Geometria Analítica

e Vetorial

Versão 14

Daniel Miranda

Rafael Grisi

Sinuê Lodovici

UFABC

julho de 2022

"I have not yet any c lear view as to the extent to which we are at liberty arbitrarily to

create imaginaries and endow them with supernatural properties.- John Gra ves

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18 de j ulho de 2022

Sumário

Sumário i

Símbolos e notações gerais 1

Agradecimentos 2

1 Estrutura Vetorial do Plano e do Espaço 3

1.1 Deﬁniçõ es Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Soma de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Combinações Lineares 24

2.1 Dependênci a e Independência Linear de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Vetores em Coordenadas 42

3.1 Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Bases Ortonorma is e Coordenada s Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Produto Escalar: Ângulo entre dois Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4 Produto Vetorial: Vetor Perpe ndi c ular a dois Vetores Dados . . . . . . . . . . . . . . 60

3.5 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.6 Escolha do Sistema de Coordenadas (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.7 O Problema do Lugar Geomé trico (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.8 Coordenadas Polares (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4 Retas e Planos 79

4.1 Equaçõ es da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2 Equaçõ es do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5 Posições Relativas 89

5.1 Posição Relativa s e ntre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

SUMÁRIO ii

5.2 Posição relativas entre retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3 Posição relativas entre planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6 Ângulos e Distância 102

6.1 Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.2 Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.3 Retas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7 Círculos e Esferas 122

7.1 Equaçõ es Canônicas de Círculos e Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.2 Retas Tangentes e Planos Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.3 Circunferência em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

8 Cônicas 136

8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.3 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.4 Paráb ola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8.5 ⋆ Excentr icidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.6 ⋆ Construções de Dandelin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.7 ⋆ Cônicas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.8 ⋆ Cônicas e a Trajetória dos Planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

9 Curvas 169

9.1 Parametrização de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

9.2 Curvas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

9.3 Coordenadas Esféricas e Cilindrícas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.4 Comprimento de uma Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.5 Regiões planas limitadas por curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

10 Mudança de Coordenadas Ortogonais no Plano 190

10.1 Translação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.2 Eliminação dos termos line ares de uma equação quadrática . . . . . . . . . . . . . . 191

10.3 Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

10.4 Equações Geral do Segundo Grau no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

10.5 Um pouco de Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

11 Mudança de Coordenadas no Espaço 205

11.1 Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

11.2 Mudança de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

SUMÁRIO iii

A Notação de Somatório 212

B Funções Trigonométricas 214

B.1 Identidades Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

B.2 Gráﬁcos das Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

B.3 Funções trigonomé tricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

C Matrizes e Sistemas Lineares. 223

C.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

C.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

C.3 Teorema de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

C.4 Método de Eliminação de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

D Wolfram Alpha e Mathematica 237

D.1 Plotagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

D.2 Cálculo e Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Respostas de Alguns Exercícios 247

Referências Bibliográﬁcas 253

Símbolos e notações gerais

∃ : existe

∀ : qualquer que seja ou para todo(s)

⇒ : implica

⇔ : se, e somente se

∴ : portanto

:= : deﬁnição (o termo à esquerda de := é deﬁnido pelo termo

ou expressão à direita)

i.e. : id est (em por tuguês, isto é)

 : indica o ﬁnal de uma demonstração

←→

AB : reta passando pelos pontos A e B

AB : segmento de reta ligando os pontos A e B

AB : segmento orientado de reta ligando os pontos A e B

−−→

AB : vetor determinado pelos pontos A e B

v : vetor v

ABk : comprimento do segmento AB

kvk : comprimento do vetor v

−−→

ABk : comprimento do vetor

−−→

|A| : determinante da matriz A

Agradecimentos

Gostaríamos de agradecer à profª. Mariana Ro drigues da Silveira e ao prof. Alexei Magalhães Ve-

neziani pelas inúmeras sugestões e correções. Também gostaríamos de agradecer aos alunos André

Peric Tavares e Rafael Romano pelas co rreções.

Estrutura Vetorial do Plano e do

Espaço

"Meça o que for mensur ável, e torne mensurável o que não o for."

Galileu Galilei

1.1 Deﬁnições Elementares

Como veremos ao longo desse texto, a utilização da linguagem vetorial permite uma descrição ele-

gante e uniﬁcada dos principais resultados da geometria Euclideana bem co mo possibilita uma tran-

sição natural da formulação axiomá tica para a descrição analít ica (em coordenadas) dessa mesma

geometr ia.

Nesse capítulo, daremos o primeiro passo nessa caminhada e apresentaremos o básico da lin-

guagem vetorial. Antes porém começaremos entendendo um pouco do papel fundamental que os

vetores desempenham nas ciências naturais.

Para entendermos o papel que os vetores desempenham nas ciências, começamo s ob servando

que, por um lado, diversas grandezas físicas ﬁcam completamente de terminadas por um único va-

lor (um número real), num sistema de unidades. Assim por exem plo o volume de um corpo ﬁca

espe c iﬁcado quando dizemos quantos metros cúbicos esse corpo ocupa, bem como a massa, a tem-

perat ura, a carga elétrica, a energia, etc. Grandezas que ﬁcam determinadas por um único valor real

são denominadas grandezas escalares.

Por outro lado, diversas grandezas físicas exigem para sua completa determi nação, além de uma

valor numérico o conhecimento de sua direção orientada. Tais grandezas são denominadas grande-

zas vetoriais ou simplesmente vetores.

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 4

Fig. 1.1 : Os caminhos ligando do is pon-

tos correspondem, todos, ao mesmo ve-

tor deslocamento.

O exemplo mais simples e ilustrativo é o deslocamento de

um corpo. Se um corpo se move do ponto A para o ponto B,

dizemos que ela sofreu um deslocamento de A para B. Par a

sabermo s precisamente o deslocamento de um c orpo preci-

samos conhecer o quanto o ele se deslocou (a intensidade do

deslocamento) mas também em que direção ele se deslocou.

Pelas mesmas razões apresentadas serão grandezas vetori-

ais: a velocidade, a aceleração, a quantidade de movimento,

a força e o torque.

É importante que obser vemos que pa ra as grandezas es-

calares uma parte signiﬁcativa da utilidade de medi-las, i.e, associar um número provém da riqueza

de estruturas dos números: os números podem ser somados, subtraídos, comparados, etc.

Para que as grandezas descritas vetorialmente sejam úteis (tanto para a ciência como para a

própria geometria ) temos que construir no conjunto do s vetores estruturas análogas. Assim, neste

e no próximo capít ulo, descreveremos e construiremos diversas ope rações vetoriais e suas interpre-

tações.

Como boa parte da construção dos vetores e de suas operações que faremos neste texto será

de natureza primordialmente geométrica, assumiremos que o leitor conhece os principais conceito s

e resultados da geometria Euclideana plana e espacial. Em particular suporemos conhecidos os

conceitos de ângulos, reta s, planos, comprimento de segmentos, distância de dois pontos, etc.

Notação 1.1 De modo a ﬁxar notação, ao longo deste texto denotaremos por E

o espaço euclideano tridimen-

sional e por E

o plano euclidea no, usaremos letras latinas ma iúsculas, A, B, etc. para representar

pontos, letras latinas minúsculas r, s, etc. para indicar retas, a s letras gregas minúsculas π, θ, etc.

para denotar planos. Eventualmente usaremos letras latinas ou gregas minúsculas també m para

denotar denotar números reais (escalares ou parâmetros de equações). Nesse caso, o contexto deve

deixar claro a que a letra se refere.

Para tornarmos clara a de ﬁ ni ç ão de vetor, começaremos com um termo relacionado: os vetores

aplicados.

Definição 1.2 Um vetor aplicado ou segmento orientado é um segmento de reta no qual se escolheu um dos

extremos A, com o ponto inicial. Nesse caso o outro extremo B do segmento será denominado

ponto ﬁnal e o vetor aplicado com ponto inicial A e ﬁnal B será denota do por

AB. Para nossas

considerações um ponto A é considerado um segmento que denominaremos segmento nulo. Esse

segmento será denotado por

AA ou por 0.

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 5

O comprimento do um segmento AB será denotado por



e será denominado

também tama nho, intensidade, magnitude ou norma do vetor.

Os vetores aplic ados servem apenas parcialmente ao propósito de representar

grandezas que po ssuem i ntensidade, direçã o e sentido, pois apesar de podemos re-

presentar grandezas com esses atributos como vetores aplicados, essa representação não é única.

Ou seja, existem vários vetores aplicados com pontos iniciais e ﬁnais distintos, mas que possuem

intensidade, direçã o e sentido iguais. Para eliminarmos e sse problema, identiﬁcaremos, i.e, diremos

que são iguais, todos esses vetores. Assim diremos que dois vetores aplic ados são equivalentes

(ou equipolentes) se e somente se, possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo

sentido ou a inda se ambos são nulos.

u = v = w

Uma identiﬁcação a náloga, ocor re com as frações: duas frações podem ter numeradores e deno-

minadores diferentes e mesmo assim diremos que elas são iguais (ou equivalentes) pois representam

a mesma grandeza. Observe:

As frações acima são representações de um mesmo número. O número que, em notação decimal,

denotaríamos por 0, 5. Mesmo em notação decima l, 0, 5 e 0, 50 são representações de um mesmo

número.

Quando identiﬁcamos os vetores aplicados equivalentes obtemos vetores livres ou simples-

mente vetores.

Definição 1.3 O conjunto de todos os vetores aplicados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção

e o mesmo sentido é dito vetor.

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 6

É fundamental observar que dado um vetor podemos escolher livremente “o ponto onde inicia

tal vetor”, ou seja, dado um vetor e um ponto podemos e scolher um vetor aplicado q ue inicia nesse

ponto e que possui a mesma intensidade, direção e sentido do vetor. Cada vetor aplicado com a

mesma direção, sentido e comprimento do vetor, é dita ser um representante do vetor.

É importante q ue ﬁque clara a seguinte diferença: se por um lado vetores aplicados ﬁcam bem de-

ﬁnidos pela escolha de direção, sentido, com primento e origem, por outro, vetores preci sam apenas

de direção, sentido e comprimento. Isso signiﬁca que consideramos equivalentes segmentos orienta-

dos que são paralelos, apontam no me smo sentido e tem o mesmo comprim ento, mas consideramos

iguais vetores para lelos, de mesmo sentido e com mesmo comprimento.

O vetor cujos representantes são segmentos orientado nulos, ou seja com pontos iniciais e ﬁnais

coincidentes será denominado vetor nulo. O vetor nulo será denotado por

−→

AA ou por 0.

−−→

Denotaremos os vetores utilizando fontes minúsculas em negrito a, atra-

vés de uma ﬂecha superior:

−→

a ou ainda no caso em que tivermos dois pontos

A e B, denotaremos por

−−→

AB o vetor que tem como representante o vetor apli -

cado

AB. Graﬁcamente vetores são representados como ﬂechas, no qual a

ponta da ﬂecha aponta no sentido do vetor.

Dado um vetor e um segmento que o representa, teremos que a direção

do vetor é a direção desse segmento, o sentido vem de termos escolhido uma

orientaçã o no segmento, ou seja de term os escolhido um ponto inicial e ﬁnal e

o compri mento de um vetor é o comprimento do segmento que o representa.

Como consequência dos axiomas de congruência da geometria Euclideana,

temos que dado um segmento (ou um representante de um vetor) e um ponto

podemos construir um segmento paralelo e de mesmo comprimento iniciando em A. Se denotarmos

por B o ponto ﬁnal desse segmento, então t eremos provado o seguinte resultado.

Proposição 1.4 Dados um vetor v e um ponto A, existe um único ponto B tal que o vetor aplicado AB é represen-

tante de v, ou seja, tal que v =

−−→

AB.

O comprimento de um vetor v =

−−→

AB será também denominado norma do vetor e será denotado

por kvk ou ainda por k

−→

ABk.

Notação 1.5 O conjunto de todos os vetores de E

será denotado por V

. De modo análogo, denotaremos por V

o conjunto de vetores associados a E

, i.e. classe de equivalência de segmentos de retas no plano.

De modo geral, conceitos envolvendo vetores são deﬁnidos utilizando seus representantes.

Nesse espírito temos as seguintes de ﬁ ni ç ões:

Diremos que dois vetores são paralelos quando seus representantes tiverem a mesma direção ou

quando um desses vetores for o vetor nulo 0. O termo vetores pa ralelos inclui o caso especial onde

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 7

os vetores estão sobre a mesma reta ou mesmo o caso em que coincidem. Como consequência da

deﬁnição anterior temos que o vetor nulo é paralelo a todo vetor e também que todo vetor é paralelo

a si mesmo.

Fig. 1.2 : Vetores para l elos.

Diremos que um conjunto de vetores são coplanares se esses vetores possuem representantes

contidos no me smo plano.

Fig. 1.3 : u, v e w são coplanares.

Deﬁnimos o ângulo entre dois vetores u e v como o ângulo θ (com θ satisfazendo 0 ≤ θ ≤ π)

entre representantes

AB e AC de u e v, respectivame nte, co m mesma origem.

Fig. 1.4: Ângulo entre vetores

Finalmente, dois vetores u e v são ditos ortogonais, se um dos vetores for o vetor nulo, ou se a o

escolhermos dois representantes para esses vetores que i ni c iam no mesmo ponto,

AB e AC esses

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 8

segmentos forem ortogonais, ou seja, se o ângulo determinado por esses segmentos for um ângulo

reto (π/2 radi anos ou 90

Fig. 1.5: Vetores ortogonais

Observação 1.6 Note que, segundo nossa deﬁnição, o vetor nulo 0 é o único vetor paralelo e ortogonal a qualquer

outro vetor, e co planar a qualquer par de vetores.

Operações com Vetores

Por tradição, grandezas que possuem apenas magnitude, ou seja, grandezas que são representadas

por números reais são denominadas grandezas escalares. Seguindo essa tradição denominamos um

número real λ de escalar .

Vamos deﬁnir duas ope rações envolvendo vetores: a soma de vetores e a multiplicação por

escalares.

Multiplicação por Escalar

Definição 1.7 Multiplicação p or Escalar: Dado um vetor v e um escalar λ podemos realizar a multiplicação de

λ e v obtendo o vetor λv deﬁnido do seguinte modo:

• Se o vetor v é nulo ou o esca lar λ é zero então λv = 0

• Se λ > 0, o vetor λv é o vetor com o mesmo sentido, m esma direção e com comprimento

|λ|kvk.

• Se λ < 0 então o vetor λv tem a mesma direção e sentido oposto ao vetor v e comprimento

|λ|kvk.

Observação 1.8 Dados um vetor v e um escalar λ denotaremos usualmente o vetor





v por





. A equaç ão

anterior pode ser vista como uma deﬁnição da divisão de um vetor por um escalar.

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 9

(−1)v

Fig. 1.6 : Multiplicação de um vetor por um escalar.

Um vetor de comprimento 1 é denominado vetor unitário. Dado um vetor v 6= 0, temos que o

vetor:

kvk

· v =

kvk

é unitário e possui a mesma direção e sentido que v e é denominado versor associado à v. Para

maiores de talhes veja exercício ??.

Um termo q ue usaremos ocasionalmente é o de vetor direcional ou vetor d iretor. Muito fre-

quentemente estaremos interessados apenas na direção de um vetor e não no seu tamanho. Por

exemplo, como veremos posteriormente, uma reta é completamente determinada por um po nto P

e um vetor v. Ne sse caso o tamanho de v não é importante e podemos multiplica-lo livremente por

um escalar.

Através da multiplicação de vetores por escalares po demos dar uma caracterização algébrica

para o paralelismo de vetores:

Teorema 1.9 Se do is vetores u, v são paralelos e v 6= 0 então u = λv para algum λ ∈ R.

Demonstração. Iremos considerar primeiramente o caso em que u e v têm mesmo sentido. Neste

caso, visto que kvk 6= 0, podemos escolher

λ =

kuk

kvk

Com essa escolha, provaremos que u = λv.

Como u e v são paralelos, u e λv possuem a mesma direção. E como estamos assumindo q ue

u e v possuem o mesmo sentido e como λ é maio r que zero entã o pela deﬁnição de multiplicação

por escalares u e λv possuem o mesmo sentido. Finalmente

kλvk = λkvk =

kuk

kvk

kvk = kuk

O que prova que eles tem o mesmo comprimento. Logo, como os vetores u e λv possuem mesma

direção, sentido e comprimento eles são iguais.

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 10

A demonstração do caso em que u e λv possuem direção contrária é análoga, po rém nesse caso

escolhendo λ = −

kuk

kvk

Proposição 1.10 Dois vetores u, v são paralelos se e somente se u = λv para algum λ ∈ R ou v = θu para algum

θ ∈ R.

Demonstração. Suponha que u, v são paralelo s.

Caso v 6= 0, pelo teorema acima, temos que u = λv para algum λ ∈ R. Caso c ontrário, i.e., se

v = 0 então v = θu para θ = 0.

A implicação contrária segue da deﬁnição de multiplicação de um vetor po r um e sca lar. Se

u = λv o u v = θu então u e v têm m esma direção, ou seja, são paralelos.

E como consequência do corolário ante rior temos:

Teorema 1.11 Três pontos A, B, C pertencem a mesma reta se e somente se

−−→

AB = λ

−−→

BC ou

−−→

BC = θ

−−→

AB.

−−→

Demonstração. Claramente se A, B, C pert encem a mesma reta então os vetores

−−→

AB e

−−→

BC são

paralelos e consequentemente pelo corolário acima temos:

−−→

AB = λ

−−→

BC ou

−−→

BC = θ

−−→

AB = λ

−−→

BC ou

−−→

BC = θ

−−→

AB, então pelo corolário anterior os segmentos

AB e BC são

paralelos. Consequentemente são paralelas as retas

←→

AB e

←→

BC. Mas como o ponto B pertence a

ambas as retas, essas são coincidentes, i.e., os pontos A, B, C pertencem a mesma reta.

Soma de Vetores

Definição 1.12 Soma de vetores Dois ou mais vetores podem ser somados do seguinte modo: a soma, v + u,

de dois vetores v e u é determinada da seguinte forma: A partir de um segmento orientado

AB,

representante arbitrár io de v, tome um segmento orientado BC que representa u, i.e., tome um

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 11

representante de u com origem na extremidade ﬁnal do representante de v, desta forma o vetor

v + u é deﬁnido como o vetor representado pelo segmento orientado

AC, ou seja, pelo segmento

que vai da origem do representante de v até a extremidade ﬁnal do representante de u.

v + u

Fig. 1.7: Soma de Vetores

A soma de vetores tamb ém pode ser feita através da regra do paralelogramo. Para somar dois

vetores v e u atra vés dessa regra tomam os representantes desses vetores que começam num ponto

comum O, como na ﬁgura

1.8. Então, a partir do ponto ﬁnal de cada vetor traçamos uma reta paralela

ao outro vetor. Essas retas se interceptam no ponto P . E logo um paralelogram o é formado. O vetor

diagonal

−−→

OP é a soma dos vetores v e u. O vetor v + u obtido por esse método é o mesmo que o

obtido pelo método anterior, pois o segmento

OP divide o paralelogramo em tri ângulos congruentes

que representam a soma dos vetores v e u.

u + v

v + u

Fig. 1.8: Regra do paralelogramo.

Existe ainda um terceiro modo de se realizar a soma de dois vetores, a chamada soma em coor-

denadas, que ilustraremos no exemplo a seguir e que discutiremos em maior detalhes no Capítulo 3.

Exemplo 1.13 Suponha que sobre um corpo material agem duas forças, u e v, de módulos 2, 00N e 4, 00N respec-

tivamente, na s direções indicadas na Figura 1.9. Qual o móculo da força resultante, ou seja, qual o

comprimento de (u + v)?

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 12

α = 30, 0

◦

β = 60, 0

◦

Fig. 1.9: Exemplo 1.13

⊳

Solução:

Soma p e la lei do paralelogramo:

Como acabamos de ver, uma forma de encontrar (u + v) é usar a regra do paralelogramo.

Considere então o par alelogramo ABCD conforme a Figura 1.10 . Como ângulos opo stos de

um paralelogramo são congruentes e a soma dos ângulos inte rnos de um quadrilátero é 360

obtemos que o ângulo ∠ADC é de 150

. C omo u =

−−→

AB =

−−→

DC, podemos aplicar a lei dos

cossenos no triângulo ADC para obter o comprimento de AC, ou seja, o módulo de u + v:

ku + vk

= |AC|

= |AD|

+ |DC|

− 2|AD||DC|cos(150

)

= 16 + 4 − 2 · 4 · 2 · (−

√

3/2) = 20 + 8

√

Logo ku + vk =

20 + 8

√

3 ≅ 5, 82N.

Soma em coordenadas cartesianas:

Uma segunda abordagem seria decompor as forças em componentes horizo ntais e vertic ais e

fazer, então, a soma dessas componentes. A vantagem desse modo de resolução está na não

necessidade do estudo de ângulos (como ﬁzemos para encontrar o ângulo ∠ ADC na resolução

anterior), e na troca da lei dos cossenos pelas deﬁnições de seno e cosseno de um ângulo junto

com o teorema de Pitágoras.

Se u = u

, onde u

e u

são as comp onentes h orizontal e vertical de u respectivamente,

e v = v

+ v

(adotando a mesma notação) vemos q ue :

u + v = (u

+ u

) + (v

+ v

) = (u

+ v

) + (u

+ v

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 13

(u + v)

γ = 150

◦

Fig. 1.1 0: Exemplo 1.13: Paralelogramo

Daí, por Pitágoras:

ku + vk

= ku

+ v

+ ku

+ v

(ver Figura

1.11).

Desse modo obtemos ku

k = 2 cos(30) =

√

3, ku

k = 2 sen(30) = 1, kv

k = 4 cos(60) =

2 e kv

k = 4 sen(60) = 2

√

3. Daí:

ku + vk

= (

√

3 + 2)

+ (1 + 2

√

= (3 + 4

√

3 + 4) + (1 + 4

√

3 + 12)

= 20 + 8

√

E, da mesma forma que na resolução anterior, ku + vk =

20 + 8

√

3 = 5, 82N.

Essa última resolução, conforme veremos mais adiante, é essenciamente o cálculo da soma de

dois vetores num sistema de coordenadas carte siano.



Propriedades Vetoriais

Pela deﬁnição da soma de vetores, temos que em geral o comprimento de w = u + v é diferente da

soma dos comprimento dos vetores u v, i.e.,

kwk = ku + vk 6= kuk + kvk.

Para determinarmo s o comprimento de w = u + v podemos utilizar a lei dos cossenos para o

triângulo da ﬁgura:

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 14

(u + v)

β = 60

◦

α = 30

◦

Fig. 1.11: Exemplo 1.13: Coordenadas cartesianas

w = u + v

Fig. 1.12: comprimento e direção de w = u + v

Considerando γ o ângulo indicado na Figura

1.12, pela Lei dos Cossenos te mos:

kwk =

kuk

+ kvk

− 2kukkvkcos γ (1.1)

Considerando, α, β e γ os ângulos indicado s na Figura

1.12, pela Lei dos Senos segue:

|w|

sen γ

|u|

sen α

|v|

sen β

(1.2)

As equações

1.1 e 1.2 são a formulação vetorial das Leis dos Cossenos e do s Senos respectiva-

mente.

Observação 1.14 Note que o ângulo γ representado na Figura 1.12 é na verdade o suplementar do ângulo entre u e v.

Notamos que, como −1 ≤ cos γ ≤ 1, um resultado im ediat o de (

1.1) é:

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 15

Teorema 1.15 Desigualdade Triangular Dados dois vetores u e v temos que:

ku + vk ≤ kuk + kvk. (1.3)

Além disso, vale a igualdade de (

1.3) se e somente se os vetores u e v tiverem mesma direção e

sentido.

Observamo s também que, a partir da deﬁnição de soma vetorial, é fácil ver que v +0 = 0+v =

v, ou seja, o vetor nulo é um elemento neutro para a adição. Mais, podemos deﬁnir o vetor oposto a

um vetor dado. Para isso consideremos a seguinte propriedade, cuja demonstração deix amos como

exercício (??):

Para cada vetor u existe um único vetor −u tal que u + (−u) = 0.

O vetor −u é denominado co mo o vetor oposto de u e é o vetor com o mesmo comprimento e

direção de u, mas com sentido oposto.

-u

Fig. 1.1 3: Vetor op osto.

A partir do vetor oposto pode mos deﬁnir subtração de vetores: , deﬁnimos a subtração v − u

como a soma do vetor v c om o vetor −u.

v − u

−u

Fig. 1.14: Subtração de Vetores

De modo equivalente pode mos deﬁnir o vetor v − u como o o vetor que adi c ionado a u dá o

vetor v. Consequentemente, se representarmos os vetores v e u começando no mesmo ponto, o

vetor v − u será o vetor que liga a extremidade ﬁnal de u a extremi dade ﬁnal de v (vide ﬁgura

1.14).

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 16

v − u

Uma observação importante é que sempre que os vetores formam um polígono fechado, como

a ﬁgura abaixo, sua soma é nula: Como um caso especial dessa regra é a soma de um vetor com seu

oposto, i.e., v + (−v) = 0.

Fig. 1.15: A soma de vetores que formam um polígono fechado é nula: v + u + r + s = 0

As seguintes proprieda des da soma e multiplicação de vetores devem ser evidentes. Elas caracte-

rizam os espaços de vetores V

e V

como espaços vetoriais, que, como eles, são conjuntos munidos

de duas operações (multiplicação por escalar e soma). O estudo desses e outros espaços vetoriais

(como o espaço de polinômios de grau n, por exe mplo), bem como de transformações lineares, é

conteúdo de cursos de Álgebra Linear na m aioria das universidades.

Proposição 1.16 Sejam u, v, w vetores e λ, λ

, λ

escalares. As operações com vetores possuem as seguintes pro-

priedades:

Propriedades da soma:

S1.

Propriedade Comutativa: v + u = u + v

S2.

Propriedades associativa: (u + v) + w = u + (v + w)

S3.

Elemento Neutro: 0 + u = u

S4.

Elemento oposto: Para cada vetor u existe um único vetor −u tal que u + (−u) = 0

-u

Propriedades da multiplicação de vetor por escalar:

M1.

Propriedade distributi va de escalares em relação aos vetores: λ(u + v) = λu + λv

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 17

M2. Multiplicação por zero 0u = 0

M3.

Associatividade da multiplicação por escalares (λ

)u = λ

(λ

M4. Distrib utiva dos vetores em relação aos escalares (λ

+ λ

)u = λ

u + λ

M5.

Elemento neutro multiplicativo 1u = u

Demonstração. Esboçaremos a demonstração de algumas dessas propriedades:

A propriedade comutativa segue da regra do paralelogramo para a adição dos vetores u e v, veja

a ﬁgura

1.16. A diagonal é simultaneam ente os vetores u + v e u + v.

u+v

Fig. 1.1 6: Propriedade Comutativa da Soma

A propriedade associat iva segue de imediato do fato que quando três vetores são adicionados, o

mesmo vetor fecha o polígono, como na ﬁgura

1.17.

u + v + w

u + v

v + w

Fig. 1.1 7: Propriedade Associativa da Soma

As propriedades S3 e S4 são deixadas como exercício ao leitor.

A propriedade M1 segue de modo simples a partir da regra do paralelogramo. Deixamos os

detalhes a cargo do leitor. M2 e M5 são resultados imediatos da de ﬁ ni ç ão de multiplicação de vetor

por escalar.

Para demonstrarmos a propriedade M3, i.e., a associatividade da multiplicação por escalares

(λ

)u = λ

(λ

u) observamos inicialmente que os vetores (λ

)u e λ

(λ

u) possuem a mesma

direção e sentido independentemente do sinal de λ

e λ

(terão o mesmo sentido de u se λ

e λ

tiverem o mesmo sinal, e senti do oposto a u se λ

e λ

tiverem sina is contrários).

Além disso, os comprimentos de (λ

)u e λ

(λ

u) são os mesmos pois:

kλ

(λ

u)k = |λ

| · kλ

uk = |λ

| · (|λ

|kuk) = |λ

| · kuk = k(λ

)uk.

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 18

A propriedade M4, i.e, a distributiva dos vetores em relaçã o aos escalares

(λ

+ λ

)u = λ

u + λ

segue da observação de que a di reção e o sentido dos vetores (λ

+ λ

)u e λ

u + λ

u é a mesma .

Esse fato é claro se λ

e λ

tiverem o mesmo sinal, ou se λ

+ λ

= 0, no outros casos o sentido é

determinado pelo e sca lar de maior módulo |λ

| e |λ

| .

Se o sinal de λ

e λ

forem o mesmo, t eremos que

k(λ

+ λ

)uk = |(λ

+ λ

)|kuk = (|λ

| + |λ

|)kuk = kλ

uk + kλ

uk.

Pela deﬁnição de adiçã o de vetores é fácil ver que a soma de dois vetores de m esmo sentido é um

vetor também de mesmo sentido e com o comprimento igual a soma do comprimento dos vetores

somados. Daí temos:

kλ

uk + kλ

uk = kλ

u + λ

uk.

Por outro lado, caso os sinais de λ

e λ

sejam contrários, teremos:

k(λ

+ λ

)uk =



(λ

+ λ

)



kuk =



|λ

| − |λ



kuk =



kλ

uk − kλ



Novamente, p ela deﬁnição de soma vetorial, segue que:



kλ

uk − kλ



= kλ

u + λ

uk.

Todas as propriedades a lgéb ricas dos vetores podem ser deduzidas das 9 propriedades ac ima.

Essas propriedades são análogas as propriedades dos números reais e grande parte da álgebra de-

senvolvida para números reais se estende para as operações vetoriais. De modo mais geral podemos

deﬁnir um espaço vetorial c omo um conjunto com uma operação + e uma operação de multiplica-

ção por escalares satisfazendo os nove axiomas acima. Os espaços vetoriais são uma das estruturas

matemáticas de maior i mportância.

Vejamos algumas propriedades algébricas dos vetores:

Exemplo 1.17 v + v = 2v

⊳

Demonstração. Pela propriedade M5 temos que v + v = 1v + 1v e pela propriedade M4 temos

que1v + 1v = (1 + 1)v = 2v e logo v + v = 2v.

Exemplo 1.18 v + (−1v) = 0, ou seja o vetor oposto a v é −1v.

⊳

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 19

Demonstração. Pela propriedade M5 temos que v + (−1v) = 1v + (−1v) e pela propriedade M4

temos que 1v + (−1v) = (1 −1) v = 0v. Finalmente a propriedade M2 nos diz que 0v = 0

Como o vetor oposto é único temos que o vetor oposto a v é −1v.

Exemplo 1.19 u + v = w se, e somente se, u = w − v.

⊳

Demonstração. Vamos provar a primeira implicação. Se u + v = w então, u = w − v

Vamos começar calculando (u + v) − v

(u + v) − v = u + (v − v) por S2 (1.4)

u + (v − v) = u por M4 e M5 (1.5)

por outro lado, como w = u + v:

(u + v) − v = w − v = u (1.6)

e consequente mente por

1.5 e 1.6 temos:

u = (u + v) − v = w − v

A implicação contrária é semelhante. O leitor pode tentar, assim, completar os detalhes.

O seguinte exem plo ilustra como podemos atacar um problema geométri c o utilizando a lingua-

gem vetorial.

Exemplo 1.20 Os segmentos que unem o s pontos m édios de dois lados de um triângulo é parale lo a o terceiro lado.

⊳

Solução: Seja o triâ ngulo ∆ABC e seja M

o ponto médio do lado AB e M

o ponto médio do lado

AC.

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 20

Como M

é p onto médio do lado

AB temos que vetor

−−−→

é igual a metade do vetor

−−→

AB.

Analogamente, temos que

−−−→

é metade do vetor

−→

AC, i.e.,

−−−→

−−→

AB (1.7)

−−−→

−→

AC (1.8)

e consequente mente:

−−→

AB = 2

−−−→

(1.9)

−→

CA = 2

−−−→

A (1.10)

Então como:

−−→

CB =

−→

CA +

−−→

AB (1.11)

substituindo

1.9 e 1.10 em 1.11 temos:

−−→

CB = 2

−−−→

A + 2

−−−→

(1.12)

−−→

CB = 2(

−−−→

A +

−−−→

) = 2

−−−−→

(1.13)

e consequente mente:

−−−−→

−−→

E assim o segmento

é pa ralelo ao segmento CB e seu comprimento é metade do último.



Exemplo 1.21 Dado um triângulo de vérti c es A, B, C. Dado P o ponto de encontro da bissetriz do ângulo

C com

o lado

AB Então o vetor CP é paralelo ao vetor

−→



−→



−−→



−−→



, ou seja,

−−→

CP = λ





−→



−→



−−→



−−→







(1.14)

⊳

Solução:

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 21

u + v

Note primeiramente que, para provarmos a equação

(1.14), basta mostrarmos que, se F é t al que:

−−→

CF =

−→



−→



−−→



−−→



então F está sob a bissetriz do ângulo

Faremos isso observando que a diagonal CF de um lo-

sango CEF D divide os ângulos

C e

F em ângulos iguais,

ou seja é bissetriz de

C e

F . Isso segue do caso LLL de

congruência de triângulos (△CF D

∼

△CEF ).

Considere agora os vetores u =

−→



−→



e v =

−−→



−−→



Como os vetores u e v possuem o mesmo comprimento,

pois são unitários, o paralelogramo determinado por estes ve tores é um losango. Consequentemente,

como u e v são paralelos aos lados CA e CB do triângulo △ABC, e a regra do paralelogramo

nos diz que a soma de dois vetores é a diagonal do paralelogramo por eles formado, temos que, se

−−→

CF = (u + v), então o segmento CF divi de o ângulo

C em ângulos iguais.

Finalmente, se P é um ponto qualquer da bissetriz de

C, o vetor

−−→

CP é paralelo ao vetor

−−→

CF , i.e,

−−→

CP = λ





−→



−→



−−→



−−→









1.2 Soma de Ponto com Vetor

A soma do ponto com o vetor v nos retorna a tra nslação do ponto P ao ser transportado pela direção,

sentido e comprim ento de v.

Definição 1.22 Dado um ponto P e um vetor

−→

v podemos deﬁnir a soma de ponto com vetor do seguinte modo.

Seja um representante de

−→

v que começa em P e seja Q o ponto ﬁnal desse representante.

Deﬁnimos então:

P + v := Q

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 22

Podemos reescrever a deﬁnição de soma de ponto com vetor de outra forma: diremos que P +

v = Q se e somente se

−−→

P Q = v.

Se e scolhermos um ponto ﬁxo no espaço O que chamaremos de origem, cada ponto P do espaço

(ou plano) pode ser escrito como

P = O +

−−→

Nesse caso o vetor

−−→

OP é dito vetor posição de P .

Proposição 1.23 A soma de ponto com vetor tem as seguintes propriedades:

P + O = P

P + u = P + v se e somente se u = v

(P + u) + v = P + (u + v)

(P + u) − u = P

P +

−−→

P Q = Q

Demonstração. Faremos a demonstração dos tr ês primeiras propriedades e deixaremos as outras

como exercício ao leitor.

É imediata pois

−−→

P P = 0

Se P + u = P + v, seja Q = P + u, então u =

−−→

P Q = v e assim u = v. A recíproca é

imediata.

Seja Q

= P + u, Q

= Q

+ v e Q

= P + (u + v). Para demonstrar que (P + u) + v =

P + (u + v) basta mostrarmos que Q

= Q

Por deﬁnição Q

= P + u implica que u =

−−→

P Q

. De modo análogo, Q

= Q + v, implica

que v =

−−−→

e Q

= P + (u + v) implica que (u + v) =

−−→

P Q

CAPÍTULO 1. ESTRUTURA VETORIAL DO PLANO E DO ESPAÇO 23

Logo

−−→

P Q

= (u + v) =

−−→

P Q

−−−→

(1.15)

⇒

−−→

P Q

−−→

P Q

(1.16)

⇒ Q

= Q

(1.17)

Exemplo 1.24 Dado ∆ABC um triângulo e P um ponto sobre BC. Se Q = P +

−→

AP +

−−→

P B +

−−→

P C demonstre que

ABQC é um paralelogramo e assim Q não dep ende da escolha de P .

⊳

Solução: Co mo Q = P +

−→

AP +

−−→

P B +

−−→

P C então

−−→

P Q =

−→

AP +

−−→

P B +

−−→

P C

e logo

−→

AQ −

−→

AP =

−→

AP +

−−→

AB −

−→

AP +

−→

AC −

−→

e logo

−→

AQ =

−−→

AB +

−→

E assim

−−→

CQ =

−→

AQ −

−→

AC =

−−→

AB. De modo análogo podemos provar q ue

−−→

BQ =

−→

AC e assim

ABQC é um paralelogramo.



Combinações Lineares

2.1 Dependência e Independência Linear de Vetores

Como vimos no capítulo ante rior, a adição de vetores e a multiplicação de um vetor por um e sca lar

nos permitem obter novos e diferentes vetores a partir de alguns vetores dados. Os vetores assim

obtidos são ditos combinação linear dos vetores iniciais.

λv

θu

w = λv + θu

Fig. 2.1 : O vetor w pode ser escrito como somas de múltiplos dos vetores u e v.

Definição 2.1 Diremos que um vetor w é c omb inação linear dos vetores {v

, . . . v

} se existem escalares

{λ

, . . . λ

} tal que

w = λ

+ λ

+ . . . λ

i=1

Nesse caso diremos também que o vetor w é dependente dos vetores v

com i = 1, . . . , n, ou

ainda, que o vetor w pode ser representado em função dos vetores v

com i = 1, . . . , n

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 25

6cm

u u

Fig. 2.2: w = 2u + 3v

Exemplo 2.2 O vetor w ilustrado na ﬁgura 2.2 é combinação de u, v. Pois

w = 2u + 3v.

⊳

Exemplo 2.3 Na ﬁgura 2.3 temos que vetor f

é combinação linear de f

, f

Como os vetores f

, f

formam um polígono fechado sua soma é 0

+ f

= 0

e assim:

= −f

− f

−f

− f

⊳

Fig. 2.3: O vetor f

é combinação linear dos vetores f

, f

Exemplo 2.4 Escreva o vetor

−−→

AD como com binação linear de

−−→

AB e

−→

AC.

30º

45º

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 26

⊳

Solução: Queremos encontr ar λ

e λ

tais que:

−−→

AD = λ

−−→

AB + λ

−→

AC. (2.1)

Primeiram ente vamos escolher convenientemente dois vetores i, j ortogonais e de norma 1 e

vamos escrever todos os demais vetores em função desses (Figura

3.1). E scolheremos i =

−−→

ABk

j como a rota ç ão de i de um ângulo de 90 no sentido anti-horário.

Facilmente observamos que

−−→

AB = 3i.

30º45º

Fig. 2.4: Vetores i, j

30º

Fig. 2.5 : Vetor AD

45º

Fig. 2.6 : Vetor AC

Observando a Figura

2.5 concluímos que

−−→

AD =

−−→

AK +

−−→

KD. E po r trigonometria do triâ ngulo

retângulo temos:

−−→

AK = 4(cos 30)i e

−−→

KD = 4(sen 30)j.

Dessa forma tem os que

−−→

AD = 2

√

3i + 2j.

De modo análogo, observando o triângulo da Figura

2.6 concluímos que

−→

AC =

−→

AP +

−−→

P C.

Mas, novamente por trigonome tria, temos que

−→

AP = 2(cos 45)i e

−−→

P C = 2(sen 45)j. Logo

−→

AC =

√

2i +

√

2j.

Voltando à equação (

2.1) obtemos então:

√

3i + 2j = λ

(3i) + λ

(

√

2i +

√

2j).

Isolando i e j obtemos ﬁnalmente :

√

3 − 3λ

−

√

2λ

)i + (2 −

√

2λ

)j = 0

Como os vetores i, j são linearmente independentes, segue que:

(

√

3 − 3λ

−

√

2λ

= 0

2 −

√

2λ

= 0

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 27

E assim podemo s concluir que λ

√

3 − 1)

e λ

√

Finalmente:

−−→

AD =

√

3 − 1)

−−→

AB +

√

−→

AC.



Definição 2.5

• Um vetor v é dito linearmente dependente (LD) se v = 0.

• Os vetores v

, . . . , v

(n ≥ 2) são ditos linearmente dependentes ( L D) se existe um i ∈

{1, 2, . . . , n} tal q ue o vetor v

seja combinação linear dos dem ais vetores, ou seja:

j6=i

onde λ

, λ

, . . . , λ

∈ R.

Definição 2.6 Dizemos que os vetores v

, . . . , v

são linearmente independentes (LI) se eles não são linear-

mente dependentes.

Temos a seguinte c aracterização simples para a dependência linear de dois vetores. Essa carac-

teriza ç ão será genera lizada pa ra um número mai or de vetores na seção

2.1.

Proposição 2.7 Quaisquer dois vetores não nulos e não paralelos e

e e

são linearmente independentes.

Demonstração. Por redução a o absurdo, suponha que os vetores e

e e

são line armente dependen-

tes.

Então pela deﬁnição de dependência linear temos que e

= λe

ou e

= θe

. Donde, pelo

Corolário

1.10, temos que e

e e

são paralelos, o que contradiz nossas hipóteses.

Logo e

e e

são linearmente independentes.

A partir da deﬁnição anter ior podemos provar a seguinte caracterização:

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 28

Proposição 2.8 Os vetores v

, . . . , v

são linearmente dependentes se e somente se existem λ

, λ

, . . . , λ

∈ R não

todos nulos, tal que

i=1

= 0.

Demonstração. Para n = 1 temos que se v é linearmente dependente entã o v = 0 daí para λ = 1,

por exemplo te mos λv = 0. Reci procamente, se λv = 0 para algum λ 6= 0 pela deﬁnição de

multiplicação por escalar segue que v = 0, logo v é linearmente dependente.

Para n ≥ 2, suponha que os vetores v

, . . . , v

são linearmente dependente s. Sem perda de

generalidade suponha que

i=2

para λ

, λ

, . . . , λ

∈ R.

Somando (−1)v

a ambos os lados da igualdade chegamos a:

(−1)v

i=2

= 0.

Logo

i=1

= 0 com λ

, λ

, . . . , λ

não todo s nulos (pois λ

= −1).

Reciprocamente, considere que existe m λ

, λ

, . . . , λ

não todos nulos tal que

i=1

= 0.

Suponha, sem perda de generalidade que λ

6= 0. Multiplicando ambos os lados da igualdade por

e isolando v

chegamos a:

i=2

−

Ou seja, o vetor v

é comb inação linear dos demais.

A contrapositiva da proposição anterior nos leva ao seguinte teorema:

Teorema 2.9 Os vetores v

, . . . , v

são linearmente independentes se e somente se

i=1

= 0

=⇒ (λ

= ··· = λ

= 0)

Ou seja, a única relação linear entre os vetores é a trivial, ou ainda, o vetor 0 pode ser escrito

de modo único co mo combinação dos vetores v

com i ∈ {1, 2, . . . , n}.

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 29

Desse teorema é im ediat a a unicidade da representação de um vetor como combinação linear de

vetores linea rmente independentes:

Proposição 2.10 Seja u um vetor que possa ser escrito como combinação linear do conjunto de vetores linearmente

independente {v

}

i=1,...n

u =

i=1

então essa representação é única.

Demonstração. Dadas duas representações de u, i.e, suporemos que u possa ser escrito como com-

binação linear de {v

}

i=1,...n

de duas mane iras distintas:

u =

i=1

(2.2)

u =

i=1

′

(2.3)

mostraremos que essas representações são iguais, isto é que λ

= λ

′

Subtraindo a equação

2.3 da equação 2.3 obtemos:

i=1

−

i=1

′

= 0

e logo

i=1

(λ

− λ

′

= 0

Finalmente, como os vetores {v

}

i=1,...n

são linearmente independentes, temos que para cada

i, (λ

− λ

′

) = 0, e assim λ

= λ

′

. Dessa forma, temos que a representação é única.

A partir do Teorema

2.9 e da Proposição 2.8, estudar a dependência linear dos vetores v

, . . . , v

é uma tarefa simples. Basta estudar a equaçã o:

i=1

= 0,

com incógnitas λ

(i ∈ {1, 2, . . . , n }). Se tal eq uação admitir apenas a solução λ

= 0 para todo

i ∈ {1, 2, . . . , n}, então os vetores v

, . . . , v

são linearmente independentes. Caso contrário, são

linearmente dependente s.

Exemplo 2.11 Suponha que os vetores u, v, w são linearmente independentes. Mostre q ue os vetores u+v, u− v

e u + v + w também são linearmente independentes.

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 30

⊳

Solução: Para demonstrar que os vetores u+v, u− v e u +v + w são line armente i nde pendentes,

vamos estudar a equação:

a(u + v) + b(u − v) + c(u + v + w) = 0

Expandindo e agrupando temos:

(a + b + c)u + (a − b + c)v + cw = 0

Como u, v, w são linearmente independentes temos que:











a + b + c = 0

a − b + c = 0

c = 0

Resolvendo o sistema anterior temos que a = b = c = 0. Conse quentemente temos que

a(u + v) + b(u − v) + c(u + v + w) = 0 ⇒ a = b = c = 0

e logo os vetores u + v, u − v e u + v + w são linearmente independentes. 

Caracterização Geomé tr ica de Dependência e Indepe ndência Linear

Nas seções anteriores apresentamos uma série de ca racterizações algébricas da dependência e inde-

pendência linear de vetores de V

e V

, esses conceitos pode m também ser caracterizados geome -

tricamente, como nos mostra o enunciado do teorema a seguir:

Teorema 2.12 (Caracterização Geométrica da Dependência e Independência L inear) Para vetores e m V

e V

temos:

Um vetor v é linearmente de pendente se e somente se v = 0.

Dois vetores u, v são linearmente dependentes se e somente se u e v são paralelos.

Três vetores u, v, w são linearmente dependentes se e somente se u, v e w são coplanares.

Quatro ou mais vetores são sempre linearmente dep endentes.

A demonstração dessa te orema será feito na próxima seção após introduzirmos o conceito de

base. Antes disso, porém, ilustraremos como utilizar essa caracterização para resolver problemas

geométr icos.

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 31

Exemplo 2.13 Mostre que as diagonais de um paralelogramo se intersectam nos seus pontos médios.

⊳

Solução:

Considere um para lelogramo ABCD de diagonais AC e

BD. Seja M o ponto de intersecção de AC e BD (ponto

que, a priori, não é nec essariamente ponto médio das dia-

gonais).

Queremos mostrar que:

−−→

AM =

−→

AC,

−−→

BM =

−−→

BD.

Como A, M e C são colineares temos:

−−→

AM = λ

−→

AC. (2.4)

Da mesma form a, com o B, M e D são colineares:

−−→

BM = θ

−−→

BD. (2.5)

Como ABM é um tr iângulo, temos:

−−→

AM =

−−→

AB +

−−→

BM.

Usando então as equações (

2.4) e (2.5) na equação acima segue que:

−→

AC =

−−→

AB + θ

−−→

BD.

Escrevendo todos os vetores da equação acima em função de

−−→

AB e

−−→

AD (dois vetores não para-

lelos) obtemos:



−−→

AB +

−−→



−−→

AB + θ



−

−−→

AB +

−−→



Ou, reescrevendo convenientemente:

−−→

AB + λ

−−→

AD = (1 − θ)

−−→

AB + θ

−−→

AD.

Usando então que

−−→

AB e

−−→

AD são linea rmente independentes, segue da Proposição

2.10 que:

(

λ = 1 − θ

λ = θ

donde temos λ = θ =

como quería mos. 

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 32

Observação 2.14 Note que na s e quações (2.4) e (2.5) usamos letras distintas para os escalares que multiplicam

−→

AC e

−→

AC, pois, à princípio, não sabíam os se a proporção que AM guardava em relação a AC é a mesma

que BM guardava em relação a BD.

Exemplo 2.15 Sejam M

, M

os pontos médios dos lados AB, BC e CA do triângulo △ABC. Seja G o ponto

de intersecção das medianas AM

e BM

. Mostre que G se divide AM

e BM

na razão 2 para 1.

⊳

Solução: Para mostrar que as me dianas AM

e BM

se intersectam num ponto G que divide AM

e BM

na razão 2 para 1, devemos provar que:

−→

AG =

−−−→

−−→

BG =

−−−→

De mo do a tornar a notaç ão da resolução mais limpa, chamemos os vetores

−−→

AB e

−→

AC de a e b,

respectivamente. Observe que, como os vetores a, b não são paralelos pelo

2.12 eles são linearmente

independente s. E expressaremos todos os demais vetores da ﬁgura em função desses vetores. Fixada

a notação, passemos a cada uma das etapas:

Para estudarmos a interse c ç ão G das medianas AM

e BM

, expressaremos os vetores

−−−→

em função de a, b.

Observamo s ini c ialmente que pela deﬁnição de subtração que

−−→

CB = a − b. E assim:

−−−→

−→

AC +

−−→

CB =

a +

−−−→

−−→

BA +

−→

AC = −a +

Como os pontos A, G e M

são colineares temos:

−→

AG = λ

−−−→

(a + b) .

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 33

Analogamente:

−−→

BG = α

−−−→

= α



−a +



Observamo s que, nesse estágio, não sabemos ainda que G divide os segmentos AM

e BM

mesma proporção. Assim sendo, usamos letras di ferentes (λ e α) para o s escalares das equações

acima.

É fácil ver que uma equação envolvendo os vetores

−→

AG e

−−→

BG é:

−−→

BG =

−−→

BA +

−→

AG.

Donde temos:



−a +



= −a +

(a + b) .

Isolando os vetores a, b temos então:



−α + 1 −



+ b



−



= 0.

Como a, b são linea rmente independentes segue então que:











−α + 1 −

= 0

−

= 0

Desse sistema obte mos então:

α = λ =

Ou seja, G divide tanto o segmento AM

quanto o segmento BM

na razão 2 para 1. 

Exemplo 2.16 Usando a mesma nomenclatura do exemplo anterior, prove que as três medianas do triângulo

△ABC têm um único ponto c omum, G, que divide as três medianas AM

, BM

e CM

na ra-

zão 2 para 1.

G é conhecido como b aricentro do triângulo.

⊳

Solução: Para mostrar a aﬁrmação acima nos falta apenas provar que C, G e M

são coline ares e

que G divide CM

na razão 2 para 1. Desse modo, nos basta provar a igualdade:

−−→

CG =

−−−→

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 34

Mostremos então que a equação

−−→

CG = β

−−−→

com incógnita em β admite solução real.

Continuemos, como na resolução do exemplo anterior, de notando os vetores

−−→

AB e

−→

AC p or a e

b, respe c tivamente. Escrevamos

−−→

CG e

−−−→

em função de a, b:

−−→

CG =

−→

AG −

−→

AC =

a −

−−−→

−

−→

AC =

a − b.

Temos assim a seguinte equação:



a −



= β



a − b



Isolando a, b temos:



−



+ b



−

+ β



= 0

Como a, b são linea rmente independentes:











−

= 0

−

+ β = 0

Tal sistema adm ite uma solução:

β =

Dessa forma temos que os pontos C, G e M

são colineares e que G divide CM

na razão 2 para

1. 

Exemplo 2.17 Dado um triângulo ∆ABC e O um ponto qualquer. Então o baricentro G do triângulo ∆ABC é

dado por:

G = O +

−→

OA +

−−→

OB +

−−→

⊳

Solução:

Seja

P = O +

−→

OA +

−−→

OB +

−−→

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 35

Como

−−→

OB =

−→

OA +

−−→

AB e

−−→

OC =

−→

OA +

−→

AC, temos que:

P = O +

−→

OA +

−→

OA +

−−→

AB +

−→

OA +

−→

que simpliﬁcando ﬁca :

P = O +

−→

OA +

−−→

AB +

−→

E como A = O +

−→

OA, a expressão anterior é equivalente a:

P = A +

−−→

AB +

−→

No exercício

2.16 já provamos que

−→

AG =

−−→

AB +

−→

ou na forma de soma de ponto com vetor

que:

G = A +

−−→

AB +

−→

E assim temos que G = P , ou seja, demonstramo s que:

G = O +

−→

OA +

−−→

OB +

−−→



Exemplo 2.18 Dado as retas r e s e um ponto O não pertencente as retas. Dadas duas retas t

e r

, que inte rcepta m

r e s nos pontos A, B, C, D conforme a ﬁgura abaixo. Mostre os segmentos AB e CD são paralelos

se e somente se

kOAk

kACk

kOBk

kBDk

⊳

Solução:

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 36

Como os pontos O, A, B não são colineares, os vetores u =

−→

OA e v =

−−→

OB não são paralelo s e

assim são linearmente i nde pendentes. Como os segmentos

AB, CD são paralelos temos que

−−→

AB = λ

−−→

Como

−−→

OC é paralelo à

−→

OA temos que

−−→

OC = xu

De mo do análogo temos que

−−→

OD = yv

E assim

−−→

CD =

−−→

OD −

−−→

OC = yv − xu

Consequentemente

−−→

AB = v − u = λ(yv − xu)

e logo

(1 − λx)u + (λy − 1)v = 0

Como os vetores u, v são linea rmente independentes, temos que

(

1 − λx = 0

λy − 1 = 0

e logo x = y =

E ﬁnalmente t emos que

kOAk

kACk

kOBk

kBDk

Faremos agora a re c íproca. Se

kOAk

kACk

kOBk

kBDk

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 37

então

kACk

kOAk

kBDk

kOBk

e assim

kOAk + kACk

kOAk

kOBk + kBDk

kOBk

⇒

e assim i gualando a k, temos que

kOCk

kOAk

kODk

kOBk

= k

Como os segmentos OC e OA são paralelos temos que

−−→

OC = k

−→

OA. De modo similar temos

que

−−→

OD = k

−−→

E assim

−−→

AB =

−→

OA −

−−→

CD =

−−→

OD −

−−→

OC = k(

−→

OA −

−−→

OB)

Consequentemente os vetores

−−→

AB e

−−→

CD são paralelos.



2.2 Bases

Dizemos que um conjunto de vetores {v

}

i=1,...,n

gera o espaço (um dado plano) se qualquer vetor

w do espaço (do plano) puder ser escrito co mo combinação linea r dos vetores {v

}

i=1,...,n

w =

i=1

Proposição 2.19 Dois vetores não paralelos de V

geram V

Ou seja,dados um vetor f ∈ V

e doi s vetores não nulos e não paralelos e

e e

de V

temos

que existem m e n ∈ R tais que:

f = me

+ ne

Demonstração. Considere um ponto arbitrário O do espaço. Primeiramente observe que f é paralelo

ao plano dete rminado pelo ponto O e pelos vetores e

, e

Considere o representante de f que c omeça no ponto O e termina em P , i.e., seja f =

−−→

OP .

Considere a reta paralela a e

que passa pelo ponto P e a reta paralela a e

que passa por O. Essas

retas se encontram num ponto K (Por quê?). É fácil ver, então, que f =

−−→

OK +

−−→

KP .

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 38

Fig. 2.7: Dois vetores não paralelos geram o plano

Como

−−→

KP é paralelo a e

, tal vetor é um escalar vezes e

, ou seja,

−−→

KP = λ

. De mane ira

análoga

−−→

OK = λ

. Desta forma temos:

f = λ

+ λ

Proposição 2.20 Dados f , um vetor qualquer de V

, e e

, e

três vetores não nulos, não pa ralelos entre si e não

paralelos ao mesmo plano, tem os q ue existem l, m, n ∈ R tais que:

f = le

+ me

+ ne

−−→

Fig. 2.8 : Três vetores não coplanares geram espaço

Demonstração. A demonstração é análoga a da Proposição

2.19.

Começ amos escolhendo representantes dos vetores f, e

, e

que começam no ponto O (vej a

a ﬁgura

2.8). Seja então a reta paralela a e

passando por P . Essa reta i ntercepta o plano determinado

por e

, e

no ponto K.

O vetor

−−→

OK estando no mesmo plano que e

, e

, pode ser escrito como combinação linear

desses vetores:

−−→

OK = le

+ me

O vetor

−−→

KP é paralelo a e

, i.e,

−−→

KP = ne

. Finalmente como

−−→

OP =

−−→

OK +

−−→

KP temos que:

f = le

+ me

+ ne

Proposição 2.21 Quaisquer três vetores e

, e

não coplanares são linearmente independentes.

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 39

Demonstração. Suponha que e

, e

são linearmente dependentes. Temos então q ue um dos ve-

tores é combinação linear do s demais.

Suponha, sem perda de generalidade, que e

= λe

+ θe

. Segue que o vetor e

é paralelo ao

plano determinado pelo ponto O e pelos vetores e

e e

(Por quê?). Donde temos que os vetores

, e

seriam coplanares.

Definição 2.22 Uma base para o espaço (um dado plano) é um conjunto ordenado de vetores {v

} linearmente

independente s e que geram o espaço (o pla no).

Teorema 2.23 Teorema da Base para o Plano Qualquer vetor f ∈ V

pode ser escrito de maneira única

como combinação linear de dois vetores não nulos e não paralelos e

e e

de V

, isto é:

f = me

+ ne

com m e n ∈ R únicos.

Ou seja, dois vetores nã o nulos e não pa ralelos de V

formam uma base para V

Demonstração. Consequência imediata das Proposições

2.19, 2.10 e 2.7.

Corolário 2.24 Toda base para o plano tem exatamente dois vetores. Ou seja, o plano tem dimensão 2.

Teorema 2.25 Teorema da Base para o Espaço No espaço tridimensional, sejam três vetores não nulos

, e

, não paralelos entre si e não paralelos ao m esmo plano. Então qualquer vetor f no

espaço pode ser escrito como combinação line ar única de e

, e

, isto é:

f = le

+ me

+ ne

com l, m, n ∈ R.

Ou seja, três vetores não nulos, não paralelos entre si e não paralelos ao mesmo plano for mam

uma base para V

Demonstração. A demonstração do Teorema segue diretamente das Proposições

2.20, 2.10 e 2.21.

Corolário 2.26 Toda base para o espaço tem exatamente três vetores. Ou seja, o espaço V

tem dimensão 3.

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 40

Intimamente relacionado ao c onceito de ba se está o conceito de dimensão de um plano/espaço.

A d imensão é deﬁnida como o número de vetores numa base, ou seja, o número de vetores inde-

pendentes a partir do qual podemos obter todos os outros. Como provamos o plano tem dime nsão

2 e o e spaço tem dimensão 3.

Agora demonstraremos o teorema de caracte rização geométrica da dependência e independência

linear, q ue enunciamos na se ç ão anterior:

Teorema 2.27 (Caracterização Geométrica da Dependência e Independência L inear) Para vetores e m V

e V

temos:

Um vetor v é linearmente de pendente se e somente se v = 0.

Dois vetores u, v são linearmente dependentes se e somente se u e v são paralelos.

Três vetores u, v, w são linearmente dependentes se e somente se u, v e w são coplanares.

Quatro ou mais vetores são sempre linearmente dep endentes.

Demonstração.

A demonstração segue de imediato a partir Deﬁnição 2.5.

Se u é paralelo a v. Pelo Corolário 1.10, ou u = λv ou v = θu (λ, θ ∈ R). Logo, co mo um

dos vetores é necessariamente combinação linear do o utro, segue que u, v são linearme nte

dependentes.

A recípro c a é a contrapositiva da Proposição

2.7.

Se três vetores u, v, w são coplanares temos dois casos a considerar ou u, v são para lelos, ou

u, v não são para lelos.

Se u, v são paralelos, pela a rgumentação acima, um dos vetores é combinação linear do outro.

Suponha, sem perda de generalidade, que u = λv. Temos então que:

u = λv + 0w.

Logo u é c ombinação line ar dos demais vetores e, portanto, u, v, w são linearmente depen-

dentes.

Se u, v, w são coplanares e u, v não são paralelos, pelo Teorema ?? temo s que

w = λ

u + λ

para λ

, λ

∈ R. Assim , os vetores u, v, w são linearmente dependentes.

A recípro c a segue da Proposição

2.21.

CAPÍTULO 2. COMBINAÇÕES LINEARES 41

Considere n vetores v

, v

, . . . , v

, com n ≥ 4. Duas coisas podem ocorrer: ou os v

, v

são coplanares ou não o são.

Se v

, v

são coplanares, um dos vetores é combinação linear dos demais. Suponha v

λv

+ θv

. Segue que :

= λv

+ θv

i=4

Logo v

, v

, . . . , v

são linearmente dependentes.

Caso v

, v

não seja m coplanares, pelo Teorema

2.25,

= λ

+ λ

para λ

, λ

∈ R. Daí temos:

= λ

+ λ

i=5

Logo, v

, v

, . . . , v

são linearmente dependente s.

Vetores em Coordenadas

No primeiro capítulo estudamos vetores de um ponto de vista totalmente geométrico. Porém, o

ferramental geométrico se mostra ineﬁciente e quiçá insuﬁciente quando nos deparamos com pro-

blemas de maior complexidade. Neste capítulo introduziremos a representação algébrica dos vetores

e do espaço Euclidiano. É essa representação que nos permite co nverter problemas geométricos em

problemas algébricos e efetivamente realizar cálculos com vetores.

Os primeiros passos no sentido de encontrar tais representações já foram dados no capítulo

anterior, ao estudarm os o concei to de base. Neste capítulo daremos continuidade a estas ideias e

veremos como utilizar as propriedades geométri c as estudadas até agora para encontrar represen-

tações algébricas não apenas para vetores, mas também para os pontos do espaço Euclidiano. Tais

representações serão chamadas de sistemas de coo rdenadas, e serão o foco principal deste capítulo.

Mais precisamente, um sistema de coordenadas é uma identiﬁ c ação contínua do plano (espaço)

euclideano com uma região de R

) que nos permita lo c alizar pontos através de pares (triplas)

de números reais.

Vejamos, por exemplo, como podemos relacionar vetores e pontos no espaço de modo a obter

um sistema de coordenadas.

−−→

Se considerarmos B = (e

, e

) uma base de V

, pelo teo-

rema da base para o espaço, temos que qualquer vetor v pode ser

representado como:

v = λ

+ λ

onde os coeﬁcientes λ

, λ

são únicos.

Tal igualdade nos perm ite construir a seguinte bijeção entre

e R

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 43

: V

−→ R

v 7−→ (λ

, λ

)

Lembramos a o leitor q ue bijeção é uma função que i dentiﬁca univocamente os e lementos do

domínio com os do contra-domí ni o. Mais precisamente uma função b ijetora é uma aplicação si-

multaneamente injetora, isto é, que leva elementos distintos do domínio em elementos distintos

da imagem, e sobrejetora, ou seja, tal que todo elemento do contra domínio é ima gem de algum

elemento do domínio.

Devido existência da bijeção descrita acim a, deﬁ ni mos a seguinte notação:

v : (λ

, λ

)

E denominamos a tripla (λ

, λ

) de coordenadas do vetor v na base B.

Considere agora o espaço Euclidiano (E

). O primeiro passo necessário para encontrarmos um

sistema de coordenadas é “localizar” os pontos no espaço. Observe que para isso não basta uma base

de vetores, pois, como já dissemos anterior mente, vetores não são localizado s no espaço. Assim

torna-se necessária a escolha de um ponto qualquer para nos servir de referência. Fixemos então

um ponto O ∈ E

a que chamaremos de origem do sistema de coordenadas. A partir de tal po nto as

posições de todos os pontos de E

serão determinadas.

Observe que, ﬁxado O, um ponto P q ualquer em E

pode ser escrito como P = O +

−−→

OP . Tal

igualdade nos permite identiﬁcar univocamente pontos de E

com vetores de V

: E

−→ V

P 7−→

−−→

O vetor

−−→

OP é denominado vetor posição de P .

Tomando a função composta ι := ι

◦ ι

obtemos uma bijeção entre os pontos de E

e os

elementos de R

: a cada ponto P podemos associar a tripla (λ

, λ

3.1 Sistemas de Coordenadas

Motivado pelo exposto acima, deﬁnimos

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 44

Definição 3.1 Um sistema vetorial de coordenadas no espaço Σ é o conjunto formado por uma base de vetores

B = (e

, e

) e um ponto O, chamado de origem do sistema de coordenadas. Denotaremos o

sistema de coordenadas por

Σ = (O, B) .

A bijeção entre E

e R

dada por ι devido à Σ nos permi te de ﬁ ni r a seguinte notação:

P : (λ

, λ

)

onde (λ

, λ

) são as coordenadas do vetor posição

−−→

OP na base B. Chamamos, nesse caso,

(λ

, λ

) de coordenadas do ponto P no sistema de coordenadas Σ.

Observação 3.2 Fixado um siste ma de c oordenadas Σ, é usual representar as coordenadas de um vetor v na base B

associada a Σ também por (λ

, λ

)

Muitas vezes quando o sistema de coordenadas Σ e a base B estão claros pelo contexto é co-

mum, também, denotar tanto o ponto P quanto seu vetor posição

−−→

OP indistintamente por suas

coordenadas: (λ

, λ

) (sem indicar os sub-índices Σ ou B). Nesse caso cabe ao leitor entender

pelo contexto a q ue m se referem as coordenadas descri tas, a um ponto ou a um vetor.

Finalmente, observamos que podemos de forma totalme nte análoga à descrita acima identiﬁcar

pontos do plano euclideano E

com vetores de V

e com elementos de R

. Para isso tudo que

precisamos é de um sistema de co ordenadas Σ = (O, B) onde B é uma base de V

, ou seja, um

conjunto formado por dois vetores linearmente i nde pendentes.

No que se segue apresentaremos os resultados apenas para V

, deixando implícita sua validade

em V

Fig. 3.1: Sistema de Coor-

denadas Ortonormais

Fig. 3.2: Sistema de Coor-

denadas Oblíquo

Se i, j e k forem três vetores ortonormais, ou seja, ortogonais dois a dois e de norma 1, então

o sistema de coordenadas Σ = (O, B) onde B = (i, j, k) é chamado de sistema cartesiano de

coordenadas. Daqui em diante as letras i, j e k sempre denotarão vetores orto nor mais.

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 45

Um sistema de coordenadas cujos vetores não são ortogonais é dito sistema de coordenadas

oblíquo.

Exemplo 3.3 Dado um retângulo ABCD conforme a ﬁgura abaixo, vamos encontrar as coordenadas dos pontos

A, B, C, D e dos vetores

−−→

BD e

−→

AC nos seguintes sistemas de coordenadas:

= (A, B

) onde B

= (e

, e

= (B, B

) onde B

= (e

⊳

Fig. 3.3: Retângulo ABC D e vetores e

, e

Solução: (1) Va mos primeiro escrever as c oordenadas de A, B, C, D no sistema Σ

. Para isso deve-

mos escreve r os vetores

−→

AA,

−−→

AB,

−→

AC e

−−→

AD como com binação linear de e

e e

. Por deﬁnição

−−→

AB = e

−−→

AD = e

Temos também que

−→

AC = e

+ e

e que

−→

AA, sendo o vetor nulo, é igual a 0e

+ 0e

. Assim as coordenadas são

A : (0, 0)

pois

−→

AA = 0e

+ 0e

B : (1, 0)

pois

−−→

AB = 1e

+ 0e

C : (1, 1)

pois

−→

AC = 1e

+ 1e

D : (0, 1)

pois

−−→

AD = 0e

+ 1e

Para encontrar as coordenadas dos vetores

−−→

BD e

−→

AC basta observar que

−−→

BD = −e

+ e

−→

AC = e

+ e

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 46

e portanto temos

−−→

BD : (−1, 1)

−→

AC : (1, 1)

(2) Vamos agora escrever as coordenadas dos po ntos A, B, C, D no sistema Σ



B, (e

)



Para tanto devemos escrever os vetores

−−→

BA,

−−→

BB,

−−→

BC e

−−→

BD como combinação de f

e f

sendo

= e

e f

Observe que

−−→

BA = −e

= −2





= −2f

−−→

BB = 0f

+ 0f

(vetor nulo),

−−→

BC = e

= −e

+ e

= −1f

+ 2f

−−→

BD = e

− 2e

= f

− 4f

E assim as coordenadas dos pontos são

A : (0, −2)

B : (0, 0)

C : (−1, 2)

D : (1, −4)

Calculando as coordenadas dos vetores

−−→

BD e

−→

AC, usando que e

= e

− e

obtemos que

−−→

BD = −e

+ e

= e

−2e

= f

− 4f

−→

AC = e

= f

e portanto vale

−−→

BD : (1, −4)

−→

AC : (1, 0)



CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 47

Operações Vetoriais em Coor denadas

Agora que sabemos como representar vetores e pontos em coordenadas precisamos saber como

operar com estas representações. A proposição abaixo nos diz como as operações com pontos e

vetores vistas no capítulo anterior podem ser traduzidas para a representação que acabamos de

apresentar.

Proposição 3.4 Se u : (a

, a

)

, v : (b

, b

)

e P : (p

, p

)

então:

u + v : (a

+ b

, a

+ b

, a

+ b

)

λu : (λa

, λa

)

P + u : (a

+ p

, a

+ p

, a

+ p

)

Demonstração.

Dado um sistema de coordenadas Σ = (B, O), onde B = (e

, e

), como u : (a

, a

)

e v : (b

, b

)

, po r deﬁnição temos que:

u = a

+ a

v = b

+ b

E logo

u + v = a

+ a

+ b

= = (a

+ b

+ (a

+ b

+ (a

+ b

E desta forma as coordenada s de u + v no sistema de c oordenadas Σ são

u + v : (a

+ b

, a

+ b

, a

+ b

)

Como u : (a

, a

)

, por deﬁniç ão temos que:

u = a

+ a

Desta forma temos que

λu = λ (a

+ a

) (3.1)

= λa

+ λa

(3.2)

E consequente mente:

λu : (λa

, λa

)

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 48

Deixaremos co mo exercício para o leitor.

Considere ﬁxado um sistema de coordenadas Σ = (B, O). Observadas as operações com pontos

e vetores em coordenadas, uma pergunta que resta ser respondida é : dados os pontos A : (a

, a

)

e B : (b

, b

), como podemos e ncontrar as coordenadas do vetor

−−→

AB?

Observe que, pela deﬁnição de subtração de vetores, va le que

−−→

AB =

−−→

OB −

−→

OA. Então, como

−→

OA = a

+ a

−−→

OB = b

+ b

, temo s:

−−→

AB = (b

− a

+ (b

− a

+ (b

− a

−−→

AB = (b

− a

, b

−a

, b

− a

)

Tal igualdade dá origem a notação de Grassmann que diz:

−−→

AB = B − A.

Observe que a igualdade acim a é, no entanto, apenas uma notaç ão já que em nenhum momento foi

deﬁnida soma ou subtra ç ão de ponto s.

Exemplo 3.5 Dados os pontos A : (1, 3, 2), B : (1, 1, 1) e C : (1, 1, 0) determine as coordenadas

dos vetores

−−→

AB,

−−→

do vetor

−−→

AB +

−−→

do ponto C +

−−→

⊳

Solução:

−−→

AB : (1 − 1, 1 − 3, 1 − 2) = (0, −2, −1)

−−→

BC : (1 − 1, 1 − 1, 0 − 1) = (0, 0, −1)

−−→

AB +

−−→

BC = (0, −2, −1) +

(0, 0, −1) = (0, −2, −1 −

) = (0, −2, −

)

C +

−−→

AB = (1, 1, 0) +

(0, −2, −1) = (1, 0, −

)



CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 49

Exemplo 3.6 Determine o ponto médio M = (m

, m

) de um segmento com po nto inicial A = (a

, a

)

e B = (b

, b

), num sistema de coordenadas Σ = (B, O), onde B = (e

, e

⊳

Solução: Primeiro observamos que

−−→

AB = 2

−−→

AM pois os vetores possuem o mesmo sentido e o

comprimento



−−→



é duas vezes o comprimento



−−→



Assim

− a

+ (b

− a

+ (b

− e

= 2(m

− a

+ 2(m

−a

+ 2(m

− a

o que implica em

− a

= 2(m

−a

para todo i ∈ {1, 2, 3}. Logo

− a

para todo i, e

M :



+ a





De posse da representação dos vetores em coordenadas podemos agora fornecer critérios para

a depe ndê ncia e a independência linear de vetores:

Teorema 3.7 Os vetores u : (a

, a

), v : (b

, b

) e w : (c

, c

) são linearmente independentes se e

somente se



6= 0

Demonstração. Os vetores u, v, w são linearmente independentes se o sistema:

xu + yv + zw = 0 (3.3)

possuir somente a solução trivial x = y = z = 0

Em coo rdenadas podemos expressar a equação

3.4 como:

x (a

, a

) + y (b

, b

) + z (c

, c

) = 0 (3.4)

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 50

E logo teremos o sistema:











x + b

y + c

z = 0

x + b

y + c

z = 0

x + b

y + c

z = 0

Pela regra de Cramer (ver Apêndice

C pág. C.3 ) o sistema anteri or tem solução única se e

somente se seu determinante for não nulo:



6= 0

Exemplo 3.8 Considere ﬁxada uma base de vetores B = (e

, e

). Sej am f

= (1, 1, 1)

, f

= (1, 0, 1)

= (0, −1, 1)

Mostre que C = (f

, f

) é uma b ase de V

Encontre as coordenadas do vetor u = (1, 2, 3)

na base B.

Encontre as coordenadas do vetor v = (1, 2, 3)

na base C.

⊳

Solução:

Pelo te orema da base, basta mostrarmos que f

, f

e f

são linearmente independentes.

Como:



1 1 1

1 0 1

0 −1 1



= −1 6= 0,

pelo Teorema

3.7 temos que, de fato, f

, f

e f

são linearmente independentes.

u = (1, 2, 3)

= 1f

+ 2f

+ 3f

= 1(1, 1, 1)

+ 2(1, 0, 1)

+ 3(0, −1, 1)

= (3, −2, 6)

Antes de escrevermos v na base C prec isamos obter as coordenadas dos vetores e

, e

e e

na base C:











= 1e

+ 1e

= 1e

+ 0e

+ 1e

= 0e

− 1e

+ 1e

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 51











= 1e

+ 1e

− f

= 0e

+ 1e

+ 0e

+ (f

− f

) = 0e

+ 0e

+ 1e











− (f

− f

) − [f

+ (f

− f

)] = 1e

+ 0e

− f

= 0e

+ 1e

+ 0e

+ (f

− f

) = 0e

+ 0e

+ 1e

Donde temos:











= 1f

+ 2f

− 1f

= (1, 2, −1)

= 1f

− 1f

+ 0f

= (1, −1, 0)

= 1f

− 1f

+ 1f

= (1, −1, 1)

Finalmente:

v = (1, 2, 3)

= 1e

+ 2e

+ 3e

= 1(1, 2, −1)

+ 2(1, −1, 0)

+ 3(1, −1, 1)

= (6, −3, 2)



Observação 3.9 Mais detalhes sobre mudança de base podem ser encontrados no Capí tulo 11.

Exemplo 3.10 Determ ine m de modo que os vetores u, v e w sejam linearmente dependentes, onde:

v = (1, m + 1, m + 2) w = (1, 0, m) k = (0, 2, 3)

⊳

Solução: Par a que os vetores sejam linearmente dependentes, pelo teorema 3.7 o seguinte determi-

nante deve se anular:



1 1 + m 2 + m

1 0 m

0 2 3



= 0

Calculando o determinante temos que:



1 1 + m 2 + m

1 0 m

0 2 3



= 1 − 3m

E assim que remos determinar os valores de m para os quas 1 − 3m = 0 e assim m =

. 

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 52

3.2 Bases Ortonormais e Coordenadas Ca rtesianas

eixo x

eixo y

P : (x, y)

Vamos agora explorar algumas das vantagens de se trabalhar com

as chamadas bases ortonormais ou, mais geralmente, com sistemas

de coordenadas cartesianas.

Lembrando, uma base é dita o rtonormal se seus vetores são

unitários (possuem norma 1) e perpendic ulares dois a dois. Um

sistema de c oordenadas formado por uma base ortonormal é ch a-

mado de sistemas de coordenadas cartesianas. A partir deste

ponto vamos ﬁxar notação e utilizar (i, j) para denotar uma base

ortonormal para o plano, e (i, j, k) para o e spaço.

Seja B = (i, j) uma base ortonormal para V

, O um ponto

no plano e Σ = (B, O) o sistema de coordenadas cartesianas determinado por eles. Dado agora um

ponto P no plano considere o vetor r =

−−→

OP e sua representação no sistema Σ dada por r : (x, y),

ou seja:

r = xi + yj.

Como a base em consideraçã o é ortonormal, segue diretam ente do Teorema de Pitágoras que

krk

= kxik

+ kyjk

= x

kik

+ y

kjk

= x

+ y

Assim, se denotarmos por r o tamanho do vetor r temos que

r =

+ y

A mesma ideia pode ser generalizada pa ra o espaço, onde obtemos que se r = xi + yj + zk, então

r = krk =

+ y

+ z

Voltemos por momento para o caso planar e denote por θ o ângulo entre o eixo O X e o vetor r.

Neste caso, não é difícil ver que

x = r cos(θ),

y = r sen(θ).

Utilizando o Teorema de Pitágoras, temos também que a dis-

tância entre os pontos P : (a

, a

) e Q : (b

, b

) é dada por:

d(P , Q) =

− a

)

+ (b

− a

)

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 53

− y

Q : (x

, y

)

P : (x

, y

)

− x

Fig. 3.4: Distância entre dois pontos no plano.

E no caso tr idimensional distância entre os pontos P :

, a

) e Q : (b

, b

) é dada por:

d(P , Q) =

− a

)

+ (b

− a

)

+ (b

− a

)

Observação 3.11 É importante observar que pa ra realizarmos os cálculos acima foi absolutamente necessário supor

que o sistema de coordenadas considerado fosse cartesiano. Podemos calcular as mesmas quantida-

des utilizando outros sistemas de coordenadas, mas nesse caso as expressões obti das serão diferentes

e geralmente mai s complicadas.

Exemplo 3.12 Suponha ﬁxado um siste ma de coordenadas car tesiano. Calcule a distância dos pontos A : (1, 0, 2)

e B : (3, 2, 1).

⊳

Solução: Temos que d(A, B) = ||

−−→

AB||. Como

−−→

AB = B − A = (2, 2, −1), segue que:

d(A, B) =

+ 2

+ (−1)

= 3.



3.3 Produto Escalar: Ângul o entre dois Vetores

É de fundamental importância em toda geom etria a determinaç ão de medidas angulares. Veremos

mais adiante que, além de diversas outras aplicaçõ es, ângulos e ntre vetores (ou entre vetores e retas)

podem ser usados na deﬁnição de uma nova for ma de representar pontos do espaço Euclidiano

(coordenadas polares). Surge então a pergunta: como podemos utilizar os sistemas de coordenadas

para determinar o ângulo entre dois vetores u e v?

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 54

C’

′

Fig. 3.5: Ângulo entre u e v

Conforme já vimos no início do Capítulo 1, entendemos por ângulo

entre dois vetores u e v o ângulo θ, com 0 ≤ θ ≤ π, forma do por

representantes de u e v com mesma ori gem .

Para determinarmo s uma expressão para ângulo entre dois vetores

u e v o primeiro passo é escolher um sistema de coordenadas cartesiano

Σ = (B, O) com B = (i, j, k) e escrever os vetores neste sistema:

u = a

i + a

j + a

v = b

i + b

j + b

Utilizando a lei dos cossenos temos que:

v − u

kv − uk

= kuk

+ kvk

− 2kukkvkcos(θ),

e consequente mente

− b

)

+ (a

− b

)

+ (a

− b

)

= a

+ a

+ b

−2 kukkvkcos(θ).

Assim

cos(θ) =

+ a

kukkvk

. (3.5)

Ao termo a

+ a

daremos o nome de produto escalar de u po r v e denotaremos por

u · v.

Resumindo:

Definição 3.13 Se Σ = (B, O) c om B = (i, j, k) é um sistema de coordenadas cartesiano, u = (a

, a

)

v = (b

, b

)

, então deﬁnimos o produto escalar (ou produto interno) de u e v como:

u · v := a

+ a

= kukkvkcos(θ).

Assim de ﬁ ni do, o produto escalar é uma operação que associa a dois vetores um número real.

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 55

Observação 3.14 É importante observar que a expressão:

u · v = kukkvkcos(θ)

independe da escolha do sistema de coordenadas, ou seja, tal igualdade é válida também em sistemas

de coordenada s não cartesianos. No entanto, a igualdade:

u · v = a

+ a

só é válida em sistemas de coordenadas cartesianos (ortonormais).

Além disso, os argumentos apresentados anteriormente provam que:

Proposição 3.15 Dados dois vetores u e v temos que:

u · v = kukkvkcos θ,

e assim o ângulo θ entre esses vetores satisfaz:

θ = arccos



u · v

kukkvk



Como conseq uê ncia imediata da deﬁ ni ç ão de produto escalar temos:

Proposição 3.16 Dois vetores u e v são perpendic ulares se e somente se u · v = 0.

Observação 3.17 Dado um vetor v = (x, y) num sistema cartesiano no plano, é interessante notar que o vetor n =

(−y, x) é ortogonal a v e tem mesma norma de v. Note:

v · n = −xy + xy = 0

knk =

+ y

= kvk.

De fato, veremos no Capít ulo

10, Seção 10.3 que n

= (−y, x) é obtido rotacionado de 90

◦

o vetor

v no sentido anti-horário, e n

= (y, −x) é obtido rotacionado de 90

◦

o vetor v no sentido horário.

Exemplo 3.18 Determ ine o ângulo entre u = i + 2j + k e v = −i + j + 2k.

⊳

Solução:

cos θ =

u · v

kukkvk

√

⇒ θ = arccos





= 60

◦



CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 56

Exemplo 3.19 Mostre que os vetores u = 3i + 4j + k e v = 2i − 3j + 6k são ortogonais.

⊳

Solução:

u · v = (3, 4, 1) · (2, −3, 6) = 3 · 2 + 4 · (−3) + 1 · 6 = 6 − 12 + 6 = 0.

Logo u e v são o rtogonais.



Proposição 3.20 O produto escala r possui as seguintes propriedades:

u · v = v · u

u · (v + w) = u · v + u · w

u · u = kuk

≥ 0

u · u = 0 se e somente se u = 0

u · (λv) = λu · v

Observação 3.21 De mo do geral, ﬁxa do um espaço vetorial V , qualquer função binária · : V × V → R que satisfaz

as propriedades descri tas acima é dita ser um produto interno de V .

Demonstração. Se u : (a

, a

) e v : (b

, b

) e w : (c

, c

)

u · v = a

+ a

= b

+ b

= v · u

u · (v + w) = (a

, a

) · (b

+ c

, b

+ c

, b

+ c

)

= a

+ c

) + a

+ c

) + a

+ c

)

= (a

+ a

) + (a

+ a

)

= u · v + u · w

u · u = a

+ a

= kuk

≥ 0

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 57

Se u · u = 0 então kuk = 0 e consequentemente u = 0. Reci procamente, se u = 0 temos

u = (0, 0, 0), e então u · u = 0

+ 0

= 0.

A demonstração de sse item é deixada como exercício ao leitor.

Exemplo 3.22 Num quadrado ABCD tem se A = (3, −4) e B = (5, 6) . Quais são as coordenadas dos pontos C e

⊳

Fig. 3.6 : Quadrados de lado AB

Solução 1: Denotando as coo rdenadas de C e D por C =

, c

) e D = (d

, d

), temos que

−→

AB = (2, 10),

−→

BC =

− 5, c

− 6),

−→

CD = (d

− c

, d

− c

) e

−→

DA = (d

−

3, d

+ 4).

O vetor

−→

BC é perpendicular ao vetor

−→

AB logo o pro-

duto escalar entre eles é nulo, ou seja ,

−→

BC ·

−→

AB = 0.

Isto implica que 2(c

− 5) + 10(c

− 6) = 0, que simpliﬁ-

cando resulta em

+ 10c

= 70 (3.6)

Temos ainda q ue k

−−→

ABk = k

−−→

BCk =

√

104, logo

−5)

+ (c

− 6)

= 104 (3.7)

Substituindo (3.6) em (3.7) teremos que (c

−6)

= 4 e logo c

= 8 ou c

= 4

Quando c

= 8 por (

3.6) c

= −5 e quando c

= 4 então c

= 15, ou seja, C = (−5, 8) ou

C = (15, 4).

O cálculo de D é análogo. 

Solução 2: Uma segunda solução para o exemplo acima faz uso da Observação 3.17. Temos que

−−→

AB = (2, 10) e daí, rotacionando

−−→

AB de 90

◦

no sentido anti -horário, temos

−−→

BC =

−−→

AD = (−10, 2).

Logo:

C = B +

−−→

BC = (−5, 8)

D = A +

−−→

AD = (−7, −2).

Finalmente, se rotacionamos

−−→

AB de 90

◦

no sentido hor ário, temos

−−→

BC =

−−→

AD = (10, −2). Assim:

C = B +

−−→

BC = (15, 4)

D = A +

−−→

AD = (13, −6).

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 58



Exemplo 3.23 Mostre que as tr ês alturas de um triângulo são concorrentes em único ponto.

⊳

′

Solução: Dado um triângulo ∆ABC, então as alturas BB

′

e CC

′

se interceptam num ponto O.

O problema ﬁc a resolvido se mostrarmos que AA

′

é a altura relativa ao lado BC. Sejam então os

vetores: a =

−→

OA, b =

−−→

OB e c =

−−→

OC.

Como as retas OB e CA são perpe ndi c ulares:

−−→

OB ·

−→

CA = 0 ⇒ b · (a − c) = 0 ⇒ b · a = b · c

De mo do análogo, como as retas OC e AB são perpendiculares:

−−→

OC ·

−−→

AB = 0 ⇒ c · (b − a) = 0 ⇒ c · b = c · a

E logo b · a = c · a, ou seja,

a · (c − b) = 0 ⇒

−→

OA ·

−−→

BC = 0

Desta forma a reta OA é perpendicular ao lado BC, sendo assim a altura relativa ao vértice A. Essa

reta i ntercepta as outras alturas no ponto O, e assim as três retas se interceptam num único ponto,

que é denominado ortocentro do triângulo ∆ABC.



Projeção Ortogonal

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 59

p = Proj

Fig. 3.7: Projeção de v sobre

Passemos agora a um novo problema. Dados dois vetores v e u, com u

não nulo, queremos decompor o vetor v em dois vetores p, q tais que p

é paralelo a u e q é perpendicular a u, ou seja, queremos encontrar p, q

tais que

v = p + q, p = λu para algum λ ∈ R e q · u = 0.

Reescrevendo as condições acim a temos que

(v − p) · u = 0

e logo

(v − λu) · u = 0

v · u − λ kuk

= 0

Desta forma

λ =

u · v

kuk

p =



u · v

kuk



Do mesmo modo podemos ver que o vetor p assim determinado é único. Tal vetor é chamado

de projeção ortogonal de v sobre u e é denotado por Proj

Demostramos assim o seguinte resultado.

Proposição 3.24 Dado u um vetor não nulo, e v um vetor qualquer, então a projeção ortogonal Proj

v de v em u

existe e é única:

Proj

v =



u · v

kuk



u (3.8)

Observação 3.25 Veja que um modo fácil de lembrar da projeção é observar a Figura 3.7 e ver que esta é um vetor p

tal que seu comprimento obedece :

kpk = (kvkcos θ) =



kukkvkcos θ

kuk





u · v

kuk



e tem mesma direção e sentido que u, donde temos:

Proj

v =



u · v

kuk



kuk





u · v

kuk



Note também que o vetor p = Proj

v não depende do comprimento de u. Tal fato encontra-se

expresso no lado direito da Equação

3.8 se observamos que o vetor u aparece duas vezes no seu

numerador e “ao quadrado” no denominador.

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 60

Exemplo 3.26 Determ ine a área do triângulo △ABC cujos vértices num sistema de coordenadas cartesiano são

A = (1, 2), B = (3, 1) e C = (2, 5)

⊳

Solução: Temos que

−−→

AB = (2, −1) e

−→

AC = (1, 3). Além disso, n = (1, 2) é um vetor ortogonal a

−−→

AB.

A área do triângulo △ABC é dada por:

S =

−−→

ABkh,

onde h = kProj

−→

ACk =

−→

AC · n|

knk

, é a altura do triângulo △ABC relati va ao lado AB.

Como knk = k

−−→

ABk, temo s que S =

−→

AC · n|. Logo:

S =





|1 + 6| =



3.4 Produto Vetorial: Vetor Perpendicul ar a dois Vetores Dados

Voltemos nossa atenção agora para um novo problema : dado dois vetores não paralelos u e v como

podemos encontrar um novo vetor w perpendicular aos dois vetores dados? Note que, ao contrário

do que ocorre com a projeção, este problema não possui uma única solução. De fato, se encontrarmos

um vetor w satisfazendo as condições acima, qualquer vetor λw também satisfará.

Passemos à solução. Como sempre, tomemos primeiro uma base ortonormal (i, j, k) e façamos

u = a

i + a

j + a

k e v = b

i + b

j + b

k. Vamos denotar por w = xi + yj + zk o vetor

que que remos determinar. Como queremos que o vetor w seja perpendicular aos vetores u e v,

precisamos então que w · u = 0 e que w · v = 0.

Temos assim o seguinte sistema linear:

(

x + a

y + a

z = 0

x + b

y + b

z = 0

ou ainda

(

x + a

y = −a

x + b

y = −b

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 61

Como u e v, pelo exercício ??, podemos supor sem perda de generalidade que :



6= 0,

e, usando a regra de Cramer, concluím os que

x =



−a

z a

−b

z b



= −z



= z



y =



−a

−b



= −z



= z



Escolhendo

z =



temos que

w =



i +



j +



Motivados pelos cálculos acima, deﬁnimos:

Definição 3.27 O produto vetorial de u = (a

, a

) e v = (b

, b

) (num sistema de coordenadas cartesiano),

denotado p or u × v, é o vetor obtido pelo seguinte determinante form al:

u × v =



i j k



Observação 3.28 Note que, diferentemente do produto escalar que assoc ia a dois vetores um número real, o pro duto

vetorial associa a dois vetores um terceiro vetor. O seja, dados vetores u e v de V

temos que

u · v ∈ R, mas u × v ∈ V

Antes de continuar apresentaremos algumas propriedades do produto vetorial.

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 62

Teorema 3.29 Dados os vetores u = (a

, a

), v = (b

, b

) e w = (c

, c

) o produto vetorial possui as

seguintes propriedades:

Anti-simetria u × w = −w × u

Distributiva: (u + v) × w = u × w + v × w

ku × vk

= kuk

kvk

− |u · v|

ku × vk = kukkvksen (θ ) , onde θ é o ângulo entre os vetores u e v.

Demonstração. A demonstração dos dois pri meiros itens é direta e será deixada como exercícios:

Para demonstrar mos a quarta propriedade basta observar que

kuk

kvk

− |u · v|



+ a



+ b



− (a

+ a

)



+ a



−a

− 2a

− a

− 2a

− a

= a

+ a

− 2a

−2a

+ a

− 2a

+ a

− a

)

+ (a

− a

)

+ a

− a

= ku × vk

A quinta propriedade decorre facilmente da anterior, b astando para isso lembrar que

|u · v|

= kuk

kvk

· cos

(θ)

e portanto

ku × vk

= kuk

kvk

−|u · v|

= kuk

kvk

−kuk

kvk

· cos

(θ)

= kuk

kvk



1 − cos

(θ)



= kuk

kvk

sen

(θ)

Vamos agora explorar algumas co nsequências geo métricas do produto vetorial.

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 63

kvksen θ

Fig. 3.8 : Paralelogramo gerado pelos vetores u e v.

Área de um Paralelogramo e de um Triângulo

Primeiro c onsidere o paralelogramo determinado por dois vetores não paralelos u e v, como na

ﬁgura abaixo

A altura do parale logramo é dada p or kvksen(θ) e portanto, da propriedade 5 do produto ve-

torial, concluímos facilmente que sua área é dada por kukkvksen (θ) = ku × vk. Em resumo,

mostramos que a área do paralelo gramo de lados u e v é igual ao compri mento do produto vetorial

destes vetores.

A = ku × vk

Observação 3.30 Notamos que uma deﬁnição geométrica para o produto vetorial que poderia ser tomada como alt er-

nativa a Deﬁnição

3.27 é deﬁnir o vetor u × v como o vetor tal que:

tem módulo igual a área do paralelogramo gerado por u e v, como na Figura 3.8;

tem direção perpendic ular ao s vetores u e v;

tem o sentido determinado pela "regra da mão direita", ou seja, temos u, v, u× v com mesma

orientaçã o dos vetores i, j, k.

A partir da expressão anterior podemos encontrar uma expressão

para a área de um triângulo ∆ABC. Para isso considere o paralelo-

gramo determinado pelos vetores AB e BC, como na ﬁgura abaixo.

A diagonal BC desse paralelo gramo divide este em dois triângulos de

áreas iguais. Logo a área do triâ ngulo será metade da área do paralelo-

gramo:

A =



−−→

AB ×

−−→



CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 64

3.5 Produto Misto

O produto misto é uma opera ç ão que asso c ia a três vetores u, v, w o número real obtido pelo

produto escalar de u com o produto vetorial v × w. Denotamos o produto misto entre u, v, w por

u · v × w.

É importante salientar que, como o produto escalar entre dois vetores é um número real e o

produto vetorial é uma operação entre dois vetores, no cálculo do produto misto realizamos sempre

o produto vetorial antes do produto escalar, ou seja, mesmo sem a utilização de parênteses, temos

u · v × w = u · (v × w). A oper ação (u · v) × w não é bem deﬁnida!

Se u, v, w são descritos numa base orto nor mal (i, j, k) o cálculo do produto u·v ×w é simples

conforme podemos observar no teorema a seguir:

Teorema 3.31 Dados os vetores u = (a

, a

), v = (b

, b

) e w = (c

, c

) descritos numa base orto-

normal (i, j, k), temos:

u · v × w = (u × v) · w =



Demonstração. Calculando v × w temos:

v × w =



i j k



= (b

− b

, b

− b

, b

− b

Fazendo então o produto escalar segue:

u · v × w = (a

, a

) · (b

− b

, b

− b

, b

− b

)

= a

− a

+ a

− a

+ a

− a



Calculando de maneira análoga o produto (u× v)· w é fácil ver q ue vale a igualdade u· v ×w =

(u × v) · w.

A partir do Teorema acima e das propriedades de determinantes, são praticamente imediatas as

propriedades de produto misto descritas na próxima proposição:

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 65

Proposição 3.32 Dados vetores u, v, w, m e λ ∈ R valem:

Permutação de dois vetores inverte sinal:

u · v × w = −u · w × v = −v · u × w = −w ·v × u;

Igualdade por permutação circular:

u · v × w = v · w × u = w · u × v;

Se dois vetores são iguais o produto é zero:

u · u × v = u · v × u = v · u × u.

Escalares comutam:

(λu) · v × w = u · (λv) × w = u · v × (λw) = λ (u · v × w)

Vale a distributiva:

(u + m) · v × w = u · v × w + m · v × w

u · (v + m) × w = u · v × w + u · m × w

u · v × (w + m) = u · v × w + u · v × m

Veja um exemplo de aplicação de tais propriedades:

Exemplo 3.33 Sabendo que u · v × w = 2 calcule v ·(2u + v) × (3w).

⊳

Solução:

v · (2u + v) × (3w) = v ·(2u) × (3w) + v · v × (3w)

= (2 · 3)v · u × w + 0

= −6(u · v × w) = −12.



CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 66

Volume de um Paralelepípedo

A seguir vamos ca lc ular o volume de um parale lepípedo, e m função dos vetores u =

−−→

AB, v =

−−→

e w =

−→

AE.

Sabem os q ue o volume do paralelepípedo é dado pelo produto V = A

h da área A

da base pela

altura h. Como já vimos a área da base pode ser ca lc ulada por A

= ku × vk. Já a altura é dada

pela norma da projeção do vetor w sobre o vetor u × v. Como

Proj

u×v

w =

(u × v) · w

ku × vk

(u × v),

segue que



Proj

u×v



|(u × v) · w|

ku × vk

|(u × v) · w|

ku × vk

Segue portanto que

V = A

h = ku × vk

|(u × v) · w|

ku × vk

= |(u × v) · w|.

Observação 3.34 Esse resultado nos dá (para bases ortonormai s) uma interpretação geométrica para a propriedade de

que três vetores u, v, w são LD se e somente se o determinante da matriz com suas coordenadas é

nulo. Os vetores u, v, w são LD se e somente se são coplanares, o que “colapsaria” o paralelepípedo

num plano, gerando um “sólido” de volume zero.

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 67

Exemplo 3.35 Sejam A = (a

, a

), B = (b

, b

), C = (c

, c

) pontos no plano. Então a área do △ABC é dada

por

△ABC



det















⊳

Solução: Considere os vetores a, b e c de coordenadas a = (a

, a

, 1), b = (b

, b

, 1) e c =

, c

, 1).

É fácil ver que eles são arestas de um tetraedro de altura 1 formado pela origem O do siste ma

de coordenada s e p elos pontos A

′

= (O + a), B

′

= (O + b) e C

′

= (O + c), que tem como base o

triângulo △A

′

, congruente ao triângulo △ABC. Se S

△ABC

é a área do triângulo △ABC, o

volume V

desse tetraedro é:

△ABC

. (3.9)

Por outro lado, temos que, se V

é o volume do par alelepípedo de arestas a, b e c, também vale:

. (3.10)

Igualando as equaçõ es (

3.9) e (3.10 ) segue:

△ABC

|a × b · c| =



det

















O resultado anterior nos dá um critério simples pa ra que três pontos no plano sejam colineares.

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 68

Proposição 3.36 Sejam A = (a

, a

), B = (b

, b

), C = (c

, c

) pontos no pla no. Então e les são colineares se a área

do triângulo formado por eles for zero, ou seja se:



= 0

3.6 Escolha do S istema de Coordenadas (*)

Um sistema de coordenadas cartesiana s do plano pode ser escolhido tomando qualquer ponto O

como origem e qualquer duas retas perpe ndi c ulares como os eixos. Em geral resultados geométri-

cos nã o dependem de como escolhemos nosso sistema de coordenadas, mas ao fazermos a escolha

correta podemos simpliﬁcar signiﬁcativamente o resolução de um problema. É possível, por exem-

plo, fazer com que as coordenadas dos vértices de certas ﬁguras geométricas ﬁquem mais simples,

aumentando a quantidade zeros em suas coordenadas, sim pliﬁcando assim a manipulação algébrica.

Considere, por exemplo, um triângulo ∆ABC. Vamos descrever esse triângulo através de coor-

denadas A : (x

, y

) , B : (x

, y

) e C : (x

, y

) em um sistema de coordenadas Σ.

, y

)

, y

)

, y

)

Consideraremos o seguinte sistema de coordenadas: escolha como eixo x a reta AB, e como

eixo y a reta perpendic ular a AB passando por C. Determine o sistema de coordenadas colocando

a origem no ponto O dado pela i ntersecção dos dois eixos, e escolhendo uma base ortonormal (i, j)

formada por vetores unitários paralelos a estes eixos. Neste sistema o vértice A te m então coorde-

nadas do tip o (a, 0) e o ponto B coordenadas do tipo (b, 0), já que ambos estão sobre o eixo x. Já o

ponto C, q ue está posicionado sobre o eixo y, tem coordenadas do tipo (0, c).

Veja que com a escolha adequada do sistema de coo rdenadas conseguimos reduzir o número de

variáveis de 6 para apenas 3.

A seguir apresentamos exemplos onde a escolha de um sistema de coordenadas adequado fac ilita

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 69

(a, 0) (b, 0)

(0, c)

a demonstração de propriedades geométri c as. Você co nsegue de monstrar estas propriedades usando

um sistema de coordenadas arbitrár io?

Exemplo 3.37 Se um triângulo é isósceles, as medianas dos dois lados de mesmo comprimento possuem o m esmo

tamanho.

⊳

Solução: C onsideremos o mesmo sistema de coordenadas descrito a c ima. Neste sistema temos A :

(a, 0), B : (b, 0) e C : (0, c).

Supondo que segmentos

CA e CB possuem o mesmo comprimento, concluímos que

+ c



+ c

e logo a

= b

. Segue que a = b ou a = −b. Se a = b não temos um triâ ngulo já que dois vértices

coincidem, de onde segue que a = −b.

Seja M

o ponto médio de

AC. Pelo exemplo 3.6 temos que as co ordenadas de M







−b



. Analogamente, o ponto mé dio M

BC tem coo rdenadas





Como a mediana de

CA é dada pelo segmento BM

e a de CB é dada pelo segmento AM

segue que





(−

) − (b, 0)







(

) − (−b, 0)



e as medianas relativas aos vért ices A e B possuem o mesmo tamanho. 

Exemplo 3.38 Num triângulo retângulo o ponto médio da hipotenusa é equidistante dos três vértices.

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 70

⊳

Solução: Para um triângulo retângulo ∆ABC com hipotenusa AB um sistema de coordenadas

adeq uado é o que t oma como origem o vér tice C = O e como eix os as retas que ligam C a A e C a

A : (a, 0)

B : (0, b)

Neste Sistema de c oordenadas temos que A : (a, 0) ,

B : (0, b) e C : (0, 0) . O comprimento da hipotenusa é

|AB| =

+ b

Já o ponto médio M da hipotenusa tem coordenadas

M :





e logo o comprimento da mediana é

|CM| =

+ b

|AB|

Logo temos que a distância do vértice C a M é metade da distância entre os vértices A e B, e

logo M está eq ui distante dos três vértices. 

(a, 0) (b, 0)

(0, c)

(d, c)

trap´ezio

(a, 0) (b, 0)

(0, c)

(b − a, c)

paralelogramo

3.7 O Problema do Lugar Geométrico (*)

Até este ponto estudamos como representar algebricamente o espaço euclidiano, e como podemos

usar t ais representações na resolução de alguns problemas geométricos. Nesta seção vamos dar

uma passo além, e iniciar os estudos sobre um dos problemas fundamentais da geometria analíti c a:

o problema do lugar geométr ico. Em poucas palavras, dada uma ﬁgura ou condição geométrica

queremos determinar uma equação ou condições algébrica que a represente. Ou ainda, de modo

contrário, dada uma equação ou condi ç ão algébrica determinar sua representação geométrica.

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 71

O lugar geométrico de uma equ ação

Dada uma equação (por simplicidade, em duas x, y ou trê s variáveis x, y, z)

f (x, y) = 0 ou g(x, y, z) = 0 (3.11)

cada par ou tripla de números reais que satisﬁzer a equação acima é dito solução da equação e

o conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem a equação (

3.11) acima é cha mado de lugar

geométrico da equação.

É importante ressaltar que o lugar geométrico, como deﬁ ni do acima, depende do sistema de

coordenados escolhidos. Em o utras palavras, uma certa ﬁgura ou condição geométrica pode ser

descrita algebricamente de várias formas distintas, depe nde ndo, dentre outros fatores, do sistema

de co ordenadas escolhido. Por esta razão, buscaremos dentre as possíveis representações aquela que

proporcione a maior simplicidade algébrica.

Durante esse processo (e em vários outros) podemos substituir uma certa equação por outra

que possua as mesma s soluções, ou seja, que deﬁna o mesmo lugar geométrico. N este sentido, duas

equaçõe s algébricas são ditas equivalentes se deﬁnem o mesmo lugar geo métrico.

Exemplo 3.39 Analisemos a equação

(x − 2)

+ (y − 3)

= 25.

Observe que tomando C = (2, 3) a distância r de um ponto qualquer (x, y) no plano euclidiano até

C é dada por

r =

(x − 2)

+ (y − 3)

ou de modo equivalente

= (x − 2)

+ (y − 3)

Deste modo vemos que um ponto (x, y) no plano sat isfaz a equação acima se, e somente se, sua

distância para o ponto C : (2, 3) for igual a 5.

Em outras palavras, escolhido o sistema de coordenadas descrito acima, o lugar geométrico da

equação

(x − a)

+ (y − b)

= r

é um círculo de r aio r e centro no ponto de coordenadas (a, b).

⊳

Exemplo 3.40 Generaliz ando o exemplo anterior, um circulo de ce ntro C e raio r é deﬁnido como o conjunto dos

pontos cuja distância ao centro é igual a r . Esta é a condição geométrica que descreve o círculo. Bus-

quemos agora uma representação algébr ica. Se escolhermos um sistema de coordenadas cartesiano

no qual C : (a, b), então todo ponto P : (x, y) no círculo deve sati sfazer

|CP | = r,

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 72

ou seja,

(x − a)

+ (y − b)

= r,

ou ainda a equação algébrica equivalente

(x − a)

+ (y − b)

= r

⊳

É importante observar que um ponto pertence ao círculo (ou seja esse ponto dista r do centro)

se e somente se satisﬁzer a equação (x − a)

+ (y − b)

= r

Em ger al, sempre que tivermos este tipo de relação e ntre uma curva e uma equação diremos que

esta é a equação da curva.

Definição 3.41 Diremos que uma equação f (x, y) = 0 é a equação de um dado lugar geom étrico se todo p onto

que satisfaz a equação pertence ao lugar geométrico e todo ponto que pertence ao lugar geométrico

satisfaz a equação.

Exemplo 3.42 Dado um sistema de coordenadas carte siano, lugar geométri c o conhecido descrito pelo eixo x é

formado por todos os pontos cuja segunda coordenada (y) é zero, ou seja, a equação do eixo x é

y = 0.

⊳

Exemplo 3.43 Como vimos (x − a)

+ (y − b)

= r

é a equação do círculo de raio r e centro em P : (a, b) .

⊳

Exemplo 3.44 Determ inar a equação do lugar geométri c o formado po r todos os pontos cuja a distãncia a um ponto

ﬁxoF é igual a distância a uma reta ﬁxa d.

⊳

Solução: Dados uma reta ﬁxa d, chamada diretriz, e um ponto

ﬁxo F chamado foco, a parábola é o conjunto dos pontos P

equidi stantes do foco e da diretriz, ou seja, o ponto P tal que



−−→

P D



−−→

P F



onde D é o ponto de d mais próximo de P .

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 73

A reta passando por F perpendicular a d é chama da eixo

da parábola. O ponto de intersecção entre o eixo da parábola e a parábo la é chamado vértice da

paráb ola. Observe que o vértice está localizado na metade da distância do foco a diretriz.

Escolheremos como sistema de coordenadas os eixos formados pelo ei xo da parábola

F : (m, 0)

x = m

P : (x, y)

e a reta passando p elo vértice da pará bola, perpendi c ular

ao eixo. Essa última reta é paralela a diretriz da parábola.

Seja 2m a di stância entre o foco e a diretriz d. No sis-

tema de coordenadas que adotamos F tem coordenadas

(m, 0) e a equação da diretriz é x = −m. Como P satisfaz



−−→

P D



−−→

P F



temos que

(x − m)

+ y

= x + m.

Elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade concluímo s que

(x − m)

+ y

= (x + m)

− 2mx + x

+ y



+ 2mx + x



= 4mx

é a equação satisfeita pelos pontos da parábola neste sistema de coordenadas. 

Intersecção Dadas duas equações

f (x, y) = 0

g (x, y) = 0,

os ponto s que pert encem ao lugar geométrico de amba s as equações é c h amados de pontos de in-

tersecção. Analiticamente as coordenadas de tal ponto sat isfazem ambas as equações.

A intersecção de duas equações pode ser vazia, neste caso diremos que o s seus lugares geomé-

trico não se interceptam.

Exemplo 3.45 Determ inar analítica e graﬁcamente os pontos de intersecção de

x − 12 = 0

− 3x = 0

⊳

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 74

Solução: Primeiro ob servemos que x −12 = 0 é a equação de uma reta paralela ao eixo y, enquanto

−3x = 0 é a equação de uma parábola com vértice na origem e diretriz paralela ao eixo y. Assim

o conjunto dos pontos de intersecção dos dois lugares geométricos é formado de no máximo dois

pontos.

Analiticame nte, concluímos da primeira equação que todo ponto de inte rsecção (x, y) deve ter

x = 12. Substituindo na equação da parábola encontramos que

= 36,

e portanto

y = ±6.

De mo do que os pontos de interse c ç ão são (12, 6) e (12, −6). 

3.8 Coordenadas Polares (*)

Nesta seção estudaremos uma nova forma de de screver a localização de pontos no plano euclideano

: as coordenadas polares. A principal motivação para a utilização desse sistema de coordenadas

é que, neste sistem a, curvas com algum tipo de simetria em relação a o rigem O do plano, como

por exemplo o círculo e a elipse, podem ser descritas de maneira mais simples que nos sistemas de

coordenadas vetoriais.

Num sistema de coordenadas polares um ponto P é loca lizado no plano em relação a uma semi-

reta

−→

OA. A origem O dessa semi reta é denominada origem do sistem a de coordenadas polares ou

polo e a semi-reta

−→

OA é dito eixo polar.

As coordenadas de um ponto P num sistema de coordenadas polares é um par (r, θ ), onde r é

a distância do ponto ao polo, isto é, r = d(O, P) e θ é o ângulo orientado que a semi-reta

−−→

OP faz

com a semi-reta

−→

OA. Claramente a posição do ponto ﬁ c a bem determinada se conhecemos r e θ. O

par (r, θ) é denominado c oordenadas polares do ponto P , e neste caso escreveremos simple sme nte

P : (r, θ)

Como θ é o ângulo orientado entre o eixo OA e a reta OP seus valo res podem ser positivo ou

negativo conforme a ori entação no sentido anti-horário ou horário do ângulo.

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 75

0 1 2 3 4 5

120

150

180

210

240

270

300

330

: (2, 60

)

: (4, 12 0

)

: (2, 0)

: (5, 24 0

)

Fig. 3.9 : Coordenadas polares

P : (r, θ)

′

: (−r, θ)

−r

Por outro lado, o raio r, sendo a distância de P a ori gem , é naturalmente um número real po-

sitivo, porém p odemos estender seu signiﬁcado de modo a termos rai os negativos. Para isso con-

vencionamos que o ponto (−r, θ) com r > 0 deve ser construído do seguinte modo: construímos

uma semi-reta faz uma ângulo θ com o eixo polar e estendemos essa semi-reta. marcarmos o ponto

(−r, θ) como sendo o ponto sobre a extensão da semi reta que dista r do polo O.

Uma diferença fundamental entre os sistemas de coordenadas cartesianas e o sistema de coor-

denadas polares é q ue em coordenadas polares um ponto P po de ser descrito por uma inﬁnidade

de coordenadas. Por exemplo, a origem O é descrita por t odas as coordenadas da forma (0, θ) .,

enquanto que um ponto P : (r, θ) distinto da origem é descri to por todas as coordenadas da forma

(r, θ + 2πn) e (−r, θ + π (2n + 1)).

Todo ponto distinto da origem possui pelo menos uma coordenada na qual o raio é positivo

e o angulo θ esteja entre 0 ≤ θ < 2π. Denominamos esse par como o conjunto principal d e

coordenadas polares do ponto em questão.

Relação entre Coordenadas Cartesianas e Polares

A cada sistema de coordenadas polares podem os associ ar um sistema cartesiano escolhendo como a

origem o polo, o eixo x como o eixo polar e o eixo y como a reta perpendic ular ao eixo polar passando

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 76

pela origem. Esse sistema de coordenadas é chamado sistema cartesiano associado . Quando, ao

tratarmos de coordenadas polares, nos referirmos a s coordenadas x, y, eixos x ou y, etc. de um

sistema cartesiano este sempre será o sistema cartesiano associado.

Observe a Figura

3.10:

Fig. 3.10: Coo rdenadas polares

É fácil ver que:

= r cos(θ)

= r sen(θ)

r = ±

+ y

tg θ =

Assim temos que as coordenadas polares e as co ordenadas cartesianas do sistemas associa do se

relacionam segundo a seguinte tabela:

Coordenadas Cartesianas Coordenadas Polares

(r cos θ, r sen θ ) (r, θ)

(x, y) (

+ y

, arctg(

))

Exemplo 3.46 Determ inar as coordenadas reta ngulares do ponto P cujas coordenadas polares são (3, 120

)

⊳

Solução: N este caso r = 3 e θ = 120

logo as coordenadas são:

x = r cos (θ) = 3 ·



−



= −

(3.12)

y = r sen (θ) = 3 ·

√

. =

√

(3.13)

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 77

Ou seja, P :

−

√



Exemplo 3.47 Determ inar as coordenadas polares do ponto cujas coordenadas retangulares são (1, −1).

⊳

Solução: Temos que r = ±

√

1 + 1 = ±

√

2 e que θ = arctg (−1) .Para 0 ≤ θ < 2π. temos que θ =

π.

Logo o conjunto principal de coordenadas do ponto é





Outras coordenadas possíveis para o ponto são



π + 2πn





−1,

π + π (2πn + 1)





Exemplo 3.48 Determ inar a equação retangular do lugar geométrico cuja equação p olar é

r =

1 − cos θ

⊳

Solução: A equação dada é equivalente a r − r cos θ = 2. Substituindo r e r cos θ temos:

+ y

− x = 2

Transpondo x e elevando ao quadrado temos

+ y

= (2 + x)

que simpliﬁca para y

= 4(x + 1) (uma pa rábola ). 

Exemplo 3.49 Mostre que a distância d entre os pontos (r

, θ

) e (r

, θ

) em coordenadas polares é

d =

+ r

− 2r

cos(θ

− θ

)

⊳

Solução: Usando a lei dos c ossenos temos:

kP Qk

= kOP k

+ kO Qk

− 2kOP k

kOQkcos(θ

−θ

) (3.14)

= r

+ r

− 2r

cos(θ

− θ

) (3.15)

CAPÍTULO 3. VETORES EM COO RDE NADAS 78

E consequente mente a distância do ponto P ao ponto Q é:

kP Qk =

+ r

−2r

cos(θ

− θ

)



Retas e Planos

Dando continuidade ao nosso estudo sobre lugares geométri c os e suas equações, vamos nos con-

centrar agora no estudo de dois elementos geométricos fundamentais da ge ometria as retas e os

planos.

Ressaltamos, que em todo este capítulo utilizaremos um sistem a de coordenadas cartesiano

(i, j, k, O).

4.1 Equações da Reta

Um dos postulados da geometri a Euclidiana nos diz que, dados dois pontos no espaço existe

uma única reta conte ndo estes pontos. Isso nos leva ao seguinte problema dados dois pontos A e B,

determinar a equação da reta r que passa po r estes dois ponto s.

Para isto, observe que dado um ponto X em r, o vetor

−−→

AX é paralelo ao vetor

−−→

AB, e portanto

CAPÍTULO 4. RETAS E PLANOS 80

existe um escalar t ∈ R tal que

−−→

AX = t

−−→

AB. Assim, temos que

X = A +

−−→

AX = A + t

−−→

AB,

e considerando A : (a, b, c) e v =

−−→

AB = v

i + v

j + v

k, vemos que um ponto X : (x, y, z)

pertence a reta r se e somente se

−−→

AX = vt, ou a inda

r : X = A + vt. (4.1)

Expandindo obtemos





































t, (4.2)

ou de forma mais simpliﬁcada:

r :











x = a + v

y = b + v

z = c + v

(4.3)

A e quação

4.1 é conhecida como equação vetorial da reta r, e nestas condições o ponto A

é chamado ponto inicial e o vetor v é dito vetor diretor da reta reta r. As equações em

4.3 são

chamadas as equações paramétricas da reta r.

Heuristicamente, pensando no parâmetro t como tempo, podemos entender esta equação como

a trajetória de um ponto que se move no espaço ao longo da reta r tendo o ponto A como o ponto

inicial e o vetor v como a velocidade, e assim para cada valor de t obtemos um ponto no espaço.

Outra forma de representar a reta r pode ser obtida ao isolarmos o parâmetro t nas equações

paramétricas. Assim , se em

4.3 tivermos v

6= 0, v

6= 0 e v

6= 0, podemos eliminar o parâme tro t

e obter

x − a

y − b

z − c

chamadas de equaç ões da reta r na forma simétrica.

É importante observar q ue a equação de uma reta, em qualquer uma de suas formas, não é única.

De fato, as equações dep endem fundamentalmente da escolha do po nto inicial e do vetor diretor,

gerando assim uma inﬁnidade de equações para representar um mesma reta. Para entender esta

aﬁrmativa, consideremos uma reta r : X = A + vt. Escolhendo um ponto B em r, podemos trocar

o ponto inicial por B e assim representar r por r : X = B + vt. Do mesmo modo, troca ndo o vetor

diretor v por outro vetor v′ pa ralelo, obtemos que X = A + v′t é também uma equação vetorial

para r (veja exercício ??).

Exemplo 4.1 Encontre as equações da reta que passa pelos pontos A : (0, 1, 1) e B : (1, 3, 0).

⊳

CAPÍTULO 4. RETAS E PLANOS 81

Solução: Escolhendo v =

−−→

AB : (1, 2, −1) como vetor diretor e A como ponto inicia l obtemos a

equação vetorial

r : X = A + vt































−1







As equações par amétricas ﬁ c am então x = t, y = 1 + 2t, z = 1 − t.

As equações simétricas para essa reta são obtidas isolando o parâmetro t nas equações anteri ores,

ou seja,

x =

y − 1

z − 1

−1



Exemplo 4.2 Dada a reta r de equação paramétricas r : X = (1, 3, 2) + (1, 1, 2)t.

Encontre três pontos pertencentes a essa reta.

Encontre um conjunto de equações vetoriai s para essa reta na qual o ponto inicial seja distinto.

Encontre um conjunto de equa ç ões vetoriais para e ssa reta na qual o vetor diretor seja distinto

⊳

Solução:

Claramente o ponto (1, 3, 2) pertence a essa reta. Para obter outros pontos desta reta bastam

que escolhamos valores distintos para o parâmetro t. Assim, se t = 1 temos que (1, 3, 2) +

(1, 1, 2) = (2, 4, 4) per tence a reta. Tomando t = −2 temos que (1, 3, 2) − 2(1, 1, 2) =

(−1, 1, −2) pertence a reta.

Substituindo o ponto inicial p or outro ponto p ertencente a reta obtemos equações com as

propriedades exigidas. Escolhendo, por exemplo, o ponto (−1, 1, −2) obtemos a equação

vetorial

r : X = (−1, 1, −2) + (1, 1, 2)t.

Substituindo o vetor diretor p or um de seus m últiplos não nulos obtemos equações com as

propriedades exigidas. Se, por exemplo, multiplicarmo s o vetor diretor por

encontramos a

equação vetorial

r : X = (−1, 1, −2) + (

, 1)t.

CAPÍTULO 4. RETAS E PLANOS 82



Exemplo 4.3 Veriﬁque se os pontos A : (4, 1, 5) e B : (0, 0, 0) pertencem a reta r : (1, 1, 2) + (1, 0, 1)t.

⊳

Solução: Par a que o ponto A pertença a reta r é necessário que exista t ∈ R tal que:

(4, 1, 5) = (1, 1, 2) + (1, 0, 1)t

Ou seja, deve existir t tal que o sistema de equações











4 = 1 + t

1 = 1 + 0t

5 = 2 + t

tenha solução.

O sistema aci ma possui solução, t = 3, e logo o ponto A pertence à reta r.

De mo do análogo, para que o ponto B pertença a reta r é necessário que exista t ∈ R tal que

(0, 0, 0) = (1, 1, 2) + (1, 0, 1)t,

ou seja, deve existir t tal que o siste ma de equações











0 = 1 + t

0 = 1 + 0t

0 = 2 + t

tenha solução.

Como sistema acima não possui solução, o ponto B não pertence à reta r.



Exemplo 4.4 Identiﬁq ue o lugar geométrico da do pelas e quações

2 − 3x

2y − 2

5z − 1

⊳

CAPÍTULO 4. RETAS E PLANOS 83

Solução: D ividindo os numeradores e os denominadores de cada fração pelo coeﬁcie nte das variá-

veis, obtemos

x −

y − 1

z −

Esta são as equa ç ões na forma simétrica de uma reta. E portanto o lugar ge ométrico é uma reta

passando pelo ponto (

, 1,

) com vetor diretor (

). 

Exemplo 4.5 Veriﬁque se as retas r : X = (1, 1, 1) + (1, 0, 1)t e s : X = (0, 4, 3) + (−1, 1, 0)t se interceptam.

⊳

Solução: Para que um ponto P pertença simultaneamente as retas r e s, devem existi r números reais

e t

tais que

P = (1, 1, 1) + (1, 0, 1)t

e P = (0, 4, 3) + (−1, 1, 0)t

De onde encontramos que

(1, 1, 1) + (1, 0, 1)t

= (0, 4, 3) + (−1, 1, 0)t

Resolvendo o sistema acima encontramos t

= 2, t

= −3. Como o siste ma possui solução, c on-

cluímos que as retas r e s se interceptam.

Para de terminar o ponto de intersecção substituímos t → t

na equação P = (1, 1, 1) +

(1, 0, 1)t

e obt emos

P : ((3, 1, 3)).

É importante observar que para determi narmos se as retas interceptam, usamos parâmetros dis-

tintos para cada reta. Isso é fundamental, pois o ponto P apesar de pertencer a ambas as retas, é

descrito em cada c onjunto de equaçõ es po r um valor distinto de t. 

Equações da reta no plano

No caso b idimensional, as eq uações que descrevem as linhas retas po-

dem ser descritas de modo mais simpliﬁcado. Começamos observando

que, de modo análogo ao caso tridimensional, escolhidos um ponto ini-

cial A e um vetor diretor v, esta reta pode ser descrita vetorialmente

como:

r : X = A + vt (4.4)

CAPÍTULO 4. RETAS E PLANOS 84

Nesse caso a expressão em coordenadas ﬁca:

t (4.5)

Se v

, v

6= 0 p odemos escrever a forma simétrica das equações da reta no plano

x − a

y − b

ou ainda,

y − b =

(x − a).

O número real m =

é denominado coeﬁciente angular da reta r, e admite uma interpretação

geométr ica muito simples: o coeﬁciente angular é a tangente do ângulo angulo entre a reta e o eixo

x. Com essa deﬁnição é fácil ver que, para as retas não paralelas ao eixo y, pode mos escolher o vetor

diretor c omo i + mj, e assim obter equação aﬁm ou reduzida da reta bidimensional

y = mx + n,

onde n = b − ma.

As retas paralelas aos eixos coordenados (v

= 0 ou v

= 0) são especiais. Para as retas paralelas

ao eixo y, ou seja, reta s com vetor diretor j, o coeﬁciente angular não e stá deﬁnido já que m =

. Pa ra obter uma equação para este tipo de reta, basta observar que todos os pontos possuem a

primeira coordenada (coordenada x) iguais. Ou seja, se a reta passa pelo ponto A : (a, b) então todo

ponto (x, y) em r é do tipo (a, y), e portanto sua equação será dada por x = a.

Do mesmo modo, se a reta é paralela ao eixo x e passa por um ponto A : (a, b), então sua

equação é dada por y = b.

Observação 4.6 É fácil ver que a equação de toda reta no plano pode ser e scrita na forma:

ax + by + c = 0,

com a, b, c constantes reais. Tal forma é c onhecida como forma canônica ou equação cartesiana da

reta no plano.

CAPÍTULO 4. RETAS E PLANOS 85

x=constante

y=constante

Fig. 4.1: Retas paralelas aos eixos coordenados

A equa ç ão na forma canônica é única a menos de uma constante multiplicativa, isto é ax + by +

c = 0 e a′x + b′y + c′ = 0 representam uma mesma reta se e somente se existe λ ∈ R tal que

a = λa′, b = λb′ e c = λc′ (Por quê? ).

Exemplo 4.7 Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (1, 1) e q ue faz ângulo de 60 com o eixo x.

⊳

Exemplo 4.8 Seja r a reta que passa p elos pontos (x

, y

) e (x

, y

). Mostre que o co eﬁciente angular da reta r é:

λ =

− y

− x

⊳

Solução: O vetor diretor dessa reta é:

− x

)i + (y

− y

E consequente mente m =

− y

− x

. 

Exemplo 4.9 Mostre que a equação da reta passando pelos pontos A = (x

, y

), B = (x

, y

), pode ser escrita

como:



x y 1



= 0

⊳

Solução: Seja P : (x, y) um ponto qualquer. O po nto P pertence a reta deter minada pelos pontos

A e B se e somente se A, B, P forem coli ne ares, e o resultado segue do critério da proposição 3.36.



CAPÍTULO 4. RETAS E PLANOS 86

4.2 Equações do Plano

Equações Paramétricas e Vetoriais do Plano

Passemos agora a um novo problema: determinar uma

equação (ou conjunto de equações) que representem um

dado plano no espaço euclidiano. Prim eiro, lembremos que

dados três pontos P

, P

e P

não colineares exi ste um

único plano π passando por esses pontos.

Seguindo então as mesmas ideias utiliz adas no caso da

reta, para det erminar as equações de π utilizaremos um

ponto inicial (por exemplo P

) em conjunto com vetores u =

−−−→

, determinados pelos pontos

escolhidos. Tome agora um ponto P qualquer deste plano, e observe que o vetor

−−→

P é par alelo

ao plano π, e portanto coplanar aos vetores u e v. Como os po ntos P

, P

e P

são não colineares,

concluímos que os vetores u e v são linearmente independentes, e assim, pelo Teorema da Base,

podemos escreve r o vetor

−−→

P como combina ç ão linear de u e v, isto é, existem escalares s, t ∈ R

tais que

−−→

P = us + vt,

e portanto

P = P

+ us + vt. (4.6)

Assim como no caso das retas, a equação (

4.6) é c h amada de equaç ão vetorial do plano.

Escrevendo P : (x, y, z), P

: (x

, y

, z

), u : (u

, u

) e v : (v

, v

) obtemos

x = x

+ u

s + v

y = y

+ u

s + v

z = z

+ u

s + v

encontrando assim equações paramétricas do plano. Vale come ntar que, assim como no caso

das retas, as equações apresentadas acima não são únicas pois dependem do ponto e dos vetores

considerados.

Exemplo 4.10 Encontre a s equações vetorial e paramétricas do plano π determinado pelos pontos P

: (1, 0, 1),

: (−1, 2, 3) e P

: (3, 1, 0).

⊳

Solução: Deﬁnindo u =

−−−→

: (−2, 2, 2) e u =

−−−→

: (2, 1, −1), a equação vetorial de π ﬁca

π : P = (1, 0, 1) + (−2, 2, 2)s + (2, 1, −1)t.

CAPÍTULO 4. RETAS E PLANOS 87

A forma paramétrica é encontrada ao olh armos coordenada por coordenada, ou seja,

x = 1 − 2s + 2t

y = 2s + t

z = 1 + 2s − t.



Equação Geral de um Plano

Na seção anterior vimos como encontrar a equação de um

plano a partir das coordenadas de três pontos não coli-

neares neste plano. Mas a geometria E uclidiana nos dá

uma outra forma de encontrarmos a equação de um plano.

Para isso vamos primeiro lembrar que, dada uma reta e um

ponto P

podemos encontrar um único plano π que conte-

nha o ponto P

e que seja o rtogonal a reta dada. Observe

que, neste resultado, a reta serve apenas para determinar

uma direção. Isso nos permite portanto substituir esta reta por um vetor para lelo a ela. Neste sen-

tido, dado um plano π, dizemos que um vetor n não nulo é normal a π se n é ortogonal a todos os

vetores paralelos a π. É fundamental notar que todo plano possui uma inﬁnidade de vetores normais

(veja o exercício ??).

Sejam dois pontos P

= (x

, y

, z

) e P = (x, y, z) no plano π. Como o vetor

−−→

P é perpe ndi -

cular a n : (a, b, c), calc ulando o produto interno, ob temos que

a(x − x

) + b (y − y

) + c(z − z

) = 0

e assim

ax + by + cz = ax

+ by

+ cz

Deﬁnindo d = ax

+by

+cz

, encontramos que ax+by+cz = d para qualquer ponto P : (x, y, z)

pertencente ao plano. Em resumo, determinam os que se um ponto P = (x, y, z) p ertence ao plano

π, então suas coordenadas satisfazem ax + by + cz = d.

Reciprocamente, se as coordenadas do po nto P = ( x , y, z) satisfazem a relação ax+by+cz = d

tomando P

= (x

, y

, z

) teremos, pela deﬁnição de d, que d = ax

+ by

+ cz

e subtra indo

obtemos que

a(x − x

) + b (y − y

) + c(z − z

) = 0.

Ou seja o vetor

−−→

P é ortogonal ao vetor n e consequentem ente paralelo a π.

CAPÍTULO 4. RETAS E PLANOS 88

Observe q ue, para que o plano ﬁ que bem determinado, o vetor n : (a, b, c) deve ser não nulo,

ou seja, é necessário que a

+ b

+ c

6= 0.

A equação ax + by + cz = d é chamada de equação geral do plano, e dada esta equação é fácil

recuperarmos um vetor normal ao plano. Mai s precisamente teremos n : (a, b, c).

Posições Relativas

Nosso objetivo nesta seção é entender a posição relativa entre duas retas, dois planos e ou uma reta

e um plano, isto é, se estes se interseccionam, se são paralelos, etc.

5.1 Posição Rela tivas entre Retas

Posição Relativas entre Retas no Plano

Começ aremos com o estudo da posição relativa de dua s retas no plano. Lembremos prime iro que

duas retas em um mesmo plano podem ser:

• coinci dentes, i.e., são a mesma reta;

• paralelas;

• concorrentes, ou seja, se inte rceptam em um único ponto.

Tomemos então duas retas dadas em forma vetorial como r : A + vt e s : B + ut.

Como a direção de uma reta é dada pelo seu vetor direciona l, temos que as retas r e s são

paralelas se seus vetores di retores v e u são par alelos, ou seja, se um é m últiplo do outro.

Duas retas coincidentes r e s são coincidentes se possuem o mesmo lugar geométrico, isto é, o

mesmos pontos. Assim, um primeiro requisito para coincidência é, claramente, para lelismo. Uma

vez e stabelecido o par alelismo basta agora que localizemos um ponto comum as duas retas. Pode-

mos, por exemplo, veriﬁcar se o ponto inicial de r (ponto A) pertence à reta s. Caso as retas não

possuam pontos em comum, e ntão elas serão pa ralelas não coincidentes.

CAPÍTULO 5. POSIÇÕES RELATIVAS 90

Como as retas estão em um mesmo plano, uma vez que não sejam paralelas e ou coincidentes

elas claramente só podem possuir um ponto em comum.

Resumindo,

Proposição 5.1 Duas retas em um mesmo plano são:

• Paralelas se e somente se seus vetores diretores são múltiplos um do outro.

Neste caso elas pode m ser:

– Coincidentes: se o lugar geométrico de r e de s são o mesmo. Neste casos as retas

são paralelas e passam pelo mesmo ponto. Para veriﬁcar se suas retas paralelas são

coincidentes é suﬁciente veriﬁcar se elas possuem um ponto em comum. Por exemplo

se o ponto B pertence a reta r.

– Paralelas não coincidentes, se não possuem pontos em comum.

• Concorrentes, ou seja, se interceptam em um único ponto. Neste caso os vetores diretores não

são paralelos.

Exemplo 5.2 Determine a posição relativa entre as retas:

r : (1, 2) + (3, −1)t e s : (4, 1) + (

, −

r : (1, 2) + (3, −1)t e s : (2, 2) + (1, −

r : (1, 2) + (3, −1)t e s : (2, 2) + (0, 1)t

⊳

Solução:

Coincidentes. Os vetores diretores são paralelos, i.e., múltiplos um do outro e o ponto (4, 1)

pertence a r.

CAPÍTULO 5. POSIÇÕES RELATIVAS 91

Paralelas não coincidentes. Os vetores diretores são paralelos, i.e., múltiplos um do outro e o

ponto (2, 2) pertence a r.

Concorrente, pois os vetores diretores não são paralelos.



As condições acima valem apenas para equações vetoriais, e conse quentemente para equações

paramétricas. Mas no caso bidimensional a s equações ﬁcam mais simples e podemos representar

uma reta através de uma única equação linear. Seria interessante então que tivéssemos uma maneira

de comparar equações nesta forma.

Tome então duas retas r : ax + by + c = 0 e s : a

′

x + b

′

y + c

′

= 0. Vamos supor por um

instante que b 6= 0 e b

′

6= 0 (r e s não são paralelas ao eixo y). Não é difícil se convencer que r e

s são para lelas se, e só se, seus coeﬁci entes angulares forem os mesmos. Ou seja, precisamos que

′

. Mas isto é equivalente a dizer que a

′

= λa e b

′

= λb para a lgum λ ∈ R. Observe que se

ambas forem parale las ao eixo y, então b = b

′

= 0 e a mesma condição vale.

Se r e s forem c oincidentes então, pela condição dada acima, temos que

0 = a

′

x + b

′

y + c

′

= λ(ax + by) + c

′

= λ(ax + by + c) − λc + c

′

= −λc + c

′

e portanto c

′

= λc.

Resumindo, obtemos o seguinte resultado.

Teorema 5.3 Dadas duas retas no plano descritas pelas equações r : ax + by + c = 0 e s : a

′

x + b

′

y + c

′

= 0,

então:

Se o vetor (a, b, c) é múltiplo de (a

′

, b

′

, c

′

) as retas são coincidentes.

Se o vetor (a, b) é múltiplo de (a

′

, b

′

), ou equivalentemente os coeﬁcientes angulares são

iguais então as retas são parale las.

Se o vetor (a, b) não é múltiplo de (a

′

, b

′

), ou equivalentemente os coeﬁcientes angulares

são distintos e ntão as retas são paralelas.

Posição Relativas entre Retas no Espaço

Passemos agora para a análise do caso espacial. Quando consideramos duas retas no espaço ela s

podem estar ou não num mesmo plano. Caso elas estejam num um mesmo plano serão ditas retas

CAPÍTULO 5. POSIÇÕES RELATIVAS 92

Fig. 5.1 : Retas Reversas

coplanares, e podemos para essas retas aplicar a análise de po sição relati va que ﬁzemos na seção

anterior. Ressaltamos que se duas retas são paralelas elas são necessariamente coplanares. Por outro

lado, retas não coplanares re c ebem o nome de reversas. Em resumo, duas retas no espaço podem

ser

• Reversas, se as duas retas não estiverem contidas num mesmo plano.

• Coplanares, se as duas retas estiverem contidas num mesmo plano. Neste caso, valem as

classiﬁcações vistas até agora, e as retas podem ser:

– Coincidentes;

– Paralelas;

– Concorrentes.

Precisamos então encontrar um critéri o para determinar se duas retas são ou não coplanares.

Para tanto, considere duas retas r : A + vt e s : B + us, com A 6= B. Se r e s forem coplanares,

então necessariamente o vetor

−−→

AB deve ser coplana r aos vetores u e v, ou seja, o s vetores

−−→

AB, u e

v são li ne armente dependentes. Do mesmo m odo, se

−−→

AB, u e v forem coplanares então a reta s está

contida no mesmo plano deter minado pela reta r e pelo ponto B. Isso nos dá o seguinte resultado.

Teorema 5.4 Duas retas r : A + vt e s : B + us são coplanares se e somente se os vetores

−−→

AB, u, v forem

linearmente dependentes, ou seja se:



(u × v) ·

−−→



= 0.

Exemplo 5.5 Determine a posição relativa entre as seguintes retas:

CAPÍTULO 5. POSIÇÕES RELATIVAS 93

−−→

a) r : (1, 2, 0) + t(2, 2, 2) e s : (1, 3, 3) + t(2, 2, 3)

b) r : (1, 0, 0) + t(2, 2, 2) e s : (2, 3, 0) + t(1, −1, 2)

c) r : (1, 0, 0) + t(1, 1, 1) e s : (2, 3, 0) + t(1, 1, 1)

d) r : (1, 0, 0) + t(1, 1, 1) e s : (2, 1, 1) + t(1, 1, 1)

⊳

Solução:

a) Para determinar se r e s são coplanares precisamos estudar a dependê ncia linear dos veto-

res (2, 2, 2), (2, 2, 3) e (0, 1, 3) = (1, 3, 3) − (1, 2, 0). Como o determinante formado pelas

coordenadas destes vetores vale



2 2 2

2 2 3

0 1 3



= −2 6= 0,

concluímos que as retas não são coplanares, sendo portanto reversas.

b) Como o determinante formado p elas coordenadas dos vetores (2, 2, 2), (1, −1, 2) e (1, 3, 0)



2 2 2

1 −1 2

1 3 0



= 0

as retas são co planares. Como os vetores diretores não são m últiplos, as retas são concorren-

tes.

c) As retas acima possuem o mesmo vetor diretor, de onde concluímos que são coplanares e

paralelas. Com o o ponto (1, 0, 0) não pertence a s, as retas são paralelas e não coincidentes.

d) Assim como no item anterior, as retas são coplanares e paralelas. Como o ponto (1, 0, 0) per-

tence a reta s (basta fazer t = −1 na equação de s) obtemo s que r e s são de fato coincidentes.



CAPÍTULO 5. POSIÇÕES RELATIVAS 94

Exercícios

Ex. 5.1 — Sejam r a reta representada parametricamente por x = at + b e y = ct + d e s a reta cuja

equação é αx + βy = c.

a) Quando r intercepta s?

b) Se r interceptar s determine o ponto P de intersecção entre as duas retas:

Ex. 5.2 — Ve riﬁque se as retas r e s são co ncorrentes e, se forem, obtenha o ponto de intersecção.

a) r : X = (1, 1, 0) + λ(1, 2, 3); s : X = (2, 3, 3) + µ(3, 2, 1).

b) r :











x = 1 + 2λ

y = λ

z = 1 + 3λ

, s :











x = −1 + 4λ

y = −1 + 2λ

z = −2 + 6λ

c) r :











x = 2 − 4λ

y = 4 + 5λ

z = 11

, s :

y − 1

−2

= z.

d) r :

x − 2

y + 2

= z, s :

z − 3

Ex. 5.3 — A altura e a mediana relativas ao vértice B do triângulo ABC estão contidas, respectiva-

mente, em r : X = (−6, 0, 3) + λ(3, 2, 0) e s : X = (0, 0, 3) + µ(3, −2, 0). Sendo C = (4, −1, 3),

determine A e B.

Ex. 5.4 — Mostre que duas retas

r :

x = mz + ay = nz = b

s :

x = m

′

z + a

′

y = n

′

z = b

′

se interceptam se e somente se (a − a

′

)(n − n

′

) = (b − b

′

)(m − m

′

)

Ex. 5.5 — Estude a posição relativa das retas r e s.

a) r : (1, 4, 4) + (1, 2, 3)t e s : (2, 5, 1) + (2, 4, 6)t

b) r : (1, 4, 4) + (1, 2, 3)t e s : (2, 5, 1) + (1, 4, 1)t

c) r :

x + 1

z + 1

e s : X = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 0).

d) r : X = (8, 1, 9) + λ(2, −1, 3) e s : X = (3, −4, 4) + λ(1, −2, 2);

CAPÍTULO 5. POSIÇÕES RELATIVAS 95

e) r :

x − 1

y − 5

z + 2

e s : x = −y =

z − 1

f) r : x + 3 =

2y − 4

z − 1

e s : X = (0, 2, 2) + λ(1, 1, −1).

Ex. 5.6 — Sejam r : X = (1, 0, 2) + λ(2, 1, 3) e s : X = (0, 1, −1) + λ(1, m, 2m). Estude, segundo

os valores de m, a posição relativa de r e s.

Ex. 5.7 — Dadas as retas r : X = (0, 1, 0)+λ(1, 0, 0) e s : X = (−1, 2, −7)+λ(2, 1, −3), obtenha

uma eq uação vetorial da reta t, concorrente com r e s e paralela a ~u = (1, −5, −1).

Ex. 5.8 — Determine o ponto de intersecçã o entre a reta que passa pelos pontos (1, 2, 3) e (3, 2, 1)

e a reta que passa pelos pontos (2, 1, 1) e (1, 2, 1).

Ex. 5.9 — Determine a, b de modo que as retas sej am paralela s:

r :

(

ax + 3y − 7z − 1 = 0

5x + 6y − bz = 0

s :

(

ax + by = 5

2x − 3y = 8

5.2 Posição relativas entre retas e planos

Passemos agora para o estudo da posição de uma reta e um plano. Dado um plano π e uma reta r

temos três possibilidades:

• a intersecção de r e π é vazia. Nesse c aso a reta r é dita para lela a π.

• a intersecção de π e r é um único ponto. Nesse caso dizemos que a reta r é transversal a π.

• a intersecção de π e r tem pelo menos do is pontos. Nesse caso temos que todos os pontos da

reta r pertencem ao plano π e dizemos que a reta r está co ntida em π.

Não é difícil ver que uma reta r é transversal ao plano π se, e somente se, o vetor diretor dessa

reta não é paralelo ao plano π. Ou, equivalentemente, se o vetor diretor dessa reta não é or togonal

ao vetor normal a o plano.

CAPÍTULO 5. POSIÇÕES RELATIVAS 96

Colocando em coordenadas, obtemos que o plano π de equação geral ax + by + cz = d e a reta

r de e quação paramétrica

(x, y, z) = (x

, y

+ z

) + (v

, v

são transversais se, e somente se,

(a, b, c) · (v

, v

6= 0),

ou seja, num sistema de coordenadas ortogonais:

+ bv

+ cv

6= 0.

Reescrevendo esta condição utilizando o vetor normal ao plano n = (a, b, c) e o vetor diretor v =

, v

) obtemos o seguinte critério.

Proposição 5.6 A reta r : X = P + vt é transversal ao plano π de vetor normal n se, e somente se,

v · n 6= 0.

Caso a reta r não seja transversal ao plano π, nos restam duas opções: ou r é para lela disjuntas

ou está contida em π. Para decidirmos qual é o caso basta t omarmos um ponto qualque r da reta e

veriﬁcarmos se este pertence ao plano. Se isso ocorrer a reta está contida no pla no, caso co ntrário a

reta é paralela.

Exemplo 5.7 Determine a posição relativa entre o plano

π : X = (1, 2, 1) + (1, −1, 1)t

+ (0, 1, 2)t

e a reta

r : X = (1, 3, 4) + (1, 1, 1)s.

⊳

Solução: O vetor normal ao plano é dado por:

(1, −1, 1) × (0, 1, 2) = (−3, −2, 1)

E como (−3, −2, 1) · (1, 1, 1) = −4 6= 0, a reta é transversal ao plano.

O ponto de intersec ç ão ocorre quando:

(1, 2, 1) + (1, −1, 1)t

+ (0, 1, 2)t

= (1, 3, 4) + (1, 1, 1)s

cuja solução é s =

, t

Substituindo s =

na equação da reta obtemos o ponto (

), que é portanto o ponto de

intersecção de r com π. 

CAPÍTULO 5. POSIÇÕES RELATIVAS 97

Exercícios

Ex. 5.1 — Mostre que a reta

x = 3t − 2, y = −4t + 1, z = 4t − 5

é paralelo ao plano 4x − 3y − 6z − 5 = 0

Ex. 5.2 — Determine a equação do plano contendo a reta

(

2x + 3y − z = 5

2x − 5y + 2z = 6

e paralela a reta x = −

Ex. 5.3 — Mostre que a reta

(x − 7) = −(y + 3) = z − 4

intersecciona os planos π

: 6x + 4y − 5z = 4 e π

: x − 5y + 2z = 12 no mesmo ponto. Conclua

que essa reta é coplanar com a reta determinada pela intersecção desses planos.

Ex. 5.4 — Encontre o ponto de intersecção da reta dada com o plano dado:

x − 1

y + 1

−2

, 2x + 3y + z − 1 = 0

x + 3

y − 2

−1

z + 1

−5

, x − 2y + z − 15 = 0

x + 2

−2

y − 1

z − 3

, x + 2y + 2z + 6 = 0

Ex. 5.5 — Escreva as equações do plano que passa por (1, 2, −3) e é paralelo as reta s:

x − 1

y + 1

−3

z − 7

x + 5

y − 2

−2

z + 3

−1

Ex. 5.6 — Mostre que as equações do plano que passa pelo ponto (x

, y

, z

) e é paralelo as retas:

x − a

y − b

z − c

x − a

y − b2

z − c

pode ser escrita como:



x − x

y − y

z − z



= 0.

CAPÍTULO 5. POSIÇÕES RELATIVAS 98

Ex. 5.7 — Mostre que a equação do plano que passa pelos pontos (x

, y

, z

) e (x

, y

, z

) e é pa-

ralelo a reta:

x − a

y − b

z −c

pode ser escrita como:



x − x

y − y

z − z

− x

− y

− z



= 0.

Ex. 5.8 — Prove que as retas:

x − 1

y + 2

−3

z − 5

e (x, y, z) = (3t − 7, 2t + 2, −2t + 1)

são coplanares e determine a equação desse plano.

5.3 Posição relativas entre planos

Queremos agora estudar a posição de dois planos no espaço. Para começar analisemos quais as

possíveis posições relativas, para depois determinar condições algébricas que as determinem. Da dos

então dois planos π

e π

temos três possibilidades:

• a intersecção de π

e π

é vazia. Nesse caso, os planos são ditos paralelos distintos.

• a intersecção de π

e π

é não vazi a, e dois sub-casos são possíveis:

– a intersecção de π

e π

é uma reta, e os planos são ditos transversais.

– π

e π

são coincidentes.

Assim como no caso reta×plano, para estudar a posição relativa entre dois planos utilizaremos

intensamente os vetores normais a estes planos. Para dois planos serem paralelos, por exemplo,

precisamos que seus vetores normais sejam paralelos entre si.

A seguinte proposição caracteriza a posição relati va de dois planos. Sua de monstração é simples

e ﬁca como exercício para o leitor.

Proposição 5.8 Sejam π

e π

dois planos de equações a

x+b

y +c

= d

e a

x+b

y +c

z = d

respectivamente.

então:

• Os planos π

e π

são paralelos se os seus vetores normais forem paralelos, isto é, se

, b

, c

) = λ(a

, b

, c

Nesse caso se:

CAPÍTULO 5. POSIÇÕES RELATIVAS 99

– (a

, b

, c

, d

) for proporcional a (a

, b

, c

, d

), então os planos são coincidentes

– (a

, b

, c

, d

) não for proporcional a (a

, b

, c

, d

), então os planos são paralelos dis-

tintos.

• Os planos π

e π

são transversais se os seus vetores normais não forem paralelos, isto é, se

, b

, c

) e (a

, b

, c

) não são proporcionais.

É interessante observar que se π

e π

forem transversais, então a reta r determinada pela in-

terseção dos doi s planos deve ser perpendicular aos vetores normais n

= (a

, b

, c

) e n

, b

, c

), e podemos tomar o vetor n

×n

como vetor diretor de r. Assim, escolhendo um ponto

P qualquer na interseção de π

e π

, obte mos

r : X = P + (n

× n

)t.

Exemplos 5.9

• Os planos π

: 2x + 3y + 4x = 5 e π

: 6x + 2y + 2x = 3 são transversais. E assim a sua

intersecção, ou seja, o sistema

(

2x + 3y + 4x = 5

6x + 2y + 2x = 3

determina uma reta.

• Os planos π

: 2x + 3y + 4x = 5 e π

: 4x + 6y + 8x = 2 são par alelos e não coincidentes. E

assim a sua intersecção é o conjunto vazio.Ou seja, o sistema

(

2x + 3y + 4x = 5

6x + 2y + 2x = 3

não possui soluções.

• Os planos π

: 2x + 3y + 4x = 5 e π

: 4x + 6y + 8x = 10 são coincidentes. E assim a sua

intersecção é o plano π

= π

. Ou seja, o sistema

(

2x + 3y + 4x = 5

4x + 6y + 8x = 10

tem como solução um plano.

Exemplo 5.10 A reta r é dada como intersecção de dois planos

(

x + y + 2z = 0

x − z = 1

. (5.1)

Escreva as equações par amétricas para essa reta .

CAPÍTULO 5. POSIÇÕES RELATIVAS 100

⊳

Solução: Um modo de ob ter as equações paramétricas da reta é escolher uma das variáveis é faze-la

igual ao par âmetro t. Assim por exemplo, fazendo z = t. A equação x−z = 1, nos diz que x = 1+t.

Substituindo esse valores na equação x + y + 2z = 0, temos y = −1 − t. E assim obtemos que as

equações paramétric as da reta são:











x = 1 + t

y = −1 − 3t

z = t

Outro mo do de obter a eq uação vetorial é encontrando dois pontos que satisfaz em a equação.

Assim por exemplo tomando z = 0, o sistema de equações

5.1 ﬁca

(

x + y = 0

x = 1

Cuja solução é o ponto (1, −1, 0), que pertence a reta determinada pela intersecção dos dois planos.

Similarmente tomando z = −1, temos que o ponto (0, 2, −1) pertence a reta.

De posse dos pontos podemos escrever a equação vetorial dos planos:











x = 1 + t

y = −1 − 3t

z = t



Exercícios

Ex. 5.1 — Mostre que os planos bx −ay = n, cy −bz = 1 e az −cx = m se inte rceptam numa reta

se e somente se al + bm + cn = 0.

Ex. 5.2 — Mostre que a reta:

(

5x − 3y + 2z − 5 = 0

2x − y − z − 1 = 0

está contida no plano 4x + 3y + 7z − 7.

Ex. 5.3 — Determine os valores de a e b de modo que os planos x + 2y + z = b e 3x −5y + 3z = 1

e 2x + 7y + az = 8 se interceptem:

CAPÍTULO 5. POSIÇÕES RELATIVAS 101

a) um ponto

b) uma reta

c) três retas distintas e paralelas

Ângulos e Distância

6.1 Ângulos

No capítulo anterior nos concentramo s no estudo da posição relativa entre dois objetos no espaço.

Tal estudo nos permitiu determi nar se dois objetos são ou não par alelos, e neste capítulo vamos

aprofundar um pouco mais o estudo de posição relativa, deﬁnindo e estudando uma “medida de

posição relativa” entre estes, o que denominaremos por medida angular o u ângulo entre dois objetos

no espaço.

Ângulo entre duas Retas

O ângulo entre duas retas é deﬁnido como o ângulo entre seus vetores di retores.

Fig. 6.1 : Ângulo entre as retas r e s.

Assim se r : A + vt e s : B + ut então o ângulo θ entre r e s será dado por

cos θ =

u · v

kukkvk

, (6.1)

e consequente mente

θ = arccos



u · v

kukkvk



102

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 103

Lembramos que a função arccos(x), retorna um ângulo x tal que 0 ≤ x < π. Como cos(x) =

cos(−x), o ângulo que obtemos acima é não orientado, ou seja obtemos apenas o valor absoluto

do ângulo. Em outras palavras, nesta deﬁnição, o ângulo entre a reta r e a reta s é o mesmo que o

ângulo entre a reta s e a reta r.

Observamo s també m que entre duas retas não paralelas sempre existem dois ângulos possíveis,

e o ângulo q ue encontra mos não é necessariamente o menor deles, ou seja, o ângulo agudo. Em

algumas situações é desej ável conhecermo s o ângulo agudo entre as retas r e a reta s. Para isto,

observe que se u · v ≥ 0 então

u · v

kukkvk

≥ 0. Portanto

arccos

u · v

kukkvk

≤

e o objet ivo foi alcançado.

Caso contrário, se u · v < 0, temos que

< arccos

u · v

kukkvk

< π,

e estamos interessados portanto no ângulo suplementar π − θ.

Mas note que cos(π −θ) = −cos(θ), e portanto, substituindo em (

6.1) obtemos q ue se u·v < 0,

então

cos(π − θ) = −

u · v

kukkvk

|u · v|

kukkvk

(6.2)

Desta forma se, denota rmos por α o ângulo agudo entre as retas r e s temos que

cos α =

|u · v|

kukkvk

com 0 ≤ α ≤ π.

Exemplo 6.1 Encontre o ângulo entre as reta r : X = (1, 2, 1) + (1, 1, 0)t e s :

x − 2

y + 3

z + 7

√

⊳

Solução: A reta r tem vetor diretor (1, 1, 0) e a reta s tem vetor direto (1/2, 1/2, 1/

√

2). E assim

cos θ =

(1, 1, 0)(1/2, 1/2,

√

k(1, 1, 0)kk(

/2,

√

2)k

√

e logo θ =

. 

É impo rtante observar que para medir o ângulo entre duas retas não é necessário que estas se

interceptem, já que a nossa deﬁnição de ângulos entre retas é, na verdade, o ângulo entre o s vetores

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 104

diretores das retas. Observamos também que o ângulo entre duas retas paralelas (co incidentes ou

não) é sempre 0.

Também neste sentido, duas retas são ditas ortogonais se seus vetores diretores são perpendi-

culares. E duas retas são ditas perpendiculares se elas se interceptam e são ortogonais.

Fig. 6.2: As retas AB e F G são ortogonais mas não perpendiculares.

Exemplo 6.2 Veriﬁque se as retas r : (1, 2, 1) + (1, 1, 0)t e s : (1, 3, 4) + (1, −1, 3)t são ort ogonais e/ou se são

perpendiculares.

⊳

Solução: Co mo (1, 1, 0) · (1, −1, 3) = 0 elas são ortogonais.

Para veriﬁcar se elas se interceptam , basta resolve mos o sistema linear:

(1, 2, 1) + (1, 1, 0)t

= (1, 3, 4) + (1, −1, 3)t

Como o sistema acima, não possui soluçõ es, as retas não se interceptam e assim elas não são per-

pendiculares.



No caso bidimensional, lançando mão da representação por equações lineares, podemos redeﬁnir

as fórmulas para o ângulo entre duas retas, e colocá-las em função da inclinação das retas estudadas.

Tome e ntão duas retas r : y = m

x + d e s : y = m

x + d e lembre-se que podemos expressar

seus vetores diretores respectivamente po r v = i + m

j e u = i + m

j. Assim obtemos que

cos θ =

u · v

kukkvk

1 + m

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 105

A expressão acima, assim como no caso tridimensional, nos permite calcular o ângulo θ não ori-

entado entre as retas. Esse ângulo e stá entre 0 e

/2 se 1 + m

é positivo, e entre

/2 e pi se

1 + m

é negativo. Se 1 + m

= 0 o ângulo é igual a

/2 e assim a s retas são perpendic ulares.

De mo do análogo, podemos encontr ar

sen θ =

− m

1 + m

ou equivalentemente

θ = arcsen

− m

1 + m

Neste caso, como 0 ≤

− m

1 + m

≤ 1, tem os que 0 ≤ θ ≤

/2.

Outro modo de determinar o ângulo entre duas retas no plano é lembr ando que o coeﬁciente

angular é a tangente do ângulo orientado (no sentido anti-horário) entre a reta é a parte positiva do

eixo x. Assim dadas duas reta s de coeﬁciente angulares m

= tg φ

e m

= tg φ

. Pe la ﬁgura

6.3

temos que θ = φ

− φ

e logo:

tg θ = tg(φ

− φ

) =

tg φ

−tg φ

1 + tg φ

tg φ

− m

1 + m

Fig. 6.3

Uma vantagem da expressão

θ = arctg

− m

1 + m

é que o ângulo determina do por esta é o ângulo orientado e ntre a s retas r

e r

Dadas duas retas de coeﬁcientes angulares m

, m

, então o ângulo entre elas é dado por:

cos θ =

1 + m

sen θ =

− m

1 + m

tg θ =

− m

1 + m

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 106

Exemplo 6.3 Ache o ângulo e ntre as retas 2x − y = 3 e x + 3y = 4.

⊳

Solução: N este caso temos que:

tg θ =

−

− 2

1 +



−



= −7

E assim θ = arctg(−7) ≈ −81.8699

◦

0 1 2 3



Exemplo 6.4 Ache duas retas que passe pelo ponto (2, 2) e que faça um angulo de 45

◦

com a reta 2x − 3y = 4

⊳

Solução: Inicialm ente vamos encontrar o coeﬁciente angular dessas retas. Para isso, observamos

que:

tg 45

◦

= 1 =

− m

1 +

E dessa forma 1 +

m =

− m e logo

m = −

e assim m = −

. Logo a equação da reta é

y − 2 = −

(x − 2)

No caso

tg 45

◦

= 1 =

m −

1 +

E dessa forma m = 5. Logo a eq uação da reta é y − 2 = 5(x − 2) 

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 107

Exercícios

Ex. 6.1 — Ache o ângulo agudo entre as reta s 3x − 4y + 2 = 0 e 2x + 3y = 7

Ex. 6.2 — Qual o ângulo entre o eixo x e 5x + 12 = 3?

Ex. 6.3 — Ache duas retas passando por (1, −1) que fa z um ângulo de 45

com 3x − 4y = 7.

Ex. 6.4 — Ache os três ângulos de um triângulo cujos vértices são (2, 1) , (−1, 2) , (3, −2). Veja se

eles somam 180

Ex. 6.5 — Seja α um dos ângulos formados pelas retas ax + by = c e y = px + q. Dê uma expressão

para |cos α|.

Ex. 6.6 — Escreva a equaç ão da reta que passa pela origem e faz um angulo de 45 com a reta

√

= 1.

Ex. 6.7 — Mostrar que os quatro pontos (2, 2), (5, 6), (9, 9) e (6, 5) são os vértices de um losango e

que suas diagonais se cortam mutuamente ao meio e uma é perpendicular a outra.

Ex. 6.8 — O segmento retilíneo que une os pontos mé dios de doi s lados opostos de qualquer qua-

drilátero e o segmento retilíneo que une os pontos médios das diagonais do quadrilátero cortam se

mutualmente ao mei o.

Ex. 6.9 — Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (1, −2, 1) e é perpen-

dicular as retas r : (1, −3, 0) + (1, 2, 1)t e s : (−2, 1, 0) + (1, −1, 1)t.

Ex. 6.10 — Determine as equações paramétricas da reta perpendicular as retas:

x = 3t − 7, y = −2t + 4, z = 3t + 4

x = t + 1, y = 2t − 9, z = −t − 12

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 108

Ângulo entre uma Reta e um Plano

O ângulo θ entre uma reta r e um plano π é deﬁnido como o ângulo complementa r ao ângulo agudo

entre o vetor diretor a essa reta e o vetor normal ao plano (ver ﬁgura 6.4).

Se v é um vetor diretor da reta r e n é um vetor normal ao plano π então

sen(θ) = sen



− α



= cos(α)

e logo

sen(θ) =

|v · n|

kvkknk

Fig. 6.4: Ângulo θ entre uma reta e um plano.

Dizemos que um plano π com vetor normal n e uma reta r com vetor diretor v, são o rtogonais

se o ângulo entre eles é

, ou equivalenteme nte se os vetores v e n são paralelos.

Exemplo 6.5 Determine o ângulo entre a reta X = (6, 7, 0) + (1, 1, 0)t e o plano de equação vetorial X =

(8, −4, 2) + (−1, 0, 2)t + (1, −2, 0)s.

⊳

Solução: Vamos encontrar inicialmente um vetor normal a esse plano:

n = (−1, 0, 2) × (1, −2, 0) = (4, 2, 2)

Logo o angulo entre a reta é o plano é dado por:

sen(θ) =

(1, 1, 0) · (4, 2, 2)

√

e assim θ =



Exemplo 6.6 Determine a equação geral do plano q ue passa pelo ponto (1, 2, 1) e que é perpendicular a reta

X = (1, 0, 0) + (1, 3, −1)t

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 109

⊳

Solução: O vetor normal ao plano pode ser escolhido como (1, 3, −1 e assim a equação geral desse

plano é: x + 3y −z = d. Como o ponto (1, 2, 1) pertence ao plano, ele satisfaz a eq uação do plano,

i.e, 1 + 3 · 2 − 1 = d. Logo d = 6 e a equação geral do plano é x + 3y −z = 6. 

Ângulo entre dois Planos

O ângulo entre dois planos π

e π

é deﬁnido como o ângulo agudo entre os vetores normais n

cos(θ) =

· n

kkn

Fig. 6.5

Dois planos π

e π

com vetores normais n

e n

respectivamente, são ditos ortogonais se o

ângulo entre eles é

, o que implica que seus vetores diretores são perpendiculares, i.e,

· n

= 0

Exemplo 6.7 Determine a equação do plano que contém o ponto (1, 0, 1) e que é perpendic ular aos planos 2x +

y + z = 2 e −x + z = 7.

⊳

Solução: O vetor n normal ao plano, será ortogonal aos vetores (2, 1, 1) e (−1, 0, 1). E assim

n = (2, 1, 1) × (−1, 0, 1) = (1, −3, 1)

Logo a equação geral do plano é da forma x −3y + z = d. Co mo o ponto (1, 0, 1) pert ence a o plano:

d = 1 + 3 · 0 + 1 = 2

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 110

E a equação geral é x − 3y + z = 2. 

Exercícios

Ex. 6.11 — Ache os ângulos entre os planos:

a) 3x − y + z = 2 e x − y = 6

b) x + 2y − 3z = 8 e 2x + 4y − 6z + 31 = 0

c) x = 0 e y = 0

d) x = 1 e x + y = 1

Ex. 6.12 — Escreva a equação vetorial do plano que passa pelo ponto P e é perpe ndi c ular as planos:

+ D1 = 0 rn

+ D1 = 0.

Escreva também a equação ger al desse plano dado que:

P : (x

, y

, z

) n

= (a

, b

, c

) n

= (a

, b

, c

)

Ex. 6.13 — Ache a equaçã o do plano perpendicular ao plano xz, que contem o ponto (1, 2, 3) e que

faz um ângulo de

com 3x + 2y + z = 1.

6.2 Distâncias

Passemos agora a um novo problema: deﬁnir e determinar a distância entre dois objeto s (ponto, reta

ou plano) no espaço.

Sabem os facilmente como determinar a distânci a entre doi s pontos no espaço. Bastando para

isso medir o tamanho do vetor determinado por estes pontos. Mas como medir a distância entres

outros doi s objetos? Este será nosso objetivo nesta seção.

Distância de um ponto a uma reta

A distância e ntre um ponto P e uma reta r é deﬁnida como a distância entre P e ponto A ∈ r mais

próximo de P . Para determinar a distância de P a r, sejam A e B dois pontos de r e considere o

triângulo ABP .

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 111

A área do triangulo ABP pode ser calculada usando o produto vetorial e assim temos:

A =

−→

AP ×

−−→

ABk

Por outro lado usando que a área do triângulo é me tade da base vezes a altura temos:

A =

kABkh

e assim k

−→

AP ×

−−→

ABk = k

−−→

ABkh e logo

h = d(P, r) =

−→

AP ×

−−→

ABk

−−→

ABk

Exemplo 6.8 Calcule a distância do ponto P = (1, 0, 2) a reta r : (1, 0, 1) + (2, 0, 1)t.

⊳

Solução: Escolhemos A = (1, 0, 1) e B = (3, 0, 2). E assim

−→

AP = (0, 0, 1) e

−−→

AB = (2, 0, 1)

d(P , r) =

k(0, 0, 1) × (2, 0, 1)k

k(2, 0, 1)k

√



Distância de um ponto a uma reta no plano: o caso bidimensional

Assim como nas seç ões anteriores, o caso bidimensional pode ser estudado separa damente. Que-

remos então utilizar as expressões de terminadas anteriormente para encontrar uma maneira de

expressar a distância do ponto P = (p, q) a reta Ax + By + C = 0.

Começ aremos tratando o caso onde a reta é paralela ao eixo x (A = 0). Neste caso, a reta terá

equação y = −

e a distância será dada pela diferença entre a coordenada y do ponto e da reta, ou

seja, d(P, r) = |q +

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 112

Se a reta r não é parale la ao eixo y, então ela intercepta o eixo x no ponto (−

, 0) e seu vetor

diretor pode ser escolhido como v = Bi − Aj (por quê?).

Desta forma, a equação vetorial da reta é r : (−

, 0) + (B, −A)t. Escolhendo A = (

, 0) e

B = A + v, temo s que

−→

AP = (p +

, q), e temos

d(P , r) =

−→

AP × vk

kvk

onde o vetor

−→

AP × v pode ser calculado através do seguinte determina nte formal



i j k

B −A 0

p +

q 0



e assim

−→

AP × v = (Bq + Ar + C) k.

Segue então que k

−→

AP × vk = |Ar + Bs + C| e assim

d(P , r) =

|Ap + Bq + C|

√

+ B

Observe que fazendo A = 0 na expressão acima, recuperamos a expressão encontrada para retas

paralelas ao eixo x, e portanto esta fórmula pode ser usada em qualquer caso.

Exemplo 6.9 Calcule a distância do ponto (1, 3) a reta 4x − 2y − 3 = 0.

⊳

Solução:

d =

|4 · 1 − 2 · 3 − 3|

√

16 + 4

√



Exemplo 6.10 Existem duas pontos cuja coordenadas x são iguais a −3 e que distam 6 da reta r : 5x−12y −3 = 0.

Ache as coo rdenadas y desse ponto.

⊳

Solução: Ambos os pontos podem ser representados como (3, s). Para esses pontos temos que:

d =

|5(−3) − 12s − 3|

= 6

e logo |18 + 12s| = 78 e logo s = 5 ou s = −8. E os pontos são (−3, 5) e (−3, −8) 

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 113

Exercícios

Ex. 6.1 — Ache as distâncias entre os pontos e as retas dadas:

a) (−3, 4) a 5x − 2y = 3.

b) (−2, 5) a 7x + 3 = 0.

c) (−3, 4) a 4y + 5 = 0.

d) Or igem a 3x − 2y + 6 = 0.

Ex. 6.2 — Determine a distância δ entre o ponto A = (3, 1) e a reta x + 2y = 3.Pelo seguinte

método: primeiro ache o ponto B sobre essa reta tal que d (A, B) = δ. Escreva a e quação da reta

de forma paramétrica r = r

+ vt e calcule o produto interno do s vetores

−−→

AB e v. Conclua.

Ex. 6.3 — Ache o comprimento das a lturas de um triângulo com vértices (a, 0) , ( b, 0) , (0, c).

Ex. 6.4 — Ache a distância entre as duas retas para lelas: 3x + 2y = 6 e 6x + 4y = 9. (Porque essas

retas são paralelas?)

Ex. 6.5 — Prove que a distância entre duas retas paralelas cujas equações são Ax + By + C = 0 e

Ax + By + C

′

= 0 é:

|C − C

′

√

+ B

Ex. 6.6 — Ache os pontos da reta y = 2x + 1que estão situados a distância 2 da origem.

Ex. 6.7 — Quais são as retas pa ralelas a reta 3x − 4y = 1 que estão a distância 5 desta ?

Distância de um ponto a um plano

A distânci a entre um ponto e um plano é deﬁnida de maneira análoga ao caso ponto-reta. Considere

então um plano π com vetor normal n, e P um ponto qualquer. Para calcularmos a distância de P

a π, tome A um ponto qualquer de π e considere o vetor

−→

AP . A di stância de P a π será dada então

pela norma da projeção de

−→

AP sobre n, ou seja,

d(P , π) = kProj

−→

AP k =



−→

AP · n



knk

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 114

d(P, π)

Se na expressão anterior tomarmos P : (x

, y

, z

), A : (a

, a

) e supormos que o plano π

tem equação geral ax + by + cz = d, teremos que o vetor normal a este plano é n = (a, b, c), e

portanto

d(P , π) =

|a(x

− x

) + b (y

−y

) + c(y

− y

√

+ b

+ c

(6.3)

|ax

+ by

+ cy

− (ax

+ by

+ cy

√

+ b

+ c

(6.4)

Como o p onto A pertence ao plano, tem os q ue ax

+ by

+ cy

= d e assim

d(P , π) =

|ax

+ by

+ cy

− d|

√

+ b

+ c

(6.5)

Observe que, como seria de se esperar, a distância não depende do ponto A escolhi do.

Exercícios

Ex. 6.8 — Determine a distância entre os planos dados e a origem:

a) x = 5

b) x + y = 1

c) 2x + y − z = 0

d) 2x + y + z = 2

Ex. 6.9 — Se a distância da origem a um plano é d, e esse plano intercepta os eixos em (a, 0, 0),

(0, b, 0) e (0, 0, c) prove que:

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 115

Distância entre Duas Retas

Seguindo as ideia s utiliz adas nos casos anteriores, a distânci a entre duas retas r e s será deﬁnida

como a menor distância entre um ponto r e um ponto de s.

Sejam então r, s duas retas no espaço tais que r : A + ut e s : B + vt.

Se as retas forem coincidente s ou concorrentes, claramente a distância entre elas é nula. Se as

retas forem paralelas e não coincidentes a distância entre elas é igual a distância de um ponto P

qualquer de r a s, e assim essa distância pode ser calculada usando os conhecimentos obtidos na

seção anteri or.

d(r, s)

Se as retas r e s forem reversas c omeçam os escolhendo um ponto P sobre r e um ponto Q sobre

s. Projetam os então o vetor

−−→

P Q sobre o vetor n = u × v que é ortogonal as retas r e s. A norma

dessa projeção é a distância entre as retas.

−−→

P Q

Fig. 6.6 : Distância entre retas reversas.

Como

Proj

−−→

P Q =

−−→

P Q · n

knk

e assim:

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 116

d(r, s) =



−−→

P Q · n



knk

(6.6)

d(r, s) =



−−→

P Q · n



ku × vk

(6.7)

Exercícios

Ex. 6.10 — Determinar as equação da reta que passa pelo p onto (3, 1) e tal que a distância desta

reta ao ponto (−1, 1) é igual a 2

√

2. (Duas soluções)

Ex. 6.11 — Determinar a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de m aneira que

sua distância a reta 4x − 3y + 12 = 0 é sempre igual a duas vezes a distância ao eixo x.

Ex. 6.12 — O ângulo de inclinação de c ada uma de duas retas paralelas é α. Se uma reta passa pelo

ponto (a, b) e a outra pelo ponto (c, d), mostra r que a distância entre elas é

|(c − a) sen α − (d − b) cos α|

Ex. 6.13 — Ache as equações dos planos paralelos ao plano 3x − 2y + 6z + 8 = 0 e que distam 2

desse plano.

Ex. 6.14 — Ache a distância entre os planos paralelos

a) 4x + 8y + z = 9 e 4x − 8y + z + 18 = 0

b) 3x − 2y + 6z + 8 = 0 e 6x − 4y + 12z + 12 = 0

Ex. 6.15 — Ache a equação da reta que passa pelo ponto (2, 1, 5) e que intercepta a reta

x − 1

y + 2

z − 3

perpendicularmente.

(−2, 1) é sempre igual a três vezes a distância a reta y + 4 = 0.

Ex. 6.16 — Determinar a distância do ponto a reta:

a) ponto (7, 7, 4) à reta 6x + 2y + z − 4 = 0 e 6x − y − 2z − 10 = 0

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 117

b) ponto (−1, 2, 3) à reta

x − 7

y + 3

−2

Ex. 6.17 — Ache os pontos sobre o eixo y que distam 4 do plano x + 2y − 2z = 0

Ex. 6.18 — Determinar a distância d do plano 3x −12y + 4z −3 = 0 ao ponto A = (3, −1, 2) pelo

seguinte processo: Encontrar o ponto B , pé da perpendicular desde A at é o plano. Então determinar

d como o c omprimento do segmento AB.

Ex. 6.19 — Determine a distância do ponto (2, 2, 2) a reta

x = 2t + 1

y = 3t + 2

z = 5t + 1

Ex. 6.20 — Determine a distância entre as retas r que tem equação pa ramétricas:

x = 2t + 1

y = 3t + 2

z = 5t + 1

e a reta s que tem equação paramétrica:

′

= 4s + 1

′

= 2s + 2

′

= 1s + 5

6.3 Retas em Coordenadas Pol a res

eixo x

eixo y

P : (x, y)

Fig. 6.7

Se sobrepormos um sistemas de coo rdenadas polares a um sis-

tema de coordenadas cartesianas de modo que o polo e a origem

coincida e a direção principal OA, sobreponha-se a parte p osi-

tiva do eixo x (veja ﬁgura

6.7), podemos ver que a relação entre

as coordenadas para o mesmo ponto é dada por:

(

x = r cos θ

y = r sen θ

(6.8)

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 118

sendo

r =

+ y

θ = arctg

= arcsen

+ y

= arccos

+ y

Substituindo as relações da da por

6.8, na equação geral de uma reta s : Ax + By = C, temo s

que esta p ode ser expressa em coordenadas polares como:

r (A cos θ + B sen θ) = C (6.9)

ou equivalentemente:

= (A cos θ + B sen θ) (6.10)

Exemplo 6.11 A eq uação da reta 3x + 2y = 7 em co ordenadas polares é :

r(3 cos θ + 2 sen θ) = 7

⊳

√

+ B

Sem perda de generalidade, podemos assumir que C é posi-

tivo (Mudando os sinais de amb os os lados se necessário).

Se construirmo s, no quadrante apropriado, um triângulo

retângulo de lados A e B, a hipotenusa desse triângulo será

√

+ B

, logo:

√

+ B

= sen α,

√

+ B

= cos α

Se dividirmos ambos os lados da equação

6.9 por

√

+ B

ﬁcamos com:



√

+ B

cos θ +

√

+ B

sen θ



√

+ B

(r, θ)

e consequente mente

r (cos α cos θ + sen α cos θ) = h

sendo

h =

√

+ B

e desse modo a equação da reta em c oordenadas polares

pode ser escrita como:

r cos (θ − α) = h

A equação a nterior é conhecida como equação padrão da reta em coordenadas pola res.

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 119

O signiﬁcado geomét rico de h é a distância da reta a origem enquanto α é o â ngulo entre o eixo

polar e a reta passando p ela origem e pelo ponto que realiza a distância mini ma entre a origem e a

reta s. Podemo s ver esse fato revertendo o problema, isto é, seja s uma reta ta l que a distância de ssa

reta à origem O é h. Se tomarmos um ponto de coordenadas (r, θ) sobre essa reta de vetor posição

r. Então o triângulo delimitado por h, r e a reta s forma um t riangulo retângulo com hipotenusa r.

Em relação ao ângulo θ − α o lado adjac ente é h e assim

cos(θ − α) =

e logo

r cos(θ − α) = h

Exemplo 6.12 Ache o tamanho e a direção do segmento que liga a perpendicularmente ori gem a reta abaixo.

= 8 cos θ + 6 sen θ

⊳

Solução: Co meçaremos colocando a equação

= 8 cos θ + 6 sen θ

na forma padrão:

r cos(θ − α) = h

que expandindo ﬁca:

cos α cos θ +

sen α s en θ

Igualando os temo s temos:

cos α = 8 (6.11)

sen α = 6 (6.12)

Elevando as equações

6.11 e 6.12 ao quadrado e somando temos:

= 100

e consequente mente h =

Dividindo a equação

6.12 p ela equação 6.11 temos:

tg α =

Consequentemente, temos que a distância é

e a inclinação da reta é arctg







CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 120

Exercícios

Ex. 6.1 — Ache a distância da reta

= cos θ +

√

3 sen θ

a origem.

Ex. 6.2 — Ache o tamanho e a direção do segmento que liga a perpendicularmente origem a reta

abaixo.

= 4 cos θ + 3 sen θ

Ex. 6.3 — Identiﬁque e desenhe as seguintes retas, c olocando as na forma padrão. Conﬁra suas

respostas usando co ordenadas cartesianas

a) r cos θ = 3

b) r sen θ = 3

c) r(5 cos θ + sen θ) = 3

√

d) 5(5 cos θ − 12 sen θ) = 39

Ex. 6.4 — Mostre que se uma reta é paralela ao eixo x e di sta h da origem, então sua equação é dada

por r sen θ = h

Ex. 6.5 — Mostre que se uma reta é paralela ao eixo y e dista h da origem, então sua equação é dada

por r cos θ = h ou por r cos θ = −h , dependendo se a reta se encontra a e squerda ou a direita do

eixo y.

Ex. 6.6 — Mostre que a equação da reta ligando os pontos de coordenadas polares (r

, θ

) (r

, θ

)

é dada por:

sen(θ

− θ

)

sen(θ − θ

)

sen(θ

− θ

Ex. 6.7 — Dada a equação

= f(θ) com

f(θ) = a cos(θ + α) + b cos(θ + β)

a) Mostre que esta equação representa uma linha reta.

CAPÍTULO 6. ÂNGULOS E DISTÂNCIA 121

b) Conclua que

= f(θ +

/2) também representa uma linha reta. E que essa reta é perpen-

dicular a reta de equação

= f(θ).

c) Mostre ﬁnalmente que todas as retas perpendiculares a

= f (θ) são da forma

f(θ +

/2) para algum C

Círculos e Esferas

7.1 Equações Canônicas de Círculos e Esferas

Fig. 7.1: Círculo de centro A e

raio r.

Um círculo é o conjunto de pontos no plano que estão a uma certa

distância r de um ponto dado (a, b).

Desta forma temos que um p onto (x, y) pe rtence ao cí rculo de

centro (a, b) e rai o r se e somente se satisfaz a equação:

(x − a)

+ (y − b)

= r

ou equivalentemente:

(x − a)

+ (y − b)

= r

De mo do análogo, a equação reduzida de uma esfera de c entro (a, b, c) e raio r é

(x − a)

+ (y − b)

+ (z − c)

= r

Fig. 7.2: Esfera de Centro C e raio r.

122

CAPÍTULO 7. CÍRCULOS E ESF ERAS 123

Exemplo 7.1 Determine a equação do círculo de centro (−3, 1) que é tangente a reta 3x − 4y − 2 = 0

⊳

Solução: Já conhecemos o centro e precisamos determinar o raio. Nesse caso o raio é a distância

entre a reta e o ponto, já que a tangente a um círculo é p erpendicular ao raio que liga o centro ao

ponto de t angência. Logo:

r =

|3(−3) − 4 · 1 − 2|

√

+ 4

= 3

e assim a equação do círculo é:

(x + 3)

+ (y − 1)

= 9 ou x

+ y

+ 6x − 2y + 1 = 0



Exemplo 7.2 Determine a equação da esfera cujo diâmetro é o segmento que liga (3, −1, 2) a (5, 3, 4) .

⊳

Solução: Nesse caso aparentemente não conhecemos nem o centro nem o raio. Mas temos que o

centro é o ponto médio do segmento e que o raio é metade do diâmetro. Logo:

r =

(5 − 3)

+ (3 + 1)

+ (4 − 2)

√

O ponto médio é (4, 1, 3) e logo a equação da esfera é:

(x − 4)

+ (y − 1)

+ (z − 3)

= 6



Exemplo 7.3 Identiﬁq ue a curva c uja equação é:

+ y

− 6x − 4y − 12 = 0

⊳

Solução: Identiﬁcaremos a curva completando quadrados. O termo x

− 6x po de ser convertido

num quadrado, se soma rmos 9 e y

− 4y pode ser convertido num quadrado somando 4. Desta

forma, somaremos 4 + 9 em cada lado da equação x

+ y

− 6x − 4y − 12 = 0. Logo temos:

+ y

− 6x − 4y − 12 = 0 (7.1)

⇒ (x

− 6x + 9) + (y

− 4y + 4) = 12 + 4 + 9 (7.2)

⇒ (x − 3)

+ (y − 2)

= 5

(7.3)

CAPÍTULO 7. CÍRCULOS E ESF ERAS 124

Logo a curva é um círculo de raio 5 e centro (3, 2). 

Podemos generalizar o exemplo anterio r:

Exemplo 7.4 Identiﬁq ue a curva c uja equação é:

+ y

+ Ax + By + C = 0

⊳

Solução: Co mo no exem plo anterior, identiﬁcaremos a curva co mpletando quadrados. O termo

+ Ax pode ser convertido num quadr ado, se somarmos

e y

+ By pode ser convertido num

quadrado somando

. Desta forma, somaremos

em cada lado da equação:

+ y

+ Ax + By + C = 0 (7.4)

⇒



+ Ax +





+ By +



− C (7.5)

⇒



x +





y +



− C (7.6)

Observamo s que para a equação anterior ser a equação de um circulo, r

−C, e assim

temos que ter

− C > 0.

No caso em que

− C < 0, o lugar geométrico descrito pela equação

7.6 é vazio, pois

a equação não pode ser satisfeita pois a soma de quadrados é necessariame nte negativa.

No caso em que

− C = 0, o lugar geométrico descrito pela equação

7.6 é o po nto



−

, −



, po is se a soma de quadrados perfeitos é 0 cada termo da soma é zero. 

De mo do análogo, podemos dem onstrar que a equação

+ y

+ z

+ Ax + By + Cz + D = 0

descreve uma esfera se

−D > 0, um ponto se

−D = 0 e o conjunto

vazio se

−D < 0.

Exemplo 7.5 A superfície cuja equação é:

12 − 2x + x

+ 4y + y

+ 8z + z

= 0

é uma esfera. Encontre seu centro e raio.

CAPÍTULO 7. CÍRCULOS E ESF ERAS 125

⊳

Solução: Co mpletando os quadrados temos

− 2x + 1) + (y

+ 4y + 4) + (z

+ 8z + 16) − 1 − 4 − 16 + 12 = 0.

Daí segue que:

(x − 1)

+ (y + 2)

+ (z + 4)

= 9

E logo o centro dessa esfera é (1, −2, −4) e o raio é 3. 

Círculo por três pontos

É conhecido q ue três pontos não coli ne ares determinam um único círculo. Assim sendo, ﬁxados

, P

e P

não colineares podemos fac ilmente encontrar a equação do círculo que pa ssa por tais

pontos. Tal equação pode ser encontrada observando que a equação geral de um círculo é da forma

+ y

+ Ax + By + C = 0

e que um p onto pertence ao círculo se e somente se suas co ordenadas satisfazem tal eq uação. A

substituição de cada ponto resulta assim numa equa ç ão linear nas variáveis A, B, C e assim o fato

dos três pontos p ertencerem ao círculo nos fornecem um sistema linear em t rês equações e três

variáveis A, B, C. Resolvendo tal sistema encontramos, então, a equação do círculo.

Exemplo 7.6 Determine a equação do círculo que passa pelos pontos (−1, 2), (0, 1) e (−3, 2).

⊳

Solução: Substituindo os pontos na equação

temos o sistema:











5 − A + 2B + C = 0

1 + B + C = 0

13 − 3A + 2B + C

cujas solução é A = 4, B = 0, C = −1. E logo a equação é

+ y

+ 4x − 1 = 0.

Completando quadrado obtemos, então:

+ 4x + 4) + y

−4 − 1 = 0.

CAPÍTULO 7. CÍRCULOS E ESF ERAS 126

Donde segue:

(x + 2)

+ y

= 5.

Desse modo vemos que o círculo que passa por tais pontos tem c entro (−2, 0) e raio

√

5. 

É possível encontrar a equação de um círculo por tr ês pontos não colineares de uma outra ma-

neira. Para esse ﬁm consideramos o triângulo determinado pelos pontos P

, P

e esse circuns-

crito na ci rcunferência . Assim o seu centro é o circuncentro desse triângulo, isto é, o encontro das

mediatrizes.

Centro

Exemplo 7.7 Determine a equação do círculo que passa pelos pontos (−1, 2), (0, 1) e (−3, 2).

⊳

Solução: A eq uação da reta passando pelos pontos (−1, 2), (0, 1) é y − 1 = −x, e como o ponto

médio desses pontos é: (−

) temos que a mediatriz relativa a esse lado é: y −

= x +

(lembrando que como a mediatriz é perpendicular ao lado seu coeﬁc iente angular é igual a menos

o inverso do coeﬁciente da reta).

De modo análogo a equação da reta passando pelos pontos (0, 1) e (−3, 2) é y = −

+ 1 e a

equação da mediatr iz é: 3x = −6 + y

temos o sistema:







3x = −6 + y

y −

= x +

cujas solução é x = −2, y = 0, o u seja o centro da c ircunferência é (−2, 0). O raio pode ser

calculado observando que este será a distância do centro (−2, 0) a um dos vértices do triângulo, por

exemplo (0, 1). Assim r

= 5, e logo a equação é:

(x + 2)

+ y

= 5.



CAPÍTULO 7. CÍRCULOS E ESF ERAS 127

Exemplo 7.8 Obtenha a equação da esfera que passa pelos pontos (0, 0, 1), (2, 0, 0), (1, 1, 1), (0, 1, 0)

⊳

Solução: Impondo que os pontos pertençam a esfera temos o seguinte sistema linear:

1 + C + D = 0

4 + 2A + D = 0

3 + A + B + C + D = 0

1 + B + D = 0

cuja solução é A = −

, B = −

, C = −

, D = −

e assim a equação da e sfera é:

+ y

+ z

−

= 0

Completando quadrado obtemos:

−





−





−





−





−





−





−

= 0.

Donde segue:



−





−





−





Exercícios

Ex. 7.1 — Determine a equação dos seguintes círculos:

a) Centro (−2, 5) e raio r = 3.

b) Centro (1, 3) e raio r = 2

c) Centro a origem e raio r = a

d) Centro (5, 2) e passando pelo ponto (2, 3)

e) Tangente ao eixo y na origem e raio a

f) D iâmetro (5, 2) a (−2, 10)

g) Centro (3, −2) tangente a 2x − y = 0

CAPÍTULO 7. CÍRCULOS E ESF ERAS 128

h) Tangente a 2x − 5y + 1 = 0 no ponto (2, 1) e raio 3 (duas respostas)

Ex. 7.2 — Identiﬁque, dando o centro e o raio.

a) x

+ y

− 4x + 6y = 12

b) x

+ y

− 2x − 4y + 5

c) x

+ y

= 2ax

d) 4x

− 4x = 5y − 4y

e) x

+ y

+ z

= 2az

Ex. 7.3 — Encontre a equação do círculo q ue passa pelos pontos (4, 0) , (0, 3) e a origem.

Ex. 7.4 — Encontre a equação dos seguintes círculos

a) Tangente aos eixos coordenados coordenados no segundo quadrante e com raio r = 4.

b) Tangente ao ei xo x, ao eixo y e a linha que intercepta o eixo x e o eixo y em 3 e 2 respecti-

vamente.

Ex. 7.5 — Ve riﬁque que as equações abaixo descrevem esfera s, em caso aﬁrmativo identiﬁque o

centro e o raio:

a) x

+ y

+ z

−2x − 4y + 10 = 0

b) x

− 6x + y

− 4y + z

+ 14z + 58

c) x

+ y

− 6y + z

+ 4z + 16

d) x

+ 2x + y

+ 4y − z

+ 6z − 29

Ex. 7.6 — Dados P

= (x

, y

, z

) e P

= (x

, y

, z

) então a equação da esfera que tem P

como diâme tro é

(x − x

) (x − x

) + (y − y

) (y − y

) + (z − z

) (z − z

) = 0

7.2 Retas Tangentes e Planos Tangentes

Uma reta é dita t angente a um círculo se a inter secção entre essa reta e o círculo for somente um

ponto. Para uma reta tangente o seu vetor diretor é perpendicular ao vetor ligando o raio ao ponto

de intersecção. Além disso a distância do centro do círculo a reta tangente é igual ao raio do círculo.

CAPÍTULO 7. CÍRCULOS E ESF ERAS 129

Fig. 7.3 : Reta tangente a um círculo

De modo análogo, dizemos que um plano é tangente a uma esfera se esse plano interceptar a

esfera num único ponto. Nesse caso o vetor normal ao plano é paralelo ao vetor radial ligando o

centro da esfera ao ponto o nde o plano intercepta a esfera. E a distância do plano tangente ao centro

da esfera é igual ao raio da mesma.

Fig. 7.4 : P l a no tangente a uma esfera

Exemplo 7.9 Encontre a reta tangente ao círculo de equação x

+ y

− 2y − 4x = 0 no ponto (3, 3)

⊳

Solução: Completando quadrados podemos colocar a equação x

+ y

− 2y − 4x = 0 na forma

reduzida:

(x − 2)

+ (y − 1)

= 0

Logo o centro do círculo tem coordenadas (2, 1). Logo, o vetor ligando o centro do círculo ao ponto

(3, 3) é i + 2k e assim o coe ﬁ c iente angular da reta passando por estes pontos é igual a 2. Logo,

CAPÍTULO 7. CÍRCULOS E ESF ERAS 130

o coeﬁciente da reta tangente é −

(Por quê? Tente escrever a equação da reta tangente na forma

padrão obtendo antes equações paramétricas para a mesma.). E assim a equação da reta tangente é:

y − 3 = −

(x − 3)

x + 2y = 9.



(3, 3)

(2, 1)

Podemos generalizar o exemplo anterio r. Dado um círculo de equação

(x − a)

+ (y − b)

= r

Vamos calcular a equação da reta tangente no ponto (x

, y

Para tanto, consideraremos o vetor ligando o centro do círculo ao ponto de tangencia: (x

−

a)i + (y

−b)j. Consequenteme nte a inclinação da reta passando por esses pontos é:

− b

− a

Logo

o coeﬁc iente angular da reta tangente é −

− a

− b

. E assim a equação da reta tangente é da forma

(y − y

) = −

−a

− b

(x + x

)

e logo

(y − y

)(y

− b) = −(x

− a)(x − x

)

e assim expandindo:

− a)x + (y

− b)y = k

para alguma constante k. Somando (x

− a)(−a) + (y

− b)(−b) em ambos os lados da equação

obtemos:

− a)(x − a) + (y

− b)(y − b) = k

para alguma constante k

, que determinaremos agora. Se substituirmos x = x

e y = y

teremos

que

= (x

− a)

+ (y

− b)

= r

CAPÍTULO 7. CÍRCULOS E ESF ERAS 131

e assim a equação da reta tangente no ponto (x

, y

) é

− a)(x − a) + (y

− b)(y − b) = r

Exemplo 7.10 Obtenha as equações dos planos tangentes a esfera −3 −2x + x

+ 4y + y

+ 2z + z

= 0 que são

paralelos ao plano x − 2y + 2z = 3.

⊳

Solução: Co mpletando quadrados temos que a equação da esfera pode ser escrit a com o:

(x − 1)

+ (y + 2)

+ (z + 1)

= 9

Logo o centro dessa esfera é (1, −2, −1) e o raio é 3.

A equação geral de um plano paralelo a x −2y + 2z = 3 tem equação da forma: x−2y +2z = d

Como esse plano é tangente a esfera a distância do centro dessas esferas ao plano é igual ao raio

dessa esfera. E assim:

d(C, π) =

|1 − 2(−2) + 2(−1) − d|

= 3

e logo d = −6 ou d = 12 e assim as equações dos planos são x −2y + 2z = −6 e x −2y + 2z = 12.



Exercícios

Ex. 7.1 — Encontre a equação a reta tangente no ponto indicado:

a) x

+ y

= 25, (−3, 4)

b) x

+ y

= 2x − 4y, origem.

c) Encontre as retas tangentes ao circulo x

+ y

= 4x que pa ssam pelo ponto (3, 2).

d) Uma corda da circunferência x

+ y

= 25 se encontra sobre a reta cuja equação é x −7y +

25 = 0. Qual o com primento dessa corda?

Ex. 7.2 — Para um triângulo qualquer encontrar:

a) a equação da circunferência circunscrita a o triângulo

b) a equação da circunferência inscrita ao triângulo

c) a equação da circunferência que passa pelos pontos médios dos lados do triângulo.

CAPÍTULO 7. CÍRCULOS E ESF ERAS 132

Ex. 7.3 — As equações do s lados de um triângulo são 9x + 2y + 13 = 0, 3x + 8y − 47 = 0 e

x − y − 1 = 0. Encontrar a equação da circunferência circunscrita.

Ex. 7.4 — Mostrar que as tangentes de inclinação m à circunferência x

+ y

= r

são y = mx ±

√

1 + m

Ex. 7.5 — Qual a equaçã o da circûnferencia que passa pelo s pontos (1, 2) , (3, 4) e que tem centro

sobre o eixo y?

Ex. 7.6 — Fixado a, quais devem ser os dois valores de b para que a reta y = ax + b seja tangente

ao círculo de centro na origem e raio r?

Ex. 7.7 — Uma circunferência de raio 5 é tangente a reta 3x−4y−1 = 0 no ponto (3, 2). Determinar

sua equação (duas soluçõ es).

Ex. 7.8 — Mostrar analitica mente que qualquer reta que passa pelo p onto (−1, 5) não pode ser

tangente a circunferência x

+ y

+ 4x − 6y + 6 = 0. Interprete o resultado geometricamente.

Ex. 7.9 — Encontre a equa ç ão dos círculos que passam p elos seguintes conjuntos de pontos. Diga

qual o centro, o raio e desenhe.

a) (3, 4) , (−1, 2) , (−2, 4)

b) (4, 2) , (−2, 3) , (−1, 6)

c) (a, 0) , (b, 0) , (0, c)

Ex. 7.10 — Mostrar que o plano tangente à esfera x

+ y

+ z

= r

no ponto (a, b, c) tem equação

ax + by + cz = r

Ex. 7.11 — Encontre a equa ç ão da esfera que passa pe los pontos (0, 0, 1),(1, 0, 0) , (0, 1, 0) e cujo

centro esta no pla no x + y − z = 0

Ex. 7.12 — Encontre a esfera que tem centro na reta

r :

(

x = 2z − 3

y = z − 1

e passa pelos pontos (6, −1, 3) e (0, 7, 5)

CAPÍTULO 7. CÍRCULOS E ESF ERAS 133

Ex. 7.13 — Calcule a distância do ponto (2, 3, 4) à esfera x

+ 4x + y

− 2y + z

+ 4.

Ex. 7.14 — Determine a equação da esfera c ujo centro é (3, 2, −2) é que é tangente ao plano































−3







t +













Ex. 7.15 — Determine a equação da esfera cujo centro se encontra sobre o eixo X e que passa pelos

pontos (3, −4, 2) e (6, 2, −1) .

Ex. 7.16 — A equação de uma esfera é x

+ y

+ z

+ 6y − 4z + 9 = 0. Determinar a equaçã o da

esfera concêntrica que é tangente ao plano:



















−1



















s +







−1







Ex. 7.17 — Encontre os planos tangentes a esfera x

+ y

+ (z − 1)

= 1 que são paralelo s ao

plano 4x − y + 3z = 2

Ex. 7.18 — Encontre a equação dos planos que c ontem a reta r e são tangentes a esfera S:

r :

x + 6

= y + 3 = z + 1

e S : x

+ y

+ z

− 4x + 2y − 4z + 4 = 0.

7.3 Circunferência em coordenadas polares

Centrada na Origem O caso mais simples ocorre quando a circunferência está centrada na origem

nesse caso a circunferência é o conjunto de pontos que distam uma constante a da origem ou seja a

equação em coordenadas polares é

r = a.

É fácil de ver que essa equação coincide com a em equa ç ão em co ordenadas cartesianas. Observe

que, em coordenadas cartesianas, P = (x, y) pertence a tal círculo se e somente se: x = a cos θ e

CAPÍTULO 7. CÍRCULOS E ESF ERAS 134

y = a sen θ . Daí segue que:

+ y

= a

(cos

θ + sen

θ) = a

Passando pela Origem Dada uma circunferência de raio a e passando pela origem. As coordenadas

polares do centro dessa circunferência são (a, α).

(a, α)(a, α)

P : (r, θ)

Considere o triâ ngulo ∆OKP . Como

OK é diâmetro da circunferência c ircunscrita ao triângulo

vemos que ∆OKP é retângulo em P . Da deﬁnição de co sseno segue entã o:

r = 2a cos (θ − α) .

Forma Geral Dado uma circunferência de centro (c, α) e raio a, usando a lei dos cossenos temos

que:

= r

+ c

−2rc cos (θ − α)

que é a equação da c ircunferência na forma geral.

(c, α)

P : (r, θ)

CAPÍTULO 7. CÍRCULOS E ESF ERAS 135

Exercícios

Ex. 7.1 — Mostre que o centro do círculo de equação r = A cos θ + B sen θ é

√

+ B

, arctg

Ex. 7.2 — Mostre que a reta r sen θ = 4 é tangente ao círculo r = 8 cos θ

Ex. 7.3 — Mostre que a equação da tangente ao círculo

r = 2a cos θ

no ponto (r

, θ

) é:

r cos(θ − 2θ

) = 2a cos

Ex. 7.4 — Mostre que para todos os valores de a a reta

r cos(θ − α) = a + r

cos α

é tangente ao círculo

− 2rr

cos θ + r

− a

= 0

Cônicas

8.1 Introdução

As curvas c ônic as ou seções cônic as são as curvas obtidas pela intersecção de um cone com planos

que não contenham o vértice desse cone.

Existem essencialmente três tipos de cônicas que podem ser obtidas a partir de um cone cuja

reta geratriz faz ângulo α com o eixo desse cone:

• parábola: obtida pela intersecç ão do cone com um plano que forma ângulo α com o eixo do

cone;

• elipse: obt ida pela intersecção do cone com um plano q ue forma um ângulo θ > α com o ei xo

do cone;

• hipérbole: obtida pela intersecção do cone com um plano que forma um ângulo θ < α com o

eixo do co ne.

Pode-se mostrar que o lugar geométrico de tais curvas num plano pode ser caracterizado por

relações envolvendo a distância de seus pontos a seus focos e retas diretrizes como descrito a seguir

(ver Seção

8.6). Assim sendo, deﬁnimos:

Definição 8.1 Uma elipse E de focos F

e F

de eixo maior medindo 2a > k

−−−→

ké o lugar geométric o formado

pelos po ntos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos ﬁxos F

e F

é igual a 2a. Ou seja,

136

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 137

dados F

e F

, com k

−−−→

k = 2c, e um número a > c, dizemos que P é um ponto da elipse E se

somente se:

−−→

P k + k

−−→

P k = 2a. (8.1)

Definição 8.2 Uma hipérbole H de focos F

e F

de eixo transverso medindo 2a < k

−−−→

k é o lugar geométrico

formado pelos pontos do plano cujo módulo da diferença das distâncias a dois pontos ﬁxos F

é igual a 2a. Ou seja, dados F

e F

, com k

−−−→

k = 2c, e um número a < c, dizemos que P é

um ponto da hipérbole H se somente se:



−−→

P k − k

−−→

P k



= 2a. (8.2)

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 138

Definição 8.3 Uma parábola P de foco F e reta diretriz d é o lugar geomét rico formado pelos pontos do plano

cujas distâncias ao ponto F e a reta d são iguais. Ou seja, dados F e d, dize mos que P é um ponto

da parábola P se somente se:

−−→

F P k = d(P, d). (8.3)

8.2 Elipse

Fig. 8.1 : Elipse

Conforme descrito na Deﬁniç ão 8.1, uma elipse E é o

lugar geométrico formado por pontos cuja soma das

distâncias a doi s pontos ﬁxos, F

e F

, é constante.

Nesta seção estudaremos a equação chamada

forma canônica da elipse, que representa uma elipse

alinhada com plano cartesiano e centrada em sua

origem. Antes, poré m, ﬁxemos a terminologia bá-

sica envolvida no estudo de elipses.

Terminologia

• Os pontos F

e F

descritos na Deﬁnição

8.1

são denom inados foc os da elipse. O segmento

de comprimento 2c é o segmento focal da elipse e 2c é a distância focal da elipse.

• A reta r contendo F

e F

é denominada reta

focal da elipse.

• A intersecção de E com r consiste de dois pon-

tos A

e A

que são o s vértices da elip se so-

bre a reta focal. O segmento

de com-

primento 2a é o chamado eixo focal da elipse

(ou eixo maior da elipse).

• O ponto médio O ∈ r do segmento

é o

centro da elipse;

• A reta s perpendicular a r por O é a reta não

focal da elipse.

• A intersecção de E com s consiste de dois pon-

tos B

e B

que são os vértices da elipse sobre

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 139

a reta não focal. O segmento B

é o cha-

mado eixo não focal da elipse (ou eixo menor

da elipse).

• Qualquer segmento cujos extremos estão so-

bre E é denominado corda da elipse;

• Cha mamos de amplitude focal o compri-

mento de uma corda que contenha um dos fo-

cos da elipse e q ue seja perpendicular ao eixo

focal desta. Notamos que existem duas dessas

cordas, usualmente denominadas individual-

mente por lactus rectum.

• A menor região retangular que co ntém a

elipse é chamada retângulo fundamental da

elipse.

• A menor coroa circular que contém a elipse é

denominada coroa fundamental da elipse.

Equação da Elipse

Comec emos nosso e studo da equação da elipse observando os dois exemplos abaixo descritos.

Exemplo 8.4 Usando a mesma notação descrita na Subseçã o 8.2, consideremos num sistema de coordenadas car-

tesiano uma elipse de focos F

= (0, 0) e F

= (2, 1) e eixo focal medindo 2a = 4.

Tomando P = (x, y) a equação (

8.1) ﬁca :

+ y

(x − 2)

+ (y − 1)

= 4.

Vamos então manipular tal equação de modo a e liminar suas raízes quadradas.

Isolando o termo

(x − 2)

+ (y − 1)

e elevemos a igualdade resultante ao quadrado de modo

a obter:



− 4x + 4





− 2x + 1



= 16 − 8

+ y



+ y



Simpliﬁcando e isolando 8

+ y

4x + 2y + 11 = 8

+ y

Finalmente, elevando ao quadrado e simpliﬁcando a expressão obtida, che gamos a:

48x

+ 60y

−16xy − 88x − 44y − 121 = 0. (8.4)

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 140

Essa equação quadrática é, então, a representação cartesiana procurada da elipse E.

⊳

0 1 2 3−1−2

−1

−2

Fig. 8.2 : Exemplo 8.4

Exemplo 8.5

Considere agora, num sistema de coordenadas cartesiano, F

= (−4, 0) e F

= (4, 0) de modo que

o eixo focal r ﬁca alinhado com o eixo Ox e o centro O da elipse ﬁca sobre a origem do sistema

de coordenadas. Estudemos uma elipse de ei xo focal medindo 2a = 10. Seja P = (x, y) um ponto

qualquer da e lipse E.

Em coo rdenadas cartesianas, a e quação (

8.1) ﬁca:

(x + 4)

+ y

(x − 4)

+ y

= 10.

Tentaremos no que se segue sim pliﬁcar tal equa ç ão elimi nando as raizes qua dradas

manipulando-a algebrica mente.

Inicialmente, isolemos a raiz

(x + 4)

+ y

e elevemos a igualdade obtida ao qua drado:

(x + 4)

+ y

= 100 +

(x − 4)

+ y

− 20

(x − 4)

+ y

Simpliﬁcando tal equaç ão chegamos e m anipulando-a de modo a isolar o termo 20

(x − 4)

+ y

ﬁcamos com:

100 − 16x = 20

(x − 4)

+ y

ou ainda:

5 −

x =

(x − 4)

+ y

Elevando esta igualdade ao quadrado chegamos a:

25 +

− 8x = x

+ 16 − 8x + y

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 141

Donde temos:

+ y

= 9.

Finalmente, dividindo-a por 9, segue:

= 1, (8.5)

que é a forma c anônica da eli pse E.

⊳

0 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5−6

−1

−2

−3

−4

Fig. 8.3: Exemplo 8.5

Esses exemplos e os cálculos neles envolvidos

sugerem que toda elipse pode ser representada no

plano cartesia no por um equação quadrática da

forma:

+ Bxy + Cy

+ Dx + Ey + F = 0,

onde A, B, C, D, E e F são constantes (que depen-

dem da elipse a ser representada). Tal suposição

prova-se de fato verdadeira (deixamos ao leito r in-

teressado sua demonstração).

No entanto, é visível que a Equação (

8.5) obtida

no segundo exemplo é muito mais simples que a Equação (8.4) obtida no primeiro. Isso ocorre devido

a uma melhor escolha, no Ex emplo

8.5, do sistema de coordenadas usado.

Encontremos, então, a e quação da elipse E num sistema de coordenadas adequado a E.

Assuma que os foc os F

e F

possuem coordenadas (−c, 0) e (c, 0) respec tivamente. Tomando

P = (x, y). Da Equação (8.1) obtemos:

(x − c)

+ y

(x + c)

+ y

= 2a

e logo

(x + c)

+ y

= 2a −

(x − c)

+ y

. Elevando ao quadrado ambos os lados dessa ex-

pressão obtemos:

+ 2cx + x

+ y

= 4a

− 2cx − 4a

− 2cx + x

+ y

+ c

+ x

+ y

Simpliﬁcando temos que

− 2cx + x

+ y

= a

− cx

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 142

Elevando novamente ao quadrando ambos os lados da eq uação obtemos



− 2cx + x

+ y





− cx





− 2cx + x

+ y



= a

− 2a

cx + c



− 2cx + x

+ y



−



− 2a

cx + c



= 0

−a

+ a

− c

= 0



−c





− c



+ a

Substituindo b



− c



temos

= b

+ a

Dividindo ambos o s lados po r a

chegamos ﬁnalmente a equação

= 1.

Chegamos assim à seguinte proposição:

Proposição 8.6 Uma elipse E de focos F

= (c, 0) e F

= (−c, 0) e eixo maior medindo 2a tem equação

= 1, (8.6)

onde b é tal que a

= b

+ c

Tal equação é usualmente conhecida como a forma canônica da elipse (ou equação reduzida

da elipse).

Os números a, b e c são conheci dos como parâmetros geométricos da elipse.

Observação 8.7 Se na dedução da equaçã o da elipse tivéssemos adotado o sistema de coordenadas com os focos sobre

o eixo y e a origem entre os focos, isto é o sistema com o eixo maior

de comprimento 2a sobre

o eixo y e o eixo menor B

de comprimento 2b sobre o eixo x, teríamos, no ﬁnal, a equação:

= 1.

Observação 8.8 Para uma elipse de equação:

= 1,

com a > b, é fácil ver que:

• O retângulo fundamental da elipse é a região retangular R = {(x, y) ∈ E

; x ∈ [−a, a], y ∈

[−b, b]} .

• A coroa fundamental da elipse é a região C = {(x, y) ∈ E

; b

≤ x

+ y

≤ a

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 143

Esboço da Elipse

Considere uma elipse E de e quação:

= 1,

com a, b > 0.

Observe inicia lmente que, se um ponto P = (x, y) está na elipse E, também a ela pertencem os

pontos P

′

= (−x, y), P

′

= (x, −y) e P

′

= (−x, −y). Desse modo, basta para esboçarmos E basta

estudarmos a elipse no primeiro q uadrante do sistema de coordenada s e reﬂetir mos tal esbo ç o ao

longo dos eixos Ox e Oy (que são eixos de simetria da elipse).

Além disso, isolando-se o parâmetro y da equação de E obtemos:

y = ±

− x

donde observamos que para esb oçarmos E no primeiro quadrante basta estudarmos o gráﬁco da

função:

f : [0, a] −→ R

x 7−→

− x

Observação 8.9 Note que para x > a, temos (a

− x

) < 0 e, portanto, f não ﬁca bem deﬁnida.

Como f(0) = b e f(a) = 0 temos que dois dos vértices da elipse têm coordenadas (0, b) e (a, 0).

Além disso, temos que f é decrescente, já que, para x

, x

∈ [0, a], temos:

< x

⇐⇒ x

< x

⇐⇒ a

− x

> a

− x

⇐⇒

−x

− x

⇐⇒ f(x

) > f (x

O uso de cálculo diferencial nos permite concluir que o gráﬁco de f é côncavo, isto é ﬁxos dois

pontos P

e P

quaisquer sobre o gráﬁco de f, temos que o gráﬁco de f ﬁca acima do segmento

A concavida de do grá ﬁ c o de f decor re do fato de que a segunda derivada de f é dada po r:

′′

(x) = −

− x

)

3/2

que é negativa para todo x ∈ (0, a).

Observação 8.10 Uma elipse pode ser facilmente de senhada com o aux ílio de um bar bante de comprimento 2a. Basta

para isso ﬁxarmos as extremidades do barbante nos focos e traçarmos uma curva com o lápis apoiado

(porém não preso) no b arbante de m odo a manter este sempre esticado.

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 144

= (0, b)

= (a, 0)

Fig. 8.4: Esboço da Elipse

Exemplos

Exemplo 8.11 Determ ine a equação da elipse de focos (3, 0) e (−3, 0) e vértices (0, 4) e (0, −4).

⊳

Solução: Primeiramente notamos que temos uma elipse de focos no eixo Ox (po is a segunda coor-

denada dos focos é 0). Então, usando a mesma notação da Proposição 8.6, temos c = 3 e b = 4, e,

como a

= b

+ c

, segue q ue a = 5. D esse modo a equação procurada é:

= 1,

que é uma elipse com vértices A

= (5, 0), A

= (−5, 0), B

= (0, 4), B

= (0, −4) e focos

= (3, 0) e F

= (−3, 0). 

Exemplo 8.12 Determ ine a equação da elipse de focos (0, 4) e (0, −4) e eixo maior medindo 12.

⊳

Solução: Nesse exemplo temos uma elipse de focos no eixo Oy (po is a primeira coordenada dos focos

é 0). Assim, usando a notação da Observação

8.15, temos c = 4 e 2a = 12 e, como a

= b

+ c

segue que b = 2

√

5. Desse m odo a equação procurada é:

= 1,

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 145

que é uma elipse com vértices A

= (0, 6), A

= (0, −6), B

= (2

√

5, 0), B

= (−2

√

5, 0) e focos

= (0, 4) e F

= (0, −4). 

Exemplo 8.13 Seja E uma elipse de centro na origem e tal que um de seus vértices sobre a reta focal é (0, 5).

Sabendo que E passa pelo ponto

√

, dete rmine a equação da elipse.

⊳

Solução: Nesse exemplo temos novamente uma elipse de focos no eixo Oy (nesse caso porque nos é

informado que o centro da elipse está na origem e o ponto (0, 5) sobre a reta focal). Assim, usando

a notação da Ob servação

8.15, tem os a = 5. Desse modo a equação procurada é do tip o:

= 1,

com 0 < b < 5.

Usando agora que o ponto

√

pertence a E temos que:



√

5/5





√



= 1.

Resolvento tal equação (de incógnita b) obtemos b = 3. Logo a equação da elipse é:

= 1.



8.3 Hipérbole

−

Fig. 8.5: Hipérbole

De acordo com a Deﬁ ni ç ão

8.2, uma hipérbole H é

o lugar geométrico formado pelos pontos do plano

cujo módulo da diferença da s distâncias a F

e F

igual a 2a (onde 2a < k

−−−→

k).

Desenvolveremos nesta seção a equação tida

como a forma canônica da hipérbole, que descreve

uma hipérbole cujos foco s estão em um dos eixos

coordenados simet ricamente dispo stos em retação a

origem. Assim como ﬁzemos para a elipse, ﬁxem os

primeiram ente a terminologia básica envolvida no

estudo de hipérboles.

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 146

Terminologia

• Os pontos F

e F

descritos na Deﬁnição

8.2

são denominados f ocos da hipérbole. O segmento F

de comprime nto 2c é o segmento

focal da hipérbole e 2c é a distância focal da hipérbole.

• A reta r contendo F

e F

é denominada reta

focal da hipérbole.

• A intersecção de H com r consiste de dois

pontos A

e A

que são o s vértices da hip é r-

bole sobre a reta focal. O segmento

comprimento 2a é o chamado eixo transverso

da hipérbole.

• O ponto médio O ∈ r do segmento

é o

centro da hipérbole;

• O segmento

de comprimento 2b (o nde

= a

+ b

), cujos extremos B

e B

es-

tão simetricamente localizados em relação ao

centro O da hipérbole sobre a reta s perpendi -

cular a r por O, é denom inado eixo conjugado

da hipérbole;

• Os números a, b e c são conhecidos como pa-

râmetros geométricos da hipérbole.

• As retas r

−

e r

pelo centro O de inclinação

−b/a e b/a respectivamente são as assíntotas

da hipérbole (ver Subseção

8.3);

• Qualquer segmento cujos extremos estão so-

bre H é denominado corda da hipérbole;

• Cha mamos de amplitude focal da hipérbole o

comprimento de uma corda q ue contenha um

dos foco s da hipérbole e que seja perpendicu-

lar à reta focal desta.

• O retângulo fundamental da hipérbole é a

região retangular R = {(x, y) ∈ E

; x ∈

[−a, a], y ∈ [−b, b]}.

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 147

• Uma hipérbole é dita equilátera quando os pa-

râmetros geom étricos a e b dessa hipérbole

são iguais.

Equação da Hipérbole

Escrevendo a equação (

8.2), apresentada na Deﬁnição 8.2 , e manipulando-a algébricamente de modo

análogo ao que ﬁ zemos para a elipse chegamos ao seguinte resultado:

Proposição 8.14 Uma hipérbole H de focos F

= (c, 0) e F

= (−c, 0) e eixo transverso medi ndo 2a tem equação

−

= 1, (8.7)

onde b é tal que c

= a

+ b

Tal equação é usualmente conhecida como a forma canônica da hipérbole (ou equação reduzida

da hipérbole).

Observação 8.15 Se na dedução da equação da hipérbole tivéssemos partido de focos localizados sobre o eixo Oy (ou

seja F

= (0, c) e F

= (0, −c)), ter íamos ch egado à equação :

−

= 1.

Assíntotas

Definição 8.16 Uma reta r de equação y = mx+n é dita ser uma assíntota de uma dada função f : (a, +∞) → R

em +∞ (a ∈ R) se a distância entre o gráﬁco de f a reta r tende a zero quando x vai para inﬁnito,

isto é se:

lim

x→+∞

d(P , r) = 0, (8.8)

onde P = (x, f (x)). Analogamente podemos deﬁ ni r assíntota de f em −∞.

A proposíção abaixo mostra que hipér boles admi tem duas assíntotas.

Proposição 8.17 As retas r

e r

−

de eq uações

: y =

x e r

−

: y = −

são assíntotas da hipérbole H de equação

−

= 1.

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 148

Demonstração. De fato, para uma tal hipérbo le H, temos que P = (x, y) ∈ H se e some nte se

− a

= a

. Então temos:

d(P , r

) =

|bx − ax|

√

+ a

|bx − ay|

√

+ a

|bx + ay|

− a

√

+ a

|bx + ay|

√

+ a

|bx + ay|

Assim sendo, temos que

lim

(x,y)→(±∞,±∞)

d(P , r

) = 0.

Analogamente, temos também que

lim

(x,y)→(±∞,∓∞)

d(P , r

−

) = 0.

Observação 8.18 Rigorosamente, r

e r

−

são assíntotas, no sentido da Deﬁnição 8.16, da função

(x) = b

− 1

em +∞ e −∞, respectivamente; e da função

−

(x) = b

− 1

em −∞ e +∞, respectivamente. Funções essas obtidas da equação de H isolando-se o parâ metro

Esboço da Hipérbole

Seja uma Hipérbole H de equação:

−

= 1,

com a, b > 0.

Como na elipse observamos que, se um ponto P = (x, y) está na hipérbole H, também a e la

pertencem os pontos P

′

= (−x, y), P

′

= (x, −y) e P

′

= (−x, −y). Assim sendo, a hipérbole H é

simétrica em relaç ão aos eixo s Ox e Oy.

Além disso, isolando-se o parâmetro y da equação de H obtemos:

y = ±

− a

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 149

Estudemos então o gráﬁ c o da função:

f : [a, +∞) −→ R

x 7−→

− a

Observação 8.19 Observe que, no caso a hipérbole, para x ∈ [0, a), temos (x

− a

) < 0 e, portanto, f não ﬁ c a bem

deﬁnida.

Note agora que f (a) = 0 nos dá o vértice A

= (a, 0) da hipérbole. Além disso, temos que f é

crescente, já que, para x

, x

∈ [a, +∞), temos:

< x

⇐⇒ x

< x

⇐⇒ x

− a

< x

− a

⇐⇒

− a

−a

⇐⇒ f(x

) < f (x

Cálculo diferencial nos permite concluir que o gráﬁco de f também é côncavo no caso da hipér-

bole.

A concavida de do grá ﬁ c o de f decor re do fato de que a segunda derivada de f é dada po r:

′′

(x) = −

− a

)

3/2

que é negativa para todo x ∈ [a, +∞).

Finalmente, sabe mos que f (x) tem a reta r

: y =

x como assíntota e é tal que f(x) <

para todo x ∈ [a, +∞). Desse modo sabemos que f (x) se aproxima assintoticamente de r

, por

baixo dessa reta, quando x tende a +∞.

Exemplos

Exemplo 8.20 Uma hipérbole H tem vértices nos p ontos (0, 4) e (0, −4), e um foco no ponto (0, −5). Obtenha a

equação da hipérbole e de suas assíntotas.

⊳

Solução: É fácil p erceber que H é uma hipérbole com centro na origem e foco s no eixo Oy. Assim

sua equação é do tipo :

−

= 1,

com c

= a

+ b

e 2c a distância focal.

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 150

Como H tem vértices (0, 4) e (0, −4) segue que a = 4. Como um dos focos de H é (−5, 0)

segue que c = 5. Logo, a partir da igualdade c

= a

+ b

, obt emos b = 3. Assim a equação de H é:

−

= 1.

As assíntotas de H são r

: x = (b/a)y e r

−

: x = −(b/a)y, ou seja:

: x =





y r

−

: x = −







Exemplo 8.21 Uma hipérbole H tem os focos num dos eixos c oordenados e centro na origem. Sabendo que uma

das assíntotas de H é a reta 3x − 2y = 0 e que P = (4

√

2, 6) ∈ H, determine a equação de H.

⊳

Solução:

• Focos no eixo Ox :

Seja

−

= 1 a equação da hipérbole procura da. Como a reta 3x − 2y = 0, que é a

também a reta de equação y =

x, é uma das assíntotas obtemos:

ou seja b =

Usando que P ∈ H obtemos:

√

−

= 1.

Usando que b =

a e simpliﬁc ando algebricamente a igualdade chegamos então a:

= 1.

Donde a

= 16, ou seja a = 4. Usando novamente que b =

a obtemos entã o b = 6. Logo

chegamos à equação:

H :

−

= 1.

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 151

• Focos no eixo Oy:

Seja agora

−

= 1 a equação da hipérbo le procurada. Como a reta 3x − 2y = 0, que é

a também a reta de equação x =

y, é uma das assíntotas obtemos:

ou seja b =

Usando que P ∈ H obtemos:

−

√

= 1.

Usando que b =

a e simpliﬁc ando a equação chegamos a:

−

= 1.

Como a

> 0 observamos que não existe a tal que a igualdade acima seja satisfeita, o u sej a,

não existe hipérbole com foc os no eixo Oy contendo P e com assíntota 3x −2y = 0.

Conclusão: A única hipérbole cuja equação resolve o problema é:

H :

−

= 1.



Exemplo 8.22 Encontre o centro, os focos e vértices da hipérbole de equação:

− 4y

− 18x − 8y − 31 = 0.

⊳

Solução: Tentaremos aqui manipular a equação dada de forma a ob ter uma equação da forma:

(x − x

)

−

(y − y

)

= 1,

que representa uma hipérbole de centro C = (x

, y

), foco s F

= (x

+ c, y

) e F

= (x

−c, y

onde c

= a

+ b

, e vértices V

= (x

+ a, y

) e V

= (x

− a, y

Comec emos completando q uadrados escrevendo:

(9x

− 18x + 9) − (4y

+ 8y + 4) − 9 + 4 − 31 = 0.

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 152

Donde temos:

9(x − 1)

− 4(y + 1)

= 36.

E, ﬁnalmente:

(x − 1)

−

(y + 1)

= 1.

Tal equação representa uma hipérbole de centro C = (1, −1) de parâmetros a = 2, b = 4 e

c = 2

√

5. Logo temos focos F

= (1 + 2

√

5, −1) e F

= (1 − 2

√

5, −1) e vértices V

= (3, −1) e

= (−1, −1). 

8.4 Parábola

O = V

Fig. 8.6 : Parábola

Conforme descrito na Deﬁnição 8.3, uma paráb ola

P de foco F e reta diretriz d é o lugar geométrico

formado pelos pontos do plano cujas distâncias a F

e d são iguais.

Nesta seção estudaremos funçõ e s quadráticas

de uma variável, cujos gráﬁcos representam pará-

bolas com retas diretrizes paralelas aos eixos coor -

denados. Em particular veremos a cham ada forma

canônica da parábola que é a equação que repre-

senta uma parábola com vértice na origem, foco so-

bre um dos eixos coordenados e reta diretriz paralela

ao outro eixo coordenado.

Terminologia

• O ponto F descrito na Deﬁnição

8.3 é denomina do foco da parábola.

• A reta d, também descrita na Deﬁnição

8.3 é denomina da diretriz da parábola.

• A distância 2p entre o foco F e a reta diretriz d da parábola é chamada parâmetro da parábola.

• O ponto V de intersecção da perpendicular à d por F com a parábola é o vértice da parábola;

• A reta perpendicular a d por F é o eixo de simetria da parábola.

• Qualquer segmento cujos extremos estão sobre P é denominado corda da parábola;

• Tomando A e B os extremos da corda que co ntém F e é paralela a diretriz d, obtemos o

triângulo △V AB denom inado triângulo fundamental da parábola.

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 153

Equação da Parábola

Para uma parábola com diretriz paralela ao ei xo Ox e vértice na origem do sistema de coordenadas

vale o seguinte resultado:

Proposição 8.23 Uma parábola P de foco F = (0, p) e reta diretriz d : y = −p (p 6= 0) tem equação

y =





. (8.9)

Tal equação é usualmente conhecida como a forma canônica da parábola (ou equação reduzida

da parábola).

Demonstração. Seja P = (x, y) um ponto da pa rábola . A partir da equação k

−−→

F P k = d(P, d) obte-

mos:

+ (y − p)

= y + p.

Elevando ambos os lados ao q uadrado obtemos:

+ y

− 2py + p

= y

+ 2py + p

Simpliﬁcando e isolando y chegamos então a:

y =





Observação 8.24 Para uma parábola de foco F = (p, 0) e reta diretriz vertical d : x = −p uma demonstração a náloga

nos levaria a equação:

x =





, (8.10)

a qual tam bém é conhecida como forma canônica da parábola.

No ca so particular da parábola , porém, é importante destacar sua descrição como gráﬁco de

funções quadráticas de uma variável real.

Definição 8.25 Uma função f : R → R é dita quadrática quando existem a, b, c reais com a 6= 0, tais que

f(x) = ax

+ bx + c para todo x ∈ R.

Sobre funções quadráticas vale o seguinte resultado:

Proposição 8.26 O gráﬁco da função quadrática f (x) = ax

+ bx + c é uma parábola com:

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 154

• foco:

F =



−

, −

∆ − 1



• diretriz:

d : y = −

∆ + 1

• vértice:

V =



−

, −

∆



onde ∆ = b

− 4ac.

Observação 8.27 O gráﬁco de uma função f : R → R é o lugar geométrico dado pela equação y = f (x). Logo, pela

Proposição 8.26, y = ax

+ bx + c é a equação de uma parábola com diretriz paralela ao eixo Ox.

É análoga a demonstração da proposição acima o fato de que x = ay

+ by + c é equação de

uma parábola com:

• foco:

F =



−

∆ − 1

, −



• diretriz:

d : x = −

∆ + 1

• vértice:

V =



−

∆

, −



onde ∆ = b

− 4ac.

Observação 8.28 É importante notar que as funções f (x) = ax

+ bx + c e g(x) = a

′

+ b

′

x + c

′

, com (a, b, c) =

λ(a

′

, b

′

, c

′

) para algum λ 6= 0, têm mesmas raízes, ou seja f (x) = 0 se e somente se g(x) = 0, no

entanto seus gráﬁcos são distintos e, po rtanto, representam parábolas diferentes.

A Proposição

8.26 segue imediatamente dos Lemas 8.29 e 8.30, abai xo demonstrados.

Lema 8.29 O gráﬁco de uma função quadrática f(x) = a(x − m)

+ k é uma parábo la com :

• foco:

F =



m, k +



• diretriz:

d : y = k −

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 155

• vértice V = (m, k).

Demonstração. Seja P = (x, y) um ponto qualquer do gráﬁco de f (de modo que y = a(x−m)

+k).

Tome F =



m, k +



e d : y = k −

. Mostremos que k

−−→

F P k = d(P, d) (ver Deﬁniç ão

8.3).

Por um lado temos:

−−→

F P =



x − m, a(x − m)

−



Donde segue:

−−→

F P k =

(x − m)

+ a

(x − m)

− 2a(x − m)





(x − m)

+ 2a(x − m)







a(x − m)





a(x − m)



Por outro lado:

d(P , d) =



a(x − m)

+ k −



k −





a(x − m)



Logo, vale k

−−→

F P k = d(P, d).

Como o vértice da par ábola é o ponto médio do menor segmento que li ga F à d é fácil ver que

V = (m, k).

Lema 8.30 Vale a igualdade:

+ bx + c = a



x +



−



− 4ac



Essa forma de escrever a função qua drática é conheci da como forma canônica do trinômio de

segundo grau.

Demonstração. De fato:

+ bx + c = a



x +



CAPÍTULO 8. CÔNICAS 156

Completando quadrado de modo a o bter



x +



temos:



x +



= a



+ 2

x +

−



= a



x +



−

−4ac

= a



x +



−



− 4ac



Observação 8.31 Vale a recíproca da Proposição 8.26, ou sej a, ﬁxos m, n, p ∈ R (n 6= p) tais que F = (m, n) e

d : y = p são respectivamente foco e diretriz de uma parábola então existem a, b, c ∈ R ta is que a

paráb ola é gráﬁco da função f (x) = ax

+ bx + c.

Deixam os ao leitor interessado veriﬁcar que vale tal aﬁrmação para:

a =

2(n − p)

b = −

n − p

c = n + p −

2(n − p).

Esboço da Parábola

d : x = −

∆ + 1

F =



m, k +



−b −

√

∆

, 0

−b +

√

∆

, 0

(c, 0)

V =



−

∆

, −



Fig. 8.7: Parábola

O esboço da parábola de equação y = ax

+ bx + c (ou gráﬁco de f (x) = ax

+ bx + c) pode

ser facilmente estudado a partir da forma canônica do trinômio (Lema

8.30):

f(x) = ax

+ bx + c = a



x +



−



− 4ac



CAPÍTULO 8. CÔNICAS 157

Fixemos, para estudo, a > 0. Facilmente observamos que f tem seu mínimo no ponto onde



x +



= 0, ou seja quando x = −

Além disso, para −

≤ x

< x

temos que:









donde segue que f(x

) < f(x

), ou sej a f é crescente em



−

, +∞



. Analogamente vemos q ue

f é decrescente em



−∞, −



Um pouco de cálculo diferencial nos permite co ncluir que, para a > 0, o gráﬁco de f é convexo,

isto é ﬁxo s dois pontos P

e P

quaisquer sobre o gráﬁco de f , temos q ue o gráﬁco de f ﬁca abaixo

do segmento

A convexidade do gráﬁco de f decorre do fat o de que a segunda derivada de f é dada por:

′′

(x) = a > 0.

Finalmente, se ∆ = b

− 4ac > 0, podemos obter as raizes de f facilm ente iguala ndo a forma

canônica do trinômio e isolando o parâmetro x, obtendo assim a Fórmula de Bhaskara:

x =

−b ±

√

− 4ac

Observação 8.32 Se a < 0, f(x) = ax

+ bx + c tem seu máximo em x = −

, é decrescente em



−

, +∞



crescente em



−∞, −



, tem gráﬁco côncavo e tem suas raizes dada pela (mesma) Fórmula de

Bhaskara (quando ∆ > 0).

Exemplos

Exemplo 8.33 Determ ine a equação da parábola de foco F = (1, 2) e reta diretriz r : y = 4.

⊳

Solução: Seja P = (x, y) um ponto da parábola. A equação k

−−→

F P k = d(p, r) em coordenadas ﬁca:

(x − 1)

+ (y − 2)

= |y − 4|.

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 158

Elevando essa igualdade ao quadrado obtemos:

− 2x + 1) + (y

− 4y + 4) = y

− 8y + 16.

Isolando então o parâmetro y chegamos à:

y =



−







x +







Exemplo 8.34 Consider uma pa rábola P com vérti c e na o rigem e com o eixo Ox como reta focal. Suponha que o

ponto (3, −6) per tença à P. Determine a equação de P, seu foco F e reta diretriz d.

⊳

Solução: Sabemos que P é uma parábola de parâmetro 2p com equação da forma:

x = ±





Como a prim eira coordenada do p onto (3, −6) é positiva te mos:

P : x = +





Substituindo as coordenadas do ponto (3, −6) na equação acim a ch egamos à p = 3. Logo temos:

P : x =





Tal parábola tem, assim, foco F = (3, 0) e reta diretriz d : x = −3. 

Exemplo 8.35 Considere a função quadrática f (x) = x

− 6x + 8. Escreva f na forma quadrática canônica e a

partir de tal deter mine suas raízes. Det ermine as co ordenadas do vértice, foco e a equação da reta

diretriz da parábola que é gráﬁco de f.

⊳

Solução: Completando quadrado obtemos f(x) = (x

−6x + 9) −1 = (x −3)

−1 que é a forma

canônica de f .

Igualando a forma canônica a ze ro che gamos a:

(x − 3)

= 1.

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 159

Donde temos x − 3 = ±1 ou ainda x = 3 ± 1. Logo x = 2 e x = 4 são as raízes de f.

O vértice da par ábola que é gráﬁco de f, ocorre no ponto onde f é mínimo, ou seja em x = 3.

Logo as coordenadas do vértice são (3, −1).

Claramente o eixo de simetria da parábola em questão é paralelo ao eixo Oy. Suponhamos então

que o foco da pará bola tenha coordenadas F = (3, −1+c) e a diretriz tenha equação d : y = −1−c

(Note que o vértice da parábola dista o mesmo do fo c o e da diretriz da parábola).

Considere um ponto P qualquer da par ábola diferente do vértice. Tome por exemplo P = (0, 8).

Devemos ter k

−−→

F P k = d(P, d).

Por um lado, temos então

−−→

F P = (−3, 9 − c) e:

−−→

F P k =

9 + (9 − c)

Por outro lado:

d(P , d) = 8 − (−1 − c) = 9 + c.

Deve valer então:

9 + (9 − c)

= (9 + c)

Donde temos c = (1/4).

Logo F = (3, −3/4) e d : y = −5/4. 

8.5 ⋆ Excentricidade

Proposição 8.36 Sejam η > 0, η 6= 1 e F = (c, 0). Tome r a reta de equação x = c/η

(logo paralela ao eixo Oy).

Então, se P = (x, y) sati sfaz a igualdade

−−→

F P = ηd(P, r), (8.11)

temos que:

• se 0 < η < 1, então P pertence a elipse de equação

= 1,

onde a = c/η e b tal que a

= b

+ c

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 160

• se η > 1, então P pertence a hipérbole de equação

−

= 1,

onde a = c/η e b tal que c

= a

+ b

Demonstração. Escrevendo a equaç ão (

8.11) em coordenadas cartesianas temos:

(x − c)

+ y

= η



− x



Elevando essa equação ao quadrado e manipulando algebricamente o resultado facilm ente che gamos

na igualdade:



1 − η



+ y

= c



−1



Dividindo tal equação por c



− 1



obtemos:

/η



− 1



= 1.

Então, para 0 < η < 1, observam os que c



− 1



> 0. Tomando então a

= c

/η

= c



− 1



(de modo que a

= b

+ c

) temos:

= 1.

Caso η > 1 temos que c



− 1



< 0. Toma ndo a

= c

/η

e b

= −c



− 1



(de

modo que c

= a

+ b

) segue:

−

= 1.

Proposição 8.37 Sejam η = 1 e F = (c, 0). Tome r a reta de equação x = −c.

Então, se P = (x, y) sati sfaz a igualdade

−−→

F P = ηd(P, r), (8.12)

temos que:

= 4cx.

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 161

Demonstração. Escrevendo a equaç ão (8.12) em coordenadas cartesianas temos:

(x − c)

+ y

= (c + x) .

Elevando essa e quação ao quadr ado e manipulando algebricamente o resultado facilmente obtemos:

= 4cx.

Observação 8.38 A reta r e o ponto F desctritos nas proposições 8.36 e 8.37 são denominados respec tivamente reta

diretriz e foco da cônica em questão.

O par âmetro η, que apa rece em ambas as proposições, é denominado excentricidade da cônica.

Observação 8.39 É faci l mostrar que as recíprocas das proposiçõ es acima são válidas, ou sej a:

• Se P = (x, y) é um ponto da elipse de equação:

= 1,

então, tomando c > 0 tal que a

= b

+ c

, η = c/a (note 0 < η < 1), F = (c, 0) e

r : x = c/η

temos que P satisfaz a equação (

8.11).

• Se P = (x, y) é um ponto da hipérbole de equação:

−

= 1,

então, tomando c > 0 tal que c

= a

+ b

, η = c/a (note η > 1), F = (c, 0) e r : x = c/η

temos que P satisfaz a equação (

8.11).

• Se P = (x, y) é um ponto da paráb ola de equação:

= 4cx,

então, tomando η = 1, F = (c, 0) e r : x = −c temos que P satisfaz a equação (

8.12) (que é

a mesma que a equação (8.11)).

Excentricidade e a forma de uma cônica

A excentricidade η de uma cônica é usualmente usada para estudar o formato das cônicas.

No caso da elipse, quanto mais η for próximo à 0 maior a “semelhança” da elipse com um círculo.

De fato, dividindo a

= b

+ c

por a

, teríamos que (b/a)

= 1 − η

. Logo para η pequeno (b/a)

estaria próximo de 1. Assim sendo, a e b seri am aproximadamente iguais. Tomando b = a teríamos

então a equação do círculo: x

+ y

= a

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 162

Para η < 1 próximo de 1 teríamos por outro lado que (b/a) seria próximo de 0, ou seja, b seria

muito menor que a, o que nos levaria a uma elipse bem alongada ao longo do eixo Ox.

Na hipérbole, por sua vez, se η > 0 estiver perto de 1 teremos (b/a) próximo de 0, pois divi-

dindo c

= a

+ b

por a

obtemos η

= 1 + (b/a)

. Isso implica que as assíntotas da hipérbole

tem inclinação próxima a 0, ou seja, a medida que η ﬁca mais p erto de 1 as hipérboles ﬁcam mais

próximas do eixo Ox.

Por outro lado, a m edida que η tende à +∞ temos que (b/a) também tende a +∞, ou seja, a

inclinação das assíntotas da hipérbo le crescem de modo que as hipérboles se aproximam do eixo

Oy.

Em geometri a, dizemo s que dua s ﬁguras são semelhantes se pode-se obte r uma a partir da outra

pela co mposição de isometrias (translação, rotação, reﬂexão) e homotet ias (ﬁxos centro O e razão

k, uma h omotetia leva P em P

′

pela relação

−−→

′

= k

−−→

OP ).

Sobre a semelhança das cônicas valem o seguinte resultado:

Proposição 8.40 Se duas cônicas têm mesma excentricidade então elas são semelhantes, em particular todas as pará-

bolas são semelhantes entre si.

Demonstração. Consideraremos apenas as cônicas cujas equações estão na sua forma canônica (pois,

como veremos no capítulo ??, todas as cônica s podem ser tr ansformadas na forma canônica por

rotações e translações).

Considere duas elipses E e E

′

de eq uações:

E :

= 1,

′

′2

= 1.

Se ambas têm mesma excentricidade temo s que (b/a) = (b

′

), donde segue que (a/a

′

) =

(b/b

′

) = k. Tome então a homotetia h com centro na origem e razão k, ou seja tal que h(x, y) =

(kx, ky). Então, aﬁrmamos que se P = (x, y) está em E, h(P ) está em E

′

. De fato, se P satisfaz:

= 1,

temos que

(kx)

′2

(ky)

′2

= 1.

A semelhança de hipérbole s de mesma excentricidade segue de modo análogo.

No caso de duas parábolas P : y = ax

e P

′

: y = a

′

, tome k = (a/a

′

). Daí se P = (x, y)

está em P temos que vale y = ax

. Por outro lado tomando a homot etia h(x, y) = (kx, ky) temos:

′

(kx)

= a

′



′





′



= ky.

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 163

8.6 ⋆ Construções de Dandelin

Elipse

Fig. 8.8: Elipse

Dado um cone com ângulo de abertura 2α e um

plano π que intersepta o cone e faz um ângulo su-

perior à α com o eixo do cone te mos na inte rsecção

uma e lipse. É possível encontrar duas esferas S

que tangenciam o plano π e o cone internamente

(ver Figura

8.8). Tais esferas são conheci das c omo

esferas de Dandelin da elipse.

Mostremos usando as esferas de Dandelin que a

soma das distâncias de um ponto X da elipse aos

focos F

e F

é constante, isto é:

−−→

Xk + k

−−→

Xk = k,

onde k é um número real ﬁxado (obviamente maior

que a distância focal da elipse).

Suponha que S

e S

tangenciam o cone nos cír-

culos C

e C

respectivamente. Seja X um ponto

qualque da elipse. A reta

←→

OX que passa por X e pelo

vértice O do co ne intersepta C

e C

em pontos H

e H

respectivamente.

Observe que a soma kXH

k + kXH

k inde-

pende do ponto X da elipse, medindo sempre kH

Parábola

Mostraremos no que se segue que a curva (parábola) for-

mada pela intersecção de um cone de ângulo de ab ertura

2α e vértice O com plano π que faz um ângulo α c om o

eixo do cone, obedece de fato a equação:

−−→

F Xk = ηd(X, r),

com η = 1, onde F é o foco da pará bola, r a sua diretriz e

X um ponto qualquer da cônica.

Considere a esfera simultaneamente tangente interna

ao cone e t angente ao plano π. Seja γ o plano que contém

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 164

os pontos de tangência da esfera com o cone. Aﬁrmamos

que o ponto de tangência da esfera com o plano π é o foco

da parábola e que a reta r obtida pela intersecção de π e γ

é a reta diretriz da parábola.

Seja X um ponto q ualquer da pará bola. Seja C a i n-

tersecção da reta

←→

OX (uma geratriz no cone) com γ. Con-

sidere B a projeçã o ortogonal de X em γ e D o ponto na

diretriz r = π ∩ γ tal que o triângulo ∆XBD se encontre num plano or togonal a π. Aﬁrmamos

que qualquer que seja X, ponto da pa rábola , os triângulos ∆XBC e ∆XBD são congruentes.

Observação 8.41 Cuidado não confundir sua intuição com a Figura 8.9 que é apenas uma projeção no plano de uma

ﬁgura tridi mensional. O t riângulo ∆XBC está não é coplanar ao plano da ﬁgura no papel (ele

“entra no papel”).

A congruência dos triângulos segue do fato de que os ângulos α, β, θ e Φ são todos congruentes

(por quê?),

XBC =

XBD =

XB é um lado comum a amb os os triângulos (Congruência

“ALA”).

Observe assim que k

−−→

XCk = k

−−→

XDk. Mas k

−−→

XDk = d(X, r) e k

−−→

XCk = k

−−→

XF k, onde F é o foco

da parábola (pois

XC e XF são tangentes a esfera em C e F ). Logo:

−−→

F Xk = ηd(X, r),

com η = 1.

Exercícios

Ex. 8.1 — Provemos que a curva (elipse) formada pela intersecção de um cone de ângulo de abertura

2α com plano π que faz um ângulo θ > α com o eixo do cone, obedece a equação:

−−→

F Xk = ηd(X, r),

com η < 1, onde F é o foco da elipse e r a sua diretriz.

Considere, como ﬁzemos para a parábola, a esfera simultaneamente tangente interna ao cone e

tangente ao plano π (esfera de Dandelin).

a) Encontre o foco F e a diretriz r da elipse do mesmo modo que ﬁze mos para a parábola;

b) Considere X e X

′

dois pontos da elipse. Encontre os pontos B, C e D da mesma forma que

ﬁzemos para a parábola. Encontre B

′

, C

′

e D

′

a partir de X

′

de forma semelhante.

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 165

c) Mostre que os seguintes triângulos são semelhantes:

△XBD ≃ △X

′

△XBC ≃ △X

′

d) Mostre que:

−−→

XCk

−−→

XDk

−−−→

′

−−−→

′

= η,

onde η é uma constante real;

e) Conclua que vale:

−−→

F Xk = ηd(X, r),

com η < 1.

Ex. 8.2 — Mostre que a curva (hipérbole) formada pela intersecção de um cone de ângulo de aber-

tura 2α com plano π que faz um ângulo θ < α com o eixo do cone, obedece a equaç ão:

−−→

F Xk = ηd(X, r),

com η > 1, onde F é o foco da hipér bole e r a sua diretriz .

Ex. 8.3 — Mostre usando as esferas de Dandelin que os pontos X da hipérbole satisfazem a equação:



−−→

Xk − k

−−→



= k,

onde F

e F

são os focos da hipé rbole e k uma constante real.

8.7 ⋆ Cônicas em Coordenadas Polares

Fig. 8.10: Cônica: coordenadas polares

Considere a cônica de equação k

−−→

F Xk = ηd(X, l),. Consi-

deremos agora coordenadas polares com a origem O loca-

lizada em F e com o eixo polar perpendicular a diretriz l

da cônica.

Suponha que a distânci a entre a diretri z l e o foco F é

uma dada constante p e que a cônica está localizada , em

relação a l, no mesmo lado de F , como na Figura

8.10.

É fácil ver que no sistema de coordenadas acima descrito

−−→

F Xk = r e d(X, l) = (p − r cos θ), donde temos:

r = η(p − r cos θ).

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 166

Isolando r segue que:

r =

ηp

1 + η cos θ

Fig. 8.11: Cônica: coordenadas polares

Suponha agora que que a cônica está lo c alizada, em re-

lação a l, no lado oposto a F , como na Figura 8.11. A equa-

ção k

−−→

F Xk = ηd(X, l), torna-se então:

r = η(r cos θ − p).

Donde segue:

r =

ηp

η cos θ − 1

Observe no entanto que, como r é po sitivo, para que a

equação acima represente um lugar geométrico não vazio

devemos ter η > 1, ou seja, a cônica deve ser uma hipérbole.

Temos então:

Teorema 8.42 Considere uma cônica com excentricidade η, foco F na origem e com uma diretriz l distando p

de F e perpendicula r ao eixo polar Ox. Se 0 < η ≤ 1, a cônica é uma eli pse (η ∈ (0, 1)) ou uma

paráb ola (η = 1), e todo ponto da curva está localiza do no mesmo semi-plano em relação a l que

F . Nesse caso a c ônica tem equação:

r =

ηp

η cos θ + 1

. (8.13)

Se η > 1, a curva é uma hipérbole com ramos em amb os os la dos de l. O ramo à esquerda de l

satisfaz a Equação

8.13 e o ramo à direita de l satisfaz:

r =

ηp

η cos θ − 1

. (8.14)

8.8 ⋆ Cônicas e a Trajetória dos Planetas

Nesta seção mostraremos, a partir das leis de Newton, que a trajetória de planetas sujeit os apenas

a força gravitaci onal exercida por um sol é uma cônica. Ta l tra jetória será uma elipse, pa rábola ou

hipérbole dependendo da velocidade inicia l do planeta. A prova que fazemos aqui foi for temente

inspirada na de monstração das leis de Kepler apresentada no livro Calculus - Volume I de Tom

Apostol ([

1]).

Assim sendo, suponha um sol e um planeta de massas M e m, respectivamente.

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 167

A segunda lei de Newton aﬁrma que a aceleração a é proporcional a força F por:

F = ma. (8.15)

Denotando por r o vetor que liga o sol ao planeta, por u

o versor de r e por r a norma de r, a

lei universal da gravitação aﬁrma que a força exercida pelo sol no planeta obedece:

F = −

GMm

, (8.16)

onde G é a constante gravitacional.

A partir das equações (

8.15) e (8.16) temos:

a = −

. (8.17)

Mostremos inicialmente que a tra jetória do planeta está contida no pla no per pendicular aos

vetores posição r e velocidade v. Observe, para isso, que o vetor r × v é constante:

(r × v) =

× v + r ×

= v × v + r × a = r × a = 0.

Denotemos r × v por c.

Como r · c = r · r × v = 0 segue que o vetor posição é sempre perpendicular a c, logo a

trajetória é de fato plana. Observe que se c = 0 temos que r e v são paralelos e a trajetória será

uma reta (cônica degenerada). Supo nhamos no que se segue que c 6= 0.

Mostremos agora que a trajetória é de fato uma cônica.

Fixe um eix o polar passando peso sol e seja θ o ângulo entre r e tal eixo. Seja u

o vetor unitário

perpendicular a r dado por

dθ

. Usando coordenadas polares tem os q ue r = ru

. Disso segue:

drˆr

+ r

dθ

+ r

dθ

Donde obtemos:

c = r × v = (ru

) ×



+ r

dθ



= r

dθ

× u

Dessa expressão segue:

a × c =



−





dθ

× u



= −GM

dθ

× (u

× u

) = GM

dθ

. (8.18)

CAPÍTULO 8. CÔNICAS 168

Observe agora que :

(v × c) =

× c + v ×

= a × c. (8.19)

Por outro lado:

(GMu

) = GM

= GM

dθ

= GM

dθ

. (8.20)

Das equações (

8.18), (8.19) e (8.20) segue então que:

(v × c) =

(GMu

Donde, por integração ob temos:

v × c = GMu

+ b,

onde b é um vetor constante.

Tomando e tal que GMe = b segue que:

v × c = GM(u

+ e).

Multiplicando escalarm ente ambos os lados da equação aci ma por r temos:

r · v × c = GM(r + r · e) = GMr(1 + η cos φ),

onde η = ||e|| e φ é o ângulo entre r e e. Como c = r · v temos por outro lado que:

r ·v × c = r × v · c = c · c = c

onde c = ||c||.

Assim temos, ﬁnalmente:

GMr(1 + η cos φ) = c

Fazendo p =

GMη

e isolando r segue a equação:

r =

ηp

η cos φ + 1

que é a equação de uma cônica com foco no sol e excentricidade η, como queríam os demonstrar.

Observação 8.43 Observe que como e é uma constante de integração e η = ||e|| t emos que a excentricidade depende

fundamentalmente das condições iniciais do movimento, isto é, da posição e velocidade iniciais do

planeta (Veriﬁque!).

Curvas

9.1 Parametrização de Curvas

No Capítulo

4 estudamos as equações de uma reta no espaço e vimos que tal entidade geométri c a

pode ser representada pelas equaçõe s paramétricas:

r :











x = a + v

y = b + v

z = c + v

(9.1)

onde S

= (a, b, c) é um ponto da reta r e v = (v

, v

) é um vetor pa ralelo a r.

X(t) = (x(t),y(t),z(t))

Fig. 9.1: Curva Parametrizada

Nesse ponto, observamos q ue a reta representada pelas equações 9.1 pode ser interpretada como

a trajetória no espaço E

descrita por um corpo em movimento retilíneo uniforme com posição

169

CAPÍTULO 9. CURVAS 170

inicial S

e velocidade v. Assim, as e quações 9.1 são meramente a representação em coordenadas

da clássica equação da física:

S(t) = S

+ vt

na qual S(t) = (x(t), y(t), z(t)) descreve a posição do cor po em questão no instante de tempo t.

Um dos objetivos desse capítulo será o de representar outras curva s no espaço de modo seme-

lhante, isto é, imaginando um corpo que se move livremente pelo espaço e descrevendo a posição

X(t) = (x(t), y(t), z(t)) de sse corpo no instante t, onde agora x, y e z são funções (não necessari-

amente lineares) de R em R (ver Figura

9.1).

Nesse intuito, podemos então de ﬁ ni r:

Definição 9.1 Uma curva parametrizada no espaço com parâmetro t é função contínua, no qual I = (a, b) é um

intervalo da reta real.

De modo análogo podemos deﬁnir uma curva no plano como uma função contínua X : I → R

Usualmente pedimos uma certa regularidade para as funções x(t), y(t) e z(t), pedim os t enham

derivadas de toda ordem (para que seja possível deﬁnir um vetor velocidade, um vetor aceler ação,

etc...).

Observamo s que no caso de uma curva qualquer o vetor velocidade que era constante nas equa-

ções da reta agora é um vetor tangente a cur va que varia com o parâmetro t.

Definição 9.2 Dado uma curva X : I → R

, X(t) = (x(t), y(t), z(t)) com x(t), y(t) e z(t) diferenciáveis, então

o vetor tangente é dado pela derivada

′

(t) = (x

′

(t), y

′

(t), z

′

(t))

da função X em relação a t.

O processo de descrever uma curva geométrica como uma função X : I → R

é conhecido

como parametrizaçã o.

Exemplo 9.3 A equação mais simples para uma parábola

y = x

CAPÍTULO 9. CURVAS 171

pode ser (trivialme nte) transformada e m uma parametrização utilizando um parâmetro livre t, e

estabelecendo

x = t, y = t

para − ∞ < t < ∞

⊳

Exemplo 9.4 Param etrize o círculo de raio 2 em R

e descreva seu vetor tangente.

⊳

2 cos t

2 sen t

′

(t)

X(t)

Solução: Para para metrizar o círculo utilizaremos como parâmetro o angulo t. Com essa escolha

temos as coordenadas de um ponto P : (x, y) po de ser descritas utilizando que x = 2 cos t e que

y = 2 sen t . Para descrevermos todo s os pontos o ângulo t deve vari ar em [0, 2π].

Assim, a curva plana X : [0, 2π] → R

dada por X(t) = (2 cos t, 2 sen t) de screve um círculo

de raio 2 em R

Finalmente, o vetor tangente de X no instante t pode ser calculado derivando a param etrização

X(t) = (2 cos t, 2 sen t) e é dado por X

′

(t) = (−2 sen t, 2 cos t).



Observação 9.5 Uma curva X : [a, b] → R

, como por exemplo a curva descrita no Exemplo 9.4, para a qual o ponto

inicial é igual ao ponto ﬁnal X(a) = X(b) é denominada curva fechada.

Exemplo 9.6 Descreva a curva espacial cuja parametriz ação é X(t) = (cos t, sen t, t/10).

⊳

CAPÍTULO 9. CURVAS 172

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Fig. 9.2: Hélice

Solução: Para descreverm os a curva começ amos observando que a projeção da curva X(t) no plano

x, y é dada por X

′

(t) = (cos t, sen t) e conse quentemente é um ponto do círculo de raio unit ário.

Logo a curva está contida no cilindro x

+ y

= 1.

Na direção z a curva se move com velocidade constante.

Assim, a curva espacial X(t) = (cos t, sen t, t/10) descreve uma hélice c ontida no cilindro

+ y

= 1. Tal curva caminha

2π

na direçã o de z para completar uma volta em torno do cilindro.

Observe a ﬁgura ao lado. 

Exemplo 9.7 Gráfico de Função O gráﬁco de uma função f : R ⊃ D → R diferenciável é uma curva em R

Tal curva pode ser representada pelas equações paramétricas X(t) = (t, f(t)). Observe que o vetor

velocidade de tal curva é dado por X

′

(t) = (1, f

′

(t)).

Na ﬁgura

9.3 apresentamos a curva (t, sen t) dada pelo gráﬁco da função sen x em R

, cujo vetor

velocidade no tempo t é (1, cos t).

⊳

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Fig. 9.3: Gráﬁco de sen x

CAPÍTULO 9. CURVAS 173

-4

-2

-4

-3

-2

-1

Fig. 9.4: Curva não injetora

Exemplo 9.8 A curva X(t) = (t

− 4t, t

− 4) é uma curva par ametrizada não injetora (ver Figura 9.4), pois

X(2) = X(−2) = (0, 0). Esse exemplo mostra que que ne m toda curva do plano pode ser descrita

como gráﬁco de uma função.

⊳

Observação 9.9 Uma cur va parametrizada injetora (sem auto-intersecções) é dita ser uma curva simples

-1.0

-0.5

0.5

1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Fig. 9.5: Curva diferenciável com “bico”

Exemplo 9.10 Observamos, p or ﬁm, um fato que pode parecer a princípio contradizer nossa intuição de diferenci-

abilidade propiciada pe lo estudo de funções reais e seus gráﬁcos em cursos de cálculo diferenciável.

Uma curva parametriz ada pode ser diferenciável e ter “bicos” ou “arestas” desde que o vetor velo-

cidade se anule nesses pontos. Observe a curva X(t) = (t

, t

) cujo vetor velocidade existe para

todo t e é dado por X

′

(t) = (3t

, 2t).

⊳

Observação 9.11 Uma curva param etrizada diferenciável X(t) tal que X

′

(t) 6= 0 para todo t é dita ser uma curva

regular.

Pode-se mostrar q ue curvas regulares não admitem “bicos”.

Exemplo 9.12 A cicloide, uma curva clássica e studada por Galileu (entre outros), co nsiste na curva traç ada por um

ponto ﬁxado numa circunferência que rola ao lo ngo de uma reta (ver Figura ??).

A ciclóide está ligada, por exemplo, ao problema da braquistócrona, que descreve uma curva

ligando dois pontos A e B, com B localizado a uma altura menor que A, e que tem a propriedade

de ser a trajetória (“rampa”) ca paz de minimizar o t empo para um corpo ir de A à B quando este

está submetido apenas à gravidade.

CAPÍTULO 9. CURVAS 174

Fig. 9.6: Ciclóide

Fig. 9.7: Ciclóide param etrizada

Além disso, a ciclóide (invertida) também é solução do problema da tautócrona que trata de uma

curva onde não impor ta onde uma partícula seja colocada, ela leva o mesmo temp o para deslizar até

o fundo.

Obtenha as equações paramétricas da ciclóide passando pela origem O do sistema de coordena-

das e obtida a partir de um círculo de r aio r “rolando” sobre o eixo x.

⊳

Solução: Seja t o parâmetro que representa o ângulo de rotação do círculo. Qua ndo o círculo girar

de um ângulo t teremos que a distância percorrida ao longo do eixo será o comprimento do setor

circular entre A e B (ver Figura

9.7), ou seja rt. Dessa forma é fá c il concluir que as coordenadas de

A são:

(

x = rt − r sen t

y = r − r cos t

Logo a equação que representa tal curva é dada por X(t) = (r(t − sen t), r(1 − cos t)).



CAPÍTULO 9. CURVAS 175

9.2 Curvas em Coordenadas Polares

Coordenadas polares são muito úteis quando trabalhamos com curvas com algum ti po de simetria

em relação à origem do sistema de coordenadas. Observe isso nos próximos exemplos.

-2

-1

-2

-1

Fig. 9.8 : Círculo de raio 2

Exemplo 9.13 Um círculo de raio 2 como na ﬁgura ao la do, como sabemo s, pode ser representado num sistema

cartesiano pela equação x

= 4. Note que, em coordenadas polares, o mesmo lugar geométrico

pode ser representado pela equaç ão r = 2.

Olhando o círculo como curva parametrizada, em coordenadas ca rtesianas podemos representá-

lo pela eq uação X(t) = (2 cos t, 2 sen t) para t ∈ [0, 2π]. Em coordenadas polares teríamos o

seguinte:

r =

√

4 cos

t + 4 sen

t = 2

θ = arctg



4 sen t

4 cos t



= t.

Logo, a mesma equação, em coordenadas polares ﬁcaria X(t) = (2, t) COM t ∈ [0, 2π].

⊳

-30

-20

-10

-30

-20

-10

Fig. 9.9: Espiral

CAPÍTULO 9. CURVAS 176

Exemplo 9.14 Observe a espiral que é o lugar geométrico dado equação r = 2θ (θ ≥ 0) em coordenadas polares.

No mesmo siste ma de coordenadas poderíamos paramet rizar tal curva com X(t) = (2t, t) para

t ≥ 0. Em coordenadas cartesianas, no entanto, teríamos:

x = r cos θ = 2t cos t

y = r sen θ = 2t sen t

Donde obteríamos X(t) = (2t cos t, 2t sen t) para t ≥ 0.

Observe, no entanto, que apesar de podermo s representar o lugar geométrico de tal cur va por

r = 2θ (θ ≥ 0), é difícil representá-la no sistema cartesiano como uma equação envolvendo x e y

apenas.

Poderíamos pensar em escrever:

+ y

= 2 arctg





mas como a curva tem pontos com x = 0 e a função arctg tem imagem em



−



, tal equação

descreveria apenas o trecho de r = 2θ para θ ∈



Melhor seria e screver:

+ y

que descreve toda espiral exceto os pontos onde x = 0. Mesmo assim, tal equação é evidentemente

mais complexa que r = 2θ.

⊳

Mais alguns exemplos de curvas classicam ente representadas em coordenas p olares estão des-

critos abaixo. Tente veriﬁcar e compa rar nesses exemplos as equações nos sistemas cartesia no e

polar.

-2

-1

Fig. 9.1 0: Cardioide

CAPÍTULO 9. CURVAS 177

Exemplo 9.15 O cardióide, descrit o em coordenadas po lares pela equação r = a(1 + cos t), onde a é um número

real positivo, tem em coordenadas cartesianas equação (x

+ y

− ax)

= a

+ y

A sua representação paramétrica que em coordenadas polares assumiria a forma X(t) = (a(1+

cos t), t) pa ra t ∈ [0, 2π] tem no sistema cartesiano a forma:

X(t) =



1 − t

(1 + t

)

, 4a

(1 + t

)



⊳

-3

-2

-1

Fig. 9.11: Elipse de eixos 10 e 6

Exemplo 9.16 A elipse ao lado com eixo maior 10, eix o menor 6 e com um dos focos na origem pode ser represen-

tada em coordenadas polares pela equação :

r =

5 − 4 cos t

Num sistema car tesiano tal curva seria descrita por:

(x − 4)

= 1.

⊳

9.3 Coordenadas Esféricas e Cilindrícas

Durante o século XV, quando a Europa vivenciava o perí odo das grandes navegações, os navegado-

res, que sabiam caminhar sobre um globo aproximadamente esférico, começaram a usar um sistema

de localização na Terra formado pela latitude e longitude de um ponto.

Nesse sistema a Terra ﬁca dividida por paralelos, cí rculos centrados no eixo de rotação da Terra

e loc alizados em planos perpendiculares a este mesmo eixo, e meridianos, círculos com centro loca-

lizado no c entro do globo te rrestre passando pelos pólos norte e sul (determinados pela intersecção

do eixo de rotação do planeta com o globo).

Como podemos observar na Figura

9.12, podemos localizar um ponto na Terra pela sua lat itude,

que mede o ângulo (entre −90

e 90

) com vértice no centro da Terra formado entre o ponto e a

CAPÍTULO 9. CURVAS 178

Fig. 9.1 2: Latitude e Logitude

linha do Equador, e pela sua longitude, que mede o ângulo (entre −180

e 180

) entre o ponto e o

meridiano de Gree nwich, tido desde 1884 como o meridiano de referência para navegação.

Fig. 9.13: Coo rdenadas Esféricas

O sistema de coordenadas e sférico, de grande utilidade em problema s com simetrias em relação

a origem do espaço, é semelhante ao sistema de latitudes e longitudes usado em navegação. A única

diferença é que para localizar um ponto qualquer do espaço é necessária, além dos dois ângulos, a

distância do ponto a origem do espaço. Observe que para localizar uma estrela qualquer no universo

poderíamos dar a distância da me sma à Terra e a latitude e longitude do ponto onde aquela estrela

estará exatamente em cima de nós.

Para deﬁnir um sistema de coordenadas esférico precisamos escolher um ponto de origem O e

duas direções ortogonais, conhec idas como zênite e referência do azimute.

No caso do exemplo descrito acima o zênite é dado pela direção do eixo de rotação da Terra e a

referência de azimute é dada pela reta que liga o centro da Terra a o meridiano de Greenwich.

As coordenadas esféricas (r, phi, θ) de um ponto P são então dadas por:

CAPÍTULO 9. CURVAS 179

• raio ou distância radial r q ue é a distâ ncia (Euclideana) entre O e P ;

• ângulo polar ou colatitude φ dado pelo ângulo (entre 0 e π) entre o zênite e a direção do

segmento

OP ;

• azimute ou longitude θ, ângulo (entre 0 e 2π) entre a referência de azimute e a projeção orto-

gonal de

−−→

OP sobre um plano ortogonal ao zênite (plano de referência).

Notamos que no exemplo dado pelos paralelos e meridianos da Terra, o ângulo de lo ngitude é

igual ao azimute θ, mas o ângulo dado pela latitude de um dado po nto é o ângulo complementar ao

ângulo polar φ.

Note que no sistema de coordenadas esféric o os pontos localizados sobre o zêni te podem ser

representados por mais de uma tripla (r, φ, θ). De fato para tais p ontos (com φ = 0 ou φ = π) o

ângulo θ não importa.

Observando a Figura

9.14 concluímos facilmente que as coordenadas esféricas se relacionam

com as coordenadas cartesianas segundo as seguintes equações:

Fig. 9.1 4: Sphere Spirals de M.C. Escher

x = r sen φ cos θ

y = r sen φ sen θ

z = r cos φ

r =

+ y

+ z

φ = arctg

+ y

θ = arctg





Tente veriﬁca r isso.

Exemplo 9.17 Curva Loxodrómica:

CAPÍTULO 9. CURVAS 180

⊳

Problemas com simetria esférica em geral tem uma representação mais simples em coordenadas

esféricas. Observe a curva desenhada por M.C. Escher em sua obra “Sphere Spirals”. Tal curva

é conhecida com o curva loxodrómica e é a c urva que cruza os meridianos sempre com o mesmo

ângulo. Tal curva é representada por uma linha reta na projeção de Mercator (ver

Wikipedia), i sto é,

se m é a incli nação da reta e t

é o instante onde a curva cruza o Equa dor, na projeção de Mercator

teríamos:

x(t) = t

y(t) = m(t − t

)

Olhando para a curva numa esfera de raio 1 teríamos em coordenadas esféricas:

r(t) = 1

θ(t) = t

φ(t) = arcsin(tanh(m(t − t

))) +

Em coo rdenadas cartesianas, no entanto, tal curva seria representada pelas equações:

x(t) =

cos t

cosh(m(t − t

)

y(t) =

sen t

cosh(m(t − t

)

z(t) = tanh(m(t − t

))

Observe que nos sistema cartesiano é di fícil a primeira vista até mesmo saber que a curva se encontra

numa esfera, fato que no sistema esférico é i mediato.

Fig. 9.15: Coo rdenadas Cilíndricas

O sistema de coordenadas cilíndrico é, simpliﬁcadamente, o sistema de coordenadas polar do

plano euclideano complementado com uma terceira coordenada para descrever a altura z do ponto

CAPÍTULO 9. CURVAS 181

em relação ao plano Oxy. Pa ra deﬁnir as coordenadas cilíndricas de um po nto é nece ssári a a escolha

de um ponto de origem O, eixo Oz para marcar a altura e uma referência de azimute no plano

perpendicular a Oz pela origem (plano de referência). As coordenada s (r, θ , z) do po nto P são

deﬁnidas por:

• distância radial dada pela distância e uclideana de P ao eixo Oz;

• azimute θ, ângulo entre a referência de azimute e a proje ç ão de

−−→

OP sobre o plano de referência;

• altura z que é a distância de P ao plano de referência.

As coordenadas cilíndricas e cartesianas se relacionam de forma muito parecida com a a relação

entre coordenadas polares e cartesianas:

x = r cos θ

y = r sen θ

z = z

e, inversamente:

r =

+ y

θ = arctg





z = z

Exemplo 9.18 Hélice:

⊳

Voltemos ao Exemplo

9.6 que descrevia uma hélice que em coordenadas cartesianas possuia

equação X(t) = (cos t, sen t, t/10). Em coordenadas cilíndricas as equações paramé tricas se sim-

pliﬁcariam a:

X(t) = (1, t, t/10).

Estude isso.

9.4 Comprimento de uma Curva

Provavelm ente em cursos de física você já se deparou com a fórmula:

∆s = v∆t

que indica a distância percorrida ∆s por um corpo que se move durante um período de tempo ∆t

com velocidade constante v (onde v é igual ao comprimento do vetor velocidade v).

CAPÍTULO 9. CURVAS 182

Como poderíamos generalizar o cálculo da distância percorrida para um corpo que se move com

velocidade não constante entre os instantes t

e t ao longo de uma curva para metrizada X(t) =

(x(t), y(t))?

Algo que talvez também já seja fa miliar a você é que tal fórmula se generaliza por:

∆s =

v(t)dt,

onde v(t) = kv(t)k.

Inspirados por essas equações, deﬁnimos o comprimento de uma curva X : I → R

parametri-

zada por X(t) = (x(t), y(t), z(t)) no t empo t a partir do po nto t

por:

s(t) =

′

(t)kdt

ou de modo mais explíci to:

s(t) =

′

(t))

+ (y

′

(t))

+ (z

′

(t))

Fig. 9.1 6: Comprimento de uma curva

Intuitivamente a fór mula aci ma adm ite a seguinte interpretaç ão. Dividamos o i ntervalo [t

, t ]

em partes de modo que t

< t

< ··· < t

n+1

= t. O comprimento do segmento de reta que

liga X(t

) à X(t

i+1

), obtido pelo Teorema de Pit ágoras, é dado por :

∆s

(∆x

)

+ (∆y

)

+ (∆z

)

onde ∆x

= (x(t

i+1

) − x(t

)), ∆y

= (y(t

i+1

) − y(t

)) e ∆z

= (z(t

i+1

) − z(t

)). Assim o

comprimento ∆s da curva par ametrizada X(t) de t

à t é dado aproximadamente por:

∆s ≈

i=0

∆s

Ver Figura

9.16.

Mas, se ∆t

i+1

− t

) temos:

∆s



∆x

∆t





∆z

∆t





∆z

∆t



(∆t

)



)

+ (v

)

+ (v

)



∆t

CAPÍTULO 9. CURVAS 183

onde v



∆x

∆t



, v



∆y

∆t



e v



∆z

∆t



. Aumentando a partição e dimi nuindo os

intervalos [t

, t

i+1

] temos que no limite a expressão

∆s ≈

i=0



)

+ (v

)

+ (v

)



∆t

torna-se

s(t) =

′

(t))

+ (y

′

(t))

+ (z

′

(t))

Exemplo 9.19 Qual o comprimento do círculo de raio 1?

⊳

Solução: O círculo de raio 1 pode ser representado c omo uma curva parametriz ada por X(t) =

(cos t, sen t). Para obtermos o comprimento do círculo integramos a norm a do vetor velocidade

′

(t) = (−sen t, cos t):

s(2π) =

2π

sen

t + cos

tdt =

2π

1dt = 2π.



Exemplo 9.20 Qual o comprimento da héli c e dada por X(t) = (cos t, sen t, t/10) entre os instantes 0 e 4π?

⊳

Solução: O vetor velocidade da c urva é dado por X

′

(t) = (−sen t, cos t, 1/10). Logo:

s(4π) =

4π

sen

t + cos

t +





dt =

4π

101

100

dt =

4π

√

101



9.5 Regiões planas limitadas por curvas

Frequentemente em problemas de física e engenharia precisamos encontrar áreas de regiões do

plano limitadas por curvas planas. Não é raro, tamb ém, problemas q ue envolvem densidades (de

massa, por exemplo) variáveis numa placa plana, sobre a qual estamos interessados em entidades

CAPÍTULO 9. CURVAS 184

como o peso ou centro de massa. Para lidar com tais problemas utilizam-se ferramentas desenvolvi-

das em cálculo integral, um tema que vai muito além do escopo deste livro. No presente momento

não nos é necessário entender quais são e como podemos utilizar tais ferramentas. No entanto a

descrição de regiões do plano limitadas por curvas é um tema de grande interesse para a geometri a

analítica. Temas este que trataremos a seguir.

Um modo interessante de descrevermos regiões limitas por curva s é nos utilizarmos de coorde-

nadas cartesianas e “escanearmos” a região analisando a intersecção da região com retas verticais,

ou seja, retas do tipo x = k, onde k é uma co nstante real.

Fig. 9.1 7: Região limitada por 3 retas

Exemplo 9.21 Imagine que queiramos descrever a região interna ao tri ângulo representado na Figura 9.17, isto é

a área limitada pelos pontos O = (0, 0), A = (2, 0) e B = (1, 2). Podemos descrevê-la analisando

a intersecção das retas de equaç ão x = k, para k ∈ [0, 2], com o triângulo. Como a reta

←→

OB tem

equação y =

x, veríamos q ue para um dado x ﬁx ado os pontos do triângulo teriam a coordenada

y no i ntervalo [0,

x]. Simbolicamente representaríamos a área do triângulo por:

△OAB

x=2

x=0

y =

y =0

dydx

⊳

Exemplo 9.22 Considere agora o triângulo △OAB limitado pelos pontos O = (0, 0), B = (4, 2) e C = (2, 4)

(Figura 9.18). Nesse caso, x deve variar no intervalo [0, 4] para c obrir todo o triângulo. No entanto,

quando x pert ence ao intervalo [0, 2] a coordenada y ﬁca limitada pelas retas

←→

OB e

←→

OA, e quando x

está no interva lo [2, 4] a coordenada y ﬁca limitada por

←→

OB e

←→

AB. Assim sendo, para simpliﬁcar a

descrição da região “escaneada” por retas verticais, de screvemos a área do triângulo △OAB como

a soma dos triângulos △OAE e △EAB.

CAPÍTULO 9. CURVAS 185

b b

Fig. 9.1 8: Região limitada por 3 retas

Descrevendo o triângulo △OAE temos então que, para x entre 0 e 2, os pontos do triângulo

ﬁcam entre a s retas

←→

OB e

←→

OA, de equações y =

x e y = 2x, respectivamente. Logo, para x ∈ [0, 2]

devemos ter

x ≤ y ≤ 2x, ou seja, y ∈ [

x, 2x]. Simbolicamente :

△OAE

x=2

x=0

y =2x

y =

dydx.

Para o tr iângulo △EAB teríamos x variando entre 2 e 4. Nesse ca so, os pontos do triângulo

ﬁcam entre as retas

←→

OB e

←→

AB, de equações y =

x e y = −x + 6, respecti vamente. Logo, para

x ∈ [2, 4] devemos ter

x ≤ y ≤ −x + 6, ou seja, y ∈ [

k, −k + 6]. O que simbolic amente ﬁca ria:

△EAB

x=4

x=2

y =−x+6

y =

dydx.

Finalmente, a área do triângulo △OAB seria representada por:

△OAB

= A

△OAE

+ A

△EAB

x=2

x=0

y =2x

y =

dydx +

x=4

x=2

y =−x+6

y =

dydx.

⊳

Exemplo 9.23 Considere agora a região do plano acima do eixo Ox e limitada pelo círculo de equação x

+ y

= 4

(Figura 9.19). Podemos de screvê-la variando x no intervalo [−2, 2] e, para cada x ﬁx ado, fazer y

CAPÍTULO 9. CURVAS 186

r = 2

Fig. 9.1 9: Setor circular

percorrer o intervalo de 0 (reta y = 0) até y =

√

4 − x

(parte da curva x

+ y

= 4 sobre o eixo

Ox). Desse modo, a área seria simbolicamente indicada por:

AOB

x=2

x=−2

y =

√

4−x

y =0

dydx.

⊳

Fig. 9.2 0: Meio anel

Exemplo 9.24 Suponha agora que queiramos descrever a região do plano acima do eixo Ox e limitada pelos círculos

centrados em 0 = (0, 0) e de raios 1 e 2 (Figura 9.20). Novamente, podemos descrevê-la variando x

no intervalo [−2, 2]. Mas agora, para x ∈ [−2, −1] e x ∈ [1, 2], y ﬁca entre a reta y = 0 e a curva

y =

√

4 − x

e, para x ∈ [−1, 1], y está limitado pelas curvas y =

√

1 − x

e y =

√

4 − x

. Desse

modo, a área seria simbolicamente indicada por:

CGHA

x=−1

x=−2

y =

√

4−x

y =0

dydx +

x=1

x=−1

y =

√

4−x

y =

√

1−x

dydx +

x=2

x=1

y =

√

4−x

y =0

dydx.

Alternativamente, podería mos descreve r a mesma área subtraindo a área entre o eix o Ox e o círculo

de raio 1 da área entre Ox e o círculo de raio 2, ou seja:

CGHA

x=2

x=−2

y =

√

4−x

y =0

dydx −

x=1

x=−1

y =

√

1−x

y =0

dydx.

CAPÍTULO 9. CURVAS 187

⊳

Quando as regiões a serem descritas têm certa simet ria circular como nos Exemplos

9.23 e 9.24,

um modo interessante de descrever as áreas é através do uso de coordenadas pola res. Podemos

descrever uma dada região variando a coordenada θ e olhando para a intersecçã o da região com a

semi-reta de equação θ = k (em co ordenadas po lares).

Assim a área do Exemplo 9.23 poderia ser representada va riando θ no intervalo [0, π] e, fazendo,

para cada θ ﬁxado, r percorrer o intervalo [0, 2]. Sim bolicam ente representaríamos isso por:

AOB

θ =π

θ =0

r=2

r=0

rdrdθ.

Observação 9.25 Em coordenadas cartesianas usualmente escrevemos dydx na descrição da área motivados pelo fato

de que a área de um retângulo de base ∆x e altura ∆y é ∆y∆x.

Em coordenadas polares escrevemos rdrdθ a o invés de apenas drdθ, pois a área de um set or

circular deﬁnido por um dado ∆θ e com r aio varia ndo entre r e r + ∆r é aproximadamente dada

por r∆r∆θ se ∆r é pequeno.

Mais detalhes podem ser encontrados em referências clássicas de cálculo.

A região do Exemplo

9.24, por sua vez, poderi a ser representada va riando θ no intervalo [0, π]

e, fazendo, para cada θ ﬁxado, r percorrer o inte rvalo [1, 2]. Simbolicamente representaríamos isso

por:

AOB

θ =π

θ =0

r=2

r=1

rdrdθ.

-2

-1

Fig. 9.2 1: Cardioide

Exemplo 9.26 Imagine que q ue iramos usar coordenadas polares para descrever a região do plano limitada pelo

cardióide de equaçã o r = 1 + cos θ. Para isso, faz emos θ variar no intervalo [0, 2π] e, para cada θ

ﬁxado, fazemos r variar entre 0 e 1 + cos θ. Assim tal região seria descrita po r:

A =

θ =2π

θ =0

r=1+cos θ

r=0

rdrdθ.

CAPÍTULO 9. CURVAS 188

⊳

Exercícios

Ex. 9.1 — Esboce as regiões descritas abaixo:

−1

dydx

dxdy

log x

dydx

−3

√

9−x

−

√

9−x

dydx

√

9−x

dydx

−2

1−

dydx

Ex. 9.2 — Descreva as regiões abaixo de dois modos diferentes usando a nota ç ão para co ordenadas

cartesianas descrita acim a:

a) Região limitada pelos eixos coordenados Ox e Oy e a reta y + 2x = 4

b) Região limitada pelas pa rábola s x = y

− 1 e x = 2y

+ 3.

c) Região dentro da elipse

= 1.

d) Regiã o acima do eixo Ox à direita do eixo Oy e entre os círculos x

+ y

= 4 e x

+ y

= 9.

e) Região limitada da ﬁgura abaixo:

Ex. 9.3 — Inverta a notação de (??) para (??) ou (??) para (??) nos itens do Exercício 9.1.

CAPÍTULO 9. CURVAS 189

Ex. 9.4 — Esboce as regiões descritas abaixo usando coordenadas p olares:

2π

rdrdθ.

2π

rdrdθ.

Ex. 9.5 — Use coordenadas polares para descrever as regiões abaixo:

a) Anel centrado na origem de raio interno 2 e raio externo 4

b) Parte do anel centrado na origem de raio interno 1 e ra io externo 2, loc alizada no primeiro

quadrante.

c) Parte do anel centrado na origem de raio interno 1 e raio externo 2, localizada no primeiro

quadrante, entre o eixo Oy e a reta y = x.

Mudança de Coordenadas Ortogonais

no Plano

Como sabemos, um sistema de c oordenadas Σ no plano é um conjunto de dois vetores linearm ente

independente s f

, f

(ou seja uma base E para V

) e um ponto O, chamado de origem do sistema

de coordenada s.

Sabem os de modo geral que um ponto ﬁxo P ao ser repre sentado em diferentes sistemas de

coordenadas possuirá coordenadas distintas. Esse fato foi usado inúmeras vezes ao escolhermos um

sistema de co ordenadas para representarmos um problema: o mote era que através de uma esco-

lha adequada para o sistema de coordenadas podemos simpliﬁcar diversos problemas de geometria

analítica.

Neste capit ulo iremos um pouco além e entenderemos a relação entre a representação e m dife-

rentes sistemas de coordenadas através das mudanças de coordenadas, isto é, de algumas transfor-

mações que nos permitem identiﬁcar os objetos geo métricos nos diferentes sistemas. Mas antes de

irmos ao caso geral concentraremos nossos esforços num tipo especia l de muda nças de coordena-

das, as transformações ortogonais e em especial a translação e rotação.. Estas apresentam-se como

transformações de fundame ntal importância para nós uma vez que levam sistemas de coordenadas

cartesianos em sistemas cartesianos.

10.1 Translação

Uma translação é uma mudança de coordenadas entre dois sistemas Σ = (O, B = (e

, e

)) e

′

= (O

′

, B

′

= (f

, f

)) na qual as bases B e B

′

são iguais, isto é, apenas O e O

′

diferem.

190

CAPÍTULO 10. MU DANÇA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO 191

Fixado um ponto P do espaço, qual a relaçã o entre as coordenadas (x, y) de P no sistema Σ e

as coordenadas (x

′

, y

′

) de P no sistema Σ

′

Fig. 10.1: Translação

Sejam (h, k) as c oordenadas do ponto O

′

no sistem a Σ. Temos então que, na base (e

, e

−−→

OP = (x, y),

−−→

′

P = (x

′

, y

′

) e

−−→

′

= (h, k). Como

−−→

OP =

−−→

′

−−→

′

P , temos que (x, y) =

′

, y

′

) + (h, k). Dessa forma a mudança de coordenadas de Σ

′

para Σ assume a seguinte forma :

′

onde (h, k) as coordenadas do ponto O

′

no sistema de coordenada s sistema Σ

10.2 Eliminação dos t erm os lineares de uma equação quadrática

Vamos agora usar a translação para simpliﬁcar a equação f (x, y) = Ax

+ By

+ Cxy + Dx +

Ey + F = 0, eliminando seus o s termos lineares.

As equações da s translações são

(

x = x

′

+ h

y = y

′

+ k

Substituindo na equação de segundo grau temos:



′

+ h



+ B



′

+ k



+ C



′

+ h



′

+ k



+ D



′

+ h



+ E



′

+ k



+ F = 0

expandindo temos:

+ Chk + 2Ahx

′

+ Chy

′

+ Dh + Bk

+ Ckx

′

+ 2Bky

′

+ Ek+

+A(x

′

)

+ Cx

′

+ Dx

′

+ B(y

′

)

+ Ey

′

+ F = 0

CAPÍTULO 10. MU DANÇA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO 192

Agrupando o s termos

A(x

′

)

+ B(y

′

)

+ Cx

′

+ (2Ah + Ck + D) x

′

+ (Ch + 2Bk + E) y

′

+ (10.1)

+Ah

+ Bk

+ Chk + Dh + Ek + F = 0

Queremos que os ter mos lineares se anulem, logo

2Ah + Ck + D = 0

Ch + 2Bk + E = 0

Se o sistema tiver solução, então teremos resolvido o problema . Isso ocorre po r exemplo se



2A C

C 2B



= 4AB − C

6= 0

Caso o determina nte se anule, podemos não ter nenhuma solução (sistema im possível) ou um

número inﬁnito de soluções (sistema indetermina do).

Notemos também que os coeﬁciente s dos termos de grau dois não se alteram e que o term o

constante F

′

vale f(h, k) = Ah

+ Bk

+ Chk + Dh + Ek + F = 0

Exemplo 10.1 Achar uma translação que elimine os ter mos lineares da equação:

− 5xy − 11y

− x + 37y + 52 = 0

⊳

Solução: Se substituirmos x = x

′

+ h e y = y

′

+ k. Teremos



′

+ h



−5



′

+ h



′

+ k



− 11



′

+ k



−



′

+ h



+ 37



′

+ k



+ 52 = 0 (10.2)

Donde temos:

′

)

− 5x

′

− 11(y

′

)

+ (2h − 5k − 1)x

′

− (5h + 22k − 37)y

′

+ (h

− 5hk − 11k

− h + 37k + 52) = 0

Como queremos que os termos em x

′

e em y

′

se anulem, devemos ter para i sso

2h − 5k − 1 = 0

5h + 22k − 37 = 0

O sistema linear acima possui uma única solução [h = 3, k = 1] . E logo a equação

10.2 se sim pliﬁca

′

)

−5x

′

− 11(y

′

)

+ 69 = 0

CAPÍTULO 10. MU DANÇA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO 193



Exemplo 10.2 Simpliﬁque a equação g (x, y) = 4x

− 4xy + 7y

+ 12x + 6y − 9 = 0.

⊳

Solução: Usemos agora o deduzido imediatamente ante s do Exemplo 10.1.

Sejam

(

x = x

′

+ h

y = y

′

+ k

Para termos os t ermos lineares nulos, devemos ter

(

8h − 4k + 12 = 0

−4 + 14k + 6 = 0

Resolvendo esse sistema linear c h egamos a h = −2 e k = −1

Temos, assim, que F

′

= g(−2, −1) = 4 (−2)

−4 (−2) (−1)+7 (−1)

+12 (−2)+6 (−1)−9 =

−24. Logo a equação no sistema Σ

′

ﬁca



′



− 4x

′

+ 7



′



−24 = 0



Exercícios

Ex. 10.1 — Em cada um dos seguintes itens, transformar a equação dada por uma translação dos

eixos coordenados para a nova origem indicada.

+ y

+ 2x − 6y + 6 = 0 (−1, 3)

+ 2y

+ 12x − 4y + 8 = 0 (−2, 1)

− x

+ 3y

− 4y + 3y − 3 = 0 (−2, −1)

xy − 3x + 4y − 13 = 0 (−4, 3 )

Ex. 10.2 — N os item abaixo, por uma translação dos eixos coordenados, transformar a eq uação dada

em outra desprovida de termos do primeiro grau.

+ y

+ 16x − 4y + 32 = 0

CAPÍTULO 10. MU DANÇA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO 194

− 2y

− 42x − 4y + 133 = 0

xy − x + 2y − 10 = 0

Ex. 10.3 — Dada uma equação quadr ática em duas variáveis Ax

+ Cxy + By

+ Dx + Ey + F =

0, prove que se 4AB − C

6= 0 então será possível eliminar os termos lineares através de uma

translação. Veriﬁque que a recíproca não é verdadeira, i.e., é possível eliminar os termos lineares de

uma equação quadrática em duas variáveis através de uma translação mesmo tendo 4AB −C

= 0.

Faça isso mostrando que, por exemplo, a equação quadrática 4x

+ y

+ 4xy + 2x + y = 0 satisfaz

4AB − C

= 0 p orém existem inﬁnitas translações que elimina m o termo misto.

Ex. 10.4 — Prove que na equação de segundo grau f (x, y) = Ax

+Bxy+Cy

+Dx+Ey+F = 0,

quando a origem é transladada para o ponto (h, k) o termo constante é transformado em f (h, k).

10.3 Rotação

Considere no plano um sistema de coordenadas Σ = (O, e

, e

). A rotação de Σ por um ângulo α

corresponde a um sistema de coordenadas Σ

′

= (O, f

, f

) onde os vetores f

, f

são iguais aos

vetores e

, e

girados de α no sentido anti-horário.

′

Fig. 10.2: Rotação

Em c oordenadas p olares temos o seguinte. Considere um ponto P de coordenadas (r, θ) . Subs-

tituindo θ por θ −α rotacionamos o ponto P pelo a ngulo α (Por quê?). O u sej a, deﬁnindo um novo

sistema de coordenadas polares por r

′

= r e θ

′

= θ−α, obtemos um sistem a de coordenadas polares

rotacionado de α.

A partir da identiﬁcação do sistem a polar com o sistema cartesianas associado temos que as

CAPÍTULO 10. MU DANÇA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO 195

coordenadas (x, y) de P obedecem:

x = r cos θ

y = r sen θ

Por outro la do, denotando po r (x

′

, y

′

) as coordenadas de P no sistema cartesiano rotacionado temos

então:

′

= r cos (θ −α)

′

= r sen (θ − α)

e assim

′

= r cos θ cos α + r sen θ sen α

′

= r cos α sen θ − r cos θ sen α.

Como x = r cos θ e y = r sen θ segue que

′

= x cos α + y sen α

′

= −x sen α + y cos α,

o que relaciona as coordenadas (x, y) de P no sistema Σ com as coordenadas (x

′

, y

′

) de P no

sistema cartesiano Σ

′

rotacionado de um ângulo α.

Em notação mat ricial temos:

′

cos α sen α

−sen α cos α

Calculando a tr ansformação inversa (m atriz inversa) segue então que

cos α −sen α

sen α cos α

′

Donde:

x = x

′

cos α − y

′

sen α

y = x

′

sen α + y

′

cos α,

Eliminemos agora o termo misto de Ax

+ By

+ Cxy + Dx + Ey + F = 0 através de rotação.

CAPÍTULO 10. MU DANÇA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO 196

Queremos achar uma rotação por um ângulo α tal que a equação acima se reduza a

′

+ B

′

+ D

′

x + E

′

y + F

′

= 0

Substituindo x = x

′

cos α − y

′

sen α e y = y

′

cos α + x

′

sen α em Ax

+ By

+ Cxy + Dx +

Ey + F = 0 teremos:



′

cos α − y

′

sen α



+ B



′

cos α + x

′

sen α





′

cos α − y

′

sen α



′

cos α + x

′

sen α



+ D



′

cos α − y

′

sen α





′

cos α + x

′

sen α



+ F = 0

Expandindo:

A(x

′

)

cos

α − Ax

′

2 sen α cos α + A(y

′

)

sen

+B(y

′

)

cos

α + Bx

′

2 sen α cos α + B(x

′

)

sen

+Cx

′

cos

α + C(x

′

)

sen α cos α − C(y

′

)

sen α cos α − Cx

′

sen

α+

+Dx

′

cos α − Dy

′

sen α + Ey

′

cos α + Ex

′

sen α + F = 0

Donde chegamos a:

′

+ B

′

+ C

′

+ D

′

x + E

′

y + F

′

= 0,

onde:

′

= A cos

α + B sen

α + C cos α sen α

′

= B cos

α + A s en

α − C cos α sen α

′

= C cos

α − C sen

α − 2A cos α sen α + 2B cos α sen α

′

= D cos α + E sen α

′

= E cos α − D sen α

′

= F

Para eliminar o termo misto devemos ter

′

= C cos

α − C sen

α − 2A cos α sen α + 2B cos α sen α

seja zero, ou seja queremos que

′

= C cos 2α − (sen 2α) (A − B) = 0

E assim:

cot (2α) =

A − B

CAPÍTULO 10. MU DANÇA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO 197

Um modo m ais fácil de lembrar dessas equações é notar que A

′

+ B

′

= A + B e que

′

− B

′

= A cos

α + B sen

α + C cos α sen α −



B cos

α + A sen

α − C cos α sen α



= A cos

α − B cos

α − A s en

α + B sen

α + 2C cos α sen α.

Usando as formulas de ângulo duplo cos

θ −sen

θ = cos (2θ) e 2 sen θ cos θ = sen (2θ) temos

′

− B

′

= A

′

cos 2α − B

′

cos 2α + C

′

sen 2α



′

− B

′



cos 2α + C

′

sen 2α.

Logo

′

− B

′

= C sen 2α



A − B

cos 2α

sen 2α

+ 1



= C sen 2α



cot

(2α) + 1



Assim

′

− B

′

= C csc (2α) .

Desse modo, para acharmos A

′

e B

′

temos de resolver o sistema











′

+ B

′

= A + B

′

− B

′

= C csc (2α) = C



A − B



+ 1

Exemplo 10.3 Simpliﬁque a equação g (x, y) = 4x

− 4xy + 7y

+ 12x + 6y − 9 = 0

⊳

Solução: Co mo vimos na seção anterior a translação

(

x = x

′

− 2

y = y

′

− 1

elimina os te rmos lineares e transforma a equação para



′



− 4x

′

+ 7



′



−24 = 0

h = −2 e k = −1

Então uma rotação por cot (2α) =

A − B

−3

−4

irá eliminar o termo misto. Note que se

cot (2α) =

, então o â ngulo α está no primeiro quadrante e csc 2α =

. (Só para sua curiosidade

α ≃ 26.565)

CAPÍTULO 10. MU DANÇA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO 198

Logo

(

′′

+ B

′′

= A

′

+ B

′

= 11

′′

− B

′′

= C csc (2α) − 5

Resolvendo o sistema linea r temos que A

′′

= 3 e B

′′

= 8 e logo a equação ﬁca



′′



+ 8



′′



= 24

′′

)

′′

)

= 1

(Como veremos depois, uma elipse horizontal) 

Exercícios

Ex. 10.1 — Determinar as novas coordenada s dos pontos (1, 0) e (0, 1) quando os eixos coordenados

são girados de um ângulo de 30

Ex. 10.2 — Par a cada equação abaix o transformar a equação dada por uma rota ç ão dos eixos coor-

denados do ângulo indicado:

2x + 5y − 3 = 0, arctg 2, 5

− 2xy + y

− x = 0, 45

√

+ 3xy − 1 = 0, 60

Ex. 10.2 — Por uma rotação dos eixos coordenados, transformar a equação dada em outra despro-

vida do term o xy.

+ 4xy + y

√

5x = 1

+ 3xy + 9y

= 5

− 2xy + y

− 4 = 0

16x

+ 24xy + 9y

+ 25x = 0

Ex. 10.2 — Prove que os números A + C e B

− 4AC são invariantes por rotações.

10.4 Equações Geral do Segundo Grau no Plano

Através do uso de translações e rotações do sistema de coordenadas, podemos observar que as

equações de elipses, paráb olas, hipérboles e circunferências podem ser escritas na forma Ax

CAPÍTULO 10. MU DANÇA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO 199

+Cxy +Dx + Ey +F = 0. No entanto, nem toda equação nessa forma representa uma dessas

cônicas. Por exemplo, a equação x

− y

= 0, ou de modo mais conveniente (x + y)(x − y) = 0,

representa duas retas c oncorrentes: x + y = 0 e x − y = 0.

É um bom exercício observar que podemos dividir equaçõe s qua dráticas do tipo Ax

+ By

Cxy + Dx + Ey + F = 0, em três grupo s de acordo com as curvas que elas representam:

• Equa ç ões do tipo elíptico, onde C

− 4AB < 0: vazio, ponto, circunferência ou elipse;

• Equa ç ões do tipo parabólico, onde C

− 4AB = 0: vazio, reta, união de duas retas pa ralelas

ou parábola;

• Equa ç ões do tipo hiperbólico, onde C

− 4AB > 0: união de duas reta s concorrentes ou

hipérbole.

Exemplo 10.4 Exemplos de equações quadráticas em x, y:

Equaçõ es do tipo elíptico:

• x

+ y

+ 1 = 0: Vazio;

• x

+ y

= 0: Ponto;

• x

+ y

− 1 = 0: Circunferência;

• x

+ 2y

− 1 = 0: Elipse.

Equaçõ es do tipo parabólico :

• (x + y)

= x

+ 2xy + y

= 0: Uma reta;

• (x + y)(x + y + 1) = x

+ 2xy + y

+ x + y = 0: União de duas retas paralelas;

• x − y

= 0: Paráb ola.

Equaçõ es do tipo hiperbólico:

• (x + y)(x − y) = x

− y

= 0: União de duas retas concorrentes;

• (x + y)(x + y + 1) = x

− y

− 1 = 0: Hipérbole.

⊳

Para uma identiﬁcação exata da curva representada pe la equação devemos através de translações

e rotações obter uma e quação simpliﬁcada, isto é, sem termos lineares e misto. Para isso, sugerimos

o seguinte método:

CAPÍTULO 10. MU DANÇA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO 200

Veriﬁque se existe termo misto, isto é, se C 6= 0. Se C = 0, complete quadrado e faça uma

translação para ﬁnalizar a simpliﬁcação da equação.

Caso C 6= 0, pro c eda com o indicado no capítulo de Mudança de Coordenadas, para eliminar

os termos de primeiro grau via translação.

Observação 10.5 Podemos, nesse ponto, chegar a um sistema incompatível. Nesse caso, partimos para o pró-

ximo passo sem nada fazer.

Como feito no ca pítulo de Mudança de Coordenadas, eliminamos agora o termo misto via

rotação.

Como vimos no exercício ??, é possível através de t ranslações eliminar os termos lineares de

+ Bxy + Cy

+ Dx + Ey + F = 0 (com ce rteza) se 4AB − C

6= 0.

Caso 4AB − C

6= 0

Nesse caso a simpliﬁcação segue via t ranslação e rotação.

Exemplo 10.6 Reduzir a equação x

− 5xy − 11y

−x + 37y + 52 = 0.

⊳

Solução: Fazemos a translação x = x

′

+ h e y = y

′

+ k e queremos que os coeﬁcientes de x

′

e y

′

anulem. Par a isso teremos que

(

2h − 5k −1 = 0

5h + 22k − 37 = 0

Cujas soluções são h = 3 e k = 1. Ou seja a nova origem é o po nto (3, 1) e nesse sistema a

equação ﬁca



′



+ 5x

′

+ 11



′



+ 69 = 0

Para eliminar o termo misto devemos rotar a equação p or

cot (2θ) = −12/5

E a equação após a rotação ﬁca sendo

′′



′′



+ B



′′



= 69

Onde A

′′

+ B

′′

= A

′

+ B

′

e A

′′

− B

′′

= B

′

cot (2θ) + 1 e assim

′′

= −

e B

′′

CAPÍTULO 10. MU DANÇA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO 201

e a equação se re duz a

′′

= 1



Caso 4AB − C

= 0

Neste caso não tentaremos eliminar os termos lineares e passaremos direto ao termo misto. Par a

eliminar o term o misto faremos uma rotação pelo ângulo dado por

cot (2α) =

A − B

Exemplo 10.7 16x

− 24xy + 9y

+ 15x + 17y + 15 = 0

⊳

Solução: N este caso 4AB − C

= 0 . Elimina remos o termo misto rotacionando por um ângulo de

cot (2θ) =

A − B

= −

Neste caso temos um triângulo de lados −7, 24 e 25. e desta forma sen (2θ) = 24/25 e

cos (2θ) = −7/25

Também sabe mos que

tg θ =

sen (2θ)

1 + cos (2θ)

e logo tg (θ) = 24/18 = 4/3 e logo sen (θ) = 4/5 e cos (θ) = 3/5 e as eq uações da rotação ﬁcam

sen (2θ) = 2 cos θ sen θ cos (2θ) = cos

θ − sen

x =

′

−

′

y =

′

e a equação reduzida pode ser ca lc ulada pela s equações

′

+ B

′

= A + B = 25

′

− B

′

= C csc (2α) = −25

e logo A

′

= 0 e B

′

= 25 e a equação se reduz a



′



− 38



′

−

′



− 34



′



+ 71 = 0

CAPÍTULO 10. MU DANÇA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO 202



′



− 50x

′

+ 10y

′

+ 71 = 0

Completando os quadr ados temos



′



= 2



′

−





Exercícios

Ex. 10.1 — Identiﬁque e desenhe as curvas , mostrando os novos eixos após a rotação e tra nslação:

+ 4xy + 5y

− 8x − 14y + 5 = 0

− 5xy + 13y

+ 7x − 31y − 37 = 0

+ 12xy + 8y

− 24x − 40y + 60 = 0

11x

+ 6xy + 3y

− 12x − 12y − 12 = 0

− 8xy + y

+ 14x − 8y + 16 = 0

+ 12xy + y

− 36x − 6y = 0

− 15xy + y

+ 63x = 0

25x

+ 120xy + 144y

+ 86x + 233y + 270 = 0

+ 120xy + 144y

− 312x + 130y + 156 = 0

− 4xy + 4y

+ 3x − 6y − 28 = 0

+ 12xy + 9y

− 2x − 3y ± 2 = 0 (dois problemas)

10.5 Um pouco de Álgebra Linear

Dado uma matriz real 2 × 2:

A =

e v = (x, y) um vetor no plano.

Deﬁnimos o produto da matriz A pelo vetor v como

Av := (a

x + a

y, (a

x + a

CAPÍTULO 10. MU DANÇA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO 203

O produto da matriz A pelo vetor v deﬁnida acima é linear, isto é, satisfaz:

A(λ

u + λ

v) = Aλ

u + Aλ

para todos os vetores u, v e para todos escalares λ

, λ

. A demonstração desse fato será deixada

como exercício.

Definição 10.8 Um número real λ é dito autovalor par a a matriz A se existir um vetor v não nulo tal que

Av = λv

Dado λ um autovalor da matriz A, diremos que q ue um vetor u é um autovetor de A asso c iado

ao autovalor λ se Au = λu.

Em coo rdenadas temos as seguintes condições:

x + a

y, (a

x + a

y) = (λx, λy)

Ou equivalentemente:

(

− λ)x + a

y = 0

x + (a

− λ)y = 0

O sistema aci ma t em solução não trivial somente se:

det

− λ a

1 a

− λ

= 0

Ou seja, λ é um autovalor da matriz A se e somente se for raiz do polinômio p

(λ) = (a

−

λ)(a

− λ) + a

. O polinômio p

(λ) é dito polinômio característica da matriz A.

Os argumentos anteriores provam o seguinte teorema:

Teorema 10.9 Os autovalores de uma matriz A são a s raízes do polinômio característico da matriz A.

Para uma matriz simétrica tem os:

Teorema 10.10 Dado uma matriz A simétrica 2 × 2 então:

A possui dois autovalores reais λ

e λ

CAPÍTULO 10. MU DANÇA DE COORDENADAS ORTOGONAIS NO PLANO 204

Existe um par de autovetores u e v relativos aos autovalores λ

, λ

respectivamente. Esses

autovetores são ortogonais.

Considere a matriz B cuja primeira coluna é formada pelas coo rdenadas de u e a segunda

coluna é formada pe la coordenadas do vetor v então:

BAB =

0 λ

Demonstração.

O discriminante da equação quadrát ica p

(λ) = 0 é ∆ = (A − C)

+ B

. Como o discrimi-

nante é não negativo as raízes são reais .

Se ∆ > 0 a equação tem p

(λ) = 0 tem raízes reais distintas: λ

, λ

Sejam u e v tais que Au = λ

u e Av = λ

Vamos provar que u e v são ortogonais

Au · v = u · Av

Logo

u · v = λ

u · v

(λ

− λ

)u · v = 0

e logo u · v = 0

Fazer.

Mudança de Coordenadas no Espaço

11.1 Mudança de Base

Dadas duas bases do espaço E = {e

, e

} e F = {f

, f

}. Os vetores e

podem ser escritos

como combinação linear de f

= a

+ a

(11.1)

= a

+ a

(11.2)

= a

+ a

(11.3)

Dado um vetor qualquer ele pode ser escrito como como combinação linear de e

e de f

v = xe

+ ye

+ ze

v = uf

+ vf

+ wf

Ou de modo equivalente as coordenadas de v na ba se E são (x, y, z) e a s coordenadas desse

mesmo vetor na base F são (u, v, w) . O problema que queremos resolver é o seguinte: Imagine que

são dadas as coordenadas do vetor v na base E. Como fazemos para descobrir as coordenadas desse

vetor na base F ?

Esse problema é fácil de resolver para isso substituiremos a s expressões de e

, e

na base F

dadas em

11.1,11.2 e 11.3 em v = xe

+ ye

+ ze

v = x (a

+ a

) + y (a

+ a

) + z (a

+ a

)

v = (xa

+ ya

+ za

) f

+ (xa

+ ya

+ za

) f

+ (xa

+ ya

+ za

) f

205

CAPÍTULO 11. MU DANÇA DE COORDENADAS N O ESPAÇO 206

Em notação mat ricial temos:





































A matriz

E,F













é chamada matriz mudança de base de E para F.

Exemplo 11.1 Seja a base F dada por

= 2f

+ 3f

+ 4f

= f

+ f

= f

Então a matriz mudança de base vale

E,F







2 1 0

3 1 1

4 1 0







Essa expressão pode ser facilmente generalizada pa ra um espaço vetoria l ﬁnito. Neste caso seja

E = {e

}

i=1

e F = {f

}

i=1

. E seja a expansão de e

na base F

i=1

(11.4)

Então dado um vetor v =

k=1

e v =

k=1

então substituindo

11.4 em

v =

k=1

temos

k=1

i=1

k=1

i=1

k=1

i=1

e logo

i=1

CAPÍTULO 11. MU DANÇA DE COORDENADAS N O ESPAÇO 207

ou em notação matricial:



















. . . a



















⊳

E se ﬁzemos duas mudanças de base uma de E para F e o utra de F para G, qual será a matriz

mudança de base de E para G? Neste caso sejam A

E,F

= (a

) a matriz mudança de base de E

para F e B

F,G

= (b

) a matriz mudança de base de F para G. Queremos determina r C

E,G

= (c

)

a matriz mudança de base de E para G.

Assim temos que f

i=1

e g

k=1

, substituindo a primeira expressão na

segunda temos:

k=1

i=1

⇒ g

i=1

k=1

Como g

i=1

, temo s que

k=1

Ou seja, a matriz C

E,G

= A

E,F

· B

F,G

Uma c onsequência da expressão acima é que se a mudança da base E par a F é a matriz A, entã o

a mudança da base F para a base E é a matriz A

−1

Exemplo 11.2 Na exemplo anter ior a base E era da da por

= 2f

+ 3f

+ 4f

= f

+ f

= f

Então a matriz mudança de base da base E para a b ase F valia

E,F







2 1 0

3 1 1

4 1 0







CAPÍTULO 11. MU DANÇA DE COORDENADAS N O ESPAÇO 208

Então a muda nça da base F para a base E vale

F,E

= (M

E,F

)

−1







2 1 0

3 1 1

4 1 0







−1







−

2 0 −1

−

1 −







⊳

11.2 Mudança de C oordenadas

Sejam dois sistemas de coordenadas Σ

= (O, e

, e

) e Σ

= (O

′

, f

) .

Neste caso um ponto P no espaço pode ser escrito como

−−→

OP = x

ou como

−−→

′

P = y

Escrevendo os vetores e

na base f

teremos:

= a

+ a

(11.5)

= a

+ a

(11.6)

= a

+ a

(11.7)

Então de modo analógo a seção anterior teremos que o vetor

−−→

OP escreve-se na base F como

−−→

OP = xf

+ yf

+ zf

sendo x, y, z dados por





































e como

−−→

′

−−→

′

P =

−−→

Escrevendo os vetores acima no sistema de coordenadas Σ

, supondo que

−−→

′

: (o

, o

)

teremos:

−−→

′

−−→

′

−−→

















































CAPÍTULO 11. MU DANÇA DE COORDENADAS N O ESPAÇO 209

−−→

′

: (s

, s

)

então teremos que

, o

)

























e assim





































−























































− s







Exemplo 11.3 Qual é a mudança de coordenadas do sistema Σ

= (O, e

, e

) para o sistema Σ

′

, f

) na qual O

′

: (1, 2, 1)

e f

= e

, f

= e

e f

= e

+ 2e

−e

⊳

Solução: N este caso M

F,E







1 0 1

0 0 2

0 1 −1







e logo



















1 0 1

0 0 2

0 1 −1







−1







− 1

− 2

− 1

























1 −













− 1

− 2

− 1







Então o ponto de c oordenada P = (2, 1, −3)

tera coordenadas no sistem a Σ



















1 0 1

0 0 2

0 1 −1













2 − 1

1 − 2

3 − 1

























−







logo P :



, −



. 

CAPÍTULO 11. MU DANÇA DE COORDENADAS N O ESPAÇO 210

Exemplo 11.4 Dado um retângulo ABCD conforme a ﬁgura abaixo. E o sistema de coordenadas Σ

= (A, e

, e

)

e Σ



B, e



. Calcule a mudança de base do sistema Σ

para Σ

A B

−→

−−→

−→

Começ amos escrevendo as coordenada s da nova origem B, no sistema Σ

Como AB

⊳

Exemplo 11.5

para Σ

⊳

Exercícios

Ex. 11.1 — Dados dois sistemas de coordenadas Σ

= (O, e

, e

) e Σ

= (O

′

, f

) .

Escreva a equação paramétrica da reta r : X = (0, 2, 0) + s (1, 2, 3) dada no sistema Σ

no sistema

sendo Σ

= e

, f

= −e

+ e

, f

= e

e O

′

= (1, 2, 3)

= −e

, f

= −e

− e

, f

= e

+ e

e O

′

= (1, 0, 1)

= e

, f

= −e

+ e

, f

= e

e O

′

= (1, 0, 0)

Ex. 11.2 — Dado o plano (2x − 4y + z = 4)

. Escreva a equação paramétrica desse plano nos

sistemas Σ

do exercício acima.

Ex. 11.3 — Dado um plano π : X = P

+ vt + ws

X =

























t +













CAPÍTULO 11. MU DANÇA DE COORDENADAS N O ESPAÇO 211

num sistema Σ

, escolha um novo sistema de coordenadas de modo que nesse sistema o plano tenha

equações paramétric as

X =













t +













Ex. 11.4 — São dados três pontos A = (1, 2, 1) B = (3, 4, 0) e C = (2, 3, 4) . Ache uma mudança

de coordenada s de modo que esses três pontos ﬁquem no plano z = 0.

Ex. 11.5 — Faç a uma tra nslação de modo que o plano ax + ay + az + a

= 0 passe pela origem.

Notação de Somatório

A notação de So matório é um modo sucinto de escrever somas tais co mo:

+ 2

+ ··· + n

Observe que na soma acima o termo típico a ser somado é da forma k

e estamos somando esses

termos de 1 até n . Um modo sucinto e muito útil de escrever essa soma é utilizando a notação de

somatório:

k=1

A expressão anterior deve ser lida co mo “soma de k

com k variando de 1 até n.

E de modo mais geral a soma dos números reais a

, ···a

pode ser e scrita usando a notação de

somatório como

k=1

= a

+ ··· + a

Claramente, não é necessário que a soma comec e do 1. Assim por exem plo, podemos escrever:

s=0

(2s + 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

j=2

= 2

+ 3

+ 4

+ 5

De mo do análogo ao fatorial, podemos deﬁnir o somatóri o recursivamente como

212

APÊNDICE A. NOTAÇÃO DE SOMATÓRIO 213

Definição A.1 Dado a

uma sequência de números reais. Deﬁnimos o somatório de a

de 1 até n como sendo a

função

k=1

: N

∗

→ R que satisfaz as seguintes proprie dades:

k=1

= a

k=1

= a

n−1

k=1

para todo n maior que 1.

Assim, por exemplo p elas deﬁnições acima temos que:

k=1

= a

k=1

= a

+ a

k=1

= a

k=1

= a

+ (a

+ a

)

k=1

= a

k=1

= a

+ (a

+ a

)

Exercícios

Ex. A.1 — Ache o valor das seguintes somas:

k=1

k=2

k=0

(2k + 1)

k=1

3k+ 2

Funções Trigonométricas

Começ aremos com uma deﬁnição provisória, porém muito útil. Para um ângulo agudo as funções

trigonométricas são deﬁnidas c omo:

cateto adja cente

cateto oposto

hipotenusa

sen θ =

cateto oposto

hipote nusa

cossec =

hipote nusa

cateto oposto

cos θ =

cateto adjacente

hipote nusa

sec θ =

hipote nusa

cateto adjacente

tg θ =

cateto oposto

cateto adjacente

cotg θ =

cateto adjacente

hipote nusa

As deﬁnições acim a não se aplicam para ângulos obtusos e negativos, porém p odemos genera-

lizar as funções trigonométricas para um ângulo θ qualquer at ravés do circulo trigonomé trico. O

círculo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coorde-

nadas cartesianas.

Para cada ângulo θ, existe um único ponto P pertencente ao

círculo, tal que o segmento

OP faz um ângulo θ com o eixo x.

O seno é deﬁnido como a projeçã o do segmento

OP sobre o

eixo y. O cosseno é deﬁnido como a projeção do segmento OP

214

APÊNDICE B. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 215

com o eix o y. Isto é:

sen θ = y cos θ = x

As outras funções podem ser deﬁnidas conforme as relações

a seguir:

tg θ =

sen θ

cos θ

sec θ =

cos θ

csc θ =

sen θ

cot θ =

cos θ

sen θ

B.1 Identidades Trigonométricas

Lembrando que a equaçã o da circunferência unitária é x

+ y

= 1 e observando que para todo

número real x o ponto de coordenadas (cos x, sen x) e stá na circunferência unitária, reobtemos a

relação fundamental

sen

x + cos

x = 1 (B.1)

Dividindo a equação B.1 por cos

x temos:

x + +1 = sec

x (B.2)

De mo do análogo, dividindo a e quação

B.1 por sen

x temos:

1 + cotg

x+ = cossec

x (B.3)

Também temos as fórmulas para adiçã o:

sen(x + y) = sen x cos y + cos x + cos y (B.4)

cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y (B.5)

Substituindo y por −y nas equações a nteriores

sen(x + y) = sen x cos y − cos x + cos y cos(x + y) = cos x cos y + sen x sen y (B.6)

Dividindo as expressões para sen(x + y) pelas expressões para cos(x + y) temos:

tg(x + y) =

tg x + tg y

1 − tg x tg y

(B.7)

APÊNDICE B. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 216

Colocando y = x nas equações B.4 e B.5 temo s:

cos 2x = 2 cos

x − 1 (B.8)

cos 2x = 1 − 2 sen

x (B.9)

Isolando cos

x e sen

x nas equações ante riores obtemos:

cos

x =

1 + cos 2x

(B.10)

sen

x =

1 − cos 2x

(B.11)

B.2 Gráﬁcos das Funções Trigonométricas

Gráﬁco das Funções Seno e Cosseno

Começ amos observando que am bas as funções seno e cosseno são limita das:

−1 ≤ sen x ≤ 1 − 1 ≤ cos x ≤ 1 (B.12)

E que que a função seno é ímpar po is

sen(−x) = −sen(x), para todo x ∈ R,

enquanto que a função cosseno é par pois

cos(−x) = cos(x), para todo x ∈ R

As funções seno e c osseno são periódicas pois

sen(x + 2kπ) = sen x, para to do x ∈ R e para t odok ∈ Z (B.13)

cos(x + 2kπ) = sen x, para to do x ∈ R e para todo k ∈ Z (B.14)

Das equações

B.4 temos que:

cos x = sen(x +

)

sen x = cos(x −

)

E consequentemente o gráﬁco da função cosseno pode ser obtido a partir do gráﬁco da função

seno, através de uma translação horizontal para a esquerda (por uma distância π/2).

Os gráﬁcos das funções seno e cosseno são a presentados abaixo:

APÊNDICE B. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 217

0 1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3− 4−5

−1

f(x) = sen x

3π

2π

5π

−

−π

−

3π

b b b

b b

bbb b

0 1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3− 4−5

−1

f(x) = cos x

3π

2π

5π

−

−π

−

3π

b b

bbb b b

Gráﬁco das funções tangente e secante

As funções tangente e secante estão deﬁnidas no domínio R\{

+ k π |k ∈ Z}. A função secante

tem a me sma periodicidade da função cosseno, mas a tangente tem período π, uma vez que

tg(x + π) =

sen(x + π)

cos(x + π)

−sen x

−cos x

sen x

cos x

= tg x

A função secante, assim co mo a função cosseno, é pa r. Já a função tangente, sendo quociente de

uma função ímpar e uma par, é uma função ímpar. Os gráﬁcos da s funções tangente e secante estão

representados ab aixo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5

−1

−2

−3

−4

3π

5π

−

3π

f(x) = tg x

APÊNDICE B. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 218

0 1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5

−1

−2

3π

5π

−

3π

f(x) = sec x

Gráﬁco das funções funções cotangente e cossecante

As funções cotangente e cossecante estão deﬁnidas no domínio R\{kπ |k ∈ Z}. A função cosse-

cante tem a mesma periodicidade da função seno, mas a cotangente tem período π

0 1 2 3 4 5 6 7−1−2− 3−4−5−6− 7

−1

−2

−3

2π

−π

−2π

f(x) = cotg x

0 1 2 3 4 5 6 7−1−2− 3−4−5−6− 7

−1

−2

2π

−π

−2π

f(x) = cossec x

APÊNDICE B. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 219

B.3 Funções trigonométricas inversas

As funções trigonométricas deﬁnidas acima não são bijetoras em seus domínios. Entretanto, é pos-

sível falar em suas inversas, desde que tomemos domínios restritos. Apresentamos abaix o, sem

maiores detalhes, as funções trigonométricas restritas a domíni os nos quais são bijetoras e a s res-

pectivas funções inversas. Acompanham os respectivos gráﬁcos.

Função arco seno

A função sen : [−

] → [−1, 1] tem por inversa a função

arcsen : [−1, 1] → [−

]

deﬁnida como:

arcsen y = x ⇔ sen x = y

0 1−1

−1

f(x) = arcsen x

−

Função arco cosseno

A função cos : [0, π] → [−1, 1] tem por inversa a função

arccos : [−1, 1] → [0, π]

deﬁnida como:

arccos y = x ⇔ cos x = y

APÊNDICE B. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 220

0 1−1

f(x) = arccos x

Função arco tangente

A função tg : (−

) → R tem por inversa a função

arctg : R → (−

)

deﬁnida como:

arctg y = x ⇔ tg x = y

0 1 2 3 4 5−1−2− 3−4−5

−1

−2

−

f(x) = arctg x

Função arco cotangente

A função cotg : (0, π) → R tem por inversa a função

arccotg : R → (0, π)

deﬁnida como:

arccotg y = x ⇔ cotg x = y

APÊNDICE B. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 221

0 1 2 3 4 5 6−1−2− 3−4−5−6

f(x) = arccotg x

Função arco secante

A função sec : [0,

) ∪ (

, π] → (−∞, −1] ∪ [1, ∞) tem por inversa a função

arcsec : (−∞, −1] ∪ [1, ∞) → [0,

) ∪ (

, π]

deﬁnida como:

arcsec y = x ⇔ sec x = y

0 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

f(x) = arcsec x

y = π

y =

Função arco cossecante

A função cossec : [−

, 0) ∪ (0,

] → (−∞, −1] ∪ [1, ∞) tem por inversa a função

arccossec : (−∞, −1] ∪ [1, ∞) → [−

, 0) ∪ (0,

]

deﬁnida como:

arccossec y = x ⇔ cossec x = y

APÊNDICE B. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 222

0 1 2 3 4 5 6−1−2−3− 4−5−6

−1

−2

y =

y = −

f(x) = arccossec x

Matrizes e Sistemas Lineares.

C.1 Matrizes

Uma matriz real m×n é um conjunto ordenado de números reais dispostos em m linhas e n colunas.

Os elementos d e uma matriz serão indicados por dois índic es dos quai s o primeiro indica a p osição

na linha e o segundo na coluna. Desta forma o elemento a

refere-se ao elemento que está na

i-ésima linha e na j-ésima c oluna.

A =







··· a







Uma matriz é dita quadrada se o número de entradas é igual ao número de colunas. Uma matriz

1 ×n é dito matriz linha e uma matriz m ×1 é dita matriz coluna . A matriz nula n ×m é a matriz

cujas todas as coordenadas são 0. A matriz identidade n × n é a matriz cujos termos da diagonal,

isto é os termos a

com i = j, são iguais a 1 e os termos fora da diagonal são zeros.

Operações com Matrizes

Podemos deﬁnir a soma é a multiplicação de matrizes por escalares coordenada a coordenada .

Definição C.1 Dadas duas matrizes n × m A = (a

) e B = (b

) e c um e sca lar, deﬁnimos a s matrizes A + B e

cA como:

A + B := (a

+ b

) cA := (ca

)

223

APÊNDICE C. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. 224

Exemplo C.2 Se

A =

1 2 4

3 5 −1

e B =

4 0 2

4 2 3

então:

A + B =

5 4 6

7 7 2

2A ==

2 4 8

6 10 −2

⊳

Definição C.3 Dado A uma matriz m ×p e B uma matriz p ×n. O produto de A por B denotado AB é deﬁnido

como a matriz C = (cij) cuja entrada ij é deﬁnida como:

k=1

É fundamental observa r que o produto AB só está deﬁnido se o número de colunas de A ’igual

ao número de linhas de B.

Exemplo C.4 Se

A =

2 1 0

3 2 −1

B =







2 3

1 4

−1 5







então

AB =

2 · 2 + 1 · 1 + 0 · (−1) 2 · 3 + 1 · 4 + 0 · 5

3 · 2 + 2 · 1 + (−1) · (−1) 3 · 3 + 2 · 4 + (−1) · 5

5 10

9 12

⊳

C.2 Determinantes

Recordaremos, sem apresentar as demonstrações, algumas proprieda des dos determinantes.

Dada uma matriz A o m e nor dessa matriz com respeito do ele mento a

é a matriz q ue se obtém

ao remover da matriz A a i-ésima linha e a j-ésima coluna. Denotaremos tal menor por A

APÊNDICE C. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. 225

Exemplo C.5 O menor de uma matriz 3 × 3 em relação ao elemento a

é:









  









⊳

O determinante de uma matriz quadrada é uma função que associa a cada matriz quadrada um

número real, determinado pe lo seguinte proce dimento indutivo:

O determinante de uma matriz 1 × 1 é igual ao valor da entrada dessa matriz, i.e,

|a| = a

O determinante de uma ma triz n × n pode ser calculado somando ao longo de uma linha ou

coluna o produto de um elemento a

por (−1)

i+j

vezes o determinante do menor em relação

ao elemento a

, i.e.,

Assim, e scolhendo uma linha, ou seja ﬁxando um i temos:

|A| =

j=1

−(1)

i+j

De mo do análogo, escolhe ndo uma coluna, ou seja ﬁxando um j temos:

|A| =

i=1

−(1)

i+j

O determinante não depende da e scolha da linha ou c oluna na expansão anterior.

Utilizando o procedimento anterior para uma matriz 2 × 2 e expandindo em relação a primeira

linha temos:



a b

c d



= a |d|− b |c| = ad − bc

Utilizando o procedimento anterior para uma matriz 3 × 3 e expandindo em relação a primeira

linha temos:



= a



− b



+ c



O sinal (−1)

i+j

da deﬁnição anterior pode ser facilmente calculado, notando que esse fator troca

de sinal para cada termo adjacente da matriz, conforme o padrão abaixo:

APÊNDICE C. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. 226







1 −1 1 ···

−1 1 −1 ···

1 −1 1 ···







Notação: Dado uma ma triz quadrada de ordem n e de entradas a

, A = (a

, denotaremos suas

colunas por A

, . . . , A

. Logo:

= (a

, . . . , a

)

e assim podemo s reescrever a matriz A como A = (A

, A

, . . . , A

)

Usaremos também a seguinte notaçã o para representar o determinante de uma matriz qua drada:

|a b c . . . | =



···

. . . .



Assim por exemplo:

|a b| =



|a b c| =



Teorema C.6 Se todos os elementos de uma coluna (ou linha) forem multiplicados por λ, entã o o determinante

ﬁca multiplicado por λ:

···λA

···A

| = λ |A

···A

Teorema C.7 O va lor do determinante é inalterado se transpormos a matriz.

Por exemplo:



Teorema C.8 O va lor do determinante troca de sinal se duas colunas (ou linha) são intercambiadas.

···A

| = −|A

···A

APÊNDICE C. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. 227

Teorema C.9 Se dua s linhas ou colunas de uma matriz são idênticas então o determinante dessa matr iz é nulo.

Teorema C.10 O valor do determinante permanece inalterado se adicionarmos um múltiplo de uma coluna (li nha)

a outra coluna (linha).

···A

| = |A

···A

+ λA

···A

Matriz Inversa

Dada uma mat riz A o cofator do elemento a

é c

j = (−1)

i+j

|. A matr iz formada pelos

cofatores é denominada matriz dos cofatores de A, e denotada p or cof A

cof(A) = (c

) = ((−1)

i+j

A transposta da mat riz dos c ofatores é denominada matriz adjunta de A e é denotada por adj(A).

Uma matriz quadrada A é dita invertível inversa de uma ma triz se existir uma matriz B tal que:

A · B = B · A = I

Teorema C.11 Dada uma matriz A, essa matri z é invertível se e somente se |A| 6= 0 e nesse caso a inversa de A,

denotada A

−1

é dada por:

−1

adj(A)

|A|

Exemplo C.12 Dado

A =







1 2 1

2 1 0

1 −1 −2







Calcule a matriz i nversa

⊳

Solução: Vamos começar calculando a matriz de cofat ores:

O cofator em relação a o coeﬁciente a

é:



1 0

−1 −2



= 2

APÊNDICE C. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. 228

O cofator em relação a o coeﬁciente a

é:

−1



2 0

−1 −2



= 4

Calculando os cofatores como acima, temos que a matriz de cofatores é dada por:

cof(A) =







−2 4 −3

3 −3 3

−1 2 −3







E a matriz adjunta é:

adj (A) =







−2 3 −1

4 −3 2

−3 3 −3







E assim como det A = 3, temos que a matriz inversa é:

−1

adj (A)

det A







−

1 −

−1

−1 1 −1









C.3 Teorema de Cramer

Dado um sistema linear de n equações e n incógnitas











+ a

+ ··· + a

= k

+ a

+ ··· + a

= k

+ a

+ ··· + a

= k

podemos escrever esse sistema como AX = k onde

A =







··· a







X =













k =













A matriz A é denominada mat riz de coeﬁc ientes e k a m atriz de constantes.

APÊNDICE C. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. 229

Teorema C.13 Dado um sistema linear de n equações e n incógnitas











x + b

y + c

z + ··· = k

x + b

y + c

z + ··· = k

x + b

y + c

z + ··· = k

com |A| 6= 0. Então as soluções desse sistem a são:

|k A

···A

, x

k A

···A

, . . . x

···k|

···A

Demonstração. Escrevendo o sistema linear como AX = k. Como det A 6= 0, a ma triz A é invertí-

vel, e assim multiplicando ambos os lados do sistema por A

−1

temos:

X = A

−1

Usando a caracterização da matriz inversa como a transposta da matriz de cofatores dividido pelo

determinante, temos que esse sistema pode ser escrito na forma matricial como:













det A







··· c



















Dessa forma tem os que

= k

+ ··· + k

Se expandirmos o determinante |k a

··· a

| em relação a primeira coluna temos:



··· a



= k

+ ··· + k

e assim temos que:

|k A

···A

De mo do análogo temos que:

· k ···A

···A

APÊNDICE C. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. 230

Exemplo C.14 Resolva o siste ma linear:











2x − y + 5z = 1

−x + 2y − 2z = 2

−3x + y − 7z = −1

⊳

Pelo te orema de Cramer, como



2 −1 5

−1 2 −2

−3 1 −7



= 2 6= 0

temos que as soluções são

x =



1 −1 5

2 2 −2

−1 1 −7



−8

= −4

y =



2 1 5

−1 2 −2

−3 −1 −7



= 1

z =



2 −1 1

−1 2 2

−3 1 −1



= 2

C.4 Método de Eliminação de Gauss

O método de eliminação de Gauss para sistema s lineares baseia-se na aplicação de três operações

básicas nas equações de um sistema linear:

• Trocar duas equações;

• Multiplica r todos os termos de uma equação por um escalar não nulo;

• Adicionar a uma equação o múltiplo da outra.

APÊNDICE C. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. 231

Ao aplicarmos as ope rações acima a um sistema linear obt emos um novo sistema tendo as mesma

soluções q ue o anterior. Doi s sistem as que possuem as mesmas soluções serão ditos equivalentes.

Ao utiliza r as aplicações anteriores de modo siste mático podemos chegar a um sistema equivalente

mais simples e cuja solução é evidente.

Ilustraremos a utilizaç ão dessa té c ni c a em alguns exe mplos

Exemplo C.15 Um sistema com solução única. Considere o sistema:











2x + 8y + 6z = 30

2x − y = 3

4x + y + z = 12

Vamos determinar as soluçõ es desse sistema, se existirem.

⊳

Solução:

Começ aremos representando e sse sistema atravé s de sua matriz aumentada:







2 8 6

2 −1 0

4 1 1 12







Essa matriz é obtida adicionando a matriz de coeﬁ c ientes uma coluna com a matriz de constantes.

No mé todo de Gauss, o primeiro objetivo é colocar um 1 na entrada superior a esquerda da

matriz. Para isso começamos dividido a primeira linha por 2. Fazendo isso obtemos







1 4 3

2 −1 0 3

4 1 1







O próximo passo é fazer com que os outros coeﬁcientes da primeir a coluna sejam 0. Para isso

multiplicamos a primeira linha por −2 e adicionamos a segunda, e multiplicamos a primeira linha

por −4 e adicionamos na terceira. Feito isso obtemos:







1 4 3

0 −9 −6

−27

0 −15 −11 −48







Agora repetiremos o procedimento na segunda coluna, ignorando a primeira li nha. Para isso

multiplicaremos a segunda linha por −1/9:

APÊNDICE C. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. 232







1 4 3

0 1

0 −15 −11 −48







Multiplicando a segunda linha por 15 e adicionando a terceira, temos:







1 4 3

0 1

0 0 −1 −3







E desta forma o sistema de equações correspondente é:











x + 4y + 3z = 15

y +

z = 3

−z = −3

E logo z = 3. Substit ui ndo na segunda equação temos y = 1 e substituindo esses valores na

primeira equação temos x + 4 + 9 = 15 e assim x = 2.



Exemplo C.16 Um sistema com múltiplas soluções Considere o sistema:











2x + 6y + 2z + 4w = 34

3x − 2y = −2

2x + 2y + z + 2w = 15

Vamos determinar as soluçõ es desse sistema, se existirem.

⊳

Solução:

Neste caso a matriz aumentada é:







2 6 2 4

3 −2 0 0 −2

2 2 1 2







APÊNDICE C. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. 233

Dividindo a primeira linha p or 2 temo s:







1 3 1 2

3 −2 0 0 −2

2 2 1 2







Multiplicando a primeira linha por -3 e somando na segunda e multiplicando a primeira linha

por -2 e somando na t erceira temos:







1 3 1 2

0 −11 −3 −6 −53

0 −4 −1 −2

−19







Trocando a segunda linha com a t erceira e dividindo p osteriormente a segunda por −4 temos:







1 3 1 2

0 1

0 −11 −3 −6

−53







Multiplicando a segunda linha por 11 e adicionando a terceira temos:







1 3 1 2

0 1

0 0 −

−







Finalmente multiplicando a terceira linha por −4 temos:







1 3 1 2

0 1

0 0 1 2







A última linha nos permite expressar z em função de w: z = 3 − 2w. Substituindo o valor de z

na segunda linha tem os q ue y = 4 e ﬁnalmente substituindo esses valores na primeira li nha temos

que x = 2







1 0 0 0

0 1 0 0 4

0 0 1 2









APÊNDICE C. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. 234

Exemplo C.17 Resolva o siste ma linear por escalonamento:











1x + 4y = 12

2x − y = 3

3x + y = 10

⊳

Solução:

Neste caso a matriz aumentada do sistema é:







1 4 0

2 −1 0

3 1 0 10







que pode ser reduzida à :







1 4 0

0 1 0

0 0 0

−







Esse sistema não possui soluções, pois a última linha é i mpossível de ser satisfeita 0 = −



Exercícios

Ex. C.1 — Prove que o sistema











x + 2y + 3z − 3t = a

2x − 5y − 3z + 12t = b

7x + y + 8z + 5t = c

admite solução se, e somente se, 37a + 13b = 9c. Ache a solução geral do sistema quando a = 2 e

b = 4.

Ex. C.2 — Resolva os seguintes sistemas por escalonamento:

(

x + 5y = 13

4x + 3y = 1











x + 2y − 3z = 0

5x − 3y + z = −10

−2x − y + z = 1

APÊNDICE C. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. 235











x + y + 2z = 6

2x − y + z = 3

x + 3y − z = 3











x − y + 2z − t = 0

3x + y + 3z + t = 0

x − y − z − 5t = 0











x + y + z = 4

2x + 5y − 2z = 3

x + 7y − 7z = 5











3x + 2y − 4z = 1

x − y + z = 3

x − y − 3z = −3

3x + 3y − 5z = 0

−x + y + z = 1

(

x − 2y + 3z = 0

2x + 5y + 6z = 0

Ex. C.3 — Determine m de modo que o sistema linear seja indeterminado:

(

mx + 3y = 12

2x + 1/2y = 5

Ex. C.4 — Para o seguinte siste ma linear:

(

x − y = 0

1x + ky = 0

Determine o valor de m de modo que o sistema:

a) tenha solução única (trivial)

b) seja i mpossível

Ex. C.5 — Determinar a e b para que o sistema seja possível e determinado











3x − 7y = a

x + y = b

5x + 3y = 5a + 2b

x + 2y = a + b − 1



APÊNDICE C. MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. 236

Ex. C.6 — Determinar o valor de k para que o sistema

(

x + 2y + kz = 1

2x + ky + 8z = 3



tenha:

a) solução única

b) nenhuma solução

c) mais de uma solução

Ex. C.7 — Resolva o sistema

(

= 8

−

= −1



Ex. C.8 — Discuta os seguintes sistemas:











x + z = 4

y + z = 5

ax + z = 4











x + z + w = 0

x + ky + k

w = 1

x + (k + 1) z + w = 1

x + z + kw = 2

Ex. C.9 — Determine k para q ue o sistema adm ita solução.











−4x + 3y = 2

5x − 4y = 0

2x − y = k

Wolfram Alpha e Mathematica

Uma ferramenta interessante para o estudo matemática (geometria, cálculo, álgebra linear, ...) dis-

ponível gratuitamente na internet é o WolframAlpha (http://www.wolframalpha.com/) que ac eita

alguns dos comandos do software Wo lfram Mathematica.

Para mais exemplos do que é possível fazer com o Wolfram Alpha veja

http://www.wolframalpha.com/exam ples/

D.1 Plotagem

Existem alguns comandos do Mathematica que permitem a plotagem de gráﬁcos e curvas no espaço

e no plano, úteis, por exemplo, no estudo do conteúdo do Capítulo

Descreverei aqui alguns co mandos que podem ser útil ao estudante que quer ganhar uma intui-

ção com os diversos sistemas de coordenadas e com a par ametrização de curvas.

No Pl ano

Plot[f[x], {x, x

min

, x

max

}]

O comando acima plota o gráﬁ c o da função f (x) para x entre x

min

e x

max

Exemplo D.1 Plotar o gráﬁco de x

− 2x

+ 3 entre −2 e 5.

⊳

Solução:

237

APÊNDICE D. WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA 238

-2

-1

-10

Fig. D.1: Gráﬁco de x

− 2x

+ 3.

-3

-2

-1

Fig. D.2: Gráﬁco de e

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Fig. D.3: Gráﬁco de sen x.

Plot[x^3 -2x^2 + 3, {x, -2, 5}]



Exemplo D.2 Plotar o gráﬁco de e

entre −3 e 2.

⊳

Solução:

Plot[Exp[x], {x, -3, 2}]



Exemplo D.3 Plotar o gráﬁco de sen x entre 0 e 4π.

APÊNDICE D. WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA 239

-2

-1

-2

-1

Fig. D.4: Círculo de raio 2 .

⊳

Solução:

Plot[Sin[x], {x, 0, 4Pi}]



PolarPlot[r[θ], {θ, θ

min

, θ

max

}]

O comando PolarPlot plota o gráﬁco da função r(θ) para θ entre θ

min

e θ

max

usando coordenadas

polares.

Exemplo D.4 Plotar o gráﬁco da função constante r(θ) = 2 para θ entre 0 e 2π em coordenadas polares.

⊳

Solução:

PolarPlot[2, {t, 0, 2 Pi}]



Exemplo D.5 Plotar o gráﬁco de r(t) = 2t para t entre 0 e 6π em co ordenadas polares.

⊳

Solução:

APÊNDICE D. WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA 240

-30

-20

-10

-30

-20

-10

Fig. D.5: Espiral.

-0.5

0.5

-0.5

0.5

Fig. D.6: Trevo de quatro folhas.

PolarPlot[2 t, {t, 0, 6 Pi}]



Exemplo D.6 Plotar o gráﬁco de sen(2t) para t entre 0 e 4π em coordenadas polares.

⊳

Solução:

PolarPlot[Sin[2 t], {t, 0, 2 Pi}]



ParametricPlot[{f

[t], f

[t]},{t, t

min

, t

max

}]

ParametricPlot pode ser usado para plotar cur vas parametrizadas no plano euclideano. No caso,

o comando está plotando a curva X(t) = (f

(t), f

(t)) para t variando entre t

min

e t

max

APÊNDICE D. WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA 241

-1.0

-0.5

0.5

1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Fig. D.7: Lemniscata.

-4

-2

-4

-3

-2

-1

Fig. D.8: Curva co m autointersecção.

Exemplo D.7 Plotar a curva X(t) = (cos t, sen(2t)) para t entre 0 e 2π.

⊳

Solução:

ParametricPlot[{Cos[t], Sin[2t]}, {t, 0, 2 Pi}]



Exemplo D.8 Plotar a curva X(t) = (u

− 4u, u

− 4) para u entre −2, 5 e 2, 5.

⊳

Solução:

ParametricPlot[u^3 - 4 u, u^2 - 4, u, -2.5, 2.5]



APÊNDICE D. WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA 242

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Fig. D.9: Helicóide.

No Espaço

ParametricPlot3D[{f

[t], f

[t]},{t, t

min

, t

max

}]

A função descrita acima p ermite para plotar a curva par ametrizada X(t) = (f

(t), f

(t))

no espaço euclideano para t variando entre t

min

e t

max

Exemplo D.9 Plotar a helicóide X(t) = (sen t, cos(t), t/10) para t entre 0 e 20.

⊳

Solução:

ParametricPlot3D[{Sin[t], Cos[t], t/10}, {t, 0, 20}]



Plot3D[f[x,y], {x, x

min

, x

max

}, {y, y

min

, y

max

}]

Tal comando plota o gráﬁco da função f (x, y) no espaço para x entre x

min

e x

max

e y entre

min

e y

max

Exemplo D.10 Plotar o gráﬁco de f (x, y) = sen x cos x para x e y entre 0 e 2π.

⊳

Solução:

APÊNDICE D. WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA 243

l[h]

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Fig. D.10: Plot3D.

Plot3D[Sin[x] Cos[y], x, 0, 2 Pi, y, 0, 2 Pi]



D.2 Cálcu lo e Álgebra Linear

Limit[f[x],x->a]

Calcula o limite de f (x) quando x tende à a:

lim

x→a

f(x).

Exemplo D.11 Calcule lim

x→∞

(1/x).

⊳

Solução:

Limit[1/x, x -> Infinity]

Resultado:

lim

x→∞

(1/x) = 0



D[f[x], x]

Calcula a de rivada de f(x) q em relação à x:

d f

d x

(x).

APÊNDICE D. WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA 244

Exemplo D.12 Calcule

d cos x

d x

(x).

⊳

Solução:

D[Cos[x], x]

Resultado:

d cos x

d x

(x) = −sen x



Integrate[f[x], x]

Encontra uma primitiva da função f (x) q uando integramo s e m relação à x:

f(x) d x

Exemplo D.13 Encontre uma primitiva de 1/x.

⊳

Solução:

Integrate[1/x, x]

Resultado:

1/x d x = log x



Inverse[M]

Calcula a i nversa da matriz M.

Exemplo D.14 Encontre a matriz inversa de:

M =







1 2 0

3 1 1

2 0 1







APÊNDICE D. WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA 245

⊳

Solução:

Inverse[{{1,2,0},{3,1,1},{2,0,1}}]

Resultado:

−1







−1 2 −2

1 −1 1

2 −4 5









Respostas de Alguns Exercícios

246

APÊNDICE D. WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA 247

Respostas de Alguns Exercícios

2.1 a.)

−−→

AB +

−−→

BF =

−→

AF ⇒

−−→

BF =

−→

AF −

−−→

b.)

−→

AG =

−→

AC +

−−→

CG =

−→

AC +

−−→

BF =

−→

AC +

−→

AF −

−−→

c.)Como

−→

AE +

−−→

EF =

−→

AF e

−−→

EF =

−−→

AB ⇒

−→

AE =

−→

AF −

−−→

d.)

−−→

BG =

−−→

BF +

−−→

F G

e.)Dica:

−→

AG =

−→

AC +

−−→

f.)

−→

g.)Dica:

−−→

AD =

−−→

BC e

−−→

HG =

−−→

2.2 a.)

−−→

DF =

−−→

DC +

−−→

CO +

−−→

OF =

−−→

DC +2

−−→

DE c.)

−−→

DB =

−−→

DC +

−−→

CO +

−−→

OB =

−−→

DC +

−−→

DE +

−−→

DC = 2

−−→

DC +

−−→

e.)

−−→

EC =

−−→

ED +

−−→

DC = −

−−→

DE +

−−→

f.)2

−−→

DC g.)

−−→

2.3 a.)0 b.)0

c.)−

−→

F A =

−−→

d.)−

−−→

OF =

−−→

2.5 3f

2.6

−−→

AN =

−−→

AB +

−−→

BP = −

−−→

AB +

−→

−−→

CM = −

−→

AC +

−−→

2.8 Note que

−−→

AM =

−→

λ λ + 1

−−→

AB e como:

−−→

CM +

−−→

MA +

−→

AC = 0

temos que

−−→

CM =

λ + 1

−−→

AB +

−→

−−→

CM =

λ + 1

(

−→

AC −

−−→

BC) +

−→

−−→

CM = −(

λ + 1

−→

AC +

λ + 1

−−→

BC)

APÊNDICE D. WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA 248

2.9 a.)

−−→

CD = 2u − v

−−→

BD = 5u − v

b.)Os lados AD e BC são paralelos.

2.12 a.)x =

, y =

−

b.)x =

u + v

, y =

u − v

2.14 a.)Observe que (−α) v + (αv) = 0 (Porque?)

Conclua que (−α) v é o oposto de (αv).

2.18 Dica: suponha λ

6= 0 entã o u = −

v e logo u e v são paralelos absurdo. Logo λ

= 0

1.14

kAQk

kDQk

(n + m)m

′

+ m

′

kBQk

kCQk

′

+ m

′

(n + m)n

′

1.18 Seja b =

−−→

AB e c =

−→

AC, então te mos:

−−→

AD =

−→

AE =

−−→

AB +

−→

e logo:

−−→

AD =

−−→

AB +

−→

Também temos que:

−→

AF =

−→

1 + λ

Como F, D e B são co lineares então :

−→

AF = α

−−→

AD + (1 − α)

−−→

e assim

−→

AF = (1 −

α)

−−→

AB +

−→

E consequente mente 1 −

α = 0 e

α =

1 + λ

e assim λ = 2.

Logo F divide o segmento

AC na razão 1 : 2.

1.19 Assuma que

−−→

AB = a,

−−→

AD = b e

−→

AC = a + b. Então

−−→

= λ

−−→

= λ

b e AC

(a + b)

APÊNDICE D. WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA 249

Como os t rês pontos A

, B

e C

estão na mesma reta então:

−−−→

= k

−−−→

(D.1)

Mas

−−−→

−→

−

−−→

= (λ

− λ

) a + λ

−−−→

= AD

− AB

= −λ

a + λ

Substituindo as expressões acima em

D.1, obtemos:

(λ

− λ

) a + λ

b = −kλ

a + kλ

Isolando a, b:

a (λ

−λ

+ kλ

) + b (λ

− kλ

) = 0

E logo λ

−λ

+ kλ

= 0 e λ

− kλ

= 0.

Da segunda equação obtemos k =

. Substituindo k na primeira equação e dividindo a mesma

por λ

segue

2.10 M = A +

λ + 1

−−→

3.4 Dica: Observe que

−−→

AB +

−−→

CB + 2

−−→

BA =

−−→

AB +

−−→

BA +

−−→

CB +

−−→

−→

CA = −

−→

3.5

−−→

BC =

b −

3.9 A igualdade equivale a

− m

)a + (n

− n

)b = 0

Como os vetores são L.I. temos que (m

− m

) = 0 e (n

− n

) = 0

3.10

1 + λ + µ

λ(1 + µ)

3.6 Dado que a + b + c = 0, calculando o produto de ambos os la dos da equaç ão sucessivamente

com a, b e c temos:

a · a + a · b + a · c = 0 ⇒ a · b + a · c = −9

APÊNDICE D. WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA 250

b · a + b · b + b · c = 0 ⇒ b · a + b · c = −25

c · a + c · b + c · c = 0 ⇒ c · a + c · b = −49

Resolvendo o sistema anterior temos a · b =

e assim cos θ =

e logo θ =

3.10 Denotando u =

−→

OA, −u =

−−→

OB e u =

−−→

OC t emos kuk = k−uk = kvk = r.

E assim:

−→

AC ·

−−→

BC = (v + u)(v − u) = v · v − u · u = 0

−u

4.3

a = −

u +

v −

u × v

4.4 a = (1, 1, 0)

4.5 v =



, −



4.14 [Dica: Escreva o determinante em termos dos menores da primeira linha e compare com u ·

(v × w). Isto também prova que u · (v × w) = v · (w × u). Porque? ]

4.15 A área do triângulo é dada por:

A =

ku × vk =

ku × wk =

kv × wk

e assim temos que

ku × vk = ku × wk = kv × wk

Mas ku × vk = kukkvksen α, ku × wk = kukkwksen β e kv × wk = kvkkwksen γ

E logo:

kwk

kvk

kuk

APÊNDICE D. WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA 251

1.2 [A resposta não é única] a.)Equações paramétricas:











x = −t

y = 1 − 3t

z = 1 + 3t

Equações na forma simétrica:

−1

y − 1

−3

z − 1

b.)Equações paramétricas:











x = 1 + 2t

y = t

z = −2 + 3t

Equações na forma simétrica:

x −1

= y =

z + 2

c.)Equações par a métricas:

• Eixo x :











x = t

y = 0

z = 0

• Eixo y :











x = 0

y = t

z = 0

• Eixo z :











x = 0

y = 0

z = t

Equações na forma simétrica: Não existem. d.)











x = 1

y = 2

z = 1 + t

Equações na forma simétrica: Não existem.

e.)











x = 1 + t

y = 2

z = 1

Equações na forma simétrica: Não existem.

f.)Equações paramétricas:











x = 2 − 3t

y = 1 + 8t

z = 4t

Equações na forma simétrica:

x −2

−3

y − 1

g.)Equações par amétricas:











x = 2 − 3t

y = 1 + 5t

z = −t

Equações na forma simétrica:

x −2

−3

y − 1

−1

1.3 r : 3x + 4y − 9 = 0. Intersecçõ es: 0,

e (3, 0).

APÊNDICE D. WOLFRAM ALPHA E MATHEMATICA 252

1.4 a.)Equações paramétricas:

(

x = 3 + 5t

y = 5 + 2t

Equações na forma canônica: 2x − 5y + 19 = 0

b.)Equações paramétricas:

(

x = t

y = 1 − t

Equações na forma canônica: x + y −1 = 0

Referências Bibliográficas

[1] APOSTOL,T.; Calculus Vol. I, Wiley 1967.

[2] BOULOS, P.; CAMARGO, I.; Geometria Analitica - Um tratamento Vetorial, Prentice Hall, 2006.

[3] CAROLI,A.; CALLIOLI, C.; FEITOSA, M.; Matrizes vetores geometria analítica, Nobe l 1984.

[4] CHATTERJEE, D.; Analytic Solid Geometry, PHI Lea rning, 2004

[5] CROWE, M.; A history of vector analysis: the evolution o f the idea of a vectorial system, Dover

1994.

[6] HILBERT, D.; The Foundations Of Geometry, Gradiva 2003.

[7] LE HMANN , C.; Geometria Analítica, E ditora Globo 1985;

[8] MELLO, D, A.; WATANABE,R. G.; Vetores e uma iniciação à Geometria Analítica; Editora Livra-

ria da Física.

[9] LE ITE, O.; Geometria analítica espacial, Edicoes Loyola, 1996

[10] SANTOS, R.; Matrizes, Vetores e Geometria Analítica , Imprensa Universitária da UFMG, 2004.

[11] WEXLER C.; Analytic Geometry: A vector approach, Addison-Wesley Publ., 1961.

253