Capítulo 12
Espaços Métricos Completos
Metrizabilidade e completude são propriedades distintas. A primeira exige a existência de uma métrica que induza a topologia dada. A segunda se refere a uma métrica escolhida e exige que toda sequência de Cauchy tenha limite no espaço.
Essa distinção é essencial. O intervalo \((0,1)\) com a métrica usual não é completo, embora seja homeomorfo a \(\mathbb R\) e, portanto, admita uma métrica compatível completa. Depois de estudar completamentos, veremos duas consequências centrais da completude: o Teorema do Ponto Fixo de Banach e o Teorema de Baire.
12.1 Sequências de Cauchy e completude
Definição 12.1 (Sequência de Cauchy)
Seja \((X,d)\) um espaço métrico. Uma sequência \((x_n)\) é de Cauchy quando, para todo \(\varepsilon \gt 0\), existe \(N\) tal que
\[ m,n\geq N \quad \Longrightarrow \quad d(x_m,x_n)\lt \varepsilon . \]
Definição 12.2 (Espaço completo)
Um espaço métrico \((X,d)\) é
completo quando toda sequência de Cauchy em \(X\) converge para um ponto de \(X\).
Toda sequência convergente é de Cauchy. A recíproca caracteriza precisamente a completude.
Proposição 12.3
Toda sequência de Cauchy em um espaço métrico é limitada.
Demonstração
▼
Se \((x_n)\) é de Cauchy, existe \(N\) tal que
\[ m,n\geq N\Longrightarrow d(x_m,x_n)\lt 1. \]
Em particular, para \(n\geq N\) temos \(d(x_n,x_N)\lt 1\). Os termos anteriores a \(x_N\) são finitos em número. Logo toda a sequência está contida em alguma bola centrada em \(x_N\).
Proposição 12.4
Se \(A\) é um subespaço de um espaço métrico \((X,d)\), então:
se \(X\) é completo e \(A\) é fechado, então \(A\) é completo;
se \(A\) é completo, então \(A\) é fechado em \(X\).
Demonstração
▼
Se \((a_n)\) é de Cauchy em \(A\), então também é de Cauchy em \(X\). Pela completude de \(X\), existe \(x\in X\) com \(a_n\to x\). Como \(A\) é fechado, \(x\in A\).
Reciprocamente, suponha \(A\) completo e seja \(x\in \overline A\). Para cada \(n\geq 1\), escolha \(a_n\in A\) com \(d(a_n,x)\lt 1/n\). Então \(a_n\to x\) em \(X\), logo \((a_n)\) é de Cauchy em \(A\). Pela completude de \(A\), existe \(a\in A\) com \(a_n\to a\). A unicidade do limite em espaços métricos dá \(x=a\in A\).
Definição 12.5 (Completamente metrizável)
Um espaço topológico é
completamente metrizável quando admite alguma métrica compatível que seja completa.
Exemplo 12.6
O intervalo \((0,1)\) com a métrica usual não é completo. Entretanto, a aplicação
\[ h:(0,1)\longrightarrow \mathbb R, \qquad h(x)=\log \frac{x}{1-x}, \]
é um homeomorfismo. A métrica
\[ \rho (x,y)=|h(x)-h(y)| \]
é compatível com a topologia usual de \((0,1)\) e é completa, pois \(h\) é uma isometria de \(((0,1),\rho )\) sobre \(\mathbb R\).
O exemplo mostra que a completude de uma métrica não é determinada apenas pela topologia que ela induz. A existência de alguma métrica compatível completa, por outro lado, é uma propriedade topológica.
Exemplo 12.7 (O círculo como completamento de um subgrupo)
O círculo com a distância de corda é completo, pois é fechado em \(\mathbb C\cong \mathbb {R}^2\), que é completo. O subgrupo denso \(H_{\mathbb {Q}}\) não é completo. Escolha um irracional \(\alpha \) e racionais \(r_n\to \alpha \). Então \(z_n=e^{2\pi i r_n}\) pertence a \(H_{\mathbb {Q}}\) e converge, no círculo, para \(e^{2\pi i\alpha }\notin H_{\mathbb {Q}}\). A sequência é de Cauchy, mas não tem limite em \(H_{\mathbb {Q}}\), pela unicidade do limite no círculo. Assim, a inclusão isométrica \(H_{\mathbb {Q}}\hookrightarrow \mathbb S^1\) realiza \(\mathbb S^1\) como seu completamento. Também as operações se estendem: se \(z_n\to z\) e \(w_n\to w\), as estimativas de continuidade dão \(z_nw_n\to zw\) e \(z_n^{-1}\to z^{-1}\).
12.2 Completamento
Definição 12.8 (Completamento)
Um
completamento de um espaço métrico \((X,d)\) é um espaço métrico completo \((\widehat X,\widehat d)\) juntamente com uma isometria
\[ \iota :X\longrightarrow \widehat X \]
cuja imagem é densa.
A construção é análoga à passagem dos racionais aos reais: pontos ausentes são representados por sequências de Cauchy.
Seja \(\mathcal C\) o conjunto de todas as sequências de Cauchy em \(X\). Para \((x_n),(y_n)\in \mathcal C\), defina
\[ (x_n)\sim (y_n) \quad \Longleftrightarrow \quad d(x_n,y_n)\longrightarrow 0. \]
É imediato verificar que \(\sim \) é uma relação de equivalência.
Lema 12.9
Se \((x_n)\) e \((y_n)\) são sequências de Cauchy em \(X\), então a sequência real \(d(x_n,y_n)\) converge.
Demonstração
▼
Pela desigualdade triangular,
\[ \bigl|d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)\bigr| \leq d(x_n,x_m)+d(y_n,y_m). \]
O lado direito tende a zero quando \(m,n\to \infty \). Logo \((d(x_n,y_n))\) é uma sequência de Cauchy em \(\mathbb R\), que é completo.
Defina
\[ \widehat X=\mathcal C/{\sim } \]
e, para classes \(\xi =[(x_n)]\) e \(\eta =[(y_n)]\),
\[ \widehat d(\xi ,\eta ) = \lim _{n\to \infty }d(x_n,y_n). \]
Proposição 12.10
A função \(\widehat d\) está bem definida e é uma métrica em \(\widehat X\).
Demonstração
▼
O Lema 12.9 garante a existência do limite. Se \((x_n)\sim (x'_n)\) e \((y_n)\sim (y'_n)\), então
\[ \bigl|d(x_n,y_n)-d(x'_n,y'_n)\bigr| \leq d(x_n,x'_n)+d(y_n,y'_n)\longrightarrow 0, \]
logo o valor do limite não depende dos representantes.
As propriedades de simetria e desigualdade triangular passam ao limite. Além disso,
\[ \widehat d([(x_n)],[(y_n)])=0 \]
se, e somente se, \(d(x_n,y_n)\to 0\), isto é, se, e somente se, as duas sequências representam a mesma classe.
Para \(x\in X\), seja \(\iota (x)\) a classe da sequência constante \((x,x,\ldots )\).
Teorema 12.11 (Existência do completamento)
Todo espaço métrico possui um completamento.
Demonstração
▼
A aplicação \(\iota :X\to \widehat X\) é isométrica, pois
\[ \widehat d(\iota (x),\iota (y))=d(x,y). \]
Mostremos primeiro que \(\iota (X)\) é densa. Seja \(\xi =[(x_n)]\in \widehat X\). Para cada \(N\),
\[ \widehat d(\iota (x_N),\xi ) = \lim _{n\to \infty }d(x_N,x_n). \]
Como \((x_n)\) é de Cauchy, esse valor tende a zero quando \(N\to \infty \).
Resta provar que \(\widehat X\) é completo. Seja \((\xi _m)\) uma sequência de Cauchy em \(\widehat X\). Pela densidade de \(\iota (X)\), escolha \(x_m\in X\) de modo que
\[ \widehat d(\iota (x_m),\xi _m)\lt 2^{-m}. \]
Então \((x_m)\) é de Cauchy em \(X\), pois
\[ d(x_m,x_n) \leq 2^{-m} +\widehat d(\xi _m,\xi _n) +2^{-n}. \]
Seja \(\xi =[(x_m)]\in \widehat X\). Como
\[ \widehat d(\iota (x_m),\xi ) = \lim _{n\to \infty }d(x_m,x_n), \]
o lado direito tende a zero quando \(m\to \infty \). Portanto
\[ \widehat d(\xi _m,\xi ) \leq \widehat d(\xi _m,\iota (x_m)) +\widehat d(\iota (x_m),\xi ) \longrightarrow 0. \]
Logo \(\widehat X\) é completo.
Teorema 12.12 (Unicidade do completamento)
Se \((Y,\iota )\) e \((Z,\jmath )\) são dois completamentos de \(X\), existe uma única isometria sobrejetiva
\[ T:Y\longrightarrow Z \]
tal que \(T\circ \iota =\jmath \).
Demonstração
▼
Dado \(y\in Y\), escolha uma sequência \((x_n)\) em \(X\) tal que \(\iota (x_n)\to y\). Como \(\iota \) é isométrica, \((x_n)\) é de Cauchy em \(X\); portanto \((\jmath (x_n))\) é de Cauchy em \(Z\) e possui limite. Defina
\[ T(y)=\lim _{n\to \infty }\jmath (x_n). \]
Se outra sequência \((x'_n)\) satisfaz \(\iota (x'_n)\to y\), temos
\[ d(x_n,x'_n)\to 0, \qquad d_Z(\jmath (x_n),\jmath (x'_n))\to 0. \]
Logo \(T\) está bem definida.
Passando ao limite nas igualdades
\[ d_Z(\jmath (x_n),\jmath (u_n)) = d_Y(\iota (x_n),\iota (u_n)), \]
vemos que \(T\) preserva distâncias. Em particular, é injetiva. Sua imagem é completa e, portanto, fechada em \(Z\) pela Proposição 12.4; ela contém o conjunto denso \(\jmath (X)\), logo é todo \(Z\). A condição \(T\circ \iota =\jmath \) determina \(T\) num conjunto denso e, por continuidade, garante a unicidade.
[C]classico:aberto-completo[Intermediário] classico:aberto-completo Seja \((M,d)\) um espaço métrico e seja \(G\subsetneq M\) aberto e não vazio. Para \(x\in G\), defina \(h(x)=1/d(x,M\setminus G)\) e, para \(x,y\in G\), ponha
\[ d_G(x,y)=d(x,y)+|h(x)-h(y)|. \]
Prove que \(h\) é contínua, que \(d_G\) é uma métrica e que ela induz a topologia de subespaço em \(G\). Se \((M,d)\) é completo, prove que \((G,d_G)\) também é completo. Aplique a construção ao intervalo \((0,1)\).
Solução
Para \(F=M\setminus G\), a função \(r(x)=d(x,F)\) é \(1\)-Lipschitz e positiva em \(G\), logo \(h=1/r\) é contínua. A soma \(d_G=d+|h(x)-h(y)|\) satisfaz os axiomas métricos. Como \(d\leq d_G\) e \(h\) é contínua, as duas métricas induzem a mesma topologia em \(G\). Se \((x_n)\) é \(d_G\)-Cauchy, é \(d\)-Cauchy e converge a \(x\in M\). Os números \(h(x_n)\) são Cauchy e limitados por algum \(C\gt 0\), logo \(r(x_n)\geq 1/C\). Pela continuidade, \(r(x)\gt 0\), portanto \(x\in G\); então \(h(x_n)\to h(x)\) e \(d_G(x_n,x)\to 0\). Em \((0,1)\), use \(h(x)=1/\min \{ x,1-x\} \), obtendo uma métrica compatível completa.
[C]classico:extensao-continuidade[Intermediário] classico:extensao-continuidade Dê um exemplo de um subconjunto \(A\) de um espaço métrico \(X\) e de uma aplicação contínua \(f:A\to Y\), com \(Y\) completo, que não admita extensão contínua a \(\overline A\). Mostre que, se \(f\) for uniformemente contínua, tal extensão existe, é única e é uniformemente contínua. Sugestão: use sequências de pontos de \(A\) e a completude de \(Y\).
Solução
A função \(f(x)=1/x\) em \(A=(0,1)\subseteq \mathbb {R}\), com contradomínio completo \(\mathbb {R}\), não se estende continuamente a \(0\), pois \(f(1/n)=n\). Para \(f\) uniformemente contínua, defina \(\bar f(x)=\lim f(a_n)\), escolhendo \(a_n\in A\) com \(a_n\to x\in \overline A\). A continuidade uniforme leva sequências de Cauchy a sequências de Cauchy, e a completude garante o limite. Duas escolhas dão o mesmo limite porque \(d(a_n,b_n)\to 0\). O critério uniforme passa ao limite: escolha \(\delta \) para tolerância \(\varepsilon /2\); se \(d(x,y)\lt \delta /2\), aproximações em \(A\) dão \(\rho (\bar f(x),\bar f(y))\leq \varepsilon /2\). Assim a extensão é uniformemente contínua. A densidade de \(A\) e a unicidade de limites garantem sua unicidade.
12.3 O Teorema do Ponto Fixo de Banach
A demonstração do teorema de Banach fornece, além da existência e da unicidade do ponto fixo, um processo iterativo que converge para ele.
Definição 12.13 (Contração)
Uma aplicação \(T:X\to X\) num espaço métrico é uma
contração se existe \(q\in [0,1)\) tal que
\[ d(Tx,Ty)\leq q\, d(x,y) \]
para todos \(x,y\in X\).
Teorema 12.14 (Teorema do Ponto Fixo de Banach)
Se \((X,d)\) é completo e \(T:X\to X\) é uma contração, então \(T\) possui um único ponto fixo \(p\). Para qualquer \(x_0\in X\), a sequência iterativa
\[ x_{n+1}=T(x_n) \]
converge para \(p\). Além disso,
\[ d(x_n,p) \leq \frac{q^n}{1-q}\, d(x_1,x_0). \]
Demonstração
▼
Pela propriedade de contração,
\[ d(x_{n+1},x_n) \leq q^n d(x_1,x_0). \]
Se \(m\gt n\), a desigualdade triangular fornece
\[ d(x_m,x_n) \leq \sum _{k=n}^{m-1}d(x_{k+1},x_k) \leq d(x_1,x_0)\sum _{k=n}^{\infty }q^k = \frac{q^n}{1-q}d(x_1,x_0). \]
Logo \((x_n)\) é de Cauchy. Pela completude, existe \(p\in X\) com \(x_n\to p\). Como uma contração é Lipschitz, é contínua, e portanto
\[ T(p)=T\left(\lim x_n\right) =\lim T(x_n) =\lim x_{n+1} =p. \]
Se \(p\) e \(r\) são pontos fixos,
\[ d(p,r)=d(Tp,Tr)\leq q\, d(p,r), \]
o que, como \(q\lt 1\), implica \(d(p,r)=0\). Assim o ponto fixo é único.
Fazendo \(m\to \infty \) na estimativa anterior obtemos
\[ d(x_n,p)\leq \frac{q^n}{1-q}d(x_1,x_0). \]
Exemplo 12.15 (A equação \(x=\cos x\))
Considere \(T(x)=\cos x\) em \([0,1]\). Temos \(T([0,1])\subset [0,1]\) e
\[ |T'(x)|=|\sin x|\leq \sin 1\lt 1. \]
Pelo teorema do valor médio, \(T\) é uma contração. Portanto existe um único \(p\in [0,1]\) tal que \(p=\cos p\), e as iterações
\[ x_{n+1}=\cos x_n \]
convergem para esse ponto a partir de qualquer \(x_0\in [0,1]\).
12.3.1 Uma aplicação a equações diferenciais
O mesmo mecanismo transforma uma equação diferencial em uma equação de ponto fixo.
Proposição 12.16
Se \(K\) é compacto e \(Y\) é um espaço métrico completo, então \(C(K,Y)\), munido da métrica do supremo
\[ d_\infty (f,g)=\sup _{t\in K}d(f(t),g(t)), \]
é completo.
Demonstração
▼
Se \((f_n)\) é de Cauchy para \(d_\infty \), então, para cada \(t\in K\), a sequência \((f_n(t))\) é de Cauchy em \(Y\) e possui um limite \(f(t)\). Dado \(\varepsilon \gt 0\), escolha \(N\) tal que
\[ m,n\geq N \quad \Longrightarrow \quad d_\infty (f_m,f_n)\lt \varepsilon . \]
Fixando \(n\geq N\) e fazendo \(m\to \infty \), obtemos
\[ d(f_n(t),f(t))\leq \varepsilon \]
uniformemente em \(t\). Logo \(f_n\to f\) uniformemente. O limite uniforme de funções contínuas é contínuo, de modo que \(f\in C(K,Y)\) e \(d_\infty (f_n,f)\to 0\).
Teorema 12.17 (Existência e unicidade local para EDOs)
Considere o problema
\[ y'(t)=F(t,y(t)), \qquad y(t_0)=y_0, \]
onde \(F\) é contínua no retângulo
\[ R=[t_0-a,t_0+a]\times [y_0-b,y_0+b] \]
e satisfaz, para alguma constante \(L\),
\[ |F(t,u)-F(t,v)|\leq L|u-v| \]
em \(R\). Então existe \(h\gt 0\) para o qual o problema possui uma única solução em \([t_0-h,t_0+h]\).
Demonstração
▼
Como \(R\) é compacto e \(F\) é contínua, existe
\[ M=\max _{(t,y)\in R}|F(t,y)|. \]
Escolha \(h\gt 0\) com
\[ h\leq a,\qquad hM\leq b,\qquad hL\lt 1. \]
No espaço completo
\[ C([t_0-h,t_0+h],\mathbb R) \]
considere o subconjunto fechado
\[ \mathcal X= \left\{ \varphi : \| \varphi -y_0\| _\infty \leq b\right\} . \]
Defina
\[ (T\varphi )(t) = y_0+\int _{t_0}^{t}F(s,\varphi (s))\, ds. \]
A escolha de \(h\) garante que \(T(\mathcal X)\subset \mathcal X\). Além disso,
\[ \| T\varphi -T\psi \| _\infty \leq hL\, \| \varphi -\psi \| _\infty . \]
Logo \(T\) é uma contração. Pelo Teorema 12.14, existe uma única \(\varphi \in \mathcal X\) tal que \(T\varphi =\varphi \). Pela regra fundamental do cálculo, essa identidade integral é equivalente ao problema diferencial.
A prova revela o conteúdo algorítmico do resultado: as iterações
\[ \varphi _{n+1}(t) = y_0+\int _{t_0}^{t}F(s,\varphi _n(s))\, ds \]
são as aproximações sucessivas de Picard e convergem para a solução.
[C]classico:cauchy-totalmente-limitado[Intermediário] classico:cauchy-totalmente-limitado Prove que um espaço métrico é totalmente limitado se, e somente se, toda sequência nele possui uma subsequência de Cauchy. Sugestão: para uma direção, use sucessivamente coberturas finitas por bolas de raios \(2^{-k}\); para a outra, construa pontos que permaneçam a uma distância fixa uns dos outros.
Solução
Em um espaço totalmente limitado, escolha sucessivamente bolas de raios \(2^{-k}\) que contenham termos de um conjunto infinito de índices, sempre restringindo o conjunto anterior. Escolha índices crescentes \(n_k\) nesses conjuntos encaixados. Para \(k,l\geq K\), ambos os termos estão na bola escolhida no passo \(K\), portanto sua distância é menor que \(2^{1-K}\): a subsequência é Cauchy. Reciprocamente, se nenhuma cobertura finita por bolas de certo raio \(\varepsilon \) existe, escolha cada \(x_n\) fora das bolas anteriores. As distâncias entre termos distintos são pelo menos \(\varepsilon \), excluindo toda subsequência de Cauchy.
[C]classico:metricas-funcoes-completude[Intermediário] classico:metricas-funcoes-completude No espaço \(C([0,1])\), considere
\[ d_\infty (f,g)=\sup _{t\in [0,1]}|f(t)-g(t)|, \qquad d_1(f,g)=\int _0^1|f(t)-g(t)|\, dt. \]
Prove que \((C([0,1]),d_\infty )\) é completo. Construa uma sequência de funções contínuas que seja de Cauchy para \(d_1\) e não possua limite em \(C([0,1])\) para essa métrica. Sugestão: aproxime uma função degrau por funções lineares por partes.
Solução
Uma sequência \(d_\infty \)-Cauchy tem limites pontuais \(f(t)\) pela completude de \(\mathbb {R}\). Fazer um índice tender ao infinito na estimativa uniforme de Cauchy prova \(f_n\to f\) uniformemente. O limite uniforme é contínuo, logo pertence a \(C([0,1])\), provando a completude. Para \(d_1\), tome \(f_n(t)=\min \{ 1,\max \{ 0,n(t-1/2)\} \} \), \(n\geq 2\), e a função degrau \(H=\chi _{(1/2,1]}\). Então \(\int |f_n-H|=1/(2n)\) e \(d_1(f_n,f_m)\leq 1/(2n)+1/(2m)\), logo a sequência é Cauchy. Um limite contínuo \(g\) satisfaria \(\int |g-H|=0\), obrigando \(g=0\) à esquerda de \(1/2\) e \(g=1\) à direita, incompatível com continuidade nesse ponto.
12.4 O teorema de interseção de Cantor
A completude também pode ser reconhecida por conjuntos fechados encaixados.
Definição 12.18 (Diâmetro)
Se \(A\) é um subconjunto não vazio de um espaço métrico, definimos
\[ \operatorname {diam}(A) = \sup \{ d(x,y):x,y\in A\} , \]
admitindo o valor \(+\infty \).
Teorema 12.19 (Teorema de Interseção de Cantor)
Se \((X,d)\) é completo e
\[ F_1\supset F_2\supset F_3\supset \cdots \]
é uma sequência de fechados não vazios tal que
\[ \operatorname {diam}(F_n)\longrightarrow 0, \]
então
\[ \bigcap _{n\geq 1}F_n \]
consiste em exatamente um ponto.
Demonstração
▼
Escolha \(x_n\in F_n\). Se \(m\geq n\), então \(x_m,x_n\in F_n\), logo
\[ d(x_m,x_n)\leq \operatorname {diam}(F_n). \]
Portanto \((x_n)\) é de Cauchy e converge, pela completude, para algum \(x\in X\).
Para cada \(n\), todos os termos \(x_m\) com \(m\geq n\) pertencem a \(F_n\). Como \(F_n\) é fechado, \(x\in F_n\). Logo \(x\) pertence à interseção.
Se \(x,y\) pertencem à interseção, então, para todo \(n\),
\[ d(x,y)\leq \operatorname {diam}(F_n). \]
Fazendo \(n\to \infty \), obtemos \(d(x,y)=0\), portanto \(x=y\).
12.5 Categoria de Baire
O Teorema de Baire estabelece uma consequência topológica da completude. Sua formulação utiliza conjuntos cujo fecho tem interior vazio e uniões enumeráveis desses conjuntos. Introduziremos primeiro essas noções.
Definição 12.20 (Conjunto denso em lugar nenhum)
Um subconjunto \(A\subset X\) é
denso em lugar nenhum quando
\[ \operatorname {int}(\overline A)=\varnothing . \]
Definição 12.21 (Conjunto magro)
Um subconjunto \(M\subset X\) é
magro ou
de primeira categoria quando pode ser escrito como união enumerável de conjuntos densos em lugar nenhum.
Definição 12.22 (Espaço de Baire)
Um espaço topológico \(X\) é um
espaço de Baire quando toda interseção enumerável de abertos densos é densa em \(X\).
Teorema 12.23 (Teorema de Categoria de Baire)
Todo espaço métrico completo é um espaço de Baire.
Demonstração
▼
Sejam \(G_1,G_2,\ldots \) abertos densos em \(X\) e seja \(U\) um aberto não vazio. Mostraremos que
\[ U\cap \bigcap _{n\geq 1}G_n\neq \varnothing . \]
Como \(G_1\) é denso, \(U\cap G_1\) é aberto não vazio. Escolha uma bola fechada
\[ \overline B(x_1,r_1)\subset U\cap G_1 \]
com \(0\lt r_1\lt 1\). Suponha escolhida \(\overline B(x_n,r_n)\). Como \(G_{n+1}\) é denso,
\[ B(x_n,r_n)\cap G_{n+1} \]
é aberto não vazio. Escolha
\[ \overline B(x_{n+1},r_{n+1}) \subset B(x_n,r_n)\cap G_{n+1} \]
com \(0\lt r_{n+1}\lt 2^{-(n+1)}\).
Temos, assim, uma sequência encaixada de bolas fechadas
\[ \overline B(x_1,r_1) \supset \overline B(x_2,r_2) \supset \cdots \]
cujos diâmetros tendem a zero. Pelo Teorema 12.19, existe um único ponto \(x\) na interseção. Como a primeira bola está contida em \(U\) e a \(n\)-ésima bola está contida em \(G_n\), segue que
\[ x\in U\cap \bigcap _{n\geq 1}G_n. \]
Como \(U\) era um aberto não vazio arbitrário, a interseção é densa.
Corolário 12.24
Um espaço métrico completo não vazio não é magro em si mesmo.
Demonstração
▼
Se
\[ X=\bigcup _{n\geq 1}A_n \]
com cada \(A_n\) denso em lugar nenhum, então
\[ G_n=X\setminus \overline{A_n} \]
é aberto e denso. Pelo Teorema de Baire, \(\bigcap _n G_n\) é denso e, em particular, não vazio. Mas
\[ \bigcap _{n\geq 1}G_n = X\setminus \bigcup _{n\geq 1}\overline{A_n} \subset X\setminus \bigcup _{n\geq 1}A_n = \varnothing , \]
contradição.
Corolário 12.25
O conjunto dos números reais não é enumerável.
Demonstração
▼
Se
\[ \mathbb R=\{ x_1,x_2,\ldots \} , \]
então
\[ \mathbb R=\bigcup _{n\geq 1}\{ x_n\} . \]
Cada singleton é fechado e tem interior vazio, logo é denso em lugar nenhum. Isso contradiz o Corolário 12.24, pois \(\mathbb R\) com a métrica usual é completo.
Observação 12.26
A força do Teorema de Baire não está apenas nessa aplicação elementar. Em análise funcional, ele é o mecanismo por trás de resultados como os teoremas da aplicação aberta, do gráfico fechado e da limitação uniforme. Aqui, porém, sua função é mais básica: mostrar que completude possui consequências topológicas globais que não aparecem na definição por sequências de Cauchy.
[C]classico:raros-fronteira[Básico] classico:raros-fronteira Em um espaço topológico \(X\), prove que a união de um número finito de conjuntos raros é rara e que a fronteira de todo aberto é rara. Mostre que a primeira afirmação pode falhar para uma união enumerável, mesmo na reta usual. Aqui, raro significa que o fecho tem interior vazio.
Solução
Para raros \(A_1,\ldots ,A_k\), retire sucessivamente seus fechos de um aberto não vazio. Cada resto é aberto e não vazio, pois cada fecho tem interior vazio. Logo a união dos fechos tem interior vazio; ela é o fecho da união finita, que é rara. Se \(O\) é aberto, \(\partial O=\overline O\setminus O\) é fechado e não contém aberto não vazio, pois tal aberto teria de encontrar \(O\) pela definição de fecho. Assim a fronteira é rara. A união enumerável dos unitários racionais não é rara, pois \(\mathbb {Q}\) é denso em \(\mathbb {R}\).
[C]classico:baire-aberto[Intermediário] classico:baire-aberto Prove que todo subespaço aberto de um espaço de Baire é um espaço de Baire. A hipótese é apenas que o espaço ambiente seja de Baire, sem exigir que tenha uma métrica completa. Compare com a versão para espaços métricos completos.
Solução
Se \(U\) é aberto e \(G_n\) são abertos densos em \(U\), então são abertos em \(X\) e \(\overline{G_n}^X\supseteq \overline U^X\). Assim \(H_n=G_n\cup (X\setminus \overline U^X)\) são abertos densos em \(X\). Sua interseção é densa por Baire. Todo aberto relativo não vazio de \(U\) também é aberto em \(X\) e encontra essa interseção dentro de \(U\), onde ela coincide com \(\bigcap _nG_n\). Logo \(U\) é de Baire. A versão para espaços métricos completos segue porque todo espaço métrico completo é de Baire.
[C]classico:racionais-irracionais-baire[Intermediário] classico:racionais-irracionais-baire Com suas topologias usuais, prove que \(\mathbb {Q}\) não admite nenhuma métrica compatível completa e que \(\mathbb {R}\setminus \mathbb {Q}\) é um espaço de Baire. Para a segunda afirmação, escreva os abertos relativos como interseções com abertos da reta e use a enumeração dos racionais junto ao Teorema de Baire em \(\mathbb {R}\).
Solução
Em \(\mathbb {Q}\), os conjuntos \(\mathbb {Q}\setminus \{ q_n\} \) são abertos densos e sua interseção é vazia; logo \(\mathbb {Q}\) não é de Baire e não admite métrica compatível completa. Para \(P=\mathbb {R}\setminus \mathbb {Q}\), escreva abertos densos \(G_n=P\cap W_n\), com \(W_n\) abertos de \(\mathbb {R}\). Como \(P\) é denso, cada \(W_n\) é denso em \(\mathbb {R}\). Baire na reta mostra que \(\bigcap _nW_n\cap \bigcap _n(\mathbb {R}\setminus \{ q_n\} )=\bigcap _nG_n\) é denso em \(\mathbb {R}\) e, portanto, em \(P\). Assim \(P\) é de Baire.
Exercícios
Mostre que \(\mathbb Q\), com a métrica usual, não é completo e identifique seu completamento.
Mostre que \(\mathbb R^n\), com qualquer uma das métricas usuais \(d_1,d_2,d_\infty \), é completo.
Seja \((X,d)\) completo e seja \(A\subset X\) fechado. Dê uma segunda prova de que \(A\) é completo usando o Teorema de Interseção de Cantor.
Mostre que o produto de uma família finita de espaços métricos completos, munido da métrica do máximo, é completo.
Mostre que o produto enumerável de espaços métricos completos, munido da métrica
\[ D(x,y)=\sum _{n\geq 1}2^{-n}\min \{ 1,d_n(x_n,y_n)\} , \]
é completo.
Seja \(T:X\to X\) uma contração de razão \(q\lt 1\) em um espaço completo. Mostre que
\[ d(x_n,p)\leq \frac{q}{1-q}\, d(x_n,x_{n-1}) \]
para as iterações de Banach.
Use o Teorema de Banach para provar que a equação
\[ x=e^{-x} \]
possui uma única solução em \([0,1]\).
No Teorema 12.17, explique exatamente onde entram a completude do espaço de funções e a condição de Lipschitz.
Prove a recíproca do Teorema de Interseção de Cantor: se toda sequência decrescente de fechados não vazios com diâmetros tendendo a zero possui interseção não vazia, então o espaço métrico é completo.
Mostre que todo aberto de um espaço métrico completo é um espaço de Baire com a topologia relativa.
Mostre que \(\mathbb Q\) é magro em si mesmo. Isso entra em conflito com o fato de \(\mathbb Q\) ser denso em \(\mathbb R\)? Explique.
12.6 Exercícios complementares
listas:src-141[Básico] listas:src-141 Sejam \(X = \left\{ \frac{1}{n} : n\geq 1 \right\} \), \(d_1\) a métrica discreta sobre \(X\) e \(d_2\) a métrica sobre \(X\) induzida pela métrica usual de \(\mathbb {R}\).
Mostre que \((X, d_1)\) é completo.
Mostre que \((X, d_2)\) não é completo.
Solução
(a) Para a métrica discreta, uma sequência de Cauchy é eventualmente constante, pois distâncias menores que \(1\) exigem igualdade; logo converge em \(X\).
(b) A sequência \(1/n\) é de Cauchy na métrica usual e converge em \(\mathbb {R}\) a \(0\notin X\); pela unicidade do limite, não converge em \(X\).
listas:src-424[Avançado] listas:src-424 O objetivo deste exercício é demonstrar o Teorema do Ponto Fixo de Banach:
Sejam \((X,d)\) um espaço métrico completo não vazio e \(f:X\rightarrow X\). Suponha que existe \(c\in [0,1[\) tal que, para quaisquer \(x,y\in X\), ocorre \(d(f(x),f(y))\le c\cdot d(x,y)\). Então existe um único \(a\in X\) tal que \(f(a)=a\).
Tome \(x_0\in X\) arbitrário e, para cada \(n\in \mathbb {N}\), defina \(x_{n+1}=f(x_n)\). Mostre que \((x_n)_{n\in \mathbb {N}}\) é uma sequência de Cauchy.
[Sugestão: Mostre que, se \(m,n\in \mathbb {N}\) são tais que \(m\lt n\), tem-se que
\[ d(x_m,x_n)\le c^mr(1+c+\dots +c^{n-m-1})\le {\displaystyle \frac{c^mr}{1-c}}, \]
sendo \(r=d(x_0,x_1)\).]
Como \((X,d)\) é completo, segue-se que a sequência \((x_n)_{n\in \mathbb {N}}\) é convergente; seja então \({\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_n}=a\in X\). Mostre que \(f(a)=a\).
Finalmente, prove que, se \(b\in X\) é tal que \(f(b)=b\), então \(b=a\).
Mostre, através de um contraexemplo, que não se pode substituir a hipótese
existe \(c\in [0,1[\) tal que, para quaisquer \(x,y\in X\), ocorre \(d(f(x),f(y))\le c\cdot d(x,y)\)
pela hipótese mais fraca
para quaisquer \(x,y\in X\) distintos, ocorre \(d(f(x),f(y))\lt d(x,y)\).
Solução
(a) Por indução, \(d(x_n,x_{n+1})\leq c^nr\), com \(r=d(x_0,x_1)\). Somando, \(d(x_m,x_n)\leq c^mr/(1-c)\) para \(m\lt n\); logo a sequência é de Cauchy. Se \(c=0\), ela já é constante após o primeiro passo.
(b) Como \(f\) é Lipschitz, é contínua; se \(x_n\to a\), então \(f(a)=\lim f(x_n)=\lim x_{n+1}=a\).
(c) Dois pontos fixos satisfazem \(d(a,b)\leq c\, d(a,b)\), obrigando \(a=b\).
(d) No completo \([1,\infty )\), \(f(x)=x+1/x\) não tem ponto fixo. Pelo Teorema do Valor Médio, \(|f(x)-f(y)|\lt |x-y|\) para \(x\neq y\), pois \(f'(t)=1-1/t^2\in [0,1)\).