b\lt -a\), isto é, \(-a\gt -b\). Em particular, se \(a\lt 0\), então \(-a\gt 0\).
Se \(a\lt b\) e \(c\lt 0\), então \(-c\gt 0\). Pelo caso já provado para multiplicação por número positivo,
Aplicando a propriedade anterior aos dois membros, obtemos \(ac\gt bc\).
Se \(ab\gt 0\), então \(a\neq 0\) e \(b\neq 0\). Pela tricotomia, cada um deles é positivo ou negativo. Se tivessem sinais opostos, o produto seria negativo, contradizendo \(ab\gt 0\). Portanto, ambos são positivos ou ambos são negativos.
Por fim, se \(a\lt c\) e \(b\lt d\), então \(a+b\lt c+b\) e \(c+b\lt c+d\). Pela transitividade, \(a+b\lt c+d\).
Poderíamos também ter assumido no lugar dos axiomas 10, 11 e 12 os seguintes axiomas de ordem total:
Dados quaisquer \(a, b, c \in \mathbb {K}\), tem-se
\(a \leq a\) (reflexiva)
Se \(a \leq b\) e \(b \leq a\), então \(a=b\) (anti-simétrica)
Se \(a \leq b\) e \(b \leq c\), então \(a \leq c\) (transitiva)
Necessariamente, é \(a \leq b\) ou \(b \leq a\) (ordem total)
Compatibilidade com a soma
\[ \forall \, \, a,b,c \in \mathbb {K}, a \leq b \Rightarrow a+c \leq b+c \]Compatibilidade com a multiplicação
\[ \forall \, \, a,b,c \in \mathbb {K}, a \leq b \text{ e } 0 \leq c \Rightarrow ac \leq bc \]
Não existe nenhum número real \(x\) tal que \(x^2+1=0\). a soma de dois números negativos é um número negativo. Se \(a\gt 0\), então \(1 / a\gt 0\), se \(a\lt 0\), então \(1 / a\lt 0\). Se \(0\lt a\lt b\), então \(0\lt b^{-1}\lt a^{-1}\). Se \(a \leq b\) e \(b \leq c\), então \(a \leq c\). Se \(a \leq b\) e \(b \leq c\), e \(a=c\), então \(b=c\). Para números reais \(a\) e \(b\) quaisquer tem-se \(a^2+b^2 \geq 0\). Se \(a\) e \(b\) não são ambos 0, então \(a^2+b^2\gt 0\). Não existe nenhum número real \(a\) tal que \(x \leq a\) para todo o real \(x\). Se \(x\) satisfaz \(0 \leq x\lt h\) para todo o número real positivo \(h\), então \(x=0\). Prove que, em um corpo, os axiomas de ordem formulados em termos de positividade e os axiomas de ordem total compatível com soma e produto são equivalentes.
1.4 Números naturais, inteiros e racionais
Dentro de um corpo ordenado \(\mathbb {K}\), podemos reconhecer naturalmente os subconjuntos que desempenham o papel dos números naturais, inteiros e racionais.
Dentro de um corpo ordenado, os naturais são obtidos a partir de \(1\) por sucessivas adições de \(1\). A noção de conjunto indutivo formaliza esse procedimento.
O número 1 pertence ao conjunto.
Se \(x\) pertence ao conjunto, então \(x+1\) também pertence ao conjunto.
Por exemplo, \(\mathbb {K}\) é um conjunto indutivo. Igualmente o é o conjunto \(\mathbb {K}^{+}\). Podemos agora definir os números naturais como aqueles números que pertencem a todo o conjunto indutivo.
Seja \(\mathbb {N}\) o conjunto de todos os números naturais, isto é, a interseção de todos os subconjuntos indutivos do corpo. Essa interseção é indutiva: como cada conjunto indutivo contém \(1\), também \(1\in \mathbb {N}\); e, se \(x\in \mathbb {N}\), então \(x\) pertence a todo conjunto indutivo, logo \(x+1\) pertence a cada um deles e, portanto, a \(\mathbb {N}\). Como todos os elementos de \(\mathbb {N}\) pertencem a qualquer conjunto indutivo, chamamos \(\mathbb {N}\) de o menor conjunto indutivo. Essa característica de \(\mathbb {N}\) fundamenta logicamente um tipo de raciocínio conhecido como demonstração por indução.
Os opostos dos números naturais são chamados de inteiros negativos. Os números naturais, juntamente com os inteiros negativos e o zero, formam o conjunto \(\mathbb {Z}\), que é simplesmente denominado conjunto dos números inteiros.
Primeiro, \(\mathbb {N}\) é fechado por soma. Fixado \(m\in \mathbb {N}\), temos \(m+1\in \mathbb {N}\); se \(m+n\in \mathbb {N}\), então
A indução fornece \(m+n\in \mathbb {N}\) para todo \(n\in \mathbb {N}\). Do mesmo modo, usando a distributividade e o fechamento pela soma,
e portanto \(\mathbb {N}\) é fechado por produto. Como todo inteiro é natural, zero ou oposto de um natural, as propriedades para soma, diferença e produto em \(\mathbb {Z}\) seguem separando os sinais.
O quociente de dois inteiros, em contraste, não precisa ser inteiro: por exemplo, \(1/2\notin \mathbb {Z}\). Essa falha de fechamento conduz naturalmente aos números racionais.
O quociente de inteiros \(a / b\) (com \(b \neq 0\) ) define os números racionais. O conjunto dos números racionais, representado por \(\mathbb {Q}\), contém \(\mathbb {Z}\) como subconjunto.
Pode-se verificar que \(\mathbb {Q}\) verifica todos os axiomas de corpo e de ordem. Por essa razão dizemos que o conjunto dos números racionais é um corpo ordenado. Os números reais que não pertencem a \(\mathbb {Q}\) são chamados de irracionais.
1.5 Indução matemática
A indução matemática é um método de demonstração usado para provar afirmações parametrizadas pelos números naturais. Sua forma básica consiste em verificar um caso inicial e, em seguida, provar que a validade da afirmação em um natural \(k\) implica sua validade no natural seguinte \(k+1\).
Estrutura da prova por indução matemática
Para provar que uma propriedade \(P(n)\) vale para todo \(n\geq n_0\), procede-se em dois passos:
Caso inicial: prova-se que \(P(n_0)\) é verdadeira.
Passo indutivo: assumindo que \(P(k)\) é verdadeira para algum \(k\geq n_0\), prova-se que \(P(k+1)\) também é verdadeira.
A justificativa lógica deste método de demonstração é dada pelo seguinte teorema sobre números inteiros:
O número 1 pertence ao conjunto \(S\).
Se o número \(k\) pertence a \(S\), então \(k+1\) também pertence a \(S\).
Ao demonstrarmos que uma afirmação \(P(n)\) é verdadeira para todo \(n \geq 1\) por indução matemática, estamos aplicando o Teorema 1.29 ao conjunto \(S\) de todos os inteiros para os quais a afirmação é verdadeira. Se queremos provar que \(a(n)\) é verdadeira apenas para \(n \geq n_1\), aplicamos o Teorema 1.29 ao conjunto dos números \(n\) para os quais \(a(n+n_1-1)\) é verdadeira.
Mostremos, por indução, que \(2^n\geq 1+n\) para todo \(n\in \mathbb {N}\).
Para \(n=1\), a desigualdade é \(2\geq 2\), portanto é verdadeira. Suponha agora que \(2^k\geq 1+k\) para algum \(k\in \mathbb {N}\). Então
Pelo princípio da indução, a desigualdade vale para todo \(n\in \mathbb {N}\).
Faremos indução no número de elementos. Se o conjunto possui um único elemento, esse elemento é seu máximo.
Suponha que todo conjunto com \(k\) elementos possua máximo, e seja \(Y\) um conjunto com \(k+1\) elementos. Escolha \(y_0\in Y\) e considere \(Y'=Y\setminus \{ y_0\} \). Pela hipótese de indução, \(Y'\) possui máximo, digamos \(m\). Se \(y_0\leq m\), então \(m\) é o máximo de \(Y\). Se \(y_0\gt m\), então \(y_0\) é o máximo de \(Y\). Logo todo conjunto com \(k+1\) elementos possui máximo, e o resultado segue por indução.
Provaremos a contrapositiva: se \(T\subseteq \mathbb {N}\) não possui menor elemento, então \(T=\varnothing \).
Considere o conjunto \(S=\mathbb {N}\setminus T\). Mostraremos, por indução, que \(S=\mathbb {N}\).
Como \(T\) não possui menor elemento, necessariamente \(1\notin T\). Logo, \(1\in S\).
Para usar apenas a indução já estabelecida, considere
Temos \(1\in U\). Se \(n\in U\) e \(n+1\in T\), então \(n+1\) seria o menor elemento de \(T\), contradição; logo \(n+1\in U\). Assim, pelo princípio da indução, \(U=\mathbb {N}\). Portanto, nenhum natural pertence a \(T\), isto é, \(S=\mathbb {N}\) e \(T=\varnothing \).
1.6 Funções definidas recursivamente
A indução matemática também fundamenta definições recursivas. Nesse procedimento, fixa-se um valor inicial e, a partir dele, define-se cada termo seguinte em função dos termos anteriores. Funções definidas em \(\mathbb {N}\) dessa forma são exemplos fundamentais de sequências.
Começamos com a sequência definida por
Os primeiros termos são
e, em geral, \(a_n\) é obtido por \(n\) radicais encaixados. Esse exemplo ilustra uma definição recursiva simples, na qual cada termo é obtido a partir do anterior.
Sequência de Fibonacci
A sequência de Fibonacci é definida recursivamente por
Seus primeiros termos são
Historicamente, essa sequência aparece no Liber Abaci, de Fibonacci, em um modelo idealizado de crescimento de uma população de coelhos: cada casal fértil gera mensalmente um novo casal, e cada casal novo torna-se fértil após dois meses.
Fatorial
A função fatorial é definida, para \(n\in \mathbb {N}\), pela regra informal
Recursivamente, isso corresponde às condições \(1!=1\) e \(n!=n(n-1)!\), para \(n\gt 1\).
A existência e a unicidade das funções definidas a seguir decorrem do Princípio da Recursão, enunciado e demonstrado logo adiante.
Somatório
A notação de somatório permite escrever de forma compacta somas finitas. Por exemplo,
pode ser escrita como
De modo geral, se \(a_1,\ldots ,a_n\) são números reais, escrevemos
para \(i\) variando de \(1\) até \(n\).
De modo análogo ao fatorial, o somatório pode ser definido recursivamente.
Princípio da Recursão
As construções anteriores são justificadas pelo Teorema da Recursão, que nos assegura a existência de funções definidas recursivamente.
\(f(1)=a\);
\(f(n+1)=g(n,f(n))\) para todo \(n\in \mathbb {N}\).
A unicidade segue diretamente por indução. De fato, se \(f\) e \(h\) satisfazem as duas condições, então \(f(1)=a=h(1)\). Supondo \(f(n)=h(n)\), obtemos
Logo \(f(n)=h(n)\) para todo \(n\in \mathbb {N}\).
Para a existência, consideramos, para cada \(n\in \mathbb {N}\), uma função finita
satisfazendo \(f_n(1)=a\) e \(f_n(k+1)=g(k,f_n(k))\), sempre que \(1\leq k\lt n\). A existência de tais funções finitas é obtida por indução: para \(n=1\), basta tomar \(f_1(1)=a\); se \(f_n\) está construída, definimos \(f_{n+1}\) estendendo \(f_n\) e pondo
A unicidade finita, também por indução, mostra que essas funções são compatíveis: se \(m\geq n\), então \(f_m\) restrita a \(\{ 1,\ldots ,n\} \) coincide com \(f_n\). Assim, podemos definir \(f(n)=f_n(n)\). A compatibilidade garante que essa definição é independente da etapa finita usada, e a função \(f:\mathbb {N}\to A\) assim obtida satisfaz as duas condições desejadas.
Vamos usar o princípio da recursão para justificar a existência da função fatorial. Tomamos \(A=\mathbb {N}\), \(a=1\) e definimos
Então existe uma única função \(f:\mathbb {N}\to \mathbb {N}\) tal que
para todo \(n\in \mathbb {N}\). Essa função é precisamente a função fatorial.
\(\sum \limits _{{k}={1}}^{n} (a_k+b_k)=\sum \limits _{{k}={1}}^{n} a_k +\sum \limits _{{k}={1}}^{n} b_k \) \(\sum \limits _{{k}={1}}^{n} (c a_k)=c\sum \limits _{{k}={1}}^{n} a_k \) \(\sum \limits _{{k}={1}}^{n} (b_k-b_{k+1})=b_1-b_{n+1}\) (propriedade telescópica) Prove por indução a seguinte generalização da desigualdade triangular \(\prod \limits _{k=1}^{1}a_k=a_1\). \(\prod \limits _{k=1}^{n}a_k=a_n \cdot \prod \limits _{k=1}^{n-1}a_k\) para todo \(n\) maior que 1. \(\prod \limits _{{k}={1}}^{n} (a_k \cdot b_k)=\left( \prod \limits _{{k}={1}}^{n} a_k \right) \cdot \left( \prod \limits _{{k}={1}}^{n} b_k\right) \) \(\prod \limits _{{k}={1}}^{n} (c a_k)=c^n \prod \limits _{{k}={1}}^{n} a_k \) Se \(a_k\neq 0\) para \(1\leq k\leq n+1\), prove que \(\displaystyle \prod \limits _{{k}={1}}^{n}\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{a_{n+1}}{a_1}\).
Prove por indução as seguintes propriedades do produtório
Prove que \(1 + r + r^2 + \cdots + r^n = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}\) para todo \(n \in \mathbb {N}\), quando \(r \neq 1\).
1.7 Axioma de completude
Os axiomas de corpo ordenado ainda não caracterizam os reais. Eles também são satisfeitos por \(\mathbb {Q}\), embora \(\mathbb {Q}\) tenha lacunas. O princípio que separa \(\mathbb {R}\) de \(\mathbb {Q}\) é a completude.
A necessidade da completude aparece já em problemas elementares. Por exemplo, a equação \(x^2=2\) não possui solução racional, embora seja natural esperar uma solução real positiva. Assim, os axiomas de corpo ordenado não bastam para garantir a existência de todos os números exigidos pela análise.
A ausência de \(\sqrt2\) em \(\mathbb {Q}\) é o exemplo elementar dessa lacuna.
Suponha, por absurdo, que exista \(q\in \mathbb {Q}\) tal que \(q^2=2\). Escreva \(q=n/m\), com \(n,m\in \mathbb {Z}\), \(m\neq 0\), e \(n\) e \(m\) primos entre si. Então \(n^2=2m^2\). Logo \(n^2\) é par e, portanto, \(n\) é par; escreva \(n=2k\). Substituindo, obtemos \(4k^2=2m^2\), isto é, \(m^2=2k^2\). Assim, \(m\) também é par. Portanto, \(2\) divide simultaneamente \(n\) e \(m\), contradizendo a escolha da fração em termos primos entre si. Logo não existe tal racional.
Assim, mesmo uma equação simples como \(x^2=2\) força a passagem para além dos racionais. O axioma de completude formaliza essa passagem.
1.7.1 Supremos e ínfimos
Antes de enunciar o axioma de completude, convém introduzir a linguagem de cotas, supremos e ínfimos.
Seja \(A\subset \mathbb {K}\) um subconjunto não vazio. Dizemos que \(A\) é limitado superiormente se existe \(M\in \mathbb {K}\) tal que \(x\leq M\) para todo \(x\in A\). Nesse caso, \(M\) é chamado de majorante ou cota superior de \(A\).
De modo análogo, dizemos que \(A\) é limitado inferiormente se existe \(m\in \mathbb {K}\) tal que \(m\leq x\) para todo \(x\in A\). Nesse caso, \(m\) é chamado de minorante ou cota inferior de \(A\).
O conjunto \(A\) é limitado inferiormente, mas não superiormente. Qualquer número não positivo é uma cota inferior de \(A\).
O conjunto \(B\) não é limitado superiormente nem inferiormente.
O conjunto \(C\) é limitado inferiormente e superiormente. Todo número menor ou igual a \(1\) é uma cota inferior de \(C\), e todo número maior ou igual a \(3\) é uma cota superior de \(C\).
\(x\leq s\) para todo \(x\in A\);
se \(M\) é uma cota superior de \(A\), então \(s\leq M\).
\(r\leq x\) para todo \(x\in A\);
se \(m\) é uma cota inferior de \(A\), então \(m\leq r\).
Sejam \(s_1\) e \(s_2\) dois supremos de \(A\). Como \(s_2\) é cota superior de \(A\) e \(s_1\) é a menor das cotas superiores, temos \(s_1\leq s_2\). Analogamente, \(s_2\leq s_1\). Logo \(s_1=s_2\). A demonstração para o ínfimo é análoga.
O teorema anterior justifica a notação \(\sup A\) para o supremo de \(A\) e \(\inf A\) para o ínfimo de \(A\).
Nos exemplos acima, temos \(\inf A=1\), \(\inf C=1\) e \(\sup C=3\). O conjunto \(A=\mathbb {N}\) não possui supremo, e \(B=\mathbb {Z}\) não possui nem supremo nem ínfimo. Assim, há casos em que o supremo ou o ínfimo não existe. O axioma de completude afirma que, nos reais, isso só ocorre quando falta uma limitação adequada.
Se \(X\subset \mathbb {K}\) possui máximo, então esse máximo é o supremo de \(X\). Reciprocamente, se \(\sup X\) pertence a \(X\), então \(\sup X=\max X\). De modo análogo, se \(X\) possui mínimo, então esse mínimo é \(\inf X\), e, se \(\inf X\in X\), então \(\inf X=\min X\).
Por exemplo, se \(X=(-\infty ,b]\), então \(\sup X=b\); se \(Y=[a,+\infty )\), então \(\inf Y=a\).
Axioma de completude.
Todo subconjunto de \(\mathbb {K}\), não vazio e limitado superiormente, possui supremo.
Embora o axioma seja formulado em termos de supremo, ele é equivalente à seguinte propriedade:
Todo subconjunto de \(\mathbb {K}\), não vazio e limitado inferiormente, possui ínfimo.
De fato, suponha a propriedade do supremo e seja \(A\neq \varnothing \) limitado inferiormente. Então \(-A=\{ -a:a\in A\} \) é não vazio e limitado superiormente. Se \(s=\sup (-A)\), então \(-s\) é cota inferior de \(A\); e toda cota inferior \(m\) de \(A\) satisfaz \(-m\geq s\), logo \(m\leq -s\). Portanto, \(-s=\inf A\). A recíproca segue aplicando o mesmo argumento a \(-A\).
Um corpo que satisfaz os axiomas de corpo, os axiomas de ordem e o axioma de completude é chamado de corpo ordenado completo.
Dessa forma, os axiomas anteriores caracterizam os números reais a menos de isomorfismo de corpos ordenados. A existência e a unicidade nesse sentido serão demonstradas no Teorema 3.26, no Capítulo 3.
A partir deste ponto, passamos a extrair as primeiras consequências do axioma de completude. A mais imediata delas é a propriedade arquimediana, que será deduzida na próxima seção a partir da existência de supremos.
1.8 Propriedade arquimediana
A primeira consequência decisiva do axioma do supremo é a propriedade arquimediana. Ela expressa que, em \(\mathbb {R}\), não existem elementos infinitamente grandes nem infinitesimais não nulos.
Suponha, por absurdo, que \(\mathbb {N}\) seja limitado superiormente. Pelo axioma de completude, existe \(b=\sup \mathbb {N}\). Como \(b-1\lt b\), o número \(b-1\) não é cota superior de \(\mathbb {N}\). Logo existe \(n\in \mathbb {N}\) tal que \(n\gt b-1\). Então \(n+1\gt b\), contradizendo o fato de que \(b\) é cota superior de \(\mathbb {N}\).
Caso contrário, \(x\) seria uma cota superior de \(\mathbb {N}\), contradizendo o Teorema 1.46.
Basta aplicar o Teorema 1.47 ao número \(y/x\).
O Teorema 1.48 mostra que \(\mathbb {R}\) é arquimediano. Geometricamente, isso significa que qualquer segmento, por maior que seja, pode ser ultrapassado por um número finito de cópias de um segmento positivo fixado.
Pela propriedade arquimediana, escolha \(N\in \mathbb {N}\) com \(N\gt |x|+1\). O conjunto finito
é não vazio, pois \(-N\lt x\), e possui máximo; chame-o de \(m\). Então \(m\le x\). Se \(x\ge m+1\), o inteiro \(m+1\) também pertenceria a \(E\), contradizendo a maximalidade de \(m\). Logo \(x\lt m+1\).
Se \(m'\) também satisfaz \(m'\le x\lt m'+1\), então \(m\lt m'\) implicaria \(m+1\le m'\le x\), contradição; trocando os papéis de \(m\) e \(m'\), obtemos \(m=m'\).
Se \(x\gt a\), então \(x-a\gt 0\). Pela propriedade arquimediana, existe \(n\in \mathbb {N}\) tal que \(n(x-a)\gt y\), isto é, \(x\gt a+y/n\), contradizendo a hipótese. Logo \(x\leq a\). Como também \(a\leq x\), concluímos que \(x=a\).
Mais adiante, provaremos que existe apenas um corpo ordenado completo, no sentido de que quaisquer dois corpos ordenados completos são isomorfos entre si. 1
Prove que, num corpo ordenado \(\mathbb {K}\), as seguintes afirmações são equivalentes: \(\mathbb {K}\) é arquimediano; \(\mathbb {Z}\) é ilimitado superior e inferiormente; \(\mathbb {Q}\) é ilimitado superior e inferiormente.
Existência da raiz quadrada
Pela apresentação que demos ao axioma de completude, ficou claro que tal axioma não seria satisfeito pelo conjunto \(\mathbb {Q}\). Mostremos que de fato isso ocorre. Considere o seguinte conjunto:
Note que \(A\neq \varnothing \) e é limitado superiormente em \(\mathbb {Q}\): por exemplo, \(0\in A\) e \(3\) é uma cota superior de \(A\). Se o axioma de completude fosse válido em \(\mathbb {Q}\), existiria \(p\in \mathbb {Q}\) tal que \(p=\sup A\). Se mostrássemos que esse \(p\) satisfaz \(p^2=2\), obteríamos uma contradição com a Proposição 1.39. Portanto, \(A\) não possui supremo em \(\mathbb {Q}\).
Mostraremos, na verdade, uma propriedade mais geral, da qual poderemos concluir a afirmação acima. Referimo-nos à existência da raiz quadrada de um número real positivo:
Considere
Como \(b\gt 0\), o número \(t=b/(b+1)\) satisfaz \(0\lt t\lt 1\) e \(t\lt b\). Logo \(t^2\lt t\lt b\), de modo que \(t\in A\). Além disso, \(b+1\) é cota superior de \(A\): se \(x\ge 0\) e \(x\gt b+1\), então \(x^2\gt x\gt b\), logo \(x\notin A\). Pela completude, existe
e \(a\ge t\gt 0\).
Mostremos que \(a^2=b\). Suponha primeiro que \(a^2\lt b\). Escolha \(n\in \mathbb {N}\) suficientemente grande para que
Então, com \(c=a+1/n\), temos
Logo \(c\in A\), mas \(c\gt a\), contrariando o fato de \(a\) ser cota superior de \(A\).
Suponha agora que \(a^2\gt b\). Escolha \(n\in \mathbb {N}\) tão grande que \(1/n\lt a\) e
Pondo \(c=a-1/n\), temos \(c\gt 0\) e
Como \(c\lt a=\sup A\), o número \(c\) não é cota superior de \(A\); portanto, diretamente pela definição de supremo, existe \(x\in A\) tal que \(c\lt x\leq a\). Em particular, \(x\gt c\gt 0\). Da desigualdade \(x\gt c\) e da positividade de ambos, obtemos \(x^2\gt c^2\gt b\), contradizendo \(x\in A\). Portanto, não pode ocorrer \(a^2\gt b\).
Concluímos que \(a^2=b\). A unicidade segue da ordem: se \(u,v\gt 0\) e \(u^2=v^2=b\), então, caso \(u\lt v\), teríamos \(u^2\lt v^2\), contradição; analogamente, não pode ocorrer \(v\lt u\). Logo \(u=v\).
Definimos também \(\sqrt0=0\). Assim, para todo \(b\geq 0\), \(\sqrt b\) denota o único número não negativo cujo quadrado é \(b\).
Voltando à questão formulada antes da Proposição 1.52, conclui-se que, se \(p\in \mathbb {Q}\) fosse o supremo de \(A\) em \(\mathbb {Q}\), então teríamos \(p^2=2\). Isso contradiz a Proposição 1.39. Assim, o conjunto dos racionais não satisfaz o axioma de completude.
1.9 Propriedades do supremo e do ínfimo
Se \(A\) possui supremo, então, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(x\in A\) tal que
\[ x\gt \sup A-\varepsilon . \]Se \(A\) possui ínfimo, então, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(x\in A\) tal que
\[ x\lt \inf A+\varepsilon . \]
Provemos o primeiro item. Se \(x\leq \sup A-\varepsilon \) para todo \(x\in A\), então \(\sup A-\varepsilon \) seria uma cota superior de \(A\) menor que \(\sup A\), contradição. Logo existe \(x\in A\) tal que \(x\gt \sup A-\varepsilon \). A demonstração do segundo item é análoga.
Se \(A\) e \(B\) possuem supremo, então \(A+B\) possui supremo e
\[ \sup (A+B)=\sup A+\sup B. \]Se \(A\) e \(B\) possuem ínfimo, então \(A+B\) possui ínfimo e
\[ \inf (A+B)=\inf A+\inf B. \]
Provemos o item 1. Seja \(C=A+B\). Se \(z\in C\), então \(z=x+y\), com \(x\in A\) e \(y\in B\). Assim \(z\leq \sup A+\sup B\), de modo que \(\sup A+\sup B\) é cota superior de \(C\). Logo \(\sup C\leq \sup A+\sup B\).
Para a desigualdade oposta, tome \(n\in \mathbb {N}\). Pelo Teorema 1.53, existem \(x_n\in A\) e \(y_n\in B\) tais que
Então \(x_n+y_n\gt \sup A+\sup B-2/n\). Como \(x_n+y_n\in C\), segue que
para todo \(n\in \mathbb {N}\). Pelo Teorema 1.51, concluímos que \(\sup C=\sup A+\sup B\). A prova para ínfimos é análoga.
Cada elemento de \(B\) é uma cota superior de \(A\). Logo \(A\) é limitado superiormente e possui supremo. Além disso, \(\sup A\leq y\) para todo \(y\in B\); portanto, \(\sup A\) é uma cota inferior de \(B\). Assim, \(B\) possui ínfimo e \(\sup A\leq \inf B\).
\(\inf (-X)=-\sup X\).
Se \(Y\subseteq X\), então \(\sup Y\leq \sup X\) e \(\inf Y\geq \inf X\).
O conjunto \(X\cap Y\) é limitado. Se \(X\cap Y\neq \varnothing \), então
\[ \sup (X\cap Y)\leq \min \{ \sup X,\sup Y\} \]e
\[ \inf (X\cap Y)\geq \max \{ \inf X,\inf Y\} . \]O conjunto \(X\cup Y\) é limitado, com
\[ \sup (X\cup Y)=\max \{ \sup X,\sup Y\} , \qquad \inf (X\cup Y)=\min \{ \inf X,\inf Y\} . \]Se \(\lambda \gt 0\), então
\[ \sup (\lambda X)=\lambda \sup X, \qquad \inf (\lambda X)=\lambda \inf X. \]Se \(\lambda \lt 0\), então
\[ \sup (\lambda X)=\lambda \inf X, \qquad \inf (\lambda X)=\lambda \sup X. \]O conjunto \(X+Y\) é limitado e
\[ \sup (X+Y)=\sup X+\sup Y, \qquad \inf (X+Y)=\inf X+\inf Y. \]Se todos os elementos de \(X\) e \(Y\) são não negativos, então \(XY=\{ xy:x\in X,\ y\in Y\} \) é limitado e
\[ \sup (XY)=\sup X\sup Y, \qquad \inf (XY)=\inf X\inf Y. \]Se \(\inf X\gt 0\), então
\[ \frac1X=\left\{ \frac1x:x\in X\right\} \]é limitado, com
\[ \sup \left(\frac1X\right)=\frac1{\inf X}, \qquad \inf \left(\frac1X\right)=\frac1{\sup X}. \]
Provaremos alguns itens representativos; os demais seguem de modo semelhante.
Se \(Y\subseteq X\), toda cota superior de \(X\) é também cota superior de \(Y\). Assim, \(\sup Y\leq \sup X\). Analogamente, toda cota inferior de \(X\) é também cota inferior de \(Y\), e portanto \(\inf Y\geq \inf X\).
Se \(X\cap Y\neq \varnothing \), então \(X\cap Y\subseteq X\) e \(X\cap Y\subseteq Y\). Aplicando o item anterior, obtemos
e portanto \(\sup (X\cap Y)\leq \min \{ \sup X,\sup Y\} \). A desigualdade para o ínfimo é análoga.
Por fim, suponha que \(\inf X\gt 0\). Para todo \(x\in X\), temos \(x\geq \inf X\gt 0\), logo
Portanto \(1/X\) é limitado superiormente. A igualdade para o supremo segue da caracterização aproximativa do ínfimo: para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(x\in X\) suficientemente próximo de \(\inf X\) de modo que \(1/x\) fica arbitrariamente próximo de \(1/\inf X\). A igualdade para o ínfimo é análoga.
Seja \(X=\{ 1/n:n\in \mathbb {N}\} \). Prove que \(\inf X=0\). Se \(x\lt y\), prove que existe pelo menos um número real \(z\) tal que \(x\lt z\lt y\). Se \(x\in \mathbb {R}\), prove que existem inteiros \(m\) e \(n\) tais que \(m\lt x\lt n\). Se \(x\gt 0\), prove que existe \(n\in \mathbb {N}\) tal que \(1/n\lt x\). Sejam \(X\subset \mathbb {R}\) não vazio, limitado superiormente, e \(c\in \mathbb {R}\). Prove que \(c\leq \sup X\) se, e somente se, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(x\in X\) tal que \(c-\varepsilon \lt x\). Enuncie e demonstre o resultado análogo para o ínfimo. Seja \(I=[0,1)\). Prove que \(\sup I=1\). Sejam \(A\subset B\) conjuntos não vazios e limitados de números reais. Prove que Dado \(A\subset \mathbb {R}\) não vazio e limitado inferiormente, seja \(-A=\{ -x:x\in A\} \). Prove que \(-A\) é limitado superiormente e que \(\sup (-A)=-\inf A\). Seja \(A\subset \mathbb {R}\) não vazio e limitado. Dado \(c\gt 0\), seja \(cA=\{ cx:x\in A\} \). Prove que \(cA\) é limitado e que Enuncie e demonstre o que ocorre quando \(c\lt 0\). Prove que a soma de duas funções limitadas \(f,g:X\to \mathbb {R}\) é limitada. Mostre que \((f+g)(X)\subset f(X)+g(X)\). Conclua que \(\sup (f+g)\leq \sup f+\sup g\) e que \(\inf (f+g)\geq \inf f+\inf g\). Considerando \(f,g:[-1,1]\to \mathbb {R}\), definidas por \(f(x)=x\) e \(g(x)=-x\), mostre que as desigualdades anteriores podem ser estritas.
1.10 Valor absoluto de um número real
O valor absoluto mede a distância de um número real à origem. Formalmente, temos a seguinte definição.
Essa definição exige atenção ao sinal da quantidade que aparece dentro do módulo. Por exemplo, \(|x|=x\) apenas quando \(x\geq 0\), enquanto \(|x|=-x\) quando \(x\lt 0\).
\(|x| \geq 0\)
\(|x| = \sqrt{x^{2}}\)
\(|x|=0 \Leftrightarrow x=0\)
\(|-x|=|x|\)
\(-|x| \leq x \leq |x|\)
\(|xy|=|x|\, |y|\)
Se \( a \geq 0 \), então
\( |x| \leq a \) se e somente se \( -a \leq x \leq a \);
\(|x| \geq a \) se e somente se \(x \leq -a \text{ ou } x \geq a\).
Para o primeiro item, suponha inicialmente que \(|x|\leq a\). Como sempre vale \(-|x|\leq x\leq |x|\), obtemos \(-a\leq x\leq a\). Reciprocamente, se \(-a\leq x\leq a\), então, quando \(x\geq 0\), temos \(|x|=x\leq a\); quando \(x\lt 0\), temos \(|x|=-x\leq a\). Logo \(|x|\leq a\).
Para o segundo item, se \(|x|\geq a\), então, caso \(x\geq 0\), temos \(x=|x|\geq a\); caso \(x\lt 0\), temos \(-x=|x|\geq a\), isto é, \(x\leq -a\). A recíproca é imediata: se \(x\geq a\) ou \(x\leq -a\), então \(|x|\geq a\).
Somando as desigualdades \(-|x| \leq x \leq |x|\) e \(-|y| \leq y \leq |y|\) obtemos
e pelo Teorema 1.60, concluímos que \(|x+y| \leq |x|+|y|\). Se fizermos \(x=a-c\) e \(y=c-b\), então \(x+y=a-b\) e a desigualdade triangular segue:
Por indução matemática, podemos generalizar a desigualdade triangular do modo seguinte:
Para \(n=1\), a desigualdade é imediata. Para \(n=2\), ela é a desigualdade triangular. Suponha que o resultado seja verdadeiro para \(n\) termos. Então, para \(a_1,\ldots ,a_n,a_{n+1}\in \mathbb {R}\), temos
Logo,
O resultado segue por indução.
\(\left\lvert -x\right\rvert =\left\lvert x\right\rvert \) \(\left\lvert x-y\right\rvert =\left\lvert y-x\right\rvert \) \(\left\lvert x\right\rvert =c \Leftrightarrow x=\pm c\) \(\left\lvert x\cdot y\right\rvert =\left\lvert x\right\rvert \left\lvert y\right\rvert \) \(\left\lvert x^2\right\rvert =x^2\) Se \(c\geq 0\) então \(\left\lvert x\right\rvert \lt c \Leftrightarrow -c\lt x\lt c\) \(-\left\lvert x\right\rvert \leq x \leq \left\lvert x\right\rvert \) \(|x+y| \leq |x| + |y|\) (Desigualdade Triangular) \(\left| |x|-|y| \right| \leq |x-y|\) (Não existência de Infinitesimais) Mostre que se \(\left\lvert x-a\right\rvert \lt \varepsilon \) para todo \(\varepsilon \) então \(x=a\).
1.11 Introdução à topologia da reta
A ordem e o valor absoluto permitem agora descrever a topologia usual da reta: intervalos, vizinhanças, conjuntos abertos e fechados, fronteira, pontos de acumulação e fecho. Essa linguagem será usada no estudo de sequências e de funções reais de uma variável. 2
A topologia usual da reta é descrita a partir da distância entre dois números reais \(x\) e \(y\), dada por
Vista na reta real, essa distância corresponde ao comprimento do segmento cujos extremos têm abscissas \(x\) e \(y\).
Dados \(a\lt b\), os intervalos de extremos \(a\) e \(b\) são:
\((a,b)=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, a \lt x \lt b\} \) (intervalo aberto)
\([a,b]=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, a \leq x \leq b\} \) (intervalo fechado)
\([a,b)=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, a \leq x \lt b\} \)
\((a,b]=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, a \lt x \leq b\} \)
![(a) Intervalo aberto (a, b) (b) Intervalo fechado [a, b] Figura 1.3 Representação geométrica de intervalos na reta real.](figures/inl-c02-tikz-005.svg)
![(a) Intervalo aberto (a, b) (b) Intervalo fechado [a, b] Figura 1.3 Representação geométrica de intervalos na reta real.](figures/inl-c02-tikz-006.svg)
A medida de um intervalo de extremos \(a\) e \(b\) é \(|a-b|\), isto é, o comprimento do segmento correspondente na reta real.
Sobre notação. Alguns textos escrevem \(]a,b[\) para o intervalo que aqui denotamos por \((a,b)\). Adotaremos apenas a notação com parênteses.
Usaremos também a notação de intervalo para semi-retas. Dado \(a\in \mathbb {R}\), escrevemos
\((a,+\infty ):=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, x \gt a\} \)
\([a,+\infty ):=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, x \geq a\} \)
\((-\infty , a):=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, x \lt a\} \)
\((-\infty , a]:=\{ x \in \mathbb {R}\, |\, x \leq a\} \)
Não se usa colchete no extremo infinito, pois nem \(-\infty \) nem \(+\infty \) são números reais. Por simplicidade, também chamaremos essas semi-retas de intervalos.
Uma notação particularmente útil é a de intervalo centrado. Dado \(a\in \mathbb {R}\) e \(\varepsilon \gt 0\), definimos a vizinhança básica de centro \(a\) e raio \(\varepsilon \) por
Temos \(x\in V_\varepsilon (a)\) se, e somente se, \(|x-a|\lt \varepsilon \). Em geral, chamaremos \(V\subseteq \mathbb {R}\) de vizinhança de \(a\) se existir \(\varepsilon \gt 0\) tal que \(V_\varepsilon (a)\subseteq V\). Desse modo, os intervalos \(V_\varepsilon (a)\) são as vizinhanças básicas, em acordo com a definição usada depois em espaços métricos.
Dado \(S\subset \mathbb {R}\), as noções de ponto interior e ponto de fronteira tornam precisa a distinção entre estar dentro de \(S\), estar fora de \(S\) ou estar na região em que \(S\) e seu complementar se acumulam.
Seja \(S\) um subconjunto de \(\mathbb {R}\).
Um ponto \(x\in \mathbb {R}\) é um ponto interior de \(S\) se existir uma vizinhança \(V\) de \(x\) tal que \(V \subseteq S\).
Se para toda vizinhança \(V\) de \(x\), temos que \(V \cap S \neq \varnothing \) e \(V \cap (\mathbb {R}\setminus S) \neq \varnothing \), então \(x\) é chamado de ponto de fronteira de \(S\).
O conjunto de todos os pontos interiores de \(S\) é denotado por \(\operatorname {int}S\), e o conjunto de todos os pontos de fronteira de \(S\) é denotado por \(\operatorname {fr}S\).
\(\operatorname {fr}S = \operatorname {fr}(S^c)\).
Para todo ponto \(x \in \mathbb {R}\) temos que \(x\) pertence a um e somente um dos seguintes conjuntos: \( \operatorname {int}S\), \( \operatorname {fr}S\) ou \( \operatorname {int}(S^c)\).
A condição que define um ponto de fronteira é simétrica em \(S\) e \(S^c\), pois \((S^c)^c=S\); logo \(\operatorname {fr}S=\operatorname {fr}(S^c)\).
Fixe \(x\in \mathbb {R}\). Se alguma vizinhança de \(x\) está contida em \(S\), então \(x\in \operatorname {int}S\). Se alguma está contida em \(S^c\), então \(x\in \operatorname {int}(S^c)\). Se nenhuma dessas alternativas ocorre, toda vizinhança de \(x\) encontra \(S\) e \(S^c\), e portanto \(x\in \operatorname {fr}S\). As três possibilidades são mutuamente exclusivas.
Com essa linguagem, podemos definir conjuntos abertos e fechados. Seja \(A\subset \mathbb {R}\). Dizemos que \(A\) é aberto quando todo ponto \(x\in A\) é centro de um intervalo contido em \(A\). Equivalentemente, pontos suficientemente próximos de um ponto de \(A\) ainda pertencem a \(A\).
Por outro lado, um conjunto \(B\subset \mathbb {R}\) é fechado quando seu complementar em \(\mathbb {R}\) é aberto.
As seguintes caracterizações relacionam abertura, fechamento e fronteira:
Se \(\operatorname {fr}S \subseteq S\), então \(S\) é fechado.
Se \(\operatorname {fr}S \subseteq \mathbb {R}\setminus S\), então \(S\) é aberto.
Se \(\operatorname {fr}S\subseteq S\), nenhum ponto de \(S^c\) pertence à fronteira. Pela decomposição anterior, todo ponto de \(S^c\) pertence a \(\operatorname {int}(S^c)\); logo \(S^c\) é aberto e \(S\) é fechado.
Se \(\operatorname {fr}S\subseteq S^c\), nenhum ponto de \(S\) pertence à fronteira. Novamente pela decomposição anterior, todo ponto de \(S\) pertence a \(\operatorname {int}S\), e portanto \(S\) é aberto.
A união de qualquer coleção de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
A interseção de qualquer coleção finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
Demonstração de 1. Seja \(\mathcal{A}\) uma coleção arbitrária de conjuntos abertos e seja \(S=\bigcup \{ U:U\in \mathcal{A}\} \). Se \(x\in S\), então \(x\in U\) para algum \(U\in \mathcal{A}\). Como \(U\) é aberto, existe uma vizinhança \(V\) de \(x\) tal que \(V\subseteq U\). Como \(U\subseteq S\), temos \(V\subseteq S\). Logo, \(x\) é ponto interior de \(S\), e portanto \(S\) é aberto.
Demonstração de 2. Sejam \(U_1,\ldots ,U_n\) conjuntos abertos e seja \(T=\bigcap _{i=1}^n U_i\). Se \(T=\varnothing \), nada há a provar. Caso contrário, tome \(x\in T\). Para cada \(i\), como \(U_i\) é aberto, existe \(\varepsilon _i\gt 0\) tal que \(V_{\varepsilon _i}(x)\subseteq U_i\). Tomando \(\varepsilon =\min \{ \varepsilon _1,\ldots ,\varepsilon _n\} \), temos \(V_\varepsilon (x)\subseteq T\). Logo \(T\) é aberto.
Qualquer intervalo aberto \((a,b)\) é um conjunto aberto. De fato, dado qualquer \(x \in (a,b)\), tomando \(r\) como sendo a menor das distâncias \(|x-a|\) e \(|x-b|\), resulta que \((x-r,x+r) \subset (a,b)\).
Qualquer intervalo do tipo \((-\infty , a)\) ou \((a, +\infty )\) é aberto. De fato, dado qualquer \(x\) em uma dessas semi-retas, tomando \(r=|x-a|\), resulta que \((x-r,x+r)\) está contido na semi-reta considerada.
Qualquer intervalo fechado \([a,b]\) é um conjunto fechado. De fato, seu complementar é \((-\infty ,a) \cup (b,+\infty )\), que é aberto (pois é união de dois conjuntos abertos).
Qualquer intervalo do tipo \((-\infty , a]\) ou \([a, +\infty )\) é fechado, pois seus complementares são semi-retas abertas.
O conjunto \(\mathbb {R}\) é aberto.
O conjunto \(\mathbb {R}\setminus \mathbb {Z}\) é aberto, pois \(\mathbb {R}\setminus \mathbb {Z}=\bigcup _{m\in \mathbb {Z}}(m,m+1)\).
O conjunto dos números inteiros \(\mathbb {Z}\) é fechado pois seu complementar é aberto.
Um intervalo do tipo \([a,b)\) não é nem aberto, nem fechado. De fato, nenhum intervalo centrado em \(a\) está contido em \([a,b)\) (descartando que este seja aberto) e nenhum intervalo centrado em \(b\) está contido no complementar de \([a,b)\) (descartando que \([a,b)\) seja fechado).
De modo análogo, um intervalo do tipo \((a,b]\) não é nem aberto, nem fechado.
Os dois últimos exemplos mostram que “aberto” e “fechado” não são conceitos opostos: um conjunto pode não ser aberto nem fechado.
Observação. O conjunto vazio é aberto por vacuidade. Consequentemente, seu complementar, \(\mathbb {R}\), é fechado. Como \(\mathbb {R}\) também é aberto, seu complementar, \(\varnothing \), também é fechado. Mais adiante, poderemos mostrar que, na reta real, esses são os únicos conjuntos simultaneamente abertos e fechados.
Seja
Como união de abertos, \(V\) é aberto, e claramente \(V\subseteq S\). Além disso, todo aberto \(U\subseteq S\) está contido em \(V\), de modo que \(V\) é o maior aberto contido em \(S\).
Se \(x\in V\), existe um aberto \(U\) com \(x\in U\subseteq S\); portanto \(x\in \operatorname {int}S\). Reciprocamente, se \(x\in \operatorname {int}S\), existe um aberto \(U\) tal que \(x\in U\subseteq S\), logo \(x\in V\). Assim, \(V=\operatorname {int}S\).
Seja \(A\subset \mathbb {R}\) e seja \(x_0\in \mathbb {R}\). Dizemos que \(x_0\) é um ponto de acumulação de \(A\) se, para todo \(\delta \gt 0\), existe \(x\in A\), com \(x\neq x_0\), tal que \(|x-x_0|\lt \delta \).
O conjunto de todos os pontos de acumulação de \(A\) é denotado por \(A'\). Se \(x\in A\) e \(x\notin A'\), então \(x\) é chamado de ponto isolado de \(A\). 3
Um ponto de acumulação de \(A\) também é chamado de ponto limite de \(A\). Ele pode pertencer ou não ao próprio conjunto \(A\).
Se \(A=(0,1]\), então \(A'=[0,1]\).
Se \(A=\{ 1/n:n\in \mathbb {N}\} \), então \(A'=\{ 0\} \).
Se \(A=\mathbb {N}\), então \(A'=\varnothing \). Assim, \(\mathbb {N}\) consiste inteiramente de pontos isolados.
Se \(A\) é finito, então \(A'=\varnothing \).
\(A\) é fechado se e somente se contém todos os seus pontos de acumulação.
\(\operatorname {cl}A\) é fechado.
\(A\) é fechado se e somente se \(A=\operatorname {cl}A\).
\(\operatorname {cl}A=A\cup \operatorname {fr}A\).
Provemos o primeiro item. Suponha que \(A\) seja fechado e seja \(x\) um ponto de acumulação de \(A\). Se \(x\notin A\), então \(x\in \mathbb {R}\setminus A\). Como \(\mathbb {R}\setminus A\) é aberto, existe uma vizinhança de \(x\) contida em \(\mathbb {R}\setminus A\), contradizendo o fato de que \(x\) é ponto de acumulação de \(A\). Logo \(x\in A\).
Reciprocamente, suponha que \(A\) contenha todos os seus pontos de acumulação. Se \(y\in \mathbb {R}\setminus A\), então \(y\) não é ponto de acumulação de \(A\). Portanto, existe uma vizinhança de \(y\) que não intersecta \(A\), isto é, uma vizinhança contida em \(\mathbb {R}\setminus A\). Assim, \(\mathbb {R}\setminus A\) é aberto, e \(A\) é fechado.
Para o segundo item, seja \(x\notin A\cup A'\). Como \(x\notin A'\), existe uma vizinhança básica \(V\) de \(x\) disjunta de \(A\). Uma vizinhança básica menor \(W\), cujo fecho esteja contido em \(V\), não contém pontos de acumulação de \(A\). Logo \(W\cap (A\cup A')=\varnothing \), e o complemento de \(A\cup A'\) é aberto. Portanto, \(\operatorname {cl}A\) é fechado.
O terceiro item segue do primeiro: \(A\) é fechado se e somente se \(A'\subseteq A\), isto é, se e somente se \(A=A\cup A'=\operatorname {cl}A\). Finalmente, se \(x\in A'\setminus A\), toda vizinhança de \(x\) encontra \(A\) e também contém \(x\in A^c\), logo \(x\in \operatorname {fr}A\). Reciprocamente, se \(x\in \operatorname {fr}A\), então \(x\in A\) ou toda vizinhança de \(x\) contém um ponto de \(A\) distinto de \(x\); assim \(x\in A\cup A'\). Portanto, \(\operatorname {cl}A=A\cup \operatorname {fr}A\).
1.11.1 Densidade dos racionais e irracionais
Os elementos de \(\mathbb {R}\setminus \mathbb {Q}\) são chamados de números irracionais. Já vimos um exemplo fundamental: \(\sqrt2\).
Mostraremos agora que tanto os racionais quanto os irracionais aparecem em todo intervalo real.
Equivalentemente, \(X\) é denso em \(\mathbb {R}\) se, para quaisquer \(a\lt b\), existe \(x\in X\) tal que \(a\lt x\lt b\).
Por exemplo, seja \( X = \mathbb {R}\setminus \mathbb {Z}\), o conjunto dos números reais que não são inteiros. Este conjunto é denso em \( \mathbb {R}\) porque, para qualquer intervalo \( (a, b) \), existem infinitos números reais, enquanto há no máximo um número finito de inteiros \( n \) tal que \( a \lt n \lt b \). Assim, qualquer intervalo \( (a, b) \) contém elementos de \( X \) (ou seja, números reais não inteiros).
Considere um intervalo aberto \((a,b)\subset \mathbb {R}\).
Primeiro mostraremos que o intervalo contém um racional. Escolha \(p\in \mathbb {N}\) tal que \(1/p\lt b-a\). Pela propriedade arquimediana, o conjunto
é não vazio. Ele é limitado inferiormente em \(\mathbb {Z}\); após transladá-lo por um inteiro suficientemente grande, o Princípio da Boa Ordem garante que \(M\) possui um menor elemento, que denotaremos por \(m_0\). Então \((m_0-1)/p\lt b\). Além disso, se tivéssemos \((m_0-1)/p\leq a\), então
contradição. Logo
e encontramos um racional em \((a,b)\).
Para obter um irracional, escolha \(n\in \mathbb {N}\) tal que \(\sqrt2/n\lt b-a\). Pelo que acabamos de provar, existe \(q\in \mathbb {Q}\) tal que
Então \(q+\sqrt2/n\in (a,b)\). Esse número é irracional, pois, se fosse racional, então \(\sqrt2/n=(q+\sqrt2/n)-q\) seria racional, o que implicaria \(\sqrt2\in \mathbb {Q}\), contradição.
Assim, racionais e irracionais são ambos onipresentes na reta real, no sentido de que todo intervalo aberto contém elementos dos dois tipos.
Para \( n \in \mathbb {N}\), temos \( I_{n+1} \subset I_n \), o que implica que \( a_n \leq a_{n+1} \leq b_{n+1} \leq b_n \). Assim, podemos escrever:
Denote por \(A=\{ a_n:n\in \mathbb {N}\} \) o conjunto dos extremos inferiores e por \(B=\{ b_n:n\in \mathbb {N}\} \) o conjunto dos extremos superiores. O conjunto \(A\) é limitado superiormente por cada \(b_n\), e \(B\) é limitado inferiormente por cada \(a_n\). Sejam \(a=\sup A\) e \(b=\inf B\). Como cada \(b_n\) é cota superior de \(A\), temos \(a\leq b_n\) para todo \(n\). Assim, \(a\) é cota inferior de \(B\), e portanto \(a\leq b\). Consequentemente,
Concluímos que \([a,b]\subset I_n\) para todo \(n\), logo \([a,b]\subset \bigcap _{n=1}^{\infty }I_n\). Além disso, nenhum \(x\lt a\) pertence a todos os intervalos: como \(a=\sup A\), existe \(n\) tal que \(x\lt a_n\), e então \(x\notin I_n\). Da mesma forma, se \(y\gt b\), então \(y\gt b_m\) para algum \(m\), de onde \(y\notin I_m\). Portanto, \(\bigcap _{n=1}^{\infty }I_n=[a,b]\).
Usaremos o Teorema 1.78 para provar que o conjunto dos números reais não é enumerável.
Seja \( I = [a, b] \) um intervalo fechado e limitado com \( a \lt b \), e seja \( x_0 \) um número real qualquer. Existe um intervalo fechado e limitado \( J = [c, d] \), com \( c \lt d \), tal que \( x_0 \notin J \) e \( J \subset I \). Essa afirmação é direta.
Usaremos essa propriedade repetidamente para demonstrar que, dado um subconjunto enumerável \( X = \{ x_1, x_2, \ldots , x_n, \ldots \} \subset \mathbb {R}\), podemos sempre encontrar um número real \( x \notin X \).
Inicialmente, seja \( I_1 \) um intervalo fechado e não degenerado tal que \( x_1 \notin I_1 \). Em seguida, escolhemos \( I_2 \), um intervalo do mesmo tipo, com \( x_2 \notin I_2 \) e \( I_2 \subset I_1 \). Continuamos esse processo indutivamente. Suponhamos que tenhamos obtido \( I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \), todos intervalos fechados e não degenerados, com \( x_i \notin I_i \) para \( 1 \leq i \leq n \). Podemos então construir \( I_{n+1} \subset I_n \) de modo que \( x_{n+1} \notin I_{n+1} \).
Assim, obtemos uma sequência decrescente de intervalos limitados e fechados \( I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n \supset \ldots \). De acordo com o Teorema 1.78, existe pelo menos um número real \( x \) que pertence a todos os intervalos \( I_n \). Como \( x_i \notin I_i \) para todo \( i \), concluímos que \( x \) não é igual a nenhum dos \( x_n \). Portanto, nenhum conjunto enumerável \( X \) pode conter todos os números reais.
Basta mostrar primeiro que \((0,1)\) não é enumerável. Suponha, por absurdo, que
Escolha um intervalo fechado não degenerado \(I_1\subset (0,1)\) que não contenha \(x_1\). Indutivamente, depois de construído \(I_n\), escolha um intervalo fechado não degenerado
tal que \(x_{n+1}\notin I_{n+1}\). Assim obtemos uma sequência decrescente de intervalos fechados e limitados
Pelo Teorema 1.78, existe
Como \(I_1\subset (0,1)\), temos \(x\in (0,1)\); por outro lado, \(x_n\notin I_n\) para todo \(n\), logo \(x\neq x_n\) para todo \(n\). Isso contradiz a enumeração proposta. Portanto \((0,1)\) não é enumerável.
Se \(a\lt b\), a aplicação
é uma bijeção de \((0,1)\) em \((a,b)\), de modo que todo intervalo aberto não degenerado é não enumerável. Finalmente, qualquer intervalo não degenerado contém um intervalo aberto não degenerado; portanto ele também não pode ser enumerável.
De fato, temos \( \mathbb {R}= \mathbb {Q}\cup (\mathbb {R}\setminus \mathbb {Q}) \). Sabemos que \( \mathbb {Q}\) é enumerável. Se \( \mathbb {R}\setminus \mathbb {Q}\) também fosse enumerável, então \( \mathbb {R}\) seria enumerável, pois seria a união de dois conjuntos enumeráveis. No entanto, isso contraria o que provamos no Teorema 1.79.
Dado um número natural \( p\gt 1\), prove que os números racionais da forma \(\frac{m}{p^n}\), onde \(m \in \mathbb {Z}\) e \(n \in \mathbb {N}\) constituem um subconjunto denso em \(\mathbb {R}\). Se \(a\lt b\), mostre que existem infinitos números racionais entre \(a\) e \(b\). Prove ou forneça um contraexemplo: Se um conjunto \(S\) possui um máximo e um mínimo, então \(S\) é um conjunto fechado. Seja \(A\) um subconjunto não vazio e aberto de \(\mathbb {R}\) e seja \(\mathbb {Q}\) o conjunto dos números racionais. Prove que \(A\cap \mathbb {Q}\neq \varnothing \). \(\operatorname {int}S\) é um conjunto aberto. \(\operatorname {int}(\operatorname {int}S) = \operatorname {int}S\). \(\operatorname {int}(S \cap T) = ( \operatorname {int}S) \cap ( \operatorname {int}T)\). \((\operatorname {int}S) \cup (\operatorname {int}T) \subseteq \operatorname {int}(S \cup T)\). Encontre um exemplo que mostre que a igualdade não precisa valer no item anterior. [Corte de Dedekind] Este exercício antecipa o capítulo sobre a construção dos reais. Um par ordenado \((A,B)\), em que \(A\) e \(B\) são subconjuntos não vazios de \(\mathbb {Q}\), \(A\) não possui elemento máximo, \(A\cup B=\mathbb {Q}\) e, para quaisquer \(x\in A\) e \(y\in B\), tem-se \(x\lt y\), é chamado de corte de Dedekind. O Capítulo 3 adota a convenção equivalente dos cortes superiores: nele, o conjunto principal é (B), fechado para cima e sem elemento mínimo. Prove que, num corte de Dedekind ( \(A, B\) ), vale \(\sup A=\inf B\). Seja \(\mathcal{D}\) o conjunto dos cortes de Dedekind. Prove que existe uma bijeção \(f: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb {R}\). Se \(A\) é aberto e \(B\) é fechado, prove que \(A\setminus B\) é aberto e \(B\setminus A\) é fechado. Um ponto de acumulação de um conjunto \(S\) é um ponto interior de \(S\) ou um ponto de fronteira de \(S\). Um ponto de fronteira de um conjunto \(S\) é um ponto de acumulação de \(S\) ou um ponto isolado de \(S\). Prove que se \(x\) é um ponto isolado de um conjunto \(S\), então \(x \in \operatorname {fr}S\). Prove: \((\operatorname {cl}S) \setminus (\operatorname {int}S) = \operatorname {fr}S\). Seja \(S\) um conjunto infinito e limitado e seja \(x = \sup S\). Prove: Se \(x \notin S\), então \(x \in S'\). Prove: Se \(x\) é um ponto de acumulação do conjunto \(S\), então todo entorno de \(x\) contém infinitos pontos de \(S\). Prove: \(\operatorname {fr}S = (\operatorname {cl}S) \cap [\operatorname {cl}(\mathbb {R}\setminus S)]\). Prove: \(\operatorname {fr}S\) é um conjunto fechado. Prove: \(S'\) é um conjunto fechado. Suponha que \(S\) seja um conjunto não vazio e limitado, e seja \(m = \sup S\). Prove ou forneça um contraexemplo: \(m\) é um ponto de fronteira de \(S\). \(\operatorname {cl}(\operatorname {cl}S) = \operatorname {cl}S\). \(\operatorname {cl}(S \cup T) = (\operatorname {cl}S) \cup (\operatorname {cl}T)\). \(\operatorname {cl}(S \cap T) \subseteq (\operatorname {cl}S) \cap (\operatorname {cl}T)\). Encontre um exemplo que mostre que a igualdade não precisa valer no item anterior. Prove que \(\bar{S}\) é um conjunto fechado. Prove que \(\bar{S}\) é o menor conjunto fechado que contém \(S\). Ou seja, mostre que \(S \subseteq \bar{S}\), e se \(C\) é qualquer conjunto fechado que contém \(S\), então \(\bar{S} \subseteq C\). Prove que \(\bar{S} = \operatorname {cl}S\). Se \(S\) é limitado, prove que \(\bar{S}\) é limitado. Dê exemplo de uma sequência decrescente de intervalos fechados (ilimitados) cuja interseção seja vazia e de uma sequência decrescente de intervalos (abertos) limitados cuja interseção seja vazia.
1.12 Potenciação de números reais
A potenciação começa com expoentes naturais. Se \(m\in \mathbb {N}\), definimos
Essa operação está definida para todo \(a\in \mathbb {R}\). Quando \(a\neq 0\), estendemos a definição aos inteiros negativos por
Por convenção, definimos ainda \(a^0=1\) para todo \(a\neq 0\). O símbolo \(0^0\) permanecerá indefinido.
\(a^{m+n}=a^m a^n\).
\(a^{mn}=(a^m)^n\).
Se \(n\lt m\), então
\[ \begin{cases} a^n\lt a^m, & \text{se } a\gt 1,\\ a^n\gt a^m, & \text{se } 0\lt a\lt 1. \end{cases} \]
As demonstrações seguem das definições e das propriedades algébricas da multiplicação. No caso de expoentes negativos, usa-se também a unicidade do inverso multiplicativo.
Potência com expoente racional
Para definir potências com expoente racional, começamos pelas raízes. Se \(a\gt 0\) e \(n\in \mathbb {N}\), definimos \(a^{1/n}\) como o único número real positivo \(b\) tal que
Esse número também é denotado por \(\sqrt[n]{a}\). A existência e a unicidade de \(b\) seguem do mesmo argumento usado para a raiz quadrada, substituindo \(x^2\) por \(x^n\).
Se \(q\in \mathbb {Q}\), escrevemos \(q=m/n\), com \(m\in \mathbb {Z}\) e \(n\in \mathbb {N}\), e definimos
É necessário verificar que essa definição não depende da representação escolhida para \(q\). Essa verificação é algébrica e será deixada ao leitor.
\(a^{x+y}=a^x a^y\).
\((a^x)^y=a^{xy}\).
Se \(x\lt y\), então
\[ \begin{cases} a^x\lt a^y, & \text{se } a\gt 1,\\ a^x\gt a^y, & \text{se } 0\lt a\lt 1. \end{cases} \]Se \(x\lt 0\lt y\), então
\[ \begin{cases} a^x\lt a^0=1\lt a^y, & \text{se } a\gt 1,\\ a^x\gt a^0=1\gt a^y, & \text{se } 0\lt a\lt 1. \end{cases} \]\(a^x b^x=(ab)^x\).
Se \(0\lt a\lt b\), então
\[ \begin{cases} a^x\lt b^x, & \text{se } x\gt 0,\\ a^x\gt b^x, & \text{se } x\lt 0. \end{cases} \]
Provaremos apenas dois itens representativos. Os demais seguem por argumentos semelhantes, usando a definição de potência racional, a unicidade da raiz \(n\)-ésima positiva e as leis dos expoentes inteiros.
Provemos o primeiro item. Escreva \(x=p/q\) e \(y=r/s\), com \(p,r\in \mathbb {Z}\) e \(q,s\in \mathbb {N}\). Então
Pela definição de potência racional e pelas leis dos expoentes inteiros,
Como \(\left(a^{1/(qs)}\right)^s=a^{1/q}\) e \(\left(a^{1/(qs)}\right)^q=a^{1/s}\), obtemos
e, analogamente,
Portanto \(a^{x+y}=a^x a^y\).
Provemos agora o quinto item. Escreva \(x=m/n\), com \(m\in \mathbb {Z}\) e \(n\in \mathbb {N}\). Como \(a^{1/n}\) e \(b^{1/n}\) são positivos, temos
Pela unicidade da raiz \(n\)-ésima positiva,
Assim,
Logo \(a^x b^x=(ab)^x\).
Potência com expoente real
Para estender a potência a expoentes reais, usamos a densidade dos racionais e a completude de \(\mathbb {R}\). Seja \(a\gt 0\) e seja \(x\in \mathbb {R}\).
Se \(a\geq 1\), definimos
Se \(0\lt a\lt 1\), definimos
No caso \(a=1\), ambas as definições dão \(1^x=1\).
Com essa definição, a operação \(a^x\) fica definida para toda base positiva \(a\) e todo expoente real \(x\). As leis usuais continuam válidas.
Se \(E\subset \mathbb {Q}\) é não vazio e limitado superiormente, então
\[ \sup \{ a^r:r\in E\} =a^{\sup E}. \]Se \(E\subset \mathbb {Q}\) é não vazio e limitado inferiormente, então
\[ \inf \{ a^r:r\in E\} =a^{\inf E}. \]
Usaremos duas consequências elementares da definição de potência real: para todo \(u\in \mathbb {R}\),
A primeira igualdade é imediata quando \(u\notin \mathbb {Q}\). Quando \(u\in \mathbb {Q}\), seja \(L=\sup \{ a^q:q\in \mathbb {Q},\ q\lt u\} \). Temos \(L\leq a^u\). Por outro lado, \(a^{u-1/n}\leq L\) para todo \(n\in \mathbb {N}\), e
Como \(a=(a^{1/n})^n\), a desigualdade de Bernoulli fornece \(a^{1/n}-1\leq (a-1)/n\). Logo \(a^u-L\leq a^u(a-1)/n\) para todo \(n\), e a propriedade arquimediana implica \(a^u\leq L\). Portanto \(L=a^u\). A segunda igualdade é análoga, aproximando \(u\) por racionais maiores.
Provemos agora o primeiro item. Seja \(\alpha =\sup E\). Como \(r\leq \alpha \) para todo \(r\in E\), a monotonicidade da potência racional implica \(a^r\leq a^\alpha \). Logo \(\sup \{ a^r:r\in E\} \leq a^\alpha \). Para a desigualdade contrária, tome \(q\in \mathbb {Q}\) com \(q\lt \alpha \). Como \(q\) não é cota superior de \(E\), existe \(r\in E\) tal que \(q\lt r\). Então \(a^q\lt a^r\leq \sup \{ a^s:s\in E\} \). Assim, \(\sup \{ a^s:s\in E\} \) é cota superior de \(\{ a^q:q\in \mathbb {Q},\ q\lt \alpha \} \). Pela caracterização inicial, \(a^\alpha \leq \sup \{ a^s:s\in E\} \), e obtemos
O segundo item é semelhante. Seja \(\beta =\inf E\). Como \(\beta \leq r\) para todo \(r\in E\), temos \(a^\beta \leq a^r\), de modo que \(a^\beta \) é cota inferior de \(\{ a^r:r\in E\} \). Assim, \(a^\beta \leq \inf \{ a^r:r\in E\} \). Para a desigualdade oposta, tome \(q\in \mathbb {Q}\) com \(\beta \lt q\). Como \(q\) não é cota inferior de \(E\), existe \(r\in E\) tal que \(r\lt q\). Então \(a^r\lt a^q\), e portanto \(\inf \{ a^s:s\in E\} \leq a^q\). Como isso vale para todo racional \(q\gt \beta \), a segunda caracterização inicial fornece
Monotonicidade para expoentes reais.
A definição anterior também fornece a monotonicidade para expoentes reais. Se \(a\gt 1\) e \(u\lt v\), escolha racionais \(q,p\) tais que
Pela definição de potência real e pela monotonicidade já conhecida para expoentes racionais,
Logo \(u\lt v\) implica \(a^u\lt a^v\). Se \(0\lt a\lt 1\), escrevendo \(c=1/a\gt 1\) e usando diretamente a definição, \(a^t=c^{-t}\); portanto \(u\lt v\) implica \(a^u\gt a^v\).
\(a^{x+y}=a^x a^y\).
\((a^x)^y=a^{xy}\).
\((ab)^x=a^x b^x\).
\(a^{x-y}=\dfrac {a^x}{a^y}\).
\(\left(\dfrac {a}{b}\right)^x=\dfrac {a^x}{b^x}\).
Provaremos os dois primeiros itens; os demais serão deixados como exercício. O caso \(a=1\) é imediato. Suponhamos inicialmente que \(a\gt 1\).
Para o primeiro item, defina \(R_x=\{ r\in \mathbb {Q}:r\leq x\} \) e \(R_y=\{ s\in \mathbb {Q}:s\leq y\} \). Pela definição de potência real, \(a^x=\sup \{ a^r:r\in R_x\} \) e \(a^y=\sup \{ a^s:s\in R_y\} \). Como todos os números envolvidos são positivos, a propriedade do supremo do produto dá
Pelas leis dos expoentes racionais, \(a^r a^s=a^{r+s}\). Além disso, \(R_x+R_y=\{ r+s:r\in R_x,\ s\in R_y\} \) tem supremo \(x+y\). De fato, \(x+y\) é cota superior; e, se \(t\lt x+y\), a densidade de \(\mathbb {Q}\) permite escolher \(r\in \mathbb {Q}\) com \(t-y\lt r\leq x\) e, em seguida, \(s\in \mathbb {Q}\) com \(t-r\lt s\leq y\), de modo que \(t\lt r+s\). Pela compatibilidade da potência com supremos racionais, segue que \(a^x a^y=a^{x+y}\).
Passemos ao segundo item. Primeiro observamos que, para todo \(q\in \mathbb {Q}\), vale \((a^x)^q=a^{xq}\). Escreva \(q=m/n\), com \(m\in \mathbb {Z}\) e \(n\in \mathbb {N}\). Pelo item já provado, \((a^{x/n})^n=a^x\). Como \(a^{x/n}\gt 0\), a unicidade da raiz \(n\)-ésima positiva implica \((a^x)^{1/n}=a^{x/n}\). Elevando ambos os membros à potência inteira \(m\), obtemos \((a^x)^{m/n}=a^{xm/n}\).
Fixe agora \(y\in \mathbb {R}\). Se \(x\gt 0\), então \(a^x\gt 1\). Pela definição de potência real aplicada à base \(a^x\) e pelo caso racional recém-provado,
Denote esse último supremo por \(S\). Como \(q\leq y\) e \(x\gt 0\), temos \(xq\leq xy\); pela monotonicidade para expoentes reais,
e portanto \(S\leq a^{xy}\).
Para a desigualdade oposta, seja \(r\in \mathbb {Q}\) com \(r\lt xy\). Então \(r/x\lt y\), e a densidade de \(\mathbb {Q}\) permite escolher \(q\in \mathbb {Q}\) tal que
Assim \(r\lt xq\), de modo que
Como isso vale para todo racional \(r\lt xy\) e
segue que \(a^{xy}\leq S\). Logo \((a^x)^y=a^{xy}\).
Se \(x=0\), então \((a^x)^y=1^y=1=a^{xy}\). Se \(x\lt 0\), então \(0\lt a^x\lt 1\), e a definição de potência real para bases entre \(0\) e \(1\), juntamente com o caso racional, dá
Denote esse ínfimo por \(T\). Como agora \(x\lt 0\), de \(q\leq y\) segue \(xq\geq xy\); portanto
e \(T\geq a^{xy}\).
Por outro lado, seja \(r\in \mathbb {Q}\) com \(xy\lt r\). Dividindo por \(x\lt 0\), obtemos \(r/x\lt y\). Escolha \(q\in \mathbb {Q}\) com
Então \(xq\lt r\), e a monotonicidade fornece
Como isso vale para todo racional \(r\gt xy\) e
concluímos que \(T\leq a^{xy}\). Logo também nesse caso \((a^x)^y=a^{xy}\). Assim, os dois primeiros itens estão provados para \(a\gt 1\).
Por fim, se \(0\lt a\lt 1\), ponha \(c=1/a\). Então \(c\gt 1\) e, pela definição, \(a^t=c^{-t}\) para todo \(t\in \mathbb {R}\). Aplicando os casos já provados à base \(c\), temos \(a^{x+y}=c^{-(x+y)}=c^{-x}c^{-y}=a^x a^y\) e \((a^x)^y=(c^{-x})^y=c^{-xy}=a^{xy}\). Portanto os dois primeiros itens valem para todo \(a\gt 0\).
\(a^{x+y}=a^x a^y\). \((a^x)^y=a^{xy}\). \((ab)^x=a^x b^x\). \(a^{x-y}=\dfrac {a^x}{a^y}\). \(\left(\dfrac {a}{b}\right)^x=\dfrac {a^x}{b^x}\).
1.13 Representação decimal dos números reais
A representação decimal é uma das formas mais usuais de escrever números reais, mas sua interpretação exige algum cuidado. A notação decimal é posicional: cada algarismo representa um múltiplo de uma potência de \(10\). À esquerda da vírgula aparecem potências não negativas; à direita, potências negativas.
Quando apenas um número finito de casas decimais é não nulo, essa interpretação é direta. Expansões decimais infinitas, por outro lado, envolvem somas infinitas. A formulação completa dessas somas será feita no estudo de séries numéricas. Ainda assim, já podemos descrever a obtenção dos desenvolvimentos decimais a partir da ordem e do axioma do supremo.
Comecemos com \(x\geq 0\). Seja \(a_0\) o maior inteiro tal que
Definido \(a_0\), escolhemos \(a_1\) como o maior inteiro em \(\{ 0,1,\ldots ,9\} \) tal que
Indutivamente, supondo definidos \(a_0,a_1,\ldots ,a_{n-1}\), escolhemos \(a_n\) como o maior inteiro em \(\{ 0,1,\ldots ,9\} \) tal que
Denotemos por
o \(n\)-ésimo truncamento decimal assim obtido.
Por construção, \(s_n\leq x\) para todo \(n\). Além disso,
Com efeito, para \(n=0\), essa desigualdade afirma simplesmente que \(a_0\leq x\lt a_0+1\). Suponha agora \(n\geq 1\). Como \(a_n\) é escolhido como o maior algarismo possível, temos
Subtraindo \(a_n\) e dividindo por \(10^n\), obtemos
Assim, os truncamentos decimais aproximam \(x\) arbitrariamente bem. Em particular,
Os inteiros \(a_0,a_1,a_2,\ldots \) fornecem uma representação decimal de \(x\), que escrevemos simbolicamente como
Dessa forma, a representação decimal de um número real pode ser entendida como o registro dos truncamentos decimais que se aproximam dele pela esquerda. Se \(x\lt 0\), aplica-se o procedimento a \(-x\) e acrescenta-se o sinal negativo.
Por exemplo, para \(x=1/8\), obtemos
Os truncamentos correspondentes são
e seu supremo é \(1/8\).
A representação decimal não é sempre única. Se, no procedimento anterior, substituirmos a condição \(\leq x\) por \(\lt x\), obteremos, em certos casos, outra sequência de algarismos, mas com o mesmo supremo. Para \(x=1/8\), por exemplo, essa convenção produz
As duas escritas representam o mesmo número real, pois seus truncamentos têm o mesmo supremo.
O mesmo fenômeno explica a identidade
De fato, os truncamentos
são todos menores que \(1\), e a diferença entre \(1\) e o \(n\)-ésimo truncamento é \(10^{-n}\). Como essas diferenças tendem a \(0\), o supremo desses truncamentos é \(1\).
De modo geral, a ambiguidade ocorre exatamente quando uma expansão decimal possui, a partir de certa casa, uma cauda infinita de algarismos \(9\). Nesses casos, a mesma quantidade também pode ser escrita por uma expansão decimal que termina em zeros. Por exemplo,
Os reais não são enumeráveis
Para encerrar a seção, apresentaremos uma segunda demonstração de que os números reais não são enumeráveis. Provaremos, mais precisamente, que o intervalo \((0,1)\) não é enumerável.
Suponha, por absurdo, que \((0,1)\) seja enumerável. Então seus elementos poderiam ser listados na forma
Escolhamos, para cada \(r_i\), uma representação decimal que não possua cauda infinita de algarismos \(9\). Podemos então escrever
com \(a_{i,j}\in \{ 0,1,\ldots ,9\} \).
Construiremos um número \(r\in (0,1)\) que não aparece nessa lista. Para cada \(j\in \mathbb {N}\), escolha
de modo que \(b_j\neq a_{j,j}\). Defina
Como todos os algarismos \(b_j\) pertencem a \(\{ 1,\ldots ,8\} \), temos \(r\in (0,1)\), e sua expansão decimal não possui cauda infinita de algarismos \(9\).
Além disso, \(r\neq r_j\) para todo \(j\). De fato, a representação decimal escolhida para \(r\) difere da representação escolhida para \(r_j\) na \(j\)-ésima casa decimal, pois \(b_j\neq a_{j,j}\). Como estamos usando sempre representações sem cauda infinita de \(9\)’s, essa diferença de algarismos implica diferença entre os números representados.
Assim, \(r\) é um elemento de \((0,1)\) que não aparece na lista \(r_1,r_2,r_3,\ldots \). Isso contradiz a hipótese de que a lista continha todos os elementos de \((0,1)\). Portanto, o intervalo \((0,1)\) não é enumerável. Como \((0,1)\subset \mathbb {R}\), segue que \(\mathbb {R}\) também não é enumerável.