Capítulo 4

Construções de Espaços Topológicos

Neste capítulo, construiremos espaços topológicos a partir de espaços conhecidos. Estudaremos quatro operações: a passagem a subespaços, a formação de produtos, a identificação de pontos por quocientes e a formação de somas disjuntas. As topologias dessas construções serão caracterizadas pela continuidade de aplicações associadas a cada uma delas.

As noções de topologia inicial e final fornecerão uma formulação comum a essas construções. Começaremos pelos subespaços, cuja topologia é determinada pelos abertos do espaço ambiente.

4.1 Subespaços

Definição 4.1

Seja \((X,\mathcal T)\) um espaço topológico e \(S\subset X\). A topologia de subespaço em \(S\) é

\[ \mathcal T_S=\{ S\cap U:U\in \mathcal T\} . \]

O espaço \((S,\mathcal T_S)\) é chamado subespaço de \(X\). Também usaremos a expressão topologia induzida; seus elementos são os abertos relativos de \(S\).

Um conjunto aberto em \(S\) não precisa ser aberto no espaço ambiente: ele é a interseção de \(S\) com algum aberto de \(X\). O termo “relativo” indica essa distinção, que deve ser considerada ao comparar propriedades de um subespaço com as do espaço ambiente.

Exemplo 4.2

\(\mathbb {Z}\), com a topologia induzida por \(\mathbb {R}\), é um espaço topológico discreto.
Identificando \(\mathbb R\) com o eixo horizontal \(\mathbb R\times \{ 0\} \), obtemos um subespaço de \(\mathbb R^2\).
Se \(S=[0,1]\) recebe a topologia de subespaço de \(\mathbb R\), então o próprio \(S\) é aberto e fechado em \(S\). Visto como subconjunto de \(\mathbb R\), porém, \([0,1]\) é fechado e não é aberto.
Os números racionais \(\mathbb Q\), com a topologia induzida de \(\mathbb R\), não formam um espaço discreto: por exemplo, \(\{ 0\} \) não é aberto em \(\mathbb Q\). Se \(a\lt b\) são racionais, então \((a,b)\cap \mathbb Q\) é aberto em \(\mathbb Q\) e \([a,b]\cap \mathbb Q\) é fechado. Se \(a\lt b\) são irracionais, \((a,b)\cap \mathbb Q\) é simultaneamente aberto e fechado em \(\mathbb Q\).
Considere a topologia \(\mathcal{T}= \{ X, \varnothing , \{ a\} , \{ c, d\} , \{ a, c, d\} , \{ b, c, d, e\} \} \) em \(X = \{ a, b, c, d, e\} \) e o subconjunto \(S = \{ a, d, e\} \) de \(X\). Temos \(X \cap S = S\), \(\{ a\} \cap S = \{ a\} \), \(\{ a, c, d\} \cap S = \{ a, d\} \), \(\varnothing \cap S = \varnothing \), \(\{ c, d\} \cap S = \{ d\} \), \(\{ b, c, d, e\} \cap S = \{ d, e\} \) Portanto, topologia induzida no subespaço \(S\) é \(\mathcal{T}_{S} = \{ S, \varnothing , \{ a\} , \{ d\} , \{ a, d\} , \{ d, e\} \} \).

Figura 4.1 O conjunto A é um aberto na topologia do subespaço no retângulo em ℝ^(2) — Figura 4.1 O conjunto \(A\) é um aberto na topologia do subespaço no retângulo em \(\mathbb {R}^{2}\)

Proposição 4.3

Seja \(S\) um subespaço de \(X\). Então:

\(U\) é aberto em \(S\) se, e somente se, existe um aberto \(U'\subset X\) tal que \(U=S\cap U'\).
\(F\) é fechado em \(S\) se, e somente se, existe um fechado \(F_1\subset X\) tal que \(F=S\cap F_1\).
Se \(A\subset S\), então

\[ \overline A^{\, S}=S\cap \overline A^{\, X}. \]
Se \(x\in S\), um conjunto \(U\subset S\) é vizinhança de \(x\) em \(S\) se, e somente se, existe uma vizinhança \(U'\) de \(x\) em \(X\) tal que \(U=S\cap U'\).

Demonstração ▼

O primeiro item é a definição da topologia de subespaço.

Para o segundo, tome complementos dentro de \(S\). Se \(F\) é fechado em \(S\), então \(S\setminus F=S\cap U'\) para algum aberto \(U'\) de \(X\); logo

\[ F=S\cap (X\setminus U'), \]

e \(X\setminus U'\) é fechado em \(X\). A recíproca segue pelo mesmo cálculo.

Para o fecho, use a caracterização por vizinhanças. Um ponto \(x\in S\) pertence a \(\overline A^{\, S}\) exatamente quando toda vizinhança de \(x\) em \(S\) encontra \(A\). Pelo item seguinte — ou diretamente pela definição de aberto relativo — essas vizinhanças são os recortes por \(S\) das vizinhanças de \(x\) em \(X\). Como \(A\subset S\), isso equivale a dizer que toda vizinhança de \(x\) em \(X\) encontra \(A\), isto é, \(x\in \overline A^{\, X}\). Portanto

\[ \overline A^{\, S}=S\cap \overline A^{\, X}. \]

Resta justificar a afirmação sobre vizinhanças. Se \(U'\) é vizinhança de \(x\) em \(X\), escolha um aberto \(V'\) com \(x\in V'\subset U'\). Então \(S\cap V'\) é aberto em \(S\) e

\[ x\in S\cap V'\subset S\cap U', \]

de modo que \(S\cap U'\) é vizinhança de \(x\) em \(S\).

Reciprocamente, seja \(U\) vizinhança de \(x\) em \(S\). Existe um aberto relativo \(V=S\cap V'\) com \(x\in V\subset U\), onde \(V'\) é aberto em \(X\). Defina

\[ U'=V'\cup (U\setminus V). \]

Então \(x\in V'\subset U'\), portanto \(U'\) é vizinhança de \(x\) em \(X\), e \(S\cap U'=U\).

Observação 4.4 (Propriedades hereditárias)

Uma propriedade topológica é hereditária quando passa do espaço para todos os seus subespaços. Se essa passagem é garantida apenas para subespaços fechados, dizemos que a propriedade é fracamente hereditária.

Observação 4.5 (Primeiro e segundo enumeráveis são hereditários)

Todo subespaço de um espaço primeiro enumerável é primeiro enumerável; todo subespaço de um espaço segundo enumerável é segundo enumerável.

Proposição 4.6

Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos, e seja \(S\) um subespaço de X. Se \(f\) : \(X\rightarrow Y\) é contínua, então a restrição \(f\restriction _{S}:S\rightarrow Y\) é contínua.

Demonstração ▼

Para um aberto \(V\subset Y\),

\[ (f\restriction _S)^{-1}(V)=S\cap f^{-1}(V). \]

A continuidade de \(f\) torna \(f^{-1}(V)\) aberto em \(X\); seu recorte por \(S\) é aberto na topologia de subespaço. Logo \(f\restriction _S\) é contínua.

Exemplo 4.7 (Esfera unitária)

Dado \(n\in \mathbb {N}\), a \(n\)-esfera de raio \(1\) é definida como o subespaço do espaço euclidiano \((n + 1)\) dimensional dos pontos que estão à distância \(1\) de um ponto central. Assim,

\[ \mathbb {S}^n= \left\{ x \in \mathbb {R} ^{n + 1}: \left\| x \right\| = 1 \right\} . \]

A \(0\)-esfera é um par de pontos, a \(1\)-esfera é um círculo e a \(2\)-esfera é a esfera usual.

A topologia de subespaço também permite tratar a esfera sem criar uma estrutura nova. Um primeiro fato geométrico importante é que a esfera, depois de retirado um ponto, pode ser descrita por coordenadas euclidianas. Para isso usamos a projeção estereográfica. Se \(Q\) é um ponto de \(\mathbb {S}^n\) e \(\mathbb H\) o hiperplano em \(\mathbb {R} ^{n + 1}\) definido pela equação \(x_{n+1}=0\), então a projeção estereográfica de um ponto \(P\in \mathbb {S}^n \setminus \{ Q\} \) é o ponto \(P'\) da interseção da reta \(QP\) com \(H\).

Em coordenadas cartesianas, se \(P=(x_1,\dots ,x_{n+1})\) e \(P'=(X_1,\dots ,X_n,0)\), a projeção a partir do polo norte \(Q=(0,\dots ,0,1)\) é dada por

\[ X_i=\frac{x_i}{1-x_{n+1}},\qquad i=1,\dots ,n. \]

Definindo

\[ E ^{2} = \sum _{j = 1} ^{n} X_{j} ^{2} \]

sua inversa é dada por

\[ \displaystyle x_{n+1}={\frac{E^{2}-1}{E^{2}+1}}\quad {\mbox{e}}\quad x_{i}={\frac{2X_{i}}{E^{2}+1}}\quad \quad (i=1,\dots ,n) \]

As fórmulas acima mostram diretamente que a projeção estereográfica e sua inversa são contínuas: seus denominadores não se anulam nos respectivos domínios. Portanto, \(S^n\setminus \{ Q\} \) é homeomorfa a \(\mathbb R^n\).

Exemplo 4.8 (Subgrupos com a topologia de subespaço)

Se \(H\) é um subgrupo de um grupo topológico \(G\), a topologia de subespaço torna \(H\) um grupo topológico: suas operações são restrições das operações de \(G\), e a topologia produto de \(H\times H\) coincide com a topologia herdada de \(G\times G\). No círculo, dois exemplos são

\[ \mu _n=\{ z\in \mathbb S^1:z^n=1\} \quad (n\geq 1), \qquad H_{\mathbb {Q}}=\{ e^{2\pi i r}:r\in \mathbb {Q}\} . \]

O primeiro é finito e discreto; o segundo é enumerável e denso, pois todo arco aberto contém um ponto de argumento racional. A diferença entre as topologias ambientes também fica visível: \(\mathbb S^1\) tem interior vazio em \(\mathbb C\), mas seu interior em si mesmo é todo o círculo. Já \(H_{\mathbb {Q}}\) tem fecho \(\mathbb S^1\) e interior vazio no círculo, pois todo arco também contém um ponto de argumento irracional.

Proposição 4.9 (Lema da colagem)

Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos. Suponha \(X=S_1\cup S_2\), onde \(S_1\) e \(S_2\) são ambos abertos ou ambos fechados. Se as restrições

\[ f\restriction _{S_1}:S_1\to Y, \qquad f\restriction _{S_2}:S_2\to Y \]

são contínuas, então \(f:X\to Y\) é contínua.

Demonstração ▼

No caso aberto, dado \(V\subset Y\) aberto, cada conjunto \((f\restriction _{S_i})^{-1}(V)\) é aberto em \(S_i\) e, como \(S_i\) é aberto em \(X\), é também aberto em \(X\). Como

\[ f^{-1}(V) = (f\restriction _{S_1})^{-1}(V) \cup (f\restriction _{S_2})^{-1}(V), \]

a imagem inversa de todo aberto é aberta.

Se \(S_1\) e \(S_2\) são fechados, usamos a caracterização da continuidade por fechados. Para \(F\subset Y\) fechado, cada \((f\restriction _{S_i})^{-1}(F)\) é fechado em \(S_i\) e, portanto, em \(X\). Sua união finita é \(f^{-1}(F)\), que é fechada. Assim \(f\) é contínua nos dois casos.

Proposição 4.10

Seja \((X,\mathcal{T})\) um espaço topológico e \(A\subset X\).

Com a topologia de subespaço, a inclusão \(i:A\to X\) é contínua.
Se \(\mathcal{T}'\) é qualquer topologia em \(A\) para a qual \(i:A\to X\) é contínua, então \(\mathcal{T}_A\subset \mathcal{T}'\).

Em particular, a topologia de subespaço é a menor topologia em \(A\) que torna a inclusão contínua.

Demonstração ▼

Para \(U\in \mathcal{T}\),

\[ i^{-1}(U)=A\cap U\in \mathcal{T}_A, \]

logo a inclusão é contínua. Se \(\mathcal{T}'\) também torna \(i\) contínua, então cada \(A\cap U=i^{-1}(U)\), com \(U\in \mathcal{T}\), pertence a \(\mathcal{T}'\). Como esses conjuntos são exatamente os abertos de \(\mathcal{T}_A\), segue que \(\mathcal{T}_A\subseteq \mathcal{T}'\).

Proposição 4.11 (Propriedade universal do subespaço)

Sejam \((X,\mathcal{T}_X)\) e \((Z,\mathcal{T}_Z)\) espaços topológicos, \(A\subseteq X\) com a topologia de subespaço e \(i:A\hookrightarrow X\) a inclusão. Para uma aplicação \(g:Z\to A\),

\[ g\text{ é contínua} \quad \Longleftrightarrow \quad i\circ g\text{ é contínua}. \]

Ilustração: Subespaços

Demonstração ▼

Uma direção é a estabilidade da continuidade por composição. Para a recíproca, suponha \(i\circ g\) contínua e tome um aberto relativo \(U\subset A\). Escreva \(U=A\cap V=i^{-1}(V)\) com \(V\) aberto em \(X\). Então

\[ g^{-1}(U) = g^{-1}(i^{-1}(V)) = (i\circ g)^{-1}(V), \]

que é aberto em \(Z\). Portanto \(g\) é contínua.

Exercício 4.1

Sejam \(X\) um espaço topológico, \(S\) um subespaço de \(X\) e \(A \subseteq S\). Mostre que \(\operatorname {\mathrm{Int}}_{S}(A) \supseteq S \cap \operatorname {\mathrm{Int}}_{X}(A)\).

Exercício 4.2

Considere \(X = \mathbb {R}^{2}\) munido da topologia usual e \(S = A = \{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2} : y = 0\} \). Mostre que \(\operatorname {\mathrm{Int}}_{S}(A) = S\) e que \(\operatorname {\mathrm{Int}}_{X}(A) = \varnothing \)

Exercício 4.3

Seja \(X\) um espaço topológico. Mostre que se \(Y\) é um subespaço de \(X\) e \(Z \subseteq Y\), então a topologia sobre \(Z\) induzida pela topologia de \(Y\) coincide com a topologia sobre \(Z\) induzida pela topologia de \(X\).

Exercício 4.4

Sejam \((X,\mathcal{T})\) um espaço topológico, \((Y,\mathcal{T}_Y)\) subespaço de \(X\) e \(U\) um subconjunto de \(Y\).

Mostre que o fecho de \(U\) em \((Y,\mathcal{T}_Y)\) é a interseção de \(Y\) com o fecho de \(U\) em \((X,\mathcal{T})\).
Mostre que \(U\subset Y\) é denso em \(Y\) se e só se \(\bar{U}=\bar{Y}\) em \(X\).

Exercício 4.5

Sejam \((X,\mathcal{T})\) um espaço topológico, \((Y,\mathcal{T}_Y)\) subespaço de \(X\) e \(U\) um subconjunto de \(Y\).

Mostre que um ponto \(y\in Y\) é ponto de acumulação de \(U\) em \((Y,\mathcal{T}_Y)\) se, e somente se, \(y\) é ponto de acumulação de \(U\) em \((X,\mathcal{T})\).
A propriedade análoga para pontos interiores é verdadeira? Justifique.

4.2 Topologias Inicial e Final

A topologia de subespaço é um caso de uma construção mais geral, na qual a topologia é determinada pela continuidade de certas aplicações. Quando o conjunto a topologizar é o domínio das aplicações, procuramos a topologia mais fraca que as torne contínuas. Quando ele é o contradomínio, procuramos a topologia mais forte com essa propriedade.

Essas construções recebem os nomes de topologia inicial e topologia final. A primeira será utilizada nos produtos; a segunda, nos quocientes e nas somas.

4.2.1 Topologia Inicial

Comecemos com uma única aplicação

\[ f:X\longrightarrow (Y,\mathcal{T}_Y), \]

onde \(X\) é apenas um conjunto. Para que \(f\) seja contínua, toda imagem inversa \(f^{-1}(U)\), com \(U\in \mathcal{T}_Y\), deve ser aberta em \(X\). Isso sugere usar exatamente essas imagens inversas.

Proposição 4.12

A família

\[ f^{-1}(\mathcal{T}_Y)=\{ f^{-1}(U):U\in \mathcal{T}_Y\} \]

é uma topologia em \(X\). Além disso, é a menor topologia em \(X\) que torna \(f\) contínua.

Demonstração ▼

Temos \(f^{-1}(\varnothing )=\varnothing \) e \(f^{-1}(Y)=X\). Como imagens inversas comutam com uniões arbitrárias e interseções finitas,

\[ f^{-1}\! \left(\bigcup _\alpha U_\alpha \right)=\bigcup _\alpha f^{-1}(U_\alpha ), \qquad f^{-1}(U\cap V)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V), \]

a família \(f^{-1}(\mathcal{T}_Y)\) é uma topologia. Se \(\mathcal{T}\) é qualquer topologia em \(X\) para a qual \(f\) é contínua, então \(f^{-1}(U)\in \mathcal{T}\) para todo \(U\in \mathcal{T}_Y\). Portanto \(f^{-1}(\mathcal{T}_Y)\subseteq \mathcal{T}\).

Para uma família de aplicações, reúnem-se todas as imagens inversas e toma-se a topologia que elas geram.

Definição 4.13 (Topologia inicial)

Seja

\[ f_\lambda :X\longrightarrow (Y_\lambda ,\mathcal{T}_\lambda ),\qquad \lambda \in \Lambda , \]

uma família de aplicações. A topologia inicial induzida pela família \((f_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }\) é a topologia gerada pela sub-base

\[ \mathcal S=\{ f_\lambda ^{-1}(U):\lambda \in \Lambda ,\ U\in \mathcal{T}_\lambda \} . \]

Equivalentemente, é a menor topologia em \(X\) que torna todas as aplicações \(f_\lambda \) contínuas. Também é chamada topologia fraca.

Uma aplicação injetiva fornece um caso particularmente importante. Se \(f:Y\to X\) é injetiva e \(Y\) recebe a topologia inicial induzida por \(f\), então \(f\) identifica \(Y\) com o subespaço \(f(Y)\subseteq X\).

Definição 4.14 (Mergulho)

Uma aplicação \(f:Y\to X\) entre espaços topológicos é um mergulho se \(f\) é um homeomorfismo de \(Y\) sobre o subespaço \(f(Y)\) de \(X\).

Proposição 4.15 (Caracterização dos mergulhos)

Se \(f:Y\to X\) é injetiva, então \(f\) é um mergulho se, e somente se, a topologia de \(Y\) é a topologia inicial induzida por \(f\).

Demonstração ▼

Como \(f:Y\to f(Y)\) é uma bijeção, dizer que a topologia de \(Y\) é induzida por \(f\) significa precisamente que

\[ U\subseteq Y\text{ é aberto} \quad \Longleftrightarrow \quad U=f^{-1}(V)\text{ para algum aberto }V\subseteq f(Y). \]

Isso equivale a dizer que \(f:Y\to f(Y)\) e sua inversa são contínuas.

4.2.2 Topologia Final

Consideremos agora uma aplicação cujo contradomínio será topologizado. Seja

\[ f:(X,\mathcal{T}_X)\longrightarrow Y, \]

onde \(Y\) ainda é apenas um conjunto. Queremos a topologia mais forte em \(Y\) para a qual \(f\) seja contínua. Um subconjunto \(U\subseteq Y\) pode ser declarado aberto exatamente quando sua imagem inversa já é aberta em \(X\).

Definição 4.16 (Topologia final)

Dada uma família

\[ f_\lambda :(X_\lambda ,\mathcal{T}_\lambda )\longrightarrow Y, \qquad \lambda \in \Lambda , \]

a topologia final induzida por \((f_\lambda )\) é

\[ \mathcal{T}_{\mathrm{final}} = \{ U\subseteq Y:f_\lambda ^{-1}(U)\in \mathcal{T}_\lambda \text{ para todo }\lambda \in \Lambda \} . \]

Ela é a maior topologia em \(Y\) que torna todas as aplicações \(f_\lambda \) contínuas.

Proposição 4.17

Para uma única aplicação \(f:(X,\mathcal{T}_X)\to Y\), a topologia final é

\[ {\mathcal{T}^{f}}=\{ U\subseteq Y:f^{-1}(U)\in \mathcal{T}_X\} . \]

Demonstração ▼

A família indicada contém \(\varnothing \) e \(Y\). As propriedades de imagem inversa mostram que ela é fechada por uniões arbitrárias e interseções finitas. Logo é uma topologia. Qualquer topologia em \(Y\) que torne \(f\) contínua só pode conter conjuntos \(U\) cuja imagem inversa seja aberta; portanto está contida nessa família.

Quando \(f\) não é sobrejetiva, a topologia final torna \(Y\setminus f(X)\) discreto e separa esse conjunto de \(f(X)\). Nos exemplos mais importantes, especialmente nos quocientes, trabalharemos com aplicações sobrejetivas.

4.2.3 Sub-bases e continuidade

A construção inicial também fornece um critério útil para verificar continuidade quando a topologia do contradomínio é dada por geradores.

Proposição 4.18

Se \(\mathcal C\subseteq \mathcal P(Y)\) e \(f:X\to Y\), então

\[ {{\mathcal{T}}\langle {f^{-1}(\mathcal C)} \rangle } = f^{-1}\! \left({{\mathcal{T}}\langle \mathcal C \rangle }\right). \]

Demonstração ▼

A imagem inversa comuta com uniões arbitrárias e interseções finitas. Portanto, aplicar \(f^{-1}\) às uniões de interseções finitas que geram \({{\mathcal{T}}\langle \mathcal C \rangle }\) produz exatamente a topologia gerada por \(f^{-1}(\mathcal C)\).

Proposição 4.19

Se a topologia de \(Y\) é gerada por uma sub-base \(\mathcal C\), então uma aplicação \(f:X\to Y\) é contínua se, e somente se,

\[ f^{-1}(C)\text{ é aberto em }X\qquad \text{para todo }C\in \mathcal C. \]

Demonstração ▼

Se \(f\) é contínua, as imagens inversas dos elementos de \(\mathcal C\) são abertas. Reciprocamente, se isso vale para todos os elementos de \(\mathcal C\), a proposição anterior mostra que as imagens inversas de todos os abertos de \(Y\) pertencem à topologia gerada por essas imagens inversas; portanto são abertas em \(X\).

4.2.4 Propriedades Universais

As propriedades universais das topologias inicial e final fornecem critérios de continuidade expressos por composições de aplicações. Com eles, não é necessário descrever novamente todos os abertos a cada verificação.

Ilustração: Propriedades Universais Dizemos que o diagrama 4.1 comuta quando \(c\circ a=d\circ b\).

Proposição 4.20 (Propriedade universal da topologia inicial)

Se \(X\) recebe a topologia inicial induzida por \(f:X\to Y\), então, para toda aplicação \(g:Z\to X\),

\[ g\text{ é contínua} \quad \Longleftrightarrow \quad f\circ g\text{ é contínua}. \]

Além disso, a topologia inicial é a única topologia em \(X\) com essa propriedade e para a qual \(f\) é contínua.

Demonstração ▼

Se \(g\) é contínua, a continuidade de \(f\circ g\) segue pela composição. Reciprocamente, todo aberto da topologia inicial tem a forma \(f^{-1}(U)\), com \(U\) aberto em \(Y\), e

\[ g^{-1}(f^{-1}(U))=(f\circ g)^{-1}(U). \]

Logo a continuidade de \(f\circ g\) implica a de \(g\). A unicidade segue aplicando essa equivalência à identidade entre duas possíveis topologias em \(X\).

Proposição 4.21 (Propriedade universal da topologia inicial: família)

Se \(X\) recebe a topologia inicial induzida por uma família \(f_\lambda :X\to Y_\lambda \), então, para toda aplicação \(g:Z\to X\),

\[ g\text{ é contínua} \quad \Longleftrightarrow \quad f_\lambda \circ g\text{ é contínua para todo }\lambda \in \Lambda . \]

Demonstração ▼

É a Proposição 4.17 aplicada à sub-base \(\{ f_\lambda ^{-1}(U)\} \). De fato,

\[ g^{-1}(f_\lambda ^{-1}(U))=(f_\lambda \circ g)^{-1}(U). \]

Proposição 4.22 (Propriedade universal da topologia final)

Se \(Y\) recebe a topologia final induzida por uma aplicação \(f:X\to Y\), então, para toda aplicação \(g:Y\to Z\),

\[ g\text{ é contínua} \quad \Longleftrightarrow \quad g\circ f\text{ é contínua}. \]

A topologia final é a única topologia em \(Y\) com essa propriedade e para a qual \(f\) é contínua.

Demonstração ▼

Uma direção segue pela composição. Para a outra, se \(V\) é aberto em \(Z\) e \(g\circ f\) é contínua, então

\[ f^{-1}(g^{-1}(V))=(g\circ f)^{-1}(V) \]

é aberto em \(X\). Pela definição da topologia final, \(g^{-1}(V)\) é aberto em \(Y\). A unicidade segue novamente aplicando a propriedade à identidade.

4.2.5 Exemplos

Exemplo 4.23

Seja \((X,d)\) um espaço métrico. Para cada \(x\in X\), considere

\[ f_x:X\to \mathbb R,\qquad f_x(y)=d(x,y). \]

A topologia métrica é exatamente a topologia inicial induzida pela família \((f_x)_{x\in X}\). Com efeito, cada \(f_x\) é contínua na topologia métrica, enquanto

\[ B(x,r)=f_x^{-1}(({-}\infty ,r)) \]

mostra que as bolas abertas pertencem à topologia inicial.

Exemplo 4.24

Considere o conjunto \(\mathcal L(\mathbb R)\) das funções limitadas \(\mathbb R\to \mathbb R\). Para cada ponto \(x\) do domínio há uma aplicação de avaliação

\[ F_x:\mathcal L(\mathbb R)\longrightarrow \mathbb R,\qquad F_x(f)=f(x). \]

A topologia inicial produzida por toda a família \((F_x)_{x\in \mathbb R}\) é justamente aquela em que convergir significa convergir em cada ponto do domínio. Na Seção 4.3 veremos essa mesma estrutura como um caso de topologia produto.

Exemplo 4.25

Considere

\[ f:\mathbb R\to S^1,\qquad f(t)=e^{2\pi i t}. \]

A topologia inicial em \(\mathbb R\) induzida pela topologia usual de \(S^1\) é mais fraca que a topologia usual de \(\mathbb R\): seus abertos são invariantes por translações inteiras. A topologia final induzida por essa mesma aplicação, por outro lado, será um dos exemplos centrais da seção de espaços quocientes.

Exercício 4.6

Seja \(f_\lambda :X\to Y_\lambda \) uma família de aplicações. Mostre diretamente que a topologia gerada por todos os conjuntos \(f_\lambda ^{-1}(U)\), com \(U\) aberto em \(Y_\lambda \), é a menor topologia que torna todas as \(f_\lambda \) contínuas.

Exercício 4.7

Considere um espaço topológico \((X,\mathcal{T})\) e o espaço de Sierpiński \(S\). Seja \(F\) a família de todas as aplicações contínuas \(f:X\to S\). Mostre que a topologia inicial em \(X\) induzida por \(F\) coincide com \(\mathcal{T}\).

Exercício 4.8

Se \(\mathcal{T}\) é uma topologia em \(\mathbb R\) que possui exatamente as mesmas funções contínuas \(\mathbb R\to \mathbb R\) que a topologia usual, mostre que \(\mathcal{T}\) é a topologia usual.

Exercício 4.9

Seja \(X\) um conjunto e \(\{ f_\alpha :X\to A_\alpha \} _{\alpha \in \mathcal A}\) uma família de funções. Se \(\mathcal{T}\) é a topologia inicial gerada por essa família e \(Y\subseteq X\), mostre que a topologia de subespaço em \(Y\) é a topologia inicial gerada pelas restrições \(f_\alpha |_Y\).

Exercício 4.10

Descreva a topologia inicial em \(\mathbb R\) gerada por cada uma das famílias abaixo, supondo os contradomínios com a topologia usual.

A família das funções constantes.
A aplicação identidade.
O conjunto de todas as funções contínuas para a topologia usual.
O conjunto das funções reais limitadas e contínuas para a topologia usual.

4.3 Topologia Produto

A topologia produto é a topologia mais fraca que torna contínuas as projeções sobre os fatores. Trata-se, portanto, da topologia inicial associada a essas projeções. Para dois fatores, os retângulos abertos fornecem uma descrição concreta da construção.

4.3.1 Produto Finito

Definição 4.26 (Topologia do Produto de dois Espaços)

Sejam \({\left({X}, {\mathcal{T}\sb {X}}\right)}\) e \({\left({Y}, {\mathcal{T}\sb {Y}}\right)}\) espaços topológicos. No conjunto \(X\times Y\), a topologia produto é a topologia gerada pelos retângulos

\[ U\times V,\qquad U\in \mathcal{T}\sb {X},\quad V\in \mathcal{T}\sb {Y}. \]

O conjunto cartesiano equipado com essa topologia é o espaço produto. Quando não houver ambiguidade, também escreveremos \(\mathcal{T}\sb {X}\times \mathcal{T}\sb {Y}\) para designá-la.

Exemplo 4.27

Dado \(X = \{ a,b\} \) com a topologia de Sierpinski \(\{ \varnothing , \{ a\} , \{ a,b\} \} \).

Então a topologia produto possui exatamente os seguintes abertos:

\[ \varnothing ,\quad \{ (a,a)\} ,\quad \{ a\} \times X,\quad X\times \{ a\} ,\quad (\{ a\} \times X)\cup (X\times \{ a\} ),\quad X\times X. \]

Essa topologia está representada na figura 4.2.

Figura 4.2 Topologia produto de dois espaços de Sierpiński.

Definimos as projeções canônicas em \(X\) e \(Y\) como:

\begin{equation*} \begin{array}[t]{lrcl} \pi _X:& X \times Y & \to & X \\ & (x,y) & \mapsto & x \end{array}\end{equation*}

\begin{equation*} \begin{array}[t]{lrcl} \pi _Y:& X \times Y & \to & Y \\ & (x,y) & \mapsto & y \end{array}\end{equation*}

As projeções caracterizam a topologia produto. A proposição seguinte reúne as descrições equivalentes que serão utilizadas adiante.

Exemplo 4.28 (Cilindro)

Considere o círculo unitário \({\mathbb {S}^{1}}\) e o intervalo \(I=[0,1]\). Então o produto \({\mathbb {S}^{1}}\times [0,1]\) é o cilindro.

Figura 4.3 O cilindro é o produto de S^(1)× [0,1] — Figura 4.3 O cilindro é o produto de \(S^{1}\times [0,1]\)

Proposição 4.29

Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e seja \(\tau \) uma topologia qualquer em \(X\times Y\). Então as condições abaixo são equivalentes.

\(\tau \) coincide com a topologia produto.
Os conjuntos da forma \(A \times B\), com \(A\in \mathcal{T}\sb {X}\) e \(B\in \mathcal{T}\sb {Y}\), formam uma base de \(\tau \).
Os conjuntos da forma \(A \times Y\) e \(X \times B\), com \(A\in \mathcal{T}\sb {X}\) e \(B\in \mathcal{T}\sb {Y}\), formam uma sub-base de \(\tau \).
\(\tau \) é a topologia inicial determinada por \(\pi _X\) e \(\pi _Y\); isto é, a menor topologia em \(X\times Y\) que torna as duas projeções contínuas.
Para qualquer espaço topológico \(Z\) e qualquer função \(f:Z\to X\times Y\), a continuidade de \(f\) equivale à continuidade simultânea de suas duas funções coordenadas \(\pi _X\circ f\) e \(\pi _Y\circ f\).

Figura 4.4 Dois abertos da sub-base da topologia produto em azul e em laranja um aberto da base que não é da sub-base.

Figura 4.5 Uma aplicação com valores em X× Y é contínua exatamente quando suas duas componentes coordenadas são contínuas. — Figura 4.5 Uma aplicação com valores em \(X\times Y\) é contínua exatamente quando suas duas componentes coordenadas são contínuas.

Demonstração ▼

\(\ref{it:prop:equivalencias_topologia_produto_de_dois:definicao} \Leftrightarrow \ref{it:prop:equivalencias_topologia_produto_de_dois:base} \Leftrightarrow \ref{it:prop:equivalencias_topologia_produto_de_dois:sub-base}\)

Interseções finitas dos cilindros sub-básicos são retângulos, pois

\[ (U\times Y)\cap (X\times V)=U\times V. \]

Reciprocamente, todo retângulo básico aparece dessa forma.

\(\ref{it:prop:equivalencias_topologia_produto_de_dois:sub-base} \Leftrightarrow \ref{it:prop:equivalencias_topologia_produto_de_dois:projecoes}\)

A continuidade de \(\pi _X\) força a abertura de todos os conjuntos \(\pi _X^{-1}(U)=U\times Y\), e a continuidade de \(\pi _Y\) força a abertura de \(\pi _Y^{-1}(V)=X\times V\). Assim, qualquer topologia que torne as projeções contínuas contém a sub-base do item anterior. A topologia por ela gerada já torna as projeções contínuas e, portanto, é a menor com essa propriedade.

\(\ref{it:prop:equivalencias_topologia_produto_de_dois:projecoes} \Leftrightarrow \ref{it:prop:equivalencias_topologia_produto_de_dois:composicao_com_projecao}\)

É um caso particular da Proposição 4.19.

Observação 4.30

Uma aplicação \(f:Z\to X\times Y\) é determinada pelas funções coordenadas

\[ f_X=\pi _X\circ f,\qquad f_Y=\pi _Y\circ f. \]

A propriedade universal diz que \(f\) é contínua exatamente quando \(f_X\) e \(f_Y\) são contínuas.

Observação 4.31 (Continuidade separada não basta)

A propriedade universal anterior vale para aplicações com valores em um produto. Ela não afirma que uma função \(f:X\times Y\to Z\) seja contínua quando suas duas seções são contínuas. De fato, considere

\[ f(x,y)= \begin{cases} 0,& (x,y)=(0,0),\\ \dfrac {xy}{x^2+y^2},& (x,y)\neq (0,0). \end{cases} \]

As seções pelos eixos são identicamente nulas e, portanto, contínuas. Entretanto, \(f(1/n,1/n)=1/2\) para todo \(n\), enquanto \((1/n,1/n)\to (0,0)\). Logo \(f\) não é contínua na origem. O ponto é que variar uma coordenada de cada vez não controla aproximações simultâneas no produto.

Observação 4.32

Para a topologia produto de dois espaços,

\begin{equation} \label{obs:eq:topologia_produto_com_sequencias} (x_n,y_n)\longrightarrow (x,y) \quad \Longleftrightarrow \quad x_n\longrightarrow x\ \text{ e }\ y_n\longrightarrow y. \tag{4.2} \end{equation}

A equivalência decorre da descrição das vizinhanças básicas \(U\times V\). Em espaços topológicos gerais, porém, sequências convergentes não determinam necessariamente toda a topologia.

A construção se estende a qualquer número finito de fatores, impondo a continuidade de todas as projeções coordenadas.

Definição 4.33

Dada uma família finita de espaços topológicos \({\left({X_1}, {\mathcal{T}\sb {X_1}}\right)},\dotsc ,{\left({X_n}, {\mathcal{T}\sb {X_n}}\right)}\), a topologia produto em \(X_1\times \cdots \times X_n\) é a menor topologia que torna contínuas as projeções coordenadas

\begin{equation*} \begin{array}[t]{lrcl} \pi _j:& X_1 \times \dotsb \times X_n & \to & X_j \\ & (x_1, \dotsc , x_n) & \mapsto & x_j \end{array}, \end{equation*}

são contínuas. O espaço produto \({\left({X_1}, {\mathcal{T}\sb {X_1}}\right)} \times \dotsb \times {\left({X_n}, {\mathcal{T}\sb {X_n}}\right)}\), é o conjunto \(X_1 \times \dotsb \times X_n\), dotado da topologia produto.

Os retângulos \(U_1\times \cdots \times U_n\), com \(U_i\) aberto em \(X_i\), formam uma base. Equivalentemente, uma aplicação com valores no produto finito é contínua se, e somente se, cada uma de suas coordenadas é contínua; é a mesma propriedade universal usada no caso de dois fatores.

Exemplo 4.34 (O toro como produto de grupos)

O toro \(\mathbb T^2=\mathbb S^1\times \mathbb S^1\) é um grupo topológico para a operação coordenada a coordenada:

\[ (z_1,z_2)(w_1,w_2)=(z_1w_1,z_2w_2). \]

A identidade é \((1,1)\), e o inverso é \((\overline z_1,\overline z_2)\). A propriedade universal do produto prova a continuidade dessas operações, pois cada coordenada é contínua. O mesmo argumento funciona para \(\prod _{i\in I}G_i\) com a topologia produto, mesmo quando \(I\) é infinito. Uma vizinhança básica da identidade restringe apenas um número finito de coordenadas; essa descrição será útil ao estudar convergência e compacidade.

Figura 4.6 O toro tem duas coordenadas circulares. Identificar os lados opostos do quadrado produz ℝ^2/Z^2cong S^1× S^1. As duas cores distinguem as duas direções; somar coordenadas módulo 1 corresponde a multiplicar em cada fator do círculo. — Figura 4.6 O toro tem duas coordenadas circulares. Identificar os lados opostos do quadrado produz \(\mathbb {R}^2/\mathbb {Z}^2\cong \mathbb S^1\times \mathbb S^1\). As duas cores distinguem as duas direções; somar coordenadas módulo \(1\) corresponde a multiplicar em cada fator do círculo.

4.3.2 Produto Cartesiano Infinito

Antes de definir a topologia, fixemos a notação para produtos com um conjunto arbitrário de índices.

Definição 4.35

Se \(\Lambda \) é um conjunto e \(X\) um conjunto, uma família \((x_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }\) de elementos de \(X\) é simplesmente uma função \(x:\Lambda \to X\); escrevemos \(x_\lambda =x(\lambda )\). O conjunto de todas essas famílias é denotado por \(X^\Lambda \).

Definição 4.36

Dada uma família de conjuntos \((A_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }\), seu produto cartesiano é

\[ \prod _{\lambda \in \Lambda }A_\lambda = \left\{ (x_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }:x_\lambda \in A_\lambda \text{ para todo }\lambda \in \Lambda \right\} . \]

Equivalentemente, seus elementos são as funções

\[ x:\Lambda \longrightarrow \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_\lambda \]

tais que \(x(\lambda )\in A_\lambda \) para todo \(\lambda \).

Se todos os fatores são iguais a um mesmo conjunto \(Y\), escrevemos simplesmente \(Y^\Lambda \). Assim,

\[ Y^{\mathbb N}=\prod _{n\in \mathbb N}Y \]

é o conjunto das sequências em \(Y\), enquanto \(\mathbb R^{\mathbb R}\) é o conjunto de todas as funções reais de variável real. Essa identificação entre funções e pontos de um produto será usada várias vezes.

4.3.3 Produto Infinito

Se cada \(X_\lambda \) é um espaço topológico, a topologia produto será definida pela continuidade das projeções coordenadas. Como veremos, seus abertos básicos impõem restrições em apenas finitas coordenadas.

Definição 4.37 (Topologia produto)

Dada uma família de espaços topológicos \((X_\lambda ,\mathcal{T}_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }\), a topologia produto em

\[ X=\prod _{\lambda \in \Lambda }X_\lambda \]

é a topologia inicial induzida pelas projeções

\[ \pi _\gamma :X\longrightarrow X_\gamma , \qquad \pi _\gamma ((x_\lambda )_\lambda )=x_\gamma . \]

Equivalentemente, é a menor topologia em \(X\) que torna todas as projeções contínuas.

Proposição 4.38

Os conjuntos

\[ S(\lambda ,U)=\pi _\lambda ^{-1}(U), \qquad \lambda \in \Lambda ,\quad U\in \mathcal{T}_\lambda , \]

formam uma sub-base da topologia produto.

Isso é apenas a descrição da topologia inicial pelas imagens inversas dos abertos dos fatores. Interseções finitas desses cilindros fornecem uma base.

Proposição 4.39

Uma base da topologia produto é formada pelos conjuntos

\[ B=\bigcap _{j=1}^n\pi _{\lambda _j}^{-1}(U_j), \]

onde \(\lambda _1,\dots ,\lambda _n\) são índices distintos e \(U_j\in \mathcal{T}_{\lambda _j}\). Em outras palavras, um aberto básico restringe apenas um número finito de coordenadas.

Exemplo 4.40

Em \(\mathbb R^{\mathbb N}\),

\[ \mathbb R\times (a,b)\times \mathbb R\times (c,d)\times \mathbb R\times \cdots \]

é um aberto básico: apenas duas coordenadas foram restringidas. Essa é a diferença essencial entre a topologia produto e a topologia da caixa, que veremos adiante.

Proposição 4.41

Se \(Y\) é um espaço topológico e

\[ f:Y\longrightarrow \prod _{\lambda \in \Lambda }X_\lambda , \]

então

\[ f\text{ é contínua} \quad \Longleftrightarrow \quad \pi _\lambda \circ f\text{ é contínua para todo }\lambda \in \Lambda . \]

Demonstração ▼

É exatamente a propriedade universal da topologia inicial, Proposição 4.19.

Proposição 4.42

Cada projeção canônica

\[ \pi _\gamma :\prod _{\lambda \in \Lambda }X_\lambda \longrightarrow X_\gamma \]

é uma aplicação aberta.

Demonstração ▼

É suficiente verificar a imagem de um aberto básico

\[ B=\bigcap _{j=1}^n\pi _{\lambda _j}^{-1}(U_j). \]

Se \(B=\varnothing \), não há nada a provar. Se \(B\neq \varnothing \) e \(\gamma =\lambda _j\) para algum \(j\), então \(\pi _\gamma (B)=U_j\); se \(\gamma \) não está entre os índices restringidos, \(\pi _\gamma (B)=X_\gamma \). Em qualquer caso a imagem é aberta. Como todo aberto é união de abertos básicos, \(\pi _\gamma \) é aberta.

Proposição 4.43

Suponha que a topologia de \(X\) seja a topologia inicial induzida por uma família

\[ f_\lambda :X\to X_\lambda , \qquad \lambda \in \Lambda . \]

Se \(S\subseteq X\) recebe a topologia de subespaço, então a topologia de \(S\) é a topologia inicial induzida pelas restrições

\[ f_\lambda |_S:S\to X_\lambda . \]

Demonstração ▼

Uma base da topologia inicial de \(X\) é formada por interseções finitas

\[ \bigcap _{j=1}^n f_{\lambda _j}^{-1}(U_j). \]

Intersectando esses conjuntos com \(S\) obtemos

\[ S\cap \bigcap _{j=1}^n f_{\lambda _j}^{-1}(U_j) = \bigcap _{j=1}^n(f_{\lambda _j}|_S)^{-1}(U_j), \]

que é precisamente a base da topologia inicial em \(S\) induzida pelas restrições.

Definição 4.44

Uma família \((f_\lambda :X\to X_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }\) separa pontos de \(X\) quando, dados \(x\neq y\), existe \(\lambda \) tal que \(f_\lambda (x)\neq f_\lambda (y)\).

A família \((f_\lambda )\) determina uma única aplicação

\[ \varepsilon :X\longrightarrow \prod _{\lambda \in \Lambda }X_\lambda , \qquad \varepsilon (x)=(f_\lambda (x))_{\lambda \in \Lambda }, \]

chamada aplicação de avaliação.

Proposição 4.45

A aplicação \(\varepsilon \) é um mergulho se, e somente se:

a família \((f_\lambda )\) separa os pontos de \(X\);
a topologia de \(X\) é a topologia inicial induzida pela família \((f_\lambda )\).

Demonstração ▼

Se \(\varepsilon \) é um mergulho, então é injetiva, logo os \(f_\lambda =\pi _\lambda \circ \varepsilon \) separam pontos. Além disso, a topologia de \(\varepsilon (X)\) é a topologia inicial induzida pelas restrições das projeções, pela Proposição 4.38; transportando-a pelo homeomorfismo \(\varepsilon :X\to \varepsilon (X)\), obtemos precisamente a topologia inicial induzida pelos \(f_\lambda \).

Reciprocamente, se os \(f_\lambda \) separam pontos, \(\varepsilon \) é injetiva. Pela propriedade universal do produto, \(\varepsilon \) é contínua. Para provar que \(\varepsilon :X\to \varepsilon (X)\) é um homeomorfismo, é suficiente verificar que uma base de \(X\) é levada em abertos de \(\varepsilon (X)\). Se

\[ U=\bigcap _{j=1}^n f_{\lambda _j}^{-1}(U_j), \]

então, usando a injetividade de \(\varepsilon \),

\[ \varepsilon (U) = \varepsilon (X)\cap \bigcap _{j=1}^n\pi _{\lambda _j}^{-1}(U_j), \]

que é aberto no subespaço \(\varepsilon (X)\).

Exemplo 4.46 (Representação decimal)

Seja \(A=\{ 0,1,\dots ,9\} \) com a topologia discreta. Um ponto de \(A^{\mathbb N}\) é uma sequência de algarismos \((a_0,a_1,\dots )\), e podemos associar a ela o número

\[ f((a_n))=\sum _{n=0}^{\infty }a_n10^{-n-1}\in [0,1]. \]

A aplicação não é injetiva, pois algumas expansões decimais têm duas representações, como \(0,1000\dots =0,0999\dots \).

Na topologia produto, \((a^m)\) converge para \(a\) exatamente quando cada coordenada estabiliza: para todo \(J\), existe \(M\) tal que, se \(m\ge M\), então os primeiros \(J\) algarismos de \(a^m\) coincidem com os de \(a\). Disso segue diretamente que \(f\) é contínua. Substituindo \(A\) por \(\{ 0,1\} \) obtemos a versão binária da mesma construção.

Exemplo 4.47 (Espaço de funções)

Se \(X\) é um conjunto e \(Y\) um espaço topológico, identificamos o conjunto das funções \(X\to Y\) com

\[ Y^X=\prod _{x\in X}Y_x, \]

onde cada \(Y_x\) é uma cópia de \(Y\). Um aberto básico em torno de \(f\in Y^X\) impõe condições apenas em um número finito de pontos \(x_1,\dots ,x_n\):

\[ \bigcap _{j=1}^n\pi _{x_j}^{-1}(U_j), \qquad f(x_j)\in U_j. \]

Fora dessas coordenadas, a função pode assumir valores arbitrários. Essa é a geometria da topologia da convergência pontual.

Figura 4.7 Um aberto básico da topologia produto no espaço das funções X→ Y. — Figura 4.7 Um aberto básico da topologia produto no espaço das funções \(X\to Y\).

Proposição 4.48 (Convergência pontual)

Uma sequência \((f_n)\) em \(Y^X\), com a topologia produto, converge para \(f\) se, e somente se,

\[ f_n(x)\longrightarrow f(x) \qquad \text{para todo }x\in X. \]

Demonstração ▼

Se \(f_n\to f\) no produto, a continuidade de cada projeção \(\pi _x\) dá \(f_n(x)\to f(x)\). Reciprocamente, seja

\[ V=\bigcap _{j=1}^k\pi _{x_j}^{-1}(U_j) \]

uma vizinhança básica de \(f\). Para cada uma das finitas coordenadas \(x_j\), a convergência \(f_n(x_j)\to f(x_j)\) fornece um índice a partir do qual \(f_n(x_j)\in U_j\). Tomando o máximo desses índices, obtemos \(f_n\in V\) para todo \(n\) suficientemente grande.

Exemplo 4.49

Em \(X=[0,1]^{\mathbb N}\), considere as métricas

\[ d_\infty (x,y)=\sup _{n\ge 0}|x_n-y_n| \qquad \text{e}\qquad d_w(x,y)=\sup _{n\ge 0}\frac{|x_n-y_n|}{n+1}. \]

A métrica \(d_w\) induz a topologia produto. De fato, para um raio \(\varepsilon \gt 0\), a condição

\[ d_w(x,a)\lt \varepsilon \]

impõe \(|x_n-a_n|\lt (n+1)\varepsilon \); como \(|x_n-a_n|\le 1\), apenas um número finito de coordenadas produz restrições não triviais. Reciprocamente, dado um aberto básico que restringe apenas finitas coordenadas, escolhemos \(\varepsilon \) suficientemente pequeno para que uma bola de \(d_w\) esteja contida nele.

Já \(d_\infty \) induz uma topologia estritamente mais fina. Uma bola de raio \(\varepsilon \lt 1\) exige simultaneamente

\[ |x_n-a_n|\lt \varepsilon \qquad \text{para todo }n, \]

e portanto restringe infinitas coordenadas. Ela não é, em geral, aberta na topologia produto: qualquer vizinhança básica de \(a\) deixa alguma coordenada livre, permitindo alterar essa coordenada por uma quantidade maior que \(\varepsilon \).

4.3.4 Topologia da Caixa

A topologia da caixa é a alternativa em que permitimos restrições em todas as coordenadas ao mesmo tempo.

Definição 4.50 (Topologia da caixa)

Dada uma família de espaços topológicos \((X_\lambda ,\mathcal{T}_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }\), a topologia da caixa em \(\prod _{\lambda \in \Lambda }X_\lambda \) é a topologia cuja base é formada pelos conjuntos

\[ \prod _{\lambda \in \Lambda }U_\lambda , \qquad U_\lambda \in \mathcal{T}_\lambda \text{ para todo }\lambda . \]

A topologia produto está contida na topologia da caixa. Para produtos finitos elas coincidem; em produtos infinitos, a inclusão pode ser estrita.

Exemplo 4.51

Considere

\[ f:\mathbb R\to \mathbb R^{\mathbb N}, \qquad f(x)=(x,x,x,\dots ). \]

Na topologia da caixa,

\[ B=\prod _{n\ge 1}(-2^{-n},2^{-n}) \]

é aberto, mas \(f^{-1}(B)=\{ 0\} \). Logo \(f\) não é contínua para a topologia da caixa, embora cada coordenada \(\pi _n\circ f\) seja contínua. Portanto, a topologia da caixa não possui a propriedade universal que caracteriza a topologia produto.

Proposição 4.52 (Convergência de sequências na topologia da caixa)

Suponha que \(Y\) seja \(T_1\). Uma sequência \((f_n)\) em \(Y^X\), com a topologia da caixa, converge para \(f\) se, e somente se, existe um conjunto finito \(F\subseteq X\) e um índice \(N\) tais que

\[ f_n(x)=f(x) \qquad \text{para todo }n\ge N\text{ e todo }x\notin F, \]

e, para cada \(x\in F\), temos \(f_n(x)\to f(x)\).

Demonstração ▼

Suponha primeiro que existam \(F\) e \(N\) com a propriedade indicada. Uma vizinhança em caixa de \(f\) impõe uma condição em cada coordenada; fora de \(F\) a igualdade já vale para \(n\ge N\), e nas coordenadas de \(F\) tomamos o máximo dos finitíssimos índices de convergência necessários.

Para a necessidade, suponha que não existam tais \(F\) e \(N\). Então podemos escolher índices crescentes \(n_k\) e coordenadas distintas \(x_k\) tais que \(f_{n_k}(x_k)\neq f(x_k)\). Como \(Y\) é \(T_1\), o conjunto

\[ U_{x_k}=Y\setminus \{ f_{n_k}(x_k)\} \]

é uma vizinhança aberta de \(f(x_k)\). Tomando \(U_x=Y\) nas demais coordenadas, obtemos uma vizinhança em caixa \(\prod _{x\in X}U_x\) de \(f\) que não contém nenhum dos termos \(f_{n_k}\), contradizendo \(f_n\to f\).

Exercício 4.11

Seja \((X_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }\) uma família de espaços topológicos e escolha um subconjunto de índices \(\Gamma \subseteq \Lambda \). Escreva

\begin{equation*} X_\Lambda = \prod _{\lambda \in \Lambda } X_\lambda \quad \text{ e } \quad X_\Gamma = \prod _{\lambda \in \Gamma } X_\lambda . \end{equation*}

Mostre que a aplicação

\begin{equation*} \begin{array}[t]{lrcl} \Pi _\Gamma :& X_\Lambda & \to & X_\Gamma \\ & (x_\lambda )_{\lambda \in \Lambda } & \mapsto & (x_\lambda )_{\lambda \in \Gamma } \end{array}\end{equation*}

é contínua e aberta.

Ver dica

Para a continuidade, teste cada coordenada do contradomínio compondo \(\Pi _\Gamma \) com a projeção \(X_\Gamma \to X_\lambda \). Para a abertura, comece por um aberto básico do produto.

Ver solução

A continuidade de \(\Pi _\Gamma \) segue da propriedade universal do produto, pois para cada \(\lambda \in \Gamma \),

\[ \pi _{\Gamma ,\lambda }\circ \Pi _\Gamma =\pi _\lambda . \]

Para provar que é aberta, basta considerar um aberto básico \(B\subseteq X_\Lambda \). Sua imagem por \(\Pi _\Gamma \) é vazia ou um aberto básico de \(X_\Gamma \): as restrições impostas às coordenadas fora de \(\Gamma \) desaparecem, e as restrições nas coordenadas de \(\Gamma \) permanecem. Logo \(\Pi _\Gamma \) é aberta.

Exercício 4.12

Mantenha a notação do Exercício 4.11 e seja \(\widetilde\Gamma \) uma partição do conjunto de índices \(\Lambda \). Mostre que a aplicação

\begin{equation*} \begin{array}[t]{lrcl} f:& X_\Lambda & \to & \prod _{\Gamma \in \tilde{\Gamma }} X_\Gamma \\ & x & \mapsto & (\Pi _\Gamma (x))_{\Gamma \in \tilde{\Gamma }} \end{array}\end{equation*}

é um homeomorfismo.

Ver dica

A função apenas reorganiza as coordenadas em blocos determinados pela partição. Use a propriedade universal do produto tanto para \(f\) quanto para a aplicação que desfaz esse reagrupamento.

Ver solução

A aplicação \(f\) é bijetiva, pois apenas reagruppa as coordenadas segundo a partição \(\widetilde\Gamma \). Para cada bloco \(\Gamma \in \widetilde\Gamma \), a coordenada correspondente de \(f\) é \(\Pi _\Gamma \), que é contínua pelo exercício anterior. Logo \(f\) é contínua pela propriedade universal do produto.

A inversa apenas recoloca cada coordenada em sua posição original. Para cada \(\lambda \in \Lambda \), se \(\Gamma \) é o único bloco que contém \(\lambda \), então a \(\lambda \)-ésima coordenada de \(f^{-1}\) é a composição da projeção no bloco \(\Gamma \) com a projeção \(X_\Gamma \to X_\lambda \). Essa composição é contínua. Novamente pela propriedade universal do produto, \(f^{-1}\) é contínua. Portanto \(f\) é um homeomorfismo.

4.4 Espaços Quocientes

Quocientes são a maneira topológica de colar pontos. O modelo mais simples é o intervalo \([0,1]\): se identificarmos as duas extremidades, obtemos um círculo. A relação de equivalência registra quais pontos devem ser identificados; a topologia quociente determina quais conjuntos permanecem abertos depois da colagem.

4.4.1 Relações de equivalência e a topologia quociente

Notação 4.53

Dada uma relação de equivalência \(\sim \) em um conjunto \(X\), denotamos por \(X/{\sim }\) o conjunto das classes de equivalência e por

\[ \pi :X\longrightarrow X/{\sim },\qquad \pi (x)=[x], \]

a projeção canônica.

Se \(X\) já possui uma topologia, queremos que a projeção \(\pi \) seja contínua. A escolha canônica é usar no conjunto de classes a topologia final de \(\pi \).

Definição 4.54 (Topologia quociente)

Se \((X,\mathcal{T})\) é um espaço topológico e \(\sim \) uma relação de equivalência em \(X\), a topologia quociente em \(X/{\sim }\) é

\[ \mathcal{T}_{\sim } = \{ U\subseteq X/{\sim }:\pi ^{-1}(U)\in \mathcal{T}\} . \]

O espaço \((X/{\sim },\mathcal{T}_{\sim })\) é chamado espaço quociente.

Um conjunto de classes é aberto no quociente se, e somente se, a união dessas classes é aberta no espaço original \(X\). Assim, a abertura no quociente é verificada pela imagem inversa da projeção canônica.

Exemplo 4.55 (O círculo a partir de um intervalo)

Em \(I=[0,1]\), considere a relação que identifica apenas as extremidades:

\[ x\sim y \quad \Longleftrightarrow \quad x=y\text{ ou }\{ x,y\} =\{ 0,1\} . \]

O quociente \(I/{\sim }\) é o espaço obtido ao colar \(0\) e \(1\). Veremos abaixo que ele é homeomorfo a \(S^1\).

4.4.2 A propriedade universal

A propriedade universal da topologia quociente permite verificar a continuidade de uma aplicação definida nas classes de equivalência por meio de sua composição com a projeção canônica.

Proposição 4.56 (Propriedade universal do quociente)

Se \(\pi :X\to X/{\sim }\) é a projeção canônica e \(f:X\to Z\) é uma função constante em cada classe de equivalência, então existe uma única função

\[ \bar f:X/{\sim }\longrightarrow Z \]

tal que

\[ f=\bar f\circ \pi . \]

Ela é dada por

\[ \bar f([x])=f(x). \]

Se \(X/{\sim }\) recebe a topologia quociente, então

\[ \bar f\text{ é contínua} \quad \Longleftrightarrow \quad f\text{ é contínua}. \]

Demonstração ▼

A hipótese de que \(f\) é constante nas classes garante que a fórmula \(\bar f([x])=f(x)\) não depende do representante escolhido. Como \(\pi \) é sobrejetiva, essa fatoração é única. Por fim,

\[ f=\bar f\circ \pi , \]

e a equivalência de continuidade é exatamente a propriedade universal da topologia final, Proposição 4.20.

Não se deve escrever uma expressão do tipo \(f\circ \pi ^{-1}\): em geral, a projeção \(\pi \) não é injetiva e \(\pi ^{-1}\) não é uma função. A aplicação \(\bar f\) é definida diretamente nas classes pela fórmula acima.

4.4.3 Aplicações quocientes

Definição 4.57 (Aplicação quociente)

Uma aplicação sobrejetiva \(q:X\to Y\) entre espaços topológicos é uma aplicação quociente quando

\[ U\subseteq Y\text{ é aberto} \quad \Longleftrightarrow \quad q^{-1}(U)\text{ é aberto em }X. \]

Equivalentemente, a topologia de \(Y\) é a topologia final induzida por \(q\).

Toda projeção canônica \(\pi :X\to X/{\sim }\) é, por definição, uma aplicação quociente.

Exemplo 4.58 (A aplicação sinal)

Seja \(S=\{ +,-,0\} \) e considere

\[ s:\mathbb R\to S,\qquad s(x)= \begin{cases} +,& x\gt 0,\\ -,& x\lt 0,\\ 0,& x=0. \end{cases} \]

A topologia final induzida por \(s\) é

\[ \{ \varnothing ,S,\{ +\} ,\{ -\} ,\{ +,-\} \} . \]

Com essa topologia, \(s\) é uma aplicação quociente.

Toda aplicação sobrejetiva determina uma relação de equivalência por suas fibras.

Proposição 4.59 (Quociente pelas fibras)

Se \(q:X\to Y\) é sobrejetiva, defina

\[ x\sim _q y\quad \Longleftrightarrow \quad q(x)=q(y). \]

Então a aplicação

\[ \bar q:X/{\sim _q}\longrightarrow Y,\qquad \bar q([x])=q(x), \]

é uma bijeção. Além disso, \(q\) é uma aplicação quociente se, e somente se, \(\bar q\) é um homeomorfismo quando \(X/{\sim _q}\) recebe a topologia quociente.

Demonstração ▼

A definição de \(\sim _q\) garante que \(\bar q\) é bem definida e injetiva; a sobrejetividade de \(q\) garante a sobrejetividade de \(\bar q\). Como

\[ q=\bar q\circ \pi , \]

a propriedade universal mostra que \(\bar q\) é contínua quando \(q\) é contínua. Para a inversa, um conjunto \(U\subseteq Y\) é aberto se, e somente se, \(q^{-1}(U)\) é aberto em \(X\) exatamente quando \(\pi ^{-1}(\bar q^{-1}(U))\) é aberto; isso equivale a \(\bar q^{-1}(U)\) ser aberto no quociente. Portanto, se \(q\) é quociente, \(\bar q\) é um homeomorfismo. Reciprocamente, se \(\bar q\) é um homeomorfismo, a mesma equivalência de abertos mostra que \(q\) é uma aplicação quociente.

Proposição 4.60 (Critérios suficientes)

Se \(q:X\to Y\) é uma aplicação contínua e sobrejetiva, então cada uma das condições abaixo é suficiente para que \(q\) seja quociente:

\(q\) é aberta;
\(q\) é fechada.

Demonstração ▼

Suponha primeiro que \(q\) seja aberta e que \(q^{-1}(U)\) seja aberto em \(X\). Pela sobrejetividade,

\[ U=q(q^{-1}(U)), \]

logo \(U\) é aberto em \(Y\). O argumento para aplicações fechadas é o mesmo, usando complementos.

4.4.4 Conjuntos saturados

Definição 4.61 (Conjunto saturado)

Um subconjunto \(A\subseteq X\) é saturado quando é união de classes de equivalência. Equivalentemente,

\[ \pi ^{-1}(\pi (A))=A. \]

Proposição 4.62 (Caracterização por abertos saturados)

Os abertos de \(X/{\sim }\) são exatamente as imagens, pela projeção canônica, dos abertos saturados de \(X\):

\[ \mathcal{T}_{\sim } = \{ \pi (W):W\in \mathcal{T}\text{ e }W\text{ é saturado}\} . \]

Demonstração ▼

Se \(U\) é aberto no quociente, então \(\pi ^{-1}(U)\) é aberto e saturado, e a sobrejetividade de \(\pi \) dá

\[ \pi (\pi ^{-1}(U))=U. \]

Reciprocamente, se \(W\) é aberto e saturado,

\[ \pi ^{-1}(\pi (W))=W \]

é aberto; logo \(\pi (W)\) é aberto no quociente.

O mesmo argumento, usando complementos, mostra que os fechados do quociente são precisamente as imagens dos fechados saturados.

4.4.5 Exemplos geométricos

Exemplo 4.63 (O círculo)

Considere

\[ q:\mathbb R\to S^1,\qquad q(t)=e^{2\pi i t}=(\cos 2\pi t,\sin 2\pi t). \]

Temos

\[ s\sim t\quad \Longleftrightarrow \quad s-t\in \mathbb Z. \]

A aplicação \(q\) é um homeomorfismo local e, em particular, uma aplicação aberta; como é sobrejetiva, é quociente. Portanto

\[ \mathbb R/\mathbb Z\cong S^1. \]

A mesma geometria pode ser descrita usando apenas o intervalo \([0,1]\). A aplicação

\[ q_0:[0,1]\to S^1,\qquad q_0(t)=e^{2\pi i t}, \]

identifica somente \(0\) e \(1\). Ela também é quociente: longe do ponto \((1,0)\) isso segue da descrição local acima; em \((1,0)\), a abertura de \(q_0^{-1}(U)\) contém simultaneamente um intervalo relativo junto de \(0\) e outro junto de \(1\), que juntos projetam em um arco aberto em torno de \((1,0)\). Assim

\[ [0,1]/(0\sim 1)\cong S^1. \]

Esse é o modelo básico de uma colagem topológica: colar as extremidades de um intervalo produz um círculo.

Exemplo 4.64 (O toro)

O toro bidimensional pode ser visto como

\[ T^2=S^1\times S^1. \]

Considere

\[ q:\mathbb R^2\to S^1\times S^1, \qquad q(x,y)= (\cos 2\pi x,\sin 2\pi x,\cos 2\pi y,\sin 2\pi y). \]

A relação de equivalência associada é

\[ (x,y)\sim (x',y') \quad \Longleftrightarrow \quad x-x'\in \mathbb Z\text{ e }y-y'\in \mathbb Z. \]

Como \(q\) é aberta e sobrejetiva,

\[ \mathbb R^2/\mathbb Z^2\cong T^2. \]

O quadrado \([0,1]^2\) fornece um modelo particularmente útil. Identificamos os lados opostos com a mesma orientação:

\[ (0,y)\sim (1,y),\qquad (x,0)\sim (x,1). \]

O quociente resultante é homeomorfo a \(T^2\). O quadrado é, neste exemplo, um polígono fundamental: uma região simples cuja borda registra as colagens necessárias. Não precisamos de uma definição geral de “domínio fundamental” aqui; o conceito será usado apenas nesses modelos geométricos, onde a escolha é explícita.

Figura 4.9 Polígono fundamental do toro: lados opostos são identificados segundo as setas.

Exemplo 4.65 (O círculo como quociente de grupos)

A aplicação \(q:\mathbb {R}\to \mathbb S^1\), \(q(t)=e^{2\pi it}\), é também um homomorfismo: \(q(s+t)=q(s)q(t)\). Seu núcleo é \(\mathbb {Z}\). Assim, o homeomorfismo \(\mathbb {R}/\mathbb {Z}\to \mathbb S^1\) construído acima preserva as operações \([s]+[t]=[s+t]\) e \(q(s)q(t)=q(s+t)\): ele é um isomorfismo de grupos topológicos, isto é, um isomorfismo de grupos que é homeomorfismo.

Mais geralmente, se \(N\) é um subgrupo normal de \(G\), a projeção \(\pi :G\to G/N\) é aberta. De fato, para \(U\subseteq G\) aberto,

\[ \pi ^{-1}(\pi (U))=UN=\bigcup _{n\in N}Un \]

é aberto. A aplicação \(\pi \times \pi \) é, portanto, aberta e sobrejetiva, logo quociente. A propriedade universal aplicada às identidades \(\overline m\circ (\pi \times \pi )=\pi \circ m\) e \(\overline j\circ \pi =\pi \circ j\) mostra que \(G/N\) é um grupo topológico. Em particular, \(\mathbb {R}^2/\mathbb {Z}^2\) e \(\mathbb T^2\) são isomorfos como grupos topológicos. Aqui a normalidade garante que a operação nas classes esteja bem definida; ela é automática nos grupos abelianos.

Exemplo 4.66 (Outros quocientes geométricos)

A esfera \(S^2\) pode ser obtida a partir do disco fechado \(D^2\) identificando todos os pontos da borda em um único ponto. Também pode ser construída colando dois discos ao longo de suas bordas.

Figura 4.10 Um esquema de identificação que produz a esfera.
O plano projetivo real \(\mathbb {RP}^2\) pode ser obtido do disco identificando cada ponto da borda com o ponto antipodal. Equivalentemente, pode ser descrito como o quociente de \(S^2\) pela relação \(x\sim -x\).

Figura 4.11 Polígono fundamental do plano projetivo real.
A mesma linguagem de polígonos com lados identificados produz a banda de Möbius e a garrafa de Klein. Esses exemplos mostram por que quocientes são uma ferramenta geométrica tão poderosa: espaços aparentemente diferentes podem ser construídos a partir de regiões muito simples, desde que se registre corretamente como suas bordas são coladas.

Exercício 4.13

O quociente de Kolmogorov de um espaço topológico é definido como o quociente pela relação de indistinguibilidade topológica. Mostre que o quociente de Kolmogorov de qualquer espaço é \(T_0\) e que todo espaço \(T_0\) é naturalmente identificado com seu próprio quociente de Kolmogorov.

Exercício 4.14

Verifique diretamente que a família \(\mathcal{T}_{\sim }\) da definição de topologia quociente é uma topologia em \(X/{\sim }\).

Exercício 4.15

Seja \(q:X\to Y\) uma aplicação quociente e \(g:Y\to Z\). Prove que \(g\) é contínua se, e somente se, \(g\circ q\) é contínua.

Exercício 4.16

Quais são os quocientes de um espaço discreto? E de um espaço com topologia trivial?

Exercício 4.17

Descreva uma relação de equivalência em \(\mathbb R^2\) cujo quociente seja homeomorfo a um círculo.

Exercício 4.18

Sejam \(X=[0,1]\) e

\[ x\sim y\quad \Longleftrightarrow \quad x=y\text{ ou }x,y\in (0,1). \]

Mostre que \(X/{\sim }\) não é \(T_1\).

Exercício 4.19

Sejam \(X=\mathbb R\) e

\[ x\sim y\quad \Longleftrightarrow \quad x=y\text{ ou }x,y\in \mathbb Z. \]

Mostre que \(X/{\sim }\) não satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade.

Exercício 4.20

Seja \(q:X\to Y\) uma aplicação sobrejetiva.

Mostre que \(C\subseteq Y\) é fechado na topologia quociente se, e somente se, \(q^{-1}(C)\) é fechado em \(X\).
Se \(Y\) já possui uma topologia e \(q\) leva fechados em fechados, compare essa topologia com a topologia quociente.
Mostre que, se \(q\) é contínua, sobrejetiva e fechada, então é uma aplicação quociente.
Dê um exemplo de aplicação quociente que não seja fechada.

Exercício 4.21

Mostre diretamente que o quociente do quadrado \([0,1]^2\) pelas identificações

\[ (0,y)\sim (1,y),\qquad (x,0)\sim (x,1) \]

é homeomorfo a \(S^1\times S^1\).

4.5 Soma de Espaços Topológicos

A soma, ou união disjunta, reúne cópias dos espaços mantendo-as distintas. Mesmo que os conjuntos originais tenham elementos em comum, cada ponto da soma é identificado também pelo espaço ao qual pertence. Essa distinção será expressa por meio de pares ordenados.

Exemplo 4.67

Se \(A_1=\{ 1,2,3\} \) e \(A_2=\{ 3,4,5\} \), substituímos cada elemento por um par que registra sua origem:

\[ \{ 1\} \times A_1=\{ (1,1),(1,2),(1,3)\} ,\qquad \{ 2\} \times A_2=\{ (2,3),(2,4),(2,5)\} . \]

Essas duas cópias são disjuntas, embora \(A_1\) e \(A_2\) não fossem.

Definição 4.68 (União disjunta)

Dada uma família de conjuntos \((X_i)_{i\in I}\), sua união disjunta é

\[ \bigsqcup _{i\in I}X_i = \bigcup _{i\in I}(\{ i\} \times X_i). \]

Para cada \(i\), definimos a inclusão canônica

\begin{equation} \label{inclusao} j_i:X_i\longrightarrow \bigsqcup _{k\in I}X_k, \qquad j_i(x)=(i,x). \tag{4.3} \end{equation}

Se cada \(X_i\) possui uma topologia \(\mathcal{T}_i\), a topologia natural na soma é a topologia final induzida pelas inclusões \(j_i\).

Definição 4.69 (Topologia da soma)

A topologia da soma em \(\bigsqcup _{i\in I}X_i\) é caracterizada por

\[ U\text{ aberto} \quad \Longleftrightarrow \quad j_i^{-1}(U)\text{ é aberto em }X_i\text{ para todo }i\in I. \]

Equivalentemente, uma base é formada pelos conjuntos

\[ \{ i\} \times U, \qquad U\in \mathcal{T}_i. \]

Proposição 4.70 (Propriedade universal da soma)

Para todo espaço topológico \(Z\), uma aplicação

\[ g:\bigsqcup _{i\in I}X_i\longrightarrow Z \]

é contínua se, e somente se, cada restrição

\[ g\circ j_i:X_i\longrightarrow Z \]

é contínua.

Demonstração ▼

É exatamente a propriedade universal da topologia final aplicada à família das inclusões \((j_i)_{i\in I}\).

Observação 4.71 (Propriedades da soma)

Para cada \(i\in I\), a cópia \(\{ i\} \times X_i\) é simultaneamente aberta e fechada na soma. Além disso:

\(A\subseteq \bigsqcup _iX_i\) é aberto se, e somente se, \(A\cap (\{ i\} \times X_i)\) é aberto em \(\{ i\} \times X_i\) para todo \(i\);
a mesma caracterização vale para conjuntos fechados;
cada inclusão \(j_i\) é um mergulho aberto e fechado.

Exercício 4.22

Prove que as inclusões definidas em 4.3 são mergulhos abertos e fechados.

Exercício 4.23

Mostre diretamente que a topologia da soma é a maior topologia que torna todas as inclusões \(j_i\) contínuas.

4.6 Exercícios complementares

listas:src-030[Intermediário] listas:src-030

Sejam \(X\) um espaço topológico, \(S\) um subespaço de \(X\) e \(A \subseteq S\). Mostre que \(\operatorname {int}_{S}(A) \supseteq S \cap \operatorname {int}_{X}(A)\).
Considere \(X = \mathbb {R}^{2}\) munido da topologia usual e \(S = A = \{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2} : y = 0\} \). Mostre que \(\operatorname {int}_{S}(A) = S\) e que \(\operatorname {int}_{X}(A) = \emptyset \).

Solução

(a) \(S\cap \operatorname {int}_X A\) é aberto em \(S\) e contido em \(A\), portanto está contido em \(\operatorname {int}_S A\). (b) Como \(A=S\), seu interior relativo é \(S\); nenhuma bola plana de raio positivo fica no eixo, logo o interior em \(\mathbb {R}^2\) é vazio.

listas:src-046[Intermediário] listas:src-046 Sejam \(\{ (X_i, \tau _i) : i \in I\} \) uma família de espaços topológicos dois a dois disjuntos e \(X = \bigcup _{i \in I} X_i\).

Mostre que \(\tau = \{ A \subseteq X : A \cap X_i \in \tau _i \ \hbox{para todo} \ i \in I\} \) é uma topologia sobre \(X\). O espaço topológico \((X, \tau )\) é denominado a soma topológica de \(\{ (X_i, \tau _i) : i \in I\} \).
Mostre que \(A \subseteq X\) é fechado em \((X, \tau )\) se, e somente se, \(A \cap X_i\) é fechado em \((X_i, \tau _i)\) para todo \(i \in I\).
Conclua que \(X_i\) é aberto e fechado em \((X, \tau )\), qualquer que seja \(i \in I\).
Suponha que \((X_i, \tau _i)\) seja \(T_1\) (respectivamente, \(T_2\)), qualquer que seja \(i \in I\). Mostre que \((X, \tau )\) é \(T_1\) (respectivamente, \(T_2\)).
Mostre \(\mathbb {R}\) não pode ser escrito como a soma topológica de dois subespaços (disjuntos) não-vazios.

Solução

(a) Intersectar com \(X_i\) comuta com uniões arbitrárias e interseções finitas; os axiomas de \(\tau _i\) provam os de \(\tau \). (b) Aplique (a) aos complementos, pois \((X\setminus A)\cap X_i=X_i\setminus (A\cap X_i)\). (c) As interseções de \(X_i\) com as parcelas são vazias ou a parcela inteira, logo \(X_i\) é aberto e fechado. (d) Para \(T_1\), os unitários são fechados por (b). Para \(T_2\), separe na mesma parcela ou use duas parcelas disjuntas. (e) Duas parcelas não vazias seriam uma separação de \(\mathbb {R}\), contrariando sua conexidade.

listas:src-060[Intermediário] listas:src-060 Sejam \((Y_\lambda ,\tau _\lambda )\) espaços topológicos e \(f_\lambda :X\to Y_\lambda \) aplicações, para \(\lambda \in \Lambda \). Prove que a topologia gerada por \(\{ f_\lambda ^{-1}(U):\lambda \in \Lambda ,\ U\in \tau _\lambda \} \) é a menor topologia em \(X\) que torna todas as \(f_\lambda \) contínuas.

Solução

Toda topologia que torna as \(f_\lambda \) contínuas deve conter todos os conjuntos \(f_\lambda ^{-1}(U)\), portanto a topologia gerada por eles. Nesta última, todas essas pré-imagens são abertas, logo cada \(f_\lambda \) é contínua. Isso prova a minimalidade.

listas:src-061[Intermediário] listas:src-061 Considere um espaço topológico \((X, \mathcal{T})\). Seja \(S\) o espaço de Sierpinski. Seja

\[ F = \{ \text{funções contínuas } f: X \to S\} . \]

Seja \(\mathcal{T}'\) a topologia inicial em \(X\) para a família de funções \(F\). Então, \(\mathcal{T}= \mathcal{T}'\).

Solução

As funções de \(F\) são contínuas para \(\mathcal T\), logo \(\mathcal T'\subseteq \mathcal T\). No espaço de Sierpinski \(S=\{ 0,1\} \), com \(\{ 0\} \) aberto, para cada \(U\in \mathcal T\) a função que vale \(0\) em \(U\) e \(1\) fora de \(U\) é contínua e tem \(U\) como pré-imagem de \(\{ 0\} \). Assim \(\mathcal T\subseteq \mathcal T'\).

listas:src-062[Intermediário] listas:src-062 Sejam \(U\) um conjunto qualquer, \(\{ (X_j, \tau _j) : j \in J\} \) uma família de espaços topológicos e, para cada \( j \in J\), seja \(\mathcal{B}_j\) uma base para \( \tau _j\). Se \(\{ f_j:U\to X_j:j\in J\} \) é uma familia de aplicações, mostre que \(\tilde{\mathcal{B}}=\{ \cap _{i=1}^{n}f_{j_i}^{-1}(B_{j_i}), B_{j_i}\in \mathcal{B}_{j_i},\, \, j_i\in J\} \) é uma base para a topologia induzida pelas aplicações \(f_j\).

Solução

As pré-imagens dos elementos das bases \(\mathcal B_j\) geram a mesma subbase que as pré-imagens de todos os abertos, porque estas últimas são uniões das primeiras. As interseções finitas dessa subbase formam uma base. Inclua a interseção vazia, igual a \(U\), para também cobrir o caso \(J=\varnothing \).

listas:src-065[Avançado] listas:src-065 Seja \(\{ X_j : j \in J\} \) uma família de espaços topológicos e, para cada \( j \in J\), seja \(A_j \subset X_j\). Considerando \(\prod _{ j \in J} {X_j}\) com a topologia produto, mostre que:

\(\overline{\prod _{j\in J} A_i} = \prod _{j\in J} \overline{A_j}\).
Considerando \(A_j \neq \emptyset \) qualquer que seja \( j \in J\), \(\prod _{ j \in J} A_j\) é fechado em \(\prod _{ j \in J} X_j\) se, e somente se, \(A_j\) é fechado em \(X_j\) para todo \( j \in J\).
Supondo \(X_j \neq \emptyset \) qualquer que seja \( j \in J\), \(\prod _{j\in J}A_j\) é denso em \(\prod _{ j \in J} X_j\) se, e somente se, \(A_j\) é denso em \(X_j\) para todo \(j \in J\).

Solução

(a) Leia \(A_j\) em lugar de \(A_i\) no produto do enunciado. Se uma coordenada de \(x\) não pertence a \(\overline{A_j}\), um cilindro aberto separa \(x\) do produto. Se todas pertencem, cada vizinhança básica impõe apenas finitas condições, todas realizáveis por elementos dos \(A_j\), e encontra o produto. (b) Produtos de fechados são interseções dos cilindros fechados \(\pi _j^{-1}(A_j)\). Reciprocamente, fixe pontos nas outras parcelas e intersecte o produto fechado com cada aplicação de inclusão de uma parcela; sua pré-imagem é \(A_j\). (c) Segue de (a), pois os fatores ambientes são não vazios. Usamos a escolha de pontos nos produtos não vazios.

listas:src-066[Avançado] listas:src-066 Repita os três subitens do Exercício 4.29 usando a topologia da caixa no produto \(\prod _{j\in J}X_j\).

Solução

Os três resultados permanecem válidos. Para (a), uma caixa \(\prod _jU_j\) em torno de \(x\in \prod _j\overline{A_j}\) encontra o produto escolhendo \(a_j\in U_j\cap A_j\) em cada coordenada. A inclusão oposta usa um cilindro que evita uma coordenada. Para (b), o complemento de um produto de fechados é união de cilindros abertos; a recíproca usa inclusões das parcelas, contínuas também na topologia da caixa. O item (c) segue de (a).

listas:src-069[Avançado] listas:src-069 O conjunto de Cantor é o que resta do intervalo \([0, 1]\) depois dos seguintes procedimentos: retira-se primeiramente o terço médio aberto \(]1/3, 2/3[\) do intervalo \([0, 1]\); retira-se, depois, o terço médio aberto de cada um dos intervalos \([0, 1/3]\) e \([2/3, 1]\) restantes; em seguida, retira-se o terço médio aberto de cada um dos intervalos que sobraram do passo anterior, e assim por diante. O conjunto \(K\) dos pontos não retirados de \([0, 1]\) é denominado o conjunto de Cantor. Mostre que \(K\) munido da topologia de subespaço induzida por \([0, 1]\) é homeomorfo a \(\{ 0, 2\} ^{\mathbb {N}}\), onde \(\{ 0, 2\} \) está munido da topologia discreta e \(\{ 0, 2\} ^{\mathbb {N}}\) está munido da topologia produto.

Solução

A aplicação \(\Phi ((a_k)_{k\geq 1})=\sum _{k\geq 1}a_k3^{-k}\) leva \(\{ 0,2\} ^{\mathbb {N}}\) bijetivamente sobre \(K\) pela construção ternária. Na primeira posição \(k\) em que duas sequências diferem, a diferença \(2\cdot 3^{-k}\) supera a soma máxima \(3^{-k}\) da cauda, dando injetividade. Fixar as primeiras \(m\) coordenadas limita a variação da soma a \(3^{-m}\), logo \(\Phi \) é contínua. O domínio é compacto e \(K\) é Hausdorff; a bijeção contínua é um homeomorfismo.

listas:src-070[Intermediário] listas:src-070 Sejam \(X\) e \(Y\) espaço topológicos e \(f : X \to Y\) contínua. O gráfico de \(f\) é o conjunto \(Gr(f) = \{ (x, f(x)) : x \in X\} \).

Mostre que se \(Y\) é \(T_2\) então \(Gr(f)\) é um subconjunto fechado de \(X \times Y\).
Mostre que \(X\) é homeomorfo a \(Gr(f)\) (onde \(Gr(f)\) está munido da topologia induzida por \(X \times Y\)).

Solução

(a) Se \(y\neq f(x)\), escolha vizinhanças disjuntas \(V\) de \(y\) e \(W\) de \(f(x)\); \(f^{-1}(W)\times V\) evita o gráfico. Seu complemento é aberto, logo o gráfico é fechado. (b) \(x\mapsto (x,f(x))\) é contínua, e sua inversa no gráfico é a projeção na primeira coordenada, também contínua.

listas:src-071[Básico] listas:src-071 Na definição de espaço quociente, mostre que a topologia quociente é realmente uma topologia para \(X/\sim \).

Solução

Se \(q:X\to X/{\sim }\) é a projeção, as pré-imagens de \(\varnothing \) e do quociente são \(\varnothing \) e \(X\). Como pré-imagens preservam uniões e interseções, os conjuntos cuja pré-imagem é aberta satisfazem os axiomas de topologia.

listas:src-072[Intermediário] listas:src-072 Seja \(f:X \to Y\) uma função contínua sobrejetiva de \(X\) para \(Y\) e suponha que Y tem a topologia quociente determinada por \(f\) Prove que uma função \(g: Y \to Z \) de Y para um espaço Z é contínua se e somente se o função composta \(g\circ f: X \to Z\) é contínua.

Solução

Se \(g\) é contínua, \(g\circ f\) também é. Reciprocamente, para \(V\) aberto em \(Z\), \(f^{-1}(g^{-1}(V))=(g\circ f)^{-1}(V)\) é aberto; a definição de topologia quociente garante que \(g^{-1}(V)\) é aberto em \(Y\).

listas:src-073[Básico] listas:src-073 Quais são as topologias quocientes das topologias discretas e trivial?

Solução

O quociente de um espaço discreto é discreto, porque toda pré-imagem é aberta. O quociente de um espaço caótico é caótico: pela sobrejetividade da projeção, apenas o vazio e o quociente inteiro têm pré-imagem vazia ou igual ao domínio.

listas:src-074[Intermediário] listas:src-074 No quadrado \(X=[0,2\pi ]^2\), considere a relação de equivalência gerada por \((0,t)\sim (2\pi ,t)\) e \((t,0)\sim (t,2\pi )\), para \(0\leq t\leq 2\pi \). Mostre que \(X/\sim \) é homeomorfo ao toro \(\mathbb S^1\times \mathbb S^1\) usando \((s,t)\mapsto (e^{is},e^{it})\).

Solução

A aplicação \((s,t)\mapsto (e^{is},e^{it})\) é contínua, sobrejetora e tem como fibras exatamente as classes das identificações das bordas, incluindo os quatro vértices. Induz, portanto, uma bijeção contínua do quociente para \(\mathbb S^1\times \mathbb S^1\). O quociente é compacto e o toro é Hausdorff; a bijeção é um homeomorfismo.

listas:src-075[Intermediário] listas:src-075 Descreva uma relação de equivalência em \(\mathbb {R}^2\) para a qual o espaço quociente resultante é homeomorfo a um círculo.

Solução

Defina \((x,y)\sim (x',y')\) quando \(x-x'\in \mathbb {Z}\). A aplicação \(q(x,y)=e^{2\pi ix}\) é contínua, aberta e sobrejetora sobre \(\mathbb S^1\), e suas fibras são essas classes. Sendo uma aplicação quociente, ela induz o homeomorfismo procurado.

listas:src-076[Intermediário] listas:src-076 Sejam \(X = [0, 1]\) e \(\sim \) a seguinte relação de equivalência sobre \(X\):

\[ x \sim y \Leftrightarrow x = y \ \hbox{ou} \ x, y \in \ ]0, 1[ \]

Mostre que \(X / \sim \) não é \(T_1\).

Solução

A classe de \((0,1)\) é um ponto do quociente cuja pré-imagem não é fechada em \([0,1]\). Pelo critério dos fechados da topologia quociente, esse ponto não é fechado; logo o quociente não é \(T_1\).

listas:src-078[Intermediário] listas:src-078 Seja \(X\) um conjunto, e \(\{ f_\alpha : X\to A_\alpha , \alpha \in \mathcal{A}\} \) uma família de funções com domínio \(X\) e \(\mathcal{T}\) a topologia fraca gerada pela dada família de funções. Prove que se \(Y\) é um subconjunto de \(X\), então a topologia do subespaço para \(Y\) como subespaço de \((X, \mathcal{T})\) é igual à topologia fraca gerada pela família de restrições \(\{ f_{\alpha }|_Y: Y\to A_\alpha , \alpha \in \mathcal{A}\} \)

Solução

Uma subbase da topologia inicial é formada pelos conjuntos \(f_\alpha ^{-1}(V)\). Intersectá-los com \(Y\) produz exatamente \((f_\alpha |_Y)^{-1}(V)\). Interseções finitas e uniões comutam com a restrição a \(Y\), portanto as topologias coincidem.

listas:src-079[Intermediário] listas:src-079 Descreva a topologia fraca de \(\mathbb {R}\) gerada por cada uma das seguintes famílias de funções. (Suponha que o contradomínio tenha a topologia usual e determine a topologia fraca para o domínio.)

A família de funções constantes.
O conjunto de todas as funções contínuas em relação à topologia usual.
A família que consiste apenas da aplicação identidade em \(\mathbb {R}\)
O conjunto de todas as funções reais limitadas que são contínuas em relação à topologia usual.

Solução

(a) A topologia caótica: pré-imagens por constantes são vazias ou a reta inteira. (b),(c) A usual: todas as funções da família são usualmente contínuas e a identidade força todos os abertos usuais. (d) Também a usual: \(x\mapsto \arctan x\) é limitada e é um homeomorfismo usual sobre \((-\pi /2,\pi /2)\); suas pré-imagens já geram a topologia usual.

listas:src-080[Intermediário] listas:src-080 Sejam \(X\) um espaço topológico e \(f: X \to Y\) uma aplicação sobrejetiva.

Prove que \(C \subset Y\) é fechado na topologia quociente se e somente se \(f^{-1} (C)\) é fechado em \(X\).
Prove que se \(Y\) é um espaço topológico, e \(f\) leva subconjuntos fechados em subconjuntos fechados, então a topologia em \(Y\) é mais fina que a topologia quociente.
Prove que, se \(Y\) é um espaço topológico, e \(f\) seja uma função contínua e leve subconjuntos fechados para subconjuntos fechados, a topologia em \(Y\) é a topologia quociente.
Mostre que, em geral, a aplicação quociente pode não levar subconjuntos fechados para subconjuntos fechados.

Solução

(a) Tome complementos no critério dos abertos. (b) Se \(C\) é fechado no quociente, \(f^{-1}(C)\) é fechado em \(X\); como \(f\) é fechada e sobrejetora, \(C=f(f^{-1}(C))\) é fechado na topologia dada de \(Y\). (c) A continuidade dá a inclusão oposta das topologias; aplique (b). (d) A projeção \(\mathbb {R}^2\to \mathbb {R}\) é quociente, mas a imagem do fechado \(\{ (x,y):xy=1\} \) é \(\mathbb {R}\setminus \{ 0\} \), não fechado.

listas:src-265[Básico] listas:src-265 Sejam \(X\) um espaço topológico, \(Y\subseteq X\) um subespaço e \(A\subseteq Y\).

Prove que \(\overline{A}^Y=\overline{A}^X\cap Y\).
Prove que \(\mathrm{int}_Y(A)\supseteq \mathrm{int}_X(A)\cap Y\).
Mostre, através de um contraexemplo, que a inclusão no item anterior pode não ser uma igualdade.

Solução

(a) Uma vizinhança relativa de \(y\in Y\) encontra \(A\) exatamente quando toda vizinhança ambiente de \(y\) o encontra; logo \(\overline A^Y=Y\cap \overline A^X\). (b) \(Y\cap \operatorname {int}_X A\) é aberto relativo contido em \(A\). (c) Tome \(A=Y=\mathbb {R}\times \{ 0\} \subseteq \mathbb {R}^2\): o interior relativo é \(Y\) e o ambiente é vazio.

listas:src-284[Básico] listas:src-284 Sejam \(X\) um conjunto, \((Y,\rho )\) um espaço topológico e \(f:X\rightarrow Y\) uma função. Mostre que:

\(\tau =\{ f^{-1}[U]:U\in \rho \} \) é uma topologia sobre \(X\);
\(f\) é uma função contínua, se em \(X\) for considerada a topologia \(\tau \);
se \(\tau '\) é uma topologia sobre \(X\) que torna \(f\) uma função contínua, então \(\tau '\supseteq \tau \).

Solução

(a) Pré-imagens preservam vazio, totalidade, uniões e interseções finitas, dando uma topologia. (b) Todas as pré-imagens de abertos de \(Y\) pertencem a \(\tau \) por definição. (c) Qualquer topologia que torne \(f\) contínua deve conter essas mesmas pré-imagens.

listas:src-285[Básico] listas:src-285 Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(f:X\rightarrow \mathbb {R}\) e \(g:Y\rightarrow \mathbb {R}\) funções contínuas. Mostre que a função

\[ \begin{array}{rrccl} h & : & X\times Y & \rightarrow & \mathbb {R} \\ & & (x,y) & \mapsto & f(x) + g(y) \end{array} \]

é contínua.

Solução

As funções \(f\circ \pi _X\) e \(g\circ \pi _Y\) são contínuas; sua soma \(h\) é contínua porque a adição \(\mathbb {R}^2\to \mathbb {R}\) é contínua.

listas:src-286[Básico] listas:src-286 Sejam \(I\neq \emptyset \) e \(X=\prod _{i\in I}X_i\) um produto topológico. Para cada \(i\in I\), seja \(A_i\subseteq X_i\) um subconjunto fechado. Prove que \(\prod _{i\in I}A_i\) é um subconjunto fechado de \(X\).

Solução

Temos \(\prod _iA_i=\bigcap _i\pi _i^{-1}(A_i)\). As projeções são contínuas, cada cilindro é fechado e interseções arbitrárias de fechados são fechadas.

listas:src-287[Avançado] listas:src-287 Considere a topologia produto em \(\{ 0,1\} ^\mathbb {R}\). Para cada \(A\subseteq \mathbb {R}\), seja

\[ \begin{array}{rrccl} \chi _A & : & \mathbb {R} & \rightarrow & \{ 0,1\} \\ & & x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{ll} 1, & \textrm{se }x\in A;\\ 0, & \textrm{se }x\notin A. \end{array} \right. \end{array} \]

Considere agora \(\mathcal{F}=\{ \chi _A:A\subseteq \mathbb {R}\) e \(|A|\le \aleph _0\} \subseteq \{ 0,1\} ^\mathbb {R}\).

Prove que, se \(g:\mathbb {R}\rightarrow \{ 0,1\} \) é a função constante tal que \(g[\mathbb {R}]=\{ 1\} \), então \(g\in \overline{\mathcal{F}}\) mas não existe \(\mathcal{F}_0\subseteq \mathcal{F}\) enumerável tal que \(g\in \overline{\mathcal{F}_0}\) — em particular, não existe nenhuma sequência em \(\mathcal{F}\) que converge para \(g\).

Solução

Uma vizinhança básica da função constante \(g=1\) exige o valor \(1\) em um conjunto finito \(F\) de coordenadas; ela contém \(\chi _F\in \mathcal F\). Logo \(g\in \overline{\mathcal F}\). Para uma família enumerável \(\mathcal F_0\), a união \(D\) dos seus suportes é enumerável. Escolha \(t\notin D\): o cilindro \(\{ h:h(t)=1\} \) contém \(g\) e evita \(\mathcal F_0\). Portanto \(g\notin \overline{\mathcal F_0}\), o que também exclui uma sequência convergente para \(g\).

listas:src-319[Intermediário] listas:src-319 Sejam \(X\) um espaço topológico, \(I\) um conjunto não vazio e \(Y=\prod _{i\in I}Y_i\) um produto topológico. Para cada \(i\in I\), seja \(f_i:X\rightarrow Y_i\) uma função. Prove que a função

\[ \begin{array}{rrccl} f & : & X & \rightarrow & Y \\ & & x & \mapsto & (f_i(x))_{i\in I} \end{array} \]

é contínua se, e somente se, \(f_i\) é contínua para cada \(i\in I\).

Solução

Se \(f\) é contínua, \(f_i=\pi _i\circ f\) também é. Reciprocamente, a pré-imagem de um cilindro subbásico \(\pi _i^{-1}(V)\) é \(f_i^{-1}(V)\), aberta; portanto \(f\) é contínua para a topologia produto.

listas:src-335[Básico] listas:src-335 Sejam \(X\) um conjunto, \((Y,\sigma )\) um espaço topológico e \(f:X\rightarrow Y\) uma função. Mostre que:

\(\tau =\{ f^{-1}[U]:U\in \sigma \} \) é uma topologia sobre \(X\);
\(f\) é uma função contínua entre \((X,\tau )\) e \((Y,\sigma )\);
se \(\tau '\) é uma topologia sobre \(X\) tal que \(f\) é uma função contínua entre \((X,\tau ')\) e \((Y,\sigma )\), então \(\tau '\supseteq \tau \).

Solução

(a) A família de pré-imagens contém \(\varnothing ,X\) e é estável por uniões arbitrárias e interseções finitas. (b) As pré-imagens de todos os abertos de \(Y\) são abertas por definição. (c) A continuidade de \(f\) para \(\tau '\) exige que cada um desses conjuntos pertença a \(\tau '\), logo \(\tau \subseteq \tau '\).

listas:src-348[Intermediário] listas:src-348 Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(f:X\rightarrow Y\) uma função contínua. O gráfico de \(f\) é o conjunto \(Gr(f)=\{ (x,f(x)): x\in X\} \subseteq X\times Y\).

Prove que \(X\) é homeomorfo a \(Gr(f)\) (com a topologia de subespaço herdada de \(X\times Y\)).
Prove que, se \(Y\) é \(T_2\), então \(Gr(f)\) é um subconjunto fechado de \(X\times Y\).

Solução

(a) A aplicação \(x\mapsto (x,f(x))\) é contínua e tem como inversa a projeção do gráfico sobre \(X\). (b) Para \((x,y)\) fora do gráfico, escolha abertos disjuntos \(V\ni y\) e \(W\ni f(x)\); o aberto \(f^{-1}(W)\times V\) contém \((x,y)\) e evita o gráfico, que é, portanto, fechado.