Daniel Miranda Machado
Matemática- CMCC
Daniel Miranda Machado

Tópicos em Probabilidade – Percolação em Grupos

2T23 4T45

Ementa

Percolação em grafos transitivos. Transição de fase. Desigualdade de FKG. Desigualdade de BK. Fórmula de Russo. Amenabilidade. Número de clustersinfinitos. Princípio de transporte de massa para grafos de Cayley. Regimes
subcrítico e supercrítico. Argumento de Duminil-Copin & Tassion. Passeios no cluster de percolação. Introdução à Percolação de Primeira Passagem.

Descrição

Este curso tem como objetivo explorar os principais conceitos e resultados relacionados à percolação em grafos, com foco especial em grafos transitivos e suas propriedades. O estudo inclui tópicos fundamentais como a transição de fase, desigualdades clássicas, regimes críticos e aspectos geométricos e probabilísticos dos clusters de percolação.

Os temas abordados incluem:

  • Percolação em grafos transitivos: análise de como a estrutura dos grafos influencia a conectividade e os fenômenos de percolação.
  • Transição de fase: caracterização do ponto crítico e mudança entre os regimes subcrítico e supercrítico.
  • Desigualdades de FKG e BK: ferramentas probabilísticas para análise da dependência entre eventos em percolação.
  • Fórmula de Russo: descrição da evolução da probabilidade de eventos em relação ao parâmetro de percolação.
  • Amenabilidade e número de clusters infinitos: estudo do comportamento de grafos de Cayley e a relação com clusters de percolação.
  • Princípio de transporte de massa
  • Regimes subcrítico e supercrítico: análise detalhada das propriedades dos clusters em diferentes regimes.
  • Argumento de Duminil-Copin & Tassion: resultados recentes sobre percolação e técnicas modernas.

Além disso, será introduzida a ideia de passeios aleatórios nos clusters de percolação e o conceito de percolação de primeira passagem.

Bibliografia


Os seguintes textos são recomendados para aprofundamento:

  1. LYONS, Russell; PERES, Yuval. Probability on Trees and Networks. Cambridge University Press, 2017.
  2. YADIN, Ariel. Harmonic Functions and Random Walks on Groups. Cambridge University Press, 2024.
  3. YADIN, Ariel. An Introduction to Percolation. Disponível em: link, 2020.
  4. DUMINIL-COPIN, Hugo. Introduction to Bernoulli Percolation. Disponível em: link, 2018.
  5. FONTES, Luiz Renato. Notas em Percolação. Disponível em: link, 1996.

Cronograma de Aulas

O curso está organizado da seguinte forma:

  1. Aula 1: Preliminares sobre grafos.
  2. Aula 2: Monotonicidade e ergodicidade.
  3. Aula 3: Percolação em $\theta_p$.
  4. Aula 4: Percolação no grafo $\mathbb{Z}^d$.
  5. Aula 5: Percolação em árvores.
  1. Aula 6: Número de componentes infinitos (Parte I).
  2. Aula 7: Número de componentes infinitos (Parte II).
  3. Aula 8: Fórmulas de Russo e BK.
  4. Aula 9: Regime subcrítico.
  5. Aula 10: Regime subcrítico (continuação).
  6. Aula 11: Regime subcrítico (continuação).
  1. Aula 12: Percolação no plano.
  2. Aula 13: Percolação no plano (continuação).
  3. Aula 14: Além de $\mathbb{Z}^d$ – Transporte de massa (Parte I).
  4. Aula 15: Além de $\mathbb{Z}^d$ – Transporte de massa (Parte II).
  5. Aula 16: Além de $\mathbb{Z}^d$ – Transporte de massa (Parte III).
  1. Aula 17: Percolação de primeira passagem.
  2. Aula 18: Percolação de primeira passagem (continuação).
  3. Aula 19: Percolação acessível.
  4. Aula 20: Tema a ser definido.