Integração
A derivada descreve a variação local de uma função. A integral responde a uma pergunta complementar: como acumular essas variações ao longo de um intervalo?
Em Cálculo, essa pergunta costuma aparecer primeiro como área. Para a Análise, porém, é mais útil começar de outra forma. Dividimos o intervalo em partes, aproximamos a função por baixo e por cima em cada uma delas e perguntamos se essas aproximações podem ser forçadas a concordar. Essa é a ideia de Darboux.
O ponto de vista tem duas vantagens. Primeiro, a definição da integral não depende da existência prévia de primitivas; o Teorema Fundamental do Cálculo aparecerá depois como um resultado profundo que liga integração e derivação. Segundo, a construção admite uma extensão natural: em vez de medir cada subintervalo pelo seu comprimento, podemos medi-lo pela variação de uma outra função. Essa é a integral de Riemann–Stieltjes.
O percurso do capítulo será, portanto,
10.1 Partições e somas de Darboux
Sejam \(a\lt b\). Uma partição de \([a,b]\) é um conjunto finito
tal que
Escreveremos
e chamaremos
de malha da partição.
Se \(P\) e \(Q\) são partições de \([a,b]\), dizemos que \(Q\) é um refinamento de \(P\) quando \(P\subset Q\).
A definição da integral começa com uma função limitada. Para uma função limitada \(f:[a,b]\to \mathbb {R}\), usaremos a notação
Em cada subintervalo, \(m_i\) é a melhor constante que aproxima \(f\) por baixo e \(M_i\) a melhor constante que a aproxima por cima. Consequentemente,
O ponto essencial é que o refinamento de uma partição melhora simultaneamente as duas aproximações.
Basta analisar a inserção de um único ponto. Suponha que \(Q=P\cup \{ c\} \), com \(c\in (x_{k-1},x_k)\). Escreva
Como \(m\le m'\) e \(m\le m''\),
Todos os demais termos da soma inferior permanecem inalterados; portanto \(L(f,P)\le L(f,Q)\).
O mesmo argumento, com supremos, fornece \(U(f,Q)\le U(f,P)\). A inserção sucessiva dos pontos de \(Q\setminus P\) prova o resultado geral. A desigualdade \(L(f,Q)\le U(f,Q)\) é imediata.
Duas partições quaisquer \(P\) e \(Q\) possuem um refinamento comum: \(P\cup Q\). Esse fato permite comparar somas construídas a partir de partições completamente diferentes.
Se \(R=P\cup Q\), então
10.2 Integral inferior, integral superior e integral de Darboux
As somas inferiores formam um conjunto limitado superiormente por qualquer soma superior. Analogamente, as somas superiores são limitadas inferiormente por qualquer soma inferior. A completude de \(\mathbb {R}\) permite, portanto, fazer as melhores aproximações possíveis.
Pelo Corolário 10.3,
A definição diz exatamente que as melhores aproximações por baixo e por cima se encontram. A forma operacional dessa ideia é o critério seguinte.
Suponha primeiro que \(f\) seja integrável e escreva
Pela definição de supremo, existe uma partição \(P_1\) tal que
Pela definição de ínfimo, existe uma partição \(P_2\) tal que
Para o refinamento comum \(P=P_1\cup P_2\),
e portanto
Reciprocamente, suponha que, para todo \(\varepsilon \gt 0\), exista \(P\) com \(U(f,P)-L(f,P)\lt \varepsilon \). Como
temos
Como \(\varepsilon \) é arbitrário, as duas integrais coincidem.
O critério de oscilação
Para um intervalo \(I\subset [a,b]\), defina a oscilação de \(f\) em \(I\) por
A ideia é a análoga, para funções, da oscilação de uma sequência: em lugar de medir a diferença entre \(\limsup \) e \(\liminf \) das caudas, medimos a diferença entre o supremo e o ínfimo dos valores de \(f\) em um intervalo. Mais adiante, ao encolher esses intervalos em torno de um ponto, essa analogia ficará ainda mais direta. Se \(P=\{ x_0,\ldots ,x_n\} \), escrevemos
Então
Temos, portanto, uma versão particularmente geométrica do critério de Darboux.
Basta observar que, para toda partição \(P\),
e aplicar o Critério de Darboux.
10.3 Somas de Riemann e uma segunda caracterização
As somas de Darboux escolhem, em cada intervalo, os valores extremos possíveis. Podemos também escolher um ponto qualquer.
Para toda escolha das marcas,
Assim, se uma única partição torna pequena a diferença entre as somas superior e inferior, todas as somas marcadas de seus refinamentos ficam presas em um intervalo pequeno.
\(f\in \mathcal R[a,b]\);
existe \(I\in \mathbb {R}\) tal que, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe uma partição \(P_0\) com a seguinte propriedade: para toda partição marcada \((P,\xi )\) cujo \(P\) refina \(P_0\),
\[ |S(f;P,\xi )-I|\lt \varepsilon . \]
Suponha primeiro que \(f\) seja integrável e escreva
Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(P_0\) pelo Critério de Darboux de modo que
Se \(P\) refina \(P_0\), então
Como \(J\in [L(f,P_0),U(f,P_0)]\), segue que
Logo o item 2 vale com \(I=J\).
Reciprocamente, suponha que exista \(I\) com a propriedade do item 2. Fixe \(\varepsilon \gt 0\) e escolha \(P_0=\{ x_0,\ldots ,x_n\} \) de modo que toda soma marcada de todo refinamento de \(P_0\) esteja a menos de \(\varepsilon /4\) de \(I\).
Para cada \(i\), escolha pontos \(\xi _i^+,\xi _i^-\in I_i\) tais que
e
Isso é possível pelas definições de supremo e ínfimo. Assim,
e
Como ambas as somas marcadas estão a menos de \(\varepsilon /4\) de \(I\), obtemos
Pelo Critério de Darboux, \(f\) é integrável.
Resta identificar o valor da integral. Pela primeira parte da prova, uma função integrável satisfaz a propriedade do item 2 com
Dado \(\eta \gt 0\), escolha uma partição que refine simultaneamente as partições associadas a \(I\) e a \(J\), e tome qualquer sistema de marcas. A soma correspondente fica a menos de \(\eta \) de ambos os números; logo
Como \(\eta \) é arbitrário, \(I=J\).
Para a integral de Riemann, a linguagem usual em termos da malha também é equivalente.
Suponha primeiro que \(f\) seja integrável e escreva
Fixe \(\varepsilon \gt 0\). Pelo Teorema 10.9, existe uma partição
tal que toda soma marcada associada a um refinamento de \(P_0\) fica a menos de \(\varepsilon /2\) de \(I\).
Escolha \(M\ge \| f\| _\infty \). Se \(m=1\), qualquer partição já refina \(P_0\). Suponha \(m\ge 2\). Tome \(\delta \gt 0\) tão pequeno que
Se \(P\) é uma partição com \(\| P\| \lt \delta \), considere
A passagem de \(P\) para \(R\) altera apenas os subintervalos de \(P\) que contêm algum dos pontos \(t_1,\ldots ,t_{m-1}\). Há no máximo \(m-1\) desses subintervalos, e a soma de seus comprimentos é menor que \((m-1)\delta \).
Dado um sistema de marcas \(\xi \) para \(P\), escolha marcas para \(R\) arbitrariamente nos subintervalos novos e mantenha as antigas onde não houve subdivisão. As duas somas diferem apenas na parte afetada; como \(|f|\le M\),
Como \(R\) refina \(P_0\),
e portanto
Reciprocamente, suponha que exista \(I\) com a propriedade da malha. Fixe \(\varepsilon \gt 0\) e escolha \(\delta \gt 0\) de modo que toda soma marcada associada a uma partição de malha menor que \(\delta \) fique a menos de \(\varepsilon /4\) de \(I\). Tome uma partição \(P=\{ x_0,\ldots ,x_n\} \) com \(\| P\| \lt \delta \).
Como na prova do Teorema 10.9, podemos escolher marcas \(\xi ^+\) e \(\xi ^-\) tais que
As duas somas marcadas estão a menos de \(\varepsilon /4\) de \(I\). Logo
e o Critério de Darboux mostra que \(f\) é integrável. A identificação de \(I\) com \(\int _a^b f\) segue da unicidade já provada no Teorema 10.9.
10.4 Classes de funções integráveis
O critério de oscilação torna muito simples provar a integrabilidade de várias classes fundamentais.
Como \([a,b]\) é compacto, \(f\) é uniformemente contínua. Dado \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que
Escolha uma partição \(P\) com \(\| P\| \lt \delta \). Então
para todo \(i\), e
Suponha primeiro que \(f\) seja não decrescente. Para a partição uniforme
temos
Logo
que tende a \(0\).
Se \(f\) é não crescente, então
e o mesmo cálculo fornece
Em ambos os casos, o Critério de Darboux conclui a prova.
Se \(\| f\| _\infty =0\), não há o que provar. Suponha \(|f|\le M\) com \(M\gt 0\), e sejam \(c_1,\ldots ,c_r\) os possíveis pontos de descontinuidade.
Fixe \(\varepsilon \gt 0\). Escolha intervalos abertos relativos \(J_1,\ldots ,J_r\) de \([a,b]\), cada um contendo \(c_j\), de modo que a soma de seus comprimentos seja menor que
Podemos substituir esses intervalos por sua união escrita como união finita de intervalos abertos disjuntos. Insira na partição todos os extremos desses intervalos.
O complemento dessa união em \([a,b]\) é uma união finita de intervalos fechados. Em cada um deles \(f\) é contínua e, portanto, uniformemente contínua. Refinando a partição dentro desses componentes, podemos garantir que todo subintervalo que não esteja contido na união dos \(J_j\) tenha oscilação menor que
Nos subintervalos contidos na região dos \(J_j\), usamos apenas \(\omega (f;I)\le 2M\). Assim,
O Critério de Darboux conclui a prova.
Operações com funções integráveis
\(f+g\in \mathcal R[a,b]\) e
\[ \int _a^b(f+g)=\int _a^b f+\int _a^b g; \]\(\lambda f\in \mathcal R[a,b]\) e
\[ \int _a^b\lambda f=\lambda \int _a^b f; \]\(fg\in \mathcal R[a,b]\);
\(|f|\in \mathcal R[a,b]\);
\(\max \{ f,g\} \) e \(\min \{ f,g\} \) são Riemann-integráveis.
Usaremos a caracterização pela malha.
Se \(f,g\in \mathcal R[a,b]\), então, para uma mesma partição marcada,
Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(\delta \) que funcione simultaneamente para \(f\) e \(g\), com erro \(\varepsilon /2\). Segue que
uniformemente nas marcas quando \(\| P\| \to 0\). Pelo Teorema 10.10, \(f+g\) é integrável e
Do mesmo modo,
o que prova a segunda afirmação para todo \(\lambda \in \mathbb {R}\).
Para o produto, ponha
Se \(x,y\in I\), então
Logo
Escolha uma partição comum para a qual as somas ponderadas das oscilações de \(f\) e \(g\) sejam tão pequenas quanto desejado. O critério de oscilação mostra que \(fg\) é integrável.
Como
temos
e portanto \(|f|\) é integrável. Finalmente,
e as duas últimas afirmações seguem das anteriores.
Para toda partição marcada,
Passe ao limite quando a malha tende a zero.
Como
a monotonicidade e a linearidade da integral fornecem
e portanto
Além disso,
para todo \(x\), logo
Ponha \(h=f-g\). Então \(h\) é limitada e é nula fora de um conjunto finito
Se \(h\equiv 0\), o resultado é imediato. Escolha \(M\gt 0\) com \(|h|\le M\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), cubra os pontos \(c_j\) por finitíssimos intervalos abertos relativos de \([a,b]\), de comprimento total menor que \(\varepsilon /(2M)\), e escolha uma partição \(P_0\) contendo os extremos desses intervalos.
Para qualquer refinamento marcado \((P,\xi )\) de \(P_0\), os termos da soma de Riemann só podem ser não nulos nos subintervalos contidos nessa cobertura. Logo
Pelo Teorema 10.9, \(h\) é integrável e
Como \(f=g+h\), a linearidade da integral mostra que \(f\) é integrável se, e somente se, \(g\) é, e que suas integrais coincidem.
10.5 Aditividade em intervalos
A integral é local no intervalo: dividir o domínio e integrar as partes produz o mesmo resultado que integrar tudo de uma vez.
Suponha primeiro que \(f\) seja integrável em \([a,c]\) e em \([c,b]\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha partições \(P_1\) e \(P_2\) desses intervalos tais que
Então \(P=P_1\cup P_2\) é uma partição de \([a,b]\) e
Logo \(f\) é integrável em \([a,b]\).
Reciprocamente, suponha que \(f\) seja integrável em \([a,b]\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha uma partição \(P\) de \([a,b]\) contendo \(c\) e tal que
As subpartições \(P_1=P\cap [a,c]\) e \(P_2=P\cap [c,b]\) satisfazem
e o Critério de Darboux mostra que as duas restrições são integráveis.
Por fim, escreva
Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha partições \(P_1,P_2\) tais que
Então
Analogamente, escolhendo partições cujas somas superiores estejam a menos de \(\varepsilon /2\) de \(I_1\) e \(I_2\), obtemos
Como \(\varepsilon \) é arbitrário,
Adotamos as convenções
Com elas, a aditividade
vale para quaisquer \(a,b,c\) para os quais as integrais estejam definidas.
10.6 Descontinuidades e o critério de Lebesgue
A integrabilidade de uma função limitada não exige continuidade em todos os pontos. O que importa é que suas descontinuidades sejam suficientemente esparsas.
todo subconjunto de um conjunto de medida zero tem medida zero;
toda união enumerável de conjuntos de medida zero tem medida zero;
todo conjunto enumerável tem medida zero.
O primeiro item é imediato.
Para o segundo, escreva
com cada \(E_n\) de medida zero. Dado \(\varepsilon \gt 0\), cubra \(E_n\) por intervalos abertos cuja soma dos comprimentos seja menor que \(\varepsilon /2^n\). A reunião de todas essas coberturas cobre \(E\), e a soma total dos comprimentos é menor que
Para o terceiro, se
cubra \(x_n\) por um intervalo aberto de comprimento menor que \(\varepsilon /2^n\). O caso finito é ainda mais simples.
Para uma função limitada \(f\), defina a oscilação de \(f\) no ponto \(x\) por
Se \(f\) é contínua em \(x\), então, dado \(\varepsilon \gt 0\), existe \(\delta \gt 0\) tal que
sempre que \(y\in [a,b]\) e \(|y-x|\lt \delta \). Para quaisquer \(y,z\) nessa vizinhança,
logo a oscilação nessa vizinhança é menor que \(\varepsilon \), e \(\omega _f(x)=0\).
Reciprocamente, se \(\omega _f(x)=0\), dado \(\varepsilon \gt 0\) existe \(\delta \gt 0\) tal que
Como \(x\) pertence a esse conjunto, para todo \(y\) na mesma vizinhança,
Portanto \(f\) é contínua em \(x\).
Se \(x\notin K_\eta \), então \(\omega _f(x)\lt \eta \). Pela definição de oscilação pontual, existe \(\delta \gt 0\) tal que
Se \(|y-x|\lt \delta /2\), então uma vizinhança suficientemente pequena de \(y\) está contida em \((x-\delta ,x+\delta )\). Logo
Portanto o complemento de \(K_\eta \) é aberto.
Para cada \(x\in [a,b]\), escolha \(r_x\gt 0\) e um índice \(j(x)\) tais que
Os intervalos
cobrem \([a,b]\). Pela compacidade, basta uma subcobertura finita, associada a pontos \(x_1,\ldots ,x_m\). Tome
Se um subintervalo \(I\) tem comprimento menor que \(\delta \), escolha \(y\in I\) e \(k\) tal que
Para qualquer \(z\in I\),
Logo
Para \(m\in \mathbb {N}\), defina
Pelo Lema 10.23, cada \(D_m\) é fechado. Além disso,
De fato, pelo Lema 10.22, \(f\) é descontínua em \(x\) exatamente quando \(\omega _f(x)\gt 0\); pela propriedade arquimediana, nesse caso existe \(m\in \mathbb {N}\) tal que
Suponha primeiro que \(f\) seja integrável. Fixe \(m\) e \(\varepsilon \gt 0\). Pelo critério de oscilação, escolha uma partição \(P=\{ x_0,\ldots ,x_n\} \) tal que
Considere os índices para os quais
A soma dos comprimentos desses intervalos é menor que \(\varepsilon /4\). Todo ponto de \(D_m\) que não seja um ponto da partição pertence ao interior de algum desses intervalos. Alargando ligeiramente os finitíssimos intervalos selecionados, podemos cobri-los por intervalos abertos cuja soma dos comprimentos seja menor que \(\varepsilon /2\). Os finitíssimos pontos de \(P\) podem ser cobertos por intervalos abertos com soma dos comprimentos menor que \(\varepsilon /2\). Logo \(D_m\) tem medida zero.
Pela Proposição 10.21,
também tem medida zero.
Reciprocamente, suponha que \(D_f\) tenha medida zero. Se \(f\equiv 0\), o resultado é imediato; suponha
Fixe \(\varepsilon \gt 0\) e escolha \(\eta \gt 0\) tal que
O conjunto
é fechado pelo Lema 10.23; portanto é compacto. Como \(K_\eta \subset D_f\), ele tem medida zero. Escolha intervalos abertos \(G_1,G_2,\ldots \) cobrindo \(K_\eta \) e satisfazendo
Pela compacidade de \(K_\eta \), uma subfamília finita \(G_1,\ldots ,G_r\) já o cobre.
Se \(x\notin K_\eta \), então \(\omega _f(x)\lt \eta \). Logo existe um intervalo aberto \(V_x\) contendo \(x\) tal que
O conjunto compacto
é coberto por finitíssimos desses intervalos, digamos \(V_1,\ldots ,V_s\). Assim,
é uma cobertura aberta finita de \([a,b]\).
Pelo Lema 10.24, existe uma partição \(P\) de malha suficientemente pequena para que cada subintervalo \(I_i\) esteja contido em um dos conjuntos dessa cobertura. Se \(I_i\subset V_k\), então
Nos demais subintervalos, contidos em algum \(G_j\), usamos
Como os subintervalos de \(P\) têm interiores disjuntos, a soma dos comprimentos daqueles contidos na união dos \(G_j\) é no máximo
Consequentemente,
O Critério de Darboux conclui a prova.
A função de Thomae
é contínua em todo irracional e descontínua em todo racional.
De fato, fixe \(x_0\notin \mathbb {Q}\) e \(\varepsilon \gt 0\). Escolha \(N\) tal que \(1/N\lt \varepsilon \). No intervalo \([x_0-1,x_0+1]\) há apenas finitíssimos racionais reduzidos \(p/q\) com \(q\le N\): para cada um dos finitíssimos denominadores \(q\le N\), apenas finitos inteiros \(p\) podem satisfazer \(p/q\in [x_0-1,x_0+1]\). Como \(x_0\) não é nenhum desses racionais, existe \(0\lt \delta \lt 1\) tal que \((x_0-\delta ,x_0+\delta )\) não contém nenhum desses finitíssimos pontos. Assim, se \(|x-x_0|\lt \delta \), então
e \(t\) é contínua em \(x_0\).
Se \(x_0=p/q\) é racional na forma reduzida, toda vizinhança de \(x_0\) contém irracionais \(y\), para os quais \(t(y)=0\), enquanto \(t(x_0)=1/q\gt 0\). Logo \(t\) é descontínua em \(x_0\).
Portanto o conjunto de descontinuidades é
que é enumerável e, pela Proposição 10.21, tem medida zero. Pelo Critério de Lebesgue, \(t\) é Riemann-integrável.
Como todo subintervalo contém irracionais, o ínfimo de \(t\) em cada subintervalo é \(0\). Portanto
para toda partição \(P\), e consequentemente
10.7 A função integral e o Teorema Fundamental do Cálculo
A definição de Darboux não usa primitivas. Agora podemos perguntar quando a integral produz uma primitiva.
Fixe \(f\in \mathcal R[a,b]\) e defina
Suponha \(x\lt y\). Pela aditividade,
Pelo Corolário 10.17,
Se \(y\lt x\), basta trocar os papéis de \(x\) e \(y\); para \(x=y\), a desigualdade é trivial.
Para \(h\neq 0\) suficientemente pequeno,
Subtraindo \(f(x_0)\),
Logo
O lado direito tende a \(0\) pela continuidade de \(f\) em \(x_0\).
Nos extremos \(a\) e \(b\), o mesmo argumento é aplicado apenas para \(h\gt 0\) ou \(h\lt 0\), respectivamente, produzindo as derivadas laterais correspondentes.
A recíproca, no sentido adequado, é a segunda parte do teorema.
Seja \(P=\{ x_0,\ldots ,x_n\} \) uma partição. Pelo Teorema do Valor Médio, para cada \(i\) existe \(\xi _i\in (x_{i-1},x_i)\) tal que
Somando,
O lado direito é uma soma de Riemann de \(h\). Pelo Teorema 10.10, quando a malha tende a zero essas somas convergem para
Logo
No interior de \([a,b]\), temos \(G'=f\). Como \(f\) é contínua, \(f\in \mathcal R[a,b]\) e fornece uma extensão Riemann-integrável da derivada aos extremos. Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo II.
Integração por partes e mudança de variável
A função \(fg\) é contínua em \([a,b]\), diferenciável em \((a,b)\), e
Pelo Teorema 10.15, a derivada \((fg)'\) é Riemann-integrável, pois \(f'g\) e \(fg'\) são integráveis por hipótese. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo II,
e basta rearranjar os termos.
Defina
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo I, \(F'=f\). Pela regra da cadeia,
Como \(f\circ \varphi \) e \(\varphi '\) são contínuas, o produto é contínuo e, portanto, Riemann-integrável. O Teorema Fundamental do Cálculo II aplicado a \(F\circ \varphi \) em \([\alpha ,\beta ]\) fornece
que é exatamente
10.8 Integrais infinitas
Até aqui, a integral de Riemann foi definida em intervalos fechados e limitados. Há, porém, situações naturais em que o domínio se estende indefinidamente. O exemplo mais simples é uma função definida em \([a,\infty )\). Nesse caso, integramos primeiro até um ponto finito \(R\) e estudamos o comportamento dessa integral quando \(R\to \infty \).
Diremos que \(f:[a,\infty )\to \mathbb {R}\) é Riemann-integrável em intervalos compactos se
Se \(f:[a,\infty )\to \mathbb {R}\) é Riemann-integrável em intervalos compactos, dizemos que a integral infinita
converge se existe, como número real, o limite
Nesse caso, definimos
Se esse limite não existe como número real, dizemos que a integral diverge.
De modo análogo, se \(f:(-\infty ,b]\to \mathbb {R}\) é Riemann-integrável em todo intervalo compacto \([R,b]\), definimos
quando esse limite existe e é finito.
Integrais desse tipo são também chamadas integrais impróprias sobre intervalos ilimitados. O termo imprópria indica que o novo objeto é definido por um limite de integrais de Riemann usuais.
A definição não depende do ponto \(c\). De fato, se \(c\lt d\), a aditividade em intervalos finitos fornece
Fazendo \(R\to \infty \), vemos que a convergência de uma das caudas direitas equivale à da outra, e seus valores diferem por \(\int _c^d f\). O mesmo vale para a cauda esquerda, e a soma total permanece inalterada.
Para funções não negativas, a convergência possui uma caracterização particularmente simples.
Defina
Como \(f\ge 0\), a monotonicidade da integral mostra que \(F\) é não decrescente. Se \(F(R)\) converge para um número real \(L\), então seus valores são limitados superiormente.
Reciprocamente, suponha que \(F\) seja limitada superiormente e ponha
Dado \(\varepsilon \gt 0\), pela definição de supremo existe \(R_0\gt a\) tal que
Se \(R\ge R_0\), a monotonicidade dá
Logo \(F(R)\to L\) quando \(R\to \infty \), e a integral infinita converge.
Quando \(f\ge 0\) e as integrais parciais não são limitadas superiormente, temos
Nesse caso é comum escrever
entendendo que a integral diverge para \(+\infty \).
se \(\displaystyle \int _a^\infty g(x)\, dx\) converge, então \(\displaystyle \int _a^\infty f(x)\, dx\) converge;
se \(\displaystyle \int _a^\infty f(x)\, dx\) diverge para \(+\infty \), então \(\displaystyle \int _a^\infty g(x)\, dx\) também diverge para \(+\infty \).
Para \(R\ge A\),
Se \(\int _a^\infty g\) converge, então, pela aditividade,
também converge. Assim, as integrais
são limitadas superiormente. Pela Proposição 10.36, aplicada agora no intervalo \([A,\infty )\), a integral
converge. Somando a integral finita \(\int _a^A f\), concluímos que \(\int _a^\infty f\) converge.
O segundo item é a contrapositiva do primeiro, observando que, a partir de \(A\), as duas funções são não negativas; portanto, se uma das integrais diverge, sua cauda diverge para \(+\infty \).
O modelo fundamental é a integral das potências.
As integrais infinitas transformam, portanto, uma questão sobre um domínio não limitado em uma questão de convergência da função
É exatamente esse ponto de vista que aparece no critério integral para séries.
10.9 Integral de Riemann–Stieltjes
Na integral de Riemann, cada subintervalo \([x_{i-1},x_i]\) recebe o peso
Nada obriga, porém, que a acumulação seja medida pelo comprimento. Seja \(\alpha :[a,b]\to \mathbb {R}\) uma função não decrescente. Podemos medir o subintervalo pela variação
Quando \(\alpha (x)=x\), recuperamos a teoria anterior. Quando \(\alpha \) tem saltos, parte do peso fica concentrada em pontos. Essa possibilidade é a novidade essencial da integral de Stieltjes.
Como \(\alpha \) é não decrescente, todos os pesos \(\Delta \alpha _i\) são não negativos. O argumento de refinamento usado para as somas de Darboux permanece válido sem mudança essencial.
Como no caso de Darboux, basta inserir um único ponto \(c\in (x_{k-1},x_k)\). Escreva
Como \(\alpha \) é não decrescente,
Se \(m,m',m''\) são os ínfimos de \(f\) no intervalo original e nos dois subintervalos, então \(m\le m',m''\), e portanto
Logo a soma inferior não diminui. O argumento com supremos mostra que a soma superior não aumenta. Inserindo sucessivamente os pontos de um refinamento, obtemos as desigualdades externas. A desigualdade
segue termo a termo de \(m_i\le M_i\) e \(\Delta \alpha _i\ge 0\).
Para o refinamento comum \(R=P\cup Q\),
Se \(|f|\le M\), então, para toda partição \(P\),
Assim, as famílias de somas inferiores e superiores são, respectivamente, limitadas superior e inferiormente. Além disso, pelo Corolário 10.35, toda soma inferior é menor que toda soma superior.
Pelo Corolário 10.35,
A integral de Riemann é o caso
10.10 Caracterizações da integrabilidade de Stieltjes
A teoria de Darboux reaparece quase palavra por palavra, mas com os comprimentos \(\Delta x_i\) substituídos pelas variações \(\Delta \alpha _i\).
Se
então, pela definição de supremo e ínfimo, existem partições \(P_1,P_2\) tais que
Para o refinamento comum \(P=P_1\cup P_2\),
e assim
Reciprocamente, suponha que para todo \(\varepsilon \gt 0\) exista \(P\) com
Como
a diferença entre as integrais superior e inferior é menor que \(\varepsilon \) para todo \(\varepsilon \gt 0\). Logo elas coincidem.
Como
obtemos imediatamente:
Para toda partição,
A conclusão é exatamente o Critério de Darboux–Stieltjes escrito nessa forma.
Somas de Riemann–Stieltjes
Para uma partição marcada \((P,\xi )\), defina
\(f\in \mathcal R(\alpha ;[a,b])\);
existe \(I\in \mathbb {R}\) tal que, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe uma partição \(P_0\) para a qual toda partição marcada \((P,\xi )\) com \(P\) refinando \(P_0\) satisfaz
\[ |S_\alpha (f;P,\xi )-I|\lt \varepsilon . \]
Suponha primeiro que
exista. Pelo Critério de Darboux–Stieltjes, dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(P_0\) tal que
Se \(P\) refina \(P_0\), então
Como \(J\) também pertence ao intervalo entre as somas inferior e superior,
Reciprocamente, suponha que exista \(I\) com a propriedade do item 2. Fixe \(\varepsilon \gt 0\) e escolha \(P_0=\{ x_0,\ldots ,x_n\} \) de modo que toda soma marcada associada a um refinamento de \(P_0\) fique a menos de \(\varepsilon /4\) de \(I\).
Para cada \(i\) com \(\Delta \alpha _i=\alpha (x_i)-\alpha (x_{i-1})\gt 0\), escolha marcas \(\xi _i^+,\xi _i^-\in I_i\) tais que
e
Nos intervalos com \(\Delta \alpha _i=0\), as marcas são irrelevantes. Então
Como as duas somas marcadas estão a menos de \(\varepsilon /4\) de \(I\), segue que
Logo \(f\in \mathcal R(\alpha ;[a,b])\).
Para identificar \(I\), aplique a primeira parte ao valor
Dado \(\eta \gt 0\), escolha uma partição que refine simultaneamente as partições associadas a \(I\) e a \(J\). Qualquer soma marcada desse refinamento fica a menos de \(\eta \) de ambos; portanto
Como \(\eta \) é arbitrário, \(I=J\).
Para toda partição marcada,
Dados \(\varepsilon \gt 0\), use o Teorema 10.39 para escolher partições-base para \(f\) e \(g\), com erros suficientemente pequenos, e tome um refinamento comum. A identidade acima mostra que todas as somas do refinamento convergem para
A caracterização por somas conclui a prova.
Para qualquer partição marcada,
Escolha partições-base para as duas integrais e tome um refinamento comum. A caracterização por somas de Stieltjes fornece a fórmula. A última afirmação segue porque os incrementos de um integrador constante são todos nulos.
Para a integral de Stieltjes, a formulação por refinamentos é mais natural que a formulação puramente pela malha: uma função \(\alpha \) pode concentrar uma quantidade positiva de variação em um único ponto.
Em \([-1,1]\), defina
A função \(f\) é Riemann–Stieltjes integrável em relação a \(\alpha \), com integral \(0\). De fato, tome
Em qualquer refinamento de \(P_0\), o único incremento não nulo de \(\alpha \) ocorre no subintervalo que termina em \(0\), e \(f\) é identicamente nula nesse subintervalo. Logo todas as somas marcadas de todos os refinamentos de \(P_0\) valem \(0\).
Por outro lado, podemos escolher partições \(P_n\) com
e contendo um subintervalo
que atravessa \(0\). Nesse subintervalo o incremento de \(\alpha \) vale \(1\). Se a marca for escolhida à esquerda de \(0\), a contribuição é \(0\); se for escolhida à direita, a contribuição é \(1\). Portanto as somas marcadas não convergem uniformemente nas marcas quando apenas exigimos \(\| P\| \to 0\).
Se \(\alpha \) é contínua, essa dificuldade desaparece.
Suponha primeiro que
Fixe \(\varepsilon \gt 0\). Pelo Teorema 10.39, escolha
tal que toda soma marcada de todo refinamento de \(P_0\) esteja a menos de \(\varepsilon /2\) de \(I\).
Se \(m=1\), qualquer partição refina \(P_0\). Suponha \(m\ge 2\) e ponha \(M=\| f\| _\infty \). Pela continuidade uniforme de \(\alpha \), existe \(\delta \gt 0\) tal que, sempre que \(|u-v|\lt \delta \),
Se \(P\) tem malha menor que \(\delta \), ponha \(R=P\cup P_0\). A passagem de \(P\) para \(R\) altera apenas os subintervalos de \(P\) que contêm algum dos pontos \(t_1,\ldots ,t_{m-1}\). Há no máximo \(m-1\) deles. Escolhendo marcas em \(R\) como no argumento do Teorema 10.10, obtemos
Como \(R\) refina \(P_0\),
e portanto
Reciprocamente, suponha que a condição da malha valha para algum \(I\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(\delta \gt 0\) de modo que toda soma marcada associada a uma partição de malha menor que \(\delta \) fique a menos de \(\varepsilon /4\) de \(I\). Escolha uma partição \(P\) com \(\| P\| \lt \delta \). Aproximando, em cada subintervalo, o supremo e o ínfimo de \(f\) por valores de \(f\), obtemos marcas \(\xi ^+,\xi ^-\) tais que
As duas somas marcadas estão a menos de \(\varepsilon /4\) de \(I\). Logo
O Critério de Darboux–Stieltjes prova a integrabilidade, e a unicidade no Teorema 10.39 mostra que o valor da integral é \(I\).
10.11 Funções Stieltjes-integráveis
Como \(f\) é uniformemente contínua, dado \(\varepsilon \gt 0\) existe uma partição \(P\) suficientemente fina para que
para todo \(i\). Então
O resultado complementar exige continuidade do integrador.
Suponha primeiro que \(f\) seja não decrescente. Para uma partição \(P\),
e portanto
Como \(\alpha \) é uniformemente contínua, podemos escolher uma partição de malha suficientemente pequena para tornar \(\max _i\Delta \alpha _i\) arbitrariamente pequeno. O Critério de Darboux–Stieltjes conclui.
Se \(f\) é não crescente, então \(-f\) é não decrescente. O caso anterior e a linearidade em relação ao integrando, Teorema 10.40, concluem a prova.
Conjuntos \(\alpha \)-nulos
Quando \(\alpha \) é contínua e não decrescente, existe uma versão ponderada do critério de Lebesgue.
Para \(\alpha (x)=x\), recuperamos a noção usual de medida zero.
todo subconjunto de um conjunto \(\alpha \)-nulo é \(\alpha \)-nulo;
toda união enumerável de conjuntos \(\alpha \)-nulos é \(\alpha \)-nula;
todo conjunto enumerável é \(\alpha \)-nulo.
O primeiro item é imediato. Para o segundo, se
e cada \(E_n\) é \(\alpha \)-nulo, cubra \(E_n\) por intervalos cuja soma das variações de \(\alpha \) seja menor que \(\varepsilon /2^n\). A reunião dessas coberturas tem variação total menor que \(\varepsilon \).
Para o terceiro, basta mostrar que um ponto é \(\alpha \)-nulo. Fixe \(x\in [a,b]\) e \(\varepsilon \gt 0\). Pela continuidade de \(\alpha \), podemos escolher um intervalo aberto relativo \(J\) contendo \(x\) de modo que
Logo \(\{ x\} \) é \(\alpha \)-nulo, e o item 2 conclui o caso enumerável.
Para \(m\in \mathbb {N}\), defina
Pelo Lema 10.23, cada \(D_m\) é fechado. Além disso,
pela caracterização da continuidade pela oscilação e pela propriedade arquimediana, exatamente como na prova do Teorema 10.25.
Suponha primeiro que \(f\in \mathcal R(\alpha ;[a,b])\). Fixe \(m\) e \(\varepsilon \gt 0\). Pelo critério de oscilação ponderada, escolha uma partição \(P=\{ x_0,\ldots ,x_n\} \) tal que
Nos subintervalos para os quais
a soma das variações \(\Delta \alpha _i\) é menor que \(\varepsilon /4\). Todo ponto de \(D_m\) que não pertença à partição está no interior de um desses subintervalos.
Como \(\alpha \) é contínua, podemos alargar ligeiramente os finitíssimos subintervalos selecionados para intervalos abertos de modo que a soma das variações de \(\alpha \) fique menor que \(\varepsilon /2\). Pela Proposição 10.47, os finitíssimos pontos da partição também podem ser cobertos por intervalos de variação total menor que \(\varepsilon /2\). Logo \(D_m\) é \(\alpha \)-nulo. Aplicando novamente a Proposição 10.47,
é \(\alpha \)-nulo.
Reciprocamente, suponha que \(D_f\) seja \(\alpha \)-nulo. Se \(f\equiv 0\), o resultado é imediato. Suponha
Fixe \(\varepsilon \gt 0\). Se \(\alpha (b)=\alpha (a)\), todas as somas de Stieltjes são nulas e não há o que provar. Caso contrário, escolha \(\eta \gt 0\) tal que
O conjunto
é compacto e está contido em \(D_f\); logo é \(\alpha \)-nulo. Escolha intervalos abertos relativos \(G_1,G_2,\ldots \) cobrindo \(K_\eta \) e satisfazendo
Pela compacidade de \(K_\eta \), basta uma subfamília finita \(G_1,\ldots ,G_r\).
No compacto
temos \(\omega _f(x)\lt \eta \). Para cada ponto desse compacto, escolha uma vizinhança aberta \(V_x\) na qual a oscilação de \(f\) seja menor que \(\eta \). Uma subfamília finita \(V_1,\ldots ,V_s\) já cobre o compacto. Portanto
é uma cobertura aberta finita de \([a,b]\). Pelo Lema 10.24, escolha uma partição \(P\) de malha tão pequena que cada subintervalo \(I_i\) esteja contido em um desses abertos.
Se \(I_i\subset V_k\), então
Nos demais subintervalos usamos \(\omega (f;I_i)\le 2M\). Para os subintervalos contidos na união dos \(G_j\), a soma dos incrementos de \(\alpha \) é no máximo
De fato, podemos atribuir cada subintervalo a um dos \(G_j\) que o contém; para um \(j\) fixo, a soma dos incrementos de \(\alpha \) sobre subintervalos disjuntos contidos em \(G_j\) não excede \(|G_j|_\alpha \), pela monotonicidade de \(\alpha \). Consequentemente,
O Critério de Darboux–Stieltjes conclui a prova.
Esse teorema explica precisamente o papel dos saltos do integrador. Quando \(\alpha \) possui um salto, um ponto isolado pode carregar peso positivo; nesse ponto, uma descontinuidade de \(f\) deixa de ser desprezível.
10.12 Saltos e pesos concentrados
Considere, para \(c\in (a,b]\), a função
Ela é não decrescente e possui um único salto, de tamanho \(1\), em \(c\).
Comecemos com um único salto. Fixe \(\varepsilon \gt 0\). Pela continuidade de \(f\) em \(c\), existe \(u\lt c\) tal que
Escolha uma partição \(P_0\) que contenha \(u\) e \(c\). Em qualquer refinamento \(P\) de \(P_0\), todos os incrementos de \(H_c\) são nulos, exceto o incremento do único subintervalo cuja extremidade direita é \(c\). Esse incremento vale \(1\), e tal subintervalo está contido em \([u,c]\).
Assim, para qualquer sistema de marcas,
para alguma \(\xi _k\in [u,c]\). Consequentemente,
Pelo Teorema 10.39,
Para
a constante \(C\) não contribui para os incrementos. Aplicando a linearidade em relação ao integrador, Teorema 10.41, obtemos
Esse exemplo mostra a diferença conceitual entre Riemann e Stieltjes. A medida por comprimento ignora pontos isolados; um integrador com saltos pode atribuir peso positivo exatamente a esses pontos.
10.13 Quando \(d\alpha \) se reduz a um peso \(dx\)
A outra situação fundamental ocorre quando a variação de \(\alpha \) está distribuída continuamente.
Como \(\alpha '\) é contínua, o Teorema 10.11 mostra que \(\alpha '\in \mathcal R[a,b]\). Pelo Teorema 10.15, a função
também é Riemann-integrável.
Seja \((P,\xi )\) uma partição marcada. Em cada subintervalo \([x_{i-1},x_i]\), o Teorema do Valor Médio aplicado a \(\alpha \) fornece \(\eta _i\in (x_{i-1},x_i)\) tal que
Logo
Por outro lado, a soma de Riemann de \(f\alpha '\) com as mesmas marcas é
Se \(M=\| f\| _\infty \), então
onde
Como \(\alpha '\) é uniformemente contínua,
Pelo Teorema 10.10,
uniformemente nas marcas quando \(\| P\| \to 0\). Portanto as somas de Riemann–Stieltjes têm o mesmo limite. Como \(\alpha \) é contínua, o Corolário 10.43 conclui que
Em particular, para \(\alpha (x)=x\),
no sentido da integral.
10.14 Integradores de variação limitada
A hipótese de que \(\alpha \) seja não decrescente garante pesos não negativos. Podemos ir além permitindo que o integrador tenha variação total finita.
Para \(\alpha :[a,b]\to \mathbb {R}\) e uma partição \(P\), defina
Dizemos que \(\alpha \) tem variação limitada em \([a,b]\) quando existe \(M\gt 0\) tal que
para toda partição \(P\) de \([a,b]\).
Nesse caso, o conjunto
é não vazio e limitado superiormente. Pela completude de \(\mathbb {R}\), possui supremo. Definimos então a variação total de \(\alpha \) por
Adotamos também a convenção
Se \(P\) é uma partição de \([a',b']\), acrescente a \(P\) os pontos \(a,a',b',b\), quando distintos, obtendo uma partição \(Q\) de \([a,b]\). Todos os termos que aparecem em \(V(\alpha ,P)\) também aparecem em \(V(\alpha ,Q)\), possivelmente junto com termos adicionais não negativos. Logo
Portanto as variações das partições de \([a',b']\) são uniformemente limitadas; tomando o supremo, obtemos a desigualdade desejada.
Se \(\alpha \) é não decrescente, então, para toda partição,
Logo o supremo dessas variações tem o mesmo valor. O caso não crescente é análogo, pois todos os incrementos têm sinal não positivo.
Para qualquer \(x\in [a,b]\),
Logo
Suponha primeiro que
com \(\alpha _1,\alpha _2\) não decrescentes. Para qualquer partição \(P=\{ x_0,\ldots ,x_n\} \),
Tomando o supremo em \(P\), vemos que \(\alpha \) tem variação limitada.
Reciprocamente, suponha
e defina
Essa quantidade é finita, pois
Se \(x\lt y\), qualquer partição de \([a,x]\), acrescida dos pontos \(x,y\), fornece
Mais precisamente, tomando supremos sobre as partições de \([a,x]\),
Defina
Para \(x\lt y\),
pois
Do mesmo modo,
Logo \(\alpha _1\) e \(\alpha _2\) são não decrescentes e
A integral para integradores de variação limitada
Para uma função \(\alpha \) de variação limitada, usaremos a decomposição canônica produzida na prova do Teorema 10.56:
As duas funções \(\alpha _+\) e \(\alpha _-\) são não decrescentes.
Escreva
Então
Aplique o Teorema 10.39 às duas integrais, com erro \(\varepsilon /2\), e tome um refinamento comum das duas partições-base.
As funções \(\alpha _+\) e \(\alpha _-\) são não decrescentes. Pelo Teorema 10.44, uma função contínua \(f\) é integrável em relação a ambas.
A decomposição canônica torna a definição acima inequívoca. Além disso, se
é outra decomposição em funções não decrescentes e \(f\) também é integrável em relação a \(\beta _1\) e \(\beta _2\), então o valor obtido por essa decomposição coincide com o valor canônico. De fato,
Pela linearidade em relação ao integrador, Teorema 10.41,
e as duas diferenças coincidem.
Escreva as decomposições canônicas
A existência de
significa que \(f\) é integrável em relação a \(\alpha _+\) e \(\alpha _-\); analogamente, a existência de
significa que \(\alpha \) é integrável em relação a \(f_+\) e \(f_-\).
Fixe \(\varepsilon \gt 0\). Pela caracterização por somas de Stieltjes, podemos escolher uma única partição \(P_0\) tal que, para todo refinamento \(P=\{ x_0,\ldots ,x_n\} \) de \(P_0\), as somas com marcas nas extremidades satisfaçam
e
Isso segue do Corolário 10.58, aplicado às duas integrais, tomando depois um refinamento comum das partições-base.
Para toda partição \(P\), vale a identidade algébrica exata
Somando em \(i\), obtemos
As duas somas do lado direito ficam, para todo refinamento suficientemente fino no sentido de refinamento, a menos de \(\varepsilon \) das integrais correspondentes. Logo
Como \(\varepsilon \) é arbitrário, segue a fórmula desejada.
10.15 O que as duas integrais estão medindo
A integral de Riemann corresponde ao integrador identidade:
Se \(\alpha \in C^1[a,b]\) é não decrescente,
para toda \(f\in \mathcal R[a,b]\); nesse caso, a variação de \(\alpha \) atua como uma densidade.
Se \(\alpha \) é uma função degrau com saltos \(p_j\) nos pontos \(c_j\), e \(f\) é contínua nesses pontos,
e a integral se torna uma soma ponderada.
Esses dois extremos revelam a ideia central:
e
A integral de Stieltjes contém, numa mesma linguagem, integrais ponderadas e somas discretas. Essa flexibilidade será uma das pontes naturais entre Análise, Probabilidade e teoria da medida.
10.16 Exercícios
Seja \(f:[a,b]\to \mathbb {R}\) limitada. Prove diretamente, a partir das definições, que Calcule as integrais inferior e superior da função de Dirichlet em \([0,1]\). Seja \(f\) limitada em \([a,b]\) e suponha que \(f\) seja nula fora de um conjunto finito. Prove que \(f\) é Riemann-integrável e que Seja \(f:[a,b]\to \mathbb {R}\) limitada e suponha que o conjunto seja enumerável. Suponha ainda que \(f\) seja contínua em todo ponto de \([a,b]\setminus E\). Prove que \(f\) é Riemann-integrável e que Prove que uma função com um número finito de descontinuidades em \([a,b]\) é Riemann-integrável sempre que for limitada e contínua fora desses pontos. Seja \(f\in \mathcal R[a,b]\). Prove que, se para todo \(x\), então Prove que, se \(f\in \mathcal R[a,b]\) e então \(f(x)=0\) em todo ponto de continuidade de \(f\). Seja \(f\) contínua e não negativa em \([a,b]\). Prove que Prove o teorema do valor médio para integrais: se \(f\) é contínua em \([a,b]\), existe \(c\in [a,b]\) tal que Se \(f,g\in \mathcal R[a,b]\) e \(g\ge 0\), prove que existem \(m,M\) tais que onde \(m=\inf f\) e \(M=\sup f\). Se \(f\) é contínua, deduza que existe \(c\in [a,b]\) com Prove diretamente pelo critério de Darboux que a função de Thomae é Riemann-integrável em \([0,1]\) e tem integral zero, sem usar o critério de Lebesgue. Retome o conjunto de Cantor do Exemplo 6.88. Mostre que ele tem medida zero. Use o critério de Lebesgue para mostrar que a função indicadora do conjunto de Cantor é Riemann-integrável. Seja \(F(x)=\int _a^x f(t)\, dt\), com \(f\in \mathcal R[a,b]\). Prove que \(F\) é Lipschitz e determine uma constante de Lipschitz em termos de \(f\). Dê um exemplo de função Riemann-integrável \(f\) para a qual a função integral não seja diferenciável em algum ponto. Prove o Teorema Fundamental do Cálculo I usando apenas as somas superior e inferior, sem recorrer à estimativa do Teorema 10.27. Seja \(G\) contínua em \([a,b]\) e diferenciável em \((a,b)\). Suponha que \(G'\) admita uma extensão Riemann-integrável a \([a,b]\). Prove novamente usando diretamente a caracterização por somas de Riemann. Seja em \([0,1]\). Calcule de duas formas: pela definição de Stieltjes e pelo Teorema 10.51. Seja \(H_c\) a função degrau definida no texto. Mostre que, se \(f\) não é contínua em \(c\), então \(f\) pode deixar de ser Riemann–Stieltjes integrável em relação a \(H_c\). Para prove diretamente pelas somas de Darboux–Stieltjes que sempre que \(f\) seja contínua nos pontos \(c_j\). Suponha que \(\alpha \) seja contínua e estritamente crescente. Mostre que um conjunto \(E\subset [a,b]\) é \(\alpha \)-nulo se, e somente se, \(\alpha (E)\subset [\alpha (a),\alpha (b)]\) tem medida zero. Em \([0,1]\), defina Construa uma função limitada \(f\) que seja descontínua em todos os pontos de \([0,\frac12]\), mas Riemann–Stieltjes integrável em relação a \(\alpha \). Use o Critério de Lebesgue–Stieltjes para justificar sua resposta. Seja \(\alpha \in C^1[a,b]\). Mostre que, se \(\alpha '\ge 0\), então a definição de Riemann–Stieltjes fornece para toda \(f\in \mathcal R[a,b]\). Calcule a variação total das funções: \(\alpha (x)=x\) em \([a,b]\); \(\alpha (x)=|x|\) em \([-1,1]\); \(\alpha (x)=\sin x\) em \([0,2\pi ]\); uma função degrau com finitíssimos saltos. Se \(\alpha \) tem variação limitada e \(a\lt c\lt b\), prove a aditividade da variação total: Deduza que a função é não decrescente. Verifique a fórmula de integração por partes de Stieltjes quando \(f\) e \(\alpha \) são funções degrau com conjuntos de pontos de salto disjuntos. Explique por que a ausência de saltos comuns garante a existência das duas integrais. Depois recupere a fórmula para funções contínuas de variação limitada usando o teorema do texto. Seja \(F\) uma função de distribuição discreta com suporte finito \(\{ x_1,\ldots ,x_m\} \subset (a,b)\): Mostre que, para toda função contínua \(g:[a,b]\to \mathbb {R}\), Lema fundamental do cálculo das variações. Seja \(f:[a,b]\to \mathbb {R}\) contínua. Suponha que para toda função contínua \(g:[a,b]\to \mathbb {R}\). Prove que Mostre que é suficiente supor a identidade apenas para funções contínuas \(g\ge 0\). Lema de Riemann–Lebesgue elementar. Seja \(f\in \mathcal R[a,b]\). Prove que e Se \(s\) é constante por partes, escreva seus valores como \(c_i\) nos intervalos de uma partição finita. As estimativas mostram que ambas as integrais com integrando \(s\) têm módulo no máximo \((2/n)\sum _i|c_i|\), que tende a zero. Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha uma partição \(P\) com \(U(f,P)-L(f,P)\lt \varepsilon \). Tome em cada intervalo aberto da partição o ínfimo de \(f\) no intervalo fechado correspondente, definindo uma função degrau \(s\). Os valores nos finitíssimos pontos da partição são irrelevantes para a integral, e Por isso, Tomando limite superior e depois fazendo \(\varepsilon \downarrow 0\), obtemos o primeiro limite. O argumento com o cosseno é idêntico. Mudança de variável. Seja \(\varphi :[\alpha ,\beta ]\to [a,b]\) de classe \(C^1\), estritamente crescente, com Para \(f\) contínua em \([a,b]\), prove Formule e prove a versão correspondente quando \(\varphi \) é estritamente decrescente. Decomposição de Jordan. Seja \(\alpha :[a,b]\to \mathbb {R}\). Prove que \(\alpha \) tem variação limitada se, e somente se, pode ser escrita na forma onde \(u\) e \(v\) são funções não decrescentes. Dê uma construção explícita de \(u\) e \(v\) em termos da função de variação Se \(\alpha =u-v\), com \(u,v\) não decrescentes, então, para qualquer partição, Logo \(\alpha \) tem variação limitada. Reciprocamente, suponha que \(\alpha \) tenha variação limitada e ponha \(V(x)=V_a^x(\alpha )\). Para \(x\lt y\), a aditividade da variação dá Defina A desigualdade anterior implica \(u(y)\ge u(x)\) e \(v(y)\ge v(x)\). Assim, \(u,v\) são não decrescentes e \(\alpha =u-v\). Oscilação e critério de Lebesgue. Seja \(f:[a,b]\to \mathbb {R}\) limitada e defina Prove que: \(D_\eta \) é fechado; se \(f\) é Riemann-integrável, então \(D_\eta \) tem medida zero; conclua que o conjunto de pontos de descontinuidade de \(f\) tem medida zero. Se \(\omega _f(x)\lt \eta \), existe uma vizinhança relativa de \(x\) na qual a oscilação de \(f\) é menor que \(\eta \). Pontos suficientemente próximos de \(x\) possuem vizinhanças contidas nela e também têm oscilação menor que \(\eta \). Assim, \([a,b]\setminus D_\eta \) é aberto relativo, e \(D_\eta \) é fechado. Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha uma partição \(P\) tal que A soma dos comprimentos dos subintervalos com oscilação pelo menos \(\eta \) é menor que \(\varepsilon /2\). Todo ponto de \(D_\eta \) que não seja ponto da partição pertence ao interior de um desses subintervalos. Seus interiores, juntamente com intervalos abertos cobrindo os finitíssimos pontos da partição e de comprimento total menor que \(\varepsilon /2\), cobrem \(D_\eta \) com comprimento total menor que \(\varepsilon \). Logo \(D_\eta \) tem medida zero. Uma função é descontínua em \(x\) precisamente quando \(\omega _f(x)\gt 0\). Portanto A união enumerável de conjuntos de medida zero tem medida zero, concluindo a demonstração.
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