Capítulo 1

Espaços de Probabilidade

1.1 Introdução

Um modelo determinístico associa condições iniciais e parâmetros a um único resultado. Uma equação diferencial com condição inicial, quando satisfaz as hipóteses de existência e unicidade, é um exemplo típico: fixados os dados, a evolução do sistema fica determinada.

Um modelo probabilístico descreve outra situação. O experimento pode produzir resultados diferentes mesmo quando as condições observáveis parecem idênticas, e o objetivo passa a ser quantificar a incerteza sobre esses resultados. O lançamento de uma moeda ilustra bem essa mudança de ponto de vista. Em princípio, as leis da mecânica determinam a face que ficará para cima; na prática, seria necessário conhecer posição, velocidades, atrito e impacto com precisão inatingível. Em vez de prever cada lançamento, descrevemos a regularidade do conjunto de lançamentos: para uma moeda equilibrada, a proporção de caras tende a se estabilizar perto de $1/2$.

A teoria da probabilidade fornece a linguagem e as regras de cálculo para esses modelos. Sua construção começa pela identificação dos resultados possíveis e dos eventos de interesse. Os axiomas da probabilidade estabelecem, então, as regras para atribuir probabilidades a esses eventos.

1.2 Experimentos probabilísticos

Mesmo quando o resultado de um experimento não pode ser previsto, em geral é possível descrever o conjunto de seus resultados possíveis.

Definição 1.1

O espaço amostral $\Omega $ é o conjunto de todos os resultados possíveis em um determinado experimento.

O espaço amostral pode ser finito, infinito enumerável ou não enumerável. Um conjunto enumerável pode ser disposto em uma lista $x_1,x_2,\ldots $; os naturais, os inteiros e os racionais são exemplos. A reta real, por sua vez, não é enumerável.

Exemplo 1.1

No lançamento de uma moeda, podemos usar $\Omega =\{ H,T\} $, onde $H$ representa cara e $T$, coroa.
No lançamento de um dado, $\Omega =\{ 1,2,3,4,5,6\} $.
Ao receber a primeira carta de um baralho comum, o espaço amostral é formado pelas $52$ cartas.
No jogo de par ou ímpar, se cada pessoa mostra de zero a cinco dedos, podemos registrar apenas a soma e usar $\Omega =\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} $.
No sorteio uniforme de um número do intervalo $[0,1]$, temos $\Omega =[0,1]$.
Se retiramos uma lâmpada de uma caixa e observamos o tempo até ela se queimar, esse tempo pode assumir qualquer valor não negativo; podemos usar $\Omega =[0,\infty )$.

Muitas vezes, interessa uma propriedade do resultado, e não apenas o ponto de $\Omega $ que ocorreu: saber se o dado foi maior que $4$, se a carta é de copas ou se o ponto sorteado caiu perto da origem. Cada uma dessas condições seleciona um subconjunto de $\Omega $, que chamaremos de evento.

Em um espaço amostral finito, podemos admitir todos os subconjuntos como eventos. Se os resultados são equiprováveis, a probabilidade de um evento é a fração de resultados favoráveis. A passagem para um espaço $\Omega $ contínuo exige, porém, um cuidado adicional.

Considere, por exemplo, a escolha uniforme de um ponto no disco unitário. Para uma região $A$ com área bem definida, esperamos que

\[ \P (A)=\frac{\text{área de }A}{\pi }. \]

Para que essa interpretação seja válida, é preciso trabalhar com conjuntos aos quais se possa atribuir uma área. Escolhemos, por isso, uma família de conjuntos que contenha as regiões usuais e seja estável pelas operações que faremos com eventos.

Denotaremos essa família por $\mathcal F$. Em espaços finitos ou enumeráveis, podemos tomar $\mathcal F=\mathcal P(\Omega )$. Em $\mathbb R$ ou $\mathbb R^n$, trabalharemos com uma família que contém, em particular, os abertos e os fechados. As propriedades exigidas dessa família serão reunidas na definição de $\sigma $-álgebra.

Definição 1.2

Dado um espaço amostral $\Omega $ e uma família $\mathcal{F}$ de subconjuntos de $\Omega $, um evento é um conjunto $A\in \mathcal{F}$. Os eventos com exatamente um elemento são denominados eventos elementares.

Cada elemento de $\Omega $ será denominado ponto amostral, ou simplesmente ponto.

Exemplo 1.2

Considere experimento de jogarmos um dado descrito no exemplo 2.. Nesse caso podemos considerar o evento $\{ 4,5,6\} $ que é o evento do dado ser maior que $4$, ou o evento $\{ 1,3,5\} $ que é o evento de sair um número ímpar.
Se considerarmos o experimento de jogarmos par ou ímpar, descrito no exemplo 4., alguns eventos de importância são $P=\{ 0,2,4,6,8,10\} $, o evento de sair um número par, e $I=\{ 1,3,5,7,9\} $, o evento de sair um número ímpar.
Esse experimento também pode ser representado através do seguinte espaço amostral:

\[ \Omega =\{ (i,j): 0\leq i\leq 5,\ 0\leq j\leq 5\} , \]

ou seja, os pares ordenados cuja primeira entrada representa o número de dedos colocados pelo primeiro jogador, enquanto a segunda entrada representa o número de dedos colocados pelo do segundo jogador. Nessa representação temos o seguinte evento elementar $\{ (1,3)\} $ que representa o fato do primeiro jogador colocar um dedo e o segundo três.
Nessa representação o evento da soma dos dedos colocados ser um número par pode ser representado pelo conjunto:

\[ P=\{ (i,j): i+j \text{ é par, com }0\leq i\leq 5, 0\leq j\leq 5\} \]
No caso de jogarmos dois dados o espaço amostral pode ser considerado como sendo $\Omega =\{ (i,j): 1\leq i\leq 6, 1\leq j\leq 6\} $, ou seja, os pares ordenados cuja primeira entrada representa a saída do primeiro dado, enquanto que a segunda entrada representa a saída do segundo dado. Nesse caso o espaço amostral tem $36$ elementos.

Nesse caso podemos, por exemplo, considerar o evento $F$ de que a soma das saídas dos dois dados seja maior ou igual a 10,o que é representado pelo conjunto:

\[ F=\{ (i,j)\in \Omega : i+j\geq 10\} =\{ (4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)\} . \]
No caso de realizarmos a escolha, ao acaso, de um ponto do disco de raio 1 centrado na origem. Então

\[ \Omega =\text{ círculo unitário }=\left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} \text{. } \]

Para esse experimento podemos considerar por exemplo os eventos:
1. $A=$ distância entre o ponto escolhido e a origem é $\leq \frac{1}{2} ;$
2. $B=$ distância entre o ponto escolhido e a origem é $\geq 0.25$ ;

Um exemplo particularmente útil é o conjunto vazio, que é o evento sem nenhum elemento. Esse evento será denotado por $\emptyset $ e denominado evento impossível. Já o evento espaço amostral $\Omega $ será denominado também de evento certo.

Quando consideramos espaços amostrais finitos, o número de elementos de um evento $E$, será denominado cardinalidade ou tamanho desse evento e será denotado por $\operatorname {card}{E}$. No caso do conjunto vazio temos que $\operatorname {card}{\emptyset }=0$.

O espaço amostral e os eventos foram descritos na linguagem dos conjuntos. Essa representação permite interpretar relações e operações entre eventos por meio de relações e operações entre conjuntos. A seguir, desenvolveremos essa correspondência, que será usada na definição e no cálculo de probabilidades.

1.3 Álgebra de eventos

Como os eventos são subconjuntos do espaço amostral, as relações entre eles podem ser expressas na linguagem dos conjuntos.

Denotamos o fato de um elemento (ou resultado de um experimento) $a$ pertencer a um evento $E$ através da notação $a \in E$ e o fato do elemento $a$ não pertencer a um evento $E$ através da notação $a \notin E$.

Também nesse contexto, diremos que dois eventos $E$ e $F$ são iguais se tiverem os mesmos elementos. Denotaremos tal fato por $E=F$.

Finalmente dizemos que um evento $E$ está contido dentro do evento $F$, denotado por $E \subset F$, se todos elementos de $E$ forem elementos de $F$.

Antes de definir probabilidade, apresentaremos as operações que permitem construir novos eventos a partir de eventos dados.

Definição 1.3

Definimos a união de dois eventos $A$ e $B$, que denotaremos por $A \cup B$, como o evento formado pelos elementos de $A$ $\mathbin {\text{ou}}$ $B$, i.e., o evento $A \cup B$ é o evento formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos $A$ ou $B$.

\[ A\cup B=\{ x:x\in A\ \text{ou}\ x\in B\} . \]

Na definição anterior, assim como no uso habitual em matemática, o $\mathbin {\text{ou}}$ tem sentido inclusivo.

Definição 1.4

Definimos a intersecção de dois eventos $A$ e $B$, que denotaremos por $A \cap B$ como o evento formado pelos elementos de $A$ $\mathbin {\text{e}}$ $B$, i.e., o evento $A \cap B$ é formado pelos elementos que pertencem a ambos os conjuntos $A$ e $B$.

\[ A\cap B=\{ x:x\in A\ \text{e}\ x\in B\} . \]

Podemos generalizar a união e a intersecção para uma família de eventos (inclusive infinita) de maneira análoga:

Dada uma família de eventos $E_1,E_2, \dots $, definimos a união desses eventos, denotada por $\bigcup _{i=1}^{\infty }E_i$, como o evento formado pelos elementos que pertençam a pelo menos um dos eventos $E_i$. A intersecção, denotada por $\bigcap _{i=1}^{\infty }E_i$, é o evento formado pelos elementos que pertencem a todos os eventos $E_i$.

Definição 1.5

Definimos o complementar de um evento ou ainda o evento complementar de $A$, denotado $A^{\mathsf c}$, como o conjunto dos elementos de $\Omega $ que não estão em $A$.

\[ A^{\mathsf c}=\{ x:x\in \Omega , x\notin A\} \]

Em um experimento, o evento $E$ ocorre se e somente se o evento $E^{\mathsf c}$ não ocorre.

Diremos que dois eventos $A$ e $B$ são mutuamente excludentes se é impossível que ocorram simultaneamente ambos os eventos, isto é, se $A\cap B=\emptyset $.

Notação	Probabilidade	Conjunto
$\Omega$	espaço amostral	universo
$\omega$	evento elementar	elemento
$\emptyset$	evento impossível	conjunto vazio
$A$	evento	subconjunto
$\compl{A}$	evento $A$ não ocorre
$A\cap B$	ocorre $A$ e $B$	intersecção
$A\cup B$	ocorre $A$ ou $B$	união
$A\subset B$	Se ocorre $A$ então ocorre $B$	inclusão

Tabela 1.1 Conversão entre a linguagem da Probabilidade e da teoria da conjuntos.

As operações de união, intersecção e complemento possuem as seguintes propriedades:

Comutatividade: $A\cup B=B\cup A$ e $A\cap B=B\cap A$.
Associatividade: $(A\cup B)\cup C=A\cup (B \cup C)$ e $(A\cap B)\cap C=A\cap (B \cap C)$.
Distributividade: $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$ e $(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$.
Leis de De Morgan

\[ \left( \bigcup _{i=1}^n E_i \right)^{\mathsf c}= \bigcap _{i=1}^n E^{\mathsf c}_i . \]

\[ \left( \bigcap _{i=1}^n E_i \right)^{\mathsf c}= \bigcup _{i=1}^n E^{\mathsf c}_i . \]

As propriedades exigidas da família de eventos $\mathcal{F}$ são reunidas no conceito de $\sigma $-álgebra.

Definição 1.6

Uma $\sigma $-álgebra $\mathcal{F}$ é uma família de conjuntos satisfazendo:

$\Omega \in \mathcal{F}$.
Se $A \in \mathcal{F}$, então $A^{c} \in \mathcal{F}$.
Se $A_1, A_2, A_3, \dots $ é uma sequência em $\mathcal{F}$, então sua união (enumerável) também está em $\mathcal{F}$, i.e., $\bigcup _{n=1}^{\infty } A_{n} \in \mathcal{F}$.

Proposição 1.1

Seja $\mathcal{F}$ uma $\sigma $-álgebra de subconjuntos de $\Omega $. Então valem as seguintes propriedades:

$\varnothing \in \mathcal{F}$
$\forall n, \forall A_{1}, \ldots , A_{n} \in \mathcal{F}$, temos $\bigcup _{i=1}^{n} A_{i} \in \mathcal{F}$ e $\bigcap _{i=1}^{n} A_{i} \in \mathcal{F}$.

Quando trabalharmos com um espaço $E$ igual a $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {R}^n$, consideraremos a $\sigma $-álgebra gerada pelos abertos de $E$, chamada de $\sigma $-álgebra de Borel de $E$, denotada por $\mathcal{B}_E$; seus elementos são chamados de conjuntos de Borel. Portanto, $\mathcal{B}_X$ inclui conjuntos abertos, conjuntos fechados (os complementares dos conjuntos abertos), interseções enumeráveis de conjuntos abertos (lembrando que uniões enumeráveis de conjuntos abertos já são abertos), uniões enumeráveis de conjuntos fechados (lembrando que interseções enumeráveis de conjuntos fechados já são fechados) e assim por diante.

1.4 Espaços de probabilidade

Definição 1.7

Um espaço de probabilidade é uma tripla $(\Omega , \mathcal{F}, \P )$ onde $\Omega $ é denominado espaço amostral, $\mathcal{F}$ é uma $\sigma $-álgebra de subconjuntos de $\Omega $ e $\P $ é uma função que atribui um valor entre 0 e 1 (que denominaremos probabilidade) aos eventos $E\in \mathcal{F}$ e satisfazendo os seguintes axiomas:

$0 \leq \P \! \left(E\right) \leq 1$.
$\P \! \left(\Omega \right)=1$.
Se $E_1,E_2,\dots $ forem eventos dois a dois mutuamente excludentes, isto é,

\[ E_i\cap E_j=\emptyset \qquad \text{sempre que }i\neq j, \]

então

\[ \P \! \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_i\right) =\sum _{i=1}^{\infty }\P \! \left(E_i\right). \]

Proposição 1.2

$\P \! \left( \emptyset \right)=0$.

Demonstração ▼

Para qualquer evento $E$, podemos escrever $E = E\cup \emptyset $. Como os eventos $E$ e $\emptyset $ são mutuamente excludentes, decorre do axioma 3, que $\P \! \left(E\right) = \P \! \left(E\cup \emptyset \right) = \P \! \left(E\right) + \P \! \left( \emptyset \right)$. E assim, a conclusão do teorema é imediata

Proposição 1.3

$\P \! \left(E^{\mathsf c}\right)=1-\P \! \left(E\right)$.

Demonstração ▼

Como $\Omega =E\cup E^{\mathsf c}$, com $E$ e $E^{\mathsf c}$ mutuamente excludentes então, usando os axiomas 2 e 3, temos que:

\[ 1=\P (\Omega )=\P (E\cup E^{\mathsf c}) \]

\[ 1=\P \! \left(E\right)+\P \! \left(E^{\mathsf c}\right) \]

Proposição 1.4

Se E e F forem dois eventos quaisquer, então

\[ \P \! \left(E\cup F\right)=\P \! \left(E\right)+\P \! \left(F\right)-\P \! \left(E\cap F\right) \]

Demonstração ▼

Como $E\cup F=E\cup (F\cap E^{\mathsf c})$ temos que:

\[ \P \! \left(E\cup F\right)=\P \! \left(E\right)+\P \! \left(F\cap E^{\mathsf c}\right). \]

Como $F=(E\cap F)\cup (F\cap E^{\mathsf c})$ temos que

\[ \P \! \left(F\right)=\P \! \left(E\cap F\right)+ \P \! \left(F\cap E^{\mathsf c}\right). \]

Subtraindo a segunda igualdade da primeira, temos:

\[ \P \! \left(E\cup F\right)-\P \! \left(F\right)=\P \! \left(E\right)-\P \! \left(E\cap F\right). \]

Generalizando temos:

Proposição 1.5 (Princípio da inclusão-exclusão)

Sejam $E_1,E_2,\dots ,E_n$ eventos. Então

\[ \begin{aligned} \P (E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_n) & = \sum _{i=1}^{n}\P (E_i) - \sum _{i_1\lt i_2}\P (E_{i_1}\cap E_{i_2}) +\cdots \\[0.2cm]& \quad +(-1)^{r+1} \sum _{i_1\lt i_2\lt \cdots \lt i_r} \P (E_{i_1}\cap E_{i_2}\cap \cdots \cap E_{i_r}) +\cdots \\[0.2cm]& \quad +(-1)^{n+1}\P (E_1\cap E_2\cap \cdots \cap E_n). \end{aligned} \]

A soma

\[ \sum _{i_1\lt i_2\lt \cdots \lt i_r} \P (E_{i_1}\cap E_{i_2}\cap \cdots \cap E_{i_r}) \]

é feita sobre todos os $\binom {n}{r}$ subconjuntos possíveis de tamanho $r$ do conjunto $\{ 1,2,\dots ,n\} $.

Em palavras, a proposição afirma que a probabilidade da união de $n$ eventos é igual à soma das probabilidades individuais desses eventos, menos a soma das probabilidades das interseções dois a dois, mais a soma das probabilidades das interseções três a três, e assim por diante, alternando os sinais.

Proposição 1.6

Se $ A\subset B \Rightarrow \P (B-A)=\P (B)-\P (A) $

Definição 1.8

Seja $A_n , n \geq 1$, uma sequência de eventos. Essa sequência é dita

crescente se $A_1 \subset A_2 \subset \cdots \subset A_n \subset A_{n+1} \subset \cdots $. Nesse caso, definimos

\[ \lim _{n \to \infty } A_n = \bigcup _{n=1}^{\infty } A_n . \]
decrescente se $ A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A_n \supset A_{n+1} \supset \cdots $. Nesse caso, definimos

\[ \lim _{n \to \infty } A_n = \bigcap _{n=1}^{\infty } A_n . \]

Proposição 1.7

Sejam $ A_1,A_2, \cdots $ eventos tais que $ A_n \downarrow \emptyset $, ou seja, $ A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots $ e ainda o $ \displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_n=\emptyset $, então $ \P (A_n)\rightarrow 0 $.

Demonstração ▼

Sejam $ A_1,A_2, \cdots $ eventos tais que $ A_n \downarrow \emptyset $, ou seja, $ A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots $

Como $ A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots $ então

\[ A_1=(A_1-A_2)\cup (A_2 - A_3)\cup \cdots = \displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }(A_i-A_{i+1}). \]

Observe que os conjuntos $ A_i - A_{i+1} $ são conjuntos disjuntos, pois a sequência é uma sequência decrescente. Pelo axioma 3 temos que

\[ \P (A_1)=\P \left(\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }(A_i-A_{i+1})\right)=\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\P (A_i-A_{i+1}). \]

Logo por P5 $ \P (A_i-A_{i+1})=\P (A_i)-\P (A_{i+1}) $, e portanto

\[ \P (A_1)=\lim _{n \rightarrow \infty } \displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\P (A_i-A_{i+1}). \]

Note que os termos da somatória vão se cancelando restando apenas o primeiro e o último, assim

\[ \P (A_1)= \displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty } \P (A_1) - \P (A_n)=\P (A_1) - \lim _{n \rightarrow \infty } \P (A_n) \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty }\P (A_n)=0. \]

Portanto $ \P (A_n)\rightarrow 0 $.

Proposição 1.8 (Continuidade da Probabilidade)

Seja $A_n , n \geq 1$, uma sequência de eventos crescente ou decrescente então vale a seguinte propriedade, conhecida como continuidade da probabilidade:

\[ \lim _{n \to \infty }\P (A_n ) = \P ( \lim _{n \to \infty }A_n ). \]

Demonstração ▼

Primeiramente vamos considerar o caso em que $ A_n\downarrow A $, ou seja, $ A_{n+1}\subset A_n $ para qualquer $ n\in \mathbb {N}$ e $ \displaystyle \bigcap _{n\geq 1}A_n=A $. Assim sendo, temos que $ \P (A_{n+1})\leq \P (A_n) $, pois $ A_{n+1}\subset A_n $.

Além disso, por propriedades de conjunto temos que $ A_n-A\downarrow \emptyset $, o que implica que

\[ \P (A_n-A)\rightarrow 0. \]

Logo

\[ \P (A_n - A)=\P (A_n)-\P (A)\Rightarrow \P (A_n)-\P (A)\rightarrow 0\Rightarrow \P (A_n)\rightarrow \P (A) \]

mas a sequência $ \{ \P (A_n)\} _{n\in \mathbb {N}} $ é decrescente, logo $ \P (A_n)\downarrow \P (A) $

1.5 Probabilidade em espaços equiprováveis finitos

Nos espaços de probabilidade uniforme, todos os eventos elementares têm a mesma probabilidade, isto é, $\P (w_1)=\P (w_2), \forall w_1, w_2 \in \Omega $. Essa família de espaços de probabilidade uniforme permite reduzir o cálculo de probabilidades a problemas de contagem.

Quando $\Omega =\{ w_1,\dots ,w_n\} $ é um espaço de probabilidade uniforme temos que

\[ \P (w_i)=\frac{1}{n}=\frac{1}{\operatorname {card}{\Omega }} \]

e logo

\[ \P (E)=\sum _{w_i\in E}\P (w_i)=\sum _{i\in E}\frac{1}{\operatorname {card}{\Omega }}=\frac{\operatorname {card}{E}}{\operatorname {card}{\Omega }}. \]

Exemplo 1.3

Qual a probabilidade de tiramos duas caras jogando uma moeda três vezes?

Se denotarmos cara por $H$ e coroa por $T$, temos que o espaço amostral nesse caso pode ser representado por:

\[ \{ (H,H, H), (H,H, T), (H, T, H), (T, H, H), (H, T,T) , (T, H, T), (T,T,H), \]

$(T,T,T)\} $ Este espaço possui $2^{3}$ elementos igualmente prováveis.

O evento “tirar duas caras” tem 4 elementos:

\[ \{ (H,H, H), (H,H, T), (H, T, H), (T, H, H)\} \]

e logo temos que a probabilidade de tirarmos duas caras é $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

Exemplo 1.4

Qual a probabilidade de tirarmos $12$ jogando dois dados?

Poderíamos considerar nesse caso que o espaço amostral fosse constituído pela soma dos valores dos dados sendo assim $\{ 2,3,4, \dots , 11,12 \} $. Mas, se considerássemos esse espaço amostral, os eventos elementares não teriam a mesma probabilidade pois para tiramos $12$ temos que tirar $6$ em ambos os dados enquanto que para tirarmos $10$ temos três possibilidades $(4$ e $6)$, $(5$ e $5)$ ou $(6$ e $4)$ para o primeiro e segundo dado respectivamente.

Nesse caso é muito mais interessante considerar o espaço amostral como $\{ (i,j): 1\leq i\leq 6, 1\leq j\leq 6\} $, ou seja, os pares ordenados cuja primeira entrada representa a saída do primeiro dado, enquanto a segunda entrada representa a saída do segundo dado. Nesse caso o espaço amostral tem $36$ elementos igualmente prováveis. E nesse caso a probabilidade de tirarmos 12 é $\frac{1}{36}$.

Exemplo 1.5

Qual a probabilidade de tirarmos mais que $9$ jogando dois dados?

Nesse caso podemos, por exemplo, considerar o evento de que a soma dos dois dados seja maior que 10, que é representado pelo conjunto $\{ (i,j): i+j\gt 10\} =\{ (4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)\} $. Esse conjunto tem 6 elementos e assim a probabilidade de tirarmos mais que 10 é $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

Exemplo 1.6

Dois dados são lançados. Qual é a probabilidade de que a soma das faces seja igual a $8$?

Ao lançarmos dois dados, é importante escolher um espaço amostral em que todos os resultados elementares tenham a mesma probabilidade. Por isso, não devemos considerar apenas os possíveis valores da soma. O mais adequado é considerar os pares ordenados

\[ \Omega =\{ (i,j):1\leq i\leq 6,\ 1\leq j\leq 6\} , \]

em que $i$ representa o resultado do primeiro dado e $j$ representa o resultado do segundo dado.

Esse espaço amostral possui $6\cdot 6=36$ elementos igualmente prováveis. O evento “a soma das faces é igual a $8$” é formado pelos pares

\[ \{ (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\} . \]

Logo, há $5$ casos favoráveis entre $36$ possíveis. Portanto,

\[ \P (\text{soma igual a }8)=\frac{5}{36}. \]

Exemplo 1.7

Três bolas são retiradas aleatoriamente de uma urna contendo $7$ bolas brancas e $4$ bolas pretas. Qual é a probabilidade de que duas bolas sejam brancas e uma seja preta?

Neste problema, a ordem em que as bolas são retiradas não importa. Assim, podemos trabalhar diretamente com subconjuntos de $3$ bolas escolhidos entre as $11$ bolas da urna. O número total de escolhas possíveis é

\[ \binom {11}{3}. \]

Queremos que, entre as três bolas escolhidas, exatamente duas sejam brancas e uma seja preta. Para isso, devemos escolher $2$ das $7$ bolas brancas e $1$ das $4$ bolas pretas. O número de escolhas favoráveis é, portanto,

\[ \binom {7}{2}\binom {4}{1}. \]

Como todos os subconjuntos de $3$ bolas são igualmente prováveis, temos

\[ \P (\text{duas brancas e uma preta}) = \frac{\binom {7}{2}\binom {4}{1}}{\binom {11}{3}} = \frac{21\cdot 4}{165} = \frac{28}{55}. \]

Exemplo 1.8

Um comitê de $5$ pessoas deve ser selecionado de um grupo com $8$ homens e $7$ mulheres. Qual é a probabilidade de que o comitê seja formado por $2$ homens e $3$ mulheres?

Como a ordem das pessoas no comitê não importa, o espaço amostral é formado por todos os subconjuntos de $5$ pessoas escolhidos entre as $15$ pessoas disponíveis. Portanto, o número total de comitês possíveis é

\[ \binom {15}{5}. \]

Para formar um comitê com exatamente $2$ homens e $3$ mulheres, devemos escolher $2$ dos $8$ homens e $3$ das $7$ mulheres. Assim, o número de comitês favoráveis é

\[ \binom {8}{2}\binom {7}{3}. \]

Logo,

\[ \P (\text{2 homens e 3 mulheres}) = \frac{\binom {8}{2}\binom {7}{3}}{\binom {15}{5}} = \frac{28\cdot 35}{3003} = \frac{140}{429}. \]

Exemplo 1.9

Uma urna contém $n$ bolas, das quais uma é especial. Se $k$ bolas são retiradas aleatoriamente, qual é a probabilidade de que a bola especial seja escolhida?

Como estamos retirando $k$ bolas de uma urna com $n$ bolas, e a ordem de retirada não importa, o número total de escolhas possíveis é

\[ \binom {n}{k}. \]

Agora contamos as escolhas favoráveis. Para que a bola especial seja escolhida, ela deve estar entre as $k$ bolas retiradas. Depois de incluir essa bola, faltam escolher as outras $k-1$ bolas entre as $n-1$ bolas restantes. Assim, o número de casos favoráveis é

\[ \binom {n-1}{k-1}. \]

Portanto,

\[ \P (\text{a bola especial é escolhida}) = \frac{\binom {n-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}. \]

Usando a fórmula das combinações, obtemos

\[ \frac{\binom {n-1}{k-1}}{\binom {n}{k}} = \frac{k}{n}. \]

Assim, a probabilidade de que a bola especial seja retirada é

\[ \frac{k}{n}. \]

Exemplo 1.10

Uma mão de pôquer consiste em $5$ cartas. Se as cartas tiverem valores consecutivos e não forem todas do mesmo naipe, dizemos que a mão é um straight. Qual é a probabilidade de que uma mão de pôquer seja um straight?

Uma mão de pôquer é um conjunto de $5$ cartas escolhidas entre as $52$ cartas do baralho. Portanto, o número total de mãos possíveis é

\[ \binom {52}{5}. \]

Para formar um straight, primeiro escolhemos uma sequência de $5$ valores consecutivos. No baralho usual, há $10$ possibilidades para essa sequência. Depois, para cada uma dessas sequências, cada carta pode aparecer em qualquer um dos $4$ naipes. Isso daria inicialmente

\[ 10\cdot 4^5 \]

possibilidades.

No entanto, precisamos excluir os casos em que as $5$ cartas são todas do mesmo naipe. Esses casos são straight flushes, e não apenas straights. Para cada sequência de valores, existem $4$ mãos desse tipo, uma para cada naipe. Assim, o número de straights é

\[ 10(4^5-4). \]

Logo,

\[ \P (\text{straight}) = \frac{10(4^5-4)}{\binom {52}{5}} \approx 0{,}0039. \]

Exemplo 1.11

Uma mão de pôquer consiste em $5$ cartas. Um full house ocorre quando a mão possui três cartas de um mesmo valor e duas cartas de outro valor. Qual é a probabilidade de obter um full house?

O número total de mãos possíveis é

\[ \binom {52}{5}. \]

Para formar um full house, escolhemos primeiro o valor da trinca. Há $13$ escolhas possíveis. Depois escolhemos o valor do par, que deve ser diferente do valor da trinca; para isso, há $12$ escolhas possíveis.

Escolhido o valor da trinca, devemos escolher $3$ das $4$ cartas daquele valor:

\[ \binom {4}{3}. \]

Do mesmo modo, escolhido o valor do par, devemos escolher $2$ das $4$ cartas daquele valor:

\[ \binom {4}{2}. \]

Portanto, o número de mãos favoráveis é

\[ 13\cdot 12\binom {4}{3}\binom {4}{2}. \]

Assim,

\[ \P (\text{full house}) = \frac{13\cdot 12\binom {4}{3}\binom {4}{2}}{\binom {52}{5}} \approx 0{,}0014. \]

Exemplo 1.12

Trinta pessoas estão em uma sala. Qual é a probabilidade de que ao menos duas delas façam aniversário no mesmo dia?

Desconsideramos os anos bissextos e supomos que todos os dias do ano sejam equiprováveis para o nascimento de uma pessoa.

É mais simples calcular primeiro a probabilidade do evento complementar, isto é, a probabilidade de que todas as $30$ pessoas façam aniversário em dias diferentes.

A primeira pessoa pode fazer aniversário em qualquer um dos $365$ dias. Para que a segunda faça aniversário em um dia diferente, ela deve escolher um dos $364$ dias restantes. A terceira deve escolher um dos $363$ dias restantes, e assim por diante.

Portanto,

\[ \P (\text{todos fazem aniversário em dias diferentes}) = \frac{365\cdot 364\cdot 363\cdots 336}{365^{30}}. \]

Logo,

\[ \P (\text{ao menos duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia}) = 1- \frac{365\cdot 364\cdot 363\cdots 336}{365^{30}}. \]

Aproximadamente,

\[ \P (\text{ao menos duas pessoas fazem aniversário no mesmo dia}) \approx 0{,}706. \]

Assim, em uma sala com $30$ pessoas, a chance de haver ao menos duas pessoas com aniversário no mesmo dia é de aproximadamente $70{,}6\% $.

Exemplo 1.13

Um baralho de $52$ cartas é embaralhado e as cartas são viradas uma de cada vez até que o primeiro ás apareça. É mais provável que a carta virada logo após o primeiro ás seja o rei de copas ou o dois de paus?

As duas probabilidades são iguais. Para verificar essa igualdade, contamos as ordenações em que cada uma das cartas ocupa a posição indicada.

Vamos calcular, por exemplo, a probabilidade de que o rei de copas apareça logo após o primeiro ás. Retiramos inicialmente o rei de copas do baralho e ordenamos as outras $51$ cartas. Em qualquer ordenação dessas $51$ cartas, existe uma única posição em que podemos inserir o rei de copas para que ele apareça imediatamente depois do primeiro ás.

Como existem $51!$ ordenações das demais cartas e $52!$ ordenações possíveis do baralho completo, temos

\[ \P (\text{rei de copas logo após o primeiro ás}) = \frac{51!}{52!} = \frac{1}{52}. \]

O mesmo raciocínio vale para o dois de paus. Retiramos o dois de paus, ordenamos as outras $51$ cartas e o inserimos imediatamente após o primeiro ás. Assim,

\[ \P (\text{dois de paus logo após o primeiro ás}) = \frac{51!}{52!} = \frac{1}{52}. \]

Portanto, nenhuma das duas cartas é mais provável. As duas têm a mesma probabilidade de aparecer logo após o primeiro ás.

Exemplo 1.14

Suponha que $n$ homens deixem seus chapéus no centro de uma sala. Os chapéus são misturados e, em seguida, cada homem escolhe aleatoriamente um chapéu. Qual é a probabilidade de que nenhum homem escolha seu próprio chapéu?

Esse é o chamado problema dos chapéus. Vamos numerar os homens e os chapéus de $1$ a $n$, de modo que o chapéu $i$ pertença ao homem $i$.

Depois que os chapéus são misturados, cada distribuição dos chapéus entre os homens pode ser vista como uma permutação dos números $1,2,\dots ,n$. Como todas as permutações são igualmente prováveis, o espaço amostral tem $n!$ resultados.

Chamemos de $E_i$ o evento em que o homem $i$ escolhe o seu próprio chapéu. Queremos calcular a probabilidade de que nenhum homem escolha seu próprio chapéu, isto é,

\[ \P (E_1^c\cap E_2^c\cap \cdots \cap E_n^c). \]

É mais simples calcular primeiro a probabilidade do evento complementar: pelo menos um homem escolhe seu próprio chapéu. Esse evento é

\[ E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_n. \]

Para calcular essa probabilidade, usamos o princípio da inclusão-exclusão.

Se fixarmos um homem, por exemplo o homem $i$, e exigirmos que ele escolha seu próprio chapéu, então os outros $n-1$ chapéus podem ser distribuídos livremente entre os outros homens. Logo,

\[ \P (E_i)=\frac{(n-1)!}{n!}. \]

Como há $n$ escolhas possíveis para esse homem, a primeira contribuição na inclusão-exclusão é

\[ n\frac{(n-1)!}{n!}=1. \]

Agora, se fixarmos dois homens e exigirmos que ambos escolham seus próprios chapéus, então os outros $n-2$ chapéus podem ser distribuídos livremente. Assim,

\[ \P (E_i\cap E_j)=\frac{(n-2)!}{n!}. \]

Como há $\binom {n}{2}$ maneiras de escolher esses dois homens, a contribuição dos pares é

\[ \binom {n}{2}\frac{(n-2)!}{n!} = \frac{1}{2!}. \]

De modo geral, se fixarmos $k$ homens e exigirmos que todos eles escolham seus próprios chapéus, os demais $n-k$ chapéus podem ser distribuídos de

\[ (n-k)! \]

maneiras. Portanto,

\[ \P (E_{i_1}\cap \cdots \cap E_{i_k}) = \frac{(n-k)!}{n!}. \]

Como há $\binom {n}{k}$ maneiras de escolher esses $k$ homens, a contribuição correspondente é

\[ \binom {n}{k}\frac{(n-k)!}{n!} = \frac{1}{k!}. \]

Pelo princípio da inclusão-exclusão, a probabilidade de que pelo menos um homem escolha seu próprio chapéu é

\[ \P (E_1\cup \cdots \cup E_n) = 1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!} -\cdots +(-1)^{n+1}\frac{1}{n!}. \]

Portanto, a probabilidade de que nenhum homem escolha seu próprio chapéu é

\[ \begin{aligned} \P (E_1^c\cap \cdots \cap E_n^c) & = 1- \P (E_1\cup \cdots \cup E_n)\\ & = 1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!} +\cdots +(-1)^n\frac{1}{n!}. \end{aligned} \]

Assim,

\[ \P (\text{nenhum homem escolhe seu próprio chapéu}) = \sum _{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}. \]

Quando $n$ é grande, essa soma se aproxima de

\[ e^{-1}\approx 0{,}3679. \]

Portanto, para um número grande de homens, a probabilidade de que ninguém recupere o próprio chapéu é aproximadamente $36{,}8\% $.

1.6 Probabilidade na reta real

Se $\Omega $ é um conjunto infinito, suas probabilidades podem não ser determinadas em termos das probabilidades dos eventos elementares. Isso é especialmente verdadeiro quando $\Omega $ representa o conjunto de pontos em uma linha ou em um espaço $n$-dimensional. Esses exemplos são de extrema relevância, já que muitas aplicações podem ser descritas em termos de eventos nesse espaço. Neste contexto, exploraremos a determinação de probabilidades utilizando a reta real como ilustração.

Consideremos $\Omega $ como o conjunto de todos os números reais. Aqui, os eventos são subconjuntos de pontos na reta real. Demonstra-se que é impossível atribuir probabilidades a todos os subconjuntos de $\Omega $ de modo a satisfazer os axiomas de probabilidade. Para construir um espaço de probabilidade na reta real, consideramos como eventos todos os intervalos $x_{1} \leq x \leq x_{2}$ e suas uniões e interseções enumeráveis. Esses eventos formam a $\sigma $-álgebra de Borel.

Essa $\sigma $-álgebra inclui intervalos, pontos e os conjuntos usados nas aplicações usuais. Para especificar uma probabilidade na reta, basta conhecer $\P (({-\infty },x])$ para todo $x$, desde que esses valores satisfaçam as propriedades de uma função de distribuição. Eles determinam as probabilidades de todos os eventos de Borel.

Suponha que $\alpha (x)$ seja uma função tal que

\[ \int _{-\infty }^{\infty } \alpha (x) d x=1 \quad \text{ e } \alpha (x) \geq 0 \]

Definimos a probabilidade do evento $\left\{ x \leq x_{i}\right\} $ pela integral

\begin{equation} \P \left(x \leq x_{i}\right)=\int _{-\infty }^{x_{i}} \alpha (x) d x \label{eq:probcont} \tag{1.1} \end{equation}

Isto especifica as probabilidades dos eventos de Borel. Por exemplo,

\[ \P \left(x_{1}\lt x \leq x_{2}\right)=\int _{x_{1}}^{x_{2}} \alpha (x) d x \]

Na verdade, os eventos $\left\{ x \leq x_{1}\right\} $ e $\left\{ x_{1}\lt x \leq x_{2}\right\} $ são mutuamente excludentes e sua união é igual a $\left\{ x \leq x_{2}\right\} $. Portanto

\[ \P \left(x \leq x_{1}\right)+\P \left(x_{1}\lt x \leq x_{2}\right)=\P \left(x \leq x_{2 }\right) \]

Como a integral de uma densidade sobre um intervalo cujo comprimento tende a zero também tende a zero, cada ponto tem probabilidade nula: $\P (\{ x_2\} )=0$. Ainda assim, $\P (\mathbb {R})=1$. Não há contradição: o axioma da aditividade refere-se a uniões enumeráveis, enquanto a reta é uma união não enumerável de pontos.

Exemplo 1.15

Uma substância radioativa é selecionada em $t=0$ e o tempo $t$ de emissão de uma partícula é observado. Este processo define um experimento cujos resultados são todos pontos no eixo $t$ positivo. Este experimento pode ser considerado um caso especial do experimento da linha real se assumirmos que $\Omega $ é todo o eixo $t$ e todos os eventos no eixo negativo têm probabilidade zero.

Suponha então que a função $\alpha (t)$ seja dada por

\[ \alpha (t)=c e^{-c t} U(t),\qquad c\gt 0,\qquad U(t)= \begin{cases} 1, & t \geq 0, \\ 0, & t\lt 0.\end{cases} \]

Inserindo em 1.1, concluímos que a probabilidade de uma partícula ser emitida no intervalo de tempo $\left(0, t_{0}\right)$ é igual

\[ c \int _{0}^{t_{0}} e^{-c t} d t=1-e^{-c t_{0}} \]

Exemplo 1.16

Uma chamada telefônica ocorre uniformemente no intervalo $(0,T)$. Isso significa que a probabilidade de ocorrer entre $0$ e $t_0$ é $t_0/T$. Para $0\leq t_1\leq t_2\leq T$,

\[ \P \left(t_{1} \leq t \leq t_{2}\right)=\frac{t_{2}-t_{1}}{T} \]

Este é novamente um caso especial da Equação 1.1 com $\alpha (t)=1 / T$ para $0 \leq t \leq T$ e 0 caso contrário.

Resumo do capítulo

Os axiomas transformam descrições de experimentos em cálculos: primeiro se define o espaço amostral, depois os eventos e, por fim, uma probabilidade compatível com complementaridade, uniões e limites.

1.7 Exercícios

Exercício 1.1 (Operações com eventos)

Em uma turma, $42$ estudantes cursam Cálculo, $31$ cursam Álgebra e $18$ cursam ambas. Entre $60$ estudantes, determine as probabilidades de escolher alguém que: (a) curse ao menos uma disciplina; (b) curse somente Cálculo; (c) não curse nenhuma das duas.

Exercício 1.2 (Contagem)

Uma senha contém quatro algarismos distintos seguidos de duas letras distintas. Os algarismos podem incluir zero, mas a primeira posição não pode ser zero. Escolhida uma senha uniformemente entre as admissíveis, calcule a probabilidade de ela começar por um algarismo par e terminar por uma vogal.

Exercício 1.3 (Inclusão–exclusão)

Três sensores detectam um sinal com probabilidades $0{,}72$, $0{,}68$ e $0{,}61$. As probabilidades das detecções simultâneas por pares são $0{,}50$, $0{,}44$ e $0{,}41$, e a detecção pelos três tem probabilidade $0{,}35$. Calcule a probabilidade de ao menos um sensor detectar o sinal.

Exercício 1.4 (Continuidade da probabilidade)

Se $A_1\subset A_2\subset \cdots $ e $\P (A_n)=1-3^{-n}$, determine $\P (\bigcup _{n\geq 1}A_n)$. Formule e resolva a versão correspondente para uma sequência decrescente $B_n$ com $\P (B_n)=\tfrac 12+4^{-n}$.

Exercício 1.5 (Modelo geométrico)

Um ponto é escolhido uniformemente no retângulo $[0,4]\times [0,3]$. Calcule a probabilidade de sua distância à origem ser menor que $2$ e a probabilidade de $x+y\leq 3$. Represente as duas regiões.