Espaços Métricos

1.1 Da distância à estrutura

Em análise, a noção de aproximação depende dos objetos considerados. Para números reais, a distância é medida por \(|x-y|\); para vetores, por uma norma; para funções, pode ser medida pelo maior erro pontual ou por um erro médio. Essas medidas têm propriedades comuns: pontos distintos têm distância positiva, a ordem dos pontos não altera a distância e a distância direta não excede a soma das distâncias por um ponto intermediário.

Fréchet reuniu essas propriedades em 1906, ao introduzir os espaços métricos. Essa formulação permite estudar proximidade, abertura, continuidade e convergência sem recorrer a coordenadas, conservando as propriedades da distância necessárias a esses conceitos.

O ponto de partida pode ser visto na definição usual de continuidade. Para \(f:I\subset \mathbb {R}^n\to \mathbb {R}^m\), escrevemos

O papel das normas nessa expressão é apenas medir duas distâncias: uma no domínio e outra no contradomínio. Se \(X\) e \(Y\) admitirem funções distância \(d_X\) e \(d_Y\), a mesma condição se escreve

Para generalizar a continuidade dessa maneira, é necessário definir quais propriedades uma função distância deve satisfazer.

1.2 Métricas e primeiros exemplos

Os elementos de \(X\) serão chamados de pontos. Essa terminologia é útil mesmo quando \(X\) é um conjunto de funções, sequências ou outros objetos sem uma representação geométrica imediata. A desigualdade do último item é a desigualdade triangular; ela formaliza a ideia de que passar por um ponto intermediário não encurta o caminho direto.

Em algumas aplicações, a medida de distância disponível não distingue todos os objetos. A noção de pseudométrica permite considerar essa situação.

Uma pseudométrica pode satisfazer \(d(x,y)=0\) para \(x\ne y\). Essa é a única diferença entre as duas definições. Ao identificar pontos cuja distância é zero, obtém-se um espaço métrico; um exercício ao fim da seção tornará essa passagem precisa.

Exemplo 1.6 (Distâncias entre funções)

Fixe \(a\lt b\) e denote por \(\mathcal B([a,b])\) o conjunto das funções limitadas \(f:[a,b]\to \mathbb {R}\). O maior erro entre duas funções define a métrica

\[ d_\infty (f,g)=\sup \{ |f(x)-g(x)|:x\in [a,b]\} , \]

chamada métrica do supremo. Aqui, cada função é um ponto do espaço; a distância registra a pior discrepância entre os dois gráficos.

Como funções contínuas em \([a,b]\) são limitadas, \(C([a,b],\mathbb {R})\) é um subespaço de \(\mathcal B([a,b])\). Nesse subespaço também podemos medir um erro médio: para \(1\leq p\lt \infty \),

\[ d_p(f,g)=\left(\int _a^b |f(x)-g(x)|^p\, dx\right)^{\frac{1}{p}}. \]

A desigualdade triangular é a desigualdade de Minkowski. Além disso, como \(|f-g|^p\) é contínua e não negativa, integral nula implica \(f=g\); portanto, nessa classe de funções, as expressões acima são de fato métricas. Essas métricas não medem a mesma coisa que \(d_\infty \); mais adiante veremos que essa diferença altera inclusive quais sequências de funções convergem.

Exemplo 1.7 (Distância combinatória)

Se \(G=(V,E)\) é um grafo conexo, defina \(d_G(x,y)\) como o menor número de arestas em um caminho que liga \(x\) a \(y\). A concatenação de um caminho mínimo de \(x\) a \(y\) com um caminho mínimo de \(y\) a \(z\) produz um percurso de \(x\) a \(z\). Como a distância é o menor comprimento possível,

\[ d_G(x,z)\leq d_G(x,y)+d_G(y,z). \]

As demais propriedades são imediatas. Essa é a distância no grafo.

1.2.1 Bolas e conjuntos abertos

Os adjetivos “aberta” e “fechada” serão justificados em breve. Eles não significam que uma seja o complementar da outra: o complementar de \(B\left({x};{r}\right)\) é formado pelos pontos a distância ao menos \(r\) de \(x\).

Esse argumento mostra que uma métrica permite separar pontos distintos por bolas disjuntas. Em uma pseudométrica, isso pode falhar: pontos distintos a distância zero pertencem exatamente às mesmas bolas.

1.2.2 A topologia determinada pela métrica

O Teorema 1.17 diz precisamente que \(\mathcal T_{d}\) é uma topologia. No capítulo seguinte inverteremos o percurso: as três propriedades dos abertos serão tomadas como axiomas, mesmo quando nenhuma distância tiver sido escolhida.

1.2.3 Quando distâncias diferentes geram os mesmos abertos

Equivalência não significa igualdade das distâncias. Em \(\mathbb {Z}\), por exemplo, a métrica usual e a métrica discreta induzem a mesma topologia. Para a primeira,

e, na métrica discreta, \(\{ m\} =B_{\mathrm{disc}}(m;\frac12)\). Logo, em ambas, todo subconjunto é aberto.

Dizemos que \(d_1\) e \(d_2\) são Lipschitz-equivalentes quando existem \(h,k\gt 0\) com

para todos \(x,y\in X\).

1.3 Continuidade

A continuidade não exige a preservação de distâncias, mas o controle das variações da imagem a partir das variações no domínio. O raio escolhido no domínio pode depender do ponto e da precisão exigida no contradomínio.

Em termos de bolas, a continuidade em \(a\) significa que uma bola centrada em \(a\) pode ser escolhida de modo que sua imagem esteja contida em qualquer bola previamente fixada em torno de \(f(a)\). O resultado seguinte exprime essa condição apenas em termos de abertos, sem mencionar os raios.

1.4 Sequências e Convergência

A convergência em um espaço métrico pode ser estudada por meio de distâncias, que são números reais. Isso permite formular limites em \(X\) sem supor que seus pontos possam ser somados, ordenados ou descritos por coordenadas.

Em outras palavras, \(x_n\to x\) exatamente quando a sequência real \(d(x_n,x)\) converge para zero. A mesma condição pode ser lida apenas com bolas.

Em espaços topológicos mais gerais, uma sequência pode ter mais de um limite. A unicidade acima é uma consequência da separação por bolas estabelecida na Proposição 1.13.

1.5 Vizinhanças

Na formulação da continuidade, as bolas podem ser substituídas por conjuntos que contenham um aberto em torno do ponto. Esses conjuntos não precisam ser bolas nem possuir uma forma geométrica particular. Isso motiva a noção de vizinhança.

Uma vizinhança não precisa ser aberta. Ela apenas precisa conter um aberto que contenha \(x\). Essa distinção será útil quando a linguagem métrica for substituída pela linguagem puramente topológica.

Para cada \(x\), as bolas \(\{ B\left({x};{r}\right):r\gt 0\} \) formam uma base de vizinhanças. A família enumerável

também é uma base. A possibilidade de usar apenas os raios \(1/m\) fundamenta as caracterizações por sequências nos espaços métricos.

1.6 Produtos finitos de espaços métricos

Considere espaços métricos \((M_i,d_i)\), com \(1\leq i\leq n\), e escreva \(M=M_1\times \cdots \times M_n\). Há três escolhas particularmente úteis para medir a distância entre \(x=(x_1,\ldots ,x_n)\) e \(y=(y_1,\ldots ,y_n)\):

Cada fórmula reúne as distâncias das coordenadas de uma maneira diferente. Como o número de fatores é finito, porém, as três conduzem à mesma noção de proximidade.

Uma métrica fornece simultaneamente uma linguagem quantitativa e uma estrutura topológica: com ela medimos distâncias, mas também reconhecemos abertos, continuidade e convergência. As comparações feitas ao longo do capítulo mostram, contudo, que a parte topológica não registra todos os detalhes numéricos da distância. No capítulo seguinte, os conjuntos abertos passarão a ser o dado inicial, sem que seja preciso escolher antes uma métrica.

1.7 Exercícios complementares

Os níveis indicam o esforço esperado após a leitura do capítulo: básico, para aplicações diretas das definições; intermediário, para combinar resultados ou construir exemplos; avançado, para argumentos mais longos ou construções menos imediatas. A classificação é uma orientação de estudo. A indicação solução leva à resolução correspondente ao final das notas.

listas:src-001[Básico] listas:src-001 Sejam \(X\) um conjunto e \(d : X \times X \to \mathbb {R}\) uma função satisfazendo as seguintes condições:

• \(d(x, x) = 0\) qualquer que seja \(x \in X\);

• \(d(x, y) = d(y, x)\) quaisquer que sejam \(x, y \in X\);

• \(d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)\) quaisquer que sejam \(x, y, z \in X\).

Mostre que \(d(x, y) \geq 0\) quaisquer que sejam \(x, y \in X\).

listas:src-002[Intermediário] listas:src-002 Seja \(X\) um conjunto. Considere as seguintes propriedades referentes a uma função \(d : X \times X \to \mathbb {R}\):

• \(d(x, y) = 0\) se, e somente se, \(x = y\);

• \(d(x, z) \leq d(z, y) + d(y, x)\) quaisquer que sejam \(x, y, z \in X\).

1. Mostre que qualquer métrica \(d\) sobre \(X\) satisfaz as duas propriedades acima.

2. Mostre que se \(d\) satisfaz tanto a primeira quanto a segunda propriedade, então \(d\) é uma métrica sobre \(X\).

3. Seja \(X = \mathbb {R}\). Mostre que:

   1. \(d(x, y) = x - y\) satisfaz a primeira propriedade, mas não a segunda;

   2. \(d(x, y) = |x - y| + 1\) satisfaz a segunda propriedade, mas não a primeira.

listas:src-003[Intermediário] listas:src-003 Denotemos por \(\mathcal{R}([a, b])\) o conjunto das funções Riemann-integráveis definidas em \([a, b]\).

1. Mostre que \(d : \mathcal{R}([a, b]) \times \mathcal{R}([a, b]) \to \mathbb {R}\) dada por

   \[ d(f, g) = \int _{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx \]

   satisfaz as condições \(d(f,f)=0\), \(d(f,g)=d(g,f)\) e \(d(f,h)\leq d(f,g)+d(g,h)\).

2. \(d\) é uma métrica sobre \(\mathcal{R}([a, b])\)? Justifique sua resposta.

3. Considere a seguinte relação de equivalência sobre \(\mathcal{R}([a, b])\):

   \[ f \sim g \Leftrightarrow d(f, g) = 0. \]

   Denotemos por \(\bar{f}\) a classe de equivalência de \(f\) e por \(X\) o conjunto das classes de equivalência dos elementos de \(\mathcal{R}([a, b])\). Mostre que \(\bar{d} : X \times X \to \mathbb {R}\) dada por

   \[ \bar{d}(\bar{f}, \bar{g}) = d(f, g) \]

   está bem definida e é uma métrica sobre \(X\).

listas:src-004[Intermediário] listas:src-004 Para cada \(i \in \{ 1, 2\} \), seja \(d_i\) uma métrica sobre um conjunto \(X\) e seja \(\tau _{d_i}\) a família de todos os subconjuntos abertos de \((X, d_i)\). Considere as afirmações a seguir:

1. existe \(c \gt 0\) tal que, para quaisquer \(x, y \in X\), tem-se \(c \cdot d_1(x, y) \geq d_2(x, y)\);

2. para quaisquer \(x \in X\) e \(r \gt 0\), existe \(r' \gt 0\) tal que \(B_{d_1}(x, r') \subseteq B_{d_2}(x, r)\);

3. \(\tau _{d_1} \supseteq \tau _{d_2}\).

1. Mostre que \((i) \Rightarrow (ii) \Leftrightarrow (iii)\).

2. Denote por \(d_2\) a métrica usual sobre \(\mathbb {R}\). Mostre que

   \[ d_1(x, y) = \frac{d_2(x, y)}{1 + d_2(x, y)} \]

   define uma métrica sobre \(\mathbb {R}\), tal que \(\tau _{d_1} = \tau _{d_2}\).

3. Mostre que não existe \(c \gt 0\) de modo que \(c \cdot d_1(x, y) \geq d_2(x, y)\) para quaisquer \(x, y \in \mathbb {R}\).

listas:src-005[Básico] listas:src-005 Considere em \(\mathbb {R}^n\), com \(n\geq 1\), as métricas euclidiana \(d(x,y)=(\sum _{j=1}^n|x_j-y_j|^2)^{1/2}\) e do máximo \(\rho (x,y)=\max _{1\leq j\leq n}|x_j-y_j|\). Prove que \(\rho (x,y)\leq d(x,y)\leq \sqrt n\, \rho (x,y)\) e conclua que \(\tau _d=\tau _\rho \).

listas:src-006[Intermediário] listas:src-006 Seja \((M,d)\) um espaço métrico. Defina (a métrica limitada padrão) \(\overline{d}: M\times M\to \mathbb {R}\) por \(\overline{d}(x, y) = \min \{ d(x, y), 1\} \). Mostre que:

1. \(\overline{d}\) é uma métrica em \(M\);

2. \(d\) e \(\overline{d}\) são equivalentes

3. Todo \(A\subset M\) é limitado em \((M, \overline{d})\), mas não necessariamente limitado em \((M, d)\).

listas:src-007[Intermediário] listas:src-007 Sejam \((M_1, d_1), (M_2, d_2), \ldots , (M_n, d_n)\) espaços métricos.

1. Mostre que

   1. \(d(x, y) = \sqrt{\sum _{i = 1}^{n} d_i(x_i, y_i)^2}\)

   2. \(d'(x, y) = \sum _{i = 1}^{n} d_i(x_i, y_i)\)

   3. \(d''(x, y) = \max \{ d_i(x_i, y_i) : 1 \leq i \leq n\} \)

   definem métricas sobre \(M_1 \times M_2 \times \ldots \times M_n\).

2. Mostre que, para \(x, y \in M_1 \times M_2 \times \ldots \times M_n\) arbitrários, tem-se

   \[ d''(x, y) \leq d(x, y) \leq d'(x, y) \leq n \cdot d''(x, y) \]

   e conclua que \(d\), \(d'\) e \(d''\) são equivalentes (isto é, \(\tau _{d} = \tau _{d'} = \tau _{d''}\)).

listas:src-008[Intermediário] listas:src-008 Denotemos por \(\mathcal{C}([a, b])\) o conjunto das funções contínuas definidas em \([a, b]\) a valores reais.

Mostre que

e

definem métricas sobre \(\mathcal{C}([a, b])\) e que \(\tau _d\) é mais fina que \(\tau _d'\) (isto é, que \(\tau _d \supseteq \tau _{d'}\)).

listas:src-009[Avançado] listas:src-009 Seja \(p\) primo. Para \(x\in \mathbb {Q}\setminus \{ 0\} \), escreva \(x=p^r c/d\), com \(r\in \mathbb {Z}\) e inteiros \(c,d\) não divisíveis por \(p\). Defina \(|x|_p=p^{-r}\) e \(|0|_p=0\).

1. Prove que a definição independe da representação de \(x\), que \(|x|_p=0\) se, e somente se, \(x=0\), e que \(|xy|_p=|x|_p|y|_p\).

2. Prove que \(|x+y|_p\leq \max \{ |x|_p,|y|_p\} \) e conclua que \(d_p(x,y)=|x-y|_p\) é uma métrica em \(\mathbb {Q}\).

3. Investigue a substituição de \(p\) por um inteiro composto: a escrita com numerador e denominador não divisíveis por esse inteiro determina um valor único? Analise o caso do inteiro \(6\) e de \(x=2\).

listas:src-010[Intermediário] listas:src-010 Com o valor absoluto \(p\)-ádico definido no Exercício 1.39, mostre que \(| \, |_{p}\) satisfaz uma desigualdade triangular mais forte:

Mostre que a igualdade é válida sempre que \(|x|_{p}\neq |y|_{p}.\)

listas:src-017[Básico] listas:src-017 Seja \(X\) um conjunto não-vazio. Mostre que

define uma norma sobre \(\mathcal{B}(X)\). Aqui \(\mathcal B(X)\) é o espaço vetorial das funções limitadas \(X\to \mathbb {R}\).

listas:src-018[Intermediário] listas:src-018 Seja \(|| \ ||\) uma norma sobre um espaço vetorial real \(V\).

1. Mostre que

   \[ \begin{array}{cccc} d : & V \times V & \to & \mathbb {R} \\ & (x, y) & \mapsto & ||x - y|| \end{array} \]

   é uma métrica sobre \(V\), denominada a métrica proveniente da norma \(|| \ ||\).

2. Mostre que se \(d\) é uma métrica sobre \(V\) proveniente de uma norma, então

   \[ d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda | d(x, y) \ \ \ \hbox{e} \ \ \ d(x + z, y + z) = d(x, y) \]

   para quaisquer \(x, y, z \in V\) e \(\lambda \in \mathbb {R}\).

3. Dê exemplo de uma métrica sobre um espaço vetorial real que não provém de uma norma.

4. Mostre que se \(d\) é uma métrica sobre \(V\) tal que

   \[ d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda | d(x, y) \ \ \ \hbox{e} \ \ \ d(x + z, y + z) = d(x, y) \]

   para quaisquer \(x, y, z \in V\) e \(\lambda \in \mathbb {R}\), então \(d\) provém de uma norma.

listas:src-145[Básico] listas:src-145 Seja \((X, d)\) um espaço métrico não vazio. Dizemos que \(S \subseteq X\) é limitado se existe \(c \gt 0\) tal que \(d(x,y)\leq c\) para quaisquer \(x,y\in S\). Mostre que \(S \subseteq X\) é limitado se, e somente se, \(S\) está contido em alguma bola de \(X\).

listas:src-259[Intermediário] listas:src-259 Sejam \(d_1\) e \(d_2\) métricas sobre um conjunto \(X\neq \emptyset \). Considere as afirmações a seguir:

• existe \(c\gt 0\) tal que, para quaisquer \(x,y\in X\), tem-se \(c\cdot d_1(x,y)\ge d_2(x,y)\);

• para quaisquer \(x\in X\) e \(r\gt 0\), existe \(r'\gt 0\) tal que \(B_{d_1}(x,r')\subseteq B_{d_2}(x,r)\);

• \(\tau _{d_1}\supseteq \tau _{d_2}\).

• Prove que \((i)\rightarrow (ii)\leftrightarrow (iii)\).

• Sejam \(d_2\) a métrica euclidiana sobre \(\mathbb {R}\) e \(d_1:\mathbb {R}\times \mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}_+\) definida por

  \[ d_1(x,y)=\frac{d_2(x,y)}{1+d_2(x,y)}. \]

  Verifique que \(d_1\) é uma métrica sobre \(\mathbb {R}\).

• Mostre que as métricas \(d_1\) e \(d_2\) do item anterior satisfazem a condição \((ii)\) mas não satisfazem a condição \((i)\).

listas:src-260[Intermediário] listas:src-260 Sejam \((X,d)\) um espaço métrico, \(a\in X\) e \(r\gt 0\). Defina \(B_d[a,r] = \{ x\in X : d(x,a)\le r\} \).

• Mostre que \(\overline{B_d(a,r)}\subseteq B_d[a,r]\).

• Mostre, através de um exemplo, que a igualdade \(\overline{B_d(a,r)}=B_d[a,r]\) pode não ser verdadeira.

• Mostre que a igualdade acima é verdadeira no caso particular em que \(X=\mathbb {R}^n\) (com \(n\in \mathbb {N}\setminus \{ 0\} \)) e \(d\) é a métrica euclidiana.

listas:src-289[Intermediário] listas:src-289

Sejam \(n\) um inteiro positivo e \((X_1,d_1),\dots ,(X_n,d_n)\) espaços métricos. Considere, sobre o produto cartesiano \(X=\prod _{i=1}^n X_i\), a topologia de Tychonoff \(\tau \) obtida a partir dos espaços topológicos \((X_1,\tau _{d_1}),\dots ,(X_n,\tau _{d_n})\).

• Seja \(d:X\times X \longrightarrow \mathbb {R}_+\) definida por

  \[ d(x,y)=\max \{ d_1(x_1,y_1),\dots ,d_n(x_n,y_n)\} \]

  para quaisquer \(x=(x_1,\dots ,x_n)\in X\) e \(y=(y_1,\dots ,y_n)\in X\).

  Prove que \(d\) é uma métrica sobre \(X\) satisfazendo \(\tau _d=\tau \).

• Sejam \(d':X\times X \longrightarrow \mathbb {R}_+\) e \(d'':X\times X \longrightarrow \mathbb {R}_+\) definidas por

  \[ d'(x,y) = d_1(x_1,y_1)+\dots +d_n(x_n,y_n) \]

  e

  \[ d''(x,y) = \sqrt{d_1(x_1,y_1)^2+\dots +d_n(x_n,y_n)^2} \]

  para quaisquer \(x=(x_1,\dots ,x_n)\in X\) e \(y=(y_1,\dots ,y_n)\in X\).

  Mostre que \(d'\) e \(d''\) são métricas sobre \(X\) tais que \(\tau _{d'}=\tau =\tau _{d''}\).

  [Sugestão: Use as desigualdades entre as métricas do máximo, da soma e euclidiana.]

listas:src-324[Básico] listas:src-324 Sejam \((X,d)\) um espaço métrico, \((x_n)_{n\in \mathbb {N}}\) uma sequência em \(X\) e \(x\in X\). Prove que \(x_n\stackrel{n\rightarrow \infty }\longrightarrow x\) (com respeito à topologia em \(X\) associada a \(d\)) se, e somente se, \(d(x_n,x)\stackrel{n\rightarrow \infty }\longrightarrow 0\) (na topologia euclidiana em \(\mathbb {R}_+\)).