Esse texto é a tradução de um trecho do artigo de Maurice Sion.
A noção matemática de medida pretende representar conceitos como comprimento, área, volume, massa, carga elétrica, etc., do mundo físico. Os objetos a serem medidos são representados por conjuntos e uma medida é uma função aditiva de conjuntos, ou seja, o valor que atribui à união de dois conjuntos disjuntos é a soma dos valores que atribui a cada um dos conjuntos.
Exemplos concretos de medidas e de métodos para calcular a medida de conjuntos específicos são tão antigos quanto a história registrada. A teoria foi introduzida pela primeira vez pelos gregos antigos como parte do desenvolvimento de um sistema numérico. Uma teoria mais sistemática apareceu na forma de integração no cálculo de Newton e Leibniz, na segunda metade do século 17. Nesta teoria o gráfico de uma função f é usado para descrever a fronteira de um conjunto cuja medida é a integral de f. O teorema fundamental do cálculo estabeleceu a conexão entre a integral e a derivada, ou seja, da área com a taxa de variação, e forneceu uma nova e poderosa ferramenta para a computação e o estudo das propriedades de medidas.
No século 19, motivado em grande parte pelo trabalho de Fourier sobre a teoria do calor que exigia a integração de expressões mais complicadas do que as até então consideradas, foi levado a cabo um programa para reexaminar as noções de função, continuidade, integral e derivadas. Tal tarefa foi empreendida por alguns dos principais matemáticos da época. Isso levou a uma definição geral de integral por Riemann no meio do século, mas também gerou a percepção de que o teorema fundamental do cálculo, bem como outros teoremas extensivamente usados no intercâmbio da ordem de integração com as operações limite não eram válidos, sem inúmeras hipóteses. Esse estudo levou também ao interesse por conjuntos muito mais complicados do que os que já haviam sido considerados, conjuntos estes que não eram descritos por condições geométricas ou físicas intuitivas mas sim indiretamente por expressões analíticas. Por exemplo, o conjunto de todos os pontos em que alguns função dada é descontínua.
Como resultado, da generalidade das funções e conjuntos que agora precisavam ser incluídos, a teoria da medida ou a integração já não tinham a simplicidade e facilidade de aplicação que prevalecia na definição mais elementar do passado. O trabalho nesta área, na segunda metade do século, estava preocupado principalmente com a busca de uma noção mais adequada de medida e integral, que renderia teoremas mais simples e mais poderosos.
Foi apenas nos últimos anos do século 19 que E. Borel, finalmente, introduziu uma noção de medida na reta real, o que levaria a uma das teorias mais belas e mais amplamente utilizada na matemática. O desenvolvimento desta teoria, principalmente por H. Lebesgue nos estágios iniciais, e suas aplicações subsequentes para quase todos os ramos de análise e às principais áreas da física constituem uma das partes mais importantes da história da matemática no século 20.
Em 1898 Borel estendeu a noção de tamanho de intervalos para o conceito de uma medida sobre uma ampla classe de conjuntos na reta real, que tem propriedades particularmente desejáveis. Esta medida é agora denominada como medida de Borel. Sua principal ideia nova foi a noção de aditividade enumerável. Uma função de uma família de conjuntos é enumeravelmente aditiva se o valor que esta atribui a união de uma sequência infinita de conjuntos disjuntos é a soma dos valores que atribui a cada um dos elementos da sequência.
Começando com a família de intervalos e a função que atribui a cada intervalo de seu comprimento, ele utilizou recursão para ampliar passo a passo o domínio de definição da função, adicionando em cada cenários conjuntos cujo complemento foi previamente definido ou que são a união de uma sequência de conjuntos disjuntos anteriormente definidos.
A família resultante no final é estável sob as operações de complementação e uniões enumeráveis e a medida resultante é contavelmente aditiva. Agora, qualquer família de conjuntos em qualquer espaço com estas propriedades é chamado de uma família Borel.
Em sua famosa tese publicada em 1902, Henri Lebesgue simplificou e generalizou a definição de medida de Borel e desenvolveu uma teoria de integração e diferenciação em que grande parte da análise dias atuais repousa.
Restringindo-se primeiramente aos subconjuntos de intervalo unitário e partindo de que um conjunto aberto é uma união disjunta de uma seqüência de intervalos, ele definiu a medida de um conjunto aberto como a soma dos comprimentos desses intervalos. Como um conjunto fechado é o complemento de um conjunto aberto, ele definiu a medida de um conjunto fechado como 1 menos a medida de seu complemento. Em seguida, ele definiu a medida exterior de qualquer conjunto como o ínfimo das medidas de conjuntos abertos que o contenham e a medida interior do conjunto como o supremo das medidas de conjuntos fechados nele contidos.
Se a medida exterior e interior de um conjunto coincidem, este é chamado mensurável e sua medida é este valor comum. Ele mostrou que a família de conjuntos mensuráveis contém os conjuntos de Borel e que sua medida concorda com medida de Borel sobre a conjuntos de Borel. Sua medida também é contável aditiva e a família de conjuntos mensuráveis é um sigma álgebra. Ele, então, estendeu essa medida para toda a linha real e, por analogia, introduziu medidas similares em espaços euclidianos de dimensão superior para representar a área no plano, o volume no espaço tridimensional, etc.
Voltando a integração, ele primeiro definiu a integral de uma função positiva sobre os reais como a medida da região bidimensional sob o seu gráfico, em seguida, a integral de qualquer função como a diferença das integrais da parte positiva e negativa. Ele chamou uma função de mensurável se a imagem inversa de um intervalo é um conjunto mensurável e, em seguida, provou que a integral de uma função mensurável limitada em um intervalo limitado existe. Assim, ele ampliou a integral de Riemann adequando o processo de integração a uma classe mais ampla de funções.
Depois de verificar propriedades algébricas elementares da integral, ele provou um dos resultados mais profundos da análise, o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue: se uma seqüência de funções integráveis converge para uma função integrável então a integral do limite é o limite das integrais
Em 1904, voltando sua atenção para a diferenciação, ele recuperou o teorema fundamental do cálculo de uma forma particularmente simples. Dizemos que uma afirmação é verdadeira quase sempre, se o conjunto de pontos em que não é verdadeira tem medida zero. De posse desse conceito Lebesgue primeiro provou que uma função monótona, e, portanto, a soma ou a diferença de duas funções monótonas, é diferenciável em quase todo ponto. Em seguida, ele mostrou que a integral indefinida de uma função é diferenciável em quase todo ponto.
Finalmente, ele caracterizou todas as funções que podem ser expressas como integrais indefinidas: essas funções são absolutamente contínuas, funções estas introduzidas anteriormente por G. Vitali. Uma função é absolutamente contínua se a sua variação total num conjunto aberto tende à zero à medida que a medida do conjunto aberto tende à zero.
Agora, uma função cuja variação total é limitada é a diferença de duas funções monótonas e, portanto, é diferenciável quase todos os pontos. No entanto, a integral indefinida de sua derivada não precisa ser igual a ela. A diferença é caracterizada pelo fato de que sua derivada é zero em quase todos os pontos. Funções com esta propriedade são chamadas singulares e não precisam ser constante, e na verdade, elas podem assumir todos os valores em um intervalo. Lebesgue mostrou que uma função de variação limitada pode ser decomposta em uma soma de uma função absolutamente contínua e de uma função singular. Este é o famoso teorema de decomposição de Lebesgue.
Assim, nos primeiros anos do século, Lebesgue estabeleceu as bases de uma teoria da medida e integração na reta real, que alargou o âmbito do cálculo de uma forma inimaginável antes dele e que recuperou a liberdade para operar com integrais, derivados e limites com um mínimo de restrições naturais e simples. As próximas décadas foram para testemunhar o crescimento explosivo do campo, as aplicações cada vez mais amplas destas ideias para outras áreas, e o desenvolvimento novos ramos da matemática inspirado por essas noções e resultados.
Até o advento da teoria da medida o campo de probabilidade foi principalmente uma coleção de problemas de azar e de métodos ad hoc para resolvê-los. O interesse de matemáticos nestes problemas remonta a Pascal e Fermat no século 17. No entanto, não havia nenhuma teoria geral, nem boas definições fundamentais em que se basearem. Esta é uma das principais realizações do século 20 e é inteiramente devido ao desenvolvimento da teoria da medida.
O uso de uma medida para descrever a probabilidade foi feita por E. Borel na virada do século. Em 1920-1923 N. Wiener construiu uma medida sobre o espaço de curvas contínuas para representar a probabilidade que descreve o movimento de partículas suspensas num fluido conhecido como movimento Browniano. Este fenômeno tinha sido objeto de estudo por físicos há algum tempo e de tratamentos matemáticos por A. Einstein e por M. Smoluchowski por volta de 1905. A ideia de usar uma medida em um espaço tão complicado para descrever um fenômeno físico abriu totalmente novas perspectivas. Esta medida, agora referida como medida de Wiener, eventualmente, levou ao estabelecimento de uma teoria geral da probabilidade e de processos estocásticos nas próximas duas décadas.
Em 1930-1933 A. Kolmogorov lançou as bases formais para a teoria da probabilidade O espaço básico é um conjunto que representa todas as possibilidades do fenômeno a ser estudado. Um evento é um subconjunto deste espaço e uma probabilidade é uma medida positiva em uma álgebra de eventos que atribui o valor 1 para todo o espaço. A variável aleatória é uma função mensurável neste espaço e a sua expectativa média é a integral dessa função. Assim, a teoria das probabilidades foi incorporada na teoria da medida e, assim, entrou na corrente principal da matemática. Por um lado, isso permitiu probabilidade de crescer e ampliar seu campo de aplicações em novas direções, desde à estatísticas até a teoria de potencial da física matemática, enquanto por outro lado, motivou o estudo de problemas e utilização de métodos de campos totalmente diferentes.
A medida de Wiener e o trabalho pioneiro relacionado de Paul Levy na década de 1920 e 30, eventualmente, levou ao nascimento de um ramo de probabilidade conhecida como processos estocásticos, estabelecida inicialmente principalmente por JL Doob. Trata-se de medidas de probabilidade em espaços de dimensão infinita, como espaços de curvas. Esta área tem experimentado extraordinário crescimento na segunda metade do século e tem encontrado aplicações a problemas em quase todos os ramos de análise, nas ciências sociais, bem como nas ciências físicas. Ela está preocupada principalmente com a evolução de um sistema no tempo. O sistema é representado por um ponto em um espaço S, o qual pode ser bastante complexa dependendo do fenômeno em estudo, e a evolução no tempo por uma curva no espaço S. A lei que rege esta evolução é representado por uma medida sobre o espaço das curvas. A construção de uma dessas medidas a partir de algumas observações primitivas ou pressupostos é geralmente um grande problema fundamental. Uma vez obtido, esta medida torna-se uma das ferramentas mais eficazes para estudar o fenômeno.