Capítulo 3

Funções Contínuas

Os conjuntos abertos determinam a estrutura de um espaço topológico. Uma aplicação é contínua quando a imagem inversa de cada aberto do contradomínio é aberta no domínio. Partiremos dessa formulação global e, em seguida, estudaremos sua caracterização local por vizinhanças de cada ponto.

3.1 Continuidade e imagens inversas

A identidade

\[ f^{-1}\! \left(\bigcup _{\lambda }U_\lambda \right) =\bigcup _{\lambda }f^{-1}(U_\lambda ), \qquad f^{-1}(U\cap V)=f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V) \]

explica por que a imagem inversa é o operador natural na definição: ela preserva exatamente as operações que aparecem nos axiomas de uma topologia.

Definição 3.1
Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(f\colon X\to Y\). Dizemos que \(f\) é contínua quando a imagem inversa de todo aberto de \(Y\) é aberta em \(X\):
\[ V\in \mathcal T_Y \quad \Longrightarrow \quad f^{-1}(V)\in \mathcal T_X. \]
Também diremos que \(f\) é contínua em \(a\in X\) quando, para cada aberto \(V\subseteq Y\) que contém \(f(a)\), existe um aberto \(U\subseteq X\) com
\[ a\in U \qquad \text{e}\qquad f(U)\subseteq V. \]
Mais adiante verificaremos que a continuidade global equivale à continuidade em todos os pontos.

Notação 3.2
Denotaremos por \(C(X,Y)\) o conjunto das aplicações contínuas de \(X\) em \(Y\). Quando \(Y=\mathbb R\), escreveremos simplesmente \(C(X)\).

Figura 3.1 Continuidade: abertos do contradomínio têm imagens inversas abertas.

Figura 3.1 Continuidade: abertos do contradomínio têm imagens inversas abertas.

A caracterização por fechados é a forma dual da mesma condição, obtida por complementação.

Proposição 3.3
Para uma aplicação \(f\colon X\to Y\) entre espaços topológicos, são equivalentes:

  1. \(f\) é contínua;

  2. \(f^{-1}(A)\) é aberto em \(X\) para todo aberto \(A\) de \(Y\);

  3. \(f^{-1}(F)\) é fechado em \(X\) para todo fechado \(F\) de \(Y\).

Demonstração ▼

Os dois primeiros itens são a definição. Para comparar abertos e fechados, use

\[ f^{-1}(Y\setminus A)=X\setminus f^{-1}(A). \]

Assim, preservar abertos por imagem inversa é equivalente a preservar fechados.

Observação 3.4 (Importância das topologias)
A continuidade depende das topologias escolhidas. Se refinamos a topologia do domínio, há mais candidatos a abertos para as imagens inversas; se engrossamos a topologia do contradomínio, há menos abertos a testar. Em ambos os movimentos a continuidade se torna, em geral, mais fácil de satisfazer.

Observação 3.5 (Casos extremos)

  1. Se o domínio \(X\) é discreto, toda aplicação \(X\to Y\) é contínua.

  2. Se o contradomínio \(Y\) possui a topologia trivial, toda aplicação \(X\to Y\) é contínua.

Observação 3.6 (Aplicações constantes e identidade)

  1. Toda aplicação constante é contínua: a imagem inversa de um aberto é \(X\) ou \(\varnothing \).

  2. A identidade

    \[ \operatorname {id}\colon (X,\mathcal{T}_{\mathrm{discreta}}) \longrightarrow (X,\mathcal{T}_{\mathrm{trivial}}) \]

    é contínua e bijetiva. Se \(X\) tem mais de um ponto, sua inversa não é contínua.

3.1.1 A leitura local

A condição pontual da Definição 3.1 é a versão local da condição por imagens inversas. Se \(f\) é contínua e \(V\) é aberto com \(f(a)\in V\), podemos tomar \(U=f^{-1}(V)\). No sentido inverso, suponha \(f\) contínua em cada ponto e fixe um aberto \(V\subseteq Y\). Para cada \(a\in f^{-1}(V)\), escolha um aberto \(U_a\) com

\[ a\in U_a\subseteq f^{-1}(V). \]

Então

\[ f^{-1}(V)=\bigcup _{a\in f^{-1}(V)}U_a \]

é aberto. Portanto, \(f\) é contínua se, e somente se, é contínua em cada ponto.

O critério local pode ser verificado usando apenas elementos de bases de vizinhanças.

Proposição 3.7
Seja \(f\colon X\to Y\), e sejam \(\mathcal{B}_a\) e \(\mathcal{B}_{f(a)}\) bases de vizinhanças de \(a\) e \(f(a)\), respectivamente. São equivalentes:

  1. \(f\) é contínua em \(a\);

  2. para cada \(V\in \mathcal{V}\sb {}\left(f(a)\right)\), existe \(U\in \mathcal{V}\sb {}\left(a\right)\) tal que \(f(U)\subseteq V\);

  3. para cada \(V\in \mathcal{B}_{f(a)}\), existe \(U\in \mathcal{B}_a\) tal que \(f(U)\subseteq V\).

Demonstração ▼

Se \(f\) é contínua em \(a\) e \(V\) é uma vizinhança de \(f(a)\), escolha um aberto \(V_0\) com \(f(a)\in V_0\subseteq V\) e depois um aberto \(U_0\) com \(a\in U_0\) e \(f(U_0)\subseteq V_0\). Isso prova a\(\Rightarrow \)b.

Para passar de b a c, refine a vizinhança do domínio por um elemento de \(\mathcal{B}_a\).

Finalmente, suponha c. Dado um aberto \(V\ni f(a)\), escolha \(V_0\in \mathcal{B}_{f(a)}\) com \(V_0\subseteq V\), e depois \(U_0\in \mathcal{B}_a\) com \(f(U_0)\subseteq V_0\). Como \(U_0\) é uma vizinhança, contém um aberto \(U\ni a\); então \(f(U)\subseteq V\).

3.1.2 Composição

A estabilidade por composição pode ser vista tanto globalmente quanto localmente.

Proposição 3.8
Se \(f\colon X\to Y\) é contínua em \(a\) e \(g\colon Y\to Z\) é contínua em \(f(a)\), então \(g\circ f\) é contínua em \(a\).

Demonstração ▼

Dada uma vizinhança \(W\) de \(g(f(a))\), escolha uma vizinhança \(V\) de \(f(a)\) com \(g(V)\subseteq W\) e, em seguida, uma vizinhança \(U\) de \(a\) com \(f(U)\subseteq V\). Então

\[ (g\circ f)(U)\subseteq W. \]

Proposição 3.9
Se \(f\colon X\to Y\) e \(g\colon Y\to Z\) são contínuas, então \(g\circ f\) é contínua.

Demonstração ▼

Para todo aberto \(W\subseteq Z\),

\[ (g\circ f)^{-1}(W)=f^{-1}(g^{-1}(W)), \]

e as duas imagens inversas sucessivas são abertas.

3.2 Homeomorfismos e Homeomorfismos Locais

Uma aplicação contínua pode identificar pontos distintos e, por isso, não precisa preservar toda a estrutura topológica. Para expressar a equivalência entre dois espaços, consideramos bijeções nas quais tanto a aplicação quanto sua inversa são contínuas.

Definição 3.10 (Homeomorfismo)
Um homeomorfismo \(f:X\to Y\) é uma bijeção tal que \(f\) e \(f^{-1}\) são contínuas. Quando existe tal aplicação, dizemos que \(X\) e \(Y\) são homeomorfos.

Observação 3.11 (Continuidade da inversa)
Uma bijeção contínua não precisa ser um homeomorfismo. A continuidade da inversa é o que garante que a correspondência preserve a topologia nas duas direções.

Exemplo 3.12 (Homeomorfismos)

  1. A identidade

    \[ \operatorname {id}\colon (X,\mathcal{T}_{\mathrm{discreta}}) \to (X,\mathcal{T}_{\mathrm{trivial}}) \]

    é contínua e bijetiva, mas não é um homeomorfismo quando \(X\) tem mais de um ponto.

  2. Considere a lemniscata \(L\subset \mathbb R^2\) parametrizada por

    \[ \varphi (t)=\left(\frac{t}{1+t^4},\frac{t^3}{1+t^4}\right). \]

    A reta real não é homeomorfa a \(L\). Ainda não dispomos das ferramentas formais para provar isso, mas a geometria antecipa a conexidade: ao remover o ponto \(O=(0,0)\), pequenas vizinhanças de \(O\) em \(L\) exibem quatro ramos, enquanto pequenas vizinhanças de um ponto da reta exibem apenas dois.

    Figura 3.2 A lemniscata antecipa um argumento local que será formalizado por conexidade.

    Figura 3.2 A lemniscata antecipa um argumento local que será formalizado por conexidade.

  3. Considere dois subconjuntos \(X,Y\subset \mathbb R^2\), cada um formado por três segmentos que se encontram apenas num mesmo extremo. Emparelhe os três segmentos de \(X\) com os de \(Y\) e use interpolação linear em cada par.

    Figura 3.3 Homeomorfismo construído segmento a segmento.

    Figura 3.3 Homeomorfismo construído segmento a segmento.

    A parametrização do segmento com extremos \(a,b\) é

    \begin{equation} \label{interpolacao} \begin{array}{cc} f_{ab}:& [0,1]\to \mathbb {R}^2\\ & t\mapsto (1-t)a+tb. \end{array} \tag{3.1} \end{equation}

    Ela é um homeomorfismo de \([0,1]\) sobre \([a,b]\). Portanto um homeomorfismo de \([c,d]\) em \([a,b]\) é \(f_{ab}\circ f_{cd}^{-1}\). Como as definições coincidem no extremo comum, o lema da colagem permite unir as três aplicações parciais; o mesmo vale para a inversa. Ilustração: Homeomorfismos e Homeomorfismos Locais

3.2.1 Homeomorfismos locais

Definição 3.13 (Homeomorfismo local)
Uma aplicação \(f:X\to Y\) é um homeomorfismo local em \(x_0\) se existe um aberto \(U\ni x_0\) tal que \(f(U)\) é aberto em \(Y\) e
\[ f|_U:U\longrightarrow f(U) \]
é um homeomorfismo. Se isso vale para todo \(x_0\in X\), dizemos que \(f\) é um homeomorfismo local.

Todo homeomorfismo é um homeomorfismo local. A noção local permite comparar vizinhanças em espaços que não precisam ser globalmente homeomorfos.

Exemplo 3.14 (Esfera e plano)
A esfera
\[ {\mathbb {S}^{2}}=\{ x\in \mathbb R^3:\| x\| =1\} \]
é localmente homeomorfa a \(\mathbb R^2\). Se \(p=(x_0,y_0,z_0)\) tem \(z_0\neq 0\), tome uma vizinhança \(U\) de \(p\) contida no hemisfério determinado pelo sinal de \(z_0\). A projeção
\[ \pi _{xy}:U\to \pi _{xy}(U),\qquad (x,y,z)\mapsto (x,y), \]
é um homeomorfismo, com inversa
\[ (x,y)\longmapsto \left(x,y,\frac{z_0}{|z_0|}\sqrt{1-x^2-y^2}\right). \]
Se \(x_0\neq 0\), pode-se usar a projeção no plano \(yz\); os demais casos são análogos, escolhendo uma coordenada não nula.

3.2.2 Aplicações abertas, fechadas e mergulhos

Definição 3.15 (Aplicações abertas, fechadas e mergulhos)
Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos.

  1. Uma aplicação \(f:X\to Y\) é um homeomorfismo se é bijetiva e \(f,f^{-1}\) são contínuas.

  2. \(f\) é aberta se leva abertos de \(X\) em abertos de \(Y\).

  3. \(f\) é fechada se leva fechados de \(X\) em fechados de \(Y\).

  4. \(f\) é um mergulho se é um homeomorfismo de \(X\) sobre o subespaço \(f(X)\subset Y\).

Proposição 3.16
Se \(f:X\to Y\) é uma bijeção, são equivalentes:

  1. \(f\) é um homeomorfismo;

  2. \(f\) é contínua e aberta;

  3. \(f\) é contínua e fechada.

Demonstração ▼

Se \(f\) é um homeomorfismo e \(U\subseteq X\) é aberto, então

\[ f(U)=(f^{-1})^{-1}(U) \]

é aberto; o mesmo argumento com complementos mostra que \(f\) é fechada.

Reciprocamente, suponha \(f\) contínua e aberta. Para todo aberto \(U\subseteq X\), \((f^{-1})^{-1}(U)=f(U)\) é aberto, logo \(f^{-1}\) é contínua. Se \(f\) é contínua e fechada, aplicamos o mesmo argumento aos fechados.

Exemplo 3.17

  1. Uma aplicação aberta que não é contínua: tome \(X=(\mathbb R,\mathcal{T}_{\mathrm{usual}})\), \(Y=(\{ a,b\} ,\mathcal{T}_{\mathrm{discreta}})\) e

    \[ f(x)=\begin{cases} a,& x\ge 0,\\ b,& x\lt 0.\end{cases} \]

    Toda imagem de aberto é aberta em \(Y\), mas \(f^{-1}(\{ a\} )=[0,\infty )\) não é aberto. Como \(Y\) é discreto, \(f\) também é fechada.

  2. Uma aplicação que não é aberta nem fechada: se \(A\) tem ao menos dois elementos, considere a identidade de \((A,\mathcal{T}_{\mathrm{discreta}})\) em \((A,\mathcal{T}_{\mathrm{trivial}})\).

  3. Uma aplicação aberta que não é fechada: tome \(X=(\{ a,b\} ,\mathcal{T}_{\mathrm{discreta}})\), \(Y=(\{ a,b\} ,\{ \varnothing ,\{ a\} ,\{ a,b\} \} )\) e a aplicação constante com valor \(a\).

  4. Uma aplicação fechada que não é aberta: tome \(X=(\{ a,b\} ,\mathcal{T}_{\mathrm{discreta}})\), \(Y=(\mathbb R,\mathcal{T}_{\mathrm{usual}})\) e defina \(f(a)=0\), \(f(b)=1\).

  5. A identidade de um espaço topológico em si mesmo é aberta e fechada.

Ilustração: Aplicações abertas, fechadas e mergulhos

3.2.3 Translações em grupos topológicos

No Exemplo 2.5, a definição de grupo topológico apareceu junto ao círculo. A continuidade das operações permite agora transportar vizinhanças de um ponto para outro por homeomorfismos.

Proposição 3.18 (Translações e continuidade na identidade)
Em um grupo topológico \(G\), as translações \(L_a(x)=ax\) e \(R_a(x)=xa\) são homeomorfismos. Se \(\varphi :G\to H\) é um homomorfismo entre grupos topológicos, então \(\varphi \) é contínuo se, e somente se, é contínuo em \(e_G\).

Demonstração ▼

A continuidade de \(m\) implica a continuidade das translações, cujas inversas são \(L_{a^{-1}}\) e \(R_{a^{-1}}\). Para o segundo resultado, use \(\varphi =L_{\varphi (a)}\circ \varphi \circ L_{a^{-1}}\): a continuidade de \(\varphi \) em \(e_G\) implica sua continuidade em \(a\).

Exercício 3.1
Verifique as duas estimativas do Exemplo 2.5. Mostre que \(z\mapsto z^n\) é um homomorfismo contínuo de \(\mathbb S^1\) para todo inteiro \(n\), incluindo \(n=0\) e \(n\lt 0\).

Exercício 3.2

Seja \((X,d)\) um espaço métrico.

  1. Mostre que, para todo subconjunto não vazio \(A\subseteq X\), a função

    \[ \begin{array}{rcl} d(\, \cdot \, ,A)\colon X & \longrightarrow & \mathbb {R}\\ x & \longmapsto & d(x,A) \end{array} \]

    é contínua.

  2. Sejam \(A,B\subseteq X\) fechados, não vazios e disjuntos. Mostre que a função \(f\colon X\to [0,1]\) dada por

    \[ f(x)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)} \]

    é contínua.

Exercício 3.3

Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(f\colon X\to Y\).

  1. Seja \(\mathcal{U}\) uma família de abertos de \(X\) tal que \(X=\bigcup \mathcal{U}\). Mostre que, se \(f|_U\) é contínua para todo \(U\in \mathcal{U}\), então \(f\) é contínua.

  2. Sejam \(A\) e \(B\) fechados em \(X\), com \(X=A\cup B\). Mostre que, se \(f|_A\) e \(f|_B\) são contínuas, então \(f\) é contínua.

  3. Conclua que, se \(\mathcal{F}\) é uma família finita de subconjuntos fechados de \(X\), \(X=\bigcup \mathcal{F}\), e \(f|_F\) é contínua para todo \(F\in \mathcal{F}\), então \(f\) é contínua.

  4. Dê um contraexemplo mostrando que a hipótese de finitude não pode ser omitida no item anterior.

  5. Dê um contraexemplo mostrando que a hipótese de os conjuntos serem fechados não pode ser omitida no item (b).

Exercício 3.4

Considere \(\{ 0,1\} \) com a topologia trivial e a aplicação \(f\colon \mathbb {R}\to \{ 0,1\} \) definida por

\[ f(x)= \begin{cases} 0,& x\in \mathbb {Q},\\ 1,& x\notin \mathbb {Q}. \end{cases} \]

Mostre que \(f\) é sobrejetora, contínua e aberta. Portanto, a imagem de um espaço metrizável por uma aplicação contínua e aberta não precisa sequer ser \(T_0\). O que acontece se substituirmos “aberta” por “fechada”?

Exercício 3.5

Mostre que toda bola aberta de \(\mathbb {R}^n\) é homeomorfa a \(\mathbb {R}^n\).

  1. Mostre que quaisquer dois intervalos fechados e limitados de \(\mathbb {R}\) com mais de um ponto são homeomorfos.

  2. Dê um contraexemplo mostrando que a palavra “limitados” não pode ser omitida no item anterior.

3.3 Exercícios complementares

listas:src-011[Intermediário] listas:src-011 Dados \((M, d_M), (N, d_N)\) espaços métricos, mostre que \(f:M\to N\) é contínua se e somente se para todo aberto \(V\) de \(N\), \(f^{-1}(V)\) é um aberto de \(M\).

Solução
Se \(f\) é contínua e \(x\in f^{-1}(V)\), uma bola de centro \(f(x)\) contida em \(V\) contém a imagem de uma bola de centro \(x\); logo \(f^{-1}(V)\) é aberto. Reciprocamente, \(f^{-1}(B(f(x),\varepsilon ))\) aberto contém uma bola \(B(x,\delta )\), que dá a condição de continuidade.

listas:src-012[Básico] listas:src-012 \((E_1 , d_1 )\) e \((E_2 , d_2 )\) dois espaços métricos. Mostre que qualquer função constante de \(E_1\) em \(E_2\) é contínua.

Solução
Se \(f(x)=c\), então \(d_2(f(x),f(y))=0\lt \varepsilon \) para quaisquer \(x,y\) e qualquer \(\varepsilon \gt 0\); qualquer \(\delta \gt 0\) serve.

listas:src-013[Básico] listas:src-013 Sejam \((E_1 , d_1 )\) e \((E_2 , d_2 )\) dois espaços métricos, sendo \(d_{1}\) a métrica discreta. Mostre que qualquer função \(f : E_1 \to E_2 \) é contínua.

Solução
Para \(\delta =1\), \(d_1(x,y)\lt \delta \) implica \(x=y\), portanto \(d_2(f(x),f(y))=0\). Isso prova a continuidade em todo ponto.

listas:src-014[Básico] listas:src-014 Sejam \(d_1\) a métrica usual em \(\mathbb {R}\) e \(d_2\) a métrica discreta em R. Mostre que a função identidade \(f(x)=x: (\mathbb {R}, d_1 ) \to (\mathbb {R}, d_2 )\) é descontínua em todos os pontos do domínio.

Solução
A pré-imagem da bola discreta \(B_{d_2}(x,1)=\{ x\} \) é \(\{ x\} \), que não é vizinhança usual de \(x\). Logo a identidade é descontínua em cada ponto.

listas:src-015[Intermediário] listas:src-015 Considere o espaço métrico \((C([0, 1]), d_1 )\), sendo \(d_1\) a métrica do integral.

  1. A função: \(F: C([0, 1]) \to \mathbb {R}\) definida como \(F(f)= f(0) \) é contínua?

  2. Se a métrica \(d_1\) for substituída pela métrica do supremo \(d_{\infty }\) , a resposta à pergunta da alínea anterior é a mesma?

Solução
(a) Não: \(f_n(t)=\max \{ 1-nt,0\} \) satisfaz \(d_1(f_n,0)=1/(2n)\to 0\), mas \(F(f_n)=1\neq F(0)\). (b) Para o supremo, sim: \(|F(f)-F(g)|\leq d_\infty (f,g)\).

listas:src-016[Intermediário] listas:src-016 Considere as distâncias usuais em \(\mathbb {Q}\) e em \(\{ 0, 1\} \). Existe alguma função contínua e sobrejectiva \(f : \mathbb {Q} \to \{ 0, 1\} \)?

Solução
Sim. Fixe \(\alpha \notin \mathbb {Q}\) e defina \(f(q)=0\) para \(q\lt \alpha \) e \(f(q)=1\) para \(q\gt \alpha \). As duas fibras são abertas em \(\mathbb {Q}\) e não vazias, portanto \(f\) é contínua e sobrejetora.

listas:src-056[Intermediário] listas:src-056 Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(f: X \to Y\).

  1. Seja \(\mathcal{U}\) uma família de subconjuntos abertos de \(X\) tal que \(X = \bigcup \mathcal{U}\). Mostre que se \(f \upharpoonright _{U}\) é contínua para todo \(U \in \mathcal{U}\) então \(f\) é contínua.

  2. Sejam \(A\) e \(B\) subconjuntos fechados de \(X\) tais que \(X = A \cup B\). Mostre que se \(f \upharpoonright _{A}\) e \(f \upharpoonright _{B}\) são contínuas então \(f\) é contínua.

  3. Conclua que se \(\mathcal{F}\) é uma família finita subconjuntos de fechados de \(X\) tal que \(X = \bigcup \mathcal{F}\) e \(f \upharpoonright _{F}\) é contínua para todo \(F \in \mathcal{F}\) então \(f\) é contínua.

  4. Mostre, através de um contraexemplo, que a palavra “finita" não pode ser omitida no enunciado do item anterior.

  5. Mostre, através de um contraexemplo, que a palavra “fechados" não pode ser omitida no enunciado do item (b).

Solução
(a) Para \(V\) aberto, \(f^{-1}(V)=\bigcup _{U\in \mathcal U}(f|_U)^{-1}(V)\), união de abertos de \(X\). (b),(c) Para \(F\) fechado no contradomínio, sua pré-imagem é uma união finita de conjuntos fechados nas peças, que também são fechados em \(X\). (d) Cubra \(\mathbb {R}\) pelos unitários fechados: qualquer restrição é contínua, mas \(\chi _\mathbb {Q}\) não é. (e) Em \(\mathbb {R}\), a função que vale \(0\) em \(\mathbb {Q}\) e \(1\) nos irracionais é constante nas duas peças, mas descontínua.

listas:src-057[Intermediário] listas:src-057 Sejam \(X\) um espaço topológico e \(\mathcal{B}\) uma base para \(X\).

  1. Sejam \(Y\) um espaço topológico e \(f : Y \to X\). Mostre que \(f\) é contínua se, e somente se, \(f^{-1}[B]\) é aberto em \(Y\) para todo \(B \in \mathcal{B} \setminus \{ \emptyset \} \).

  2. Sejam \(Y\) um espaço topológico e \(f : X \to Y\). Mostre que \(f\) é aberta se, e somente se, \(f[B]\) é aberto em \(Y\) para todo \(B \in \mathcal{B} \setminus \{ \emptyset \} \).

Solução
(a) Todo aberto de \(X\) é união de elementos de \(\mathcal B\); pré-imagens preservam uniões. (b) Imagens também preservam uniões. Em ambos os casos a condição sobre a base é suficiente, e sua necessidade é imediata.

listas:src-058[Básico] listas:src-058 Mostre que se considerarmos \(\{ 0, 1\} \) munido da topologia caótica então \(f : \mathbb {R} \to \{ 0, 1\} \) dada por

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & \hbox{se} & x \in \mathbb {Q} \\ 1 & \hbox{se} & x \not\in \mathbb {Q} \end{array} \right. \]

é sobrejetora, contínua e aberta. Portanto, a imagem de um espaço topológico metrizável por uma aplicação contínua e aberta não precisa sequer ser \(T_0\). O que ocorre se substituirmos "aberta" por "fechada"?

Solução
As duas fibras são não vazias; as únicas pré-imagens de abertos do contradomínio caótico são \(\varnothing \) e \(\mathbb {R}\). Todo aberto usual não vazio contém racionais e irracionais, logo sua imagem é \(\{ 0,1\} \): \(f\) é aberta. Ela não é fechada, pois a imagem de um unitário racional é \(\{ 0\} \), não fechado. Ao substituir “aberta” por “fechada”, o contradomínio de uma sobrejeção a partir de um espaço métrico será sempre \(T_1\): cada unitário do contradomínio é imagem de um unitário fechado do domínio. Além disso, o contradomínio é normal pelo Exercício 10.20, portanto é \(T_4\).

listas:src-063[Avançado] listas:src-063 Seja \(f : \ ]-1, + \infty [ \ \to \mathbb {R}^{2}\) dada por \(f(t) = (t^3 - t, t^2)\).

Ilustração: Exercícios complementares

  1. Mostre \(f\) é injetora e contínua.

  2. Mostre que a topologia final determinada pela aplicação \(f\) sobre \(\operatorname {im}f\) não coincide com a topologia de subespaço \(\tau \) induzida pelo \(\mathbb {R}^{2}\) e conclua que \(f : \ ]-1, + \infty [ \ \to (\operatorname {im}f, \tau )\) não é um homeomorfismo.

Solução
(a) As coordenadas são polinomiais. Se \(f(s)=f(t)\), então \(s=\pm t\). No caso \(s=-t\) com \(s\neq t\), a primeira coordenada força \(t\in \{ -1,1\} \); um dos parâmetros fica fora de \((-1,\infty )\). Logo \(f\) é injetora. (b) Para \(t_n\downarrow -1\), \(f(t_n)\to (0,1)=f(1)\), mas \(t_n\not\to 1\). A inversa para a topologia de subespaço não é contínua. Como \(f\) é bijetora, a topologia final torna-a homeomorfismo e é estritamente mais fina.

listas:src-064[Avançado] listas:src-064 Prove ou dê um contraexemplo: se \(\tau \) é uma topologia em \(\mathbb {R}\) para a qual as funções contínuas \((\mathbb {R},\tau )\to \mathbb {R}\), com contradomínio usual, são exatamente as funções contínuas usuais, então \(\tau \) é a topologia usual. Sugestão: investigue a topologia gerada pelos abertos usuais e pelo conjunto \(\mathbb {Q}\).

Solução
A afirmação é falsa. A topologia \(\tau \) gerada pelos abertos usuais e por \(\mathbb {Q}\) tem base formada por \(U\) e \(U\cap \mathbb {Q}\), com \(U\) usualmente aberto, e é estritamente mais fina. Se \(f:(\mathbb {R},\tau )\to \mathbb {R}\) é contínua, em cada irracional \(z\) sua continuidade é usual. Em um racional \(x\), dado \(\varepsilon \gt 0\), há um intervalo \(I\) de centro \(x\) com \(|f(q)-f(x)|\lt \varepsilon /2\) para \(q\in I\cap \mathbb {Q}\). Para \(z\in I\setminus \mathbb {Q}\), faça \(q_k\to z\) em \(I\cap \mathbb {Q}\); a continuidade usual em \(z\) dá \(|f(z)-f(x)|\leq \varepsilon /2\). Logo \(f\) é usualmente contínua; a recíproca segue de \(\tau \) ser mais fina.

listas:src-187[Intermediário] listas:src-187 Mostre que toda bola aberta de \(\mathbb {R}^{n}\) é homeomorfa a \(\mathbb {R}^{n}\).

Solução
Para \(B(a,r)\), \(r\gt 0\), a aplicação \(x\mapsto (x-a)/(r-\| x-a\| )\) é um homeomorfismo sobre \(\mathbb {R}^n\), com inversa \(y\mapsto a+ry/(1+\| y\| )\). As fórmulas são contínuas e se compõem na identidade.

listas:src-188[Intermediário] listas:src-188

  1. Mostre que quaisquer dois intervalos fechados e limitados de \(\mathbb {R}\) com mais de um ponto são homeomorfos.

  2. Mostre, através um contraexemplo, que a palavra “limitados” não pode ser omitida no enunciado do item (a).

Solução
(1) Entre \([a,b]\) e \([c,d]\), com \(a\lt b\) e \(c\lt d\), use \(x\mapsto c+(d-c)(x-a)/(b-a)\), cuja inversa é afim. (2) \([0,1]\) e \([0,\infty )\) não são homeomorfos, pois somente o primeiro é compacto.

listas:src-291[Intermediário] listas:src-291 Sejam \((X,\tau )\) e \((Y,\rho )\) espaços topológicos e \(f:X\rightarrow Y\).

  • Mostre que, se \(A\subseteq X\) é tal que \(f\) é contínua em cada \(x\in A\), então a restrição \(f\! \upharpoonright \! _{A}:A\rightarrow Y\) é contínua.

  • Mostre que, se \(A\in \tau \) é tal que a restrição \(f\! \upharpoonright \! _{A}:A\rightarrow Y\) é contínua, então \(f\) é contínua em cada ponto de \(A\).

  • Mostre, através de um contraexemplo, que a afirmação do item anterior pode não ser válida se \(A\subseteq X\) não for aberto em \(X\).

  • Sejam \(F,G\subseteq X\) fechados em \((X,\tau )\) tais que \(X=F\cup G\). Prove que \(f\) é contínua se, e somente se, \(f\! \upharpoonright \! _{F}\) e \(f\! \upharpoonright \! _{G}\) são ambas contínuas.

  • Conclua que, se \(n\in \mathbb {N}\setminus \{ 0\} \) e \(F_1,\dots ,F_n\subseteq X\) são fechados tais que \(\bigcup _{k=1}^n F_k=X\), então \(f\) é contínua se, e somente se, \(f\! \upharpoonright \! _{F_k}\) é contínua para todo \(k\in \{ 1,\dots ,n\} \).

  • Mostre, através de um contraexemplo, que o resultado do item anterior não é válido se a família de fechados for infinita.

  • Mostre, através de um contraexemplo, que a palavra “fechados” não pode ser omitida no enunciado do item \((d)\).

Solução
(a) Intersecte com \(A\) as vizinhanças do domínio usadas na continuidade de \(f\). (b) Se \(A\) é aberto, todo aberto relativo de \(A\) é aberto em \(X\), dando continuidade nos seus pontos. (c) \(f=\chi _\mathbb {Q}\) em \(\mathbb {R}\) tem restrição contínua a \(A=\{ 0\} \), mas não é contínua em \(0\). (d),(e) A necessidade segue de (a). Para a suficiência, a pré-imagem de um fechado é união finita de pré-imagens fechadas nas peças fechadas. (f) As restrições de \(\chi _\mathbb {Q}\) aos unitários são contínuas. (g) As restrições de \(\chi _\mathbb {Q}\) a \(\mathbb {Q}\) e \(\mathbb {R}\setminus \mathbb {Q}\) são constantes, mas a função é descontínua.

listas:src-312[Intermediário] listas:src-312 Sejam \((X,\tau )\) e \((Y,\rho )\) espaços topológicos, \(a\in X\), \(f:X\rightarrow Y\) e \(\mathcal{W}\) um sistema fundamental de vizinhanças para \(f(a)\) em \((Y,\rho )\). Prove que \(f\) é contínua em \(a\) se, e somente se, para cada \(W\in \mathcal{W}\) tem-se que \(x\in \mathrm{int}(f^{-1}[W])\).

Solução
No enunciado, leia \(a\) em lugar de \(x\) na condição final. Continuidade em \(a\) significa que \(f^{-1}(V)\) é vizinhança de \(a\) para toda vizinhança \(V\) de \(f(a)\). Basta testar a base local \(\mathcal W\): todo \(V\) contém algum \(W\in \mathcal W\), e \(f^{-1}(W)\subseteq f^{-1}(V)\). Ser vizinhança equivale a conter \(a\) no interior.

listas:src-313[Intermediário] listas:src-313 Sejam \((X,\tau )\) e \((Y,\rho )\) espaços topológicos, \(\mathcal{B}\) uma base para \((Y,\rho )\) e \(f:X\rightarrow Y\). Prove que \(f\) é contínua se, e somente se, para todo \(B\in \mathcal{B}\) tem-se que \(f^{-1}[B]\in \tau \).

Solução
A necessidade vem da definição de continuidade. Para a suficiência, escreva qualquer aberto \(V\) de \(Y\) como união de elementos da base; sua pré-imagem é a união das pré-imagens desses elementos, portanto é aberta.

listas:src-315[Intermediário] listas:src-315 Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(f:X\rightarrow Y\) uma função. Mostre que \(f\) é contínua se, e somente se, para todo \(A\subseteq X\) tem-se que \(f\left[\, \overline{A}\, \right]\subseteq \overline{f[A]}\).

Solução
Se \(f\) é contínua e \(x\in \overline A\), toda vizinhança aberta de \(f(x)\) tem pré-imagem que encontra \(A\); logo \(f(x)\in \overline{f(A)}\). Reciprocamente, para \(F\subseteq Y\) fechado e \(A=f^{-1}(F)\), a hipótese dá \(f(\overline A)\subseteq \overline{f(A)}\subseteq F\). Assim \(\overline A\subseteq A\), e toda pré-imagem de fechado é fechada.