Compacidade
No cálculo, os intervalos fechados e limitados aparecem repetidamente como domínios nos quais fenômenos globais podem ser controlados por informação local: funções contínuas atingem máximo e mínimo, sequências possuem subsequências convergentes e a continuidade passa a ser uniforme. Em \(\mathbb {R}^n\), o teorema de Heine–Borel resume esse comportamento dizendo que os compactos são exatamente os conjuntos fechados e limitados.
A condição de ser limitado depende, porém, de uma distância, que não está disponível em um espaço topológico geral. Para formular a compacidade apenas em termos de abertos e obter uma propriedade preservada por homeomorfismos, precisamos de outra definição.
A definição se baseia na existência de subcoberturas finitas: um espaço é compacto quando toda cobertura aberta admite uma subcobertura finita. Essa condição permite recuperar resultados familiares da análise e estendê-los a espaços sem métrica, nos quais as sequências podem não ser suficientes para caracterizar as propriedades topológicas.
Partiremos da reta e estudaremos as propriedades da compacidade que não dependem de uma métrica. Depois examinaremos suas caracterizações em espaços métricos, por meio de sequências, completude e limitação total. Trataremos também do teorema de Tychonoff, da compacidade local e da compactificação de Alexandroff.
7.1 Definição e primeiros exemplos
Comecemos pela linguagem de coberturas.
Quando não houver risco de ambiguidade, diremos apenas cobertura. Se os conjuntos da família não forem necessariamente abertos, isso será dito explicitamente.
As famílias
e
cobrem \([0,1]\), e \(\mathcal U_5\) é uma subcobertura finita de \(\mathcal U_4\).
Por outro lado, se \(a_n\downarrow 0\), a família
cobre \((0,1]\) na topologia relativa, mas nenhuma subfamília finita o faz.
Se \((X,d)\) é um espaço métrico e \(\varepsilon \gt 0\), então
é uma cobertura aberta de \(X\).
Para um ponto fixo \(x_0\), a família \(\{ B(x_0,r):r\gt 0\} \) também cobre \(X\): para cada \(y\in X\), basta escolher \(r\gt d(x_0,y)\). A diferença é que, nessa cobertura, o centro permanece fixo e os raios variam.
Chegamos à definição central do capítulo.
Seja \(X\) um espaço topológico. Um subconjunto \(K\subset X\) é compacto quando toda cobertura aberta de \(K\) admite uma subcobertura finita.
Dizemos que \(X\) é um espaço compacto quando \(X\), como subconjunto de si mesmo, é compacto.
A definição é intrínseca: \(K\subset X\) é compacto se, e somente se, \(K\) é compacto com a topologia induzida.
Todo espaço topológico finito é compacto. Se \(X=\{ x_1,\ldots ,x_n\} \) e \(\mathcal U\) cobre \(X\), escolha, para cada \(x_i\), um aberto \(U_i\in \mathcal U\) que contenha \(x_i\). Então \(U_1,\ldots ,U_n\) formam uma subcobertura finita.
Note que a cobertura original pode muito bem ser infinita; o que a finitude de \(X\) garante é a existência de uma subcobertura finita.
O intervalo \([a,b]\subset \mathbb {R}\) é compacto.
Se \(a=b\), o resultado é imediato. Suponha \(a\lt b\) e seja \(\mathcal U\) uma cobertura aberta de \([a,b]\). Defina
O conjunto \(S\) é não vazio: escolha \(U\in \mathcal U\) contendo \(a\); como \(U\) é aberto na topologia relativa, existe \(\delta \gt 0\) tal que
Diminuindo \(\delta \) se necessário, podemos supor \(a+\delta \le b\).
Seja \(c=\sup S\). Escolha \(U_c\in \mathcal U\) com \(c\in U_c\). Existe \(\varepsilon \gt 0\) tal que
Pela definição de supremo, existe \(s\in S\) com \(c-\varepsilon /2\lt s\le c\). Uma subcobertura finita de \([a,s]\), juntamente com \(U_c\), cobre
Se \(c\lt b\), isso produz um ponto de \(S\) estritamente maior que \(c\), contradição. Logo \(c=b\); e, com essa mesma escolha de \(s\) e \(U_c\), o intervalo coberto acima é precisamente \([a,b]\). Portanto \([a,b]\) admite uma subcobertura finita.
A definição por coberturas admite uma formulação equivalente por famílias de conjuntos fechados.
Um espaço topológico \(X\) é compacto se, e somente se, toda família \(\mathcal F\) de fechados com a propriedade da interseção finita satisfaz
Se \(X\) possui base enumerável, essas condições são ainda equivalentes à seguinte: toda sequência decrescente
de fechados não vazios tem interseção não vazia.
A primeira equivalência é exatamente a dualidade por complementação descrita acima. Se \(X\) é compacto, toda sequência decrescente de fechados não vazios tem a propriedade da interseção finita e, portanto, interseção total não vazia.
Para a recíproca adicional, suponha agora que \(X\) tenha base enumerável e que toda sequência decrescente de fechados não vazios tenha interseção não vazia. Se \(X\) não fosse compacto, haveria uma cobertura aberta sem subcobertura finita. Refinando-a por uma base enumerável, obteríamos uma cobertura enumerável \(U_1,U_2,\ldots \) sem subcobertura finita. Então
seria uma sequência decrescente de fechados não vazios com interseção vazia, contradição.
7.2 Primeiras propriedades fundamentais
A definição por coberturas permite estabelecer, em espaços topológicos gerais, propriedades conhecidas dos intervalos fechados da reta. Começaremos mostrando que todo subespaço fechado de um compacto é compacto.
Trabalhemos no subespaço \(K\). Se \(\mathcal U\) é uma cobertura aberta de \(F\) na topologia de \(K\), então
é uma cobertura aberta de \(K\), pois \(F\) é fechado em \(K\). Pela compacidade de \(K\), existe uma subcobertura finita. Retirando \(K\setminus F\), se ele tiver sido escolhido, obtemos uma subcobertura finita de \(F\).
7.2.1 Compacidade na reta
O exemplo do intervalo \([a,b]\) mostrou que a definição abstrata recupera um dos objetos compactos fundamentais da análise. Na reta, podemos ir além e caracterizar completamente os subconjuntos compactos.
Se \(K=\varnothing \), não há nada a provar. Suponha \(K\ne \varnothing \) e seja \(x\notin K\). Para cada \(k\in K\), como \(\mathbb {R}\) é Hausdorff, existem abertos disjuntos \(U_k\ni k\) e \(V_k\ni x\). A família \(\{ U_k:k\in K\} \) cobre \(K\); pela compacidade, existem \(k_1,\ldots ,k_n\) tais que
Então
é uma vizinhança aberta de \(x\) disjunta de \(K\). Logo \(\mathbb {R}\setminus K\) é aberto e \(K\) é fechado.
Se \(K\) é compacto, então é limitado, como já vimos para compactos métricos, e fechado pelo lema anterior. Reciprocamente, se \(K\) é fechado e limitado, existe \(M\gt 0\) tal que \(K\subset [-M,M]\). O intervalo \([-M,M]\) é compacto e \(K\) é fechado nele; portanto, \(K\) é compacto.
Na reta real, obtemos a caracterização:
As propriedades seguintes serão formuladas sem recorrer à limitação, que depende de uma métrica.
7.2.2 Preservação e produtos finitos
A propriedade que mais utilizaremos é a invariância da compacidade por imagens contínuas. Ela explica, de uma só vez, por que a compacidade é preservada por homeomorfismos e por que quocientes de espaços compactos continuam compactos.
Se \(\mathcal U\) é uma cobertura aberta de \(f(K)\), então
é uma cobertura aberta de \(K\). Escolha \(U_1,\ldots ,U_n\in \mathcal U\) cujas imagens inversas cubram \(K\). Então \(U_1,\ldots ,U_n\) cobrem \(f(K)\).
Basta tratar \(X\times Y\). Se algum dos fatores é vazio, o produto é vazio e o resultado é imediato. Suponha então \(X,Y\ne \varnothing \) e seja \(\mathcal U\) uma cobertura aberta de \(X\times Y\). Refinando cada elemento de \(\mathcal U\) por abertos básicos, obtemos uma cobertura \(\mathcal V\) formada por retângulos \(A\times B\), cada um contido em algum elemento de \(\mathcal U\). Se \(\mathcal V\) possuir uma subcobertura finita, escolhendo para cada um desses retângulos um elemento de \(\mathcal U\) que o contenha obtemos uma subcobertura finita da cobertura original. Assim, podemos trabalhar com \(\mathcal V\) e, para simplificar a notação, chamá-la novamente de \(\mathcal U\).
Fixe \(x\in X\). O subespaço \(\{ x\} \times Y\) é homeomorfo a \(Y\) e, portanto, compacto. Logo é coberto por finitos retângulos
Descartando eventuais retângulos que não intersectem \(\{ x\} \times Y\), podemos supor que \(x\in A_i\) para todo \(i\). O aberto
contém \(x\), e os mesmos retângulos cobrem \(A_x\times Y\). A família \(\{ A_x:x\in X\} \) cobre \(X\); pela compacidade de \(X\), finitos \(A_{x_1},\ldots ,A_{x_r}\) bastam. Reunindo as correspondentes famílias finitas de retângulos, obtemos uma subcobertura finita de \(X\times Y\).
7.3 Critérios de compacidade
Embora a definição envolva todas as coberturas abertas, é suficiente verificá-la para coberturas formadas por elementos de uma base. O teorema de Alexander permitirá, em seguida, trabalhar com uma sub-base.
A necessidade é imediata. Para a suficiência, seja \(\mathcal U\) uma cobertura aberta de \(X\). Para cada \(U\in \mathcal U\), escreva \(U\) como união de elementos da base e reúna todos esses elementos numa família \(\mathcal V\subset \mathcal B\). Por hipótese, \(\mathcal V\) possui uma subcobertura finita \(B_1,\ldots ,B_n\). Para cada \(B_i\), escolha \(U_i\in \mathcal U\) com \(B_i\subset U_i\). Então \(U_1,\ldots ,U_n\) cobrem \(X\).
O resultado seguinte vai um passo além: basta testar coberturas por elementos de uma sub-base.
Só precisamos provar a suficiência. Suponha que toda cobertura de \(X\) por elementos de \(\mathcal S\) tenha subcobertura finita, mas que \(X\) não seja compacto.
Considere o conjunto \(\mathfrak C\) das coberturas abertas de \(X\) que não possuem subcobertura finita, ordenado por inclusão. Se \(\{ \mathcal C_i\} _{i\in I}\) é uma cadeia em \(\mathfrak C\), então \(\bigcup _i\mathcal C_i\) ainda não possui subcobertura finita: uma subcobertura finita estaria contida em algum elemento da cadeia. Pelo lema de Zorn, existe uma cobertura maximal \(\mathcal M\in \mathfrak C\).
A família \(\mathcal M\cap \mathcal S\) não cobre \(X\), pois, por hipótese, teria uma subcobertura finita. Escolha
Como \(\mathcal M\) cobre \(X\), existe \(U\in \mathcal M\) com \(x\in U\). Como \(\mathcal S\) é sub-base, existem \(S_1,\ldots ,S_n\in \mathcal S\) tais que
Nenhum \(S_i\) pertence a \(\mathcal M\). Pela maximalidade de \(\mathcal M\), cada família \(\mathcal M\cup \{ S_i\} \) possui uma subcobertura finita. Assim, para cada \(i\), existem finitos elementos de \(\mathcal M\) cuja união, junto com \(S_i\), cobre \(X\).
Reunindo todos esses finitos elementos de \(\mathcal M\), obtemos uma família finita \(\mathcal F\subset \mathcal M\) tal que
Logo \(\mathcal F\cup \{ U\} \) é uma subcobertura finita de \(\mathcal M\), contradição.
Sobre o uso de escolha.
A demonstração anterior utiliza o lema de Zorn na passagem de coberturas por uma sub-base a coberturas arbitrárias. O uso de princípios de escolha reaparecerá no teorema de Tychonoff. Sem discutir aqui sua força lógica exata, indicaremos as etapas dos argumentos em que são utilizados.
Para um conjunto linearmente ordenado não vazio \(X\) com a topologia da ordem, vale o critério clássico: \(X\) é compacto se, e somente se, possui primeiro e último elementos e satisfaz a propriedade do supremo, isto é, todo subconjunto não vazio limitado superiormente possui supremo em \(X\).
Na presença de primeiro e último elementos, a condição equivalente para ínfimos vem automaticamente. A hipótese sobre os extremos é essencial: a reta real possui a propriedade do supremo para subconjuntos limitados, mas não é compacta porque não possui primeiro nem último elemento.
Uma demonstração pode ser obtida aplicando o teorema de Alexander à sub-base formada pelos raios da topologia da ordem; deixamos os detalhes como exercício.
Se \(X\) é compacto, uma subfamília finita da cobertura \(\{ U_n\} \) basta; como a sequência é crescente, o maior índice dessa subfamília já cobre \(X\).
Reciprocamente, se \(X\) não é compacto e \(\mathcal B=\{ B_1,B_2,\ldots \} \) é uma base enumerável, refine uma cobertura sem subcobertura finita por elementos da base e enumere os elementos necessários como \(B_{n_1},B_{n_2},\ldots \). Fazendo
obtemos uma sequência crescente cuja união é \(X\), mas nenhum \(U_k\) é todo \(X\).
7.4 Compacidade, separação e aplicações clássicas
Em espaços Hausdorff, os subconjuntos compactos são fechados. A combinação entre compacidade e separação permite, assim, estender parte das propriedades conhecidas dos compactos da reta. Estudaremos essa relação e, em seguida, consequências da compacidade que recuperam teoremas clássicos da análise.
Se \(K=\varnothing \), a afirmação é imediata. Suponha \(K\ne \varnothing \), seja \(a\notin K\) e, para cada \(k\in K\), escolha abertos disjuntos \(U_k\ni k\) e \(V_k\ni a\). Pela compacidade, finitos \(U_{k_1},\ldots ,U_{k_n}\) cobrem \(K\). Então
é uma vizinhança de \(a\) disjunta de \(K\). Logo \(X\setminus K\) é aberto.
A segunda afirmação combina esse fato com a Proposição 7.19.
Se \(F\subset X\) é fechado, então \(F\) é compacto. A imagem \(f(F)\) é compacta e, como \(Y\) é Hausdorff, é fechada.
Pela proposição anterior, \(f\) é fechada. Como é bijetiva, isso equivale à continuidade de \(f^{-1}\).
Seja \(X\) compacto Hausdorff, \(Y\) um espaço topológico qualquer e \(f:X\to Y\) uma função. Seu gráfico é
Então
Se \(f\) é contínua, a aplicação \(x\mapsto (x,f(x))\) é contínua, e o gráfico é imagem contínua do compacto \(X\).
Reciprocamente, suponha \(\operatorname {Gr}(f)\) compacto. A restrição da primeira projeção
é uma bijeção contínua com domínio compacto e contradomínio Hausdorff. Portanto é um homeomorfismo. Como
segue que \(f\) é contínua.
Se \(K=\varnothing \), basta tomar qualquer aberto \(U\ni a\) e \(V=\varnothing \). Suponha \(K\ne \varnothing \). Para cada \(y\in K\), escolha abertos disjuntos \(U_y\ni a\) e \(V_y\ni y\). A família \(\{ V_y:y\in K\} \) cobre \(K\). Escolha uma subcobertura \(V_{y_1},\ldots ,V_{y_n}\) e faça
Então \(a\in U\), \(K\subset V\) e \(U\cap V=\varnothing \).
Se \(F=\varnothing \) ou \(H=\varnothing \), a conclusão é imediata. Suponha ambos não vazios. Para cada \(x\in F\), a proposição anterior separa o ponto \(x\) do compacto \(H\): existem abertos disjuntos \(U_x\ni x\) e \(V_x\supset H\). Pela compacidade de \(F\), escolha \(x_1,\ldots ,x_n\) de modo que \(F\subset U_{x_1}\cup \cdots \cup U_{x_n}\). Então
são os abertos desejados.
Se, além disso, \(X\) é compacto Hausdorff e \(F,H\) são fechados disjuntos, então ambos são compactos. Aplicando o resultado anterior, obtemos a normalidade de \(X\).
Os resultados anteriores permitem deduzir duas consequências clássicas da análise. A primeira utiliza a preservação da compacidade por imagens contínuas; a segunda trata dos pontos de acumulação de subconjuntos infinitos.
A imagem \(f(X)\) é compacta em \(\mathbb {R}\) e, portanto, fechada e limitada. Logo \(\sup f(X)\) e \(\inf f(X)\) existem. Ambos pertencem ao fecho de \(f(X)\); como \(f(X)\) é fechada, pertencem ao próprio \(f(X)\).
Se \(A\) não tivesse ponto de acumulação, cada \(x\in X\) possuiria uma vizinhança aberta \(U_x\) que encontraria \(A\) em no máximo um ponto. A cobertura \(\{ U_x:x\in X\} \) teria uma subcobertura finita \(U_{x_1},\ldots ,U_{x_n}\), e então
seria finito, contradição.
7.5 Noções próximas da compacidade
Há propriedades próximas da compacidade que são formuladas de outras maneiras. Algumas restringem as coberturas consideradas, outras utilizam sequências, e outras exigem que o espaço seja uma união de compactos. Estudaremos essas condições e as relações entre elas.
sequencialmente compacto se toda sequência em \(X\) possui uma subsequência convergente;
\(\sigma \)-compacto se é união enumerável de subespaços compactos;
enumeravelmente compacto se toda cobertura aberta enumerável possui subcobertura finita;
Lindelöf se toda cobertura aberta possui uma subcobertura enumerável.
As implicações básicas podem ser resumidas por
Além disso,
As duas primeiras linhas são imediatas: uma cobertura arbitrária de um compacto já possui subcobertura finita, e um compacto é, trivialmente, união enumerável de compactos; por sua vez, uma união enumerável de compactos é Lindelöf, cobrindo cada compacto por finitos elementos da cobertura e tomando a união dessas escolhas. Além disso, se um espaço é simultaneamente Lindelöf e enumeravelmente compacto, toda cobertura aberta admite primeiro uma subcobertura enumerável e depois uma subcobertura finita.
A implicação menos imediata é a terceira. Se \(X\) tivesse uma cobertura enumerável \(U_1,U_2,\ldots \) sem subcobertura finita, poderíamos substituir essa cobertura pela sequência crescente
e escolher \(x_n\notin V_n\). Nenhuma subsequência de \((x_n)\) poderia convergir: se \(x_{n_k}\to x\) e \(x\in V_m\), então, como \(V_m\) é aberto, eventualmente \(x_{n_k}\in V_m\subset V_{n_k}\), contradizendo a escolha de \(x_{n_k}\).
Nenhuma dessas setas deve ser lida como equivalência em espaços topológicos arbitrários. Por exemplo,
é \(\sigma \)-compacto e Lindelöf, mas não é enumeravelmente compacto. Também existem espaços compactos que não são sequencialmente compactos e espaços sequencialmente compactos que não são compactos.
Em espaços métricos, a situação melhora drasticamente: compacidade e compacidade sequencial coincidem, como provaremos na Seção 7.8.
Redes e filtros permitem caracterizar a compacidade em espaços topológicos gerais, ampliando o papel das sequências nos espaços métricos. Essa teoria será desenvolvida no capítulo seguinte. A distinção relevante é que uma sequência tem seus índices em \(\mathbb {N}\), o que pode ser insuficiente para caracterizar a convergência em um espaço arbitrário.
7.6 Consequências métricas da compacidade
Antes de voltar à topologia geral, registremos duas consequências que exigem uma métrica. Elas são familiares da análise e mostram como a compacidade converte informações locais — raios que dependem do ponto — em um controle uniforme sobre todo o espaço.
Para um subconjunto não vazio \(A\) de um espaço métrico, escrevemos
permitindo o valor \(+\infty \) quando \(A\) é ilimitado. Adotamos ainda \(\operatorname {diam}(\varnothing )=0\).
Se \(X=\varnothing \), qualquer \(\delta \gt 0\) serve. Suponha, portanto, \(X\ne \varnothing \).
Para cada \(x\in X\), escolha \(U_x\in \mathcal U\) com \(x\in U_x\) e \(r_x\gt 0\) tal que
As bolas \(B(x,r_x)\) cobrem \(X\). Pela compacidade, existem \(x_1,\ldots ,x_n\) tais que
Faça
Se \(A=\varnothing \), não há nada a provar. Suponha \(A\ne \varnothing \), escolha \(a\in A\) e um índice \(i\) com \(a\in B(x_i,r_{x_i})\). Para todo \(y\in A\),
portanto \(A\subset B(x_i,2r_{x_i})\subset U_{x_i}\).
Na continuidade uniforme, um mesmo \(\delta \) deve satisfazer a condição para todos os pontos do domínio; na continuidade pontual, sua escolha pode depender do ponto.
Fixe \(\varepsilon \gt 0\). Para cada \(x\in X\), pela continuidade, escolha \(r_x\gt 0\) tal que
A família \(\{ B(x,r_x/2):x\in X\} \) é uma cobertura aberta de \(X\). Pelo lema do número de Lebesgue, existe \(\delta \gt 0\) tal que qualquer conjunto de diâmetro menor que \(\delta \) está contido em uma dessas bolas.
Se \(d_X(z,z')\lt \delta \), o conjunto \(\{ z,z'\} \) está contido em \(B(x,r_x/2)\) para algum \(x\). Assim,
7.7 Produtos e o teorema de Tychonoff
Retomemos o comportamento da compacidade nas construções topológicas. Subespaços fechados, imagens contínuas e somas finitas preservam essa propriedade. Para produtos arbitrários, a preservação será estabelecida pelo teorema de Tychonoff.
7.7.1 Comportamento sob construções
subespaços fechados de compactos são compactos;
imagens contínuas — em particular, quocientes — de compactos são compactas;
somas finitas de compactos são compactas;
produtos arbitrários de compactos são compactos na topologia produto.
| Subespaço | Quociente | Produto | Soma finita | |
|---|---|---|---|---|
| Compacidade | fechados | sim | sim | sim |
7.7.2 Produto de compactos
O resultado para produtos arbitrários é um dos teoremas centrais da topologia geral.
A necessidade já foi observada: cada fator é imagem contínua do produto por uma projeção canônica. A parte substancial é mostrar a recíproca.
Para a recíproca, suponha cada \(X_\lambda \) compacto. Uma sub-base da topologia produto é formada pelos conjuntos
Pelo Teorema da Sub-Base de Alexander, basta provar que toda cobertura por abertos desse tipo possui subcobertura finita.
Suponha, por contradição, que \(\mathcal U\) seja uma cobertura sub-básica sem subcobertura finita. Considere a família de complementos
Cada membro de \(\mathcal C\) é um cilindro fechado da forma \(\pi _\lambda ^{-1}(F)\), e a inexistência de subcobertura finita significa exatamente que \(\mathcal C\) tem a propriedade da interseção finita.
Para cada \(\lambda \), seja \(\mathcal F_\lambda \) a família dos fechados \(F\subset X_\lambda \) para os quais \(\pi _\lambda ^{-1}(F)\in \mathcal C\). Essa família tem a propriedade da interseção finita: uma interseção finita vazia em \(X_\lambda \) produziria uma interseção finita vazia dos cilindros correspondentes em \(X\), contrariando a propriedade da interseção finita de \(\mathcal C\). Pela compacidade de \(X_\lambda \),
Se \(\mathcal F_\lambda \) for vazia, entendemos sua interseção como o próprio \(X_\lambda \), que é não vazio por hipótese. Escolha \(x_\lambda \) nessa interseção. Então o ponto \(x=(x_\lambda )_{\lambda \in \Lambda }\) pertence a todo cilindro de \(\mathcal C\), isto é,
Isso contradiz o fato de \(\mathcal U\) cobrir o produto.
Nota sobre escolha.
A demonstração utiliza princípios de escolha em duas etapas: no lema de Zorn empregado no teorema de Alexander e na escolha simultânea dos pontos \(x_\lambda \). O argumento é realizado no quadro usual de ZFC. A força lógica das diferentes versões do teorema de Tychonoff pertence ao estudo dos fundamentos da teoria dos conjuntos e não será desenvolvida aqui.
O teorema de Heine–Borel em \(\mathbb {R}^n\) segue rapidamente dos resultados anteriores. Aqui não precisamos da força completa de Tychonoff: o resultado para produtos finitos já é suficiente.
Primeiro,
é compacto por ser produto finito de intervalos compactos.
Agora seja \(K\subset \mathbb {R}^n\). Se \(K\) é compacto, então é fechado, pois \(\mathbb {R}^n\) é Hausdorff, e é limitado, pois todo compacto métrico é limitado. Reciprocamente, se \(K\) é fechado e limitado, existe \(R\gt 0\) tal que
O cubo \([-R,R]^n\) é compacto e \(K\) é fechado nele; portanto, \(K\) é compacto.
Os intervalos compactos fornecem, por produtos finitos, os retângulos compactos de \(\mathbb {R}^n\). O teorema de Tychonoff estende a preservação da compacidade a produtos com uma família arbitrária de fatores.
Seja \(X\) um espaço topológico e \((x_n)\) uma sequência convergente para \(x\in X\). Prove que é compacto. Seja \(X\) um conjunto. Mostre que, na topologia cofinita, todo subconjunto de \(X\) é compacto. Na topologia coenumerável de um conjunto não enumerável, determine quais subconjuntos são compactos. Se \(X\) é compacto, \(U\subset X\) é aberto e \(\mathcal F\) é uma família de fechados com mostre que existe uma subfamília finita \(\mathcal F_0\subset \mathcal F\) tal que Considere \(\{ 0,1\} ^{\mathbb {N}}\) com a topologia box. Mostre que esse espaço não é compacto. Se \(K_1,K_2\subset X\) são compactos: prove que \(K_1\cup K_2\) é compacto; prove que, se \(X\) é Hausdorff, então \(K_1\cap K_2\) é compacto; dê um exemplo mostrando que a hipótese Hausdorff no item anterior não pode simplesmente ser omitida. Seja \(X\) um conjunto e sejam \(\tau _1,\tau _2\) topologias compactas Hausdorff sobre \(X\). Mostre que, se \(\tau _1\subset \tau _2\), então \(\tau _1=\tau _2\). Conclua que duas topologias compactas Hausdorff distintas sobre o mesmo conjunto são incomparáveis. Considere o subespaço \(\Sigma \subset \{ 0,1\} ^{\mathbb {R}}\) formado pelos pontos com suporte enumerável. Mostre que \(\Sigma \) é denso em \(\{ 0,1\} ^{\mathbb {R}}\) e não é compacto. Mostre que toda sequência em \(\Sigma \) está contida em um subproduto com apenas um conjunto enumerável de coordenadas não triviais. Conclua que \(\Sigma \) é sequencialmente compacto e, portanto, enumeravelmente compacto. Mostre que todo subespaço fechado de um espaço sequencialmente compacto é sequencialmente compacto. Se \(f:X\to Y\) é contínua e sobrejetiva e \(X\) é sequencialmente compacto, prove que \(Y\) é sequencialmente compacto. Seja \(\{ X_n:n\in \mathbb {N}\} \) uma família de espaços sequencialmente compactos. Prove, por um argumento diagonal, que \(\prod _{n\in \mathbb {N}}X_n\) é sequencialmente compacto na topologia produto. Mostre que \([0,1]^{[0,1]}\) é compacto, mas não é sequencialmente compacto. Para a segunda afirmação, use que \([0,1]\) tem a mesma cardinalidade que \(\mathcal P(\mathbb {N})\): indexe coordenadas por subconjuntos \(A\subset \mathbb {N}\) e considere a sequência \(x_n(A)=1\) se \(n\in A\) e \(x_n(A)=0\) caso contrário. Dada qualquer subsequência, escolha uma coordenada \(A\) na qual seus valores alternem. Prove que um espaço \(T_1\) é enumeravelmente compacto se, e somente se, todo subconjunto infinito enumerável possui ponto de acumulação.
O círculo é compacto: a aplicação contínua \([0,1]\to \mathbb S^1\), \(t\mapsto e^{2\pi it}\), é sobrejetiva. Consequentemente, \(\mathbb T^n=(\mathbb S^1)^n\) é compacto e, pelo teorema de Tychonoff, \((\mathbb S^1)^I\) é compacto para qualquer \(I\). Esses espaços são exemplos de grupos topológicos compactos.
Todo subgrupo fechado do círculo é compacto. Em particular, \(\mu _n\) é compacto; já \(H_{\mathbb {Q}}\) não é compacto, pois um subconjunto compacto do círculo Hausdorff seria fechado, e \(H_{\mathbb {Q}}\) é denso e próprio. Ser subgrupo de um grupo compacto não basta para ser compacto. As rotações \(z\mapsto az\) ilustram ainda o resultado de que uma isometria de um espaço métrico compacto em si mesmo é sobrejetiva: aqui sua inversa é explicitamente \(z\mapsto a^{-1}z\).
7.8 Caracterizações em espaços métricos
Em espaços métricos, a compacidade admite caracterizações equivalentes por coberturas, por subsequências convergentes e pela combinação de completude e limitação total. Estudaremos essas equivalências, que em geral deixam de valer fora da classe dos espaços métricos.
Toda sequência convergente é de Cauchy, em qualquer espaço métrico. A completude afirma que vale também a recíproca: em um espaço completo, uma sequência converge se, e somente se, é de Cauchy.
\(\mathbb {R}\) é completo com a métrica usual.
\((0,1]\) não é completo com a métrica usual; por exemplo, \(1/n\) é de Cauchy, mas não converge em \((0,1]\).
\(\mathbb {N}\), com a métrica induzida de \(\mathbb {R}\), é completo.
\(\mathbb {Q}\), com a métrica usual, não é completo.
Completude não é uma propriedade topológica: duas métricas que induzem a mesma topologia podem ter comportamentos diferentes em relação a sequências de Cauchy.
Fixe \(\varepsilon \gt 0\). Como \((x_n)\) é de Cauchy, existe \(N\) tal que
Escolha \(k\) com \(n_k\ge N\) e \(d(x_{n_k},x)\lt \varepsilon /2\). Para \(n\ge N\),
A limitação total exige mais que a limitação: para cada raio positivo, o espaço deve admitir uma cobertura finita por bolas desse raio. Essa exigência de finitude permite relacioná-la à compacidade.
Suponha \(X\) totalmente limitado e seja \((x_n)\) uma sequência. Cubra \(X\) por finitas bolas de raio \(2^{-1}\); uma delas contém infinitos termos da sequência. Dentro desses termos, cubra novamente \(X\) por finitas bolas de raio \(2^{-2}\) e escolha uma que contenha infinitos termos. Prosseguindo, obtemos conjuntos infinitos de índices
tais que os pontos \(x_n\) com \(n\in I_k\) pertencem a uma mesma bola de raio \(2^{-k}\). Escolha \(n_k\in I_k\) com \(n_1\lt n_2\lt \cdots \). Se \(p,q\ge k\), então \(n_p,n_q\in I_k\), e portanto
Logo \((x_{n_k})\) é de Cauchy.
Reciprocamente, se \(X\) não é totalmente limitado, existe \(\varepsilon \gt 0\) tal que nenhuma união finita de bolas de raio \(\varepsilon \) cobre \(X\). Escolha indutivamente
Então \(d(x_j,x_k)\ge \varepsilon \) para \(j\ne k\), e nenhuma subsequência pode ser de Cauchy.
Para cada \(n\ge 1\), escolha um conjunto finito \(S_n\subset X\) tal que
Então \(S=\bigcup _nS_n\) é enumerável e denso. De fato, se \(U\) é aberto e \(a\in U\), escolha \(r\gt 0\) com \(B(a,r)\subset U\) e \(n\) tão grande que \(1/n\lt r\). Algum \(s\in S_n\) satisfaz \(d(a,s)\lt 1/n\lt r\), logo \(s\in U\).
Um espaço métrico separável possui base enumerável: basta tomar bolas de raios racionais centradas em um conjunto denso enumerável.
\(X\) não é compacto;
existe uma cobertura aberta enumerável de \(X\) sem subcobertura finita;
existe uma sequência de abertos
\[ U_1\subset U_2\subset \cdots , \qquad U_n\ne X, \qquad X=\bigcup _{n=1}^\infty U_n. \]
As implicações (3)\(\Rightarrow \)(2)\(\Rightarrow \)(1) são imediatas. Para (1)\(\Rightarrow \)(2), refine uma cobertura sem subcobertura finita por elementos de uma base enumerável; a subfamília de elementos da base obtida é enumerável e ainda não possui subcobertura finita. Enumerando-a como \(B_1,B_2,\ldots \) e definindo
obtemos (3).
\(X\) é compacto;
toda sequência em \(X\) possui uma subsequência convergente;
\(X\) é completo e totalmente limitado.
\((3)\Rightarrow (2)\). Pela limitação total, toda sequência possui uma subsequência de Cauchy; pela completude, essa subsequência converge.
\((2)\Rightarrow (3)\). Se \(X\) não fosse completo, existiria uma sequência de Cauchy não convergente. Pelo Lema 7.49, ela não poderia possuir subsequência convergente. Se \(X\) não fosse totalmente limitado, o Lema 7.51 forneceria uma sequência sem subsequência de Cauchy, logo sem subsequência convergente.
\((1)\Rightarrow (2)\). Seja \((x_n)\) uma sequência e defina
Os conjuntos \(F_N\) são fechados, não vazios e decrescentes. Pela compacidade,
Escolha \(x\) nessa interseção e ponha \(n_0=0\). Para cada \(k\ge 1\), como \(x\in F_{n_{k-1}+1}\), podemos escolher \(n_k\gt n_{k-1}\) com
Então \(x_{n_k}\to x\).
\((2)\Rightarrow (1)\). Pelo que já provamos, (2) implica limitação total; pelo lema anterior, \(X\) possui base enumerável. Se \(X\) não fosse compacto, existiriam abertos \(U_1\subset U_2\subset \cdots \), todos próprios, cuja união é \(X\). Escolha \(x_n\notin U_n\). Se alguma subsequência \(x_{n_k}\) convergisse para \(x\), escolheríamos \(N\) com \(x\in U_N\). Como \(U_N\) é aberto, eventualmente \(x_{n_k}\in U_N\); mas, para \(n_k\ge N\), temos \(U_N\subset U_{n_k}\) e \(x_{n_k}\notin U_{n_k}\), contradição.
A equivalência reúne três caracterizações da compacidade em espaços métricos. Nesse contexto, basta que toda sequência admita uma subsequência convergente; em espaços topológicos gerais, essa condição pode não caracterizar compacidade. A equivalência também mostra que completude e limitação total devem ser consideradas em conjunto: completude ou simples limitação, isoladamente, não bastam.
Mostre que um subconjunto de \(\mathbb {R}^n\) é totalmente limitado se, e somente se, é limitado. Mostre diretamente que todo espaço métrico totalmente limitado é separável. Prove a versão do lema do número de Lebesgue que afirma: se \((M,d)\) é compacto e \(\{ U_\alpha \} _{\alpha \in A}\) é uma cobertura aberta, então existe \(r\gt 0\) tal que, para cada \(x\in M\), alguma bola \(B(x,r)\) está contida em um \(U_\alpha \). Seja \(X=\{ 1/n:n\in \mathbb {N},\ n\ge 1\} \). Considere a métrica discreta \(d_1\) e a métrica \(d_2\) induzida de \(\mathbb {R}\). Mostre que \((X,d_1)\) é completo e que \((X,d_2)\) não é completo.
7.9 Compacidade local
A compacidade é uma propriedade global, formulada por coberturas de todo o espaço. Para uma versão local, consideramos a existência de vizinhanças compactas em torno de cada ponto. Essa condição pode ser satisfeita mesmo quando o espaço não é compacto.
Há duas convenções frequentes na literatura: alguns autores chamam um espaço de localmente compacto quando cada ponto possui ao menos uma vizinhança compacta. A definição adotada aqui, por bases de vizinhanças compactas, é ligeiramente mais forte em espaços gerais. Em espaços Hausdorff, as duas convenções coincidem, como veremos na Proposição 7.57.
\(\mathbb {R}^n\) é localmente compacto. Para cada \(x\), as bolas fechadas
\[ \overline B(x,1/k),\qquad k\ge 1, \]formam uma base de vizinhanças compactas de \(x\), pelo teorema de Heine–Borel.
Assim, compacidade local é estritamente mais fraca que compacidade: para \(n\ge 1\), \(\mathbb {R}^n\) é localmente compacto, mas não compacto.
\(\mathbb {Q}\), com a topologia induzida de \(\mathbb {R}\), não é localmente compacto. Suponha que \(K\) fosse uma vizinhança compacta de \(0\) em \(\mathbb {Q}\). Então existe \(\varepsilon \gt 0\) tal que
\[ (-\varepsilon ,\varepsilon )\cap \mathbb {Q}\subset K. \]Escolha um irracional \(\theta \in (-\varepsilon ,\varepsilon )\) e uma sequência de racionais \(q_n\to \theta \) contida nesse intervalo. Como \(K\) é compacto e métrico, alguma subsequência \(q_{n_k}\) converge em \(K\) para um ponto \(q\in \mathbb {Q}\). Vista em \(\mathbb {R}\), a mesma subsequência converge para \(\theta \); pela unicidade do limite em \(\mathbb {R}\), \(q=\theta \), contradição.
Em espaços Hausdorff, a existência de uma vizinhança compacta para cada ponto implica a existência de uma base de vizinhanças compactas, como mostra a proposição seguinte.
Seja \(K\) uma vizinhança compacta de \(x\), e escolha um aberto \(O\) com \(x\in O\subset K\). Tome uma vizinhança aberta arbitrária \(W\) de \(x\). O conjunto
é compacto e não contém \(x\). Pela Proposição 7.33, existem abertos disjuntos \(V\ni x\) e \(G\supset C\). Substituindo \(V\) por \(V\cap O\), podemos supor \(V\subset K\).
Como \(G\) é aberto e \(V\cap G=\varnothing \), também \(\overline V\cap G=\varnothing \). Além disso, \(K\) é fechado, pois \(X\) é Hausdorff, logo \(\overline V\subset K\). Como \(C\subset G\), segue que
Assim, \(\overline V\) é uma vizinhança compacta de \(x\) contida em \(W\).
7.10 Comportamento da compacidade local
Uma propriedade local deve, idealmente, sobreviver às construções que preservam a estrutura próxima de cada ponto. A compacidade local se comporta bem em várias situações usuais:
somas — inclusive arbitrárias — de espaços localmente compactos são localmente compactas;
produtos finitos de espaços localmente compactos são localmente compactos;
se \(q:X\to Y\) é uma identificação aberta e \(X\) é localmente compacto, então \(Y\) é localmente compacto;
subespaços localmente fechados de espaços localmente compactos são localmente compactos.
As três primeiras afirmações seguem diretamente da definição. Numa soma, cada ponto pertence a um somando aberto e fechado, de modo que uma vizinhança compacta no somando continua sendo uma vizinhança compacta na soma. Num produto finito, produtos de vizinhanças compactas formam vizinhanças compactas, pela compacidade de produtos finitos.
Para o quociente, seja \(q:X\to Y\) uma identificação aberta e fixe \(y\in Y\). Escolha \(x\in q^{-1}(y)\). Dada uma vizinhança \(W\) de \(y\), escolha um aberto \(O\) com \(y\in O\subset W\) e uma vizinhança compacta \(K\) de \(x\) contida em \(q^{-1}(O)\). Se \(V\) é aberto com \(x\in V\subset K\), então \(q(V)\) é aberto, contém \(y\) e está contido no compacto \(q(K)\subset O\subset W\). Logo \(q(K)\) é uma vizinhança compacta de \(y\).
A quarta afirmação será demonstrada na subseção seguinte. Para quocientes, a hipótese de abertura da identificação é necessária ao argumento: sem ela, a compacidade local pode deixar de ser preservada.
Considere em \(\mathbb {R}\) a relação de equivalência que identifica todos os inteiros entre si e não faz nenhuma outra identificação. Denote o quociente por \(Y=\mathbb {R}/\! \sim \) e por \(p\) o ponto correspondente a \(\mathbb {Z}\). Geometricamente, obtemos uma “rosa” com infinitas pétalas.
A projeção quociente \(q:\mathbb {R}\to Y\) é fechada. De fato, se \(F\subset \mathbb {R}\) é fechado, sua saturação \(q^{-1}(q(F))\) é \(F\) quando \(F\cap \mathbb {Z}=\varnothing \), e é \(F\cup \mathbb {Z}\) caso contrário; em ambos os casos é fechada. Pela definição da topologia quociente, isso implica que \(q(F)\) é fechado em \(Y\).
Entretanto, \(Y\) não é localmente compacto em \(p\). Suponha que \(K\) fosse uma vizinhança compacta de \(p\), e escolha um aberto \(U\) com \(p\in U\subset K\). O aberto saturado \(q^{-1}(U)\) contém todos os inteiros. Para cada \(n\in \mathbb {Z}\), escolha
Os intervalos \((n-1/4,n+1/4)\) são dois a dois disjuntos, de modo que os pontos escolhidos ficam uniformemente separados entre células distintas.
O conjunto
é infinito e não possui ponto de acumulação. De fato, se \(y\ne p\), escolha um representante \(s\in \mathbb {R}\setminus \mathbb {Z}\) de \(y\). Como os pontos \(t_n\) pertencem a intervalos dois a dois separados, podemos escolher um intervalo aberto \(J\) em torno de \(s\), disjunto de \(\mathbb {Z}\), que encontre no máximo um dos \(t_n\). Como \(J\) não contém inteiros, ele é saturado para a relação de equivalência; portanto \(q(J)\) é uma vizinhança aberta de \(y\) que encontra \(A\) em no máximo um ponto.
Para o ponto \(p\), escolha, para cada \(n\in \mathbb {Z}\), um número
e ponha
O conjunto \(W\) é aberto, saturado, contém todos os inteiros e não contém nenhum \(t_n\). Portanto \(q(W)\) é uma vizinhança aberta de \(p\) disjunta de \(A\). Assim \(A\) não possui ponto de acumulação, contradizendo Bolzano–Weierstrass para o compacto \(K\).
| Subespaço | Quociente | Produto finito | Soma | |
|---|---|---|---|---|
| \shortstack{Compacidade\\local} | \shortstack{localmente\\fechados} | \shortstack{identificações\\abertas} | sim | sim |
7.10.1 Subespaços localmente fechados
Fixe \(x\in F\) e seja \(W\) uma vizinhança de \(x\) em \(F\). Existe um aberto \(O\subset X\) tal que
Pela compacidade local de \(X\), escolha uma vizinhança compacta \(K\) de \(x\) em \(X\) contida em \(O\). Então \(F\cap K\) é uma vizinhança de \(x\) em \(F\), está contida em \(W\) e é compacta por ser fechada no compacto \(K\).
Fixe \(x\in G\) e seja \(W\) uma vizinhança de \(x\) em \(G\). Escolha um aberto \(O\subset X\) tal que
Como \(G\) é aberto, \(O\cap G\) é uma vizinhança de \(x\) em \(X\). Pela compacidade local de \(X\), existe uma vizinhança compacta \(K\) de \(x\) com
Vista como subconjunto de \(G\), a mesma \(K\) continua compacta e está contida em \(W\). Logo \(G\) é localmente compacto.
Se \(Y\) é localmente fechado, por definição existe aberto \(G\) tal que \(Y=G\cap \overline Y\), e \(\overline Y\) é fechado.
Reciprocamente, se \(Y=G\cap F\) com \(G\) aberto e \(F\) fechado, então \(\overline Y\subset F\), e portanto
Logo \(Y=G\cap \overline Y\), isto é, \(Y\) é aberto em seu fecho.
Fixe \(y\in Y\). Como \(Y\) é localmente compacto, existe uma vizinhança compacta \(K\subset Y\) de \(y\). Escolha um aberto \(W\subset X\) tal que
O compacto \(K\), visto como subconjunto de \(X\), é fechado porque \(X\) é Hausdorff.
Afirmamos que
A segunda inclusão é imediata, pois \(K\) é fechado e contém \(W\cap Y\). Para a primeira, se \(z\in W\cap \overline Y\), toda vizinhança \(V\) de \(z\) encontra \(Y\); como \(W\) também é vizinhança de \(z\), \(V\cap W\) encontra \(Y\), isto é, \(V\) encontra \(W\cap Y\). Logo \(z\in \overline{W\cap Y}\).
Portanto \(W\cap \overline Y\) é uma vizinhança de \(y\) em \(\overline Y\) contida em \(Y\). Como isso vale para todo \(y\in Y\), o conjunto \(Y\) é aberto em \(\overline Y\).
7.11 Compactificação de Alexandroff
A compacidade local não implica compacidade do espaço. Isso conduz a uma questão distinta: quando é possível realizar o espaço como subespaço denso de um espaço compacto? A noção de compactificação formaliza essa questão.
Para espaços Hausdorff localmente compactos e não compactos, a construção de Alexandroff obtém uma compactificação acrescentando um único ponto. As vizinhanças desse ponto serão definidas a partir dos compactos do espaço original.
A condição de densidade exige que todo aberto não vazio do espaço maior intersecte \(X\). Assim, não há regiões abertas não vazias disjuntas do espaço que está sendo compactificado.
A construção seguinte acrescenta um único ponto ao espaço.
todos os abertos de \(X\);
os conjuntos que contêm \(\infty \) e são da forma
\[ \{ \infty \} \cup (X\setminus K), \]onde \(K\subset X\) é compacto.
O vazio é aberto por pertencer à topologia de \(X\), e \(X^*\) é aberto porque seu complemento é o compacto vazio.
Para uniões arbitrárias, se nenhum dos abertos contém \(\infty \), nada há a provar. Suponha então que algum \(U_{i_0}\) contenha \(\infty \). Para os índices \(i\) com \(\infty \in U_i\), escreva
com \(K_i\) compacto em \(X\). Os demais \(U_j\) são abertos de \(X\). Assim,
Esse conjunto é fechado em \(X\) e está contido no compacto \(K_{i_0}\). Portanto é compacto, e a união \(\bigcup _iU_i\) é aberta em \(X^*\).
Para interseções finitas, há três casos. A interseção de dois abertos de \(X\) é aberta em \(X\). Se \(U=X^*\setminus K\) contém \(\infty \) e \(V\subset X\) é aberto, então
é aberto em \(X\). Finalmente,
e \(K_1\cup K_2\) é compacto.
A topologia relativa de \(X\) em \(X^*\) é exatamente a topologia original, logo a inclusão \(X\hookrightarrow X^*\) é um mergulho.
Para provar que \(X^*\) é compacto, seja \(\mathcal U\) uma cobertura aberta. Algum \(U_\infty \in \mathcal U\) contém \(\infty \). Seu complemento
é compacto em \(X\). Os demais elementos da cobertura cobrem \(K\); além disso, a interseção de cada um deles com \(X\) é aberta em \(X\), pela observação anterior. Portanto essas interseções formam uma cobertura aberta de \(K\) em \(X\), da qual podemos extrair uma subcobertura finita. Juntando os correspondentes elementos de \(\mathcal U\) a \(U_\infty \), obtemos uma subcobertura finita de \(X^*\).
Por fim, \(X\) é denso em \(X^*\). Todo aberto não vazio contido em \(X\) obviamente encontra \(X\). Se \(U\) contém \(\infty \) e não encontrasse \(X\), teríamos \(U=\{ \infty \} \) e, portanto, \(X=X^*\setminus U\) seria compacto, contrariando a hipótese.
Dois pontos de \(X\) podem ser separados porque \(X\) é Hausdorff. Resta separar \(x\in X\) de \(\infty \). Pela compacidade local e pela Proposição 7.57, escolha uma vizinhança compacta \(K\) de \(x\) e um aberto \(V\) tal que
Então \(V\) e \(X^*\setminus K\) são abertos disjuntos contendo, respectivamente, \(x\) e \(\infty \).
Se \(f(X)\) não fosse denso, o único ponto possível fora de seu fecho seria \(\omega \), e então \(\{ \omega \} \) seria aberto. Logo \(f(X)\) seria fechado em \(Y\), portanto compacto. Como \(f\) é um homeomorfismo, \(X\) seria compacto, contradição.
Se \(Y=f(X)\cup \{ \omega \} \) é uma compactificação por um ponto, defina
A aplicação \(h\) é bijetiva. Como \(Y\) é compacto e \(X^*\) é Hausdorff, basta provar que \(h\) é contínua.
Se \(U\subset X^*\) é aberto e não contém \(\infty \), então
que é aberto em \(f(X)\); como \(f(X)=Y\setminus \{ \omega \} \) é aberto em \(Y\) (o singleton \(\{ \omega \} \) é fechado em um espaço Hausdorff), \(f(U)\) é aberto em \(Y\).
Se \(\infty \in U\), escreva \(U=X^*\setminus K\) com \(K\subset X\) compacto. Então
O conjunto \(f(K)\) é compacto e, como \(Y\) é Hausdorff, é fechado. Logo \(h^{-1}(U)\) é aberto.
Se \(X\) é compacto, tome o próprio \(X\). Se \(X\) não é compacto, sua compactificação de Alexandroff \(X^*\) é compacta Hausdorff e \(X\) é aberto em \(X^*\).
Reciprocamente, suponha \(X\) aberto em um compacto Hausdorff \(K\). O espaço \(K\) é localmente compacto: ele próprio é uma vizinhança compacta de cada ponto, e a Proposição 7.57 fornece uma base de vizinhanças compactas. Pela Proposição 7.61, o aberto \(X\) é localmente compacto. A propriedade Hausdorff é hereditária para subespaços.
A projeção estereográfica mostra que
\[ \mathbb {R}^*\cong S^1, \qquad (\mathbb {R}^n)^*\cong S^n. \]Como \((0,1)\cong \mathbb {R}\), temos
\[ (0,1)^*\cong S^1. \]Em particular, \((0,1)^*\) não é homeomorfo a \([0,1]\).
Temos
\[ (0,1]^*\cong [0,1] \qquad \text{e}\qquad [0,1)^*\cong [0,1]. \]Embora \((0,1]\) e \([0,1)\) sejam homeomorfos entre si por reflexão, o ponto importante é que a compactificação acrescenta exatamente o extremo ausente.
Se
\[ X=[0,1/2)\cup (1/2,1], \]então os dois “lados” do ponto removido são ligados pelo único ponto acrescentado na compactificação, e \(X^*\) é homeomorfo a \([0,1]\).
Mostre explicitamente que \((0,1]^*\) e \([0,1)^*\) são homeomorfos a \([0,1]\). Calcule a compactificação de Alexandroff do espaço discreto \(\mathbb {N}\). Mostre que ela é homeomorfa ao subespaço Seja \(X\) Hausdorff e \(K\subset X\) um compacto não vazio. Mostre que o quociente \(X/K\), obtido colapsando \(K\) a um ponto, é Hausdorff. Suponha agora que \(X\) seja compacto e que \(K\) tenha interior vazio. Mostre que \(X/K\) é uma compactificação por um ponto de \(X\setminus K\).
A definição de compacidade por coberturas abertas recupera, na reta, o teorema de Heine–Borel e resultados clássicos da análise. Em espaços Hausdorff, relaciona-se ao fechamento dos compactos; em espaços métricos, admite caracterizações por sequências, completude e limitação total. O teorema de Tychonoff estabelece sua preservação por produtos arbitrários.
A compacidade local e a compactificação de Alexandroff permitem ainda estudar espaços que não são compactos. Sob as hipóteses indicadas, a adição de um ponto os realiza como subespaços densos de espaços compactos.
7.12 Exercícios complementares
listas:src-095[Básico] listas:src-095 Sejam \(X\) um espaço topológico, \(x\in X\) e \((x_n)_{n\in \mathbb {N}}\) uma sequência em \(X\) com \(x_n\stackrel{n\rightarrow \infty }\longrightarrow x\). Prove que \(\{ x_n:n\in \mathbb {N}\} \cup \{ x\} \) é um subconjunto compacto de \(X\).
listas:src-096[Intermediário] listas:src-096 Seja \(X\) um conjunto.
Mostre que se \(X\) está munido da topologia cofinita, então todo subconjunto de \(X\) é compacto.
Considere \(X\) munido da topologia co-enumerável. Mostre que \(Y \subseteq X\) é compacto se, e somente se, \(Y\) é finito.
listas:src-097[Intermediário] listas:src-097 Sejam \(X\) um espaço topológico compacto, \(U\) um subconjunto aberto de \(X\) e \(\mathcal{F}\) uma família de subconjuntos fechados de \(X\) tal que \(\bigcap _{F\in \mathcal{F}}F\subseteq U\). Mostre que existe \(\mathcal{F}^{\prime }\subset \mathcal{F}\) finito tal que \(\bigcap _{F\in \mathcal{F}^{\prime }}F\subseteq U\).
listas:src-098[Básico] listas:src-098 Considere \(\{ 0, 1\} \) munido da topologia discreta. Mostre que o conjunto \(\{ 0, 1\} ^{\mathbb {N}}\) munido da topologia box não é compacto.
listas:src-099[Avançado] listas:src-099 Seja \(X\) um espaço topológico e sejam \(K_1\) e \(K_2\) subconjuntos compactos de \(X\).
Mostre que \(K_1 \cup K_2\) é compacto.
Mostre que se \(X\) é \(T_2\), então \(K_1 \cap K_2\) é compacto.
Mostre que não se pode omitir a hipótese de \(X\) ser \(T_2\) no item anterior.
Sejam \(X\) um espaço topológico e \(\mathcal{B}\) uma base para \(X\). Prove que \(X\) é compacto se, e somente se, toda cobertura de \(X\) por elementos de \(\mathcal{B}\) possui subcobertura finita.
listas:src-100[Intermediário] listas:src-100 Seja \(X\) um conjunto e sejam \(\tau _1\) e \(\tau _2\) topologias sobre \(X\). Mostre que se \((X, \tau _1)\) e \((X, \tau _2)\) são espaços topológicos compactos e \(T_2\), então \(\tau _1 = \tau _2\) ou \(\tau _1\) e \(\tau _2\) são incomparáveis.
listas:src-101[Intermediário] listas:src-101 Seja \(X\) um espaço topológico \(T_2\). Mostre que, se \(H,K\subseteq X\) são compactos disjuntos, então existem abertos disjuntos \(U,V\subseteq X\) tais que \(H\subseteq U\) e \(K\subseteq V\).
listas:src-102[Intermediário] listas:src-102 Sejam \(X\) um espaço topológico e \(\mathcal{B}\) uma base para \(X\). Mostre que se para cada cobertura aberta \(\mathcal{C} \subseteq \mathcal{B}\) de \(X\) é possível obter \(\mathcal{C}' \subseteq \mathcal{C}\) finito tal que \(\bigcup \mathcal{C}' = X\), então \(X\) é compacto.
listas:src-103[Intermediário] listas:src-103 Sem recorrer ao Teorema de Tychonoff, mostre que se \(X\) e \(Y\) são espaços topológicos compactos, então \(X \times Y\) também o é.
listas:src-105[Avançado] listas:src-105 Considere o subespaço \(X\) de \(\{ 0, 1\} ^{\mathbb {R}}\) constituído dos \(x = (x_i)_{i \in \mathbb {R}}\) tais que \(\{ i\in \mathbb R:x_i\neq 0\} \) é enumerável.
Mostre que \(X\) é denso em \(\{ 0, 1\} ^{\mathbb {R}}\) e conclua que \(X\) não é compacto.
Mostre que todo subconjunto infinito enumerável de \(X\) tem ponto de acumulação em \(X\) e conclua que \(X\) é enumeravelmente compacto.
listas:src-107[Básico] listas:src-107 Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(f : X \to Y\) sobrejetora e contínua. Mostre que se \(X\) é sequencialmente compacto, então \(Y\) também é.
listas:src-108[Intermediário] listas:src-108 Seja \(\{ X_i : i\in \mathbb {N}\} \) uma família de espaços topológicos sequencialmente compactos. Mostre que o conjunto \(\prod _{i\in \mathbb {N}} X_i\) é sequencialmente compacto.
listas:src-110[Avançado] listas:src-110 Seja \((X, d)\) um espaço métrico compacto. Mostre que se \(f : X \to X\) é uma isometria (isto é, se \(f\) é tal que \(d(x, y) = d(f(x), f(y))\) para quaisquer \(x, y \in X\)), então \(f\) é um homeomorfismo.
listas:src-139[Básico] listas:src-139 Mostre que se um espaço métrico é totalmente limitado, então ele é separável.
listas:src-140[Intermediário] listas:src-140 (Lema do refinamento de Lebesgue) Seja \((M,d)\) um espaço métrico compacto. Mostre que dada uma cobertura aberta \(\{ U_{\alpha },\, \, \alpha \in A\} \) de \(M\) existe \(r\gt 0\) tal que, para cada \(x\in M\), é possível encontrar \(\alpha \in A\) de modo que \(B_d(x,r)\subset U_{\alpha }\).
listas:src-386[Intermediário] listas:src-386 Sejam \(X\) um espaço topológico compacto, \(U\subseteq X\) aberto e \(\mathcal{F}\neq \emptyset \) uma família de subconjuntos fechados de \(X\) satisfazendo \(\bigcap _{F\in \mathcal{F}}F\subseteq U\). Mostre que existe \(\mathcal{F}_0\subseteq \mathcal{F}\) com \(0\lt |\mathcal{F}_0|\lt \aleph _0\) tal que \(\bigcap _{F\in \mathcal{F}_0}F\subseteq U\).
listas:src-389[Intermediário] listas:src-389 Sejam \(X\) um espaço topológico compacto, \(Y\) um espaço topológico \(T_2\) e \(f:X\rightarrow Y\) uma função contínua. Mostre que, se \(f\) é injetora, então \(f\) é um homeomorfismo sobre sua imagem.
listas:src-390[Avançado] listas:src-390 Mostre que todo subespaço compacto da reta de Sorgenfrey é enumerável.
[Sugestão: Mostre que, se um subespaço \(X\) de \(\mathbb {R}_s\) é tal que o conjunto \(Y=\{ -x:x\in X\} \) possui ponto de acumulação em \(\mathbb {R}_s\), então \(X\) não é compacto.]
listas:src-391[Intermediário] listas:src-391 Sejam \(X\) um espaço compacto e \(Y\) um espaço de Lindelöf. Prove que o produto topológico \(X\times Y\) é um espaço de Lindelöf.
listas:src-393[Avançado] listas:src-393 Considere, sobre o conjunto
a topologia de subespaço herdada do produto topológico \([0,1]^{[0,1]}\) (ou, equivalentemente, a topologia da convergência pontual). Mostre que:
\(X\) é compacto;
\(X\) tem caráter enumerável;
[Sugestão: Mostre que, se \(f\in X\), então\[ \{ a\in [0,1]:f\textrm{ n\~ao \'e cont\'inua em }a\} \]é um conjunto enumerável.]
\(X\) não possui base enumerável.
listas:src-394[Básico] listas:src-394 Sejam \(X\) um espaço topológico e \(Y\subseteq X\). Prove que \(Y\) é um subconjunto compacto de \(X\) se, e somente se, \(Y\) é um espaço topológico compacto quando considerado com a topologia de subespaço.
listas:src-395[Básico] listas:src-395 Sejam \(X\) um espaço topológico, \(\mathcal{B}\) uma base para \(X\) e \(A\subseteq X\). Prove que \(A\) é compacto se, e somente se, toda cobertura de \(A\) por elementos de \(\mathcal{B}\) possui subcobertura finita.
listas:src-396[Intermediário] listas:src-396
Seja \(X\) um conjunto qualquer munido da topologia cofinita. Prove que todo subconjunto \(Y\subseteq X\) é compacto.
Sejam \(X\) um conjunto qualquer munido da topologia coenumerável e \(Y\subseteq X\). Prove que \(Y\) é compacto se, e somente se, \(Y\) é finito.
listas:src-397[Básico] listas:src-397 Sejam \(X\) um espaço topológico compacto e \(D\subseteq X\) discreto. Prove que, se \(F\subseteq D\) é fechado em \(X\), então \(F\) é finito.
listas:src-398[Avançado] listas:src-398 Sejam \(\tau \) a topologia usual de \([0,1]\subseteq \mathbb {R}\) e \(p\notin [0,1]\). Considere, sobre o conjunto \(X=[0,1]\cup \{ p\} \), a topologia que tem como base a família
Mostre que, com esta topologia, \(X\) é um espaço \(T_1\) mas não é um espaço \(T_2\). Verifique que \([0,1]\subseteq X\) é um subconjunto compacto de \(X\) que não é fechado em \(X\).
listas:src-399[Avançado] listas:src-399 Sejam \(X\) um espaço topológico e \(K_1,K_2\subseteq X\) subconjuntos compactos de \(X\).
Prove que \(K_1\cup K_2\) é compacto.
Prove que, se \(X\) é \(T_2\), então \(K_1\cap K_2\) é compacto.
Mostre, através de um exemplo, que não se pode omitir a hipótese de que \(X\) é \(T_2\) no item anterior.
listas:src-401[Avançado] listas:src-401 Seja \((X,\tau )\) um espaço topológico compacto e \(T_2\). Suponha que \(\{ x\} \) é um subconjunto \(G_\delta \) de \((X,\tau )\) para cada \(x\in X\). Prove que \((X,\tau )\) tem caráter enumerável.
[Obs.: Dizemos que \(A\subseteq X\) é um subconjunto \(G_\delta \) de \((X,\tau )\) se existe uma família enumerável e não vazia \(\mathcal{U}\subseteq \tau \) satisfazendo \(A=\bigcap _{U\in \mathcal{U}}U\).]
listas:src-405[Básico] listas:src-405 Prove que, se \(X\) é um espaço topológico compacto e metrizável, então \(X\) é separável.
listas:src-419[Intermediário] listas:src-419 Considere, sobre o conjunto
a topologia da convergência pontual. Mostre que \(X\) é um espaço compacto.