Conexidade
A conexidade é uma propriedade global: um espaço conexo não admite uma decomposição em dois abertos disjuntos e não vazios. Estudaremos sua preservação por aplicações contínuas e seu uso para distinguir espaços que podem ter propriedades locais semelhantes.
Começaremos por três maneiras equivalentes de reconhecer uma separação: por abertos disjuntos, por conjuntos simultaneamente abertos e fechados e por aplicações para um espaço discreto de dois pontos. Só depois aplicaremos essa linguagem à reta. Em seguida estudaremos componentes, produtos e quocientes, e então passaremos à conexidade por caminhos e às versões locais dessas noções.
9.1 Conjuntos conexos
Um par \((U,V)\) como acima é chamado, às vezes, de uma separação de \(X\). A definição admite uma forma equivalente que será usada repetidamente.
\(X\) é conexo;
os únicos subconjuntos simultaneamente abertos e fechados de \(X\) são \(\varnothing \) e \(X\);
toda aplicação contínua \(f:X\to \{ 0,1\} \), onde \(\{ 0,1\} \) tem a topologia discreta, é constante.
Se \(X=U\cup V\) é uma separação, então \(U=X\setminus V\) é simultaneamente aberto e fechado e não é trivial. Reciprocamente, se \(A\) é aberto e fechado, não vazio e distinto de \(X\), então
é uma separação.
Para a terceira condição, se \(A\) é um clopen não trivial, sua função indicadora \(\mathbf1_A:X\to \{ 0,1\} \) é contínua e não constante. Reciprocamente, se \(f:X\to \{ 0,1\} \) é contínua e não constante, os conjuntos \(f^{-1}(0)\) e \(f^{-1}(1)\) formam uma separação de \(X\).
9.2 Conexidade e continuidade
A conexidade é preservada por imagens contínuas. Embora uma aplicação contínua possa identificar pontos, a imagem de um espaço conexo não admite uma separação em dois abertos relativos disjuntos e não vazios.
Restringindo \(f\), basta tratar o caso em que \(f:X\to Y\) é sobrejetiva e \(X\) é conexo. Se \(Y\) tivesse um clopen não trivial \(C\), então \(f^{-1}(C)\) seria um clopen não trivial de \(X\), contradição.
9.3 Intervalos e a reta
Na reta, um conjunto é conexo exatamente quando contém todos os pontos entre quaisquer dois de seus elementos. Essa propriedade permitirá caracterizar os subconjuntos conexos como intervalos.
Suponha, por absurdo, que \(I=U\cup V\) seja uma separação. Escolha \(a\in U\) e \(b\in V\); trocando os nomes se necessário, suponha \(a\lt b\). Considere
e seja \(c=\sup S\). Como \(I\) é um intervalo, \(c\in I\), logo \(c\in U\) ou \(c\in V\).
Se \(c\in U\), a abertura relativa de \(U\) fornece pontos de \(U\) imediatamente à direita de \(c\), contradizendo que \(c\) seja uma cota superior de \(S\). Se \(c\in V\), a abertura relativa de \(V\) fornece uma vizinhança de \(c\) em \(I\) contida em \(V\). Pela definição de supremo, porém, há pontos de \(S\subset U\) arbitrariamente próximos de \(c\) pela esquerda, novamente uma contradição.
Já provamos uma direção. Para a outra, suponha que \(A\) não seja um intervalo. Então existem \(a,b\in A\) e \(c\notin A\) com \(a\lt c\lt b\). Os conjuntos
são abertos relativos, disjuntos, não vazios e cobrem \(A\). Logo \(A\) é desconexo.
Combinando a conexidade dos intervalos com a preservação por imagens contínuas, obtemos o teorema do valor intermediário.
9.4 Uniões, fechos e componentes
Há duas operações que permitem obter conjuntos conexos a partir de outros: a união de uma família com um ponto comum e a passagem ao fecho. A primeira será utilizada também na definição de componente conexa.
Tome \(p\in \bigcap _\lambda C_\lambda \) e suponha que \(C=\bigcup _\lambda C_\lambda \) admita uma separação \(C=U\cup V\). O ponto comum pertence a uma das partes; suponha \(p\in U\). Para cada \(\lambda \),
Esses dois conjuntos são abertos relativos em \(C_\lambda \) e são disjuntos. Como \(p\in C_\lambda \cap U\), a conexidade de \(C_\lambda \) força \(C_\lambda \cap V=\varnothing \). Isso vale para todo \(\lambda \), logo \(V=\varnothing \), contradição.
Na demonstração, a presença de um ponto comum impede que os conjuntos da família pertençam a lados distintos de uma separação. Existem variantes baseadas em interseções sucessivas, mas utilizaremos apenas a versão estabelecida acima.
Suponha que \(D=U\cup V\) seja uma separação. Como \(C\) é conexo, ele está inteiramente contido em um dos dois conjuntos, digamos \(C\subset U\). Como \(V\) é aberto em \(D\) e não encontra \(C\), também não pode encontrar \(\overline C\cap D\). Mas \(D\subset \overline C\), logo \(V=\varnothing \), contradição.
9.4.1 Componentes conexas
A proposição anterior mostra que essa união é conexa, pois todos os conjuntos que a formam contêm \(x\). Assim, a componente de \(x\) é o maior subconjunto conexo de \(X\) que contém esse ponto.
Se as componentes \(C_x\) e \(C_y\) se intersectam, então \(C_x\cup C_y\) é conexo. Pela maximalidade, \(C_x=C_y\). Logo componentes distintas são disjuntas e, como cada ponto pertence à sua componente, elas particionam \(X\).
Por outro lado, \(\overline{C_x}\) é conexo e contém \(x\). Pela maximalidade de \(C_x\), temos \(\overline{C_x}=C_x\), logo \(C_x\) é fechada.
Componentes não precisam ser abertas. Em \(\mathbb {Q}\), por exemplo, elas são singletons, que não são abertos na topologia usual relativa.
9.5 Produtos, quocientes e somas
A afirmação para quocientes decorre do teorema anterior. Para produtos, a conexidade também é preservada, sem restrição sobre a quantidade de fatores.
Se o produto é conexo, cada fator é conexo por ser imagem contínua do produto por uma projeção.
Reciprocamente, suponha todos os fatores conexos e fixe \(a=(a_\lambda )\) no produto. Para cada subconjunto finito \(F\subset \Lambda \), seja \(X_F\) o conjunto dos pontos que podem diferir de \(a\) apenas nas coordenadas de \(F\). Então \(X_F\) é homeomorfo ao produto finito \(\prod _{\lambda \in F}X_\lambda \), logo é conexo. Todos os \(X_F\) contêm \(a\), portanto
é conexo.
O conjunto \(D\) é denso no produto: um aberto básico restringe apenas finitíssimas coordenadas, e podemos escolher nelas um ponto adequado, mantendo as demais coordenadas iguais às de \(a\). Como o fecho de um conexo é conexo, \(\overline D=\prod X_\lambda \) é conexo.
As somas têm o comportamento oposto.
Cada somando é aberto e fechado na soma. Assim, se há pelo menos dois somandos não vazios, qualquer um deles é um clopen não trivial.
| Subespaços | Quocientes | Produtos | Somas | |
|---|---|---|---|---|
| Conexo | Não | Sim | Sim | Não |
9.6 Conexidade por caminhos
A conexidade exclui separações por abertos. A conexidade por caminhos exige que quaisquer dois pontos possam ser ligados por uma aplicação contínua de um intervalo.
Dois caminhos podem ser colados quando o final do primeiro coincide com o início do segundo.
As duas fórmulas são contínuas em seus intervalos de definição e coincidem em \(t=1/2\), onde ambas assumem o valor \(y\). O lema da colagem garante a continuidade da concatenação.
A existência de caminhos define uma relação de equivalência: dois pontos são equivalentes quando podem ser ligados por um caminho. Suas classes são as componentes conexas por caminhos.
Fixe \(x_0\in X\). Para cada \(x\in X\), escolha um caminho \(\gamma _x\) de \(x_0\) a \(x\). A imagem \(\gamma _x([0,1])\) é conexa, pois é imagem contínua do intervalo. Todas essas imagens contêm \(x_0\) e sua união é \(X\). Pelo lema do ponto comum, \(X\) é conexo.
A recíproca não vale, como mostra o exemplo da curva seno do topólogo.
Considere
A primeira parte é a imagem contínua de \((0,\infty )\) e, portanto, é conexa. O conjunto \(S\) é exatamente seu fecho, logo também é conexo.
Entretanto, \(S\) não é conexo por caminhos. Suponha que \(\gamma (t)=(u(t),v(t))\) ligue um ponto do segmento vertical a um ponto da curva. Seja
Para \(t\gt t_0\) suficientemente próximo de \(t_0\), temos \(u(t)\gt 0\), enquanto \(u(t)\to 0\) quando \(t\downarrow t_0\). Pela propriedade do valor intermediário de \(u\), em intervalos arbitrariamente pequenos à direita de \(t_0\) a função \(u\) assume valores \(x\) para os quais \(\sin (1/x)=1\) e também valores para os quais \(\sin (1/x)=-1\). Assim existem sequências \(s_n,t_n\downarrow t_0\) com
A continuidade de \(v\) em \(t_0\) exigiria simultaneamente \(v(t_0)=1\) e \(v(t_0)=-1\), absurdo.
Nesse exemplo há uma única componente conexa, mas duas componentes conexas por caminhos: a curva oscilante e o segmento vertical. A componente dada pela curva não é fechada. Isso mostra uma diferença importante: componentes conexas são sempre fechadas; componentes por caminhos, não.
O lema do ponto comum continua válido com “conexo” substituído por “conexo por caminhos”.
Escolha \(p\) na interseção. Dados \(x,y\) na união, existem índices \(\lambda \) e \(\mu \) com \(x\in C_\lambda \) e \(y\in C_\mu \). Dentro de \(C_\lambda \) há um caminho de \(x\) a \(p\), e dentro de \(C_\mu \) há um caminho de \(p\) a \(y\). A concatenação desses caminhos permanece na união e liga \(x\) a \(y\).
Uma direção segue das projeções. Para a outra, dados \(x=(x_\lambda )\) e \(y=(y_\lambda )\), escolha para cada \(\lambda \) um caminho \(\gamma _\lambda :[0,1]\to X_\lambda \) de \(x_\lambda \) a \(y_\lambda \). A aplicação
é contínua pela propriedade universal da topologia produto e liga \(x\) a \(y\).
Dados \(z=e^{i\alpha }\) e \(w=e^{i\beta }\) em \(\mathbb S^1\), a aplicação
é um caminho de \(z\) a \(w\). Logo o círculo é conexo por caminhos e conexo. O toro também é conexo por caminhos, tomando um caminho em cada coordenada. Em contraste, \(\mu _n\) tem componentes unitárias e, se \(n\gt 1\), não é conexo.
Em qualquer grupo topológico \(G\), a componente conexa \(G_e\) da identidade é um subgrupo fechado e normal. Seu fecho é conexo e, pela maximalidade, coincide com \(G_e\). A imagem de \(G_e\times G_e\) pela aplicação \((x,y)\mapsto xy^{-1}\) é conexa e contém \(e\), portanto está contida em \(G_e\). A conjugação \(x\mapsto axa^{-1}\) leva \(G_e\) em si mesmo, pois é um homeomorfismo que fixa \(e\). Finalmente, a componente de \(a\) é \(aG_e\). No círculo, \(G_e=\mathbb S^1\); em \(\mu _n\), \(G_e=\{ 1\} \).
9.7 Conexidade local
A conexidade do espaço não garante a existência de vizinhanças conexas arbitrariamente pequenas. Para exigir essa propriedade em torno de cada ponto, introduzimos a noção de conexidade local.
Todo espaço localmente conexo por caminhos é localmente conexo. A recíproca não é verdadeira em geral.
A caracterização seguinte transforma uma definição local numa afirmação sobre componentes.
Suponha \(X\) localmente conexo e seja \(C\) uma componente de um aberto \(U\). Para \(x\in C\), escolha uma vizinhança aberta conexa \(V\) com \(x\in V\subset U\). Como \(V\) encontra \(C\), a maximalidade da componente implica \(V\subset C\). Logo \(C\) é aberta.
Reciprocamente, dado \(x\in U\) aberto, tome a componente \(C\) de \(U\) que contém \(x\). Por hipótese, \(C\) é aberta; sendo conexa e contida em \(U\), ela fornece a vizinhança básica desejada.
A mesma caracterização vale para conexidade local por caminhos.
Suponha primeiro que \(X\) seja localmente conexo por caminhos e seja \(C\) uma componente conexa por caminhos de um aberto \(U\). Para cada \(x\in C\), escolha uma vizinhança aberta e conexa por caminhos \(V\) com \(x\in V\subset U\). Como \(V\) encontra \(C\), a maximalidade da componente por caminhos implica \(V\subset C\). Logo \(C\) é aberta.
Reciprocamente, dado \(x\in U\) com \(U\) aberto, tome a componente conexa por caminhos de \(U\) que contém \(x\). Por hipótese, ela é aberta; sendo conexa por caminhos e contida em \(U\), fornece a vizinhança básica exigida.
As componentes por caminhos de um aberto são abertas. Se o aberto é conexo, ele não pode ser união de duas ou mais componentes abertas disjuntas; portanto há uma única componente por caminhos.
9.7.1 Comportamento topológico
Subespaços arbitrários não preservam conexidade local. Por exemplo, \(\{ 0\} \cup \{ 1/n:n\geq 1\} \subset \mathbb {R}\) não é localmente conexo em \(0\), embora \(\mathbb {R}\) seja. Subespaços abertos, porém, preservam tanto conexidade local quanto conexidade local por caminhos.
A conexidade local também é preservada por quocientes.
Seja \(U\subset Y\) aberto. Então \(q^{-1}(U)\) é aberto em \(X\). Suponha primeiro \(X\) localmente conexo e seja \(C\) uma componente conexa de \(U\). Cada componente de \(q^{-1}(U)\) é aberta. A imagem de uma dessas componentes por \(q\) é conexa e, portanto, está contida em uma componente de \(U\). Assim \(q^{-1}(C)\) é união de componentes de \(q^{-1}(U)\), logo é aberto. Como \(q\) é quociente, \(C\) é aberto. Pela caracterização anterior, \(Y\) é localmente conexo.
O mesmo argumento, substituindo componentes conexas por componentes conexas por caminhos, prova a segunda afirmação.
Produtos finitos preservam conexidade local e conexidade local por caminhos. Para produtos infinitos, essa conclusão pode falhar.
Somas arbitrárias preservam as duas propriedades locais, pois cada somando é um subespaço aberto e fechado.
| Subespaços | Quocientes | Produtos | Somas | |
|---|---|---|---|---|
| Localmente conexo | abertos | Sim | finitos | Sim |
| \shortstack{Localmente conexo\\por caminhos} | abertos | Sim | finitos | Sim |
Sejam \(\tau _1\subset \tau _2\) topologias no mesmo conjunto \(X\). Determine quais implicações entre conexidade de \((X,\tau _1)\) e de \((X,\tau _2)\) são válidas. Seja \((A_i)_{i\in I}\) uma família de subconjuntos conexos de \(X\) tal que \(A_i\cap A_j\neq \varnothing \) para todos \(i,j\). Mostre que \(\bigcup _i A_i\) é conexo. Se \(C\subset X\) é conexo e encontra tanto \(A\) quanto \(X\setminus A\), mostre que \(C\) encontra a fronteira de \(A\). Mostre que um conjunto infinito com a topologia cofinita é conexo. Mostre que toda função contínua \(f:\mathbb {R}\to \mathbb {N}\), com \(\mathbb {N}\) discreto, é constante. Se \(A\subset X\) é aberto, fechado, conexo e não vazio, mostre que \(A\) é uma componente conexa de \(X\). Use pontos de corte para mostrar que \((0,1)\) e \((0,1]\) não são homeomorfos. Mostre que nenhum subconjunto de \(\mathbb {R}\) é homeomorfo a \(S^1\). Para \(n\gt 1\), mostre que \(\mathbb {R}\) e \(\mathbb {R}^n\) não são homeomorfos. Sugestão: remova um ponto e compare a conexidade do que resta. Se \(f:[0,1]\to [0,1]\) é contínua, mostre que \(f\) possui um ponto fixo. Se \(f:S^1\to \mathbb {R}\) é contínua, mostre que existe \(x\in S^1\) tal que \(f(x)=f(-x)\). Prove que a imagem contínua e sobrejetiva de um espaço conexo por caminhos é conexa por caminhos. Mostre que o fecho de um conjunto conexo por caminhos pode deixar de ser conexo por caminhos. Prove que \(\prod _i X_i\) é conexo por caminhos se, e somente se, cada \(X_i\) é conexo por caminhos. Seja \(n\gt 1\) e \(A\subset \mathbb {R}^n\) enumerável. Mostre que \(\mathbb {R}^n\setminus A\) é conexo por caminhos.
Conexidade, conexidade por caminhos e suas versões locais são condições distintas. A primeira exclui separações do espaço por abertos; a segunda exige caminhos entre quaisquer dois pontos; as condições locais exigem bases de vizinhanças com essas propriedades. A curva seno do topólogo e o espaço pente mostram diferenças entre essas noções, que serão utilizadas posteriormente no estudo de espaços com estrutura geométrica e algébrica.
9.8 Exercícios complementares
listas:src-124[Intermediário] listas:src-124 Sejam \(\tau _1\) e \(\tau _2\) topologias sobre um conjunto \(X\) tais que \(\tau _1\subseteq \tau _2\).
Se \((X,\tau _1)\) é conexo, então \((X,\tau _2)\) é conexo?
Se \((X,\tau _2)\) é conexo, então \((X,\tau _1)\) é conexo?
listas:src-125[Intermediário] listas:src-125 Sejam \(X\) um espaço topológico e \(\{ A_i : i \in I\} \) uma família de subconjuntos conexos de \(X\) tal que \(A_i \cap A_j \neq \emptyset \), quaisquer que sejam \(i, j \in I\). Mostre que \(\bigcup _{i \in I} A_i\) é conexo.
listas:src-126[Intermediário] listas:src-126 Sejam \(X\) um espaço topológico, \(C \subseteq X\) conexo e \(A \subseteq X\). Mostre que se \(C \cap A \neq \emptyset \) e \(C \cap (X - A) \neq \emptyset \), então \(C \cap \operatorname {fr}(A) \neq \emptyset \).
listas:src-128[Básico] listas:src-128 Mostre que se \(f : \mathbb {R} \to \mathbb {N}\) é contínua, então \(f\) é constante.
listas:src-129[Básico] listas:src-129 Sejam \(X\) um espaço topológico e \(A\) um subconjunto aberto e fechado de \(X\). Mostre que se \(A\) é conexo e não-vazio, então \(A\) é uma componente conexa de \(X\).
listas:src-130[Intermediário] listas:src-130 Sejam \(X\) e \(Y\) espaços topológicos.
Mostre que se \(X\) é conexo por caminhos e \(f : X \to Y\) é sobrejetora e contínua, então \(Y\) também é conexo por caminhos.
Mostre que se \(\{ A_i : i \in I\} \) é uma família de subconjuntos conexos por caminhos de \(X\) tal que \(\bigcap _{i \in I} A_i \neq \emptyset \), então \(\bigcup _{i \in I} A_i\) é conexo por caminhos.
listas:src-131[Básico] listas:src-131 Sejam \(X\) um espaço topológico e \(x_0 \in X\). Mostre que \(X\) é conexo por caminhos se, e somente se, para cada \(x \in X\), existe um caminho em \(X\) unindo \(x\) a \(x_0\).
listas:src-132[Avançado] listas:src-132 Mostre que o fecho de um subconjunto conexo por caminhos de um espaço topológico não é, necessariamente, conexo por caminhos.
listas:src-133[Intermediário] listas:src-133 Seja \(\{ X_i : i \in I\} \) uma família de espaços topológicos (não-vazios). Mostre que \(\prod _{i \in I} X_i\) é conexo por caminhos se, e somente se, cada \(X_i\) é conexo por caminhos.
listas:src-134[Avançado] listas:src-134 Seja \(n \gt 1\). Mostre que se \(A\) é um subconjunto enumerável de \(\mathbb {R}^{n}\), então \(\mathbb {R}^{n} - A\) é conexo por caminhos.
listas:src-135[Intermediário] listas:src-135 Mostre que:
\(]0, 1[\) e \(]0, 1]\) não são homeomorfos.
Nenhum subconjunto de \(\mathbb {R}\) é homeomorfo a \(S^{1}\).
Se \(n \gt 1\), então \(\mathbb {R}\) e \(\mathbb {R}^{n}\) não são homeomorfos.
listas:src-136[Básico] listas:src-136 Mostre que se \(f : [0, 1] \to [0, 1]\) é contínua, então \(f\) possui um ponto fixo.
listas:src-137[Intermediário] listas:src-137 Mostre que se \(f : S^{1} \to \mathbb {R}\) é contínua, então existe \(x \in S^{1}\) tal que \(f(x) = f(-x)\).
listas:src-241[Básico] listas:src-241 Sejam \(X\) um espaço topológico e \(\{ A_n : n \in \mathbb {N}\} \) uma família de subconjuntos conexos de \(X\) tal que \(A_n \cap A_{n + 1} \neq \emptyset \) para todo \(n \in \mathbb {N}\). Mostre que \(\bigcup _{n \in \mathbb {N}} A_n\) é conexo.
listas:src-422[Avançado] listas:src-422 Seja \(X\) um espaço topológico \(T_{3\frac{1}{2}}\) com \(1\lt |X|\lt 2^{\aleph _0}\). Mostre que \(X\) não é conexo.
listas:src-423[Avançado] listas:src-423 Mostre que, se \(E\subseteq \mathbb {R}^2\) é tal que \(|E|\lt 2^{\aleph _0}\), então \(\mathbb {R}^2\setminus E\) é conexo por caminhos.
listas:src-427[Básico] listas:src-427 Caracterize as funções contínuas \(f:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {Q}\).
listas:src-430[Básico] listas:src-430 Prove ou dê um contraexemplo:
Se \(X\) é um espaço topológico discreto, então todas as componentes conexas em \(X\) são conjuntos unitários.
Se \(X\) é um espaço topológico tal que todas as componentes conexas em \(X\) são conjuntos unitários, então \(X\) é discreto.
listas:src-436[Básico] listas:src-436 Sejam \(X\) um espaço topológico conexo, \(f:X\rightarrow \mathbb {R}\) contínua e \(a,b\in X\) distintos, e suponha que \(f(a)\lt f(b)\). Prove que, dado \(c\in \; ]f(a),f(b)[\), existe \(x\in X\setminus \{ a,b\} \) tal que \(f(x)=c\).
listas:src-438[Básico] listas:src-438 Caracterize as componentes conexas de \(\mathbb {Q}\) (com a topologia euclidiana).