Espaços Metrizáveis
Nos primeiros capítulos, uma métrica apareceu como uma maneira de produzir uma topologia. Neste capítulo fazemos a pergunta inversa: dada uma topologia, quando ela pode ser descrita por alguma distância?
O principal resultado será o Teorema de Metrização de Urysohn. Sob as hipóteses de separação e enumerabilidade indicadas adiante, funções contínuas com valores em \([0,1]\) permitirão construir um mergulho no cubo de Hilbert, que é um espaço métrico.
O percurso será
Cada uma dessas setas já apareceu, em alguma forma, nos capítulos anteriores. O objetivo aqui é reuni-las numa única demonstração.
11.1 Métricas compatíveis
Uma topologia metrizável quase nunca determina uma única métrica. Mesmo quando uma métrica já está disponível, é útil substituí-la por outra com propriedades mais convenientes sem alterar os abertos.
As propriedades de simetria, positividade e separação de pontos são imediatas. Para a desigualdade triangular basta observar que, para \(a,b\geq 0\),
Logo
Se \(0\lt r\lt 1\), então
Portanto as duas métricas possuem as mesmas vizinhanças suficientemente pequenas em cada ponto e, consequentemente, induzem a mesma topologia.
11.2 O que uma métrica força
A metrizabilidade impõe fortes restrições de separação e de comportamento local. Todo espaço métrico é Hausdorff, regular, normal e primeiro enumerável. Esses resultados já foram demonstrados nos capítulos anteriores. Para a metrização de Urysohn, porém, a relação entre separabilidade, segunda enumerabilidade e a propriedade de Lindelöf será especialmente importante.
\(X\) é separável;
\(X\) é segundo enumerável;
\(X\) é Lindelöf.
Suponha primeiro que \(X\) seja separável e seja \(D\subset X\) um conjunto enumerável e denso. A família
é enumerável. Mostremos que ela é uma base. Se \(x\in U\) e \(U\) é aberto, escolha \(\varepsilon \gt 0\) tal que \(B(x,\varepsilon )\subset U\). Pela densidade de \(D\), existe \(q\in D\) com \(d(x,q)\lt \varepsilon /3\). Escolhendo \(r\in \mathbb Q\) de modo que
temos
Logo \(X\) é segundo enumerável.
Agora suponha que \(\mathcal B=\{ B_1,B_2,\ldots \} \) seja uma base enumerável e seja \(\mathcal U\) uma cobertura aberta de \(X\). Considere os elementos \(B_n\) da base que estão contidos em algum membro de \(\mathcal U\). Para cada um deles escolha um aberto \(U_n\in \mathcal U\) com \(B_n\subset U_n\). A família dos \(U_n\) escolhidos é enumerável e ainda cobre \(X\), pois todo ponto pertence a algum elemento básico contido em um membro da cobertura. Assim \(X\) é Lindelöf.
Finalmente, suponha \(X\) Lindelöf. Para cada \(n\geq 1\), a família
é uma cobertura aberta. Escolha uma subcobertura enumerável e denote por \(D_n\) o conjunto de seus centros. Então
é enumerável. Dado um aberto não vazio \(U\), escolha \(x\in U\) e \(\varepsilon \gt 0\) com \(B(x,\varepsilon )\subset U\). Tome \(n\) com \(2/n\lt \varepsilon \). Como as bolas de raio \(1/n\) centradas em \(D_n\) cobrem \(X\), existe \(q\in D_n\) tal que \(x\in B(q,1/n)\). Então \(d(x,q)\lt 1/n\lt \varepsilon \), e portanto \(q\in U\). Logo \(D\) é denso.
A equivalência do teorema depende da hipótese de metrizabilidade. Fora dessa classe, as três propriedades não são, em geral, equivalentes, como mostram os contraexemplos examinados ao final do capítulo.
11.3 Produtos enumeráveis e o cubo de Hilbert
A prova de Urysohn produzirá uma sequência de funções contínuas
Para tratá-las como coordenadas, precisamos saber que um produto enumerável de espaços métricos continua sendo metrizável.
Pela Proposição 11.2, podemos substituir cada \(d_n\) por
Defina, para \(x=(x_n)\) e \(y=(y_n)\),
A série converge, pois cada termo é no máximo \(2^{-n}\). A positividade, a simetria e a separação de pontos são imediatas, e a desigualdade triangular segue termo a termo. Portanto \(D\) é uma métrica.
Resta comparar as topologias. Para cada \(k\),
logo a projeção \(\pi _k:(X,D)\to X_k\) é contínua. Como a topologia produto é a menor topologia que torna todas as projeções contínuas, ela está contida na topologia induzida por \(D\).
Reciprocamente, fixe \(x\in X\) e \(\varepsilon \gt 0\). Escolha \(N\) tal que
Para cada \(1\leq n\leq N\), escolha \(\delta _n\gt 0\) tal que \(2^{-n}\delta _n\lt \varepsilon /(2N)\) e \(\delta _n\leq 1\). O conjunto
é uma vizinhança básica de \(x\) na topologia produto. Se \(y\in V\), então
Assim \(V\subset B_D(x,\varepsilon )\), e as duas topologias coincidem.
Pelo teorema anterior, uma métrica compatível com \(\mathcal H\) é
Considere o conjunto \(D\) das sequências \((q_n)\) tais que \(q_n\in \mathbb Q\cap [0,1]\) para todo \(n\) e \(q_n=0\) a partir de algum índice. Esse conjunto é enumerável. Toda vizinhança básica no produto restringe apenas um número finito de coordenadas; escolhendo valores racionais nessas coordenadas obtemos um elemento de \(D\) dentro da vizinhança. Logo \(D\) é denso.
Como \(\mathcal H\) é métrico, o Teorema 11.3 implica que \(\mathcal H\) é segundo enumerável.
[C]classico:soma-metrizavel[Intermediário] classico:soma-metrizavel Seja \((X_i)_{i\in I}\) uma família de espaços metrizáveis, com \(I\) arbitrário. Prove que a soma topológica \(\coprod _{i\in I}X_i\) é metrizável. Sugestão: escolha em cada parcela uma métrica limitada por \(1\) e atribua distância \(2\) a pontos de parcelas distintas.
11.4 De uma base enumerável a coordenadas enumeráveis
No capítulo anterior vimos que espaços de Tychonoff possuem funções contínuas reais suficientes para separar pontos de fechados e, por meio da aplicação de avaliação, podem ser mergulhados em um cubo \([0,1]^I\). Para obter uma métrica, o ponto decisivo é reduzir o conjunto de coordenadas a uma família enumerável.
Seja \(X\) um espaço regular, \(T_1\) e segundo enumerável, e fixe uma base
Considere o conjunto de pares
Ele é enumerável.
Escolha primeiro \(B_j\in \mathcal B\) com
Pela regularidade, existe um aberto \(V\) tal que
Escolha então \(B_i\in \mathcal B\) com \(x\in B_i\subset V\). Assim
Como \(X\) é segundo enumerável, é Lindelöf. Pelo resultado do capítulo anterior, um espaço regular e Lindelöf é normal. Podemos, portanto, aplicar o Lema de Urysohn.
Para cada \((i,j)\in \mathcal P\), escolha uma função contínua
tal que
A enumerabilidade decorre de \(\mathcal P\subset \mathbb N^2\). Dados \(x\in U\), escolha \(i,j\) pelo Lema 11.8. Como \(x\in B_i\), temos \(f_{ij}(x)=1\). Além disso,
pois \(f_{ij}\) vale zero fora de \(B_j\).
Se \(x\neq y\), aplique a propriedade ao aberto \(U=X\setminus \{ y\} \), que contém \(x\) porque \(X\) é \(T_1\). Obtemos uma função \(f\) com \(f(x)\gt 1/2\) e \(f(y)=0\). Logo a família separa pontos.
Enumere essa família como \(f_1,f_2,\ldots \) e defina
Cada coordenada de \(F\) é contínua; pela propriedade universal da topologia produto, \(F\) é contínua. A Proposição 11.9 mostra que as coordenadas separam pontos, portanto \(F\) é injetiva.
Resta verificar que a topologia de \(X\) coincide com a topologia induzida por \(F\). Se \(U\) é aberto e \(x\in U\), escolha \(f_n\) tal que
O conjunto
é aberto em \(\mathcal H\) e
Logo todo aberto de \(X\) é aberto para a topologia inicial determinada por \(F\). A inclusão oposta segue da continuidade de \(F\). Assim \(F\) é um homeomorfismo de \(X\) sobre o subespaço \(F(X)\subset \mathcal H\).
11.5 O Teorema de Metrização de Urysohn
Os resultados anteriores permitem agora demonstrar o teorema de metrização.
\(X\) é metrizável e separável;
\(X\) é regular e segundo enumerável;
\(X\) é homeomorfo a um subespaço do cubo de Hilbert \([0,1]^{\mathbb N}\).
Suponha primeiro que \(X\) seja metrizável e separável. Espaços métricos são regulares e \(T_1\); pelo Teorema 11.3, a separabilidade implica a segunda enumerabilidade. Logo (1) implica (2).
A implicação (2) \(\Rightarrow \) (3) é precisamente a Proposição 11.10.
Finalmente, suponha (3). O cubo de Hilbert é metrizável; portanto todo seu subespaço é metrizável, pela restrição da métrica. Além disso, o cubo de Hilbert é segundo enumerável pela Proposição 11.7, e essa propriedade é hereditária para subespaços. Assim \(X\) é métrico e segundo enumerável. Novamente pelo Teorema 11.3, \(X\) é separável. Logo (3) implica (1).
Pelo Teorema 11.11, tal espaço é homeomorfo a um subespaço do cubo de Hilbert, que é métrico.
A construção utilizada na prova permite também escrever explicitamente uma métrica compatível com a topologia.
Essa é exatamente a métrica do cubo de Hilbert restrita a \(F(X)\) e transportada para \(X\) pelo mergulho \(F\).
11.6 O cubo de Hilbert como espaço universal
O teorema anterior admite uma leitura geométrica particularmente útil:
Assim, dentro da classe separável, não precisamos procurar um espaço ambiente novo para cada exemplo. O mesmo cubo contém, como subespaços, todos eles.
Espaços compactos Hausdorff são regulares. O Teorema de Urysohn fornece um mergulho em \(\mathcal H\). A imagem é compacta e, como \(\mathcal H\) é Hausdorff, é fechada.
A segunda enumerabilidade é justamente o mecanismo que reduz o número de coordenadas. Sem ela, o teorema de imersão de Tychonoff ainda pode fornecer um mergulho em \([0,1]^I\), mas o conjunto de índices \(I\) pode ser não enumerável; nesse caso, o produto deixa de se comportar como um espaço métrico.
[C]classico:ourico[Avançado] classico:ourico Seja \(I\neq \varnothing \). Identifique todos os pontos \((i,0)\) da soma topológica \(\coprod _{i\in I}[0,1]\) em um único ponto \(o\), e denote o quociente por \(H_I\). Para pontos de altura positiva, defina
Prove que \(\rho \) é uma métrica. Compare a topologia dessa métrica com a topologia quociente quando \(I\) é finito e quando \(I\) é infinito. No segundo caso, construa uma vizinhança de \(o\) na topologia quociente que não contenha nenhuma bola de \(\rho \) centrada em \(o\).
11.7 Fronteiras da metrizabilidade
Os exemplos seguintes mostram por que as hipóteses do teorema não podem ser retiradas em geral.
Se \(X\) é um conjunto não enumerável com a topologia discreta, então
é uma métrica compatível. Entretanto, qualquer base da topologia discreta deve conter todos os singletons \(\{ x\} \); portanto nenhuma base pode ser enumerável.
Isso não contradiz Urysohn. O teorema caracteriza os espaços metrizáveis e separáveis, e não todos os espaços metrizáveis.
Na reta de Sorgenfrey, os intervalos \([a,b)\) formam uma base. O espaço é separável: \(\mathbb Q\) é denso, pois todo intervalo básico não vazio contém um racional.
Por outro lado, a reta de Sorgenfrey não é segundo enumerável. Se \(\mathcal B\) fosse uma base enumerável, para cada \(x\in \mathbb R\) poderíamos escolher \(B_x\in \mathcal B\) com
Então \(x\) é o menor elemento de \(B_x\), de modo que \(x\mapsto B_x\) é injetiva. Isso é impossível porque \(\mathbb R\) é não enumerável.
Se a reta de Sorgenfrey fosse metrizável, sua separabilidade implicaria, pelo Teorema 11.3, a segunda enumerabilidade. Portanto ela não é metrizável.
Fixe \(x\in [0,1]^I\) e suponha que \(U_1,U_2,\ldots \) seja uma base local enumerável em \(x\). Para cada \(n\), escolha uma vizinhança básica \(V_n\) tal que
Cada \(V_n\) restringe apenas um conjunto finito \(F_n\subset I\) de coordenadas. Logo
é enumerável. Escolha \(i\in I\setminus F\).
Tome um aberto próprio \(O\subset [0,1]\) que contenha \(x_i\) e considere
Como \((U_n)\) é uma base local, existe \(n\) com \(U_n\subset W\), e portanto \(V_n\subset W\). Mas \(i\notin F_n\), de modo que \(V_n\) não impõe restrição alguma à coordenada \(i\). Podemos alterar apenas essa coordenada para um valor fora de \(O\) e obter um ponto de \(V_n\) que não pertence a \(W\), contradição.
Espaços métricos são primeiro enumeráveis, logo \([0,1]^I\) não é metrizável.
A diferença em relação ao cubo de Hilbert está na enumerabilidade. Para produtos enumeráveis, as métricas dos fatores podem ser combinadas em uma métrica compatível com a topologia produto. No produto não enumerável considerado acima, a ausência de uma base local enumerável impede a metrizabilidade.
[C]classico:enumeravel-nao-metrizavel[Avançado] classico:enumeravel-nao-metrizavel Construa um espaço enumerável e Hausdorff que não seja metrizável. Uma possibilidade é \(X=(\mathbb {N}\times \mathbb {N})\cup \{ p\} \): cada ponto de \(\mathbb {N}\times \mathbb {N}\) é isolado, e uma base de vizinhanças de \(p\) é dada por
Verifique os axiomas de base, a propriedade Hausdorff e a ausência de uma base enumerável de vizinhanças em \(p\).
Exercícios
Seja \(X\) um espaço metrizável e \(F\subseteq X\) fechado. Mostre que \(F\) é um conjunto \(G_\delta \), isto é, que existem abertos \(U_n\subseteq X\) tais que
\[ F=\bigcap _{n\in \mathbb N}U_n. \]Mostre diretamente que todo subespaço de um espaço metrizável é metrizável.
Seja \((X,d)\) um espaço métrico. Mostre que
\[ \rho (x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)} \]é uma métrica limitada compatível com a mesma topologia.
Em \(\mathbb R^{\mathbb N}\), escreva explicitamente uma métrica que induza a topologia produto.
Mostre diretamente, sem usar o Teorema 11.3, que o cubo de Hilbert possui uma base enumerável.
Seja \(X\) compacto, Hausdorff e segundo enumerável. Mostre que existe uma sequência de funções \(f_n:X\to [0,1]\) que separa pontos e que a aplicação \(x\mapsto (f_n(x))_{n\geq 1}\) identifica \(X\) com um subconjunto fechado do cubo de Hilbert.
Mostre que um quociente de um espaço metrizável pode deixar de ser Hausdorff e conclua que a metrizabilidade não é preservada por quocientes arbitrários. Você pode reutilizar um dos exemplos do capítulo sobre axiomas de separação.
Generalize a Proposição 11.17: suponha que \((X_i)_{i\in I}\) seja uma família de espaços e que, para não enumeravelmente muitos índices, \(X_i\) possua pelo menos dois pontos e um desses pontos admita uma vizinhança própria. Mostre que o produto não é primeiro enumerável em pontos adequados.
Prove que todo espaço compacto, Hausdorff e com base enumerável é metrizável.
11.8 Exercícios complementares
listas:src-023[Intermediário] listas:src-023 Seja \(X\) um espaço topológico. Dizemos que \(A \subseteq X\) é \(G_{\delta }\) em \(X\) se existe \(\{ U_n : n \in \mathbb {N}\} \) uma família de subconjuntos abertos de \(X\) tal que \(A = \bigcap _{n \in \mathbb {N}} U_n\). Mostre que se \(X\) é metrizável então todo subconjunto fechado de \(X\) é \(G_{\delta }\).
listas:src-045[Básico] listas:src-045 Mostre que a metrizabilidade é uma propriedade hereditária.
listas:src-068[Intermediário] listas:src-068 Seja \(\{ (M_i, d_i) : i \in I\} \) uma família de espaços métricos, cada um dos quais com pelo menos dois pontos. Com a topologia produto, mostre que \(\prod _{i \in I} M_i\) é metrizável se, e somente se, \(I\) é enumerável. [Sugestão: se \(I\) é enumerável, podemos supor \(I = \mathbb {N}\); neste caso, considere \(d(x, y) = \sum _{i = 1}^{\infty } \tilde{d}_{i}(x_i, y_i) / 2^{i}\) onde \(\tilde{d}_{i}(x_i, y_i) = \min \{ 1, d_i(x_i, y_i)\} \).]
listas:src-186[Básico] listas:src-186 Prove que metrizabilidade é uma propriedade topológica.
listas:src-224[Avançado] listas:src-224 Seja \(X\) um espaço topológico.
Se \(X\) é \(T_2\) e satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, então \(X\) é metrizável?
Se \(X\) é regular e satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, então \(X\) é metrizável?
listas:src-373[Intermediário] listas:src-373
Seja \((X,d)\) um espaço métrico. Defina
\[ \begin{array}{rcccl} d’ & : & X\times X & \rightarrow & \mathbb {R}_+\\ & & (x,y) & \mapsto & \min \{ d(x,y), 1\} . \end{array} \]Mostre que \(d'\) é uma métrica sobre \(X\) satisfazendo \(\tau _{d'}=\tau _d\).
Seja \((X_n)_{n\in \mathbb {N}}\) uma família indexada de espaços topológicos metrizáveis. Prove que o produto topológico \(X=\displaystyle \prod _{n\in \mathbb {N}}X_n\) é metrizável.
[Sugestão. Fixe, para cada \(n\in \mathbb {N}\), uma métrica \(d_n\) sobre \(X_n\) que seja compatível com sua topologia. Pelo item anterior, podemos supor que \(d_n(x,y)\le 1\) para quaisquer \(x,y\in X_n\). Defina, agora,\[ \begin{array}{rcccl} \tilde{d} & : & X\times X & \rightarrow & \mathbb {R}_+\\ & & ((x_n)_{n\in \mathbb {N}},(y_n)_{n\in \mathbb {N}}) & \mapsto & \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{d_n(x_n,y_n)}{2^n}, \end{array} \]e prove que \(\tau _{\tilde{d}}\) é a topologia produto sobre \(X\).]
listas:src-374[Avançado] listas:src-374 Demonstre o Teorema da Metrização de Urysohn:
Se um espaço topológico é \(T_3\) e possui base enumerável, então ele é metrizável.
[Sugestão. Observe, a partir do resultado obtido no Exercício 11.6, que todo subespaço do produto topológico \([0,1]^{\mathbb {N}}\) é metrizável.]