Capítulo 10

Espaços Regulares e Normais

Os axiomas \(T_0\), \(T_1\) e \(T_2\) estabelecem condições para distinguir pontos por abertos. Regularidade e normalidade tratam da separação entre um ponto e um fechado que não o contém e entre dois fechados disjuntos, respectivamente.

O estudo dessas condições conduzirá à construção de funções contínuas que separam conjuntos. O lema de Urysohn e o teorema de extensão de Tietze estabelecerão essa relação para espaços normais. A separação de pontos e fechados por funções contínuas levará, em seguida, aos espaços de Tychonoff e à compactificação de Stone–Čech.

10.1 Espaços regulares

Definição 10.1 (Regularidade)

Um espaço topológico \(X\) é regular se, dados um fechado \(F\subset X\) e um ponto \(x\notin F\), existem abertos disjuntos \(U,V\subset X\) tais que

\[ F\subset U, \qquad x\in V. \]

Dizemos que \(X\) é \(T_3\) quando é regular e \(T_1\).

A condição \(T_1\) não faz parte da definição de regularidade adotada aqui. Essa convenção separa duas ideias distintas: regularidade controla a separação entre pontos e fechados; \(T_1\) garante que os próprios pontos sejam fechados.

Exemplo 10.2

Todo espaço discreto é \(T_3\).
Todo espaço métrico é \(T_3\).
Um espaço indiscreto é regular, mas, se possui mais de um ponto, não é \(T_1\) e portanto não é \(T_3\).
O espaço de Sierpiński não é regular.

A regularidade pode ser caracterizada pela existência, dentro de uma vizinhança aberta dada, de outra vizinhança cujo fecho ainda esteja contido na primeira.

Proposição 10.3 (Caracterizações da regularidade)

Para um espaço topológico \(X\), são equivalentes:

\(X\) é regular;
se \(x\in U\) e \(U\) é aberto, existe um aberto \(V\) tal que

\[ x\in V\subset \overline V\subset U; \]
todo ponto possui uma base de vizinhanças fechadas.

Demonstração ▼

Suponha \(X\) regular e tome \(x\in U\) aberto. O conjunto \(F=X\setminus U\) é fechado e não contém \(x\). Escolha abertos disjuntos \(V\ni x\) e \(W\supset F\). Como \(V\cap W=\varnothing \), temos

\[ x\in V\subset \overline V\subset X\setminus W\subset U. \]

Isso prova a segunda condição. Ela implica a terceira, pois os fechamentos \(\overline V\) assim obtidos são vizinhanças fechadas que refinam qualquer vizinhança aberta de \(x\).

Reciprocamente, seja \(F\) fechado e \(x\notin F\). Pela terceira condição, existe uma vizinhança fechada \(K\) de \(x\) contida em \(X\setminus F\). Escolha um aberto \(V\) com \(x\in V\subset K\). Então \(V\) e \(X\setminus K\) são abertos disjuntos, contendo respectivamente \(x\) e \(F\).

Proposição 10.4

Todo subespaço de um espaço regular é regular. Consequentemente, todo subespaço de um espaço \(T_3\) é \(T_3\).

Demonstração ▼

Se \(S\subset X\), \(A\) é fechado em \(S\) e \(x\in S\setminus A\), escreva \(A=S\cap F\) com \(F\) fechado em \(X\). Como \(x\notin F\), a regularidade de \(X\) fornece abertos disjuntos \(U,V\) com \(F\subset U\) e \(x\in V\). As interseções \(U\cap S\) e \(V\cap S\) são abertos disjuntos em \(S\), contendo respectivamente \(A\) e \(x\).

Proposição 10.5

Um produto arbitrário de espaços regulares é regular. Portanto, um produto arbitrário de espaços \(T_3\) é \(T_3\).

Demonstração ▼

Seja \(X=\prod _{i\in I}X_i\), suponha cada \(X_i\) regular e tome um aberto \(U\) que contém \(x=(x_i)\). Escolha um aberto básico

\[ x\in B=\bigcap _{j\in J}\pi _j^{-1}(U_j)\subset U, \]

com \(J\) finito. Para cada \(j\in J\), pela regularidade de \(X_j\), escolha um aberto \(V_j\) com

\[ x_j\in V_j\subset \overline{V_j}\subset U_j. \]

Então

\[ V=\bigcap _{j\in J}\pi _j^{-1}(V_j) \]

é aberto, contém \(x\) e satisfaz \(\overline V\subset B\subset U\). Pela caracterização anterior, o produto é regular.

10.2 Espaços normais

Regularidade separa um ponto de um fechado. Normalidade pede a mesma possibilidade para dois fechados.

Definição 10.6 (Normalidade)

Um espaço topológico \(X\) é normal se, dados fechados disjuntos \(A,B\subset X\), existem abertos disjuntos \(U,V\) tais que

\[ A\subset U, \qquad B\subset V. \]

Dizemos que \(X\) é \(T_4\) quando é normal e \(T_1\).

Exemplo 10.7

Todo espaço métrico é normal. Se \(A\) e \(B\) são fechados disjuntos, as funções \(x\mapsto d(x,A)\) e \(x\mapsto d(x,B)\) são contínuas, e os conjuntos

\[ U=\{ x:d(x,A)\lt d(x,B)\} , \qquad V=\{ x:d(x,B)\lt d(x,A)\} \]

são abertos disjuntos contendo, respectivamente, \(A\) e \(B\). Assim todo espaço métrico é \(T_4\).

Exemplo 10.8

Todo espaço compacto Hausdorff é normal. De fato, o capítulo de compacidade mostrou que um ponto e um compacto disjunto podem ser separados por abertos; uma segunda aplicação da compacidade separa então dois compactos disjuntos. Como, em um compacto Hausdorff, os fechados são compactos, obtemos normalidade.

A normalidade também possui uma forma de encolhimento.

Proposição 10.9 (Caracterização da normalidade)

Um espaço \(X\) é normal se, e somente se, sempre que \(F\subset U\), com \(F\) fechado e \(U\) aberto, existe um aberto \(V\) tal que

\[ F\subset V\subset \overline V\subset U. \]

Demonstração ▼

Se \(X\) é normal, separe os fechados \(F\) e \(X\setminus U\) por abertos disjuntos \(V\) e \(W\). Então

\[ F\subset V\subset \overline V\subset X\setminus W\subset U. \]

Reciprocamente, dados fechados disjuntos \(F,G\), aplique a hipótese a \(F\subset X\setminus G\). Obtenha um aberto \(V\) com \(F\subset V\subset \overline V\subset X\setminus G\). Então \(V\) e \(X\setminus \overline V\) são abertos disjuntos contendo \(F\) e \(G\).

Exemplo 10.10 (A reta de Sorgenfrey)

A reta de Sorgenfrey é normal. Se \(A\) e \(B\) são fechados disjuntos, para cada \(a\in A\) escolha \(a'\gt a\) de modo que \([a,a')\cap B=\varnothing \), e para cada \(b\in B\) escolha \(b'\gt b\) com \([b,b')\cap A=\varnothing \). Então

\[ U=\bigcup _{a\in A}[a,a'), \qquad V=\bigcup _{b\in B}[b,b') \]

são abertos contendo \(A\) e \(B\). Se \(a\lt b\), a condição \([a,a')\cap B=\varnothing \) força \(a'\leq b\); se \(b\lt a\), analogamente \(b'\leq a\). Logo os intervalos usados na construção de \(U\) e \(V\) são sempre disjuntos, e \(U\cap V=\varnothing \).

Normalidade não é hereditária para subespaços arbitrários, mas é para subespaços fechados.

Proposição 10.11

Todo subespaço fechado de um espaço normal é normal. Em particular, todo subespaço fechado de um espaço \(T_4\) é \(T_4\).

Demonstração ▼

Se \(S\) é fechado em \(X\) e \(A,B\) são fechados disjuntos em \(S\), então \(A\) e \(B\) também são fechados em \(X\). Separe-os em \(X\) por abertos disjuntos e intersecte esses abertos com \(S\).

A normalidade é preservada pelas aplicações que satisfazem as hipóteses da proposição seguinte.

Proposição 10.12

Se \(f:X\to Y\) é contínua, fechada e sobrejetiva e \(X\) é normal, então \(Y\) é normal.

Demonstração ▼

Sejam \(A,B\subset Y\) fechados disjuntos. Os conjuntos \(f^{-1}(A)\) e \(f^{-1}(B)\) são fechados disjuntos em \(X\). Escolha abertos disjuntos \(U,V\) que os contenham. Defina

\[ U'=Y\setminus f(X\setminus U), \qquad V'=Y\setminus f(X\setminus V). \]

Como \(f\) é fechada, \(U'\) e \(V'\) são abertos. Além disso, \(A\subset U'\) e \(B\subset V'\). Finalmente, \(f^{-1}(U')\subset U\) e \(f^{-1}(V')\subset V\), de modo que \(U'\cap V'=\varnothing \) pela sobrejetividade de \(f\).

A propriedade de Lindelöf permite deduzir a normalidade a partir da regularidade.

Teorema 10.13 (Regular + Lindelöf implica normal)

Todo espaço regular e Lindelöf é normal.

Demonstração ▼

Sejam \(A,B\) fechados disjuntos. Pela regularidade, para cada \(a\in A\) existe um aberto \(U_a\) tal que

\[ a\in U_a, \qquad \overline{U_a}\cap B=\varnothing . \]

Como \(A\) é fechado em um espaço Lindelöf, é Lindelöf. Escolha uma subcobertura enumerável \(U_1,U_2,\ldots \) de \(A\). Do mesmo modo, escolha abertos \(V_1,V_2,\ldots \) cobrindo \(B\) com \(\overline{V_n}\cap A=\varnothing \).

Defina

\[ U=\bigcup _{n\geq 1}\left(U_n\setminus \bigcup _{k\leq n}\overline{V_k}\right), \]

\[ V=\bigcup _{n\geq 1}\left(V_n\setminus \bigcup _{k\leq n}\overline{U_k}\right). \]

Cada termo das uniões é aberto. Como os fechos \(\overline{V_k}\) não encontram \(A\), temos \(A\subset U\); analogamente, \(B\subset V\).

Se um ponto pertencesse simultaneamente ao termo de índice \(n\) da primeira união e ao termo de índice \(m\) da segunda, então, se \(n\leq m\), o segundo termo o excluiria por pertencer a \(\overline{U_n}\); se \(m\lt n\), o primeiro o excluiria por pertencer a \(\overline{V_m}\). Portanto \(U\cap V=\varnothing \).

10.3 O lema de Urysohn

O lema de Urysohn reforça a separação por abertos: em um espaço normal, dois fechados disjuntos podem ser distinguidos por uma função contínua com valores em \([0,1]\) que assume os valores \(0\) e \(1\) sobre eles.

Teorema 10.14 (Lema de Urysohn)

Um espaço topológico \(X\) é normal se, e somente se, para quaisquer fechados disjuntos \(A,B\subset X\) existe uma função contínua

\[ f:X\to [0,1] \]

tal que \(f|_A=0\) e \(f|_B=1\).

Demonstração ▼

Suponha primeiro \(X\) normal. Seja \(D\) o conjunto dos números diádicos de \([0,1]\). Construiremos abertos \((U_r)_{r\in D}\) tais que

\[ A\subset U_0, \qquad \overline{U_r}\subset U_s\quad (r\lt s), \qquad U_1=X\setminus B. \]

Pela caracterização da normalidade, escolha primeiro \(U_0\) com

\[ A\subset U_0\subset \overline{U_0}\subset X\setminus B=U_1. \]

Tendo construído os abertos nos diádicos de denominador \(2^n\), insira entre cada par consecutivo \(r\lt s\) um aberto \(U_{(r+s)/2}\) satisfazendo

\[ \overline{U_r}\subset U_{(r+s)/2} \subset \overline{U_{(r+s)/2}}\subset U_s. \]

Isso é possível novamente pela normalidade.

Defina

\[ f(x)=\inf \bigl(\{ r\in D:x\in U_r\} \cup \{ 1\} \bigr). \]

Como \(A\subset U_0\), temos \(f=0\) em \(A\). Como \(B\) não encontra nenhum \(U_r\) com \(r\leq 1\), temos \(f=1\) em \(B\).

Resta verificar a continuidade. Para \(a\in (0,1]\),

\[ \{ x:f(x)\lt a\} =\bigcup _{r\lt a}U_r, \]

que é aberto. Para \(b\in [0,1)\),

\[ \{ x:f(x)\gt b\} =\bigcup _{r\gt b}\bigl(X\setminus \overline{U_r}\bigr), \]

que também é aberto. Esses conjuntos formam uma sub-base da topologia de \([0,1]\), logo \(f\) é contínua.

Reciprocamente, se tal função existe para todo par de fechados disjuntos, tome

\[ U=f^{-1}\bigl([0,1/3)\bigr), \qquad V=f^{-1}\bigl((2/3,1]\bigr). \]

São abertos disjuntos contendo \(A\) e \(B\). Portanto \(X\) é normal.

O lema de Urysohn transforma separação topológica em uma coordenada real. Essa ideia aparecerá novamente na completa regularidade e na compactificação de Stone–Čech.

Exemplo 10.15 (Separação de fechados no círculo)

Como espaço métrico, \(\mathbb S^1\) é normal. Para dois fechados disjuntos não vazios \(F,K\subseteq \mathbb S^1\), a fórmula

\[ u(z)=\frac{d(z,F)}{d(z,F)+d(z,K)} \]

dá uma função contínua em \([0,1]\), com \(u|_F=0\) e \(u|_K=1\). O denominador é positivo porque \(F\) e \(K\) são fechados e disjuntos. Por exemplo, para \(F=\{ 1\} \) e \(K=\{ -1\} \), temos \(u(z)=|z-1|/(|z-1|+|z+1|)\). As rotações transportam essa construção para qualquer par de pontos. O toro é igualmente normal, usando uma métrica produto. Esse é um uso concreto do lema de Urysohn no exemplo recorrente das notas.

10.3.1 O lema de Jones

Uma consequência do lema de Urysohn fornece um obstáculo à normalidade.

Proposição 10.16 (Lema de Jones)

Se \(X\) é separável e normal e \(D\subset X\) é fechado e discreto, então

\[ 2^{|D|}\leq 2^{\aleph _0}. \]

Em particular, \(|D|\lt 2^{\aleph _0}\).

Demonstração ▼

Para cada \(E\subset D\), os conjuntos \(E\) e \(D\setminus E\) são fechados e disjuntos em \(X\). Pelo lema de Urysohn, existe \(f_E:X\to [0,1]\) com \(f_E(E)=\{ 0\} \) e \(f_E(D\setminus E)=\{ 1\} \). Assim, \(E\mapsto f_E\) é injetiva e

\[ 2^{|D|}\leq |C(X,\mathbb {R})|. \]

Se \(S\subset X\) é denso e enumerável, uma função contínua real é determinada por sua restrição a \(S\), pois \(\mathbb {R}\) é Hausdorff. Logo

\[ |C(X,\mathbb {R})|\leq |\mathbb {R}|^{\aleph _0}=2^{\aleph _0}. \]

A primeira desigualdade segue. Se \(|D|\geq 2^{\aleph _0}\), então, pelo teorema de Cantor, \(2^{|D|}\gt 2^{\aleph _0}\), contradição.

Exemplo 10.17 (O plano de Sorgenfrey não é normal)

O plano de Sorgenfrey \(\mathbb S\times \mathbb S\) é separável: \(\mathbb {Q}^2\) é denso. A antidiagonal

\[ D=\{ (x,-x):x\in \mathbb {R}\} \]

é fechada e discreta na topologia produto de Sorgenfrey, e possui cardinalidade do contínuo. Pelo lema de Jones, o plano de Sorgenfrey não pode ser normal.

Assim, mesmo o produto de dois espaços normais pode deixar de ser normal.

10.4 O teorema de extensão de Tietze

Urysohn prescreve dois valores, \(0\) e \(1\), em dois fechados. O teorema de Tietze substitui esses dois valores por uma função contínua arbitrária definida em um fechado e mostra que ela pode ser estendida ao espaço todo.

A prova parte do seguinte lema de aproximação.

Lema 10.18 (Aproximação)

Se \(X\) é normal, \(A\subset X\) é fechado e \(h:A\to \mathbb {R}\) é contínua com \(|h|\leq M\), então existe uma função contínua \(g:X\to \mathbb {R}\) tal que

\[ |g|\leq \frac M3 \]

\[ |h-g|\leq \frac{2M}{3} \qquad \text{em }A. \]

Demonstração ▼

Os conjuntos

\[ A_- = \{ x\in A:h(x)\leq -M/3\} , \qquad A_+ = \{ x\in A:h(x)\geq M/3\} \]

são fechados em \(X\) e disjuntos. Pelo lema de Urysohn, existe \(u:X\to [0,1]\) com \(u=0\) em \(A_-\) e \(u=1\) em \(A_+\). Faça

\[ g=\frac M3(2u-1). \]

Então \(|g|\leq M/3\). Em \(A_-\) e \(A_+\), a escolha de \(g\) reduz o erro para no máximo \(2M/3\); no conjunto restante, \(|h|\lt M/3\) e \(|g|\leq M/3\), de modo que a mesma estimativa vale.

Teorema 10.19 (Teorema de Extensão de Tietze)

Se \(X\) é normal, \(A\subset X\) é fechado e \(f:A\to \mathbb {R}\) é contínua, então existe uma função contínua \(F:X\to \mathbb {R}\) tal que \(F|_A=f\).

Se \(f(A)\subset [-M,M]\), a extensão pode ser escolhida com \(F(X)\subset [-M,M]\).

Demonstração ▼

Suponha primeiro \(|f|\leq 1\). Aplique o lema anterior a \(f\) e obtenha \(g_0\) com \(\| g_0\| _\infty \leq 1/3\) e

\[ |f-g_0|\leq 2/3 \qquad \text{em }A. \]

Aplique o lema novamente ao resíduo \(f-g_0|_A\), depois ao novo resíduo, e assim por diante. Obtemos funções contínuas \(g_n:X\to \mathbb {R}\) tais que

\[ \| g_n\| _\infty \leq \frac13\left(\frac23\right)^n \]

\[ \left|f-\sum _{k=0}^n g_k\right| \leq \left(\frac23\right)^{n+1} \qquad \text{em }A. \]

A série \(\sum g_n\) converge uniformemente em \(X\). Portanto

\[ F=\sum _{n=0}^\infty g_n \]

é contínua. Em \(A\), o erro tende a zero, logo \(F|_A=f\). Além disso,

\[ |F|\leq \sum _{n=0}^\infty \frac13\left(\frac23\right)^n=1. \]

Escalando, obtemos o resultado para funções com imagem em \([-M,M]\).

Para uma função real arbitrária, escolha um homeomorfismo \(\varphi :\mathbb {R}\to (-1,1)\) e aplique a parte anterior a \(\varphi \circ f\). Obtenha \(H:X\to [-1,1]\) estendendo \(\varphi \circ f\). O fechado

\[ C=\{ x:|H(x)|=1\} \]

é disjunto de \(A\). Pelo lema de Urysohn, existe \(u:X\to [0,1]\) com \(u=1\) em \(A\) e \(u=0\) em \(C\). Então \(G=uH\) satisfaz \(|G|\lt 1\) em todo \(X\) e \(G|_A=\varphi \circ f\). Assim

\[ F=\varphi ^{-1}\circ G \]

é a extensão desejada.

O teorema de Tietze e o lema de Urysohn são, de fato, duas faces da normalidade. Se toda função contínua definida num fechado e com valores em \([0,1]\) puder ser estendida, aplique essa propriedade à função definida em \(A\cup B\) que vale \(0\) em um fechado \(A\) e \(1\) no outro fechado \(B\). A extensão recupera o lema de Urysohn e, portanto, a normalidade.

10.5 Espaços completamente regulares

Normalidade separa dois fechados por uma função. Para muitas construções, principalmente produtos e compactificações, é suficiente pedir a separação de um ponto e um fechado.

Definição 10.20 (Completa regularidade)

Um espaço \(X\) é completamente regular se, para todo fechado \(F\subset X\) e todo \(x\notin F\), existe uma função contínua \(f:X\to [0,1]\) tal que

\[ f(x)=1, \qquad f|_F=0. \]

Um espaço é de Tychonoff, ou \(T_{3\frac12}\), se é completamente regular e \(T_1\).

Proposição 10.21

Todo espaço \(T_4\) é de Tychonoff.

Demonstração ▼

Se \(X\) é \(T_4\), então é \(T_1\) e normal. Dado um fechado \(F\) e um ponto \(x\notin F\), o singleton \(\{ x\} \) é fechado. O lema de Urysohn aplicado a \(F\) e \(\{ x\} \) fornece uma função contínua \(f:X\to [0,1]\) com \(f|_F=0\) e \(f(x)=1\). Logo \(X\) é completamente regular e \(T_1\).

Proposição 10.22

Todo espaço completamente regular é regular. Portanto todo espaço de Tychonoff é \(T_3\).

Demonstração ▼

Se \(F\) é fechado e \(x\notin F\), escolha \(f:X\to [0,1]\) com \(f(F)=0\) e \(f(x)=1\). Os abertos

\[ f^{-1}\bigl([0,1/3)\bigr) \quad \text{e}\quad f^{-1}\bigl((2/3,1]\bigr) \]

separam \(F\) e \(x\).

Proposição 10.23

Subespaços de espaços completamente regulares são completamente regulares. Em particular, subespaços de espaços de Tychonoff são de Tychonoff.

Demonstração ▼

Se \(S\subset X\), \(F\) é fechado em \(S\) e \(x\in S\setminus F\), escreva \(F=S\cap H\) com \(H\) fechado em \(X\) e \(x\notin H\). Uma função que separa \(x\) de \(H\) em \(X\), restrita a \(S\), separa \(x\) de \(F\).

Proposição 10.24

Um produto arbitrário de espaços completamente regulares é completamente regular. Consequentemente, um produto arbitrário de espaços de Tychonoff é de Tychonoff.

Demonstração ▼

Seja \(X=\prod _iX_i\), seja \(A\subset X\) fechado e \(x\notin A\). Escolha um aberto básico

\[ x\in W=\bigcap _{j\in J}\pi _j^{-1}(U_j)\subset X\setminus A, \]

com \(J\) finito. Para cada \(j\in J\), escolha uma função contínua \(g_j:X_j\to [0,1]\) tal que

\[ g_j(x_j)=1, \qquad g_j(X_j\setminus U_j)=0. \]

Então

\[ g=\prod _{j\in J}(g_j\circ \pi _j) \]

é contínua, vale \(1\) em \(x\) e vale \(0\) em \(A\), pois todo ponto de \(A\) deixa de pertencer a \(W\) em pelo menos uma das coordenadas de \(J\).

Corolário 10.25

Todo espaço localmente compacto Hausdorff é de Tychonoff.

Demonstração ▼

Pelo capítulo de compacidade, um espaço localmente compacto Hausdorff é homeomorfo a um subespaço aberto de um compacto Hausdorff. Compactos Hausdorff são \(T_4\), portanto de Tychonoff, e a propriedade de Tychonoff é hereditária.

10.5.1 Funções como coordenadas

A completa regularidade pode ser lida de outra maneira: existem funções contínuas reais suficientes para reconstruir a topologia. Em um espaço de Tychonoff, para cada aberto \(U\) e cada \(x\in U\) existe \(f:X\to [0,1]\) contínua tal que

\[ f(x)=1, \qquad f(X\setminus U)=\{ 0\} . \]

Assim, os conjuntos da forma \(f^{-1}((1/2,1])\) refinam todos os abertos do espaço.

Teorema 10.26 (Teorema de imersão de Tychonoff)

Seja

\[ \mathcal C=C(X,[0,1]) \]

a família de todas as funções contínuas de \(X\) em \([0,1]\). Um espaço \(X\) é de Tychonoff se, e somente se, a aplicação de avaliação

\[ e_X:X\longrightarrow [0,1]^{\mathcal C}, \qquad e_X(x)=(f(x))_{f\in \mathcal C}, \]

é um mergulho.

Demonstração ▼

Se \(X\) é de Tychonoff, as funções de \(\mathcal C\) separam pontos: se \(x\neq y\), o conjunto \(\{ y\} \) é fechado e existe \(f\in \mathcal C\) com \(f(x)=1\) e \(f(y)=0\). Logo \(e_X\) é injetiva. A propriedade universal do produto mostra que \(e_X\) é contínua.

Além disso, se \(U\) é aberto e \(x\in U\), a completa regularidade fornece \(f\in \mathcal C\) com \(f(x)=1\) e \(f(X\setminus U)=0\). Então

\[ x\in f^{-1}((1/2,1])\subset U. \]

Portanto a topologia de \(X\) é exatamente a topologia inicial gerada pelas coordenadas de \(e_X\). Isso diz que \(e_X\) é um homeomorfismo de \(X\) sobre sua imagem.

Reciprocamente, \([0,1]^{\mathcal C}\) é de Tychonoff e a propriedade de Tychonoff é hereditária para subespaços. Logo qualquer espaço homeomorfo a um subespaço desse cubo é de Tychonoff.

10.6 Comportamento topológico

As propriedades estudadas neste capítulo têm comportamentos diferentes sob as construções básicas.

	Subespaços	Quocientes	Produtos	Somas
Regular	Sim	Não em geral	Sim	Sim
Tychonoff	Sim	Não em geral	Sim	Sim
Normal	fechados	Não em geral	Não em geral	Sim

Para normalidade, há duas ressalvas. Imagens contínuas, fechadas e sobrejetivas preservam normalidade, como vimos. Produtos, por outro lado, podem falhar já para dois fatores, como mostra o plano de Sorgenfrey.

10.7 Compactificação de Stone–Čech

A compactificação de Alexandroff é obtida acrescentando um ponto, cujas vizinhanças são determinadas pelos compactos do espaço original. A compactificação de Stone–Čech será caracterizada por uma propriedade de extensão: toda aplicação contínua do espaço em um compacto Hausdorff deve admitir uma extensão contínua à compactificação.

Se \(X\) é de Tychonoff, seja novamente

\[ \mathcal C=C(X,[0,1]) \]

e considere o mergulho de avaliação

\[ e_X:X\longrightarrow [0,1]^{\mathcal C}. \]

Definição 10.27 (Compactificação de Stone–Čech)

Para um espaço de Tychonoff \(X\), definimos

\[ \beta X=\overline{e_X(X)} \subset [0,1]^{\mathcal C}. \]

Identificando \(X\) com \(e_X(X)\), chamamos \(\beta X\) de compactificação de Stone–Čech de \(X\).

Pelo teorema de Tychonoff, o cubo \([0,1]^{\mathcal C}\) é compacto Hausdorff. Logo \(\beta X\), sendo fechado nesse cubo, também é compacto Hausdorff. Por definição, \(X\) é denso em \(\beta X\).

O resultado central é a propriedade universal.

Teorema 10.28 (Propriedade universal de Stone–Čech)

Se \(X\) é de Tychonoff, \(K\) é compacto Hausdorff e \(f:X\to K\) é contínua, então existe uma única função contínua

\[ \widetilde f:\beta X\to K \]

tal que

\[ \widetilde f|_X=f. \]

Demonstração ▼

Como \(K\) é compacto Hausdorff, é de Tychonoff. Seja

\[ \mathcal D=C(K,[0,1]) \]

e considere o mergulho

\[ e_K:K\longrightarrow [0,1]^{\mathcal D}. \]

Para cada \(g\in \mathcal D\), a composição \(g\circ f\) pertence a \(C(X,[0,1])=\mathcal C\). Portanto ela é uma das coordenadas usadas na definição de \(\beta X\) e se estende naturalmente a uma função contínua

\[ \widehat{g\circ f}:\beta X\to [0,1] \]

pela projeção correspondente do cubo.

Reunindo essas coordenadas, obtemos uma aplicação contínua

\[ F:\beta X\to [0,1]^{\mathcal D}, \qquad F(z)=\bigl(\widehat{g\circ f}(z)\bigr)_{g\in \mathcal D}. \]

Em \(X\), temos

\[ F|_X=e_K\circ f. \]

Como \(K\) é compacto e o cubo é Hausdorff, \(e_K(K)\) é fechado. Assim,

\[ F(\beta X) \subset \overline{F(X)} =\overline{e_K(f(X))} \subset e_K(K). \]

Podemos então definir

\[ \widetilde f=e_K^{-1}\circ F. \]

Ela é contínua e estende \(f\).

A unicidade segue da densidade de \(X\) em \(\beta X\): duas aplicações contínuas de \(\beta X\) em um espaço Hausdorff que coincidem em um conjunto denso coincidem em todo o espaço.

Corolário 10.29

Toda função contínua limitada \(f:X\to \mathbb {R}\) admite uma única extensão contínua a \(\beta X\).

Demonstração ▼

A imagem de \(f\) está contida em algum intervalo compacto \([-M,M]\). Aplique a propriedade universal com \(K=[-M,M]\).

A propriedade universal caracteriza \(\beta X\) a menos de homeomorfismo: se outra compactificação de \(X\) possui a mesma propriedade de extensão para compactos Hausdorff, as extensões das identidades produzem homeomorfismos inversos entre as duas compactificações.

Exercício 10.1

Prove diretamente que todo espaço métrico é \(T_4\).

Exercício 10.2

Mostre que o espaço de Sierpiński é normal, mas não é regular nem Hausdorff.

Exercício 10.3

Seja \(X\) normal. Dados fechados disjuntos \(A,B\subset X\), prove que existem abertos \(U,V\) tais que

\[ A\subset U,\quad B\subset V, \qquad \overline U\cap \overline V=\varnothing . \]

Exercício 10.4

Mostre que o limite uniforme de funções contínuas reais é contínuo.

Exercício 10.5

Se \(f,g:X\to \mathbb {R}\) são contínuas, mostre que \(\max \{ f,g\} \) e \(\min \{ f,g\} \) são contínuas.

Exercício 10.6

Mostre que a versão do lema de Urysohn com valores constantes \(\alpha \neq \beta \) é equivalente à versão com valores \(0\) e \(1\).

Exercício 10.7

Sejam \(\tau \subset \sigma \) topologias no mesmo conjunto. Investigue se regularidade e normalidade passam de \((X,\tau )\) para \((X,\sigma )\) ou na direção contrária.

Exercício 10.8

Se \(\prod _iX_i\) é normal, mostre que cada fator \(X_i\) é normal.

Exercício 10.9

O espaço \(\mathbb {R}^{\mathbb {N}}\) com a topologia produto é normal? Justifique.

Exercício 10.10

Dê uma prova direta do lema de Urysohn para espaços métricos usando

\[ f(x)=\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}. \]

Exercício 10.11

Mostre diretamente que o teorema de Tietze implica o lema de Urysohn.

Exercício 10.12

Prove que todo espaço regular e segundo-enumerável é normal.

Exercício 10.13

Mostre que o produto de dois espaços Lindelöf pode não ser Lindelöf, usando a reta de Sorgenfrey.

Exercício 10.14

Mostre que todo compacto Hausdorff é de Tychonoff de duas maneiras: primeiro via \(T_4\) e Urysohn; depois via a compactificação de Alexandroff aplicada a um subespaço aberto adequado.

Exercício 10.15

Dizemos que \(X\) é perfeitamente normal se é normal e todo fechado é \(G_\delta \). Prove que isso equivale a dizer que todo aberto é união enumerável de fechados cujos interiores o recobrem. Compare essa condição com metrizabilidade.

As funções contínuas relacionam os axiomas de separação às construções estudadas neste capítulo. Nos espaços de Tychonoff, a separação de pontos e fechados por essas funções permite realizar um mergulho em um cubo. A compactificação de Stone–Čech é obtida tomando o fecho da imagem de avaliação e é caracterizada pela extensão de aplicações contínuas com valores em compactos Hausdorff.

10.8 Exercícios complementares

listas:src-055[Intermediário] listas:src-055 Sejam \(X\) um conjunto e \(d\) uma métrica sobre \(X\).

Mostre que, para todo \(A\subseteq X\) não vazio, a função

\[ \begin{array}{llll} d(\ \cdot \ , A) : & X & \to & \mathbb {R} \\ & x & \mapsto & d(x, A) \end{array} \]

é contínua.
Considere \(A,B\subseteq X\) fechados disjuntos não vazios. Mostre que a função \(f : X \to [0, 1]\) dada por

\[ f(x) = \frac{d(x, A)}{d(x, A) + d(x, B)} \]

é contínua.

Solução

(a) A desigualdade triangular dá \(|d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)\), logo a função é contínua. (b) Como \(A,B\) são fechados disjuntos, \(d(x,A)+d(x,B)\gt 0\) em cada ponto. O quociente de funções contínuas com denominador positivo é contínuo e assume valores em \([0,1]\).

listas:src-114[Intermediário] listas:src-114 Seja \(X\) um espaço topológico.

Supondo \(X\) regular, mostre que se \(K, F \subseteq X\) são tais que \(K\) é compacto, \(F\) é fechado em \(X\) e \(K \cap F = \emptyset \), então existem \(U, V \subseteq X\) abertos disjuntos tais que \(K \subseteq U\) e \(F \subseteq V\).
Supondo \(X\) completamente regular, mostre que se \(K, F \subseteq X\) são tais que \(K\) é compacto, \(F\) é fechado em \(X\) e \(K \cap F = \emptyset \), então existe \(f :X \to [0, 1]\) contínua tal que \(f[K] \subseteq \{ 0\} \) e \(f[F] \subseteq \{ 1\} \).

Solução

(a) Para cada \(k\in K\), escolha abertos disjuntos \(U_k\ni k,V_k\supseteq F\). Finitos \(U_k\) cobrem \(K\); sua união e a interseção dos \(V_k\) correspondentes separam \(K,F\). (b) Para cada \(k\), escolha \(g_k:X\to [0,1]\) contínua com \(g_k(k)=0\) e \(g_k|_F=1\). Finitos abertos \(\{ g_k\lt 1/2\} \) cobrem \(K\). A função \(f=\max \{ 0,2\min _k g_k-1\} \) é contínua, vale \(0\) em \(K\) e \(1\) em \(F\). Se um dos conjuntos é vazio, uma função constante serve.

listas:src-215[Avançado] listas:src-215 Sejam \(\tau _{1}\) e \(\tau _{2}\) topologias sobre um conjunto \(X\) tais que \(\tau _{1} \subseteq \tau _{2}\).

Se \((X, \tau _{1})\) é regular (respectivamente, normal), então \((X, \tau _{2})\) também é regular (respectivamente, normal)?
Se \((X, \tau _{2})\) é regular (respectivamente, normal), então \((X, \tau _{1})\) é regular (respectivamente, normal)?

Solução

As respostas são negativas para regularidade e normalidade nos dois sentidos. A topologia do Exercício 10.29 contém a usual de \(\mathbb {R}\), que é regular e normal, mas ela própria não é regular nem normal. Por outro lado, essa topologia é mais grossa que a discreta, que é regular e normal. Assim nenhum desses dois axiomas é monótono em relação à inclusão de topologias.

listas:src-216[Intermediário] listas:src-216 Mostre que se \(X\) é um espaço topológico normal e \(Y\) é um subespaço fechado de \(X\), então \(Y\) também é normal.

Solução

Dois fechados disjuntos de \(Y\) também são fechados em \(X\), pois \(Y\) é fechado. Separe-os por abertos disjuntos de \(X\) e intersecte esses abertos com \(Y\). Isso prova a normalidade do subespaço.

listas:src-217[Avançado] listas:src-217 Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos e \(f : X \to Y\) sobrejetora, contínua e fechada.

Mostre que se \(X\) é \(T_1\) (respectivamente, normal), então \(Y\) também é \(T_1\) (respectivamente, normal).
O mesmo vale para os outros axiomas de separação?

Solução

(1) Se \(X\) é \(T_1\), cada unitário de \(Y\) é imagem de um unitário fechado, logo é fechado. Para normalidade, levante dois fechados disjuntos \(A,B\) a \(X\) e separe-os por abertos disjuntos \(U,V\). Os abertos \(Y\setminus f(X\setminus U)\) e \(Y\setminus f(X\setminus V)\) contêm \(A,B\) e são disjuntos, pela sobrejetividade. (2) Não em geral. Para \(T_0\), a aplicação paridade de \(\mathbb {Z}\), com abertos crescentes na ordem usual, sobre \(\{ 0,1\} \) caótico é contínua e fechada, mas destrói \(T_0\). Para \(T_2\), tome a reta com base \((a,b)\) e \((a,b)\setminus K\), \(K=\{ 1/n:n\geq 1\} \), e colapse o fechado \(K\) a um ponto. A projeção é fechada, pois saturar um fechado apenas pode acrescentar \(K\), mas \(0\) e a classe de \(K\) não se separam. Para regularidade e completa regularidade, colapse um dos dois fechados inseparáveis do plano de Sorgenfrey: a projeção ainda é fechada, mas a classe colapsada não se separa do outro fechado, logo o quociente não é regular.

listas:src-218[Intermediário] listas:src-218 Seja \(\{ X_i : i \in I\} \) uma família de espaços topológicos (não-vazios). Mostre que se \(\prod _{i \in I} X_i\) é normal, então cada \(X_i\) é normal.

Solução

Fixe um ponto nas outras parcelas. Para fechados disjuntos \(A,B\) de \(X_i\), os cilindros \(\pi _i^{-1}(A),\pi _i^{-1}(B)\) são fechados disjuntos no produto normal. Separe-os por abertos disjuntos e tome suas pré-imagens pela inclusão de \(X_i\) que mantém as outras coordenadas fixas. Isso separa \(A,B\) e prova a normalidade de \(X_i\).

listas:src-219[Intermediário] listas:src-219 O conjunto \(\mathbb {R}^{\mathbb {N}}\) munido da topologia produto é um espaço topológico normal?

Solução

Sim. A métrica \(d(x,y)=\sum _{n\geq 0}2^{-n-1}\min \{ 1,|x_n-y_n|\} \) induz a topologia produto. Todo espaço métrico é normal: para fechados disjuntos, a função distância normalizada separa-os por pré-imagens de intervalos disjuntos.

listas:src-220[Intermediário] listas:src-220 Dê uma demonstração direta do Lema de Urysohn para espaços métricos. [Sugestão: Se \((X, d)\) é um espaço métrico e \(A\) e \(B\) são subconjuntos fechados disjuntos não vazios de \(X\), considere \(f : X \to [0, 1]\) dada por \(f(x) = d(x, A) / (d(x, A) + d(x, B))\).]

Solução

A função \(f(x)=d(x,A)/(d(x,A)+d(x,B))\) é contínua, pois as distâncias são contínuas e o denominador é positivo. Como \(A,B\) são fechados, ela vale \(0\) em \(A\) e \(1\) em \(B\). Se um deles é vazio, escolha uma constante apropriada. Essa é a conclusão do Lema de Urysohn.

listas:src-221[Intermediário] listas:src-221 Mostre que o Teorema de Extensão de Tietze implica o Lema de Urysohn.

Solução

Para fechados disjuntos \(A,B\), a função que vale \(0\) em \(A\) e \(1\) em \(B\) é contínua no fechado \(A\cup B\), pois as duas peças são abertas e fechadas nesse subespaço. Tietze estende-a continuamente a \(X\); componha a extensão com \(t\mapsto \min \{ 1,\max \{ 0,t\} \} \) para obter valores em \([0,1]\).

listas:src-222[Intermediário] listas:src-222 Mostre que se \(X\) é um espaço topológico regular com base enumerável, então \(X\) é normal.

Solução

Segundo-enumerabilidade implica Lindelöf. Para fechados disjuntos \(F,G\), a regularidade fornece coberturas enumeráveis \(U_n\) de \(F\) e \(V_n\) de \(G\) com \(\overline{U_n}\cap G=\overline{V_n}\cap F=\varnothing \). Os abertos

\[ U=\bigcup _n\left(U_n\setminus \bigcup _{k\leq n}\overline{V_k}\right),\qquad V=\bigcup _n\left(V_n\setminus \bigcup _{k\leq n}\overline{U_k}\right) \]

contêm \(F,G\) e são disjuntos: para dois índices, o maior retira o fechado correspondente ao menor. Logo \(X\) é normal.

listas:src-223[Avançado] listas:src-223

Seja \(X\) um espaço topológico. Mostre que se \(X\) é regular e de Lindelöf, então \(X\) é normal.
Mostre que o produto de dois espaços topológicos de Lindelöf não é, necessariamente, de Lindelöf.

Solução

(1) Pela regularidade e Lindelöf, escolha coberturas enumeráveis \(U_n\) de \(F\) e \(V_n\) de \(G\) com fechos que evitam o fechado oposto. As uniões \(\bigcup _n(U_n\setminus \bigcup _{k\leq n}\overline{V_k})\) e \(\bigcup _n(V_n\setminus \bigcup _{k\leq n}\overline{U_k})\) são abertos disjuntos que contêm \(F,G\). (2) A reta de Sorgenfrey é Lindelöf, mas seu quadrado não: a antidiagonal \(\{ (x,-x):x\in \mathbb {R}\} \) é fechada, discreta e não enumerável. Um fechado de Lindelöf seria Lindelöf, enquanto um discreto Lindelöf é enumerável.

listas:src-239[Intermediário] listas:src-239 Mostre que

Todo espaço topológico compacto Hausdorff é regular.
Todo espaço topológico compacto regular é normal.

Solução

(1) Para um ponto \(x\) fora de um fechado \(F\), use Hausdorff para separar \(x\) de cada ponto de \(F\). A compacidade de \(F\) permite intersectar finitas vizinhanças de \(x\) e unir as vizinhanças correspondentes de \(F\). (2) Para fechados disjuntos \(F,G\), use regularidade para separar cada ponto de \(F\) de \(G\). A compacidade de \(F\) dá finitos desses pares; a união das vizinhanças de \(F\) e a interseção das de \(G\) são disjuntas.

listas:src-349[Avançado] listas:src-349 Sejam \(\tau _1\) e \(\tau _2\) topologias sobre um conjunto \(X\) tais que \(\tau _1\subseteq \tau _2\). Prove ou dê um contraexemplo:

Se \((X,\tau _1)\) é \(T_0\), então \((X,\tau _2)\) também é \(T_0\).
Se \((X,\tau _1)\) é \(T_1\), então \((X,\tau _2)\) também é \(T_1\).
Se \((X,\tau _1)\) é \(T_2\), então \((X,\tau _2)\) também é \(T_2\).
Se \((X,\tau _1)\) é \(T_3\), então \((X,\tau _2)\) também é \(T_3\).
Se \((X,\tau _1)\) é \(T_4\), então \((X,\tau _2)\) também é \(T_4\).

Solução

(a),(b),(c) Verdadeiras: os abertos que distinguem ou separam os pontos continuam abertos após refinar a topologia. (d),(e) Falsas: a usual de \(\mathbb {R}\) é \(T_4\), mas sua expansão do Exercício 10.29 é Hausdorff e não regular, portanto não é \(T_3\) nem \(T_4\).

listas:src-350[Avançado] listas:src-350 Seja

\[ \tau =\{ U\subseteq \mathbb {R}:\forall x\in U\setminus \mathbb {Q}\mbox{ }\mbox{ }\! \exists \mbox{ }\! \varepsilon \! \gt \! 0\textrm{ tal que }]x-\varepsilon ,x+\varepsilon [\mbox{ }\! \cap \mathbb {Q}\subseteq U\} . \]

Para cada \(i\in \{ 1,2,3,3\frac{1}{2},4\} \), determine se \((\mathbb {R},\tau )\) é \(T_i\).
\((\mathbb {R},\tau )\) tem caráter enumerável?
\((\mathbb {R},\tau )\) é separável?
\((\mathbb {R},\tau )\) possui uma base enumerável?

Solução

Uma base consiste nos unitários racionais e nos conjuntos \(B(x,\varepsilon )=\{ x\} \cup ((x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\cap \mathbb {Q})\), para \(x\) irracional. A usual está contida nessa topologia. (a) O espaço é \(T_1\) e \(T_2\), mas não \(T_3,T_{3\frac12},T_4\). Para um irracional \(x\), o conjunto \(F=(\mathbb {R}\setminus \mathbb {Q})\setminus \{ x\} \) é fechado; o fecho de qualquer \(B(x,\varepsilon )\) contém outros irracionais desse intervalo, logo nenhuma vizinhança de \(x\) tem fecho que evite \(F\). Falha a regularidade; normalidade com \(T_1\) a implicaria. (b) Sim: em racionais use o unitário; em irracionais, \(B(x,1/n)\). (c) Sim: \(\mathbb {Q}\) é denso. (d) Não: para cada irracional, uma base deve fornecer um elemento que o contém e não contém outro irracional; esses elementos são distintos para pontos distintos.

listas:src-352[Avançado] listas:src-352 Dizemos que um espaço topológico \(X\) é perfeitamente normal se \(X\) é normal e todo subconjunto fechado de \(X\) é um conjunto \(G_\delta \) — i.e., é igual à intersecção de uma família enumerável de abertos de \(X\). Dizemos ainda que \(X\) é \(T_6\) se \(X\) é \(T_1\) e perfeitamente normal.

Prove que um espaço topológico \(X\) é \(T_6\) se, e somente se, \(X\) é \(T_1\) e, para todo aberto \(W\subseteq X\), existe uma família de abertos \(\{ W_n:n\in \mathbb {N}\} \) tal que \(W=\bigcup _{n\in \mathbb {N}}W_n\) e \(\overline{W_n}\subseteq W\) para todo \(n\in \mathbb {N}\).
Prove que um espaço topológico \(X\) é \(T_6\) se, e somente se, \(X\) é \(T_1\) e, para quaisquer \(F,G\subseteq X\) fechados em \(X\) com \(F\cap G=\emptyset \), existe uma função contínua \(f:X\rightarrow [0,1]\) tal que \(f^{-1}[\{ 0\} ]=F\) e \(f^{-1}[\{ 1\} ]=G\).

Solução

(a) Se \(X\) é \(T_6\), um aberto \(W\) é união enumerável de fechados \(F_n\); normalidade fornece \(F_n\subseteq W_n\subseteq \overline{W_n}\subseteq W\). Reciprocamente, a propriedade dá \(W=\bigcup _n\overline{W_n}\), logo todo fechado é \(G_\delta \). Para normalidade, aplique-a a \(X\setminus F\) e \(X\setminus G\) e use o procedimento de retirar finitos fechos do Exercício 10.25 para separar \(F,G\). (b) Em \(T_6\), escreva um fechado \(F=\bigcap _nU_n\) e escolha, por Urysohn, \(u_n=0\) em \(F\) e \(u_n=1\) fora de \(U_n\). A soma uniforme \(h_F=\sum _{n\geq 1}2^{-n}u_n\) é contínua e tem conjunto de zeros exatamente \(F\); para \(F=\varnothing \), use \(h_F=1\). Para fechados disjuntos, \(h_F/(h_F+h_G)\) tem zeros \(F\) e valores \(1\) exatamente em \(G\). Reciprocamente, as pré-imagens de \([0,1/2)\) e \((1/2,1]\) provam normalidade. Tomando \(G=\varnothing \), todo fechado é um conjunto de zeros e, portanto, \(G_\delta \).

listas:src-353[Avançado] listas:src-353 Dizemos que um espaço topológico \(X\) é \(T_5\) se todo subespaço \(Y\subseteq X\) é \(T_4\).

Prove que \(T_6 \rightarrow T_5 \rightarrow T_4\).

[Sugestão para a primeira implicação: Mostre que, se \(X\) é um espaço topológico \(T_6\), então todo subespaço \(Y\subseteq X\) é \(T_6\). Para tanto, observe primeiro que, para todo \(A\subseteq Y\), tem-se que \(\overline{A}^Y=\overline{A}^X\cap Y\) — aqui, \(\overline{A}^X\) e \(\overline{A}^Y\) denotam, respectivamente, o fecho de \(A\) em \(X\) e o fecho de \(A\) em \(Y\). Então use a caracterização de espaços \(T_6\) obtida no item \((a)\) do exercício anterior.]

Solução

Se \(X\) é \(T_6\) e \(Y\subseteq X\), todo aberto relativo \(W=Y\cap U\) admite \(W_n=Y\cap U_n\), onde \(U=\bigcup _nU_n\) e \(\overline{U_n}^X\subseteq U\). Então \(W=\bigcup _nW_n\) e \(\overline{W_n}^Y\subseteq Y\cap \overline{U_n}^X\subseteq W\). Como \(T_1\) é hereditário, o Exercício 10.30(a) prova que \(Y\) é \(T_6\), em particular \(T_4\). Logo \(T_6\Rightarrow T_5\); tomando \(Y=X\), \(T_5\Rightarrow T_4\).

listas:src-354[Intermediário] listas:src-354 Sejam \(X\) um conjunto, \(d\) uma métrica sobre \(X\) e \(\tau \) a topologia sobre \(X\) associada a \(d\).

Prove que, para todo \(A\subseteq X\) não vazio, a função

\[ \begin{array}{ccrcl} d(\cdot ,A) & : & X & \rightarrow & \mathbb {R}_+ \\ & & x & \mapsto & d(x,A)\stackrel{\textrm{def}}=\inf \{ d(x,a):a\in A\} \end{array} \]

é contínua.
Mostre que, dados \(x\in X\) e \(A\subseteq X\) não vazio, tem-se que \(d(x,A)=0\) se, e somente se, \(x\in \overline{A}\).
Conclua que \((X,\tau )\) é \(T_6\). [Sugestão: Tome \(F,G\subseteq X\) fechados disjuntos não vazios e defina
\[ \begin{array}{ccrcl} f & : & X & \rightarrow & [0,1] \\ & & x & \mapsto & \frac{d(x,F)}{d(x,F)+d(x,G)}. \end{array} \]
Mostre que \(f\) é contínua e use o Exercício 10.30(b).]

Solução

(a) \(|d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)\), portanto a função é contínua. (b) \(d(x,A)=0\) equivale a toda bola de centro \(x\) encontrar \(A\), isto é, \(x\in \overline A\). (c) Para fechados disjuntos não vazios \(F,G\), o denominador de \(f=d(\cdot ,F)/(d(\cdot ,F)+d(\cdot ,G))\) é positivo; \(f\) é contínua, seus zeros são exatamente \(F\) e seus valores \(1\) exatamente \(G\). Se \(F=\varnothing \), use \(1/(1+d(\cdot ,G))\); se \(G=\varnothing \), use \(d(\cdot ,F)/(1+d(\cdot ,F))\); se ambos são vazios, use \(1/2\). Como espaços métricos são \(T_1\), o Exercício 10.30(b) dá \(T_6\).

listas:src-361[Avançado] listas:src-361 Seja

\[ \tau =\{ U\subseteq \mathbb {R}: \textrm{para cada }x\in U\setminus \mathbb {Q}\textrm{, existe }\varepsilon \! \gt \! 0\textrm{ tal que }]x-\varepsilon ,x+\varepsilon [\mbox{ }\! \cap \mathbb {Q}\subseteq U\} . \]

Para cada \(i\in \{ 1,2,3,3\frac{1}{2},4\} \), determine se \((\mathbb {R},\tau )\) é \(T_i\).
\((\mathbb {R},\tau )\) tem caráter enumerável?
\((\mathbb {R},\tau )\) é separável?
\((\mathbb {R},\tau )\) possui base enumerável?

Solução

Use os unitários racionais e \(\{ x\} \cup ((x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\cap \mathbb {Q})\) para irracionais. (a) A usual é mais grossa, logo valem \(T_1,T_2\). Para um irracional \(x\), o fechado dos outros irracionais encontra o fecho de toda vizinhança de \(x\), impedindo regularidade. Assim falham \(T_3,T_{3\frac12},T_4\). (b) Há base local enumerável, usando raios \(1/n\). (c) \(\mathbb {Q}\) é denso, logo há separabilidade. (d) Uma base precisa de elementos distintos para cada irracional, cada um contido numa vizinhança que não contém outros irracionais. Logo não há base enumerável.

listas:src-363[Intermediário] listas:src-363 Sejam \(X\) um espaço topológico e \(Y\subseteq X\) um subespaço. Prove que, para \(i=1,2,3,3\frac{1}{2}\), se \(X\) é \(T_i\) então \(Y\) também é \(T_i\). Prove ainda que, se \(X\) é \(T_4\) e \(Y\) é fechado em \(X\), então \(Y\) é \(T_4\).

Solução

\(T_1\) e \(T_2\) passam ao subespaço por restrição de fechados e de vizinhanças separadoras. Para regularidade, um fechado relativo é \(Y\cap F\) com \(F\) fechado em \(X\); separe em \(X\) um ponto de \(Y\setminus F\) de \(F\) e restrinja a \(Y\). Para completa regularidade, restrinja a função separadora. Se \(Y\) é fechado, dois fechados relativos são fechados em \(X\); normalidade fornece os abertos separadores, e \(T_1\) permanece válido.

listas:src-364[Intermediário] listas:src-364 Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos. Prove que, para \(i=1,2,3,3\frac{1}{2}\), se \(X\) e \(Y\) são \(T_i\) então o produto topológico \(X\times Y\) também é \(T_i\).

Solução

Para \(T_1,T_2\), pontos distintos diferem em uma coordenada e os cilindros dos abertos separadores dessa coordenada os separam. Para \(T_3\), refine uma vizinhança retangular \(U\times V\) por \(U'\times V'\) com \(\overline{U'}\subseteq U\), \(\overline{V'}\subseteq V\). Para completa regularidade, escolha funções de cada fator iguais a \(0\) na coordenada do ponto e a \(1\) fora do aberto correspondente; seu máximo no produto vale \(0\) no ponto e \(1\) fora do retângulo.

listas:src-365[Intermediário] listas:src-365 O resultado do Exercício 10.35 continua válido para produtos topológicos arbitrários (envolvendo uma quantidade infinita de espaços topológicos)? Justifique.

Solução

Sim, para os quatro axiomas. \(T_1,T_2\) usam uma coordenada que distingue os pontos. Uma vizinhança básica impõe apenas finitas condições; para regularidade, refine cada uma por um aberto com fecho contido nela, e tome o cilindro resultante. Para completa regularidade, escolha as finitas funções separadoras e tome seu máximo, que vale \(1\) fora da vizinhança básica e \(0\) no ponto. Isso também separa o ponto de qualquer fechado que evite essa vizinhança.

listas:src-366[Avançado] listas:src-366 Mostre que

a reta de Sorgenfrey \(\mathbb {R}_s\) é um espaço topológico \(T_4\);
o produto topológico \(\mathbb {R}_s\times \mathbb {R}_s\) não é normal. [Sugestão. Use o Lema de Jones.]

Solução

(a) Os intervalos \([a,b)\) são abertos e fechados, dando regularidade e \(T_1\). A reta é Lindelöf: dada uma cobertura por \([x,b_x)\), a união usual dos \((x,b_x)\) tem subcobertura enumerável. Os pontos restantes \(E\) são enumeráveis, pois, para \(x\lt y\) em \(E\), \(y\geq b_x\), tornando os intervalos \((x,b_x)\) disjuntos; escolha um racional em cada um. Acrescente um membro da cobertura para cada ponto de \(E\). Regularidade e Lindelöf implicam normalidade. (b) O plano é separável por \(\mathbb {Q}^2\) e tem a antidiagonal fechada discreta \(D=\{ (x,-x):x\in \mathbb {R}\} \), de cardinalidade \(2^{\aleph _0}\). Pelo Lema de Jones, normalidade exigiria \(2^{|D|}\leq 2^{\aleph _0}\), contra o Teorema de Cantor.

listas:src-375[Avançado] listas:src-375 Seja \((X,\tau )\) um espaço topológico. Defina

\[ \tau _\delta =\{ A\subseteq X:\forall a\in A\; \exists \, W\subseteq X \; (W\textrm{ \'e }G_\delta \textrm{ em }(X,\tau )\textrm{ e } a\in W\subseteq A)\} . \]

Verifique que \(\tau _\delta \) é uma topologia sobre \(X\).
Prove que, se \((X,\tau )\) é \(T_3\), então \((X,\tau _\delta )\) é \(T_{3\frac{1}{2}}\).
[Sugestão: Mostre que \((X,\tau _\delta )\) possui uma base constituída por conjuntos que são simultaneamente abertos e fechados.]

Solução

(a) Os conjuntos \(G_\delta \) cobrem \(X\) e são estáveis por interseções finitas; suas uniões formam exatamente \(\tau _\delta \), portanto uma topologia. (b) Para \(x\in \bigcap _nU_n\) e \(X\) regular, escolha abertos \(V_n\ni x\) com \(\overline{V_1}\subseteq U_1\) e \(\overline{V_{n+1}}\subseteq V_n\cap U_{n+1}\). Então \(H=\bigcap _nV_n=\bigcap _n\overline{V_n}\) é original fechado e \(G_\delta \), logo aberto e fechado em \(\tau _\delta \), e \(x\in H\subseteq \bigcap _nU_n\). Esses \(H\) formam uma base; suas funções características separam pontos de fechados. Como a topologia é mais fina e preserva \(T_1\), o espaço é \(T_{3\frac12}\).

listas:src-381[Avançado] listas:src-381 Seja

Para cada \(i\in \{ 1,2,3,3\frac{1}{2},4\} \), determine se \((\mathbb {R},\tau )\) é \(T_i\).
\((\mathbb {R},\tau )\) tem caráter enumerável?
\((\mathbb {R},\tau )\) é separável?
\((\mathbb {R},\tau )\) possui base enumerável?

Solução

A base consiste nos unitários racionais e em \(\{ x\} \cup ((x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\cap \mathbb {Q})\) para irracionais. (a) Valem \(T_1,T_2\), pois a topologia contém a usual. Não vale regularidade: para um irracional \(x\), o fechado dos outros irracionais encontra o fecho de toda vizinhança de \(x\). Logo também não valem \(T_{3\frac12},T_4\). (b) Valem bases locais enumeráveis, com raios \(1/n\). (c) \(\mathbb {Q}\) é enumerável e denso. (d) Não há base enumerável, porque cada irracional exige um elemento básico que o contém e evita todos os demais irracionais, produzindo uma família não enumerável de elementos distintos.

listas:src-385[Intermediário] listas:src-385 Dizemos que um espaço topológico \(Y\) é perfeitamente normal se, para quaisquer \(F,G\subseteq Y\) fechados em \(Y\) com \(F\cap G=\emptyset \), existe uma função contínua \(f:Y\rightarrow [0,1]\) tal que \(f^{-1}[\{ 0\} ]=F\) e \(f^{-1}[\{ 1\} ]=G\).

Sendo \(X\) um conjunto não vazio, considere sobre \(X\) uma métrica \(d\) e a topologia \(\tau \) associada a \(d\).

Prove que, para todo \(A\subseteq X\) não vazio, a função

\[ \begin{array}{ccrcl} d(\cdot ,A) & : & X & \rightarrow & \mathbb {R}_+ \\ & & x & \mapsto & d(x,A)\stackrel{\textrm{def}}=\inf \{ d(x,a):a\in A\} \end{array} \]

é contínua.
Mostre que, dados \(x\in X\) e \(A\subseteq X\) não vazio, tem-se que \(d(x,A)=0\) se, e somente se, \(x\in \overline{A}\).
Conclua que \((X,\tau )\) é perfeitamente normal. [Sugestão: Dados \(F,G\subseteq X\) fechados disjuntos não vazios, mostre que a função
\[ \begin{array}{ccrcl} f & : & X & \rightarrow & [0,1] \\ & & x & \mapsto & \frac{d(x,F)}{d(x,F)+d(x,G)}. \end{array} \]
é contínua.]

Solução

(a) A distância a \(A\) é \(1\)-Lipschitz, pela desigualdade triangular. (b) Ela se anula exatamente nos pontos cujo entorno sempre encontra \(A\), isto é, em \(\overline A\). (c) Para fechados disjuntos não vazios, \(d(x,F)/(d(x,F)+d(x,G))\) é contínua, vale \(0\) exatamente em \(F\) e \(1\) exatamente em \(G\). Se somente \(F\) é vazio, use \(1/(1+d(x,G))\); se somente \(G\) é vazio, use \(d(x,F)/(1+d(x,F))\); se ambos são vazios, use \(1/2\).

listas:src-392[Avançado] listas:src-392 Seja \((X,\tau )\) um espaço topológico. Defina

\[ \tau _\delta =\{ A\subseteq X:\forall a\in A\; \exists \, W\subseteq X \; (W\textrm{ \'e }G_\delta \textrm{ em }(X,\tau )\textrm{ e } a\in W\subseteq A)\} . \]

Verifique que \(\tau _\delta \) é uma topologia sobre \(X\).
Mostre que, se \((X,\tau )\) é \(T_2\) e \(Y\subseteq X\) é de Lindelöf, então \(Y\) é fechado em \((X,\tau _\delta )\).
Prove que, se \((X,\tau )\) é \(T_3\), então \((X,\tau _\delta )\) é \(T_{3\frac{1}{2}}\).
[Sugestão: Mostre que \((X,\tau _\delta )\) é zero-dimensional.]

Solução

(a) Os \(G_\delta \) formam uma base, pois cobrem \(X\) e são estáveis por interseções finitas. (b) Para \(x\notin Y\), separe \(x\) de cada \(y\in Y\) por abertos disjuntos \(U_y,V_y\). Lindelöf permite cobrir \(Y\) por enumeráveis \(V_{y_n}\). O \(G_\delta \) \(\bigcap _nU_{y_n}\) contém \(x\) e evita \(Y\), provando que \(Y\) é fechado em \(\tau _\delta \). (c) Para \(x\in \bigcap _nU_n\), escolha \(V_n\ni x\) com \(\overline{V_1}\subseteq U_1\) e \(\overline{V_{n+1}}\subseteq V_n\cap U_{n+1}\). O conjunto \(\bigcap _nV_n=\bigcap _n\overline{V_n}\) é fechado original e \(G_\delta \), portanto aberto e fechado em \(\tau _\delta \). Esses conjuntos dão uma base de abertos fechados, cujas funções características fornecem completa regularidade; \(T_1\) é preservado pelo refinamento.