Capítulo 5

Axiomas de Separação

As noções de continuidade, subespaço, produto e quociente não exigem que pontos distintos possam ser distinguidos por abertos. Sem hipóteses adicionais, podem ocorrer situações ausentes em espaços métricos: pontos distintos podem ter as mesmas vizinhanças, sequências podem ter vários limites e conjuntos unitários podem não ser fechados.

Os axiomas de separação estabelecem condições para distinguir pontos por abertos. Partiremos da exigência de distinguir dois pontos e chegaremos à condição de Hausdorff, que exige vizinhanças disjuntas. Posteriormente, a separação entre pontos e fechados e entre pares de fechados levará às noções de regularidade e normalidade.

5.1 Separando pontos

Definição 5.1 (Axiomas de separação)

Seja $X$ um espaço topológico.

$X$ é Kolmogorov, ou $T_0$, se, dados $x\neq y$, existe um aberto que contém um deles e não contém o outro.
$X$ é Fréchet, ou $T_1$, se, dados $x\neq y$, existe um aberto $U$ com $x\in U$ e $y\notin U$, e existe um aberto $V$ com $y\in V$ e $x\notin V$.
$X$ é Hausdorff, ou $T_2$, se, dados $x\neq y$, existem abertos disjuntos $U,V$ tais que $x\in U$ e $y\in V$.

As condições formam uma cadeia:

\[ T_2 \Longrightarrow T_1 \Longrightarrow T_0. \]

Cada passo acrescenta uma forma mais forte de distinguir pontos. Em um espaço $T_0$, sabemos ao menos que dois pontos não têm exatamente a mesma informação topológica. Em um espaço $T_1$, cada ponto pode ser excluído por uma vizinhança do outro. Em um espaço Hausdorff, os dois pontos podem ser isolados um do outro simultaneamente.

Exemplo 5.2

Um espaço indiscreto com pelo menos dois pontos não é $T_0$.
O espaço de Sierpiński é $T_0$, mas não é $T_1$.
Todo espaço discreto é Hausdorff.
Todo espaço métrico é Hausdorff: se $x\neq y$, tome $r\lt d(x,y)/2$; então $B(x,r)$ e $B(y,r)$ são disjuntas.
Um conjunto infinito com a topologia cofinita é $T_1$, mas não é Hausdorff. De fato, pontos são fechados, mas dois abertos não vazios sempre se intersectam.
A topologia de Zariski em $\mathbb {R}^n$ é $T_1$ e, para $n\geq 1$, não é Hausdorff.

A condição $T_0$ pode ser caracterizada pelos fechos dos conjuntos unitários.

Proposição 5.3

Um espaço $X$ é $T_0$ se, e somente se,

\[ x\neq y \quad \Longrightarrow \quad \overline{\{ x\} }\neq \overline{\{ y\} }. \]

Demonstração ▼

Suponha primeiro que $X$ seja $T_0$ e sejam $x\neq y$. Sem perda de generalidade, existe um aberto $U$ com $x\in U$ e $y\notin U$. Então $x\notin \overline{\{ y\} }$, pois $U$ é uma vizinhança de $x$ que não encontra $\{ y\} $. Como $x\in \overline{\{ x\} }$, os dois fechos são distintos.

Reciprocamente, se $X$ não é $T_0$, existem $x\neq y$ tais que todo aberto que contém um deles contém também o outro. Assim, $x\in \overline{\{ y\} }$ e $y\in \overline{\{ x\} }$. Pela monotonicidade do fecho,

\[ \overline{\{ x\} }\subset \overline{\{ y\} } \quad \text{e}\quad \overline{\{ y\} }\subset \overline{\{ x\} }, \]

logo os fechos coincidem.

Para $T_1$, a caracterização é dada pelo fechamento dos conjuntos unitários.

Proposição 5.4

Para um espaço topológico $X$, são equivalentes:

$X$ é $T_1$;
todo conjunto unitário $\{ x\} $ é fechado;
todo subconjunto $A\subset X$ é interseção dos abertos que o contêm.

Demonstração ▼

Se $X$ é $T_1$ e $x\in X$, então, para cada $y\neq x$, existe um aberto $U_y$ que contém $y$ e não contém $x$. Logo

\[ X\setminus \{ x\} =\bigcup _{y\neq x}U_y \]

é aberto, e $\{ x\} $ é fechado.

Se pontos são fechados, então

\[ A=\bigcap _{x\notin A}(X\setminus \{ x\} ), \]

uma interseção de abertos que contêm $A$.

Finalmente, aplicando o terceiro item a $A=\{ x\} $, para cada $y\neq x$ algum aberto da interseção contém $x$ e exclui $y$. Trocando os papéis de $x$ e $y$ obtemos a condição $T_1$.

A condição Hausdorff está ligada a resultados de unicidade. O primeiro exemplo é o limite de uma sequência.

Proposição 5.5

Em um espaço Hausdorff, uma sequência converge para no máximo um ponto.

Demonstração ▼

Suponha $x_n\to x$ e $x_n\to y$, com $x\neq y$. Escolha vizinhanças abertas disjuntas $U\ni x$ e $V\ni y$. A partir de certo índice, $x_n\in U$; a partir de outro, $x_n\in V$. Para índices suficientemente grandes teríamos então $x_n\in U\cap V=\varnothing $, absurdo.

O mesmo princípio vale para funções: em contradomínios Hausdorff, uma função contínua fica determinada por seus valores num conjunto denso.

Proposição 5.6

Sejam $f,g:X\to Y$ contínuas, com $Y$ Hausdorff. Se existe um conjunto denso $D\subset X$ tal que $f|_D=g|_D$, então $f=g$ em todo $X$.

Demonstração ▼

Suponha, por absurdo, que $f(x)\neq g(x)$ para algum $x\in X$. Escolha abertos disjuntos $U\ni f(x)$ e $V\ni g(x)$. O conjunto

\[ W=f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V) \]

é aberto, contém $x$ e, portanto, encontra $D$. Se $d\in W\cap D$, então $f(d)\in U$ e $g(d)\in V$, mas $f(d)=g(d)$, contradizendo $U\cap V=\varnothing $.

5.2 Comportamento sob construções

Os axiomas de separação são propriedades topológicas e, portanto, são preservados por homeomorfismos. Resta examinar seu comportamento sob as construções básicas do capítulo anterior.

5.2.1 Subespaços

Proposição 5.7

Todo subespaço de um espaço $T_i$ é $T_i$, para $i=0,1,2$.

Demonstração ▼

Se $S\subset X$ e dois pontos de $S$ são separados em $X$ pelos abertos exigidos pelo axioma correspondente, as interseções desses abertos com $S$ continuam abertas em $S$ e preservam as mesmas relações de incidência e disjunção.

5.2.2 Produtos

Proposição 5.8

Se $(X_j)_{j\in J}$ é uma família não vazia de espaços $T_i$, então

\[ \prod _{j\in J}X_j \]

é $T_i$, para $i=0,1,2$.

Demonstração ▼

Se $x\neq y$ no produto, existe uma coordenada $j_0$ tal que $x_{j_0}\neq y_{j_0}$. Para $T_0$ ou $T_1$, use nessa coordenada os abertos que distinguem os pontos e tome suas imagens inversas pela projeção $\pi _{j_0}$.

No caso Hausdorff, escolha abertos disjuntos $U,V\subset X_{j_0}$ com $x_{j_0}\in U$ e $y_{j_0}\in V$. Então

\[ \pi _{j_0}^{-1}(U)\quad \text{e}\quad \pi _{j_0}^{-1}(V) \]

são abertos disjuntos do produto contendo, respectivamente, $x$ e $y$.

A prova anterior mostra um princípio simples da topologia produto: para separar dois pontos, é suficiente usar uma coordenada em que eles diferem. Não é necessário restringir todas as coordenadas.

5.2.3 Somas

Proposição 5.9

Uma soma arbitrária de espaços $T_i$ é $T_i$, para $i=0,1,2$.

Demonstração ▼

Dois pontos que pertencem ao mesmo somando são separados dentro dele e, como a inclusão do somando é um mergulho aberto, os mesmos abertos funcionam na soma. Se pertencem a somandos distintos, os próprios somandos são abertos disjuntos.

5.2.4 Quocientes

A passagem a um quociente pode deixar de preservar os axiomas de separação.

Exemplo 5.10 (Um quociente que deixa de ser Hausdorff)

Considere $\mathbb {R}$ com a topologia usual e colapse todos os racionais a um único ponto. No quociente $\mathbb {R}/\mathbb {Q}$, qualquer aberto não vazio contém o ponto $[\mathbb {Q}]$: se um aberto do quociente não o contivesse, sua imagem inversa seria um aberto não vazio de $\mathbb {R}$ disjunto de $\mathbb {Q}$, o que é impossível pela densidade dos racionais. Assim, o quociente não é $T_1$ e, em particular, não é Hausdorff.

Mesmo $T_0$ pode se perder.

Exemplo 5.11 (Um quociente que deixa de ser $T_0$)

Considere $X=\{ 0,1,2\} $ com a topologia

\[ \{ \varnothing ,\{ 2\} ,\{ 1,2\} ,X\} . \]

Esse espaço é $T_0$. Identifique então $0\sim 2$ e deixe $1$ sozinho. Os únicos abertos saturados de $X$ são $\varnothing $ e $X$; portanto o quociente tem dois pontos e topologia indiscreta. Logo não é $T_0$.

Consequentemente, sem hipóteses adicionais, quocientes não preservam nenhum dos três axiomas de separação considerados aqui.

Exemplo 5.12 (Um quociente de grupo que não é Hausdorff)

O círculo é Hausdorff, pois é métrico. Contudo, $\mathbb {R}/\mathbb {Q}$, com a topologia quociente do grupo aditivo, tem a topologia trivial. Para ver isso, seja $V$ um aberto não vazio do quociente e ponha $U=\pi ^{-1}(V)$. O conjunto $U$ é aberto, não vazio e satisfaz $U+\mathbb {Q}=U$. Ele contém um intervalo aberto $J$; pela densidade de $\mathbb {Q}$, $J+\mathbb {Q}=\mathbb {R}$. Logo $U=\mathbb {R}$ e $V=\mathbb {R}/\mathbb {Q}$. Como existem classes distintas, esse quociente não é $T_0$, embora suas operações sejam contínuas.

Esse exemplo explica por que nossa definição de grupo topológico não impõe automaticamente um axioma de separação. Ele também contrasta com $\mathbb {R}/\mathbb {Z}\cong \mathbb S^1$: $\mathbb {Z}$ é fechado, enquanto $\mathbb {Q}$ é denso e próprio.

5.2.5 Resumo

	Subespaços	Quocientes	Produtos	Somas
$T_0$	Sim	Não	Sim	Sim
$T_1$	Sim	Não	Sim	Sim
$T_2$	Sim	Não	Sim	Sim

A condição de Hausdorff também pode ser caracterizada pela topologia produto: $X$ é Hausdorff se, e somente se, a diagonal

\[ \Delta _X=\{ (x,x):x\in X\} \]

é fechada em $X\times X$. A demonstração é proposta como exercício.

Exercício 5.1

Prove que $X$ é Hausdorff se, e somente se, a diagonal $\Delta _X\subset X\times X$ é fechada.

Exercício 5.2

Prove que $X$ é $T_1$ se, e somente se, para todo $A\subset X$, $A$ é a interseção de todos os abertos que o contêm.

Exercício 5.3

Seja $X$ um espaço $T_1$ e $x$ um ponto de acumulação de $A\subset X$. Mostre que toda vizinhança de $x$ contém infinitos pontos de $A$.

Exercício 5.4

Sejam $\tau \subset \sigma $ topologias no mesmo conjunto $X$. Para $i\in \{ 0,1,2\} $, determine quais das seguintes implicações são verdadeiras:

$(X,\tau )$ é $T_i$ $\Rightarrow $ $(X,\sigma )$ é $T_i$;
$(X,\sigma )$ é $T_i$ $\Rightarrow $ $(X,\tau )$ é $T_i$.

Exercício 5.5

Seja

\[ \tau =\{ U\subset \mathbb {R}: \forall x\in U\setminus \mathbb {Q}\ \exists \varepsilon \gt 0 \text{ tal que }(x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\cap \mathbb {Q}\subset U\} . \]

Determine, para $i=0,1,2$, se $(\mathbb {R},\tau )$ é $T_i$.

Exercício 5.6

Mostre que, se toda sequência em $X$ possui no máximo um limite, então $X$ é $T_1$. Mostre ainda que, se $X$ é primeiro-enumerável, essa condição implica que $X$ é Hausdorff.

Exercício 5.7

Seja $X$ um espaço discreto. Mostre que, na topologia da caixa em $X^{\mathbb {N}}$, toda sequência convergente é eventualmente constante.

Exercício 5.8

Considere $[0,1]$ e a relação

\[ x\sim y \Longleftrightarrow x=y \text{ ou } x,y\in (0,1). \]

Mostre que o quociente não é $T_1$.

Exercício 5.9

Prove diretamente que produtos e somas arbitrárias de espaços $T_0$ são $T_0$.

Exercício 5.10

Prove diretamente que produtos e somas arbitrárias de espaços $T_1$ são $T_1$.

A cadeia $T_2\Rightarrow T_1\Rightarrow T_0$ reúne condições progressivamente mais fortes de separação, de $T_0$ a $T_2$. No capítulo seguinte, estudaremos outra propriedade das famílias de abertos: a possibilidade de descrever a topologia, local ou globalmente, por famílias enumeráveis.

5.3 Exercícios complementares

listas:src-039[Básico] listas:src-039 Seja $X$ um espaço topológico. Mostre que $X$ é $T_1$ se, e somente se, $\{ x\} $ é a intersecção de todas as vizinhanças de $x$, qualquer que seja $x \in X$.

Solução

Se $X$ é $T_1$, para cada $y\neq x$ o aberto $X\setminus \{ y\} $ é vizinhança de $x$ e exclui $y$; a interseção é $\{ x\} $. Reciprocamente, a igualdade fornece, para todo $x\neq y$, uma vizinhança aberta de $x$ que exclui $y$, e também uma de $y$ que exclui $x$. Isso é $T_1$.

listas:src-041[Básico] listas:src-041 Sejam $\tau $ e $\sigma $ topologias sobre um conjunto X tais que $\tau \subseteq \sigma $. Seja, também, $i \in \{ 1, 2\} $.

Se $(X, \tau )$ é $T_i$, então $(X, \sigma )$ também o é?
Se $(X, \sigma )$ é $T_i$, então $(X, \tau )$ também o é?

Solução

(a) Sim: as vizinhanças usadas para separar pontos em $\tau $ continuam abertas em $\sigma $. (b) Não: em um conjunto com dois pontos, a topologia discreta é $T_1$ e $T_2$, mas a caótica, que é mais grossa, não é nenhuma delas.

listas:src-042[Intermediário] listas:src-042 Seja $X$ um conjunto infinito.

Seja $\tau $ a topologia cofinita sobre $X$. Mostre que $\tau $ é a menor (no sentido da inclusão) topologia $T_1$ sobre $X$ — ou seja, mostre que $(X, \tau )$ é $T_1$ e que se $\sigma $ é uma outra topologia sobre $X$ tal que $(X, \sigma )$ é $T_1$, então $\tau \subseteq \sigma $).
Mostre que não existe uma topologia sobre $X$ que é a menor topologia $T_2$ sobre $X$. [Sugestão: Fixe $x_1, x_2 \in X$ distintos e sejam $\tau _1$ e $\tau _2$, respectivamente, as topologias apresentadas no Exercício 2.5. Mostre que $(X, \tau _1)$ e $(X, \tau _2)$ são $T_2$, mas que $(X, \tau _1 \cap \tau _2)$ não é $T_2$.]

Solução

(a) Os unitários são fechados na topologia cofinita. Em qualquer topologia $T_1$, conjuntos finitos são fechados, logo todos os cofinitos são abertos. (b) Nas topologias do Exercício 2.5, os pontos diferentes do ponto especial são isolados; para separar o ponto especial de $y$, use $X\setminus \{ y\} $ e $\{ y\} $. Ambas são $T_2$. Na interseção, todo aberto que contém $x_1$ ou $x_2$ é cofinito; dois deles se intersectam, logo $x_1,x_2$ não têm vizinhanças disjuntas. Uma menor topologia $T_2$ teria de estar contida nessa interseção, o que é impossível.

listas:src-067[Intermediário] listas:src-067 Mostre que se $\{ X_i : i \in I\} $ é uma família de espaços topológicos $T_1$ (respectivamente, $T_2$), então $\prod _{i \in I} X_i$ também é $T_1$ (respectivamente, $T_2$) considerando $ \prod _{j \in J} {X_i}$ com a topologia produto ou com a topologia box.

Solução

Pontos distintos do produto diferem em alguma coordenada. Para $T_1$, use nessa coordenada um aberto que contenha um ponto e exclua o outro; para $T_2$, use dois abertos disjuntos. Seus cilindros separam os pontos no produto e também são abertos na topologia da caixa.

listas:src-213[Avançado] listas:src-213 Seja $X$ um espaço topológico.

Mostre que se $X$ é $T_2$, então toda sequência em $X$ tem no máximo um limite.
Mostre que se toda sequência em $X$ tem no máximo um limite, então $X$ é $T_1$.
Mostre que se satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade e é tal que toda sequência em $X$ tem no máximo um limite, então $X$ é $T_2$.

Solução

(1) Vizinhanças disjuntas de dois supostos limites deveriam conter simultaneamente todos os termos suficientemente tardios, uma contradição. (2) Se $X$ não é $T_1$, existem $x\neq y$ com $y\in \overline{\{ x\} }$; a sequência constante $x$ converge a ambos. (3) Se $x\neq y$ não têm vizinhanças disjuntas, escolha bases locais decrescentes $U_n,V_n$ e $z_n\in U_n\cap V_n$. Então $z_n\to x,y$, contradizendo a unicidade.

listas:src-342[Básico] listas:src-342 Seja $(X,\tau )$ um espaço topológico. Prove que $(X,\tau )$ é $T_1$ se, e somente se, para todo $A\subseteq X$ existe $\mathcal{U}\subseteq \tau $ não vazio tal que $A=\bigcap \mathcal{U}$.

Solução

Em um espaço $T_1$, para $A\neq X$ temos $A=\bigcap _{x\notin A}(X\setminus \{ x\} )$; para $A=X$, use a família $\{ X\} $. Reciprocamente, escreva $\{ x\} $ como interseção de abertos. Para $y\neq x$, algum deles contém $x$ e exclui $y$; trocando os pontos, obtemos $T_1$.

listas:src-343[Intermediário] listas:src-343 Seja $X$ um espaço topológico. Mostre que $X$ é $T_1$ se, e somente se, dados $A\subseteq X$ e $x\in X$ arbitrários tais que $x$ é ponto de acumulação de $A$, tem-se que toda vizinhança de $x$ contém infinitos pontos de $A$.

Solução

Se $X$ é $T_1$ e uma vizinhança $U$ de um ponto de acumulação $x$ encontra $A$ em apenas finitos pontos, retire de $U$ os pontos desse encontro diferentes de $x$. Restará uma vizinhança que evita $A\setminus \{ x\} $, contradição. Reciprocamente, se $X$ não é $T_1$, há $y\neq x$ em $\overline{\{ x\} }$; então $y$ é ponto de acumulação do conjunto finito $\{ x\} $, contrariando a hipótese.

listas:src-345[Avançado] listas:src-345

Sejam $X$ um conjunto infinito e $\tau $ a topologia cofinita sobre $X$. Mostre que $\tau $ é a menor (no sentido da inclusão) topologia $T_1$ sobre $X$ — ou seja, mostre que $(X,\tau )$ é um espaço $T_1$ e que, se $\tau '$ é uma outra topologia sobre $X$ tal que $(X,\tau ')$ é um espaço $T_1$, então $\tau \subseteq \tau '$.
Mostre que não existe uma topologia sobre $X$ que é a menor topologia $T_2$ sobre $X$.

[Sugestão: Exiba duas topologias $\tau _1$ e $\tau _2$ sobre $X$ tais que:
- os espaços $(X,\tau _1)$ e $(X,\tau _2)$ são $T_2$;
- $\tau _1\cap \tau _2$ é a topologia cofinita sobre $X$.]

Solução

(a) Unitários são fechados na cofinita; em qualquer topologia $T_1$, todos os finitos são fechados, portanto todos os cofinitos são abertos. (b) Use as duas topologias com pontos especiais distintos do Exercício 2.5. Ambas são Hausdorff, mas, na interseção, vizinhanças dos dois pontos especiais são cofinitas e nunca disjuntas. Logo não pode haver uma menor topologia Hausdorff. A igualdade com a topologia cofinita proposta na sugestão é desnecessária e, para essas duas topologias, não vale em geral: conjuntos que evitam os dois pontos especiais também podem pertencer à interseção.

listas:src-346[Avançado] listas:src-346 Considere as seguintes afirmações sobre um espaço topológico $X$:

$X$ é $T_2$.
Toda sequência em $X$ tem no máximo um limite.
$X$ é $T_1$.

Prove que:

$(i)\Rightarrow (ii)\Rightarrow (iii)$;
$(iii)\not\Rightarrow (ii)\not\Rightarrow (i)$;
se $X$ tem caráter enumerável, então $(ii)\Rightarrow (i)$.

Solução

(a) Hausdorff implica unicidade de limites por vizinhanças disjuntas; se um unitário não é fechado, sua sequência constante tem dois limites, logo a unicidade implica $T_1$. (b) Na topologia cofinita de $\mathbb {N}$, uma sequência injetora converge a todos os pontos: $T_1$ não basta. Na topologia coenumerável de um conjunto não enumerável, uma sequência convergente é eventualmente igual ao limite, pois podemos excluir da vizinhança todos os outros valores da sequência. Assim os limites são únicos, mas dois abertos não vazios sempre se intersectam, logo o espaço não é Hausdorff. (c) Para dois pontos inseparáveis, bases locais decrescentes $U_n,V_n$ permitem escolher $z_n\in U_n\cap V_n$, sequência com dois limites.

listas:src-347[Intermediário] listas:src-347 Seja $X$ um espaço topológico. Prove que $X$ é $T_2$ se, e somente se, $\{ (x,x):x\in X\} $ é um subconjunto fechado do produto $X\times X$.

Solução

Se $X$ é Hausdorff, para $(x,y)$ fora da diagonal há abertos disjuntos $U\ni x,V\ni y$; $U\times V$ evita a diagonal. Reciprocamente, se a diagonal é fechada, um retângulo aberto em seu complemento em torno de $(x,y)$ fornece $U\cap V=\varnothing $, separando $x$ e $y$.

listas:src-358[Intermediário] listas:src-358 Seja $X$ um espaço topológico. Mostre que:

$X$ é $T_1$ se, e somente se, para todo $x\in X$ e todo sistema fundamental de vizinhanças abertas $\mathcal{V}_x$ para $X$ em $x$, tem-se que $\bigcap _{V\in \mathcal{V}_x}V=\{ x\} $;
$X$ é $T_2$ se, e somente se, para cada $x\in X$, a intersecção de todas as vizinhanças fechadas de $x$ em $X$ é igual a $\{ x\} $.
[Obs.: Note que isso não é equivalente à afirmação “para cada $x\in X$, a família de todas as vizinhanças fechadas de $x$ em $X$ é um sistema fundamental de vizinhanças para $x$ em $X$”.]

Solução

(a) Em $T_1$, para $y\neq x$, a base local refina o aberto $X\setminus \{ y\} $, excluindo $y$ da interseção. Reciprocamente, a igualdade fornece abertos que distinguem os pontos nos dois sentidos. (b) Em $T_2$, separe $x,y$ por abertos disjuntos $U,V$; $X\setminus V$ é vizinhança fechada de $x$ que exclui $y$. Reciprocamente, uma vizinhança fechada $F$ de $x$ que exclui $y$ fornece os abertos disjuntos $\operatorname {int}F$ e $X\setminus F$. Excluir cada outro ponto dessa forma não exige que esses fechados refinem toda vizinhança de $x$.

listas:src-359[Avançado] listas:src-359 Seja $X$ um conjunto infinito.

Mostre que, se $\tau $ é a topologia cofinita sobre $X$, então $\tau $ é a menor (no sentido da inclusão) topologia $T_1$ sobre $X$ — ou seja, mostre que $(X,\tau )$ é um espaço $T_1$ e que, se $\tau '$ é uma outra topologia sobre $X$ tal que $(X,\tau ')$ é um espaço $T_1$, então $\tau \subseteq \tau '$.
Mostre que não existe uma topologia sobre $X$ que é a menor topologia $T_2$ sobre $X$.

[Sugestão: Exiba duas topologias $\tau _1$ e $\tau _2$ sobre $X$ tais que:
- os espaços $(X,\tau _1)$ e $(X,\tau _2)$ são $T_2$;
- $\tau _1\cap \tau _2$ é a topologia cofinita sobre $X$.]

Solução

(a) Toda topologia $T_1$ torna finitos fechados e, portanto, cofinitos abertos; a própria cofinita é $T_1$. (b) Escolha pontos especiais distintos e as topologias do Exercício 2.5. Os pontos comuns são isolados e cada ponto especial é separado de $y$ por $X\setminus \{ y\} $ e $\{ y\} $; ambas são Hausdorff. Sua interseção não separa os pontos especiais, cujas vizinhanças são cofinitas. Isso basta para excluir uma menor topologia $T_2$, sem exigir a igualdade adicional sugerida com a cofinita.

listas:src-379[Avançado] listas:src-379 Considere as seguintes afirmações sobre um espaço topológico $X$:

$X$ é $T_2$.
Para cada sequência em $X$, existe no máximo um ponto para o qual ela converge.
$X$ é $T_1$.

Prove que:

$(i)\Rightarrow (ii)\Rightarrow (iii)$;
$(iii)\not\Rightarrow (ii)\not\Rightarrow (i)$;
se $X$ tem caráter enumerável, então $(ii)\Rightarrow (i)$.

Solução

(a) Vizinhanças disjuntas impedem dois limites. Se um unitário não é fechado, a sequência constante nesse ponto converge também a algum ponto de seu fecho diferente dele; logo a unicidade implica $T_1$. (b) Uma sequência injetora em $\mathbb {N}$ cofinita converge a todos os pontos, embora o espaço seja $T_1$. Na topologia coenumerável de um conjunto não enumerável, toda sequência convergente é eventualmente constante no limite, que é único, mas o espaço não é Hausdorff. (c) Bases locais decrescentes $U_n,V_n$ em dois pontos que não admitem vizinhanças disjuntas produzem $z_n\in U_n\cap V_n$, uma sequência que converge aos dois.

listas:src-380[Avançado] listas:src-380 Seja $X$ um conjunto infinito.

Mostre que a topologia cofinita é a menor topologia $T_1$ sobre $X$ — ou seja, mostre que, se $\tau $ é a topologia cofinita sobre $X$, então $(X,\tau )$ é um espaço $T_1$ e, para toda topologia $\tau '$ sobre $X$ tal que $(X,\tau ')$ é um espaço $T_1$, tem-se que $\tau \subseteq \tau '$.
Mostre que não existe uma topologia sobre $X$ que é a menor topologia $T_2$ sobre $X$. [Sugestão: Fixe $x_1,x_2\in X$ distintos e sejam $\tau _1$ e $\tau _2$, respectivamente, as topologias sobre $X$ que têm
\[ \mathcal{B}_1=\{ \{ x\} :x\in X\setminus \{ x_1\} \} \cup \{ X\setminus F:F\subseteq X\textrm{ é finito}\} \]
e
\[ \mathcal{B}_2=\{ \{ x\} :x\in X\setminus \{ x_2\} \} \cup \{ X\setminus F:F\subseteq X\textrm{ é finito}\} \]
como bases de abertos. Mostre que $(X,\tau _1)$ e $(X,\tau _2)$ são espaços $T_2$, mas o espaço $(X,\tau _1\cap \tau _2)$ não é $T_2$.]

Solução

(a) A cofinita é $T_1$, e seus abertos pertencem a toda topologia $T_1$, pois finitos são fechados. (b) Nas bases propostas, cada ponto não especial é isolado; o ponto especial e $y$ são separados por $X\setminus \{ y\} $ e $\{ y\} $. Logo ambas as topologias são $T_2$. Na interseção, todo aberto que contém um dos pontos especiais é cofinito; em um conjunto infinito, duas dessas vizinhanças se intersectam. Portanto a interseção não é Hausdorff, excluindo uma menor topologia $T_2$.