Capítulo 3

Variáveis aleatórias

3.1 Variáveis aleatórias e funções de distribuição

Um experimento produz um resultado $\omega $, mas nem sempre é necessário registrar toda a informação contida nele. Em lançamentos de moeda, pode interessar apenas o número de caras; em um componente eletrônico, o tempo até a falha; em um ponto do plano, a distância à origem. Em cada caso, associamos ao resultado uma quantidade numérica.

Para estudar as probabilidades associadas aos valores de uma função $X(\omega )$, precisamos garantir que as condições impostas a esses valores definam eventos. Em particular, a condição “$X\leq x$” deve determinar um evento. Por isso exigimos que

\[ [X\leq x]=\{ \omega \in \Omega :X(\omega )\leq x\} \in \mathcal F \]

para todo $x\in \mathbb R$. Nos exemplos usuais, essa condição será satisfeita; ela garante que expressões como $\P (X\leq x)$ estejam definidas.

Definição 3.1

Uma variável aleatória $X$ em um espaço de probabilidade $(\Omega , \mathcal{F}, \P )$ é uma função real definida no espaço $\Omega $ tal que $[X \leq x]$ é evento para todo $x \in \mathbb {R}$; i.e., $X: \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ é variável aleatória se $[X \leq x] \in $ $\mathcal{F} $ para todo $ x \in \mathbb {R}$.

Na representação $\Omega \xrightarrow {X} \mathbb R$, $X$ é uma regra fixada; a aleatoriedade vem do resultado $\omega $. A condição de que $X$ pertença a um conjunto $B$ é descrita no espaço amostral pela imagem inversa,

\[ [X\in B]=X^{-1}(B). \]

Exemplo 3.1 (Número de caras)

Lançamos uma moeda $n$ vezes. Um resultado é uma sequência $\omega =(\omega _1,\ldots ,\omega _n)$, com cada $\omega _i$ igual a cara ou coroa. Se $X$ conta o número de caras, então

\[ X(\omega )=\# \{ i:\omega _i=\text{cara}\} . \]

A variável aleatória transforma uma sequência inteira em uma única contagem.

Exemplo 3.2 (Uma transformação de um resultado contínuo)

Escolha um ponto $\omega $ uniformemente em $[0,1]$ e defina

\[ X(\omega )=\omega ^2. \]

O experimento produz o ponto $\omega $; a variável aleatória registra o seu quadrado.

Exemplo 3.3 (Distância ao centro)

Escolha um ponto $\omega =(x,y)$ no disco unitário e defina

\[ X(\omega )=\sqrt{x^2+y^2}. \]

Dessa vez, um resultado bidimensional é resumido por uma única quantidade: a distância à origem.

Se o próprio resultado já é um número real, podemos simplesmente tomar $X(\omega )=\omega $. Se o resultado é um ponto do plano, suas coordenadas podem ser registradas por duas variáveis $X$ e $Y$; essa ideia será retomada no capítulo de vetores aleatórios.

Definição 3.2

A função de distribuição da variável aleatória $X$, representada por $F_{X}$ ou simplesmente por $F$, é definida por

\[ F_{X}(x)=\P (X \leq x), \quad x \in \mathbb {R}. \]

A função de distribuição também é chamada de função de distribuição acumulada. Ela determina a distribuição de $X$. Por exemplo, se $a\lt b$,

\[ \P (a\lt X\leq b)=F_X(b)-F_X(a). \]

Assim, conhecer $F_X$ permite calcular probabilidades de intervalos sem retornar ao espaço amostral original. Para esses cálculos, a informação relevante de $\Omega $ está reunida em uma função da reta real.

Exemplo 3.4

Seja $ X = $ número de $ H $ em dois lançamentos independentes de uma moeda justa. Então temos

\begin{equation*} X = \left\{ \begin{array}{cc} 0, & \text{ com probabilidade } \frac14 \\ 1, & \text{ com probabilidade } \frac12 \\ 2, & \text{ com probabilidade } \frac14 \\ \end{array} \right. \end{equation*}

Então, podemos criar a função de distribuição. Esta função apresentará descontinuidades do tipo salto nos pontos $ 0 $, $ 1 $ e $ 2 .$

\begin{equation*} F_X (x) = \P (X \leq x) = \left\{ \begin{array}{cl} 0, & \quad x \lt 0 \\ \frac14, & \quad x \in [0, 1) \\ \frac14 + \frac12, & \quad x \in [1,2) \\ \frac14 + \frac12 + \frac14 , & \quad x \in [2, + \infty ) \end{array} \right. \end{equation*}

Exemplo 3.5

Considere o experimento de sortear ao acaso um ponto no disco unitário $B=\{ (a, b): a^2+b^2\leq 1\} $ em $\mathbb {R}^2$, e defina $X$ como a distância ao centro da bola.

Para modelar este problema podemos considerar que a probabilidade de sortearmos um ponto em uma região $A\in \mathcal{B}(B)$ é proporcional à área de $A .$ Mais especificamente

\[ \P (A)=\frac{\text{ àrea }(A)}{\pi }. \]

Agora, note que $X(a, b)=\sqrt{a^2+b^2}$ e portanto para $x\in [0,1]$

\[ \P (X\leq x)=\P (\{ (a, b): a^2+b^2\leq x^2\} )=\frac{\pi \, x^2}{\pi }=x^2, \]

e portanto

\[ F(x)=\begin{cases} 0 ,& x\lt 0 \\ x^2 ,& 0\leq x\lt 1 \\ 1 ,& x\geq 1 \end{cases}. \]

Teorema 3.1 (Propriedades da Função de Distribuição)

A função de distribuição $ F (x) $ de uma variável aleatória $ X $ possui as seguintes propriedades:

$ F $ é não decrescente e $ 0 \leq F (x) \leq 1 .$
$ F (x) \rightarrow 0 $ quando $ x \rightarrow - \infty $ e $ F (x) \rightarrow 1 $ quando $ x \rightarrow + \infty .$
$ F $ é contínua à direita, ou seja

\[ \lim _{y \rightarrow x^+} F (y) = F (x). \]
$ F $ possui limites à esquerda em todos os pontos. Além disso,

\[ F (x^-): = \lim _{y \rightarrow x^-} F (y) = \P (X \lt x). \]

Em particular,

\[ \P (X = x) = F (x) - F (x^-). \]
$ F $ possui no máximo número enumerável de descontinuidades.

Uma função $F$ contínua à direita e com limites à esquerda é chamada càdlàg, abreviação da expressão francesa continue à droite, limites à gauche.

Demonstração ▼

Se $x\lt y$, então $\{ X\leq x\} \subseteq \{ X\leq y\} $. A monotonicidade de $\P $ mostra que $F(x)\leq F(y)$; os limites $0\leq F\leq 1$ seguem dos axiomas.
Escolha sequências $x_n\downarrow -\infty $ e $y_n\uparrow +\infty $. Então $\{ X\leq x_n\} \downarrow \emptyset $ e $\{ X\leq y_n\} \uparrow \Omega $. Pela continuidade da probabilidade, $F(x_n)\to 0$ e $F(y_n)\to 1$. Como $F$ é monótona, esses são os limites de $F$ nos extremos da reta.
Se $x_n\downarrow x$, então $\{ X\leq x_n\} \downarrow \{ X\leq x\} $. Logo $F(x_n)\to F(x)$, o que prova a continuidade à direita.
Se $y_n\uparrow x$, então $\{ X\leq y_n\} \uparrow \{ X\lt x\} $. Portanto

\[ F(x^-)=\lim _{n\to \infty }F(y_n)=\P (X\lt x). \]

Como $\{ X\leq x\} $ é a união disjunta de $\{ X\lt x\} $ e $\{ X=x\} $, segue que $\P (X=x)=F(x)-F(x^-)$.
Para $m\geq 1$, seja $D_m=\{ x:F(x)-F(x^-)\geq 1/m\} $. Como a soma das probabilidades $\P (X=x)$ não pode exceder $1$, o conjunto $D_m$ tem no máximo $m$ pontos. Toda descontinuidade de $F$ pertence a algum $D_m$; portanto o conjunto de descontinuidades, $\bigcup _{m\geq 1}D_m$, é enumerável.

Proposição 3.2

$ \P (X \in (a, b]) = F (b) - F (a) .$

Definição 3.3

Uma função $F: \mathbb {R}\to [0, 1]$ tal que

$F$ é não-decrescente;
$F$ é contínua pela direita;
$\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0$ e $\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F(x)=1$

é denominada função de distribuição candidata.

Mostraremos que as propriedades apresentadas caracterizam as funções de distribuição: dada uma função que as satisfaça, construiremos uma variável aleatória com essa função de distribuição. A construção também permite obter, no mesmo espaço de probabilidade, sequências de variáveis aleatórias com distribuições previamente especificadas, o que será útil no estudo de sua convergência.

Proposição 3.3

Dada uma função candidata a função de distribuição de probabilidade $F$ então existe uma variável aleatória $X$ tal que a sua função de distribuição de probabilidade é $F$.

Uma construção útil justifica a afirmação. Se $U$ é uniforme em $(0,1)$, defina

\[ X=\inf \{ x\in \mathbb {R}:F(x)\geq U\} . \]

Pela monotonicidade e continuidade à direita de $F$, os eventos $\{ X\leq x\} $ e $\{ U\leq F(x)\} $ coincidem. Assim $\P (X\leq x)=\P (U\leq F(x))=F(x)$.

3.2 Tipos de variáveis aleatórias

As variáveis aleatórias podem ser classificadas em dois tipos principais: discretas e contínuas, dependendo da natureza dos valores que elas podem assumir.

Definição 3.4

A variável aleatória $X$ é dita discreta se toma um número finito ou enumerável de valores, i.e., se existe um conjunto finito ou enumerável $\left\{ x_{1}, x_{2}, \ldots \right\} \subset \mathbb {R}$ tal que $X(\omega ) \in \left\{ x_{1}, x_{2}, \ldots \right\} \text{ para todo }\omega \in \Omega $. A função $p\left(x_{i}\right)$ definida por $p\left(x_{i}\right)=\P \left(X=x_{i}\right), i=1,2, \ldots $, é dita função de probabilidade de $X$.
A variável aleatória $X$ é (absolutamente) contínua se existe uma função $f(x) \geq 0$ tal que

\[ F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x} f(t) d t, \quad \text{ para todo }x \in \mathbb {R} \]

Neste caso, dizemos que $f$ é função de densidade de probabilidade de $X$ ou simplesmente densidade de $X$.

A densidade de probabilidade pode ser compreendida por analogia com a densidade de massa. Nos dois casos, a integral da densidade fornece a quantidade total atribuída a um intervalo.

Densidade de Massa em Uma Dimensão Imagine uma barra fina e longa de material uniforme (por exemplo, um fio ou uma haste), onde a densidade de massa $ \rho (x) $ indica como a massa está distribuída ao longo do comprimento $ x $. A densidade de massa $ \rho (x) $ é medida em unidades de massa por unidade de comprimento (por exemplo, kg/m). Para encontrar a massa total $ M $ em um intervalo $ [a, b] $ ao longo do fio, integramos a densidade de massa sobre esse intervalo:

\[ M = \int _a^b \rho (x) \, dx. \]

Densidade de Probabilidade em Uma Dimensão A densidade de probabilidade $ p(x) $ funciona de maneira semelhante, mas, em vez de medir como a massa está distribuída, ela mede como a probabilidade está distribuída ao longo de um eixo. A densidade de probabilidade $ p(x) $ indica a "concentração" da probabilidade em torno de um ponto $ x $ e é adimensional. A probabilidade total $ P $ de encontrar uma variável aleatória dentro de um intervalo $ [a, b] $ é dada pela integral da densidade de probabilidade nesse intervalo:

\[ P = \int _a^b p(x) \, dx. \]

Exemplo 3.6

Sorteio de Pontos Segundo uma Distribuição de Probabilidade

Considere uma distribuição de probabilidade contínua descrita por uma densidade de probabilidade $ p(x) $ definida no intervalo $ [0, 1] $. Para ilustrar o conceito, vamos considerar uma distribuição linear simples dada por:

\[ p(x) = 2x, \quad \text{para } 0 \leq x \leq 1. \]

Essa função $ p(x) $ indica que a probabilidade de encontrar um valor próximo a $ x $ aumenta à medida que $ x $ cresce. Em outras palavras, valores de $ x $ mais próximos de 1 são mais prováveis de serem escolhidos do que valores próximos de 0. Essa é uma situação análoga a ter uma barra de densidade de massa que se torna mais densa à medida que nos aproximamos de uma das extremidades. Podemos verificar que $ p(x) $ é uma densidade de probabilidade válida, pois ela satisfaz a condição de normalização:

\[ \int _0^1 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_0^1 = 1. \]

Agora, vamos calcular a probabilidade de a variável estar dentro de um subintervalo específico $ [a, b] $, onde $ 0 \leq a \lt b \leq 1 $. Isso pode ser obtido integrando a densidade de probabilidade $ p(x) $ nesse intervalo:

\[ \P (a \leq x \leq b) = \int _a^b 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_a^b = b^2 - a^2. \]

Gráficos das Funções de Distribuição de Variáveis Aleatórias Discreta, Contínua e Mista

Dependendo da natureza da variável aleatória — discreta, contínua ou mista — a forma da função de distribuição apresenta características distintas:

Discreta: Para variáveis aleatórias discretas, a função de distribuição possui uma estrutura em degraus. Isso ocorre porque a probabilidade se acumula em valores específicos, resultando em saltos na função. Entre esses saltos, a função de distribuição permanece constante, indicando que a variável não assume valores intermediários.
Contínua: Para variáveis aleatórias contínuas, a função de distribuição é uma função contínua, sem qualquer tipo de salto. Isso reflete o fato de que a probabilidade é distribuída de maneira contínua ao longo de um intervalo de valores. A continuidade da função indica que a variável pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo onde a função de distribuição é crescente.função.
Mista: A função de distribuição de uma variável aleatória mista combina as características das duas anteriores. Ela apresenta trechos contínuos não constantes, correspondentes a intervalos onde a variável pode assumir um conjunto infinito de valores, e saltos em pontos específicos, onde existe uma probabilidade acumulada discreta.

Figura 3.4 Funções de Distribuição de Variáveis Aleatórias Discreta, Contínua e Mista

Exemplo 3.7

Determine para que valores da constante $c \in \mathbb {R}$, a função abaixo representa uma densidade de probabilidade.

\[ f(x)= \begin{cases} c(1-x)^2, & \text{ se } 0 \leq x\lt 1 / 2 ; \\ 1 /(c+1), & \text{ se } 1 / 2 \leq x \leq 1 ; \\ 0, & \text{ caso contrário. }\end{cases} \]

Para que $f$ seja uma densidade, precisamos de $f(x) \geq 0$ e $\int _{-\infty }^{\infty } f(x)\, dx=1$. Se $c \geq 0$, a primeira condição já está satisfeita; resta impor a normalização:

\[ \int _{-\infty }^{\infty } f(x) d x=\int _{-\infty }^0 0 d x+\int _0^{1 / 2} c(1-x)^2 d x+\int _{1 / 2}^1 \frac{1}{c+1} d x+\int _1^{\infty } 0 d x=1, \]

que resulta em

\[ \left.c \frac{-(1-x)^3}{3}\right|_0 ^{1 / 2}+\left.\frac{x}{c+1}\right|_{1 / 2} ^1=1 \Rightarrow 7 c^2-17 c-12=0 . \]

A solução negativa dessa equação é descartada e obtemos $c=3$.

Proposição 3.4

Se $X$ é discreta, então $[X \leq x]=\underset { x_{i} \leq x}{\bigcup }\left[X=x_{i}\right]$, logo

\[ F_{X}(x)=\sum _{ x_{i} \leq x} \P \left(X=x_{i}\right)=\sum _{ x_{i} \leq x} p\left(x_{i}\right) \]
Se $X$ é absolutamente contínua, então $F_{X}$, sendo uma integral indefinida de $f$, é contínua.

Uma função $f(x) \geq 0$ é densidade de alguma variável aleatória se, e somente se, $\int _{-\infty }^{\infty } f(x) d x=1$, já que neste caso $F$ definida por

\[ F(x)=\int _{-\infty }^{x} f(t) d t \]

é função de distribuição. Reciprocamente, se $f$ é densidade então $\int _{-\infty }^{\infty } f(x) d x=1$.

O critério seguinte permite verificar a existência de densidade para as funções de distribuição regulares consideradas neste curso.

Proposição 3.5

Uma variável aleatória $X$ cuja função de distribuição $F_{X}$ seja

contínua e
continuamente diferenciável por partes, em uma partição finita da reta, com derivada integrável,

possui densidade dada por

\[ f(x)=\begin{cases} F_{X}^{\prime }(x), & \text{se $F_{X}$ é diferenciável em $x$,}\\ 0, & \text{ caso contrário} \end{cases} \]

O valor de $f$ nos poucos pontos onde $F_X$ não é diferenciável é irrelevante para a integral. Em cada trecho, o Teorema Fundamental do Cálculo fornece a variação de $F_X$; somando os trechos e usando $\lim _{x\to -\infty }F_X(x)=0$, obtemos

\[ F_X(a)=\int _{-\infty }^a f(x)\, dx. \]

Por exemplo, seja

\[ F_{X}(x)= \begin{cases} 0, & x\lt 0 \\ x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 1, & x\gt 1\end{cases} \]

Então $X$ tem densidade, pois $F_{X}$ é contínua e

\[ F_{X}^{\prime }(x)= \begin{cases} 1, & x \in (0,1) \\ 0, & x \notin [0,1]\end{cases} \]

Logo a densidade de $X$ é dada por

\[ f(x)=F_{X}'(x)= \begin{cases} 1, & x \in (0,1), \\ 0, & x\lt 0 \text{ ou } x\gt 1.\end{cases} \]

O valor de $f$ nos pontos 0 e 1 é arbitrário, pois qualquer que seja $f(0)$ e $f(1)$, a integral $\int _{-\infty }^{x} f(t) d t$ é ainda igual a $F_{X}(x)$. Costuma-se definir ou $f(0)=f(1)=1$ ou $f(0)=f(1)=0$.

Por outro lado, suponha que

\[ F_{X}(x)= \begin{cases} 0, & x\lt 0 \\ 1, & x \geq 0\end{cases} \]

Aqui $X$ não tem densidade, pois $F_{X}$ não é contínua. De fato $X$ é uma variável aleatória discreta, e $\P (X=0)=1$.

O próximo exemplo apresenta uma variável aleatória que não é discreta nem absolutamente contínua, mas combina os dois tipos de distribuição.

Exemplo 3.8 (Função de Distribuição Mista)

A variável aleatória $X$ tem função de distribuição dada por:

\[ F(x)= \begin{cases} 0, & \text{ se } x\lt 0 \\ x / 4, & \text{ se } 0 \leq x\lt 1 \\ 1 / 2, & \text{ se } 1 \leq x\lt 2 ; \\ 1, & \text{ se } x \geq 2 .\end{cases} \]

O trecho inclinado entre $0$ e $1$ corresponde à parte com densidade. Os saltos em $1$ e $2$, de tamanhos $1/4$ e $1/2$, correspondem às massas pontuais.

Figura 3.5 Função de distribuição mista do Exemplo 3.8 . — Figura 3.5 Função de distribuição mista do Exemplo 3.8.

Teorema 3.6 (Decomposição mista sob hipóteses regulares)

Seja $F$ uma função de distribuição com saltos apenas nos pontos $x_1,\ldots ,x_r$. Escreva

\[ p_i=F(x_i)-F(x_i^-),\qquad H(x)=F(x)-\sum _{x_i\leq x}p_i. \]

Suponha que $H$ seja contínua, continuamente diferenciável por partes em uma partição finita da reta e que sua derivada $h=H'$ seja integrável. Então $F$ é uma mistura de uma distribuição discreta e uma distribuição com densidade:

\[ F=\alpha F_d+(1-\alpha )F_{ac}, \qquad \alpha =\sum _{i=1}^r p_i. \]

Quando $\alpha \gt 0$ e $\alpha \lt 1$, as duas funções de distribuição normalizadas são

\[ F_d(x)=\frac1\alpha \sum _{x_i\leq x}p_i, \qquad F_{ac}(x)=\frac1{1-\alpha }\int _{-\infty }^{x}h(t)\, dt. \]

Se $\alpha =0$ ou $\alpha =1$, permanece apenas a componente não nula.

Demonstração ▼

A subtração da função-degrau remove precisamente os saltos de $F$, de modo que $H$ é a parte contínua. Como $H$ é continuamente diferenciável por partes e $h=H'$ é integrável, o Teorema Fundamental do Cálculo, aplicado em cada trecho, dá

\[ H(x)=\int _{-\infty }^{x}h(t)\, dt. \]

Além disso, $h\geq 0$ nos pontos de diferenciabilidade, pois $H$ é não decrescente. Fazendo $x\to \infty $, obtemos $\int _{-\infty }^{\infty }h(t)\, dt=1-\alpha $. Logo as normalizações exibidas no enunciado são funções de distribuição, e a identidade decorre diretamente da definição de $H$.

A discussão acima dá um método de decompor $F$ em suas partes discreta e absolutamente contínua. Consideremos um exemplo.

Exemplo 3.9

Seja

\[ F_{Y}(x)= \begin{cases} 0, & x\lt 0 \\ x, & 0 \leq x\lt \frac{1}{2} \\ 1, & x \geq \frac{1}{2}\end{cases} \]

$F_{Y}$ tem apenas um salto, em $x=1 / 2$, e $p_{1}=$ salto no ponto $1 / 2=1 / 2$. Logo

\[ F_{d}(x)= \begin{cases} 0, & x\lt \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}, & x \geq \frac{1}{2}\end{cases} \]

Diferenciando, temos

\[ \begin{aligned} & f(x)=F_{Y}^{\prime }(x)= \begin{cases} 0, & x\lt 0 \quad \text{ ou } \quad x\gt \frac{1}{2} \\ 1, & 0\lt x\lt \frac{1}{2}\end{cases}\\ & f(x)=0 \quad \text{ se } \quad x=0 \quad \text{ ou } \quad 1 / 2 \text{ (por definição). } \end{aligned} \]

Logo

\[ F_{a c}(x)=\int _{-\infty }^{x} f(t) d t= \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ x, & 0\lt x \leq \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}, & x\gt \frac{1}{2}\end{cases} \]

Como $F_{d}+F_{ac}=F_Y$, metade da probabilidade está concentrada no ponto $1/2$ e a outra metade tem densidade constante no intervalo $[0,1/2]$. Normalizando as componentes, temos $F_Y=\tfrac 12F_d^*+\tfrac 12F_{ac}^*$.

3.3 Distribuição de uma variável aleatória

Até aqui descrevemos $X$ por eventos do tipo $[X\leq x]$. Mas, uma vez que a variável foi definida, podemos perguntar mais: qual é a probabilidade de $X$ cair num intervalo, numa união de intervalos ou em outro conjunto usual da reta? A condição da definição é suficiente para garantir que essas perguntas também estejam bem definidas. Em particular:

Proposição 3.7

Se $X$ é variável aleatória em $(\Omega , \mathcal{F}, \P )$, então o evento

\[ [X \in B] \coloneqq \{ \omega \in \Omega : X(\omega ) \in B\} \]

é evento para todo boreliano $B$, i.e.,

\[ [X \in B] \in \mathcal{F},\text{ para todo }B \in \mathcal{B}=\sigma \text{-álgebra de Borel. } \]

Proposição 3.8

Seja $\P _{X}(B)=\P (X \in B)$, para $B$ boreliano, então $\P _{X}$ é uma probabilidade em $\mathcal{B}$, isto é, $\P _{X}(B)$ satisfaz::

$\P _{X}(B)=\P (X \in B) \geq 0$.
$\quad \P _{X}(\mathbb {R})=\P (X \in \mathbb {R})=1$.
Se $B_{1}, B_{2}, \ldots \in \mathcal{B}$ são disjuntos, então

\[ \begin{aligned} \P _{X}\left(\cup B_{n}\right) & =\P \left(X \in \cup B_{n}\right)=\P \left(\cup \left[X \in B_{n}\right]\right)= \\ & =\sum _{n} \P \left(X \in B_{n}\right)=\sum _{n} \P _{X}\left(B_{n}\right) . \end{aligned} \]

Definição 3.5

A probabilidade $\P _{X}$, definida na $\sigma $-álgebra de Borel por $\P _{X}(B)=$ $\P (X \in B)$, é denominada distribuição de $X$.

Nos casos discreto e contínuo, podemos descrever a distribuição por meio da função de probabilidade ou densidade:

Proposição 3.9

Se a variável aleatória $X$ é discreta e toma valores somente no conjunto $\left\{ x_{1}, x_{2}, \ldots \right\} $, então

\[ \P _{X}(B)=\sum _{ x_{i} \in B} \P \left(X=x_{i}\right)=\sum _{ x_{i} \in B} p\left(x_{i}\right), \quad \text{ para todo }B \in \mathcal{B} . \]
Se X é absolutamente contínua com densidade $f(x)$, então

\[ \P _{X}(B)=\int _{B} f(x) d x, \quad \text{ para todo }B \in \mathcal{B} . \]

A distribuição de $X$ é determinada por qualquer das seguintes funções:

A função de distribuição $F_{X}$.
A densidade $f(x)$, se $X$ é absolutamente contínua.
A função de probabilidade $p\left(x_{i}\right)$, no caso discreto.

A representação da distribuição pode ser escolhida de acordo com o cálculo que se pretende realizar. No caso contínuo, a densidade costuma ser a representação mais conveniente.

3.4 Esperança

A esperança resume uma distribuição por meio de um valor central. Ela é obtida como uma média ponderada, na qual os pesos são dados pelas probabilidades.

Definição 3.6

Definimos a esperança ou valor esperado de uma variável aleatória como:

$\mathbf{E}[X]=\sum _{x} xp(x)$
$\mathbf{E}(X) =\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\, \mathrm{d}x$

A esperança $\mathbf{E}[X]$ é a média ponderada dos possíveis valores. Outro modo de ver a esperança é como o centro de gravidade de um conjunto de partículas cuja $x$-ésima partícula esta na posição $x$ e tem massa $p(x)$.

Exemplo 3.10

Determine o valor esperado quando rolamos um dado honesto. denominado

\[ \mathbf{E}[X]=\dfrac {1}{6}+\dfrac {2}{6}+\dfrac {3}{6}+\dfrac {4}{6}+\dfrac {5}{6}+\dfrac {6}{6} \]

Exemplo 3.11

Seja X uma variável aleatória que pode receber os valores $-2,-1,0,1$ e $3$ com respectivas probabilidades

\[ \begin{gathered} \P [X=-2]=0,2 \quad \P [X=-1]=0,4 \quad \P [X=0]=0,2,\\ \P [X=1]=0,1 \quad \P [X=3]=0,1. \end{gathered} \]

Calcule $\mathbf{E}[X^2]$ e $\mathbf{E}[X]^2$

Teorema 3.10

Seja X uma variável aleatória, e $g: \mathbb {R}\to \mathbb {R}$. Então a esperança de $g(X)$ é dada por

\[ \mathbf{E}[g(X)] = \sum _x g(x)p(x) \]

sempre que a última soma estiver bem definida.

Demonstração ▼

\begin{eqnarray} \mathbf{E}[g (X)] & =& \sum _y y \P [g(X)=y]= \sum _y y \sum _{x:g(x)=y} \P [X=x] \tag{3.1}\\ & =& \sum _y \sum _{x:g(x)=y} y\P [X=x] = \sum _y \sum _{x:g(x)=y} g(x)\P [X=x] \tag{3.2}\\ & =& \sum _x g(x)\P [X=x] \tag{3.3} \end{eqnarray}

Corolário 3.11

Se $a$ e $b$ são constantes então

\[ \mathbf{E}[aX+b]=a\mathbf{E}[X]+b \]

Para duas variáveis aleatórias $X$ e $Y$ no mesmo espaço amostral, podemos definir novas variáveis aleatórias $X + Y$, $X\cdot Y$, etc. como

\[ (X + Y) (\omega ) = X (\omega ) + Y (\omega ), \text{ e } (XY) (\omega ) = X (\omega ) Y (\omega ). \]

Teorema 3.12

\[ \mathbf{E}[X+Y]=\mathbf{E}[X]+\mathbf{E}[Y] \]

Teorema 3.13

Se as variáveis aleatórias $X$ e $Y$ são independentes e $\mathbf{E}[X]$ e $\mathbf{E}[Y]$ são finitos, então $\mathbf{E}[XY]$ está bem definida e satisfaz

\[ \mathbf{E}[XY] = \mathbf{E}[X] \mathbf{E}[Y]. \]

Definição 3.7

Definimos o $n$-ésimo momento da variável aleatória $X$ como

\[ \mathbf{E}[X^n]:=\sum x^n p(x) \]

No caso contínuo temos:

\[ \operatorname {Var}(X) = \int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mathbf{E}(X))^2f(x)\, \mathrm{d}x = \mathbf{E}(X^2) - \mathbf{E}(X)^2. \]

3.5 Variância

A esperança localiza um centro, mas não descreve a dispersão dos valores em torno dele. Duas distribuições podem ter a mesma média e apresentar comportamentos muito diferentes.

Uma medida de dispersão poderia ser construída a partir de $|X-\mathbf{E}[X]|$. O quadrado $(X-\mathbf{E}[X])^2$, porém, tem propriedades algébricas que tornam seu uso conveniente e conduz à variância. Nesta seção, suporemos finitos os momentos necessários.

Definição 3.8

Definimos a variância de uma variável aleatória $X$, de esperança finita $\mu $ como

\[ \operatorname {Var}[X] =\mathbf{E}[(x-\mu )^2] \]

O desvio padrão $\sigma (X)$ de X é definido como a raiz quadrada da variância,

\[ \sigma (X) =\sqrt{\operatorname {Var}(X)}. \]

Proposição 3.14

\[ \operatorname {Var}[X]=\mathbf{E}[X^2]-(\mathbf{E}[X])^2 \]

Demonstração ▼

Escreveremos $\mathbf{E}(X) = \mu $. Então temos:

\begin{eqnarray} \operatorname {Var}[X]& =& \mathbf{E}(X^2 - 2\mu X + \mu ^2 ) \tag{3.4}\\ & =& \mathbf{E}(X^2 ) - 2\mu \mathbf{E}(X) + \mu ^2 \tag{3.5} \\ & =& \mathbf{E}(X^2 ) - 2\mu ^2 + \mu ^2 = \mathbf{E}(X ^2 )- \mu ^2 . \tag{3.6} \end{eqnarray}

Exemplo 3.12

Determine a variância de um dado honesto. denominado

\[ \mathbf{E}[X^2]=1\dfrac {1}{6}+4\dfrac {1}{6}+9\dfrac {1}{6}+16\dfrac {1}{6}+25\dfrac {1}{6}+36\dfrac {1}{6}=\dfrac {91}{6} \]

Como $\mathbf{E}[X]=\dfrac {7}{2}$ temos que

\[ \operatorname {Var}(X)= \dfrac {35}{12} \]

Exemplo 3.13

Considere o experimento de jogar $5$ moedas honestas. Se $H$ representar o número de caras que aparecerem. Calcule a esperança e a variância de $H$.

Lembramos que

\[ \P (X=0)=\dfrac {1}{2}^5=\dfrac {1}{32} \]

\[ \P (X=1)= \binom {5}{1}\dfrac {1}{2}^5=\dfrac {5}{32} \]

\[ \P (X=2)= \binom {5}{2}\dfrac {1}{2}^5=\dfrac {10}{32} \]

\[ \P (X=3)= \binom {5}{3}\dfrac {1}{2}^5=\dfrac {10}{32} \]

\[ \P (X=4)= \binom {5}{4}\dfrac {1}{2}^5=\dfrac {5}{32} \]

\[ \P (X=5)= \binom {5}{5}\dfrac {1}{2}^5=\dfrac {1}{32} \]

Logo a esperança é

\[ \mathbf{E}[H]= 1\dfrac {5}{32}+2\dfrac {10}{32}+3\dfrac {10}{32}+4\dfrac {5}{32}+5\dfrac {1}{32}=\dfrac {80}{32}=\dfrac {5}{2} \]

Para o calculo da variância começaremos calculando

\[ \mathbf{E}[H^2]= 1\dfrac {5}{32}+4\dfrac {10}{32}+9\dfrac {10}{32}+16\dfrac {5}{32}+25\dfrac {1}{32}=\dfrac {15}{2} \]

Logo a variância é

\[ \operatorname {Var}(X)=\dfrac {15}{2} - \dfrac {25}{4}=\dfrac {5}{4} \]

Teorema 3.15

Dadas $X$ e $Y$ variáveis aleatoriamente e $ a, b \in \mathbb {R}$ então

$\operatorname {Var}(aX + b) = a^2 \operatorname {Var}(X).$
$\operatorname {Var}(X + Y ) = \operatorname {Var}(X) +\operatorname {Var}(Y ) + 2(\mathbf{E}(XY ) -\mathbf{E}(X)\mathbf{E}(Y ))$. Em particular, se X e Y são independentes, então

\[ \operatorname {Var}(X + Y ) = \operatorname {Var}(X) + \operatorname {Var}(Y ) \]

Resumo do capítulo

A função de distribuição $F_X(x)=\P (X\leq x)$ unifica variáveis discretas, contínuas e mistas. Saltos fornecem massas; em trechos regulares, derivadas fornecem densidades.

3.6 Exercícios

Exercício 3.1 (Validação de uma função de distribuição)

Determine os valores de $a$ para os quais

\[ F(x)=\begin{cases} 0,& x\lt 0,\\ ax,& 0\leq x\lt 2,\\ 1,& x\geq 2\end{cases} \]

é uma função de distribuição. Para o valor admissível, calcule $\P (0{,}4\lt X\leq 1{,}6)$.

Exercício 3.2 (Saltos e massas)

Uma função de distribuição tem saltos de tamanhos $0{,}18$, $0{,}27$ e $0{,}15$ nos pontos $-1$, $0$ e $2$, respectivamente, e cresce linearmente de $0{,}60$ para $1$ no intervalo $[2,5]$. Determine todas as massas pontuais e a densidade no trecho contínuo.

Exercício 3.3 (Quantis)

Se $X$ tem função de distribuição $F(x)=1-e^{-2x}$, $x\geq 0$, encontre a mediana e o quantil de ordem $0{,}9$. Calcule também $\P (X\gt q_{0{,}9}+1\mid X\gt q_{0{,}9})$.

Exercício 3.4 (Transformada inversa)

Se $U\sim U(0,1)$, mostre diretamente que $X=3\sqrt{U}$ possui função de distribuição $F_X(x)=x^2/9$ em $[0,3]$. Obtenha sua densidade.

Exercício 3.5 (Distribuição mista regular)

Uma variável $X$ assume o valor $0$ com probabilidade $0{,}3$; com a probabilidade restante, tem densidade $2x$ em $(0,1)$. Escreva $F_X$, calcule $\P (X\leq 1/2)$ e identifique explicitamente as partes discreta e contínua.