Sumário
Apresentação vii
Símbolos e notações gerais ix
Agradecimentos xi
1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática 1
1.1 Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Proposições Universais e Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Proposições Compostas: e, ou, não . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Implicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.4 Múltiplos Quanticadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Demonstrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1 Por que Demonstrar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Métodos de Demonstração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Generalidades sobre Conjuntos 29
2.1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Relações elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Conjuntos Numéricos 47
3.1 Números naturais, inteiros e racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Soma e multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Princípio de Indução Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.1 Apresentação axiomática dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.2 Potenciação de números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.3 Representações dos números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.4 Valor absoluto de um número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.5 Introdução à Topologia da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.6 O Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
iii
Sumário
4 ★ Complementos sobre Conjuntos 79
4.1 Famílias de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1 Sobre índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.2 Operações com famílias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5 Análise Combinatória 83
5.1 Princípio Fundamental da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Listas sem Repetição: Arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3 Listas com Repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.4 Conjuntos sem Repetição: Combinação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.5 Equações Lineares com Coecientes Unitários . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.6 Probabilidade Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6 Generalidades sobre Funções 107
6.1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7 Funções Reais a Variáveis Reais 119
7.1 Transformações do gráco de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.1.1 Translações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.1.2 Homotetias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.1.3 Reexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2 Gráco da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.3 Simetrias do gráco de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.3.1 Simetria translacional: funções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.4 Exemplos clássicos de funções e seus grácos - I . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.4.1 Funções constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.4.2 Função Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.4.3 Função módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.4.4 Funções do tipo escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.4.5 Funções características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.4.6 Funções lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.4.7 Funções ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.4.8 Funções polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.4.9 Funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.5 Funções monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.6 Exemplos clássicos de funções e seus grácos - II . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.6.1 Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.6.2 Funções logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
iv
Bases Matemáticas
7.6.3 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.6.4 Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.7 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8 Sequências 161
8.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.1.1 Sequências Crescentes e Decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.1.2 Sequências Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.2 Convergência e Limite de Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.2.1 Intuições sobre Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.2.2 Denição Precisa de Limite de uma sequência . . . . . . . . . . . . . . 181
8.2.3 Propriedades do Limite de Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.2.4 Teorema do confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.2.5 ★ Demonstração das Propriedades do Limite . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.3 Limites Innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.3.1 Denição de Limites Innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.3.2 Propriedades do Limite Innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.4 ★ Sequências Denidas Recursivamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.4.1 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.4.2 Somatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.4.3 Principio da Recursão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.5 ★ Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.5.1 Série Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.5.2 Série Telescópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.6 Representação decimal dos números reais II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9 Limites e Continuidade de Funções 225
9.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.1.1 O Problema da Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.2 Intuições sobre Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.3 Denição de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.4 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.5 Propriedades do Limite de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.6 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.7 Propriedades das Funções Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.7.1 Teorema do Valor Intermediário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.7.2 Valores Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.8 ★Demonstração das Propriedades Básicas de Limite . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.9 ★ Continuidade Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
v
Sumário
10 Limites Innitos e no Innito 267
10.1 Limites no Innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
10.2 Limites Innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
10.2.1 Propriedades do Limite Innito e no Innito . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.3 O Número 𝑒 e as Funções Exponencial e Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.3.1 Juro Composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.3.2 Crescimento demográco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
A Álgebra 281
A.1 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
A.1.1 Produtos Notáveis e Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
A.1.2 Divisão de Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
A.1.3 Expressões Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
A.2 Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
A.2.1 Equações Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
A.2.2 Equações Envolvendo Expressões Racionais . . . . . . . . . . . . . . . 293
A.2.3 Equações Envolvendo Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
A.2.4 Equações Envolvendo Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
A.3 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
A.3.1 Inequações Envolvendo Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
A.3.2 Inequações Envolvendo Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
A.3.3 Inequações Envolvendo Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
B Fórmulas da Álgebra, da Geometria e da Trigonometria 309
Respostas de Alguns Problemas e Exercícios 328
Ìndice Remissivo 329
vi
Apresentação
O curso de Bases Matemáticas na UFABC nasceu dentro de uma estratégia da universidade
em proporcionar aos alunos ingressantes uma experiência de aprendizado que favorecesse
a transição do ensino médio ao ensino superior. O foco dessa estratégia é dividido em dois
eixos: um voltado ao reforço conceitual, outro voltado à formação e à postura de estudo.
No que concerne aos aspectos conceituais, o curso de Bases Matemáticas se propõe, por um
lado, a rever uma parte signicativa do conteúdo do ensino médio, mas sob um ponto de
vista mais maduro, típico do ensino superior. Por outro lado, o curso se propõe a introduzir
ao estudante conceitos mais renados da Matemática, através de um esforço gradual de abs-
tração. Interligando esses vários aspectos, o curso é permeado por uma tensão permanente
em torno dos seguintes objetivos:
aprimorar o conhecimento e o uso de regras básicas da álgebra
desenvolver a capacidade de compreensão e uso da linguagem matemática
desenvolver o raciocínio lógico
A preocupação com aspectos ligados à formação e à postura de estudo, parte da constatação
da predominância, no ensino médio brasileiro, da ”formação voltada ao treinamento”. Em
outras palavras, uma formação restrita à mera reprodução de métodos e algoritmos para re-
solver determinados problemas, as famosas ”receitas de bolo”. Tal enfoque acaba por desen-
volver no estudante uma postura passiva, ao invés de proporcionar autonomia e criatividade.
A passagem do “treinamento” para a “autonomia” é uma das mais difíceis de serem trans-
postas. Por isso, deixamos aqui um convite expresso para que se dê particular atenção a esse
processo. Desde os primeiros cursos, como o de Bases Matemáticas, parte dos esforços devem
ser voltados ao próprio método de estudo e à postura que se tem diante dos conhecimentos
aprendidos.
Sobre este livro
O principal objetivo destas notas é suprir a falta de bibliograa especíca para um curso como
o de Bases Matemáticas. É bem verdade que cada um dos tópicos tratados nesse curso pode ser
encontrado em algum bom livro, mas não de forma coesa e conjunta. Sem prejuízo do salutar
hábito de se consultar ampla bibliograa, adotar inúmeros livros como referências principais
deste curso nos pareceu fora de propósito nesse momento inicial da vida acadêmica.
A atual versão do livro já passou por várias revisões, muitas delas sugeridas por professores e
alunos que utilizaram essas notas em anos anteriores. Entretanto, continuamos nosso esforço
de aprimorar e complementar o material já produzido até aqui. Novas seções ou até mesmo
pequenas correções podem ser apresentadas em um futuro próximo, assim como versões
atualizadas e aprimoradas de alguns capítulos do livro. Por último, gostaríamos de dizer
que vemos com muito bons olhos o apontamento de críticas e sugestões, tanto por parte dos
alunos do curso de Bases Matemáticas, quanto dos professores dessa disciplina que optarem
por usar total ou parcialmente estas notas.
viii
Símbolos e notações gerais
Ao longo do curso serão adotados os seguintes símbolos e notações (sem prejuízo de outros
símbolos e notações que irão sendo introduzidos ao longo destas notas):
∃ : existe
∀ : qualquer que seja ou para todo(s)
⇒ : implica
⇔ : se, e somente se
∴ : portanto
∵ : pois
| : tal que
:= : denição (o termo à esquerda de := é denido pelo termo
ou expressão à direita)
i.e. : id est (em português, isto é)
□ : indica o nal de uma demonstração
Agradecimentos
Gostaríamos de agradecer aos professores Jerônimo Cordoni Pellegrini, Cristina Coletti, Edu-
ardo Gueron à professora Ana Carolina Boero e à aluna Vanessa Carneiro Morita pelas su-
gestões de melhorias e pelas inúmeras correções.
Também gostaríamos de agradecer ao prof. Jerônimo Cordoni Pellegrini por ter colaborado
na elaboração de vários dos exercícios que apresentamos ao longo do texto.
1
Elementos de Lógica e
Linguagem Matemática
“Quando eu uso uma palavra, disse Humpty Dumpty, em tom bastante desdenhoso, ela
signica exatamente o que eu quiser que ela signique - nem mais nem menos.”
Através do Espelho - Lewis Carroll
A matemática utiliza uma linguagem especíca, na qual os termos possuem signicados
precisos e muitas vezes distintos do usual. Assim é necessário que conheçamos o sentido de
alguns termos e expressões matemáticas. Esse é um dos objetivos desse capítulo, ao apre-
sentar de modo sucinto e intuitivo os aspectos fundamentais da linguagem matemática, en-
fatizando principalmente aqueles termos que são usados em contextos e com signicados
diversos daqueles em que costumamos empregá-los normalmente.
Mas não é somente o vocabulário e a linguagem que são distintos na matemática. Também a
concepção de argumento, de justicativa, e mesmo de explicação. Um argumento matemático,
também conhecido como demonstração ou prova, para ser correto, deve seguir princípios
estritos de lógica, princípios que garantam a conabilidade do conhecimento matemático.
Alguns desses princípios são apresentados na seção 1.2.
1.1 Proposições
Começaremos denindo as frases mais simples de nossa linguagem: as proposições.
Denição 1.1 Uma proposição é uma sentença declarativa que é verdadeira ou falsa, mas não
simultaneamente ambas.
Exemplos 1.2 As seguintes frases são exemplos de proposições.
“2 + 5 = 7”;
“A função 𝑓 (𝑥) = −𝑥 é uma função crescente”. Nesse caso, temos um exemplo de uma
proposição
falsa
.
1
1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática
“2
25
9876
+ 3
4576
é primo”; É uma proposição pois apesar de não ser fácil decidir se a
proposição é verdadeira ou falsa, claramente só uma dessas opções pode ocorrer.
◁
Exemplos 1.3 Nenhuma das frases seguintes é uma proposição, porque ou não são declara-
ções ou não podemos atribuir um único valor verdadeiro ou falso.
“Vamos dançar!”
“Como você está?”.
“Esta sentença é falsa”. Essa frase não pode ser verdadeira pois isto implicaria que ela é
falsa. E não pode ser falsa pois implicaria que é verdadeira.
“Está quente hoje”. Essa frase pode ser vista como uma proposição desde que especi-
quemos precisamente o que signica quente, como por exemplo se denirmos que está
quente se a temperatura é maior que 26ºC, pois somente assim podemos atribuir um
valor de verdade a frase. Note, porém, que esse não é o uso cotidiano da frase. O uso co-
tidiano expressa uma impressão, uma sensação e nesse sentido não é uma proposição.
◁
Como ilustrado pelo exemplo anterior, o fato de uma sentença poder ser vista como uma
proposição depende do contexto em que essa sentença é enunciada e dentro desse contexto
uma proposição deve ser sucientemente clara e objetiva para que possamos atribuir um e
somente um valor verdade, i.e, verdadeiro ou falso.
Finalmente, a denição de proposição implica que todas as armações matemáticas serão
necessariamente verdadeiras ou falsas, não havendo outra possibilidade (esse último fato é
conhecido como Princípio do Terceiro Excluído).
Notação: No que se segue denotaremos uma proposição qualquer por 𝑝, 𝑞, 𝑟, etc.
1.1.1 Proposições Universais e Particulares
Em diversas situações precisamos que o “sujeito“ das proposições seja uma variável que
possa ser substituída por um elemento qualquer dentre uma coleção de objetos U em consi-
deração. O conjunto U neste caso será denominado universo do discurso, ou ainda, domínio
de discurso . Assim, por exemplo, na sentença “𝑥 ∈ R, 𝑥 < 3”, 𝑥 é a variável e R é o universo
do discurso.
Proposições que dependam de uma ou mais variáveis são denominadas proposições aber-
tas. Elas são indicadas por uma letra seguida da variável ou das variáveis entre parênteses,
i.e,
𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥), 𝑝(𝑥, 𝑦), ...
2
Bases Matemáticas
O valor verdade de uma proposição aberta depende do valor atribuído às variáveis. Por
exemplo, considere a função proposicional 𝑝(𝑥) =“𝑥 < 3”, neste caso se 𝑥 = 2 então 𝑝(2) =“2 <
3” tem valor verdade verdadeiro, por outro lado se considerarmos 𝑥 = 4 temos que 𝑝(4) =“4 <
3 ” tem valor verdade falso.
Denição 1.4 O conjunto dos valores de 𝑥 para os quais a proposição aberta 𝑝(𝑥) verdadeira é
denominado conjunto verdade de 𝑝(𝑥).
Exemplos 1.5
O conjunto verdade de 𝑝(𝑥) =”𝑥 é primo e 3 < 𝑥 < 14” é {5, 7, 11, 13}
O conjunto verdade de 𝑝(𝑥) =”𝑥 é real e 𝑥
2
+ 1 = 5” é {−2, 2 }
◁
Através de proposições abertas podemos fazer armações sobre todos os elementos de um
conjunto usando o quanticador universal ∀que é lido como “para todo”ou ”qualquer que
seja”.
Assim a proposição “para todo número natural 𝑛 temos que 2𝑛+1 é ímpar” pode ser escrita
como
∀𝑛 ∈ N, 2𝑛 + 1 é ímpar
ou ainda como
∀𝑛 ∈ N𝑝(𝑛),
sendo que 𝑝(𝑛) denota a proposição aberta “2𝑛 +1 é ímpar”.
Também é possível fazer armações sobre a existência de um elemento de um conjunto
usando o quanticador existencial ∃, que é lido como “existe”. Desta forma a proposição “a
equação linear 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, com 𝑎 ≠ 0, admite solução real” pode ser escrita como :
Se 𝑎 ≠ 0, ∃𝑥 ∈ R | 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0.
Ou ainda, se denotarmos como 𝑞(𝑥) = “𝑎𝑥 +𝑏 = 0
podemos reescrever a armação anterior
como:
Se 𝑎 ≠ 0, ∃𝑥 ∈ R | 𝑞(𝑥).
Ou de modo mais resumido, deixando subentendido o domínio do discurso e o símbolo de
tal que, | :
Se 𝑎 ≠ 0, ∃𝑥𝑞(𝑥)
Ressaltamos que ∃𝑥 | 𝑝(𝑥) signica que existe pelo menos um elemento no domínio de
discurso tal que para esse elemento vale 𝑝(𝑥). Em diversas situações esse elemento é único,
3
1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática
denotaremos esse fato por ∃!𝑥 | 𝑝(𝑥), que se lê “existe e é único 𝑥 tal que 𝑝(𝑥)”. Assim por
exemplo, nos reais, ∃!𝑥 ∈ R |(𝑥 − 1) = 0.
É importante distinguirmos as variáveis que estão quanticadas das que não estão. Uma
variável é dita livre quando não está quanticada e é dita aparente quando está quanticada.
Assim, na proposição “𝑛 é par”, 𝑛 é uma variável livre. Já em “ para todo número natural 𝑛,
2𝑛 + 1 é ímpar” 𝑛 é uma variável aparente.
Em português símbolo nome
Para todo, para cada ∀ quanticador universal
Existe, há, para algum ∃ quanticador existencial
Existe único ∃!
Tabela 1.1: Quanticadores
Nesse contexto, uma proposição é dita universal se faz referência a todos os objetos do uni-
verso U. Caso contrário, é dita particular .
Exemplos 1.6 No que se segue, assuma que o universo é o conjunto dos números naturais,
denotado por N.
1. “Todos os números naturais são ímpares” é uma proposição universal.
2. “O número 2 é par” é uma proposição particular.
3. “Nenhum número natural é primo” é uma proposição universal, pois equivale a dizer
que ”todo número natural tem a propriedade de não ser primo.
4. “Há números naturais pares” é uma proposição particular.
5. “Há números naturais cujo dobro ainda é um número natural” é uma proposição par-
ticular.
6. “O quadrado de todo número natural é maior do que 4” é uma proposição universal.
7. “Ao menos dois números naturais são pares” é uma proposição particular.
8. “O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer número natural” é uma pro-
posição particular.
9. “Todo número natural é maior ou igual do que o número natural 0” é uma proposição
universal.
10. “𝑛 < 𝑛 + 1 ∀ 𝑛 ∈ N” é uma proposição universal.
11. “∃𝑛 ∈ N | 𝑛
2
= 𝑛” é uma proposição particular.
4
Bases Matemáticas
◁
Algumas observações importantes:
O fato de uma proposição ser universal ou particular não tem nenhuma relação com o
fato de ser verdadeira ou falsa.
A proposição do exemplo 4 é particular, pois refere-se a alguns números naturais.
A proposição do exemplo 5 é particular, mesmo se é satisfeita por todos os números
naturais. O que importa, é que a proposição se refere a alguns números, não a todos.
As proposições dos exemplos 8 e 9 acima dizem a mesma coisa, isto é, que 0 é o menor
dos números naturais (de fato, são ambas verdadeiras). Entretanto, sob o ponto de vista
formal, a proposição do exemplo 8 arma uma propriedade do número 0 e por isso é
particular, enquanto a proposição do exemplo 9 arma uma propriedade de todos os
números naturais (por isso é universal).
Exemplos e Contra-exemplos
Quando lidamos com proposições universais, entram em cena os exemplos e contra-exemplos.
Considere uma proposição universal do tipo todo elemento de U satisfaz a propriedade 𝑝. Um
Exemplo para essa proposição é um elemento do universo U que satisfaz a propriedade 𝑝.
Um contra-exemplo para essa proposição é um elemento do universo U que não satisfaz a
propriedade 𝑝.
Exemplos 1.7
1. Considere a proposição “para todo 𝑛 ∈ N par, (𝑛 +1)
2
é ímpar”. Neste caso o número 2
é um exemplo dessa proposição, pois está no domínio do discurso e (2+1)
2
= 9 é ímpar.
Já o número 3 não é nem exemplo nem contra-exemplo, pois não pertence ao domínio
de discurso.
2. Para todo 𝑚 ∈ N, 𝑚
2
−𝑚+41 é primo. Neste caso 1 é um exemplo, pois 1 ∈ N e 1
2
−1+41 =
41 é primo. O número 2 também é um exemplo, pois 2 ∈ N e 2
2
− 2 + 41 = 43 é primo.
Pode-se vericar facilmente que todos os números naturais entre 1 e 40 são exemplos
dessa armação. Por outro lado, 41 é contra-exemplo, pois 41 ∈ N e 41
2
−41 +41 = 41
2
não é primo.
3. O número 5 é um exemplo para a proposição ”Todo número natural é ímpar”, enquanto
que o número 2 é um contra-exemplo.
4. O número 4 é um exemplo para a proposição ”Nenhum número natural é primo”, en-
quanto que o número 3 é um contra-exemplo (lembre, nesse caso, que a propriedade
universal alegada pela proposição é não ser primo).
5
1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática
5. O número 8 é um exemplo para a proposição ”O quadrado de todo natural é maior do
que 4”, enquanto que o número 1 é um contra-exemplo.
6. A proposição “Todo número natural é maior ou igual a zero” possui inúmeros exem-
plos, mas não possui contraexemplos.
7. A proposição “Todo número natural é menor que zero” possui inúmeros contraexem-
plos, mas não possui exemplos.
◁
Uma proposição universal, que admite contraexemplos é falsa. Essa é uma das manei-
ras mais simples de provar que uma armação dessa forma é falsa, através de um contra-
exemplo.
Já uma armação da forma “existe 𝑥 em U | 𝑝(𝑥)” é verdadeira se existir pelo menos um
elemento 𝑥 no domínio do discurso U tal que para esse elemento a proposição 𝑝(𝑥) é verda-
deira.
De modo análogo, chamaremos esse elemento de exemplo da proposição. E assim, propo-
sições sobre existência podem ser demonstradas exibindo um exemplo.
Por outro lado, se o domínio de discurso tiver mais que um elemento, a existência de exem-
plo não implica na verdade uma armação da forma “para todo 𝑥 em U, 𝑝(𝑥)”. Pois, para que
essas armações sejam verdadeiras, todos os possíveis elementos do domínio devem satisfa-
zer 𝑝(𝑥).
“para todo“ ∀ ”existe“ ∃
existem exemplos inconclusivo verdadeira
não existem exemplos — falsa
existem contraexemplos falsa inconclusivo
não existem contraexemplos verdadeira —
Tabela 1.2: Comportamento geral do valor verdade de uma proposição quanticada em fun-
ção da existência/inexistência de exemplos ou contraexemplos
Exercícios
Ex. 1.1 — Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica:
a) Existe um número real 𝑛 tal que 𝑛
2
= 2.
b) Não existe número racional 𝑥 tal que 𝑥
2
= 2.
c) Existe 𝑥 tal que 𝑥
2
é par e divisível por 3.
d) Não existe número inteiro 𝑥 tal que 𝑥
2
é primo ou 𝑥
2
é negativo.
e) Existe um número inteiro 𝑥 tal que 𝑥
2
é par ou 𝑥
2
é ímpar.
6
Bases Matemáticas
f) Para cada número real 𝑥 existe um número real 𝑦 tal que 𝑥 + 𝑦 = 0.
g) Todo elemento do conjunto 𝐴 é elemento do conjunto 𝐵.
h) Para todo 𝜖, existe 𝛿(𝜖) tal que se 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿 então
|
𝑓 (𝑥) − 𝑓 ( 𝑙))
|
< 𝜀.
Ex. 1.2 — Seja 𝐴 = {1, 2 , 3, 4}. Determine o valor verdade para cada uma das seguintes pro-
posições:
a) ∃𝑥 ∈ 𝐴 | 𝑥 + 4 = 9.
b) ∃𝑥 ∈ 𝐴 | 𝑥 < 7.
c) ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 + 3 < 7.
d) ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 + 3 < 9.
Ex. 1.3 — Para todas as armações a seguir 𝑛 denota um número natural. Determine o con-
junto verdade das seguintes proposições abertas:
a) 𝑛
2
< 12
b) 3𝑛 + 1 < 25
c) 3𝑛 + 1 < 25
e
𝑛 + 1 > 4
d) 𝑛 < 5 ou 𝑛 > 3
e) 𝑛 é primo e não é verdade que 𝑛 > 17
f) (𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(𝑛 − 4)(𝑛 − 5) = 0
Ex. 1.4 — Dê exemplos ou contraexemplos, se existirem, para as seguintes armações:
a) Para todo 𝑥 ∈ R, 𝑥 + 1 > 2.
b) Todas as letras da palavra “banana” são vogais.
c) Para todo 𝑥 ∈ R, 𝑥
2
< 𝑥.
d) Para todo 𝑦 ∈ N, 𝑦
3
> 1
1.1.2 Proposições Compostas: e, ou, não
Podemos expandir nossa linguagem construindo novas proposições através da combinação
de proposições mais simples de modo a obter proposições mais elaboradas. Faremos a com-
binação de proposições através de conectivos, dentre os quais “
e
”, “ou” e “implica” e do
modicador “não”.
7
1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática
Denição 1.8 Dadas duas proposições 𝑝, 𝑞:
a proposição composta 𝑝 ou 𝑞 é chamada disjunção de 𝑝 e 𝑞. A disjunção 𝑝 ou 𝑞 é verdadeira
quando pelo menos uma das proposições 𝑝 ou 𝑞 forem verdadeiras. Caso contrário o valor
verdade de 𝑝 ou 𝑞 é falso.
a proposição composta 𝑝
e
𝑞 é chamada conjunção das proposições 𝑝 e 𝑞. A conjunção 𝑝
e
𝑞
é verdadeira somente quando as proposições 𝑝 e 𝑞 forem ambas verdadeiras. Caso contrário
o valor verdade de 𝑝
e
𝑞 é falso.
A proposição 𝑝 ou 𝑞, pela denição anterior, é falsa somente quando ambas as proposições
𝑝 e 𝑞 forem falsas. Desta forma o uso do conectivo ou em matemática não é o mesmo que
o uso cotidiano do termo. Assim, por exemplo, o sentido usual da expressão “Pedro estava
estudando ou Pedro estava numa festa” não inclui a possibilidade que ele estivesse estudando
numa festa, enquanto que o conectivo ou em matemática inclui essa possibilidade. Ou seja,
em matemática o conectivo ou é sempre usado de modo inclusivo.
Por outro lado o sentido da conjunção
e
se aproxima do sentido usual do “e” em português,
assim a proposição 𝑝
e
𝑞 é verdadeira somente quando ambas as proposições 𝑝 e 𝑞 forem
verdadeiras.
Denição 1.9 Dado uma proposição 𝑝, a negação de 𝑝 é uma proposição com valor verdade in-
vertido, chamada de negação de 𝑝, denotada não 𝑝 e que pode ser lida como “não 𝑝” ou “não é
verdade 𝑝”.
Exemplos 1.10
A negação da proposição “𝑥 é ímpar” é a armação “𝑥 não é ímpar”, ou equivalente-
mente “𝑥 é par”
A negação da proposição “
√
2 não é racional” é “
√
2 é racional”
◁
Observação 1.11 Adotaremos a seguinte convenção relativa a prioridade dos operadores lógicos: o
modicador não abrange somente a proposição mais próxima, salvo o caso de parênteses. Assim, por
exemplo não 𝑝 ou 𝑞, somente a proposição 𝑝 é negada, isto é, a proposição anterior é uma forma abre-
viada da proposição (não 𝑝)ou 𝑞.
O seguinte teorema nos diz como negar a conjunção e a disjunção de duas proposições.
8
Bases Matemáticas
Teorema 1.12 Negação da Disjunção e da Conjunção e Dupla Negação
Sejam 𝑝, 𝑞 proposições. Então são válidas as seguintes regras de negação
1. A negação da proposição 𝑝
e
𝑞 é (não 𝑝)ou(não 𝑞);
2. A negação da proposição 𝑝 ou 𝑞 é (não 𝑝)
e
(não 𝑞);
3. A negação da proposição não 𝑝 é 𝑝.
Exemplos 1.13
A negação da proposição “𝑥 é divisível por 2 e 3” é “𝑥 não é divisível por 2 ou 𝑥 não é
divisível por 3”.
A negação da proposição “𝑥 é divisível por 2 ou 3” é “𝑥 não é divisível por 2 e 𝑥 não é
divisível por 3”.
A negação da proposição “𝑏 é soma de quadrados ou 𝑏 é primo” é a armação que “𝑏
não é soma de quadrados e 𝑏 não é primo”.
A negação da proposição “𝑥 é maior que 2 ou 𝑥 é menor igual que −1 ” é a proposição “
𝑥 é menor igual a 2
e
𝑥 é maior que −1.”
◁
Para proposições quanticadas temos ainda as seguintes regras de negação:
Teorema 1.14 Negação do Quanticador
Seja 𝑝(𝑥) um proposição aberta. Então são válidas as seguintes regras de negação:
A negação da proposição “para todo 𝑥 em 𝐷 é verdade 𝑝(𝑥)” é a proposição “existe pelo
menos um 𝑥 em D tal que não é verdade 𝑝(𝑥)”.
A negação da proposição “existe 𝑥 em 𝐷 tal que é verdade 𝑝(𝑥)” é a proposição “para todo
𝑥 em 𝐷 não é verdade 𝑝(𝑥)”.
Exercício Resolvido 1.15 Converta as seguintes armações para a forma simbólica e diga
quais são as suas negações:
Todos os números naturais podem ser decompostos como produtos de primos.
Existe inteiro 𝑛 tal que 𝑛 + 3 = 4.
Solução:
9
1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática
Todos os números naturais podem ser decompostos como produtos de primos.
Se denotarmos 𝑚(𝑥) = “𝑥 pode ser decomposto como produto de números primos”, en-
tão a proposição acima pode ser reescrita na forma simbólica como:
∀𝑥 ∈ N, 𝑚(𝑥)
ou mais resumidamente (∀𝑥)𝑚(𝑥), deixando implícito que o domínio da variável é o
conjunto dos números naturais.
A negação da proposição é “ Existe um número natural que não pode ser decomposto
em primos” ou simbolicamente
∃𝑥 ∈ N | não 𝑚(𝑥)
Existe inteiro 𝑛 tal que 𝑛 + 3 = 4.
Se denotarmos por 𝑝(𝑛) = “𝑛 + 3 = 4
então a proposição pode ser reescrita em forma
simbólica como
∃𝑛 ∈ N | 𝑝(𝑛)
Para essa proposição o domínio do discurso são os números naturais. Observe que essa
armação é verdadeira pois 1 satisfaz 𝑝(1). A negação de “Existe um número inteiro 𝑛
tal que 𝑛 + 3 = 4” é “para todo inteiro 𝑛 temos que não é verdade que 𝑛 + 3 = 4”, ou
simplicando “para todo número inteiro 𝑛 temos que 𝑛 +3 ≠ 4”
◁
Exercícios
Ex. 1.5 — Atribua um valor verdade à cada uma das seguintes proposições:
a) 5 é um número primo e 4 é um número ímpar.
b) 5 é um número primo ou 4 é um número ímpar.
c) Não é verdade que
(
5 é um número primo e 4 é um número ímpar.
)
d)
(
Não é verdade que 5 é um número primo
)
ou 4 é um número ímpar.
Ex. 1.6 — Negue as seguintes proposições:
a) 3 > 4
e
2 é um número par.
b) 4
>
2
ou
3
>
5
.
c) 4 > 2 ou
(
∃𝑘)(𝑘 < 3
e
𝑘 > 5
)
.
d) (Não é verdade que 3 é um número par) ou que 5 é um número ímpar.
e) 2 é um número par e 3𝑘 + 1 é um número ímpar.
10
Bases Matemáticas
f) 2 é número par e não é verdade que 3 é um número ímpar.
g) Não é verdade que
(
5 é um número primo e 4 é um número ímpar.
)
h)
(
Não é verdade que 5 é um número primo
)
ou 4 é um número ímpar.
Ex. 1.7 — Nas seguintes proposições abertas o domínio do discurso é o conjunto dos núme-
ros reais. Para essas proposições determine e esboce na reta real o seu conjunto verdade.
a) 𝑥 > 2 e 𝑥 < 4.
b) 𝑥 > 2 ou 𝑥 < 3.
c) 𝑥 > 2 ou ( 𝑥 < 5 e 𝑥 > 3).
d) não é verdade que (𝑥 > 2 e 𝑥 < 4).
Ex. 1.8 — Para as seguintes proposições, escreva a negação, em português e simbólica, de
cada uma delas.
a) Existe um número real 𝑥 tal que 𝑥
2
= 2.
b) Para todo 𝜖, existe 𝛿(𝜖) tal que se 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿 então
|
𝑓 (𝑥) − 𝑓 ( 𝑙))
|
< 𝜀.
c) Não existe número racional 𝑥 tal que 𝑥
2
= 2.
d) Existe um número natural 𝑛 tal que 𝑛
2
é par e divisível por 3.
e) Não existe número inteiro 𝑚 tal que 𝑚
2
é um número primo ou 𝑚
2
é negativo.
f) Para cada número real 𝑥 existe um número real 𝑦 tal que 𝑥 + 𝑦 = 0.
g) Todo elemento de um conjunto 𝐴 é elemento do conjunto 𝐵.
1.1.3 Implicação
Um dos conectivos de maior importância na matemática é a implicação ou condicional.
Denição 1.16 Dadas duas proposições 𝑝 e 𝑞 então podemos construir a proposição “se 𝑝 então
𝑞” que também pode ser lida como “𝑝 implica 𝑞”, que denotaremos por
𝑝 ⇒ 𝑞.
A implicação 𝑝 ⇒ 𝑞 é falsa somente no caso que a proposição 𝑝 é verdadeira e a proposição 𝑞 é
falsa.
Numa implicação, 𝑝 ⇒ 𝑞, a proposição 𝑝 é denominada hipótese ou premissa e a propo-
sição 𝑞 é denominada tese, conclusão ou consequente da implicação.
11
1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática
A tabela a seguir apresenta o valor verdade de 𝑝 ⇒ 𝑞 em função dos valores verdades de
𝑝 e 𝑞.
𝑝 𝑞 𝑝 ⇒ 𝑞
verdadeiro verdadeiro verdadeiro
verdadeiro falso falso
falso verdadeiro verdadeiro
falso falso verdadeiro
Tabela 1.3: Valores verdade da implicação em função dos valores verdades de 𝑝 e 𝑞.
E importante observar, que na matemática a implicação 𝑝 ⇒ 𝑞 não estabelece nenhuma
relação de causa-efeito entre a hipótese e a tese. A implicação matemática somente estabe-
lece uma relação entre o valor lógico da implicação e os valores lógicos da premissa e da
conclusão.
Assim a implicação “Se 4 é par, então um triângulo equilátero tem todos os ângulos iguais”
é uma implicação verdadeira pois o antecedente (“4 é par”) é verdadeiro e o consequente
(“um triângulo equilátero tem todos os ângulos iguais”) é também verdadeiro. Apesar disso,
nenhuma relação causal parece existir entre esses dois fatos. Mais surpreendente, nesse as-
pecto é que a implicação “se 2 é ímpar então 2 + 5 = 3” é verdadeira. Esse exemplo ilustra a
última linha da nossa tabela. É fundamental observar que estamos armando apenas que a
implicação é verdadeira, e não a conclusão da implicação é verdadeira.
Esse comportamento “não-usual” da implicação pode ser melhor entendido através de
uma analogia. Imagine uma lei que diz que todos os motoristas de fusca devem usar grava-
tas vermelhas. Quando um motorista estará desobedecendo a lei? Se ele não estiver dirigindo
fusca (ou seja premissa falsa) então não importa se ele está ou não usando gravata vermelha
pois nesse caso a lei não se aplica a ele. O único modo de desobedecer a lei é estar dirigindo
um fusca (premissa verdadeira) e não estiver usando gravata vermelha (conclusão falsa). Esse
é o comportamento da implicação, ela só é falsa se a premissa for verdadeira e o consequente
falso.
Exemplos 1.17
“Se 2 é um número par, então 3 é um número ímpar.” é uma implicação verdadeira,
pois a hipótese e a tese da implicação são verdadeiras.
“Se 2 é um número par, então 4 é um número ímpar.” é uma implicação falsa, pois a
hipótese é verdadeira e a tese é falsa.
“Se 2 é um número ímpar, então 3 é um número par.” é uma implicação verdadeira,
pois a premissa é falsa.
12
Bases Matemáticas
“Se a mãe de Pedro é um trator então Pedro é uma moto-serra.” é uma implicação verda-
deira, pois a premissa é falsa (implicitamente estamos assumindo que Pedro é humano,
e que humanos não são tratores).
◁
Teorema 1.18 Negação da implicação
A negação da implicação 𝑝 implica 𝑞 é a proposição 𝑝
e
não 𝑞
Exemplos 1.19
A negação de “Se 𝑎 é par, então 𝑎
2
é par” é “𝑎 é par e 𝑎
2
é ímpar”.
A negação de “Se 𝑓 (𝑥)é uma função derivável então ela é uma função contínua” é ” 𝑓 (𝑥)
é uma função derivável e não-contínua“
◁
Dada uma proposição 𝑝 ⇒ 𝑞 então:
a proposição 𝑞 ⇒ 𝑝 é chamada de recíproca da proposição;
a proposição não 𝑞 ⇒ não 𝑝 é chamado de contrapositiva;
a proposição não 𝑝 ⇒ não 𝑞 é chamado de inversa da proposição.
Destacamos que uma implicação e sua contrapositiva são equivalentes, ou seja, ou ambas
são simultaneamente verdadeiras ou ambas são simultaneamente falsas. Como veremos pos-
teriormente (na seção 1.2.2), essa equivalência nos fornece uma técnica de demonstração: no
lugar de demonstrarmos uma implicação podemos demonstrar sua contrapositiva.
Também observamos que a contrapositiva da recíproca é a inversa (veja exercício 1.12), e
assim pelas razões apresentadas no parágrafo anterior a recíproca e a inversa são equivalentes
.
Ressaltamos que um erro lógico muito comum é confundir uma proposição com a sua re-
cíproca. O próximo exemplo ilustra que uma implicação verdadeira pode ter a recíproca falsa.
Exemplos 1.20 Considere a seguinte proposição “se 𝑥 é um número racional então 𝑥
2
é um
número racional”. Essa implicação é verdadeira, como veremos no exercício 1.21.c.
a proposição “se 𝑥
2
é um número racional então 𝑥 é um número racional” é a recíproca
dessa proposição. Essa recíproca é falsa pois
√
2 não é um número racional, mas o seu
quadrado, o número 2, é racional
13
1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática
a proposição “se 𝑥
2
não é um número racional, então 𝑥 não é um número racional” é a
contrapositiva da proposição inicial, e assim verdadeira.
a proposição “se 𝑥 não é um número racional então 𝑥
2
não é um número racional” é a
inversa dessa proposição. Sendo equivalente a recíproca, essa armação é falsa.
◁
As seguintes denominações, derivadas da noção de implicação, são usuais:
Denição 1.21 Uma proposição 𝑝 é dita condição suciente para uma proposição 𝑞, se 𝑝 implica 𝑞.
Uma proposição 𝑝 é uma condição necessária para uma proposição 𝑞, se 𝑞 implica 𝑝.
Exemplos 1.22
1. Para um número natural, ser par é uma condição necessária para ser divisível por 4,
pois todo número divisível por 4 é par. Por outro lado, ser par não é condição suciente
para ser divisível por 4, pois existem pares que não são divisíveis por 4.
2. Para um número real, ser maior que
2
é uma condição suciente para ser maior que
1
,
mas não necessária.
3. Ter nascido em Minas Gerais é condição suciente para ser brasileiro, mas claramente
não necessária.
4. Para um número real, ser distinto de 0 é condição necessária e suciente para possuir
um inverso.
◁
Finalmente, o conectivo 𝑝 ⇔ 𝑞 é chamado de bicondicional ou bi-implicação. A expressão
𝑝 ⇔ 𝑞 é lida como “𝑝 se e somente se 𝑞”. A expressão é equivalente a (𝑝 ⇒ 𝑞)
e
(𝑞 ⇒ 𝑝). Nesse
caso dizemos ainda que 𝑝 é uma condição necessária e suciente para 𝑞.
Exercícios
Ex. 1.9 — Ache a contrapositiva, a recíproca e a inversa das seguintes frases:
a) não 𝑝 ⇒ 𝑞.
b) não 𝑝 ⇒ não 𝑞.
c) 𝑝
⇒
não
𝑞
.
d) Se chove então eu não vou trabalhar.
e) Se 𝑥 é par, então 2𝑥 + 1 é ímpar.
f) Se minha mãe é um trator então eu sou uma moto-serra.
14
Bases Matemáticas
g) Se 2
𝑘
+ 1 é primo, então 𝑘 é uma potência de 2.
h) Se 𝑥
2
+ 𝑦
2
= 0 então 𝑥 e 𝑦 são iguais a 0.
Ex. 1.10 — Atribua um valor verdade as seguintes proposições:
a) Se 2 é um número par, então 3 é um número ímpar.
b) Se 2 é um número par, então 4 é um número ímpar.
c) Se 3 não é par, então 3 não é ímpar.
d) Se 3 não é par nem primo, então 5 não é ímpar.
e) Se minha mãe é um trator então eu sou uma moto-serra.
Ex. 1.11 — Para os pares de proposições 𝑝 e 𝑞 diga se 𝑝 é condição necessária, suciente ou
ambas para 𝑞. Em todos os exemplos considere 𝑛 como sendo um número natural.
a) 𝑝= “𝑛 é maior que 2” 𝑞 =“𝑛 é maior que 3”.
b) 𝑝=“𝑥 é maior que 2” 𝑞 =“𝑥 é maior igual a 2”.
c) 𝑝=“𝑛 é maior que 0 e 𝑛 é menor que 2” 𝑞 =“𝑛 é menor que 2”.
d) 𝑝=“𝑛 é maior que 0 e 𝑛 é menor que 2” 𝑞 =“𝑛 = 1”.
e) 𝑝=“Δ é um triângulo isósceles” 𝑞 =“Δ é um triângulo equilátero”.
f) 𝑝=“𝑀 é uma matriz com determinante diferente de 0” 𝑞 =“𝑀 é uma matriz invertível”.
Ex. 1.12 — Determine:
a) A contrapositiva da contrapositiva de 𝑝 implica 𝑞.
b) A contrapositiva da recíproca de 𝑝 implica 𝑞.
c) A contrapositiva da inversa de 𝑝 implica 𝑞
d) A contrapositiva de 𝑝 implica não 𝑞
e) A recíproca de 𝑝 implica não 𝑞
Ex. 1.13 — Negue a proposição 𝑝 ⇔ 𝑞
1.1.4 Múltiplos Quanticadores
Diversas proposições matemáticas envolvem mais que um quanticador. Ao lidarmos com
proposições com mais de um quanticador devemos tomar alguns cuidados extras, que ex-
poremos nessa seção. Comecemos com alguns exemplos de proposições matemáticas com
15
1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática
múltiplos quanticadores.
Exemplos 1.23
Para todo número inteiro par 𝑛, existe um inteiro 𝑘 tal que 𝑛 = 2𝑘. Essa proposição
pode ser escrita simbolicamente como:
∀𝑛 ∈ Z com 𝑛 par, ∃𝑘 ∈ Z | 𝑛 = 2𝑘
Para todo número real 𝑥, e para todo número real 𝑦, 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥. Essa proposição
pode ser escrita simbolicamente como:
∀𝑥 ∈ R, ∀𝑦 ∈ R, 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
Para todo número real 𝑥 ≠ 0, existe um número real 𝑥
tal que 𝑥 ·𝑥
= 1. Essa proposição
pode ser escrita simbolicamente como:
∀𝑥 ∈ R, com 𝑥 ≠ 0, ∃𝑥
∈ R | 𝑥 · 𝑥
= 1
◁
Um fato a ser observado, é que quando temos dois quanticadores diferentes (um universal
e um existencial), a ordem dos quanticadores é importante. Assim por exemplo a proposição
∀𝑥 ∈ R, ∃𝑦 ∈ R | 𝑦 = 𝑥
2
que pode ser reescrita como “para todo 𝑥 ∈ R existe 𝑦 ∈ R tal que 𝑦 = 𝑥
2
” arma que para
todo número real existe o quadrado desse número, e assim essa é uma proposição verdadeira.
Porém se trocarmos a ordem dos quanticadores temos a proposição:
∃𝑦 ∈ R |∀𝑥 ∈ R, 𝑦 = 𝑥
2
que pode ser reescrita como existe um número real 𝑦 tal que para todo número real 𝑥, 𝑦 = 𝑥
2
,
ou seja essa proposição arma que existe um número real que é o quadrado de qualquer
número real¹. E desta forma essa proposição é falsa.
Para quanticadores do mesmo tipo (dois existenciais, dois universais, etc.) a ordem dos
quanticadores não importa, ou seja, a proposição ∃𝑥 ∈ 𝑆 |∃𝑦 ∈ 𝑇𝑝(𝑥, 𝑦) é equivalente a
proposição ∃𝑦 ∈ 𝑇 | ∃𝑥 ∈ 𝑆𝑝(𝑥, 𝑦), e a proposição ∀𝑥 ∈ 𝑆, ∀𝑦 ∈ 𝑇, 𝑝(𝑥, 𝑦) é equivalente a
proposição ∀𝑦 ∈ 𝑇, ∀𝑥 ∈ 𝑆, 𝑝(𝑥, 𝑦).
A negação de proposições com mais de um quanticador pode ser feita utilizando cuida-
dosamente as regras de negação para quanticadores. Assim por exemplo:
Exemplo 1.24 Usando a negação do quanticador universal, temos que a negação da propo-
¹i.e, o mesmo número real deveria ser o quadrado de todos os números reais
16
Bases Matemáticas
sição
∀𝑦 ∈ 𝑇, ∃𝑥 ∈ 𝑆 | 𝑝(𝑥, 𝑦) é :
∃𝑦 ∈ 𝑇 | não(∃𝑥 ∈ 𝑆 | 𝑝(𝑥, 𝑦))
Usando a negação do quanticador existencial temos:
∃𝑦 ∈ 𝑇 |∀𝑥 ∈ 𝑆, não 𝑝(𝑥, 𝑦)).
◁
Quando tivemos uma proposição com múltiplos quanticadores, um exemplo será um
elemento do domínio de discurso do quanticador mais externo que satisfaz a proposição
obtida removendo a quanticação mais externa. Assim por exemplo, dado a proposição
∀𝑥 ∈ 𝑇, ∀𝑦 ∈ 𝑆, 𝑝(𝑥, 𝑦)
um exemplo é um elemento de 𝑇 que satisfaz a proposição ∀𝑦 ∈ 𝑆𝑝(𝑥, 𝑦), obtida da anterior
removendo a quanticação mais externa. De modo análogo podemos denir contraexemplos
para proposições com múltiplos quanticadores.
Exemplos 1.25
Um exemplo para a proposição 𝑃 =“Para todo número real 𝑥, existe 𝑦 tal que 𝑥 + 𝑦 = 0”
é um número real 𝑥 que satisfaz a proposição 𝑄(𝑥) =“existe 𝑦 tal que 𝑥 + 𝑦 = 0”. Assim
2 é exemplo pois: 𝑄(2) =“existe 𝑦 tal que 2 + 𝑦 = 0” é uma proposição verdadeira. A
verdade da última proposição pode ser demonstrada através de um exemplo para 𝑄(2),
o número real 𝑦 = 2.
De modo mais geral, qualquer número real é exemplo para a armação 𝑃 =“Para todo
número real 𝑥, existe 𝑦 tal que 𝑥 + 𝑦 = 0” pois a frase obtida pela remoção do quanti-
cador mais externo: 𝑄(𝑥) =“existe 𝑦 tal que 𝑥 + 𝑦 = 0” é verdadeira, pois 𝑦 = 𝑥 é um
exemplo para 𝑄(𝑥)
Por outro lado um exemplo para proposição
𝑃
=
“Existe
𝑥
tal que para todo
𝑦
tal que
𝑥 + 𝑦 = 0” seria um número real 𝑥 que satisfaz a proposição 𝑄(𝑥) =“para todo 𝑦 tal que
𝑥 + 𝑦 = 0”. Claramente não existe um número real que satisfaz essa proposição. Assim
todos os números reais são contraexemplos para essa armação
◁
Exercícios
Ex. 1.14 — Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica:
a) Para todo número inteiro ímpar 𝑛, existe um número inteiro 𝑘 tal que 𝑛 = 2𝑘 + 1.
17
1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática
b) Para todo 𝑦 ∈ 𝐵 existe um 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑓 (𝑥) = 𝑦.
c) Para todo número real 𝑥 existe 𝑦 tal que 𝑥 + 𝑦 = 0.
d) Para todo 𝜖 > 0, existe 𝑁
0
∈ N tal que para todo 𝑛 > 𝑁
0
,
|
𝑎
𝑛
− 𝐿
|
≤ 𝜖
e) Para todo 𝑥 ∈ 𝐴 e para todo número real 𝜖 > 0 existe um número real 𝛿 > 0 tal que
|
𝑥 − 𝑐
|
< 𝛿 implica
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
< 𝜖
Ex. 1.15 — Seja a proposição 𝑝(𝑥, 𝑦) =“𝑥 + 4 > 𝑦” com 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Para as
seguintes proposições, reescreva-as em português e atribua um valor verdade
a) ∀𝑥 ∈ 𝐷, ∃𝑦 ∈ 𝐷 | 𝑝(𝑥, 𝑦)
b) ∃𝑦 ∈ 𝐷 |∀𝑥 ∈ 𝐷, 𝑝(𝑥, 𝑦)
c) ∀𝑥 ∈ 𝐷, ∀𝑦 ∈ 𝐷, 𝑝(𝑥, 𝑦)
d) ∃𝑥 ∈ 𝐷, ∃𝑦 ∈ 𝐷 | 𝑝(𝑥, 𝑦)
Ex. 1.16 — O que as seguintes armações signicam? Elas são universais ou particulares?
Elas são verdadeiras? Dê exemplos e contraexemplos quando possível. O universo de dis-
curso em todos os casos é os números naturais.
a) ∀𝑥, ∃𝑦 | (𝑥 < 𝑦)
b) ∃𝑦 |∀𝑥, (𝑥 < 𝑦)
c) ∃𝑥 |∀𝑦, (𝑥 < 𝑦)
d) ∀𝑦, ∃𝑥 | (𝑥 < 𝑦)
e) ∃𝑥 |∃𝑦 |(𝑥 < 𝑦)
f) ∀𝑥, ∀𝑦, (𝑥 < 𝑦)
Ex. 1.17 — Reescreva as seguintes denições matemáticas simbolicamente:
a) Comutatividade: A soma de 𝑥 com 𝑦 é igual a soma de 𝑦 com 𝑥.
b) Não-comutatividade: Existem 𝑥 e 𝑦 tal que a soma de 𝑥 com 𝑦 é diferente da soma de
𝑦 com 𝑥.
c) Identidade: Existe um elemento 𝑒 tal que a soma de 𝑥 com 𝑒 é 𝑥.
d) Transitividade: Se 𝑥 é menor igual que 𝑦 e 𝑦 é menor igual que 𝑧 então 𝑥 é menor igual
que 𝑧.
e) Reexividade: Para todo 𝑥, 𝑥 é menor igual a 𝑥
Ex. 1.18 — O que as seguintes armações signicam? Elas são verdadeiras? Dê exemplos e
contraexemplos quando possível. O universo de discurso em todos os casos é os números
18
Bases Matemáticas
naturais.
a) ∀𝑥, ∃𝑦 | (2𝑥 − 𝑦 = 0)
b) ∃𝑦 |∀𝑥, (2𝑥 − 𝑦 = 0)
c) ∃𝑦 |∃𝑧 | (𝑦 + 𝑧 = 100)
Ex. 1.19 — Para as seguintes proposições, escreva a negação, em português e simbólica, de
cada uma delas.
a) Para todo número real 𝑥, para todo número real 𝑦, 𝑥 + 𝑦 = 0.
b) Para todo número real 𝑥, existe um número real 𝑦 tal que 𝑥 + 𝑦 = 0.
c) Para todo 𝜖 > 0, existe 𝑁
0
∈ N tal que para todo 𝑛 > 𝑁
0
,
|
𝑎
𝑛
− 𝐿
|
≤ 𝜖
d) Para todo 𝜖, existe 𝛿(𝜖) tal que se 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿 então
|
𝑓 (𝑥) − 𝑓 ( 𝑙))
|
< 𝜀.
Ex. 1.20 — Exemplos e ou Contraexemplos
a) Para todos números naturais pares 𝑚, 𝑛, temos que 𝑛 + 𝑚 é par.
1.2 Demonstrações
1.2.1 Por que Demonstrar?
“A lógica é a higiene que o matemático pratica para manter as suas ideias saudáveis e
fortes. “
Hermann Weyl
Nas seções anteriores apresentamos alguns elementos da linguagem e da lógica que sus-
tentam a matemática. Já nesta seção apresentaremos algumas ideias sobre demonstrações
matemáticas. Começaremos com uma breve discussão sobre o papel das demonstrações no
conhecimento matemático.
A importância do conhecimento matemático para as ciências é inegável. Grandes teorias
cientícas, como a mecânica newtoniana, o eletromagnetismo, a relatividade geral e quântica
são expressas elegantemente em termos matemáticos, e mais, graças a uma relação intrincada
entre o conhecimento natural entre esses campos de saber e uma matemática sosticada, essas
teorias são capazes de um poder de expressividade, de descrição e de precisão invejáveis.
São essas teorias cientícas, e assim também a matemática envolvida nessas descrições, que
sustentam os avanços tecnológicos de nossa sociedade. Como enfaticamente expresso pelo
físico Galileo Galilei:
19
1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática
“A losoa encontra-se escrita neste grande livro que continuamente se abre pe-
rante nossos olhos (isto é, o universo), que não se pode compreender antes de
entender a língua e conhecer os caracteres com os quais está escrito. Ele está es-
crito em língua matemática, os caracteres são triângulos, circunferências e outras
guras geométricas, sem cujos meios é impossível entender humanamente as pa-
lavras; sem eles nós vagamos perdidos dentro de um obscuro labirinto”
Galileo Galilei, O Ensaiador
Se por um lado essa visão utilitarista da matemática como ferramenta, seria suciente para
justicar a importância do estudo da matemática, essa visão é insuciente para levar à com-
preensão profunda da matemática em si. A matemática, como área do conhecimento, tem
um propósito muito mais amplo que ser a língua da ciência.
A matemática tem objetivos e métodos próprios. E talvez o método seja uma das marcas
que distinguem fundamentalmente a matemática das outras áreas do conhecimento. Nessa
linha podemos dizer que a matemática, pelo menos nos últimos 23 séculos, se caracteriza
pelo método axiomático, que simplicadamente pode ser descrito como tomar alguns fatos
como verdadeiros (as hipóteses, os axiomas) e demonstrar todo o restante a partir desses
fatos, utilizando as regras da lógica.
Vale ressaltar que, claramente, a matemática se estende muito além do pensamento racional-
dedutivo e a intuição e a percepção inconsciente são chaves para a criatividade matemática,
e a sede de descobrir novas verdades, de expandir o conhecimento é a motivação do esforço
matemático. Porém , embora estes sejam realmente elementos essenciais na exploração con-
tínua e no desenvolvimento da matemática, o raciocínio lógico é imprescindível para a de-
terminação da verdade matemática.
Assim a questão natural é: porque as demonstrações são importantes? Porque a supremacia
do raciocínio lógico e da dedução?
O principal motivo é que nossa intuição falha. E na história da matemática, diversos exem-
plos demonstraram e convenceram os matemáticos que só a intuição é insuciente para com-
preender os fatos matemáticos.
Para ilustrar esse ponto, um exemplo típico da falibilidade da nossa intuição é o fato que
para equações polinomiais de grau maior igual que 5 não existem fórmulas fechadas ao estilo
da fórmula de Bhaskara que expressam as soluções desses polinômios. Dito de outra forma,
as soluções de um polinômio de grau maior que 5 em geral não podem ser expressas como
um número nito de somas, produtos, quocientes e raízes dos coecientes do polinômio.
Desde que as expressões descobertas por Bhaskara Akaria (1114-1185), Girolamo Cardano
(1501-1576) e Niccolò Tartaglia (1499-1557), mostraram como representar as soluções de um
polinômio de grau até 4 através de operações aritméticas e radicais dos coecientes, o desco-
nhecimento das expressões para graus maiores foi atribuído a uma falta de técnica que seria
superada e gerações de matemáticos se dedicaram a encontrar expressões para as soluções de
20
Bases Matemáticas
polinômios de graus maiores. Porém, contrariando a intuição inicial, em 1824, Niels Henrik
Abel provou que tal fórmula não poderia existir e mostrou que as tentativas tinham sido em
vão.
Prosseguindo nessa linha, outro exemplo da necessidade de rigor, cuidado conceitual e
do valor das demonstrações é a noção de limites (e a noção de innito) que trataremos no
capítulo 8. A manipulação descuidada desses objetos levou a uma quantidade gigantesca
de erros e falhas conceituais em toda a matemática, que só foram resolvidas com denições
precisas e demonstrações rigorosas.
Ainda sobre a limitação da intuição como crivo fundamental para a verdade matemática,
destacamos que conforme o conhecimento matemático se expandiu, expandiu-se também a
generalidade e a abstração desse conhecimento, que assim se afastou cada vez mais do restrito
número de ideias sobre as quais temos alguma intuição naturalmente.
Outro ponto para justicar a necessidade das demonstrações, é que em geral as armações
matemáticas versam sobre uma innidade de objetos, como a armação “Existem innitos
primos”. Por mais que veriquemos através de computações que existam 10
10
10
primos, não
terminaremos com a inquietação e nem teremos razões sólidas para acreditarmos nesse fato.
Novamente, a matemática está repleta de exemplos de armações que valem para um grande
número de casos iniciais, mas que mesmo assim admitem contraexemplos.
1.2.2 Métodos de Demonstração
Rigor é para o matemático o que a moral é para os homens.
André Weyl
Vamos ilustrar algumas técnicas de demonstração utilizando alguns resultados de núme-
ros naturais. Para isso recordamos algumas denições que utilizaremos:
Um número inteiro não nulo 𝑎 divide um número inteiro 𝑏 se existe um inteiro 𝑘, tal
que: 𝑏 = 𝑎𝑘. Se 𝑎 divide 𝑏, 𝑏 é dito múltiplo de 𝑎 ou de modo equivalente 𝑎 é dito divisor
de 𝑏.
Um número inteiro 𝑎 é dito par se 2 divide 𝑎, ou seja, se existe número inteiro 𝑘 tal que
𝑎 = 2𝑘.
Um número inteiro 𝑏 é dito ímpar se 2 não divide 𝑏, nesse caso pode-se provar que
existe um número inteiro 𝑘 tal que 𝑏 = 2𝑘 + 1.
Um número real 𝑟 é dito racional se existirem números inteiros 𝑝, 𝑞, com 𝑞 ≠ 0, tal que
𝑟 =
𝑝
𝑞
.
Um número real 𝑟 é dito irracional se não for racional, i.e, se não existirem inteiros 𝑝, 𝑞,
com 𝑞 ≠ 0, tal que 𝑟 =
𝑝
𝑞
.
21
1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática
Demonstração Direta
A demonstração direta é a forma mais simples de demonstração que nós tratamos nesta seção,
e é a mais óbvia: para demonstrar que 𝑝 ⇒ 𝑞 suponha que 𝑝 é verdadeiro, e através de uma
série de etapas, cada uma seguinte das anteriores, conclui-se 𝑞.
Exemplo 1.26 Se 𝑛, 𝑚 são números pares então 𝑛 + 𝑚 também é um número par.
Um bom modo de iniciar uma demonstração é identicando as hipóteses e a tese e escla-
recendo os seus signicados, e o signicado dos termos envolvidos:
Hipótese 1: 𝑛 é par. Por denição de número par, temos que existe um inteiro 𝑘
1
tal que
𝑛 = 2𝑘
1
.
Hipótese 2: 𝑚 é par. De modo análogo, temos pela denição de número par que existe
(possivelmente outro) inteiro 𝑘
2
tal que 𝑚 = 2𝑘
2
.
Tese: Queremos provar que 𝑛 +𝑚 é par, ou seja, que existe um inteiro 𝑘
3
tal que 𝑛 +𝑚 = 2𝑘
3
.
Feito isso vamos a demonstração:
Demonstração: Como 𝑛, 𝑚 são pares existem inteiros 𝑘
1
, 𝑘
2
tais que 𝑛 = 2𝑘
1
e 𝑚 = 2𝑘
2
. Desta
forma temos que 𝑛 + 𝑚 = 2𝑘
1
+ 2𝑘
2
, e colocando em evidência o 2 teremos:
𝑝 + 𝑞 = 2(𝑘
1
+ 𝑘
2
) = 2𝑘
3
onde 𝑘
3
= 𝑘
1
+ 𝑘
2
é um número inteiro. E assim 𝑛 + 𝑚 é um número par.
□
Exemplo 1.27 Se 𝑎 divide 𝑏 e 𝑏 divide 𝑐, então 𝑎 divide 𝑐.
Novamente começaremos identicando as hipóteses e a tese e esclarecendo os seus signi-
cados:
Hipótese 1: 𝑎 divide 𝑏. Isso signica que existe um número inteiro 𝑘
1
tal que 𝑏 = 𝑎𝑘
1
.
Hipótese 2: 𝑏 divide 𝑐. Isso signica que existe um número inteiro 𝑘
2
tal que 𝑐 = 𝑏𝑘
2
.
Tese: Queremos provar que 𝑎 divide 𝑐, ou seja, queremos mostrar que existe um número
inteiro 𝑘
3
tal que 𝑐 = 𝑎𝑘
3
Demonstração: Pelas hipóteses temos que existem inteiros 𝑘
1
, 𝑘
2
tais que 𝑏 = 𝑎.𝑘
1
e 𝑐 = 𝑏.𝑘
2
.
Substituindo a primeira expressão na segunda teremos:
𝑐 = 𝑏𝑘
2
= (𝑎𝑘
1
)𝑘
2
= 𝑎(𝑘
1
𝑘
2
) = 𝑎𝑘
3
onde 𝑘
3
= 𝑘
1
𝑘
2
é um número inteiro. O que prova que 𝑎 divide 𝑐.
□
22
Bases Matemáticas
Exemplo 1.28 Se 𝑛 é um número ímpar então 𝑛
2
é um número ímpar.
Hipótese: 𝑛 é um número ímpar, i.e, ∃𝑘
1
∈ Z tal que 𝑛 = 2𝑘
1
+ 1
Tese: 𝑛
2
é um número ímpar, i.e, ∃𝑘
2
∈ Z tal que 𝑛
2
= 2𝑘
2
+ 1
Demonstração: Como 𝑛 é um número ímpar, existe um inteiro 𝑘
1
tal que 𝑛 = 2𝑘
1
+1 e assim:
𝑛
2
= (2𝑘
1
+ 1)
2
= 4𝑘
2
1
+ 4𝑘
1
+ 1 ⇒ 𝑛
2
= 2(2𝑘
2
1
+ 2𝑘
1
) + 1
Como 2𝑘
2
1
+ 2𝑘
1
é um número inteiro, temos pela denição que 𝑛
2
é ímpar. □
Exercícios
Ex. 1.21 — Demonstre as seguintes armações:
a) Se 𝑎 divide 𝑏 e 𝑎 divide 𝑐 então 𝑎 divide 𝑏 + 𝑐.
b) Se 𝑝, 𝑞 são números racionais, então 𝑝 + 𝑞 é um número racional.
c) Se 𝑝, 𝑞 são números racionais, então 𝑝 · 𝑞 é um número racional.
* d) Se 𝑟
1
e 𝑟
2
são raízes distintas de 𝑝(𝑥) = 𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, então 𝑟
1
+ 𝑟
2
= −𝑏 e 𝑟
1
𝑟
2
= 𝑐.
Demonstração por Redução ao Absurdo
Uma demonstração por redução ao absurdo (também conhecida como demonstração por
contradição ou ainda por reductio ad absurdum) é uma técnica de demonstração no qual
se demonstra que se algum enunciado fosse verdadeiro, ocorreria uma contradição lógica, e
portanto o enunciado deve ser falso.
Exemplo 1.29 Existem innitos números primos.
Demonstração: Vamos demonstrar essa proposição por redução ao absurdo. Desta forma su-
ponha que existem nitos números primos, que denotaremos por 𝑝
1
, 𝑝
2
, . . . , 𝑝
𝑛
. Considere
então o número 𝑞 = 𝑝
1
𝑝
2
...𝑝
𝑛
+ 1. O número 𝑞 não é divisível por nenhum dos números
𝑝
1
, 𝑝
2
, ..., 𝑝
𝑛
(o resto da divisão de 𝑞 pelo primo 𝑝
𝑖
é sempre 1). Logo, 𝑞 é um número primo
distinto de 𝑝
1
, 𝑝
2
, . . . , 𝑝
𝑛
. Isto contradiz a nossa hipótese inicial de que existem apenas 𝑛 nú-
meros primos. Absurdo. Logo existem innitos números primos □
Exemplo 1.30
√
2 é irracional.
23
1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática
Demonstração: Faremos a demonstração pelo método de redução ao absurdo. Ou seja, su-
pomos que
√
2 é um número racional, i.e., que existem números inteiros positivos 𝑎 e 𝑏 tais
que:
𝑎
𝑏
=
√
2
ou, equivalentemente:
𝑎
𝑏
2
= 2
Podemos supor que 𝑎 e 𝑏 não são ambos números pares, pois se fossem, poderíamos simpli-
car a fração até termos que pelo menos um dos termos da fração seja ímpar.
Agora, escrevemos:
𝑎
𝑏
2
=
𝑎
2
𝑏
2
= 2
Então:
𝑎
2
= 2𝑏
2
(1.1)
Concluímos então que 𝑎
2
é um número par, pois é dobro de 𝑏
2
. Logo 𝑎 também deve ser
par, pois se 𝑎 fosse ímpar o o seu quadrado também seria ímpar.
Temos então que 𝑎 é um número par e, portanto, é o dobro de algum número inteiro,
digamos 𝑘:
𝑎 = 2𝑘 (1.2)
Substituindo 1.2 em 1.1 temos:
(2𝑘)
2
= 2𝑏
2
⇒ 4𝑘
2
= 2𝑏
2
⇒ 2𝑙
2
= 𝑏
2
(1.3)
De modo análogo, temos que 𝑏 deve ser um número par. O que é absurdo pois 𝑎 e 𝑏 não são
ambos números pares. Portanto,
√
2 tem que ser um número irracional. Como queríamos
demonstrar.
□
Exemplo 1.31 Não existem soluções inteiras positivas para a equação 𝑥
2
− 𝑦
2
= 1.
Demonstração: Vamos realizar a demonstração por redução ao absurdo. Desta forma, vamos
supor que existe uma solução (𝑎, 𝑏)com 𝑎 e 𝑏 inteiros positivos, satisfazendo 𝑎
2
−𝑏
2
= 1. Então
fatorando temos:
𝑎
2
− 𝑏
2
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 1.
Como 𝑎 + 𝑏 e 𝑎 − 𝑏 são inteiros cujo produto é 1, temos que ou 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 = 1 ou 𝑎 +
𝑏 = 𝑎 − 𝑏 = −1. No primeiro caso, podemos adicionar as duas equações para obter 𝑎 = 1
e 𝑏 = 0, contradizendo o nosso pressuposto inicial de que 𝑎 e 𝑏 são positivos. No segundo
caso de modo semelhante, obtemos que 𝑎 = −1 e 𝑏 = 0, novamente contrariando a nossa
24
Bases Matemáticas
hipótese. Logo por redução ao absurdo, temos que não existem soluções inteiras positivas
para a equação 𝑥
2
− 𝑦
2
= 1. □
Exercícios
Ex. 1.22 — Use o método de redução ao absurdo para provar cada um das seguintes propo-
sições.
a)
3
√
2 é irracional.
b) Não existem soluções inteiras positivas para a equação 𝑥
2
− 𝑦
2
= 10.
c) Não existem soluções racionais para a equação 𝑥
5
+ 𝑥
4
+ 𝑥
3
+ 𝑥
2
+ 1 = 0.
d) Dados 𝑎, 𝑏, 𝑐 números inteiros. Mostre que se 𝑎 não divide 𝑏𝑐, então 𝑎 não divide 𝑏.
Demonstração por Contraposição
O método de demonstração por contraposição baseia-se no fatoque uma implicação 𝑝 implica 𝑞
é equivalente a sua contrapositiva não 𝑞 implica não 𝑝. Assim, no método de demonstração
por contraposição ao invés de se demonstrar a implicação 𝑝 implica 𝑞, demonstra-seque não 𝑞 implica não 𝑝.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1.32 Se 𝑛 e 𝑚 são números inteiros para os quais 𝑛 + 𝑚 é par, então 𝑛 e 𝑚 tem a
mesma paridade.
Vamos provar essa proposição usando o método de demonstração por contraposição. Ob-
serve que a versão contrapositiva deste teorema é: ”Se 𝑛 e 𝑚 são dois números inteiros com
paridades opostas, então sua soma 𝑛 + 𝑚 deve ser ímpar”.
Para a versão contrapositiva temos:
Hipótese: “𝑛 e 𝑚 são dois números inteiros com paridades opostas”,
Tese “soma 𝑛 + 𝑚 deve ser ímpar”
Demonstração: Faremos a demonstração por contraposição. Desta forma supomos que 𝑛 e
𝑚 tem paridades opostas, ou seja, um deles é par e o outro ímpar, e assim não há perda de
generalidade em supor que 𝑛 é par e 𝑚 é ímpar. Logo, existem inteiros 𝑘
1
e 𝑘
1
tais que 𝑛 = 2𝑘
1
e 𝑚 = 2𝑘
2
+ 1. Calculando a soma
𝑛 + 𝑚 = 2𝑘
1
+ 2𝑘
2
+ 1 = 2(𝑘
1
+ 𝑘
2
) + 1
e observando que 𝑘
1
+ 𝑘
2
é um número inteiro, temos que 𝑛 + 𝑚 é um inteiro ímpar, por
denição. □
25
1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática
Qual a diferença entre uma demonstração por contraposição de uma demonstração por re-
dução ao absurdo?
Vamos analisar como os dois métodos de trabalho ao tentar provar ”Se 𝑝, então 𝑞”.
Método de redução ao absurdo: assuma 𝑝 e não 𝑞 e então devemos provar que estas
duas hipóteses levam a algum tipo de contradição lógica.
Método de contraposição: assuma não 𝑞 e então devemos provar não 𝑝.
O método de contraposição tem a vantagem de que seu objetivo é claro, temos que de-
monstrar não 𝑝. Por outro lado, no método da contradição, o objetivo é demonstrar uma con-
tradição lógica, porém nem sempre é claro qual é a contradição que vamos encontrar.
Exemplo 1.33 Se 𝑛
2
é ímpar, então 𝑛 é ímpar ◁
Demonstração: Nesse caso a contrapositiva é: “se 𝑛 é par então 𝑛
2
é par”
Assim por contraposição. Suponha então que 𝑛 é par, logo existe um número inteiro 𝑘 tal
que 𝑛 = 2𝑘, e assim:
𝑛2 = (2𝑘)
2
= 4𝑘
2
= 2(2𝑘
2
)
Como 2𝑘
2
é um inteiro, 𝑛
2
é par. □
Exercícios
Ex. 1.23 — Prove cada uma das seguintes proposições pelo método de contraposição.
a) Se 𝑥 e 𝑦 são dois números inteiros cujo produto é par, então pelo menos um dos dois
deve ser par.
b) Se 𝑥 e 𝑦 são dois números inteiros cujo produto é ímpar, então ambos têm de ser ím-
pares.
c) Se 𝑎 e 𝑏 são números reais tais que o produto 𝑎𝑏 é um número irracional, então ou 𝑎
ou 𝑏 deve ser um número irracional.
Ex. 1.24 — Mostre que o produto de um número racional não nulo com um número irracio-
nal é um número irracional.
Ex. 1.25 — Mostre que se 𝑎 e 𝑏 são números racionais, então 𝑎 + 𝑏 é um número racional.
Ex. 1.26 — Mostre que um número inteiro de 4 dígitos é divisível por 3 se a soma dos seus
dígitos for divisível por 3.
26
Bases Matemáticas
Demonstrações de “se e somente se”
Muitos teoremas na matemática são apresentados sob a forma ”𝑝 se, e somente se, 𝑞”. Essa
armação é equivalente a ”se 𝑝, então 𝑞
e
se 𝑞, então 𝑝”. Logo, para demonstrar uma arma-
ção da forma ”𝑝 se, e somente se, 𝑞”, devemos demonstrar duas implicações separadamente.
Exemplo 1.34 Dois inteiros 𝑎 e 𝑏, possuem paridades diferentes se, e somente se, 𝑎 + 𝑏 é um
número ímpar
Demonstração: Temos que provar duas implicações:
Se 𝑎 e 𝑏 possuem paridades diferentes então 𝑎 + 𝑏 é um ímpar;
Se 𝑎 + 𝑏 é ímpar então 𝑎 e 𝑏 possuem paridades diferentes.
Vamos provar a implicação: se 𝑎 e 𝑏 possuem paridades diferentes então 𝑎 + 𝑏 é ímpar.
Sem perda de generalidade como por hipótese 𝑎 e 𝑏 possuem paridades diferentes, pode-
mos assumir que 𝑎 é par e que 𝑏 é ímpar. Desta forma existem inteiros 𝑘
1
, 𝑘
2
tais que 𝑎 = 2𝑘
1
e 𝑏 = 2𝑘
2
+ 1, e assim:
𝑎 + 𝑏 = 2𝑘
1
+ 2𝑘
2
+ 1 = 2(𝑘
1
+ 𝑘
2
) + 1
e assim 𝑎 + 𝑏 é ímpar.
Agora, demonstraremos a implicação: se 𝑎 +𝑏 é ímpar então 𝑎 e 𝑏 possuem paridades dife-
rentes. Na verdade provaremos a contrapositiva dessa armação: se 𝑎 e 𝑏 possuem paridades
iguais então 𝑎 + 𝑏 é par.
Temos dois casos a considerar ambos 𝑎 e 𝑏 pares e ambos 𝑎 e 𝑏 ímpares.
Se 𝑎 e 𝑏 são ambos pares então existem 𝑘
1
, 𝑘
2
tal que 𝑎 = 2𝑘
1
e 𝑏 = 2𝑘
2
e desta forma
𝑎 + 𝑏 = 2(𝑘
1
+ 𝑘2)
e assim 𝑎 + 𝑏 é par.
Se 𝑎 e 𝑏 são ambos ímpares então existem 𝑘
1
, 𝑘
2
tal que 𝑎 = 2𝑘
1
+ 1 e 𝑏 = 2𝑘
2
+ 1 e desta
forma
𝑎 + 𝑏 = 2𝑘
1
+ 1 +2𝑘2 + 1 = 2(𝑘
1
+ 𝑘2 + 1)
e assim 𝑎 + 𝑏 é par.
□
Exercícios
Ex. 1.27 — Dado dois inteiros 𝑎 e 𝑏, o produto 𝑎𝑏 é um número par, se e somente se, pelo
menos um dos números inteiros, 𝑎 ou 𝑏, for par.
27
1 Elementos de Lógica e Linguagem Matemática
Ex. 1.28 — Dados 𝑎, 𝑏, 𝑐 inteiros com 𝑐 ≠ 0. Mostre que 𝑎 divide 𝑏 se e somente se 𝑎𝑐 divide
𝑏𝑐.
28
2
Generalidades sobre
Conjuntos
2.1 Conceitos básicos
Denição ingênua de conjunto
Um conjunto é uma qualquer coleção de objetos, concretos ou abstratos. Dado um conjunto,
isto é, uma coleção de objetos, diz-se que cada um destes objetos pertence ao conjunto dado
ou, equivalentemente, que é um elemento desse conjunto.
Exemplos 2.1
o conjunto das disciplinas de um curso;
o conjunto das letras desta frase;
o conjunto dos jogadores de um time de futebol;
o conjunto dos times de futebol de um estado;
o conjunto dos conjuntos dos times de futebol de um estado;
o conjunto das ideias que Leonardo da Vinci nunca teve;
o conjunto dos números naturais.
◁
Notações. Para denotar um conjunto genérico, usam-se normalmente letras maiúsculas 𝐴, 𝐵, 𝐶, . . . 𝑍,
enquanto para seus elementos usam-se letras minúsculas 𝑎, 𝑏, 𝑐, . . . 𝑧 (atenção: essa é somente
uma notação comum, não uma regra, até mesmo porque um conjunto pode ser, por sua vez,
um elemento de outro conjunto, caso em que a notação não poderia ser respeitada). A rela-
ção de pertinência é denotada pelo símbolo ∈. Já o símbolo ∉ é usado para denotar a não-
pertinência (quando isso zer sentido).
29
2 Generalidades sobre Conjuntos
Exemplos 2.2
𝑎 ∈ 𝐴 denota o fato de que o objeto 𝑎 pertence ao conjunto 𝐴;
𝑥 ∉ 𝐶 denota o fato de que 𝑥 não é um elemento do conjunto 𝐶.
◁
Formas de descrever um conjunto
O modo matemático de descrever um conjunto lança mão das chaves { }, sendo usadas no
formato genérico
{ descrição dos elementos ou de suas propriedades }.
Há uma sutil mas importante diferença entre descrever os elementos de um conjunto (o que
será chamado de descrição enumerativa) ou descrever as propriedades desses elementos (o
que será chamado de descrição predicativa). Na descrição enumerativa, mais simples (mas
nem sempre possível), os elementos são apresentados explicita ou implicitamente, como nos
exemplos abaixo:
Exemplos 2.3
{1, 2, 3}
{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 , 𝑔}
{andré, bernardo, caetano}
{ palavras da língua portuguesa }
{ alunos desta turma }
{0, 1, 2, . . . }
◁
Note que, no último exemplo, lança-se mão das reticências para indicar que o elenco dos ele-
mentos do conjunto continua indenidamente, segundo uma regra que ca implicitamente
clara observando-se os primeiros elementos apresentados.
Já na descrição predicativa, há a concorrência de duas condições: i) há um ”conjunto de refe-
rência”, ao qual pertencem os elementos do conjunto que se quer descrever (podemos pensá-
lo com o domínio do discurso); ii) há uma propriedade que é satisfeita por todos os elementos
do conjunto que se quer descrever, e somente por eles. O formato geral (em notação mate-
mática) da descrição predicativa é
{𝑥 ∈ U | 𝑥 satisfaz 𝑃}
30
Bases Matemáticas
onde U denota o conjunto de referência e 𝑃 a propriedade que caracteriza os elementos do
conjunto que está sendo descrito. A barra vertical ”|”é lida como ”tal que”(ou ”tais que”,
dependendo da concordância de número) e, em seu lugar, é também comum empregar o
símbolo ”:”. Abaixo, alguns exemplos desse modo predicativo (para esses exemplos, N denota
o conjunto dos números naturais e R denota o conjunto dos números reais):
Exemplos 2.4
{𝑛 ∈ N | 𝑛 + 1 é um múltiplo de 10}
{𝑥 ∈ R : 𝑥
2
+ 2𝑥 − 1 > 0}
{ alunos desta turma que usam o trem como meio de transporte }
{ números ímpares que também são primos }
◁
Alguns cuidados com essa noção ingênua dos conjuntos
Ao tratarmos os conjuntos como meras coleções de objetos, estamos livres de tomar qualquer
coleção imaginável. O limite para tal, se existir, é a própria criatividade da mente humana.
Mas desse modo podem aparecer problemas lógicos irremediáveis, como mostra o paradoxo
abaixo.
Paradoxo de Russell. Há conjuntos que são elementos de si mesmos: o conjunto de todos os con-
juntos imagináveis é um elemento de si mesmo, pois trata-se evidentemente de um conjunto
imaginável (acabamos de imaginá-lo); o conjunto de todas as coisas que não são comestíveis
não é comestível, logo é um elemento de si mesmo. Há também os conjuntos que não são ele-
mentos de si mesmos: o conjunto dos mamíferos não é um mamífero; o conjunto dos alunos
desta turma não é um aluno desta turma. Para distinguir uma classe de conjuntos da outra,
chamemos de endológicos os conjuntos que são elementos de si mesmos e de exológicos os
conjuntos que não são elementos de si mesmos. Evidentemente, todo conjunto é elemento de
uma classe ou da outra, não podendo pertencer a ambas. Denote então por 𝐶 o conjunto de
todos os conjuntos exológicos. A qual classe pertence o conjunto 𝐶? É um conjunto endoló-
gico? É exológico?
Uma análise do paradoxo acima pode ser encontrada no Apêndice, mas adiantemos aqui
sua conclusão: tal conjunto 𝐶 não pode existir, a não ser às custas da consistência lógica do
nosso sistema. E essa constatação ilustra a necessidade de se desenvolver um conceito de
”conjunto”mais elaborado, de modo a evitar paradoxos e inconsistências. Tal elaboração foge
totalmente ao escopo deste texto, mas sua necessidade não poderia ter sido omitida. Com
31
2 Generalidades sobre Conjuntos
esse cuidado em mente, nos será suciente, para efeito dos nossos objetivos, lançar mão da
denição ingênua de conjunto dada no início deste capítulo, uma vez que lidaremos somente
com conjuntos ”razoáveis”.
2.2 Relações elementares
Subconjuntos e superconjuntos
Seja dado um conjunto 𝐴. Dizemos que um conjunto 𝐵 é um subconjunto do conjunto 𝐴
(ou, equivalentemente, que 𝐵 está contido em 𝐴) se todo elemento de 𝐵 é também elemento
de 𝐴. Denota-se tal situação por 𝐵 ⊂ 𝐴. Em símbolos,
𝐵 ⊂ 𝐴
se, e somente se,
𝑥 ∈ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴.
A mesma situação pode ser descrita dizendo que 𝐴 é um superconjunto de 𝐵 ou, mais co-
mumente, que 𝐴 contém 𝐵, denotando-se tal relação por 𝐴 ⊃ 𝐵.
Exemplos 2.5 Para os exemplos que se seguem, denote por 𝑃 o conjunto dos números natu-
rais pares (note que tal conjunto inclui o zero), por 𝐼 o conjunto dos números naturais ímpares
e seja 𝑆 = {𝑛 ∈ N | 𝑛 + 1 ∈ 𝑃} o conjunto dos números naturais que são sucessores de algum
número natural par. Denote ainda por Z o conjunto dos números inteiros.
1. 𝑃 ⊂ N, uma vez que todo número natural par é, obviamente, um número natural.
2. Todo número natural é um número inteiro, logo Z ⊃ N.
3. Todo número natural ímpar é o sucessor de algum número natural par, logo 𝐼 ⊂ 𝑆.
4. Se um número natural é o sucessor de um número par, então tal número é necessaria-
mente ímpar, ou seja, 𝐼 ⊃ 𝑆.
◁ Os dois últimos exemplos acima traduzem o simples fato de que os conjuntos 𝑆 e 𝐼
coincidem¹. Temos, de fato, a seguinte
Denição 2.6 Se dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 satisfazem as relações 𝐴 ⊂ 𝐵 e 𝐵 ⊂ 𝐴 simultaneamente,
então dizemos que tais conjuntos são iguais, isto é, 𝐴 = 𝐵. Em símbolos,
𝐴 = 𝐵
¹Note, em particular, que o símbolo ⊂, ou mesmo ⊃, não exclui a possibilidade da igualdade entre os conjuntos
32
Bases Matemáticas
se, e somente se,
𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐵.
Vale destacar, portanto, que uma igualdade entre conjuntos é a síntese de duas inclusões. Tal
interpretação é útil, particularmente, em demonstrações envolvendo igualdade de conjuntos.
Por exemplo, consideremos o conjunto 𝐴 constituído pelos números naturais cuja metade
também é um número natural e comparemos o conjunto 𝐴 com o conjunto 𝑃 dos exemplos
acima, isto é, o conjunto dos números naturais pares. Poderíamos simplesmente dizer que,
evidentemente, tais conjuntos são iguais. Entretanto, desconando das evidências (o que é
um hábito saudável), vejamos como demonstrar a igualdade 𝐴 = 𝑃.
Tendo em mente que tal igualdade traduz as duas armações 𝐴 ⊂ 𝑃 e 𝐴 ⊃ 𝑃, precisamos
trabalhar com cada uma separadamente. Para provar a primeira, devemos mostrar que todo
elemento de 𝐴 é também elemento de 𝑃. Assim, tomemos um elemento 𝑎 ∈ 𝐴. Tal elemento
deve possuir, portanto, a propriedade de que 𝑎/2 é um número natural, isto é
𝑎
2
= 𝑛
para um certo 𝑛 ∈ N. Logo, 𝑎 = 2𝑛, ou seja, 𝑎 é divisível por 2. Concluímos que 𝑎 é par, isto
é, 𝑎 ∈ 𝑃. Provamos, desse modo, que todo elemento de 𝐴 é também elemento de 𝑃, ou seja,
𝐴 ⊂ 𝑃.
Para provar a outra inclusão, devemos vericar que todo elemento de 𝑃 é também elemento
de 𝐴. Seja então 𝑛 ∈ 𝑃 um elemento qualquer. Como 𝑛 é par (condição para pertencer ao
conjunto 𝑃), ele é divisível por 2. Assim, existe algum número natural 𝑚 tal que
𝑛 = 2𝑚
Dividindo ambos os membros da equação acima por 2, obtemos
𝑛
2
= 𝑚
isto é, a metade de 𝑛 é um número natural. Desse modo, 𝑛 ∈ 𝐴, donde concluímos que 𝑃 ⊂ 𝐴.
Tendo vericado que valem as inclusões 𝐴 ⊂ 𝑃 e 𝐴 ⊃ 𝑃, podemos concluir que vale a igual-
dade desejada, isto é, 𝐴 = 𝑃.
Uma vez que a relação de inclusão do tipo 𝐵 ⊂ 𝐴 inclui a possibilidade que os conjuntos 𝐴 e
𝐵 sejam iguais (em outras palavras, a relação 𝑋 ⊂ 𝑋 é sempre válida, para qualquer conjunto
𝑋), precisamos de outra notação e nomenclatura para os casos em que queremos evitar tal
possibilidade. Nesses casos, falamos em inclusão própria (ou estrita), denotando por 𝐵 ⊊ 𝐴.
Em símbolos,
𝐵 ⊊ 𝐴 ⇔ 𝐵 ⊂ 𝐴 e 𝐵 ≠ 𝐴.
Assim, quando dizemos que 𝐵 está contido propriamente em 𝐴 (ou que 𝐵 é um subconjunto
próprio de 𝐴), estamos armando duas coisas: i) todo elemento de 𝐵 é elemento de 𝐴; ii) existe
33
2 Generalidades sobre Conjuntos
ao menos um elemento de 𝐴 que não pertence a 𝐵. Evidentemente, uma observação análoga
cabe para a inclusão própria 𝐴 ⊋ 𝐵.
Sobre notações. É comum encontrar um uso diferente para o símbolo ⊂ (ou ⊃) na literatura.
Em alguns textos ou artigos, de fato, o símbolo ⊂ (ou ⊃) é usado com o mesmo signicado
que demos ao símbolo ⊊ (respectivamente, ⊋). Nesse caso, para indicar a inclusão genérica
(i.e. não própria), tais textos usam o símbolo ⊆ (respectivamente ⊇). Assim, ao se consultar
outras referências bibliográcas, é salutar vericar qual o signicado ali adotado para os sím-
bolos de inclusão.
Conjunto vazio. Assumimos a existência de um conjunto que não possui nenhum elemento.
Tal conjunto é chamado de conjunto vazio e denotado por . Dado qualquer conjunto 𝐴,
vale sempre a relação de inclusão
⊂ 𝐴.
A armação acima equivale à proposição 𝑥 ∈ ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴. Como vimos no capítulo anterior,
uma implicação é falsa somente quando sua premissa é verdadeira e sua conclusão falsa. Em
particular, vimos o argumento de vacuidade: uma implicação cuja premissa é falsa é sempre
uma implicação verdadeira, independentemente do valor verdade de sua conclusão. É esse
exatamente o caso acima: a premissa 𝑥 ∈ é falsa, enquanto que a conclusão 𝑥 ∈ 𝐴 tem valor
de verdade indeterminado.
Outro modo de justicar a mesma implicação é através de sua contra-positiva: 𝑥 ∉ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∉
. Nesse caso, a premissa pode ser verdadeira ou falsa, sendo impossível determinar o valor
verdade a priori (anal, sequer sabemos qual conjunto é 𝐴). Entretanto, a conclusão 𝑥 ∉ é
evidentemente verdadeira. Assim, a implicação é verdadeira, qualquer que seja o valor ver-
dade da premissa.
Exercícios
Ex. 2.1 — Determine se as armações abaixo são verdadeiras ou falsas:
a) ⊂ {}
b) ∈ {}
c) = {}
Conjunto potência. Seja dado um conjunto 𝐴. O conjunto de todos os subconjuntos de 𝐴 é
34
Bases Matemáticas
chamado de conjunto potência de 𝐴 (ou também conjunto das partes de 𝐴) e é denotado
por 𝒫(𝐴). Note que, qualquer que seja o conjunto 𝐴, o conjunto potência 𝒫(𝐴) sempre con-
tém, pelo menos, os elementos e 𝐴.
Exemplos 2.7 . Sejam dados os conjuntos 𝐴 = {1, 2} e 𝐵 = {𝑥, 𝑦, 𝑧}. Então:
𝒫(𝐴) = {, {1}, {2}, {1, 2}}
𝒫(𝐵) = {, {𝑥}, {𝑦}, {𝑧}, {𝑥, 𝑦}, {𝑥, 𝑧}, {𝑦, 𝑧}, {𝑥, 𝑦, 𝑧}}
◁
É importante destacar um erro comum quando se fala em conjunto das partes. Tomemos o
conjunto 𝐴 do exemplo acima. É falso armar que 1 ∈ 𝒫(𝐴) (ou pior, que 1 ⊂ 𝐴). O correto
é {1} ∈ 𝒫(𝐴) (o que equivale a dizer que {1} ⊂ 𝐴). Em suma, vale a relação
𝑋 ∈ 𝒫(𝐴) ⇔ 𝑋 ⊂ 𝐴.
A melhor maneira de evitar erros como o ilustrado acima é ter sempre em mente o signicado
das relações de pertinência e de inclusão. A primeira é uma relação entre elemento e conjunto,
enquanto a segunda é uma relação entre conjunto e conjunto. Assim, os elementos de 𝒫(𝐴)
são subconjuntos de 𝐴. Já os elementos de 𝐴, estes não são, em geral, elementos de 𝒫(𝐴).
Exercícios
Ex. 2.2 — Na última observação, dissemos que os elementos de um conjunto 𝐴 não são, em
geral, elementos de 𝒫(𝐴). Dê um exemplo de conjunto 𝐴 tal que 𝐴 ∩ 𝒫 (𝐴) ≠ .
Ex. 2.3 — Se 𝐴 é um conjunto com 𝑛 elementos, quantos elementos possui o conjunto po-
tência 𝒫(𝐴)? (Veremos, mais adiante, duas soluções para este exercício: uma no contexto do
Princípio de Indução, outra no contexto de Combinatória).
2.3 Operações
União e intersecção
Denição 2.8 . Dados dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, o conjunto união 𝐴 ∪ 𝐵 é o conjunto formado
35
2 Generalidades sobre Conjuntos
pelos elementos que pertencem a 𝐴 ou a 𝐵, isto é
𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵.
Denição 2.9 O conjunto intersecção 𝐴 ∩𝐵 é formado pelos elementos que pertencem simul-
taneamente a 𝐴 e 𝐵, isto é
𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐵.
Exemplos 2.10 . Dados os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3}, 𝐵 = {1, 3, 5} e 𝐶 = {4, 5, 6}, tem-se:
𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 5}
𝐴 ∩ 𝐵 = {1, 3}
𝐴 ∪ 𝐶 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
𝐴 ∩ 𝐶 =
𝐵 ∪ 𝐶 = {1, 3, 4, 5, 6}
𝐵 ∩ 𝐶 = {5}
◁
Quando dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 não têm nenhum elemento em comum, i.e. quando 𝐴 ∩ 𝐵 = ,
dizemos que estes conjuntos são disjuntos. A união de dois conjuntos disjuntos é também
chamada de união disjunta e pode ser denotada pelo símbolo
◦
∪ ².
Propriedade 2.11 Sejam dados dois conjuntos 𝐴 e 𝐵. Das denições acima, seguem imediatamente
as seguintes propriedades:
1. 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴 = 𝐴 ∩ 𝐴
2. 𝐴 ∪ = 𝐴 e 𝐴 ∩ =
3. 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐴 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵
4. 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐵 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵
5. 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
²A rigor, pode-se falar em união disjunta de conjuntos quaisquer, mesmo não disjuntos. Nesse caso, os eventuais
elementos da intersecção dos conjuntos passam a ser considerados distintos, o que se obtém indexando os
elementos de cada conjunto.
36
Bases Matemáticas
6. 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
A título de exemplo, vamos provar a terceira e a quinta dessas propriedades. Iniciemos com
a terceira:
𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐴 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵
Na verdade, trata-se de duas inclusões de conjuntos:
𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐴 e 𝐴 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵.
Vejamos uma de cada vez. Para provar a primeira, precisamos vericar a implicação: 𝑥 ∈
𝐴 ∩ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴. Se for 𝐴 ∩ 𝐵 = , então a implicação acima é verdadeira por vacuidade (não
custa lembrar que isso equivale ao fato, já conhecido, de que o conjunto vazio é subconjunto
de qualquer conjunto). Suponhamos então que 𝐴 ∩ 𝐵 ≠ . Nesse caso, se 𝑥 pertence à inter-
secção de 𝐴 e 𝐵, então 𝑥 pertence tanto ao conjunto 𝐴 quanto ao conjunto 𝐵. Em particular, o
que nos interessa nesse caso é que 𝑥 pertence ao conjunto 𝐴. Isso é exatamente o que arma
a implicação acima, logo é verdadeira a inclusão 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐴.
Com relação à segunda inclusão, i.e. 𝐴 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵, a ideia é similar. Precisamos provar a impli-
cação: 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵. Novamente, se 𝐴 = , a implicação é válida (por vacuidade). Já
no caso 𝐴 ≠ , tomemos 𝑥 ∈ 𝐴. Para que 𝑥 seja um elemento da união 𝐴 ∪𝐵, deve satisfazer
a ao menos uma das condições: 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵. Mas a primeira condição é garantida pela
hipótese acima. Logo, 𝑥 também é elemento da união □.
Provemos agora a quinta propriedade: 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶). Nesse caso, temos
uma igualdade de conjuntos. Convém, portanto, tratá-la como duas inclusões:
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊂ (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
e
(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) ⊂ 𝐴 ∪(𝐵 ∩ 𝐶).
Iniciando pela primeira inclusão, devemos provar a implicação
𝑥 ∈ 𝐴 ∪( 𝐵 ∩ 𝐶) ⇒ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)∩ (𝐴 ∪ 𝐶).
Se 𝐴∪(𝐵∩𝐶) = , a implicação é verdadeira por vacuidade. Caso contrário, seja 𝑥 ∈ 𝐴∪(𝐵∩𝐶).
Antes de prosseguir, tenhamos em mente que queremos provar que 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶),
i.e.
𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 e 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐶.
Pois bem, segundo a premissa, temos que 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶. Há, portanto, dois casos
a serem analisados. Se 𝑥 ∈ 𝐴, então 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵, assim como 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐶 (estamos usando,
na verdade, a terceira propriedade, que acabamos de provar). Logo, no caso em que 𝑥 ∈ 𝐴,
37
2 Generalidades sobre Conjuntos
podemos concluir que 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)∩(𝐴 ∪ 𝐶). Já no caso em que 𝑥 ∈ 𝐵 ∩ 𝐶, temos que 𝑥 ∈ 𝐵 e
𝑥 ∈ 𝐶. Usando a quarta propriedade acima (cuja prova seria totalmente análoga à da terceira
propriedade), vale as implicações:
𝑥 ∈ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵
e
𝑥 ∈ 𝐶 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐶,
ou seja, podemos também nesse caso concluir que 𝑥 ∈ (𝐴 ∪𝐵)∩(𝐴 ∪𝐶). Em suma, provamos
a inclusão
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊂ (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶).
Queremos agora provar a segunda inclusão:
(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) ⊂ 𝐴 ∪(𝐵 ∩ 𝐶).
O procedimento é semelhante ao anterior, portanto seremos mais diretos. Se
(
𝐴
∪
𝐵
) ∩(
𝐴
∪
𝐶
)
=
, a inclusão vale por vacuidade. Caso contrário, seja 𝑥 ∈ (𝐴∪𝐵)∩(𝐴∪𝐶). Temos que 𝑥 ∈ 𝐴∪𝐵,
assim como 𝑥 ∈ 𝐴 ∪𝐶. Da primeira, segue que 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵. Se 𝑥 ∈ 𝐴, então 𝑥 ∈ 𝐴 ∪(𝐵 ∩𝐶)
(que é o que queremos provar). Se 𝑥 ∈ 𝐵, usemos o fato de que 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐶. Deste, segue que
𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐶 (além de 𝑥 ∈ 𝐵). Já consideramos o caso em que 𝑥 ∈ 𝐴 (no qual vericamos a
validade da inclusão). Se 𝑥 ∈ 𝐶, temos que 𝑥 ∈ 𝐵 ∩𝐶, logo 𝑥 ∈ 𝐴 ∪(𝐵 ∩𝐶), como queríamos.
Desse modo, provamos a inclusão
(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) ⊂ 𝐴 ∪(𝐵 ∩ 𝐶),
concluindo a demonstração da quinta propriedade.
Diferença de conjuntos. Dados dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, dene-se a diferença 𝐴\𝐵 (também
denotada por 𝐴−𝐵) como sendo o conjunto formado pelos elementos de 𝐴 que não pertencem
a 𝐵, isto é
𝐴\𝐵 := {𝑎 ∈ 𝐴 | 𝑎 ∉ 𝐵}.
Exemplos 2.12 Dados os conjuntos 𝐴 = { 1, 2, 3}, 𝐵 = {1, 3, 5 }, 𝐶 = {4, 5, 6} e 𝐷 = {2, 3},
tem-se:
𝐴\𝐵 = {2}
𝐵\𝐴 = {5}
𝐴\𝐶 = 𝐴
𝐶\ 𝐴 = 𝐶
38
Bases Matemáticas
𝐴\𝐷 = {1}
𝐷\𝐴 =
𝐵\𝐶 = {1, 3}
𝐶\ 𝐵 = {4, 6}
𝐵\𝐷 = {1, 5}
𝐷\𝐵 = {2}
𝐶\ 𝐷 = 𝐶
𝐷\𝐶 = 𝐷
◁
Propriedade 2.13 Sejam dados dois conjuntos 𝐴 e 𝐵. Das denições acima, seguem imediatamente
as seguintes propriedades:
1. 𝐴\𝐴 =
2. 𝐴\ = 𝐴
3. \𝐴 =
Complementar de um conjunto
. Seja xado um conjunto
U
. Dado um subconjunto qualquer
𝐴 ⊂ U, dene-se o complementar de 𝐴 relativamente a U, denotado por ∁
U
𝐴, como sendo
o conjunto U\ 𝐴. Isto é,
∁
U
𝐴 = {𝑥 ∈ U | 𝑥 ∉ 𝐴}.
Num certo sentido, a operação do complementar é idêntica à operação diferença. O que pode
distinguir uma da outra é o papel desempenhado pelo conjunto U, o qual atua como um
conjunto de referência (um conjunto universo, em um sentido relativo, como já chamamos
atenção anteriormente). Em outras palavras, a operação do complementar age sobre os sub-
conjuntos de um conjunto referencial, enquanto a operação de diferença opera sobre dois
conjuntos quaisquer.
Observação. Durante o curso, toda vez que o conjunto de referência estiver implicitamente
xado, adotaremos uma notação simplicada para o complementar de um conjunto. Assim,
nesses casos, ao invés da notação acima, denotaremos o complementar de um conjunto 𝐴
simplesmente por 𝐴
C
.
39
2 Generalidades sobre Conjuntos
Exemplos 2.14 . Fixemos o conjunto universo U = {1, 2, 3 , 4, 5, 6} e tomemos os subconjuntos
𝐴, 𝐵 e 𝐶 do exemplo anterior. Então:
𝐴
C
= {4, 5, 6}
𝐵
C
= {2, 4, 6}
𝐶
C
= {1, 2, 3}
◁
Propriedade 2.15 . Seja dado um conjunto U e seja 𝐴 ⊂ U. Da denição, seguem imediatamente as
seguintes propriedades:
1.
C
= U
2. U
C
=
3. (𝐴
C
)
C
= 𝐴
4. 𝐴 ∪ 𝐴
C
= U
5. 𝐴 ∩ 𝐴
C
=
Exercícios
Ex. 2.4 — Dene-se a diferença simétrica 𝐴 △ 𝐵 como sendo a união das diferenças 𝐴\𝐵 e
𝐵\𝐴, isto é 𝐴 △ 𝐵 := (𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐴). Verique as seguintes propriedades:
a) 𝐴 △ 𝐴 =
b) 𝐴
△
=
𝐴
c) 𝐴 △ 𝐵 = 𝐵 △ 𝐴
Ex. 2.5 — Determine as diferenças simétricas entre os conjuntos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 do Exemplo 2.3.
Exercício Resolvido 2.16 Mostre que, dados quaisquer conjuntos 𝐴 e 𝐵, tem-se que
𝐴△ 𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵)\(𝐴 ∩ 𝐵).
Solução: Em geral, para provarmos uma igualdade de conjuntos do tipo 𝑋 = 𝑌, é necessário
provarmos duas inclusões: 𝑋 ⊂ 𝑌 e 𝑌 ⊂ 𝑋. Assim, no caso desse exercício, devemos provar
as inclusões:
𝐴△ 𝐵 ⊂ (𝐴 ∪ 𝐵)\(𝐴 ∩ 𝐵) e (𝐴 ∪ 𝐵)\(𝐴 ∩ 𝐵) ⊂ 𝐴 △ 𝐵.
40
Bases Matemáticas
Comecemos pela primeira inclusão. Se 𝐴△ 𝐵 = , a inclusão é trivialmente válida. Suponha-
mos então 𝐴△ 𝐵 ≠ . Tomemos 𝑥 ∈ 𝐴 △𝐵 e provemos que 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)\(𝐴 ∩ 𝐵). Temos:
𝑥 ∈ 𝐴△ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ (𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐴)
𝑥 ∈ (𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐴) ⇒ 𝑥 ∈ (𝐴\𝐵)ou 𝑥 ∈ (𝐵\𝐴)
Suponha, sem perda de generalidade, 𝑥 ∈ 𝐴\𝐵 (o caso 𝑥 ∈ 𝐵\𝐴 é análogo).
𝑥 ∈ 𝐴\𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∉ 𝐵
Como 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝐴 ⊂ 𝐴 ∪𝐵, então 𝑥 ∈ 𝐴 ∪𝐵. E como 𝐴 ∩𝐵 ⊂ 𝐵 e 𝑥 ∉ 𝐵, então 𝑥 ∉ 𝐴 ∩𝐵. Dessas
últimas duas, concluímos que 𝑥 ∈ 𝐴∪𝐵, mas 𝑥 ∉ 𝐴∩𝐵, o que signica que 𝑥 ∈ (𝐴∪𝐵)\(𝐴∩𝐵).
Passemos à segunda inclusão: (𝐴 ∪ 𝐵)\( 𝐴 ∩ 𝐵) ⊂ 𝐴 △ 𝐵. Como feito anteriormente, se o
conjunto à esquerda for vazio, a inclusão é válida. Se não for vazio, tomemos 𝑥 ∈ (𝐴∪𝐵)\(𝐴 ∩
𝐵) e provemos que 𝑥 ∈ 𝐴 △𝐵. Temos:
𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)\(𝐴 ∩ 𝐵) ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 e 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵
𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵
Suponha, sem perda de generalidade, que 𝑥 ∈ 𝐴 (o caso 𝑥 ∈ 𝐵 é análogo). Como 𝑥 ∉ 𝐴 ∩ 𝐵 e
𝑥 ∈ 𝐴, resulta 𝑥 ∉ 𝐵. Assim, 𝑥 ∈ 𝐴\𝐵, e como 𝐴\𝐵 ⊂ (𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐴), podemos concluir que
𝑥 ∈ 𝐴△ 𝐵. ◁
Diagramas de Venn-Euler. Uma forma gráca para representar conjuntos é dada pelos di-
agramas de Venn-Euler, através dos quais cada conjunto é representado por uma região plana
limitada e a relação entre tais conjuntos é representada pela posição relativa dessas regiões.
A gura abaixo ilustra alguns exemplos:
𝐴 ∩ 𝐵
A
B
𝐴\𝐵
A
B
𝐴 ∪ 𝐵
A
B
A
U
𝐴
C
ans
Note que os diagramas acima são meras representações dos conjuntos, não devendo ser
identicados com os mesmos, confusão comum que leva, no mais das vezes, a bizarras con-
clusões.
41
2 Generalidades sobre Conjuntos
Produto cartesiano. Sejam dados dois conjuntos não vazios 𝐴 e 𝐵. Dene-se o produto car-
tesiano de 𝐴 e 𝐵, denotado por 𝐴 ×𝐵 como sendo o conjunto formado pelos pares ordenados
(𝑥, 𝑦), onde o primeiro elemento pertence a 𝐴 e o segundo a 𝐵, isto é
𝐴 × 𝐵 := {(𝑎, 𝑏) | 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵}.
Nunca é demais lembrar que um par ordenado (𝑎, 𝑏), como objeto matemático, é diferente
do conjunto {𝑎, 𝑏}. Este último caracteriza-se unicamente por conter os elementos 𝑎 e 𝑏, en-
quanto que o par ordenado (𝑎, 𝑏) impõe uma ordem entre os elementos. Em breve, tem-se
que {𝑎, 𝑏} = {𝑏, 𝑎}, mas (𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎) (exceção feita, evidentemente, ao caso em que 𝑎 = 𝑏).
Exemplos 2.17 Mais uma vez, tomemos os conjuntos
𝐴
,
𝐵
,
𝐶
e
𝐷
do Exemplo 2.3. Tem-se:
𝐴 × 𝐵 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2 , 1), (2, 3), (2 , 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5)}
𝐵 × 𝐴 = {(1, 1), (3, 1), (5, 1), (1, 2), (3, 2), (5, 2), (1, 3), (3, 3), (5, 3)}
𝐴 × 𝐶 = {( 1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2 , 5), (2, 6), (3 , 4), (3, 5), (3, 6)}
𝐶 × 𝐴 = {(4, 1), (5, 1) , (6, 1), (4, 2) , (5, 2), (6, 2), (4, 3), (5, 3) , (6, 3)}
𝐴 × 𝐷 = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2) , (3, 3)}
𝐷 × 𝐴 = {(2, 1), (3, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}
𝐵 × 𝐶 = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
𝐶 × 𝐵 = {(4, 1), (5, 1), (6, 1), (4, 3), (5, 3), (6, 3), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}
𝐵 × 𝐷 = {(1, 2), (1, 3), (3, 2), (3, 3), (5, 2), (5, 3)}
𝐷 × 𝐵 = {(2, 1), (3, 1) , (2, 3), (3, 3) , (2, 5), (3, 5)}
𝐶 × 𝐷 = { (4, 2), (4, 3), (5 , 2), (5, 3), (6, 2), (6, 3)}
𝐷 × 𝐶 = { (2, 4), (3, 4), (2 , 5), (3, 5), (2, 6), (3, 6)}
◁
O conceito de produto cartesiano também se aplica a mais do que dois conjuntos³. Dados 𝑛
conjuntos não vazios (𝑛 ≥ 2) 𝐴
1
, 𝐴
2
, . . . , 𝐴
𝑛
, dene-se o produto cartesiano
𝐴
1
× 𝐴
2
× ··· × 𝐴
𝑛
³Na verdade, é possível denir produto cartesiano de uma família innita de conjuntos. Tal conceito será visto
mais adiante, como complemento ao capítulo sobre Funções.
42
Bases Matemáticas
A
B
A × B
b
(a, b)
a
Figura 2.1: Produto Cartesiano de 𝐴 e 𝐵
como sendo o conjunto formado pelas 𝑛-uplas⁴ ordenadas (𝑎
1
, 𝑎
2
, . . . , 𝑎
𝑛
), onde o primeiro
elemento pertence a 𝐴
1
, o segundo a 𝐴
2
e assim por diante, até o último elemento, que deve
pertencer a 𝐴
𝑛
. Em símbolos:
𝐴
1
× 𝐴
2
× ··· × 𝐴
𝑛
:= {(𝑎
1
, 𝑎
2
, . . . , 𝑎
𝑛
)| 𝑎
𝑖
∈ 𝐴
𝑖
, ∀ 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛}.
Propriedades das operações. Sejam dados conjuntos quaisquer 𝐴, 𝐵 e 𝐶. Valem as seguintes
propriedades:
1. 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
2. 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
3. (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)
4. (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)
5. 𝐶\(𝐴 ∩ 𝐵) = ( 𝐶\𝐴) ∪ (𝐶\𝐵)
6. 𝐶\(𝐴 ∪ 𝐵) = ( 𝐶\𝐴) ∩ (𝐶\𝐵)
Nas próximas três propriedades, suponha 𝐴, 𝐵, 𝐶 não vazios.
10. 𝐴 × (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐴 × 𝐶)
11. Se 𝐵 ∩ 𝐶 ≠ , então 𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶)
12. Se 𝐵\𝐶 ≠ , então 𝐴 ×(𝐵\𝐶) = (𝐴 × 𝐵)\(𝐴 × 𝐶)
Além disso, seja U um superconjunto de 𝐴, 𝐵 e 𝐶 e considere a operação de complementar
relativo a U. Então:
⁴Lê-se ênuplas.
43
2 Generalidades sobre Conjuntos
13. (𝐴 ∪ 𝐵)
C
= 𝐴
C
∩ 𝐵
C
14. (𝐴 ∩ 𝐵)
C
= 𝐴
C
∪ 𝐵
C
Exercício.
Ex. 2.6 — Prove as propriedades acima.
Das propriedades 3, 4 e 5 acima, podemos considerar, sem incorrer em ambiguidade, as
seguintes operações com uma terna de conjuntos 𝐴, 𝐵 e 𝐶:
𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶
𝐴
∩
𝐵
∩
𝐶
𝐴△ 𝐵△ 𝐶
Exercícios
Ex. 2.7 — Considere o conjunto universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8} e sejam os seguintes sub-
conjuntos
𝐴 = {1, 2, 3 , 4}
𝐵 = {𝑥 ∈ U : (𝑥 − 2)
2
(𝑥 − 3) = 0}
𝐶 = {𝑥 ∈ U : 𝑥 é par}
Para esses subconjuntos determine:
a) 𝐴 ∪ 𝐵
b) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)
c) 𝐶 ∪ 𝐴
C
d) (𝐴 ∪ 𝐶)
C
e) 𝐴
C
∩ 𝐶
C
f) 𝒫(𝐵)
Ex. 2.8 — Dados quaisquer conjuntos 𝐴, 𝐵 e 𝐶, mostre que:
a) 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵
b) 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴
c) 𝐶 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇔ 𝐶 ⊂ 𝐴 e 𝐶 ⊂ 𝐵
44
Bases Matemáticas
d) 𝐶\(𝐵\𝐴) = (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐶\𝐵)
e) 𝐴\(𝐴\𝐵) = 𝐴 ∩ 𝐵
f) 𝐴 ∩ (𝐵\𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵)\(𝐴 ∩ 𝐶)
g) 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ 𝐴\𝐵 =
h) 𝐴 ∩ 𝐵 = ⇔ 𝐵\𝐴 = 𝐵
Ex. 2.9 — Dado um conjunto U, sejam 𝐴 e 𝐵 subconjuntos quaisquer de U. Tomando o com-
plementar relativamente a U, mostre que:
a) 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ 𝐵
C
⊂ 𝐴
C
b) 𝐴
C
∩ 𝐵 = 𝐵\𝐴
c) 𝐴 ∪ 𝐵
C
= ( 𝐵\𝐴)
C
Ex. 2.10 — Sejam dados dois conjuntos quaisquer 𝐴 e 𝐵. Mostre que:
a) 𝒫(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝒫(𝐴) ∩ 𝒫(𝐵)
b) 𝒫(𝐴 ∪ 𝐵) ⊃ 𝒫(𝐴) ∪𝒫(𝐵)
Ex. 2.11 — Dê um exemplo de conjuntos 𝐴 e 𝐵 de modo que não valha a inclusão 𝒫(𝐴 ∪𝐵) ⊂
𝒫(𝐴) ∪ 𝒫(𝐵).
Ex. 2.12 — Dados conjuntos 𝐴, 𝐵, 𝐶, mostre que (𝐴△ 𝐵)△ 𝐶 = 𝐴△(𝐵 △ 𝐶) (cf. Exercício 2.4.
Ex. 2.13 — Ao tentar provar a propriedade (𝐴 △ 𝐵)△ 𝐶 = 𝐴 △ (𝐵 △ 𝐶) (veja exercício acima),
um estudante, primeiramente, provou a inclusão
(𝐴 △𝐵)△ 𝐶 ⊂ 𝐴 △(𝐵 △𝐶)
Em seguida, para provar a outra inclusão, procedeu do seguinte modo:
𝐴△(𝐵 △ 𝐶) = (𝐵 △ 𝐶)△ 𝐴 =
= ( 𝐶 △ 𝐵)△ 𝐴 ⊂ 𝐶 △(𝐵 △𝐴) =
= ( 𝐵 △ 𝐴)△𝐶 = (𝐴△ 𝐵)△ 𝐶
Está correto o argumento do estudante?
Exercícios Suplementares.
45
2 Generalidades sobre Conjuntos
Ex. 2.14 — Dados 𝐴, 𝐵, 𝐶 conjuntos. Prove as seguintes armações
a) 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴
b) 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴
c) 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐵
d) 𝐴 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵
e) 𝐴 ∩ 𝐵 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵
f) 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴
g) 𝐴 ∩ ∅ = ∅
h) 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴
i) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
j) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
k) 𝒫(𝐴) ∩𝒫(𝐵) = 𝒫(𝐴 ∩ 𝐵)
Ex. 2.15 — Dado um conjunto U, sejam 𝐴 e 𝐵 subconjuntos quaisquer de U. Tomando o com-
plementar relativamente a U, mostre que:
a) 𝐴 ⊂ 𝐵
C
se e somente se 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
b) 𝐴 ∪ 𝐵
C
= ( 𝐵\𝐴)
C
c) (𝐴
C
)
C
= 𝐴
d) (𝐴 ∩ 𝐵)
C
= 𝐴
C
∪ 𝐵
C
Ex. 2.16 — Dados 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 subconjuntos. Prove as seguintes armações:
a) Se 𝐴 ⊂ 𝐵 e 𝐵 ⊂ 𝐶 então 𝐴 ⊂ 𝐶.
b) Se 𝐴 ⊂ 𝐵 e 𝐶 ⊂ 𝐷 então 𝐴 ∪ 𝐶 ⊂ 𝐵 ∪ 𝐷.
c) Se 𝒫(𝐴) = 𝒫(𝐵) então 𝐴 = 𝐵.
d) 𝐴 ⊂ 𝐵 se e somente se 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵.
e) 𝐴 ⊂ 𝐵 se e somente se 𝒫(𝐴) ⊂ 𝒫(𝐵).
f) Se 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐶 e 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐶 então 𝐵 = 𝐶.
g) 𝐴\𝐵 ⊂ 𝐵 se e somente se 𝐴\𝐵 = ∅.
Ex. 2.17 — Suponha 𝐴, 𝐵, 𝐶 não vazios. Mostre que:
a) 𝐴 × (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐴 × 𝐶)
b) Se 𝐵 ∩ 𝐶 ≠ , então 𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶)
c) Se 𝐵\𝐶 ≠ , então 𝐴 × (𝐵\𝐶) = (𝐴 × 𝐵)\(𝐴 × 𝐶)
46
3
Conjuntos Numéricos
Nesta seção, tratamos dos conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais. O en-
foque não é construtivo, isto é, não serão denidos tais conjuntos. Apenas destacam-se suas
principais propriedades, com particular atenção às propriedades dos números naturais e dos
números reais.
3.1 Números naturais, inteiros e racionais
Supõem-se conhecidos os conjuntos N (naturais), Z (inteiros) e Q (racionais), descritos abaixo:
N = {0, 1, 2, . . . }
Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . . }
Q = {
𝑝
𝑞
| 𝑝, 𝑞 ∈ Z, 𝑞 ≠ 0}
É de uso comum a seguinte notação para alguns subconjuntos de Z:
Z
∗
= {𝑥 ∈ Z | 𝑥 ≠ 0}
Z
+
= {𝑥 ∈ Z | 𝑥 ≥ 0}
Z
−
= {𝑥 ∈ Z | 𝑥 ≤ 0}
Z
∗
+
= Z
∗
∩ Z
+
= {𝑥 ∈ Z | 𝑥 > 0}
Z
∗
−
= Z
∗
∩ Z
−
= {𝑥 ∈ Z | 𝑥 < 0}
Com signicado análogo, usa-se a notação N
∗
, Q
∗
, Q
+
, Q
−
, Q
∗
+
e Q
∗
−
.
3.1.1 Soma e multiplicação
Em N, Z e Q estão bem denidas as operações de soma e multiplicação. Algumas propriedades
básicas dessas operações são apresentadas abaixo (onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 denotam números naturais,
inteiros ou racionais):
47
3 Conjuntos Numéricos
1. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 (comutatividade da soma)
2. 𝑎.𝑏 = 𝑏.𝑎 (comutatividade da multiplicação)
3. (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) (associatividade da soma)
4. (𝑎.𝑏).𝑐 = 𝑎.(𝑏.𝑐) (associatividade da multiplicação)
5. 0 + 𝑎 = 𝑎 (elemento neutro da soma)
6. 1.𝑎 = 𝑎 (elemento neutro da multiplicação)
7. 𝑎.(𝑏 + 𝑐) = 𝑎.𝑏 + 𝑎.𝑐 (distributiva)
As propriedades acima são importantes para a manipulação algébrica de equações que en-
volvem números ou variáveis numéricas. Entretanto, há mais uma propriedade necessária
para o cálculo algébrico que não tem o mesmo comportamento nos três conjuntos acima.
Trata-se da existência de elementos inversos:
(+) Para cada número 𝑎, existe o oposto de 𝑎, isto é, um número que somado a 𝑎 resulta no
elemento neutro 0.
( ·) Para cada número 𝑎 ≠ 0, existe o inverso de 𝑎, isto é, um número que multiplicado por
𝑎 resulta no elemento neutro 1.
Evidentemente, as armações acima podem ser verdadeiras ou falsas, dependendo de qual
conjunto numérico estamos falando. No caso do conjunto dos naturais, nenhuma das ar-
mações é verdadeira, uma vez que nenhum número natural possui oposto (a exceção do
elemento neutro 0) nem inverso (a exceção do elemento neutro 1). Os inteiros tampouco pos-
suem elementos inversos, mas em compensação, possuem elementos opostos:
∀ 𝑧 ∈ Z, ∃ −𝑧 ∈ Z | 𝑧 + (−𝑧) = 0.
Por m, no conjunto dos números racionais, ambas as armações são verdadeiras:
∀ 𝑞 ∈ Q, ∃ −𝑞 ∈ Q | 𝑞 + (−𝑞) = 0
∀ 𝑞 ∈ Q
∗
, ∃ 𝑞
−1
∈ Q | 𝑞.𝑞
−1
= 1
3.1.2 Potenciação
Se 𝑎 e 𝑛 são números naturais, ca bem denida a operação de potência
𝑎
𝑛
=
(
𝑎.𝑎. ··· .𝑎 (𝑛 vezes), se 𝑛 ≠ 0
1 se 𝑛 = 0 e 𝑎 ≠ 0
Note que a ”operação” 0
0
não é denida. O motivo disso será visto, possivelmente, na seção
dedicada a limites de funções.
Nomenclatura. Na expressão 𝑎
𝑛
, o número 𝑎 é chamado de base, enquanto 𝑛 é chamado de
expoente.
48
Bases Matemáticas
É imediato vericar as propriedades abaixo (onde 𝑎, 𝑏 ∈ N
∗
e 𝑛, 𝑚 ∈ N):
1. 𝑎
𝑛
.𝑎
𝑚
= 𝑎
𝑛+𝑚
2. (𝑎
𝑛
)
𝑚
= 𝑎
𝑛𝑚
3. (𝑎.𝑏)
𝑛
= 𝑎
𝑛
.𝑏
𝑛
Para estender a potenciação para expoentes inteiros, de modo a manter as propriedades
acima, dene-se:
𝑎
−𝑛
=
1
𝑎
𝑛
, para todo 𝑎 ∈ N
∗
e todo 𝑛 ∈ N.
Assim, tomando 𝑎 ∈ N
∗
e 𝑛, 𝑚 ∈ Z, temos, além das anteriores, a seguinte propriedade:
4. 𝑎
𝑛−𝑚
=
𝑎
𝑛
𝑎
𝑚
Por m, observe que as mesmas denições acima fazem sentido para o caso da base ser um
número racional. Além disso, as quatro propriedades já enunciadas continuam valendo para
esse caso, juntamente com a seguinte propriedade (onde 𝑎, 𝑏 ∈ Q
∗
+
e 𝑛 ∈ Z):
5.
𝑎
𝑏
𝑛
=
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
Observação. Mais adiante, poderemos denir a operação de potência para expoentes racio-
nais. Mas isso só será possível, de modo adequado, no contexto dos números reais.
3.2 Princípio de Indução Finita
Uma propriedade particularmente importante dos números naturais é expressa pelo Prin-
cípio de Indução Finita (PIF). Nesta seção, serão formulados dois enunciados diferentes (mas
equivalentes) para o PIF. O objetivo de se ter duas versões diferentes para um mesmo prin-
cípio é poder escolher qual delas mais se presta a cada caso estudado. No que se segue, 𝑃(𝑛)
denota uma propriedade genérica, atribuível ao número natural genérico 𝑛. Se 𝑛 satisfaz a
propriedade 𝑃(𝑛), dizemos que 𝑃(𝑛) é verdadeira (caso contrário, que é falsa).
Princípio de Indução Finita (1
𝑎
versão)
Seja 𝑃(𝑛) uma propriedade genérica que satisfaz as seguintes condições:
(PIF 1) 𝑃(𝑛
𝑜
) é verdadeira para um certo 𝑛
𝑜
∈ N;
(PIF 2) Para todo 𝑘 ∈ N, com 𝑘 ≥ 𝑛
𝑜
, tem-se: se 𝑃(𝑘) é verdadeira, então 𝑃(𝑘 + 1) é
verdadeira.
49
3 Conjuntos Numéricos
Então, 𝑃(𝑛) é verdadeira para todo natural 𝑛 ≥ 𝑛
𝑜
.
Pode ser cômodo, para compreender o PIF, ter em mente a seguinte analogia do dominó.
Imagine que possuímos um certo número de peças de dominó e que resolvemos dispô-las
em pé (i.e. apoiadas em suas faces menores) e enleiradas. Se empurrarmos a primeira peça
da la (na direção da peça que lhe segue) e se a distância entre cada peça e a seguinte for
sucientemente pequena, então, inevitavelmente, todas as peças serão derrubadas.
A analogia com o PIF é clara: a primeira peça do dominó a ser empurrada corresponde ao
número natural 𝑛
𝑜
da primeira condição do PIF (em geral, 𝑛
𝑜
é o primeiro número natural
para o qual a propriedade 𝑃 é verdadeira, i.e. é o ”primeiro número da la”); a condição de
que a distância entre cada peça e a seguinte seja sucientemente pequena pode ser expressa
na forma ”se uma peça cai, a seguinte também cai”, e isso corresponde à segunda condição
do PIF (claro que, para que a analogia funcione bem, devemos imaginar uma coleção innita
de peças de dominó).
Segundo o PIF, para provarmos a validade de uma propriedade, devemos vericar as duas
condições PIF 1 e PIF 2. A primeira delas, em geral, é a mais simples, pois trata-se somente
de acharmos um número natural que satisfaz a propriedade. A segunda, normalmente, é o
cerne da demonstração. Para vericar a validade da condição PIF 2, deve-se: (i) tomar um
número natural genérico¹ 𝑘; (ii) assumir que a propriedade 𝑃 vale para esse número, i.e. que
𝑃(𝑘)é verdadeira (nos referimos a isso como sendo a hipótese indutiva); (iii) usando a hipótese
indutiva (e eventualmente outras propriedades já conhecidas), provar que o número 𝑘 +1 (i.e.
o sucessor de 𝑘) também satisfaz a propriedade 𝑃, ou seja, que 𝑃(𝑘 +1)também é verdadeira.
Exercício Resolvido 3.1 . Considere a seguinte propriedade: a soma dos primeiros 𝑛 núme-
ros naturais positivos é 𝑛(𝑛 + 1)/2. Em símbolos:
𝑃(𝑛) : 1 +2 + ··· + 𝑛 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
Solução: Comecemos com vericar a condição PIF 1. Para isso, basta encontrar um número
positivo 𝑛 que torne a propriedade 𝑃(𝑛) verdadeira. Basta tomar 𝑛 = 1. De fato, a soma à
esquerda na expressão acima é 1, enquanto o termo à direita é
1(1 + 1)
2
= 1
¹Não custa lembrar que ao dizer que o número é genérico, queremos dizer que ele deve representar qualquer
número possível, não devendo assumir um valor especíco.
50
Bases Matemáticas
Logo, 𝑃(1) é verdadeira. Para vericar a condição PIF 2, devemos tomar um número natural
positivo qualquer 𝑘 ∈ N e mostrar que vale a implicação 𝑃(𝑘) ⇒ 𝑃(𝑘 +1). Em outras palavras,
devemos supor que 𝑃(𝑘)é verdadeira (hipótese indutiva) e mostrar que 𝑃(𝑘 +1)é verdadeira.
Logo, a nossa hipótese indutiva é
𝑃(𝑘) : 1 + 2 + ··· + 𝑘 =
𝑘(𝑘 + 1)
2
Temos então
1 + 2 + ··· + 𝑘 + (𝑘 + 1) =
𝑘(𝑘 + 1)
2
+ (𝑘 + 1) =
𝑘(𝑘 + 1) + 2(𝑘 + 1)
2
=
(𝑘 +1)(𝑘 + 2)
2
=
(𝑘 +1)
(
(𝑘 +1) + 1
)
2
Assim, vericamos que, se 𝑃(𝑘) é verdadeira, também o é 𝑃(𝑘 +1). Donde, pelo PIF, concluí-
mos que 𝑃(𝑛) é verdadeira para todo natural 𝑛 ≥ 1, i.e. para todo natural positivo. ◁
Exercício Resolvido 3.2 Mostrar por indução a propriedade 𝑃(𝑛) : 2
𝑛
≥ 1 + 𝑛.
Solução: Para 𝑛 = 0 a propriedade é verdadeira, pois 2
0
= 1 ≥ 1 + 0. Assim, é satisfeita
condição 1 do PIF. Para provar a condição 2, tomemos qualquer 𝑘 ∈ N e assumamos a hipótese
indutiva
2
𝑘
≥ 1 + 𝑘
Queremos mostrar que 𝑃(𝑘 + 1) é válida, i.e. que 2
𝑘+1
≥ 1 + (𝑘 + 1). Temos
2
𝑘+1
= 2.2
𝑘
≥ 2.(1 + 𝑘) ( usamos a hipótese indutiva)
= 2 + 2𝑘 ≥ 2 + 𝑘 = 1 +(𝑘 + 1)
A condição PIF 2, portanto, também é válida. Logo, pelo PIF, a propriedade 𝑃 vale para todo
número natural. ◁
Nunca é demais ressaltar que, ao usar o PIF para demonstrar a validade de uma propri-
edade, é necessário cumprir ambas as condições 1 e 2. A título de exemplo, considere as
propriedades abaixo:
1. 𝑃( 𝑛) : 𝑛 = 1 (isto é, todo número natural é igual ao número 1)
2. 𝑄(𝑛) : 𝑛 > 𝑛 + 1 (isto é, todo número natural é maior que seu sucessor)
Tais propriedades são evidentemente falsas. Se fôssemos tentar prová-las usando o PIF, ob-
servaríamos que a propriedade 𝑃(𝑛) satisfaz a condição PIF 1, pois 𝑃(1) é verdadeira, mas
não satisfaz a condição PIF 2, pois se 𝑃(𝑛) é verdadeira, então 𝑛 = 1 e, consequentemente,
𝑛 + 1 = 2 ≠ 1, i.e. 𝑃(𝑛 + 1) é falsa. Além disso, observaríamos que a propriedade 𝑄(𝑛) não
satisfaz a condição PIF 1, mas satisfaz a condição PIF 2 (se 𝑛 > 𝑛 +1, então, somando 1 a cada
51
3 Conjuntos Numéricos
membro, resulta 𝑛 + 1 > 𝑛 + 2).
Exercícios
Ex. 3.1 — Considere a propriedade 𝑃( 𝑛) : 𝑛
2
+ 𝑛 é ímpar. Mostre que a propriedade 𝑃 veri-
ca a condição PIF 2. Discuta a armação: 𝑃(𝑛) é verdadeira para todo 𝑛 ∈ N.
Ex. 3.2 — Lembrando a denição de coeciente binomial:
𝑛
𝑘
!
:=
𝑛!
𝑘!(𝑛 − 𝑘)!
prove o Teorema Binomial : para cada 𝑛 ∈ N
∗
, vale a expressão
(𝑎 + 𝑏)
𝑛
=
𝑛
Õ
𝑖=0
𝑛
𝑖
!
𝑎
𝑛−𝑖
𝑏
𝑖
Sugestão: será necessário usar a fórmula
𝑛
𝑘
!
+
𝑛
𝑘 − 1
!
=
𝑛 + 1
𝑘
!
Muitas vezes, tentar mostrar uma implicação do tipo
𝑃(𝑘) é verdadeira ⇒ 𝑃(𝑘 + 1) é verdadeira
não é tão simples, ou até mesmo impossível. Desse modo, é útil ter à disposição a seguinte
versão do PIF:
52
Bases Matemáticas
Princípio de Indução Finita - 2
𝑎
versão
Seja 𝑃(𝑛) uma propriedade genérica que satisfaz as seguintes condições:
(PIF 1) 𝑃(𝑛
𝑜
) é verdadeira para um certo 𝑛
𝑜
∈ N;
(PIF 2) Para todo 𝑛 ∈ N, com 𝑛 ≥ 𝑛
𝑜
, tem-se: se 𝑃(𝑘) é verdadeira para todo 𝑘 ∈ N,
com 𝑛
𝑜
≤ 𝑘 < 𝑛, então 𝑃(𝑛) é verdadeira.
Então,
𝑃
(
𝑛
)
é verdadeira para todo natural
𝑛
≥
𝑛
𝑜
.
A diferença dessa versão para a primeira está na condição 2, mais especicamente, na hipó-
tese indutiva. Na versão 1, a hipótese indutiva pode ser reformulada como ”a propriedade é
válida para o antecessor do número 𝑛”. Já na versão 2, a hipótese indutiva é ”a propriedade
é válida para todos os números que antecedem 𝑛”.
Exercício Resolvido 3.3 Considere a propriedade 𝑃(𝑛): 𝑛 é primo ou é produto de números
primos. Vamos provar que 𝑃(𝑛) é verdadeira para todo 𝑛 > 1 (isto é, vamos provar que todo
número natural maior que 1 é primo ou é produto de números primos). A condição PIF é
trivialmente satisfeita, pois 𝑃(2) é verdadeira. Adotando a segunda versão do PIF, vamos
vericar a condição 2. Fixado 𝑛 ∈ N (𝑛 ≥ 2), nossa hipótese indutiva é:
se 2 ≤ 𝑘 < 𝑛, então 𝑘 é primo ou é produto de primos.
Solução: Queremos mostrar que 𝑛 é primo ou é produto de primos. Evidentemente, 𝑛 é primo
ou não é. Se for primo, então 𝑃(𝑛) é verdadeira. Se 𝑛 não é primo, então deve existir um
número primo 𝑝 que divide 𝑛, isto é,
𝑛 = 𝑝.𝑘
para um certo 𝑘 ∈ N. Ora, como 𝑘 > 1 (pois 𝑝 ≠ 𝑛) e 𝑘 < 𝑛 (pois 𝑝 > 1), podemos usar a
hipótese indutiva para o número 𝑘: 𝑘 é primo ou é produto de primos. Consequentemente,
𝑛 = 𝑝.𝑘 é um produto de primos, ou seja, 𝑃(𝑛) é verdadeira. Assim, pelo PIF (2
𝑎
versão), a
propriedade 𝑃 vale para todo natural maior que 1. ◁
Exercício.
Ex. 3.3 — Tente perceber a diculdade em se provar a propriedade acima usando a primeira
versão do PIF.
53
3 Conjuntos Numéricos
Observação 3.4 Até agora, falamos somente em propriedades dos números naturais. Mas pode-se
usar o PIF para provar propriedades dos números inteiros ou até mesmo racionais, desde que devida-
mente formuladas em termos de números naturais. Na verdade, em qualquer contexto, mesmo quando
os objetos considerados não são numéricos, se uma propriedade (verdadeira) puder ser formulada em
termos de números naturais, então ela pode, ao menos em princípio, ser demonstrada através do PIF.
A seguir, um exemplo interessante que pode ser resolvido com o PIF.
Exercícios
Ex. 3.4 — Calcule :
a) a soma dos 𝑛 primeiros números pares.
b) a soma dos 𝑛 primeiros números ímpares.
Ex. 3.5 — Prove que para todo inteiro positivo 𝑛 vale:
= 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ··· + 𝑛
2
=
𝑛(2𝑛 + 1)(𝑛 + 1)
6
.
Ex. 3.6 — Demonstre que para todo inteiro positivo 𝑛 vale:
a) 1
3
+ 2
3
+ ··· + 𝑛
3
=
1
2
𝑛(𝑛 + 1)
2
.
b) 1 +2(
1
2
) + 3(
1
2
)
2
+ ··· + 𝑛(
1
2
)
𝑛−1
= 4 −
𝑛+2
2
𝑛−1
.
c) (1 −
1
2
)(1 −
1
3
)···(1 −
1
𝑛+1
) =
1
𝑛+1
.
d) 1 +2 + 2
2
+ ··· + 2
𝑛−1
= 2
𝑛
− 1.
e) 𝑛 < 2
𝑛
.
f) 1
2
− 2
2
+ 3
2
− 4
2
+ ··· + (−1)
𝑛+1
𝑛
2
= (−1)
𝑛+1
𝑛(𝑛+1)
2
.
Ex. 3.7 — Dados 𝑎 e 𝑟 dois números inteiros, 𝑟 ≠ 1. A sequência 𝑎
1
= 𝑎, 𝑎
2
= 𝑟𝑎, 𝑎
3
=
𝑟
2
𝑎, ··· , 𝑎
𝑛
= 𝑟
𝑛−1
𝑎, ··· é denominada progressão geométrica de razão r. Prove que a soma
dos 𝑛 primeiros termos de uma progressão geométrica é:
𝑆
𝑛
=
𝑟
𝑛
𝑎 − 𝑎
𝑟 − 1
.
Ex. 3.8 — Prove que 2𝑛 + 1 < 2
𝑛
para todo 𝑛 > 3.
Ex. 3.9 — Seja 𝑥 um inteiro positivo. Demonstre que:
(1 + 𝑥)
𝑛
> 1 + 𝑛𝑥, para todo 𝑛 ≥ 2.
54
Bases Matemáticas
Ex. 3.10 — Prove que
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ ··· +
1
𝑛(𝑛 + 1)
=
𝑛
𝑛 + 1
.
Ex. 3.11 — Prove que para qualquer inteiro positivo 𝑛 o número 2
2𝑛
− 1 é divisível por 3.
Ex. 3.12 — Prove que um caixa eletrônico pode entregar ao usuário qualquer valor maior ou
igual a R$4 usando apenas notas de dois e de cinco reais.
* Ex. 3.13 — Mostre que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com 𝑛 lados
(𝑛 ≥ 3) é (𝑛 − 2)𝜋 .
Ex. 3.14 — Use indução para mostrar que um conjunto nito com
𝑛
elementos possui
2
𝑛
subconjuntos.
* Ex. 3.15 — Sejam 𝑋, 𝑋
1
, 𝑋
2
, ··· , 𝑋
𝑛
conjuntos com relação a um conjunto universo U -
xado.
a) Prove por indução que
𝑋 ∩ (𝑋
1
∪ 𝑋
2
∪ ··· ∪ 𝑋
𝑛
) = (𝑋 ∩ 𝑋
1
) ∪ (𝑋 ∩ 𝑋
2
) ∪ ··· ∪ (𝑋 ∩ 𝑋
𝑛
).
b) Prove por indução que
(𝑋
1
∪ 𝑋
2
∪ ···𝑋
𝑛
)
𝐶
= ( 𝑋
𝐶
1
) ∩ (𝑋
𝐶
2
) ∩ ··· ∩ (𝑋
𝑛
)
𝐶
.
* Ex. 3.16 — Prove que para todo 𝑛 ≥ 9,
𝑛! ≥ (2𝑛)
2
.
* Ex. 3.17 — Prove para todo 𝑛 ≥ 1,
𝑛
Õ
𝑖=1
1
𝑖
2
< 2 −
1
𝑛
Prob. 3.18 — Problema do Circuito
Em um circuito fechado (por exemplo, uma pista de corrida), são distribuídos, aleatoria-
55
3 Conjuntos Numéricos
mente, um certo número de galões de gasolina. Não se conhece a quantidade de gasolina
em cada galão (pode até haver galões vazios), mas sabe-se que a quantidade total de gasolina
é suciente para efetuar exatamente uma volta nesse circuito (e cada galão tem capacidade
para conter toda essa quantidade de gasolina, se for o caso). O piloto escolhe, como ponto
de partida, qualquer ponto do circuito onde se encontra um galão. O carro é colocado nesse
ponto, com o tanque vazio. Em seguida, coloca-se no tanque o conteúdo desse galão. Se, com
essa quantidade de gasolina, o carro não chegar ao próximo galão, ele para em pane seca.
Mas se conseguir chegar ao próximo galão, acrescenta ao tanque o conteúdo desse novo ga-
lão e prossegue na pista em direção ao próximo galão. Seguindo esse procedimento, há duas
possibilidades: o carro completa a volta ou para em pane seca em algum lugar da pista antes
de completar a volta. A questão é: será sempre possível escolher um oportuno galão inicial
de modo a completar a volta da pista? (Atenção: o problema consiste em decidir se é possível
fazer tal escolha, e não em como fazer tal escolha) [Solução no Apêndice].
3.3 Números reais
Como dissemos anteriormente, está fora de nossos propósitos fazer uma construção do con-
junto dos números reais. Interessa-nos, isso sim, aprofundarmos o conhecimento das suas
propriedades. Em outras palavras, nosso enfoque será voltado à estrutura do conjunto dos nú-
meros reais.
Entretanto, pode ser cômodo ter em mente algum modelo ou representação dos números re-
ais, de modo a facilitar a apreciação de sua estrutura, foco de nossa discussão. Nesse sentido,
as representações mais comuns são a representação decimal e a reta real, qualquer uma de-
las pode servir ao escopo². Destaque-se, porém, mais uma vez, que essas ou quaisquer outras
representações servem somente como suporte à compreensão da estrutura dos reais. Tudo o
que se segue é independente de tais representações e estas não serão novamente menciona-
das no desenrolar desta seção.
3.3.1 Apresentação axiomática dos números reais
O conjunto dos números reais, denotado por R, é um conjunto que satisfaz os assim chama-
dos axiomas de corpo, de ordem e de completude. A seguir, trataremos cada grupo de axiomas
²Voltaremos a falar dessas representações mais adiante. Por ora, supomos que sejam conhecidas. Aliás, se não o
forem, não terão nenhuma valia nesta seção, uma vez que é justamente a intimidade com tais representações
o fator que pode ajudar a compreender a descrição da estrutura que aqui será feita.
56
Bases Matemáticas
separadamente.
Axiomas de Corpo
O conjunto R é dotado de duas operações, soma e multiplicação, denotadas respectivamente
pelos símbolos ”+” e ”.”, satisfazendo as seguintes propriedades³:
A1. Propriedade associativa da soma
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R
A2. Propriedade comutativa da soma
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 ∀𝑎, 𝑏, ∈ R
A3. Existência do elemento neutro da soma
Existe 0 ∈ R | 𝑎 + 0 = 𝑎 ∀𝑎 ∈ R
A4. Existência de oposto
Para todo 𝑎 ∈ R, ∃(−𝑎) ∈ R | 𝑎 + (−𝑎) = 0
A5. Propriedade associativa da multiplicação
(𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R
A6. Propriedade comutativa da multiplicação
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 ∀𝑎, 𝑏 ∈ R
A7. Existência do elemento neutro da multiplicação
Existe 1 ∈ R | 𝑎.1 = 𝑎 ∀𝑎 ∈ R
A8. Existência de inverso
Para todo 𝑎 ∈ R
∗
, ∃𝑎
−1
∈ R | 𝑎.𝑎
−1
= 1
A9. Propriedade distributiva da multiplicação em relação à soma
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R
³Como já é costume, a multiplicação 𝑎.𝑏 será, em geral, simplesmente denotada por 𝑎𝑏.
57
3 Conjuntos Numéricos
Observação. Há outros conjuntos numéricos que também possuem operações de soma e mul-
tiplicação, satisfazendo as propriedades acima. É o caso, por exemplo, do conjunto dos nú-
meros racionais e do conjunto dos números complexos. Nesse sentido, o conjunto de axiomas
acima é insuciente para caracterizar univocamente o conjunto dos números reais.
Exercícios. A partir dos axiomas A1, ..., A9 acima, prove as seguintes propriedades:
1. O número 0 (zero) é o único elemento neutro da soma.
2. O número 1 é o único elemento neutro da multiplicação.
3. Dado qualquer 𝑎 ∈ R, resulta 𝑎.0 = 0
4. O oposto de um número real é único.
5. O inverso de um número real (não nulo) é único.
6. Dados quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ R, resulta 𝑎(−𝑏) = −𝑎𝑏.
7. Para quaisquer números reais 𝑎 e 𝑏, tem-se que:
𝑎𝑏 = 0 ⇒ 𝑎 = 0 ou 𝑏 = 0.
A título de exemplo, provemos a quarta e a última dessas propriedades. Comecemos pela
quarta propriedade. Dado um número real 𝑎, sejam 𝑎
, 𝑎
∈ R números tais que 𝑎 + 𝑎
= 0 e
𝑎 + 𝑎
= 0. Então, usando oportunamente os axiomas acima, temos
𝑎
= 𝑎
+ 0 = 𝑎
+ (𝑎 + 𝑎
) = (𝑎
+ 𝑎) + 𝑎
= 0 + 𝑎
= 𝑎
Em outras palavras, provamos que só há um único número real que cumpre o papel de oposto
de 𝑎.
Provemos agora a última das propriedades acima. Sejam dados 𝑎, 𝑏 ∈ R quaisquer. Devemos
mostrar que, se 𝑎𝑏 = 0, então ao menos um dos números 𝑎 e 𝑏 deve ser igual a 0. Se 𝑎 = 0,
não temos nada a provar. Suponhamos então que 𝑎 ≠ 0. Então, pela propriedade A8, existe
𝑎
−1
tal que 𝑎.𝑎
−1
= 1. Assim, de 𝑎𝑏 = 0, multiplicando ambos os membros por 𝑎
−1
, obtemos
𝑎
−1
(𝑎𝑏) = 𝑎
−1
.0
O lado direito, pela propriedade 3 do exercício acima (que supomos já ter sido provada), é
igual a 0. Quanto ao lado direito, usando A5, A8 e A7, temos:
𝑎
−1
(𝑎𝑏) = (𝑎
−1
𝑎)𝑏 = 1.𝑏 = 𝑏
Logo, voltando a juntar os lados direito e esquerdo, temos que 𝑏 = 0. □
58
Bases Matemáticas
Axiomas de Ordem
Em R está denida uma relação de ordem total, denotada por ≤ (que se lê ”menor ou igual”),
satisfazendo as seguintes propriedades:
A10. Dados quaisquer 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R, tem-se
1. 𝑎 ≤ 𝑎 (reexiva)
2. Se 𝑎 ≤ 𝑏 e 𝑏 ≤ 𝑎, então 𝑎 = 𝑏 (anti-simétrica)
3. Se 𝑎 ≤ 𝑏 e 𝑏 ≤ 𝑐, então 𝑎 ≤ 𝑐 (transitiva)
4. Necessariamente, é 𝑎 ≤ 𝑏 ou 𝑏 ≤ 𝑎 (ordem total)
A11. Compatibilidade com a soma
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R, 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐
A12. Compatibilidade com a multiplicação
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R, 𝑎 ≤ 𝑏 e 0 ≤ 𝑐 ⇒ 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐
Observação. O conjunto Q ainda satisfaz os axiomas A10, A11 e A12⁴. Assim, os axiomas A1,
..., A12 continuam sendo insucientes para caracterizar de modo unívoco o conjunto dos nú-
meros reais.
Notação. Para facilitar a leitura, é comum adotar o símbolo ≥ (”maior ou igual”) no sentido
oposto ao de ≤, i.e.
𝑎 ≥ 𝑏 ⇔ 𝑏 ≤ 𝑎
Além disso, também utiliza-se o símbolo < (resp. >) para denotar a desigualdade estrita:
𝑎 < 𝑏(resp. 𝑎 > 𝑏) ⇔ 𝑎 ≤ 𝑏(resp. 𝑎 ≥ 𝑏)e 𝑎 ≠ 𝑏.
Exercícios. Com base nos axiomas A1, ..., A12, prove as seguintes propriedades relativas às
desigualdades:
1. Para todo 𝑎 ∈ R, tem-se
𝑎 ≤ 0 ⇔ 0 ≤ −𝑎
2. Dados quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ R
𝑎 ≥ 0 e 𝑏 ≥ 0 ⇒ 𝑎𝑏 ≥ 0
⁴O conjunto C dos números complexos também pode ser dotado de uma relação de ordem total. Entretanto,
não é possível denir tal ordem de modo a satisfazer as condições de compatibilidade com a soma e a multi-
plicação.
59
3 Conjuntos Numéricos
3. Dados 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ R, então
𝑎 ≤ 𝑐 e 𝑏 ≤ 𝑑 ⇒ 𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑐 + 𝑑
4. Dados 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R, tem-se
𝑎 ≤ 𝑏 e 𝑐 ≤ 0 ⇒ 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐
Provemos a última dessas propriedades. Suponhamos dados 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R como no enunciado,
i.e. satisfazendo as hipóteses
𝑎 ≤ 𝑏 e 𝑐 ≤ 0.
Pelo item 1 deste exercício (que supomos já ter sido demonstrado), temos que 0 ≤ −𝑐. Usando
o axioma A12, obtemos
𝑎(−𝑐) ≤ 𝑏(−𝑐)
ou seja (usando um dos itens do exercício anterior)
−𝑎𝑐 ≤ −𝑏𝑐
Pelo axioma A11, podemos somar a ambos os membros o número 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐, mantendo a desi-
gualdade, i.e.
−𝑎𝑐 + (𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) ≤ −𝑏𝑐 + (𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)
donde, usando oportunamente os axiomas, obtemos 𝑏𝑐 ≤ 𝑎𝑐, i.e. 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐. □
Discussão prévia a respeito da necessidade do Axioma de Completude . O conteúdo desta
seção é objeto de vasta literatura. Evidentemente, está fora de nossos propósitos tratar este
tema com o mesmo grau de profundidade, longe disso. Entretanto, parece válido delinear al-
gumas questões motivadoras do próximo (e último) axioma que introduziremos para poder
nalmente caracterizar univocamente os números reais.
Até agora, como observamos acima, os doze axiomas introduzidos não dão conta de diferen-
ciar o conjunto dos números racionais daquele dos números reais. Mais do que isso, porém,
há o fato de que um corpo ordenado⁵ não constitui um instrumento adequado às necessida-
des do cálculo diferencial e integral (ou, de modo mais apropriado, à Análise). O que falta,
dito de modo ainda impreciso, é a propriedade da continuidade.
Para apreciar ao menos em parte o signicado disso, comecemos por ver a ausência dessa
propriedade em Q. Provemos, como exemplo, a seguinte proposição:
Proposição 3.5 Não existe nenhum número racional 𝑞 tal que 𝑞
2
= 2.
⁵Denomina-se assim um conjunto que satisfaça os axiomas A1, ..., A12. Os conjuntos Q e R são exemplos de
corpos ordenados.
60
Bases Matemáticas
Demonstração: Para demonstrar isso, seguiremos a ”redução ao absurdo”: negando a tese,
chegamos a uma contradição, o que nos permite concluir que a tese deve ser de fato verda-
deira. Tomemos então um número racional 𝑞 tal que 𝑞
2
= 2 (note que estamos negando a tese
de que tal número não existe). Como 𝑞 é um número racional, devem existir número inteiros
𝑛, 𝑚 ∈ Z, primos entre si⁶, tais que
𝑞 =
𝑛
𝑚
Como 𝑞
2
= 2, tem-se que 𝑛
2
= 2𝑚
2
. Como o membro à direita é par, assim deve ser 𝑛
2
.
Logo, 𝑛 é par (∵ um número inteiro e seu quadrado têm a mesma paridade). Podemos então
escrever 𝑛 = 2𝑘 para um certo inteiro 𝑘, obtendo
2𝑚
2
= (2𝑘)
2
= 4𝑘
2
Mas isso signica que 𝑚
2
= 2𝑘
2
é par, e portanto 𝑚 também é par. Logo, o número 2 é
um divisor comum de 𝑛 e 𝑚, contradizendo o fato de que tais números são primos entre
si. Resumindo: a hipótese de existência de um número racional 𝑞 cujo quadrado é igual a
2 leva a uma contradição. Disso, concluímos que tal racional não existe, provando assim a
proposição. □
A proposição acima é um exemplo de como os axiomas A1, ..., A12 não dão conta sequer de
permitir uma operação algébrica tão simples quanto a extração de raiz quadrada. O Axioma
de Completude virá fornecer a resposta adequada a essa questão da continuidade, fazendo
com que o conjunto dos números reais ”preencha as lacunas deixadas pelos racionais”.
Axioma de Completude
Apesar de ser possível enunciar o Axioma de Completude com o que já temos à disposição,
nos parece mais efetivo, sob o ponto de vista didático, apresentar alguns conceitos prelimi-
nares intimamente ligados a tal axioma.
No que se segue, seja 𝐴 ⊂ R um subconjunto não vazio. Dizemos que 𝐴 é limitado superi-
ormente , se existe um número real 𝑥 tal que
𝑎 ≤ 𝑥 ∀ 𝑎 ∈ 𝐴
Caso exista tal número 𝑥, este é chamado de majorante do conjunto 𝐴. Note que no caso em
que 𝐴 possua algum majorante, possuirá innitos majorantes.
⁶Dois inteiros são primos entre si quando não possuem nenhum divisor comum, à exceção do número 1. Um
número racional sempre pode ser expresso como razão de dois inteiros primos entre si.
61
3 Conjuntos Numéricos
De modo similar, dizemos que 𝐴 é limitado inferiormente se existir algum número real 𝑦
tal que
𝑦 ≤ 𝑎 ∀ 𝑎 ∈ 𝐴
Tal número 𝑦, caso exista, é chamado de minorante . Caso 𝐴 possua algum minorante, pos-
suirá innitos minorantes.
Exemplos 3.6 . Tome os conjuntos 𝐴 = N ⊂ R, 𝐵 = Z ⊂ R, 𝐶 = {𝑥 ∈ R |1 < 𝑥 ≤ 3}.
O conjunto 𝐴 possui minorantes (qualquer número não positivo é um minorante de 𝐴),
mas não possui majorantes, i.e. 𝐴 é um conjunto limitado inferiormente, mas não supe-
riormente.
O conjunto 𝐵 não possui nem minorantes nem majorantes (não é limitado).
Já o conjunto 𝐶 é limitado inferiormente e superiormente (qualquer número menor ou
igual a 1 é um minorante, qualquer número maior ou igual a 3 é um majorante)
◁
Denição 3.7 Um número 𝑠 ∈ R é chamado de supremo de 𝐴 se valem as seguintes condições:
S1. 𝑎 ≤ 𝑠 ∀ 𝑎 ∈ 𝐴
S2. Se
𝑥
é um majorante de
𝐴
, então
𝑠
≤
𝑥
Em outras palavras, um modo simples de colocar a denição acima é: o supremo de um con-
junto 𝐴 é o menor dos majorantes de 𝐴.
De modo totalmente similar, denimos o conceito de ínmo.
Denição 3.8 Um número 𝑟 ∈ R é chamado de ínmo de 𝐴 se valem as seguintes condições:
I1. 𝑟 ≤ 𝑎 ∀ 𝑎 ∈ 𝐴
I2. Se 𝑦 é um minorante de 𝐴, então 𝑦 ≤ 𝑟
Em outras palavras, o ínmo de um conjunto 𝐴 é o maior dos minorantes de 𝐴.
É possível provar (faça-o como exercício) que tanto o supremo quanto o ínmo de um con-
junto, casos existam, são únicos. Isso justica adotar uma notação para cada um deles: sup 𝐴
para o supremo de 𝐴 e inf 𝐴 para o ínmo de 𝐴.
62
Bases Matemáticas
Nos exemplos acima, temos: inf 𝐴 = 0, inf 𝐶 = 1 e sup 𝐶 = 3 (note que 𝐴 não possui supremo
e 𝐵 não possui nem ínmo nem supremo). Assim, há casos em que o supremo (ou o ínmo)
pode não existir. O Axioma de Completude diz que isso só poderá ocorrer com conjuntos
ilimitados.
Axioma de Completude:
A13. Todo subconjunto de R, não vazio e limitado superiormente, possui supremo.
Apesar de não fazer menção ao ínmo, o Axioma de Completude é equivalente à seguinte
propriedade:
A13’. Todo subconjunto de R, não vazio e limitado inferiormente, possui ínmo.
Exercício. Prove a propriedade A13’. [Sugestão: dado um conjunto 𝐴 limitado inferiormente,
considere o conjunto 𝐵 = {−𝑎 | 𝑎 ∈ 𝐴} e mostre que: i) 𝐵 é limitado superiormente; ii)
inf 𝐴 = −sup 𝐵]
Pela apresentação que demos ao Axioma de Completude, cou claro que tal axioma não seria
satisfeito pelo conjunto Q. Mostremos que de fato isso ocorre. Considere o seguinte conjunto:
𝐴 = {𝑞 ∈ Q
+
| 𝑞
2
< 2}
Note que 𝐴 ≠ (por exemplo, 0 ∈ 𝐴) e é um conjunto limitado superiormente (por exemplo,
3 é um majorante de 𝐴). Se o axioma A13 fosse válido em Q, deveria existir 𝑝 ∈ Q tal que
𝑝 = sup 𝐴. Se provarmos que para tal 𝑝, deve valer 𝑝
2
= 2, poderemos concluir que 𝑝 não
pode ser racional (em função da Proposição 3.5). Consequentemente, teremos concluído que
não existe o supremo de 𝐴 em Q.
Mostraremos, na verdade, uma propriedade mais geral, da qual poderemos concluir a ar-
mação acima. Referimo-nos à existência da raiz quadrada de um número real positivo:
Proposição 3.9 Seja 𝑏 ∈ R um número positivo. Então existe um único número real positivo 𝑎 tal
que 𝑎
2
= 𝑏. O número 𝑎 é chamado de raiz quadrada de 𝑏 e é denotado por
√
𝑏.
Demonstração: Considere o conjunto
𝐴 = {𝑥 ∈ R
+
| 𝑥
2
< 𝑏}
O conjunto 𝐴 é não vazio, uma vez que 0 ∈ 𝐴. Além disso, tomando 𝑦 ∈ R tal que 𝑦 > 1
e 𝑦 > 𝑏, resulta 𝑦
2
> 𝑦 > 𝑏, logo 𝐴 possui majorantes. Pelo Axioma de Completude, existe
𝑎 = sup 𝐴. É evidente que 𝑎 > 0. Queremos mostrar que 𝑎
2
= 𝑏. A ideia, para tanto, é mostrar
que não pode ocorrer nem 𝑎
2
< 𝑏, nem 𝑎
2
> 𝑏, só restando a possibilidade que nos interessa.
63
3 Conjuntos Numéricos
Para descartar cada uma dessas duas desigualdades, vericaremos que: (i) supor que 𝑎
2
< 𝑏
contradiz o fato de 𝑎 ser um majorante (condição S1 do supremo); (ii) supor que 𝑎
2
> 𝑏
contradiz o fato de 𝑎 ser o menor dos majorantes (condição S2 do supremo). Pois bem, se
fosse 𝑎
2
< 𝑏, poderíamos tomar um número natural 𝑛 > 1 tal que
𝑛 >
2𝑎 + 1
𝑏 − 𝑎
2
donde obtemos
2𝑎 + 1
𝑛
< 𝑏 − 𝑎
2
Assim, tomando o número 𝑐 = 𝑎 + 1/𝑛, seguiria:
𝑐
2
= (𝑎 +
1
𝑛
)
2
= 𝑎
2
+
2𝑎
𝑛
+
1
𝑛
2
<
< 𝑎
2
+
2𝑎
𝑛
+
1
𝑛
= 𝑎
2
+
2𝑎 + 1
𝑛
< 𝑎
2
+ 𝑏 − 𝑎
2
= 𝑏
Isso signica que 𝑐 ∈ 𝐴 e 𝑎 < 𝑐, contrariando a condição S1 do supremo. Portanto, está
descartada a possibilidade de ser 𝑎
2
< 𝑏. Suponhamos agora que valha 𝑎
2
> 𝑏. De modo
semelhante ao que foi feito acima, poderíamos tomar 𝑐 = 𝑎 −1/𝑛, onde 𝑛 é um inteiro tal que
𝑛 >
2𝑎
𝑎
2
− 𝑏
Da desigualdade acima, segue que
2𝑎𝑛 −1
𝑛
2
<
2𝑎𝑛
𝑛
2
=
2𝑎
𝑛
< 𝑎
2
− 𝑏
donde obtemos
𝑐
2
= (𝑎 −
1
𝑛
)
2
= 𝑎
2
−
2𝑎
𝑛
+
1
𝑛
2
= 𝑎
2
+
1 − 2𝑎𝑛
𝑛
2
> 𝑎
2
+ 𝑏 − 𝑎
2
= 𝑏
Desse modo, 𝑐 seria um majorante de 𝐴 com 𝑐 < 𝑎, contrariando a condição S2 do supremo.
Descartamos, assim, também a possibilidade de ser 𝑎
2
> 𝑏, podendo concluir, portanto, que
𝑎
2
= 𝑏. Por m, para provarmos a unicidade da raiz quadrada, basta observar que se um
número positivo 𝑚 ∈ R é tal que 𝑚
2
= 𝑏, então 𝑚 tem que ser o supremo de 𝐴 (prove por
exercício). Pela unicidade do supremo, deve ser 𝑚 = 𝑎. □
Voltando à questão formulada antes da Proposição 3.9, é imediato agora vericar que se 𝑝 ∈ Q
é tal que 𝑝 = sup 𝐴, então 𝑝
2
= 2. Logo, pelo que já foi dito anteriormente, concluímos que o
conjunto dos racionais não satisfaz o Axioma de Completude.
O fato de R satisfazer os axiomas A1, ..., A13 é expresso dizendo que R é um corpo ordenado
completo. Acabamos de ver que Q, apesar de ser um corpo ordenado, não é completo. Dessa
forma, podemos agora dizer que os axiomas A1, ..., A13 caracterizam o conjunto dos números
reais⁷.
⁷Na verdade, caberia aprofundar tal ”caracterização”, mas o que foi dito até aqui é suciente para os propósitos
deste curso.
64
Bases Matemáticas
3.3.2 Potenciação de números reais
Na Seção 3.1.2, tratamos da operação de potenciação com base racional positiva e expoente
inteiro. Queremos agora estender tal operação para os casos em que a base é um número real
positivo e o expoente é um número real. No que se segue, seja 𝑎 um número real positivo
xado.
Se 𝑚 ∈ Z, então a potência 𝑎
𝑚
é denida em termos da operação de multiplicação:
Se 𝑚 > 0, 𝑎
𝑚
= 𝑎. ··· .𝑎 (𝑚 vezes)
Se 𝑚 < 0, 𝑎
𝑚
=
1
𝑎
−𝑚
Por m, 𝑎
0
= 1
Para denir a potência com expoente racional, denamos antes a operação 𝑎
1
𝑛
quando 𝑛 ∈ N
∗
.
Isto é feito dizendo que 𝑎
1
𝑛
é o número real positivo cuja 𝑛-ésima potência é igual ao número
𝑎, i.e.
𝑏
=
𝑎
1
𝑛
⇔ 𝑏 > 0 e 𝑏
𝑛
= 𝑎
A denição acima parece boa, mas esconde uma questão: xados 𝑎 e 𝑛, será que existe tal
número real 𝑏? A resposta a essa questão é similar ao caso da existência da raiz quadrada de
um número real positivo. De fato, tal número 𝑏 existe e é denido por
𝑏 = sup{𝑥 ∈ R
+
| 𝑥
𝑛
≤ 𝑎}
De modo análogo ao que foi feito no caso da raiz quadrada de um número real positivo,
pode-se provar que tal número real satisfaz as condições desejadas (i.e. 𝑏 > 0 e 𝑏
𝑛
= 𝑎).
Observação. A potência 𝑎
1
𝑛
também é denotada por
𝑛
√
𝑎 e chamada de raiz 𝑛-ésima de 𝑎.
Se 𝑞 ∈ Q, podemos escrever
𝑞 =
𝑚
𝑛
com 𝑚 ∈ Z e 𝑛 ∈ N
∗
. Denimos, então
𝑎
𝑞
:= (𝑎
1
𝑛
)
𝑚
Note que cada uma das operações acima (primeiro a potência por 1/𝑛, seguida pela potência
por 𝑚) já foram denidas anteriormente. O problema que poderia aparecer aqui tem a ver
com a falta de unicidade da representação do número racional 𝑞 como sendo uma razão de
números inteiros. De fato, a fração 𝑚/𝑛 é somente uma das innitas representações possíveis
de 𝑞. Como garantir que, se tomarmos qualquer outra, o resultado da operação de potência
não se altera? Felizmente, é possível provar que a potência 𝑎
𝑞
acima denida é, de fato, inde-
pendente da particular razão 𝑚/𝑛 que tomarmos para representar o número racional 𝑞 (tal
65
3 Conjuntos Numéricos
prova será, porém, omitida).
Finalmente, seja 𝑥 ∈ R.
Se 𝑎 ≥ 1, então
𝑎
𝑥
:= sup{𝑎
𝑞
| 𝑞 ∈ Q e 𝑞 ≤ 𝑥}
Se 0 < 𝑎 < 1, então
𝑎
𝑥
:= inf{𝑎
𝑞
| 𝑞 ∈ Q e 𝑞 ≤ 𝑥}
Com as denições acima, estendemos a operação de potência ao conjunto dos números reais.
Tal operação, além disso, continua satisfazendo as propriedades já vistas na Seção 3.1.2, que
aqui reproduzimos. Dados quaisquer 𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦 ∈ R, com 𝑎, 𝑏 > 0, tem-se:
1. 𝑎
𝑥+𝑦
= 𝑎
𝑥
𝑎
𝑦
2. (𝑎
𝑥
)
𝑦
= 𝑎
𝑥𝑦
3. (𝑎 𝑏)
𝑥
= 𝑎
𝑥
𝑏
𝑥
4. 𝑎
𝑥−𝑦
=
𝑎
𝑥
𝑎
𝑦
5.
𝑎
𝑏
𝑥
=
𝑎
𝑥
𝑏
𝑥
A demonstração de tais propriedades foge aos escopos deste texto e será portanto omitida.
3.3.3 Representações dos números reais
Como dissemos anteriormente, a estrutura do conjunto dos números reais é independente
da forma que usamos para representar tais números. Entretanto, ao lidar com eles, sempre
lançamos mão de alguma representação. Nesta e na próxima seções, voltaremos nossa aten-
ção para duas dessas representações, a representação decimal e a reta real.
Antes, porém, de tratar cada uma delas em sua especicidade, vale a pena gastar algumas
palavras sobre o que queremos dizer quando falamos em ”representação”dos números re-
ais. Na seção anterior, denimos R como um conjunto dotado de duas operações (”+” e ”.”))
e uma relação de ordem total (”≤”), satisfazendo os treze axiomas A1, ..., A13. Assim, uma
representação de R deve conter todos esses elementos: um conjunto, uma operação +, uma
operação ”.”e uma relação de ordem total ≤, evidentemente de modo a satisfazer os axiomas.
Na discussão que se segue sobre a representação decimal e a reta real não descreveremos
todos esses elementos em detalhes, pois optamos por dar destaque aos aspectos que nos pa-
recem mais importantes no contexto deste curso. Mas, de um modo ou de outro, faremos
66
Bases Matemáticas
menção a todos esses elementos da representação.
Representação decimal dos números reais
É comum dizer-se que os números reais são os números que podem ser escritos em forma
decimal. Mas o que signica isso, realmente? Quando trabalhamos com números inteiros,
usamos a notação posicional em base 10, o que signica que cada posição corresponde a
uma dada potência de 10: a unidade é a potência 10
0
, a dezena é a potência 10
1
, a centena é
10
2
e assim por diante. Por exemplo,
14302 = 1 .10
4
+ 4.10
3
+ 3.10
2
+ 0.10
1
+ 2.10
0
Já para representar números não inteiros, precisamos lançar mão das ”casas decimais”, i.e.
de algarismos à direita da vírgula. Mas aqui também a notação posicional se relaciona com
as potências de 10, com a única diferença de que as casas à direita da vírgula referem-se a
potência negativas de 10. Por exemplo,
23, 496 = 2.10
1
+ 3.10
0
+ 4.10
−1
+ 9.10
−2
+ 6.10
−3
Enquanto lidamos com números que possuem um número nito de casas decimais (não nu-
las), a expressão acima não causa nenhuma estranheza. Entretanto, para interpretarmos uma
representação decimal com um número innito de casas decimais não nulas, nos deparamos
com um soma innita de (múltiplos) de potências de 10. Qual o signicado de tal soma?
Para uma resposta adequada, precisaremos do conceito de série numérica, o que só será visto
na seção dedicada às Sequências. Mas podemos desde já tentar dar uma interpretação acei-
tável por ora. Tomemos o número
𝑟 = 1, 2385757204765736885692....
(na verdade, as reticências fazem com que não saibamos exatamente de que número se trata,
mas isso não importa para nosso exemplo). Vamos interpretar a soma innita representada
pela representação decimal seguindo um método de aproximação. Comecemos tomando 𝑥 =
1. Então 𝑥 é um número próximo de 𝑟 e a diferença⁸ entre eles é
𝑟 − 𝑥 = 0, 2385757204765736885692...
Em seguida, tomemos 𝑥 = 1, 2. A diferença desse novo valor de 𝑥 para 𝑟 caiu para
0, 0385757204765736885692...
⁸Quando falamos em representação decimal, as operações de soma e multiplicação (logo, de subtração e quo-
ciente) seguem os algoritmos clássicos para operar com números inteiros. Similarmente, a relação de ordem
também deriva da ordem natural entre inteiros.
67
3 Conjuntos Numéricos
Continuamos tomando agora 𝑥 = 1, 23, vendo a diferença novamente cair para
0
,
0085757204765736885692
...
E assim por diante, vamos tomando para 𝑥 valores ”truncados” de 𝑟:
1, 238 1, 2385 1, 23857 1, 238575...
Nenhum desses valores de 𝑥 coincide efetivamente com 𝑟 (a menos que 𝑟 possua um nú-
mero nito de casas decimais não nulas). Mas se observarmos a diferença entre esses valores
e o número original 𝑟, veremos que essa diferença vai se aproximando de zero. Em outras
palavras, podemos aproximar o valor real de 𝑟 com o erro que quisermos, i.e. um erro tão
pequeno quanto desejarmos.
Nesse sentido, pode-se ler a representação decimal como um ”processo de aproximação” de
número real 𝑟. Como veremos no momento oportuno, essa interpretação não está longe da-
quela formalmente mais correta.
Outra diculdade que se encontra quando lidamos com representação decimal de um nú-
mero real está relacionada com a seguinte questão: os números
1 e 0, 999999999999....
são diferentes?
Por um lado, não há dúvidas quanto ao fato de que as representações decimais acima são
diferentes. Mas isso pode levar o leitor incauto a armar que os números que tais expressões
representam também são diferentes. Será que são mesmo? Usando mais uma vez uma lin-
guagem informal (deixando a resposta formal para quando tratarmos das séries numéricas),
podemos comparar o número 1 com os números
0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 . . .
Esses últimos, no sentido que vimos acima, representam aproximações cada vez melhores do
número 0, 999..... Assim, se observarmos as diferenças entre 1 e esses valores truncados de
0, 999..., podemos chegar à resposta correta da questão acima. Pois bem, tais diferenças são
0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 . . .
Conforme nos aproximamos do valor real de 0, 999..., a diferença com o número 1 vai se
aproximando de zero. Assim, somos obrigados a concluir que tais representações decimais,
68
Bases Matemáticas
apesar de diferentes, referem-se, na verdade, ao mesmo número real (i.e. o número 1)⁹.
Representação geométrica de R: a reta real
A representação geométrica de R consiste na identicação da reta geométrica com o conjunto
dos números reais. Em uma reta 𝑟 tomemos dois pontos distintos 𝑂 e 𝐴 (o segmento 𝑂𝐴 será
usado como unidade de medida). Por simplicidade, diremos que um ponto 𝑃 da reta 𝑟 (dis-
tinto de 𝑂) está à direita de 𝑂, se 𝑃 e 𝐴 estão do mesmo lado relativamente ao ponto 𝑂. Caso
contrário, diremos que 𝑃 está à esquerda de 𝑂.
O ponto 𝑂 é identicado ao número real 0. Um ponto 𝑃 à direita de 𝑂 é identicado com o
número real positivo 𝑥 tal que
𝑥 =
𝑂𝑃
𝑂𝐴
Um ponto 𝑃 à esquerda de 𝑂 é identicado com o número real negativo 𝑥 tal que
𝑥 = −
𝑂𝑃
𝑂𝐴
Desse modo, todo ponto da reta geométrica 𝑟 está associado a um único número real e vice-
versa (omitiremos aqui a demonstração dessa armação). Essa identicação, porém, não es-
gota a representação de R. Como já observamos acima, é necessário denir operações de
soma e multiplicação na reta geométrica 𝑟, assim como uma relação de ordem total, de modo
a satisfazer os axiomas dos números reais. A relação de ordem é bastante natural (está, na
verdade, embutida nas expressões ”à direita de 𝑂” e ”à esquerda de 𝑂”), assim como a ope-
ração de soma (que se traduz, essencialmente, em somar comprimentos de segmentos). Não
nos parece necessário entrar em maiores detalhes nesses casos. Já a operação de multiplicação
não é tão natural como os demais elementos da representação. Como efetuar a multiplicação
na reta geométrica?
A operação de multiplicação é baseada no clássico Teorema de Tales. Sejam dados dois nú-
meros reais 𝑥 e 𝑦 (podemos supor que sejam ambos positivos, é fácil adaptar a construção
abaixo aos outros casos). Na reta 𝑟, marque o ponto 𝑋, correspondente ao número real 𝑥. Para
auxiliar a construção, tome uma reta 𝑠 que intercepte a reta 𝑟 no ponto 𝑂. Nesta reta, marque
o ponto 𝐴, correspondente à mesma ”unidade de medida” usada para a reta 𝑟, e marque
também o ponto 𝑌, correspondente ao número real 𝑦. Trace pelo ponto 𝑌 a reta paralela ao
segmento 𝐴𝑋 e obtenha o ponto 𝑃 de intersecção dessa reta com a reta 𝑟. O Teorema de Tales
⁹Uma outra maneira de perceber isso, um tanto ingênua mas funcional, é a seguinte: se tais números fossem
diferentes, seria possível encontrarmos um outro número real que estivesse entre eles. Você consegue escrever
na forma decimal tal número?
69
3 Conjuntos Numéricos
garante que o ponto 𝑃 corresponde ao número real 𝑥𝑦. A gura abaixo ilustra essa construção.
b
b
b
b
r
s
A
X
Y
P
3.3.4 Valor absoluto de um número real
É comum identicar o módulo de um número real como sendo um ”número sem sinal”.
Essa caracterização, além de ser imprecisa, é também pouco útil em problemas que envolvem
direta ou indiretamente o conceito de módulo. De modo mais apropriado, temos a seguinte
denição:
Denição 3.10 O valor absoluto de um número real 𝑥, também chamado de módulo de 𝑥, é
denotado por |𝑥| e dado por
|𝑥| :=
(
𝑥 se 𝑥 ≥ 0
−𝑥 se 𝑥 < 0
Uma primeira leitura da denição acima corrobora a interpretação ingênua do módulo como
sendo um ”número sem sinal”. Anal, tem-se, por exemplo: |2| = 2 e | − 2| = −(−2) = 2. En-
quanto lidamos com quantidades conhecidas, como no exemplo anterior, não há problema
nenhum em adotar essa visão ingênua. Mas quando há quantidades incógnitas ou variáveis
envolvidas, essa concepção é insuciente e pode até levar a cometer deslizes do tipo ”o mó-
dulo de 𝑥 e −𝑥 é sempre 𝑥”.
Uma leitura mais adequada da denição acima leva a ter em mente que ela abre, em geral,
dois casos a serem analisados, dependendo do sinal da quantidade encerrada dentro do mó-
dulo. Vejamos como se dá essa leitura através de alguns exemplos.
Problema: Determine os números reais que satisfazem a igualdade abaixo
|𝑥 + 1| = 3
Solução: Note que não se pode determinar a priori se o número 𝑥 + 1 é ou não negativo.
Isso signica que devemos considerar ambas as possibilidades. Seguindo a denição acima,
consideremos, separadamente, os casos: (i) 𝑥 + 1 ≥ 0; (ii) 𝑥 + 1 < 0.
70
Bases Matemáticas
Caso (i): suponha 𝑥 + 1 ≥ 0. Então |𝑥 + 1| = 𝑥 + 1. Logo, a equação que queremos estudar se
torna
𝑥 + 1 = 3
Note, porém, que agora buscamos uma solução para essa equação somente dentre os núme-
ros reais que satisfazem a condição 𝑥 + 1 ≥ 0. E encontramos a solução 𝑥 = 2.
Caso (ii): suponha agora 𝑥 + 1 < 0. Nesse caso, tem-se |𝑥 + 1| = −(𝑥 + 1) = −𝑥 − 1. Assim, a
equação original torna-se
−𝑥 − 1 = 3
A solução para essa equação (procurada no conjunto dos números reais que satisfazem a
condição 𝑥 + 1 < 0) é 𝑥 = −4.
Dos dois casos analisados, obtemos o conjunto-solução 𝑆 = {−4, 2}. ◁
Problema: Determine os números reais que satisfazem a desigualdade
|𝑥 + 2| ≤ 2 𝑥 + 3
Solução: Mais uma vez, seguindo a denição de valor absoluto, consideraremos dois casos,
dependendo do sinal de 𝑥 + 2.
Caso (i): suponha 𝑥 + 2 ≥ 0. Tem-se, então, |𝑥 + 2| = 𝑥 + 2 e a desigualdade assume a forma
𝑥 + 2 ≤ 2𝑥 + 3
As soluções que nos interessam, portanto, devem satisfazer tanto a condição 𝑥 +2 ≥ 0 quanto
a desigualdade 𝑥 + 2 ≤ 2𝑥 + 3. Encontramos o conjunto-solução {𝑥 ∈ R | 𝑥 ≥ −1} .
Caso (ii): suponha agora 𝑥 + 2 < 0. Então |𝑥 + 2| = −𝑥 − 2 e a desigualdade passa a ser
−𝑥 − 2 ≤ 2𝑥 + 3
Para que um número 𝑥 satisfaça essa última desigualdade, deveria valer 𝑥 ≥ −5/3. Entre-
tanto, para tal 𝑥 não valeria a condição 𝑥 +2 < 0. Logo, esse segundo caso não possui solução.
Com base nas duas análises acima, obtemos o conjunto-solução para o problema inicial:
𝑆 = {𝑥 ∈ R | 𝑥 ≥ −1}. ◁
Observação. É importante destacar um cuidado que tivemos ao resolver os problemas acima
e que talvez passe despercebido. Pela natureza da denição de valor absoluto, tivemos que
71
3 Conjuntos Numéricos
estudar a equação (no primeiro problema) e a desigualdade (no segundo) em dois casos se-
parados. Ao fazer isso - e aqui está o cuidado ao qual nos referimos - devemos perceber que,
em cada um dos casos analisados, estamos restringindo o universo no qual se busca a solução
do problema. Esse cuidado se fez sentir, particularmente, no segundo problema, quando, ao
analisar o caso em que 𝑥 + 2 < 0 (segundo caso), fomos obrigados a descartar as soluções
da desigualdade −𝑥 − 2 ≤ 2𝑥 + 3, pois estas se encontravam fora do universo considerado
naquele caso.
Propriedades
(No que se segue, 𝑥 e 𝑦 são números reais quaisquer)
1. |𝑥| ≥ 0
2. |𝑥| =
√
𝑥
2
3. |𝑥| = 0 ⇔ 𝑥 = 0
4. | − 𝑥| = |𝑥|
5. −|𝑥| ≤ 𝑥 ≤ |𝑥|
6. |𝑥𝑦| = |𝑥| |𝑦|
7. |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| (Desigualdade Triangular)
8.
|
|𝑥| − |𝑦|
|
≤ |𝑥 − 𝑦|
9. Se 𝑐 > 0, então:
|𝑥| ≤ 𝑐 ⇔ −𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐
10. Se 𝑐 > 0, então:
|𝑥| ≥ 𝑐 ⇔ 𝑥 ≤ −𝑐 ou 𝑥 ≥ 𝑐
Exercícios
Ex. 3.19 — Demonstre as seguintes propriedades do módulo;
a)
|
−𝑥
|
=
|
𝑥
|
b)
|
𝑥 − 𝑦
|
=
|
𝑦 − 𝑥
|
c)
|
𝑥
|
= 𝑐 ⇔ 𝑥 = ±𝑐
d)
|
𝑥
·
𝑦
|
=
|
𝑥
| |
𝑦
|
e)
𝑥
2
= 𝑥
2
f) Se 𝑐 ≥ 0 então
|
𝑥
|
< 𝑐 ⇔ −𝑐 < 𝑥 < 𝑐
g) −
|
𝑥
|
≤ 𝑥 ≤
|
𝑥
|
72
Bases Matemáticas
h) |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| (Desigualdade Triangular)
i)
|
|𝑥| − |𝑦|
|
≤ |𝑥 − 𝑦|
Ex. 3.20 — Discuta se vale ou não a seguinte desigualdade (para um número real arbitrário
𝑥):
−𝑥 ≤ |𝑥| ≤ 𝑥
3.3.5 Introdução à Topologia da reta
O objetivo desta seção é o de introduzir uma linguagem e uma notação que serão úteis, mais
adiante, no estudo das funções reais de uma variável real. Em boa parte, trata-se de lingua-
gem e notação conhecidas, como é o caso dos intervalos abertos e fechados. A expressão
”topologia da reta”, de certo modo, refere-se a propriedades dos números reais (ou das fun-
ções reais) que se expressam nessa linguagem¹⁰.
São dois os conceitos que estão na base do que se entende por topologia da reta: distância
e intervalo (na verdade, eles estão interrelacionados, mas explorar essa interrelação foge ao
nosso escopo). Na representação geométrica dos números reais como a reta real, ambos os
conceitos estão relacionados com aquele de segmento.
A distância entre dois números reais 𝑥 e 𝑦 é dada por
𝑑(𝑥, 𝑦) := |𝑥 − 𝑦|
Note que, vista na reta real, a noção de distância corresponde ao comprimento do segmento
de reta cujos extremos são os pontos com abscissas 𝑥 e 𝑦.
Dados dois números reais 𝑎 < 𝑏, um intervalo de extremos 𝑎 e 𝑏 é um dos subconjuntos
abaixo:
(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ R | 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} (intervalo aberto)
[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ R | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} (intervalo fechado)
¹⁰A Topologia, na verdade, é uma área ampla da Matemática que se ocupa, dentre outras coisas, do estudo
das funções contínuas. Tais funções, e consequentemente seu estudo, se dão em contextos bem mais gerais
do que aquele das funções reais de uma variável real, que é o que nos interessa aqui. Por tal motivo, não
aprofundaremos o signicado da expressão ”topologia da reta”. Na verdade, poderíamos mesmo ter omitido
tal referência à Topologia, mas por que fazê-lo se, de fato, é disso que esta seção trata?
73
3 Conjuntos Numéricos
[𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ R | 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
(𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ R | 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
A medida de um intervalo de extremos 𝑎 e 𝑏 é a distância entre esses extremos, i.e. |𝑎 − 𝑏|.
Note que um intervalo de extremos 𝑎 e 𝑏 corresponde, na reta real, ao segmento cujos extre-
mos têm abscissas 𝑎 e 𝑏. A medida desse intervalo é a medida (comprimento) do segmento
correspondente.
Sobre notação. Em alguns textos, a notação para intervalos abertos (ou semi-abertos) usa o
colchete invertido. Por exemplo, ]𝑎, 𝑏[ denota o que, aqui, denotamos por (𝑎, 𝑏). Não ado-
taremos essa notação do colchete invertido, mas somente aquela do parênteses, explicitada
acima.
Quando falamos em intervalos, uma notação particularmente útil é aquela de intervalo cen-
trado em um dado número real. Dado qualquer 𝑎 ∈ R e dado 𝑟 > 0, o intervalo centrado em
𝑎 com raio 𝑟 é o intervalo
(𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟)
Nesse caso, dizemos que 𝑎 é o centro desse intervalo. Observe que vale a seguinte proprie-
dade (prove-a por exercício):
𝑥 ∈ (𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟) ⇔ |𝑥 − 𝑎| < 𝑟
Isso signica, em particular, que os números desse intervalo são aqueles que distam de 𝑎
menos do que 𝑟. Dito de outra forma, um intervalo do tipo (𝑎 −𝑟, 𝑎 +𝑟) pode ser interpretado
como o conjunto dos números que ”aproximam” o número 𝑎, com um ”erro” menor do que 𝑟.
Uma notação semelhante àquela de intervalo é usada para denotar semi-retas, lançando mão
também dos símbolos +∞ e −∞. Assim, dado 𝑎 ∈ R, tem-se
(𝑎, +∞) := {𝑥 ∈ R | 𝑥 > 𝑎}
[𝑎, +∞) := {𝑥 ∈ R | 𝑥 ≥ 𝑎}
(−∞, 𝑎) := {𝑥 ∈ R | 𝑥 < 𝑎}
(−∞, 𝑎] := {𝑥 ∈ R | 𝑥 ≤ 𝑎}
Note que não faz sentido usar o colchete no extremo innito, uma vez que nem −∞ nem +∞
são números reais. Por simplicidade, às vezes usaremos o termo ”intervalo” também para
semi-retas como as acima.
74
Bases Matemáticas
De modo semelhante ao feito para intervalos, podemos falar em conjunto aberto e conjunto
fechado. Seja 𝐴 ⊂ R um subconjunto qualquer de números reais. Dizemos que 𝐴 é aberto
se vale a seguinte propriedade: todo ponto 𝑥 ∈ 𝐴 é centro de um intervalo contido em 𝐴.
Dito de modo menos preciso (mas talvez mais signicativo): para todo número pertencente
ao conjunto 𝐴, variações sucientemente pequenas dele continuam dentro do conjunto 𝐴.
Com linguagem formal, temos:
𝐴 é aberto ⇔ para todo 𝑥 ∈ 𝐴 existe 𝑟 > 0 tal que (𝑥 − 𝑟, 𝑥 + 𝑟) ⊂ 𝐴
Por outro lado, um conjunto 𝐵 ⊂ R é fechado se o seu complementar (relativamente ao
conjunto R) é aberto, i.e.
𝐵 é fechado ⇔ R\𝐵 é aberto
Exemplos 3.11
Qualquer intervalo aberto (𝑎, 𝑏) é um conjunto aberto. De fato, dado qualquer 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏),
tomando 𝑟 como sendo a menor das distâncias |𝑥 −𝑎| e |𝑥 −𝑏|, resulta que (𝑥 −𝑟, 𝑥 +𝑟) ⊂
(𝑎, 𝑏).
Qualquer intervalo do tipo (−∞, 𝑎) ou (𝑎, +∞) é aberto. De fato, dado qualquer 𝑥 em
uma dessas semi-retas, tomando 𝑟 = |𝑥 − 𝑎|, resulta que (𝑥 − 𝑟, 𝑥 + 𝑟) está contido na
semi-reta considerada.
A união de conjuntos abertos é um conjunto aberto. [Prove por exercício]
Qualquer intervalo fechado [𝑎, 𝑏] é um conjunto fechado. De fato, seu complementar é
(−∞, 𝑎) ∪ (𝑏, +∞), que é aberto (pois é união de dois conjuntos abertos).
Qualquer intervalo do tipo (−∞, 𝑎] ou [𝑎, +∞) é fechado, pois seus complementares são
semi-retas abertas.
O conjunto R é aberto.
Um intervalo do tipo [𝑎, 𝑏) não é nem aberto, nem fechado. De fato, nenhum intervalo
centrado em 𝑎 está contido em [𝑎, 𝑏) (descartando que este seja aberto) e nenhum inter-
valo centrado em 𝑏 está contido no complementar de [𝑎, 𝑏) (descartando que [𝑎, 𝑏) seja
fechado).
De modo análogo, um intervalo do tipo (𝑎, 𝑏] não é nem aberto, nem fechado.
◁
Os dois últimos exemplos mostram que os conceitos de ”aberto” e ”fechado” não são concei-
tos opostos. Isto é, se um dos atributos não vale para um dado conjunto, não se pode concluir
75
3 Conjuntos Numéricos
que o outro atributo deve ser válido para esse conjunto.
Observação. Sob o ponto de vista formal, convém atribuir ao conjunto vazio a propriedade de
ser um conjunto aberto (na verdade, o conjunto vazio satisfaz a condição de ser aberto, acima
denida, por vacuidade). Isso signica, também, que o seu complementar é fechado. Mas o
complementar de é R. Logo, R é aberto e também fechado. E sendo R aberto, temos que
seu complementar é fechado, i.e. o conjunto vazio também é aberto e fechado. Esses são os
únicos conjuntos simultaneamente abertos e fechados.
3.3.6 O Plano Cartesiano
Um modelo que será muito útil no estudo de funções reais de uma variável real é o plano carte-
siano R
2
, que nada mais é do que uma representação geométrica do produto cartesiano R×R.
O plano cartesiano é constituído por duas retas reais que se encontram perpendicularmente
na origem (que é, portanto, comum a ambas as retas). Para identicar o plano geométrico
com o produto cartesiano R × R, procedemos como segue (acompanhe o procedimento na
gura abaixo):
0
r (eixo x)
s (eixo y)
P (x,y)
X
Y
r’
s’
b
b
b
x
y
Tome um ponto 𝑃 qualquer do plano.
Construa a reta 𝑟
paralela a 𝑟, passando por 𝑃.
Construa a reta 𝑠
paralela a 𝑠, passando por 𝑃.
Chame de 𝑋 o ponto de intersecção de 𝑠
com 𝑟.
Chame de 𝑌 o ponto de intersecção de 𝑟
com 𝑠.
Sejam 𝑥, 𝑦 ∈ R os números reais associados, respectivamente, aos pontos 𝑋 e 𝑌.
Identique o ponto 𝑃 com o par ordenado (𝑥, 𝑦).
Tendo em mente o procedimento acima, o número 𝑥 é chamado de abscissa do ponto 𝑃 e o
número 𝑦 é chamado de ordenada do ponto 𝑃. Ambos são chamados de coordenadas de 𝑃. A
reta 𝑟 é chamada de eixo das abscissas (ou mais popularmente ”eixo 𝑥”) e a reta 𝑠 de eixo das
76
Bases Matemáticas
ordenadas (ou popularmente ”eixo 𝑦”). Esses eixos são chamados também de eixos coordenados.
Os dois eixos coordenados dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. A
menos de pontos pertencentes aos eixos, temos:
Primeiro quadrante: pontos com ambas as coordenadas positivas
Segundo quadrante: pontos com abscissa negativa e ordenada positiva
Terceiro quadrante: pontos com ambas as coordenadas negativas
Quarto quadrante: pontos com abscissa positiva e ordenada negativa
Exercícios
Ex. 3.21 — Considere os seguintes conjuntos. Diga quais são limitados superiormente e quais
são limitados inferiormente. E se existir encontre o supremo e o ínmo desses conjuntos:
a) 𝐴 = {1, 2, 4, 8, . . . }
b) 𝐵 = {1 +
1
𝑛
: 𝑛 ∈ N
∗
}
c) 𝐶 = {1 − 𝑛! : 𝑛 ∈ N}
d) 𝐷 = {𝑥 ∈ Q : 1 ≤ 𝑥}
e) 𝐸 = {𝑥 ∈ Q : 1 ≤ 𝑥 < 2}
f) 𝐹 = {𝑥 ∈ Q : 𝑥
2
< 3}
g) 𝐺 = {
𝑛
1+𝑛
: 𝑛 ∈ N}
h) 𝐻 = {
𝑛+2
𝑛+1
: 𝑛 ∈ N}
i) 𝐼 = {
1
𝑛+1
: 𝑛 ∈ N}
j) 𝐽 = {2
𝑛
: 𝑛 ∈ N}
Ex. 3.22 — A partir dos axiomas A1, ..., A9 dos números reais prove as seguintes proprieda-
des:
a) O número 0 (zero) é o único elemento neutro da soma.
b) O número 1 é o único elemento neutro da multiplicação.
c) Dado qualquer 𝑎 ∈ R, resulta 𝑎.0 = 0
d) Para quaisquer números reais 𝑎 e 𝑏, tem-se que:
𝑎𝑏 = 0 ⇒ 𝑎 = 0 ou 𝑏 = 0.
Ex. 3.23 — Mostre, utilizando propriedades básicas, que:
77
3 Conjuntos Numéricos
a) Se 𝑎𝑥 = 𝑎 para algum 𝑎 ≠ 0 então x=1.
b) 𝑥
2
− 𝑦
2
= (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦).
c) Se 𝑥
2
= 𝑦
2
, então 𝑥 = 𝑦 ou 𝑥 = −𝑦.
d) 𝑥
3
− 𝑦
3
= (𝑥 − 𝑦)(𝑥
2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦
2
)
e) 𝑥
3
+ 𝑦
3
= (𝑥 + 𝑦)(𝑥
2
− 𝑥𝑦 + 𝑦
2
)
f) Se 𝑎 ≤ 𝑏 e 𝑐 ≤ 𝑑 então 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑑.
g) Se 𝑎 ≤ 𝑏 então −𝑏 ≤ −𝑎.
h) Se 𝑎 ≤ 𝑏 e 𝑐 ≤ 𝑑 então 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑑.
Ex. 3.24 — (Não existência de Innitesimais) Mostre que se 𝑎 − 𝜀 < 𝑥 < 𝑎 + 𝜀 para todo 𝜀
então 𝑥 = 𝑎.
Complementares
Ex. 3.25 — Mostre que:
a) Se 𝑎 ≤ 𝑏 então −𝑏 ≤ −𝑎.
b) Se 𝑎 ≤ 𝑏 e 𝑐 ≥ 𝑑, então 𝑎 − 𝑐 ≤ 𝑏 − 𝑑.
c) Se 𝑎 ≤ 𝑏 e 𝑐 ≥> 0, então 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐.
d) Se 𝑎 > 1 então 𝑎
2
> 𝑎.
e) Se 0 < 𝑎 < 1 então 𝑎
2
< 𝑎.
f) Se 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 e 0 ≤ 𝑐 < 𝑑, então 𝑎𝑐 < 𝑏𝑑.
g) Se 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 então 𝑎
2
< 𝑏
2
.
h) Se 𝑎, 𝑏 > 0 e 𝑎
2
< 𝑏
2
então 𝑎 < 𝑏.
78
4 ★ Complementos sobre
Conjuntos
4.1 Famílias de Conjuntos
4.1.1 Sobre índices
O uso de índices é bastante comum em matemática, pois proporciona um modo ecaz e
econômico de descrever uma determinada coleção de objetos, sem exigir uma grande varie-
dade de símbolos. Por exemplo, poderíamos descrever um elenco de 20 objetos usando letras
distintas
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 , 𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙, 𝑚, 𝑛, 𝑜, 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, 𝑡
mas seria muito melhor denotá-los com uma única letra (digamos 𝑎) e 20 índices
𝑎
1
, 𝑎
2
, ..., 𝑎
20
.
A validade do uso de índices ca ainda mais evidente quando lidamos com conjuntos inni-
tos, como por exemplo uma sequência de números
𝑥
1
, 𝑥
2
, ..., 𝑥
𝑛
, ...
Nesse caso, seria impossível usar letras ou qualquer outro conjunto nito de símbolos para
descrever tal sequência.
Os dois exemplos acima podem ser expressos de um modo mais sintético. Para isso, considere
os conjuntos 𝐽 = {1, 2, ..., 20} e N
∗
. Então, podemos escrever:
{𝑎
𝚤
}
𝚤∈𝐽
= {𝑎
1
, 𝑎
2
, ..., 𝑎
20
}
e
{𝑥
𝚤
}
𝚤∈N
∗
= {𝑥
1
, 𝑥
2
, ..., 𝑥
𝑛
, ...}
Em outras palavras, se 𝐴 é um conjunto cujos elementos queremos indexar com um certo
conjunto de índices 𝐽, indicamos isso com a notação
𝐴 = {𝑎
𝚤
}
𝚤∈𝐽
.
79
4 ★ Complementos sobre Conjuntos
Uma característica importante desse processo de indexação é a seguinte: o uso de índices
pode ser descrito através da linguagem de funções. De fato, indexar os elementos de um con-
junto 𝐴 através de um conjunto de índices 𝐽 signica, simplesmente, escolher uma função
𝑓 : 𝐽 → 𝐴. Se quisermos indexar todos os elementos de 𝐴, a função 𝑓 deve ser sobrejetora. Se
quisermos que elementos distintos de 𝐴 tenham índices distintos, então a função 𝑓 deve ser
injetora. Se quisermos ambas as propriedades, a função deve ser bijetora.
Observação
. Note que, adotando o ponto de vista acima, ca claro que todo conjunto pode ser
usado, potencialmente, como um conjunto de índices. Para vermos um exemplo pouco usual
de uso de índices, considere a função 𝑓 : Z → N dada por
𝑓 (𝑧) =
(
2𝑧 se 𝑧 ≥ 0
−2𝑧 − 1 se 𝑧 < 0
Desse modo, o conjunto Z dos inteiros está sendo usado para indexar o conjunto N dos nú-
meros naturais, i.e.
N = {𝑛
𝚤
}
𝚤
∈
Z
onde 𝑛
𝚤
= 𝑓 (𝚤), para cada 𝚤 ∈ Z.
Exercício. Usando a indexação acima de N por Z, determine os elementos 𝑛
0
, 𝑛
1
, 𝑛
−1
, 𝑛
2
, 𝑛
−2
.
4.1.2 Operações com famílias de conjuntos
Nesta seção, lidaremos com famílias (ou classes) de conjuntos, isto é, conjuntos cujos elementos
são, por sua vez, também conjuntos. Queremos estender a essa situação algumas operações
entre conjuntos, assim como descrever algumas propriedades.
Seja dada uma família F de conjuntos, i.e.
F = {𝐴
𝚤
}
𝚤∈𝐽
onde 𝐽 é um qualquer conjunto de índices e cada 𝐴
𝚤
é um conjunto. A união dos conjuntos da
família
F
é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a
ao menos um
dos conjuntos
de F, i.e.
Ø
𝚤∈𝐽
𝐴
𝚤
= {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴
𝚥
para algum 𝚥 ∈ 𝐽}
A intersecção dos conjuntos da família F é o conjunto formado pelos elementos que perten-
cem a todos os conjuntos de F, i.e.
Ù
𝚤∈𝐽
𝐴
𝚤
= {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐴
𝚥
para todo 𝚥 ∈ 𝐽}
80
Bases Matemáticas
Dentre as propriedades mais importantes, destacamos as seguintes: dada uma família F =
{𝐴
𝚤
}
𝚤∈𝐽
de conjuntos e dado um conjunto qualquer 𝐵, tem-se:
𝐵 ∩
Ø
𝚤∈𝐽
𝐴
𝚤
!
=
Ø
𝚤∈𝐽
(𝐵 ∩ 𝐴
𝚤
)
𝐵 ∪
Ù
𝚤∈𝐽
𝐴
𝚤
!
=
Ù
𝚤∈𝐽
(𝐵 ∪ 𝐴
𝚤
)
Além disso, se U é um conjunto que contém todos os conjuntos 𝐴
𝚤
, então, tomando o com-
plementar relativamente a U, tem-se:
(
Ø
𝚤∈𝐽
𝐴
𝚤
)
C
=
Ù
𝚤∈𝐽
𝐴
C
𝚤
(
Ù
𝚤∈𝐽
𝐴
𝚤
)
C
=
Ø
𝚤∈𝐽
𝐴
C
𝚤
Complemento.
A título de contemplar os mais curiosos, citamos aqui outra operação que pode ser estendida
a qualquer família de conjuntos: o produto cartesiano. Tal operação vai muito além do que
qualquer curso de cálculo exige, podendo ser sumariamente ignorada pelos mais ”pragmá-
ticos”. Aos que não resistem à beleza do pensamento abstrato, boa leitura.
Como primeiro passo, vejamos como denir o produto cartesiano de uma quantidade qual-
quer (mas nita) de conjuntos. Dados 𝑛 conjuntos não vazios 𝐴
1
, 𝐴
2
, . . . , 𝐴
𝑛
, o produto car-
tesiano 𝐴
1
× 𝐴
2
× ··· × 𝐴
𝑛
é o conjunto dos elementos na forma (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
), onde para
cada 1 ≤ 𝚤 ≤ 𝑛 tem-se que 𝑥
𝚤
∈ 𝐴
𝚤
. Em símbolos:
𝐴
1
× 𝐴
2
× ··· × 𝐴
𝑛
= {(𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
)| 𝑥
𝚤
∈ 𝐴
𝚤
, 1 ≤ 𝚤 ≤ 𝑛}.
Os elementos na forma (𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑛
) são chamados de 𝑛-upla ordenada (que se lê ”ênu-
pla”ordenada).
Note-se que o produto cartesiano de 𝑛 conjuntos é muito semelhante ao produto cartesiano
de dois conjuntos, só diferindo, de fato, pelo número de conjuntos envolvidos.
Nosso propósito, agora, é contemplar famílias quaisquer de conjuntos, eventualmente inni-
tas. Para tanto, não é difícil perceber que a descrição acima não é adequada. Para chegar a um
outro modo de tratar o produto cartesiano, pode ser útil revermos, sob outro olhar, o pro-
duto cartesiano que nos é já conhecido (vamos considerar o caso mais simples, com somente
dois conjuntos). Dados dois conjuntos não vazios 𝐴
1
e 𝐴
2
(o uso de índices aqui é proposital),
81
4 ★ Complementos sobre Conjuntos
podemos identicar um par ordenado (𝑥
1
, 𝑥
2
) do produto cartesiano 𝐴
1
× 𝐴
2
com a função
𝑓 : {1, 2} → (𝐴
1
∪ 𝐴
2
) dada por
𝑓 (1) = 𝑥
1
e 𝑓 (2) = 𝑥
2
Pode parecer um modo exageradamente complicado para descrever um par ordenado e, se
fosse esse o único objetivo dessa descrição, seria realmente algo despropositado. Mas essa
linguagem apenas traduz a ideia de que um par ordenado nada mais é do que uma parti-
cular escolha, simultânea, de um elemento de um conjunto e um de outro. E cada função 𝑓
como aquela acima descreve exatamente uma particular escolha desse tipo.
A vantagem dessa linguagem, porém, está no fato de permitir que se dena o produto carte-
siano para uma família qualquer de conjuntos. De fato, seja dada uma família de conjuntos
F = {𝐴
𝚤
}
𝚤∈𝐽
onde 𝐽 é um qualquer conjunto de índices. O produto cartesiano dos conjuntos da família F
é o conjunto das funções
𝑓 : 𝐽 →
Ø
𝚤∈𝐽
𝐴
𝚤
tais que 𝑓 (𝚥) ∈ 𝐴
𝚥
para todo 𝚥 ∈ 𝐽. Em símbolos:
Ö
𝚤∈𝐽
𝐴
𝚤
= {𝑓 : 𝐽 ∈
Ø
𝚤∈𝐽
𝐴
𝚤
| 𝑓 (𝚥) ∈ 𝐴
𝚥
, ∀ 𝚥 ∈ 𝐽}.
82
5 Análise Combinatória
“Conte o que for contável, meça o que for mensurável e faça mensurável o que não for
mensurável.”
Galileo Galilei
Em diversas situações, como por exemplo no cálculo de probabilidades, é fundamental co-
nhecermos o número de elementos de certos conjuntos ou ainda o número de possibilidades
de certos experimentos. Neste capítulo apresentamos algumas estratégias de contagens que
nos auxiliarão na determinação das cardinalidades nos casos mais comuns e mais relevantes.
5.1 Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo nos diz que o número de
pares que podemos construir tendo 𝑛 possibilidades para a primeira entrada e 𝑚 possibili-
dades para a segunda é 𝑛𝑚.
Princípio Fundamental da Contagem para Conjuntos
Sejam 𝐴 um conjunto com 𝑛 elementos e 𝐵 um conjunto com 𝑚 elementos, então o con-
junto
𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏) | 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑏 ∈ 𝐵}
tem 𝑛𝑚 elementos.
Se denotarmos por #𝐴 o número de elementos de 𝐴, então o Princípio Fundamental da
Contagem para Conjuntos pode ser reescrito como:
#(𝐴 × 𝐵) = #𝐴 · #𝐵.
Esse fato pode ser entendido se enumerarmos todos os possíveis elementos de 𝐴 ×𝐵. Para
isso denotaremos os elementos de 𝐴 por 𝑎
𝑖
, com 𝑖 variando de 1 até 𝑛, e os elementos de 𝐵
por 𝑏
𝑗
, com 𝑗 variando de 1 até 𝑚. Se enumerarmos todos os possíveis elementos do conjunto
𝐴 × 𝐵 teremos:
83
5 Análise Combinatória
(𝑎
1
, 𝑏
1
) (𝑎
1
, 𝑏
2
) ··· (𝑎
1
, 𝑏
𝑚
)
(𝑎
2
, 𝑏
1
) (𝑎
2
, 𝑏
2
) ··· (𝑎
2
, 𝑏
𝑚
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(𝑎
𝑛
, 𝑏
1
) (𝑎
𝑛
, 𝑏
2
) ··· (𝑎
𝑛
, 𝑏
𝑚
)
Como temos 𝑛 linhas contendo 𝑚 elementos teremos 𝑛𝑚 elementos.
Exercício Resolvido 5.1 João decidiu passar suas férias no Japão e resolveu que iria de avião
e voltaria num cruzeiro. Visitando uma agência de viagens foram lhe oferecidos 3 possibi-
lidades de vôos e 2 possibilidades de cruzeiros. De quantas formas João pode realizar sua
viagem?
Solução: Neste caso estamos querendo calcular quantos elementos existem no conjunto 𝑉 ×𝐶,
sendo 𝑉 o conjunto dos possíveis vôos e 𝐶 o conjunto dos possíveis cruzeiros.
Assim, pelo princípio multiplicativo, João terá 3 · 2 = 6 possíveis formas de viajar. ◁
cruzeiro 1 1ª possibilidade
vôo 1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
S
S
S
S
S
S
S
S
S
cruzeiro 2 2ª possibilidade
cruzeiro 1 3ª possibilidade
opções
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
vôo 2
l
l
l
l
l
l
l
l
l
R
R
R
R
R
R
R
R
R
cruzeiro 2 4ª possibilidade
cruzeiro 1 5ª possibilidade
vôo 3
k
k
k
k
k
k
k
k
k
S
S
S
S
S
S
S
S
S
cruzeiro 2 6ª possibilidade
Figura 5.1: Grafo representando todas as possibilidades do Ex. 5.1
Uma das principais aplicações do princípio de multiplicação está enraizada na probabili-
dade. Assim, vamos reinterpretar este resultado no contexto de número de possíveis resul-
tados para experimentos de duas etapas (ao invés de apenas em termos de produtos cartesi-
anos de conjuntos), nessa forma o princípio da multiplicação torna-se bastante útil e ajuda a
formar o alicerce de um estudo de análise combinatória. Considere a seguinte expressão do
princípio de multiplicação.
Princípio Fundamental da Contagem para Experimentos
Considere um experimento com duas etapas. Se o número de possibilidades da primeira
84
Bases Matemáticas
etapa é 𝑛, e se o número de possibilidades da segunda etapa é independente da primeira
etapa e igual a 𝑚. Então o número de possibilidades do experimento é 𝑛 · 𝑚.
É fundamental que o número de possibilidades das etapas do experimento sejam inde-
pendentes para a validade do princípio acima. Um exemplo de situação em que não podemos
utilizar o princípio de contagem anterior é na escolha de dois números (não necessariamente
distintos) dentre {1, 2, 3, 4, 5} de modo que a soma seja maior estrito que 4, pois se o primeiro
número selecionado for 1 temos só duas possibilidades para a segunda escolha, os números 4
e 5. Por outro lado se a primeira escolha for 5 temos então 5 escolhas para o segundo número.
O próximo exemplo mostra que uma etapa pode depender da outra, sem que o número
de possibilidades dependa, e nesse caso ainda podemos aplicar o princípio fundamental de
contagem.
Exercício Resolvido 5.2 De quantas maneiras podemos sortear pares de letras do alfabeto
se a letra já sorteada é eliminada?
Solução: Se a primeira letra sorteada for 𝐴, a segunda será sorteada dentre {𝐵, 𝐶, . . . , 𝑍}, en-
quanto que se a primeira letra sorteada for 𝐵, a segunda letra será sorteada dentre {𝐴, 𝐶, 𝐷, . . . , 𝑍}
e analogamente para as outras possibilidades. Desta forma as etapas não são independentes.
Apesar disso, não importando qual seja a letra sorteada inicialmente o número de possi-
bilidades para o segundo sorteio será o mesmo em todos os casos, e logo podemos usar o
princípio fundamental da contagem.
Para a primeira letra teremos 26 possibilidades, e para a segunda, independente de qual
seja a letra sorteada inicialmente sempre teremos 25 possibilidades. Assim pelo teorema fun-
damental da contagem temos que existem 26 · 25 = 650 maneiras de sortear pares de letras
do alfabeto se a letra já sorteada é eliminada. ◁
O princípio multiplicativo pode ser generalizado para um número 𝑟 de conjuntos, bem
como para um experimento em 𝑟 etapas independentes:
Princípio Fundamental de Contagem Generalizado
Para conjuntos: Sejam 𝐴
1
, 𝐴
2
, . . . , 𝐴
𝑟
conjuntos com respectivamente 𝑛
1
, 𝑛
2
, . . . , 𝑛
𝑟
elementos, então o conjunto
𝐴
1
× 𝐴
2
× ··· × 𝐴
𝑟
tem 𝑛
1
𝑛
2
···𝑛
𝑟
elementos.
85
5 Análise Combinatória
Para experimentos : Considere um experimento com 𝑟 etapas. Se o número de pos-
sibilidade para cada etapa não depender dos resultados das etapas anteriores, en-
tão o número total de possibilidades para o experimento é o produto do número
de possibilidades de cada etapa.
Demonstração: Vamos demonstrar o princípio básico de contagem generalizado para con-
juntos, a partir do princípio básico de contagem para conjuntos, através de uma indução sobre
𝑟, o número de conjuntos.
No caso 𝑟 = 1 queremos contar o número de elementos de 𝐴
1
, que por hipótese é 𝑛
1
e assim
temos o primeiro passo da indução.
Para prosseguirmos a demonstração notemos inicialmente que o conjunto
𝐴
1
× 𝐴
2
× ··· × 𝐴
𝑟−1
× 𝐴
𝑟
tem o mesmo número de elementos que o conjunto
(𝐴
1
× 𝐴
2
× ··· × 𝐴
𝑟−1
) × 𝐴
𝑟
.
Por hipótese indutiva temos que o conjunto:
𝐴
1
× 𝐴
2
× ··· × 𝐴
𝑟−1
tem 𝑛
1
𝑛
2
···𝑛
𝑟−1
elementos e como 𝐴
𝑟
tem 𝑛
𝑟
elementos, pelo princípio fundamental de con-
tagem temos que o conjunto:
(𝐴
1
× 𝐴
2
× ··· × 𝐴
𝑟−1
) × 𝐴
𝑟
tem (𝑛
1
𝑛
2
···𝑛
𝑟−1
)𝑛
𝑟
= 𝑛
1
𝑛
2
···𝑛
𝑟−1
𝑛
𝑟
elementos. □
Exercício Resolvido 5.3 Em um certo país ctício as placas dos automóveis consistem de
três letras e dois números. Quantas placas diferentes são possíveis nesse país?
Solução: Neste caso estamos querendo contar os elementos do conjunto
𝐴 × 𝐴 × 𝐴 × 𝐵 × 𝐵 sendo 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, . . . , 𝑦, 𝑧} e 𝐵 = {0, 1, . . . , 9}.
Considerando que o alfabeto tem 26 letras a resposta pelo princípio multiplicativo é 26 · 26 ·
26 · 10 · 10 = 1757600. ◁
Exercício Resolvido 5.4 Imagine que um restaurante tenha 4 opções de massa, 6 de carnes e
5 acompanhamentos. Quantos pratos diferentes podem ser elaborados, se cada prato contiver
uma massa, uma carne e um acompanhamento?
86
Bases Matemáticas
Solução: 4 · 6 · 5 = 120 pratos. ◁
Exercício Resolvido 5.5 Seja 𝐴 um conjunto com 𝑛 elementos. Quantos elementos possui o
conjunto 𝒫(𝐴)?
Solução:
Por denição, os elementos de 𝒫(𝐴) são os subconjuntos de 𝐴 e desta forma o problema
inicial é equivalente a contar os subconjuntos de 𝐴. Para contarmos os subconjuntos de 𝐴
representaremos os subconjuntos de 𝐴 como palavras binárias.
Denotaremos por 𝑎
1
, . . . , 𝑎
𝑛
os elementos de 𝐴 e seja 𝐵 um subconjunto de 𝐴. Podemos
associar ao conjunto 𝐵 uma palavra binária de tamanho 𝑛, i.e, uma palavra de tamanho 𝑛
formadas pelos caracteres 0 e 1. O primeiro caractere dessa palavra é 1 se 𝑎
1
∈ 𝐵 e 0 se 𝑎
1
∉ 𝐵,
o segundo caractere é 1 se 𝑎
2
∈ 𝐵 e 0 se 𝑎
2
∉ 𝐵, e de modo geral, o 𝑖-ésimo caractere é 1 se
𝑎
𝑖
∈ 𝐵 e será 0 caso contrário.
Palavra:
1
0
1
···
0
Signicado de cada caractere: 𝑎
1
∈ 𝐵 𝑎
2
∉ 𝐵 𝑎
3
∈ 𝐵 ··· 𝑎
𝑛
∉ 𝐵
Assim por exemplo, temos as associações:
Ao subconjunto {𝑎
1
} está associado a palavra 100 ···0;
Ao subconjunto 𝐴 = {𝑎
1
, . . . , 𝑎
𝑛
} está associado a palavra 111 ···1;
Ao conjunto vazio está associado a palavra 000 ···0.
A partir de uma palavra podemos recuperar o subconjunto ao qual ela está associada atra-
vés do seguinte procedimento: dado uma palavra construímos o subconjunto de 𝐴 cujos ele-
mentos são os 𝑎
𝑖
tais que o 𝑖-ésimo caractere da palavra é distinto de 0.
Consequentemente cada subconjunto de 𝐴 está associado a uma única palavra e a cada
palavra está associada a um único subconjunto de 𝐴, e desta forma o número de subconjun-
tos de 𝐴 é igual ao número de palavras de 𝑛 caracteres, com duas possibilidades para cada
caractere: 0, 1.
O número de tais palavras pode ser calculado utilizando o princípio da contagem genera-
lizado, e por esse princípio existem 2 · 2 ···2
| {z }
n vezes
= 2
𝑛
palavras formadas por 𝑛 caracteres 0 ou 1,
e logo existem 2
𝑛
elementos no conjunto 𝒫(𝐴).
◁
87
5 Análise Combinatória
5.2 Listas sem Repetição: Arranjos
Seja 𝐴 um conjunto com 𝑛 elementos:
Denição 5.6 Um arranjo de 𝑟 elementos (𝑟 ≤ 𝑛) é uma lista ordenada sem repetições de
tamanho 𝑟, ou, mais formalmente, um arranjo de 𝑟 elementos é um elemento do conjunto
𝐴 × ··· × 𝐴
| {z }
𝑟−vezes
com todas as entradas distintas.
Assim por exemplo se considerarmos 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}, então os arranjos de 𝐴 de 2 elementos
são (𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑐), (𝑏, 𝑎), (𝑏, 𝑐), (𝑐, 𝑎) e (𝑐, 𝑏).
Pode-se contar os números de arranjos de 𝑟 elementos de um conjunto com 𝑛 elementos
(𝑟 ≤ 𝑛) através do seguinte argumento:
para a primeira entrada da lista podemos escolher um elemento dentre todos os 𝑛 pos-
síveis.
para a segunda entrada da lista, note que temos uma opção a menos, já que a segunda
entrada tem que ser distinta da primeira, e assim temos (𝑛 − 1) possíveis elementos
como opção para essa entrada da permutação.
de modo análogo temos que a terceira entrada pode ser preenchida de (𝑛 −2)maneiras.
esse padrão continua até que tenham sido utilizados os 𝑟 membros na permutação. Isso
signica que o último membro pode ser preenchido de (𝑛 − 𝑟 +1) maneiras.
Pelo princípio multiplicativo para eventos temos um total de 𝑛(𝑛 −1)(𝑛 −2)···(𝑛 −𝑟 +1)
arranjos diferentes de 𝑟 elementos de um conjunto com 𝑛 elementos.
Se denotarmos o número de arranjos de 𝑟 elementos de um conjunto com 𝑛 elementos por
𝐴(𝑛, 𝑟), o argumento acima nos sugere que
Teorema 5.7 O número de arranjos de 𝑟 elementos de um conjunto de 𝑛 elementos é:
𝐴(𝑛, 𝑟) =
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
= 𝑛(𝑛 − 1)···(𝑛 − 𝑟 + 1).
Exercício Resolvido 5.8 Num jogo são sorteados 5 números de 1 a 50. Os números sorteados
não são recolocados na urna. Quantos resultados distintos são possíveis nesse jogo se a ordem
de saída importa?
88
Bases Matemáticas
Solução: 𝐴(5, 50) =
50!
45!
= 254 251 200 possibilidades. ◁
Exercício Resolvido 5.9 Quantas placas distintas são possíveis consistindo de três letras
distintas seguidos de quatro números distintos?
Solução: Para as três letras temos 𝐴(26, 3) possibilidades e para os quatro números temos
𝐴(10, 4) possibilidades e assim pelo Princípio Fundamental da Contagem temos: 𝐴(26, 3) ·
𝐴(10, 4) =
26!
23!
10!
6!
= 78 624 000 possibilidades de placas. ◁
Exercício Resolvido 5.10 Quantos números inteiros entre 100 e 1000 possuem todos os
dígitos ímpares e distintos?
Solução: As possibilidades de dígito ímpar são 1, 3, 5, 7, 9. E assim temos 𝐴(5, 3) =
5!
(5−3)!
=
60 números inteiros entre 100 e 1000 com todos os dígitos ímpares e distintos. ◁
Exercício Resolvido 5.11 Quantos inteiros entre 100 e 1000 possuem todos os dígitos dis-
tintos?
Solução: A resposta não é 𝐴(10, 3). Para o primeiro digito temos 9 possibilidades (0 não é
possibilidade). Para o segundo temos 9 possibilidades (nesse caso 0 é possibilidade) e para o
terceiro 8. E assim temos existem 9 ·9 ·8 = 648 números entre 100 e 1000 que possuem todos
os dígitos distintos. ◁
Um caso importante de arranjo são as permutações:
Denição 5.12 Seja 𝐴 um conjunto com 𝑛 elementos. Uma permutação é uma lista ordenada
sem repetições de tamanho 𝑛, com todas as entradas distintas.
Veja que o número de permutações de 𝑛 elementos, pode ser calculado através da fórmula
para o número de arranjos tomando 𝑟 = 𝑛:
𝐴(𝑛, 𝑛) =
𝑛!
(𝑛 − 𝑛)!
= 𝑛!
Exercício Resolvido 5.13 Numa eleição tem-se 5 candidatos, supondo que não haja empates,
quantos são os possíveis resultados da eleição?
Solução: Nesse caso queremos calcular as permutações de 5 candidatos, pela expressão 5.2
existem 5! = 120 possíveis resultados da eleição. ◁
89
5 Análise Combinatória
5.3 Listas com Repetição
Agora vamos determinar quantas listas de 𝑟 objetos são possíveis se permitirmos algumas
repetições. Antes de tratarmos o caso geral, apresentamos um exemplo.
Exercício Resolvido 5.14 Quantas palavras podemos formar com as letras 𝑎 e 𝑏 se permiti-
mos à letra 𝑎 se repetir 3 vezes e à letra 𝑏 se repetir duas vezes?
Solução: Num primeiro estágio vamos distinguir todas as letras e assim vamos contar as
palavras formadas pelas letras {𝑎
1
, 𝑎
2
, 𝑎
3
, 𝑏
1
, 𝑏
2
} distinguindo as várias ocorrências das letras
𝑎 e 𝑏. Nesse caso temos 5! = 120 possibilidades. Observe agora que em cada uma dessas
palavras, por exemplo 𝑎
1
𝑏
2
𝑎
3
𝑎
2
𝑏
1
podemos permutar as letras 𝑎
1
, 𝑎
2
, 𝑎
3
e 𝑏
1
, 𝑏
2
entre si sem
alterar a palavra. Temos assim 3!2! = 12 permutações e logo contamos cada possibilidade
com essa repetição, o que implica que o número de palavras distintas formadas por 3 letras
𝑎 e 2 letras 𝑏 é
5!
3!2!
= 10. Essas palavras são:
𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑏𝑎𝑏 𝑏𝑎𝑎𝑎𝑏
𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎 𝑏𝑎𝑎𝑏𝑎
𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏 𝑏𝑎𝑏𝑎𝑎
𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎
◁
Generalizando temos:
Teorema 5.15 O número de ênuplas ordenadas distintas, formadas de 𝑟 elementos distintos nos
quais se permitem 𝑛
𝑖
repetições do 𝑖-ésimo elementoŽé
𝑛!
𝑛
1
!𝑛
2
! ···𝑛
𝑟
!
sendo 𝑛 = 𝑛
1
+ ··· + 𝑛
𝑟
.
Exercício Resolvido 5.16 Quantas palavras diferentes são possíveis de serem escritas com
as letras de “BANANA”
Solução: A palavra tem 6 letras, dessas o A se repete 3 vezes e o N se repete 2 vezes. Desta
forma, pelo teorema 5.15, temos que existem :
6!
3!2!
= 60 palavras
◁
Apresentaremos outra solução para esse problema no exemplo 5.23 da próxima seção.
90
Bases Matemáticas
Exercício Resolvido 5.17 Um estudante para ir de sua casa a universidade deve deslocar-se
6 quadras para leste e 4 quadras para o norte. De quantas maneiras esse estudante pode ir a
universidade andando exatamente 10 quadras?
0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 242 4 6 8 10
22
4
6
8
10
12
b
Casa
b
Universidade
L
N
O
S
Figura 5.2: Mapa representando a situação descrita no exercício 5.17
Solução: Denotaremos por 𝐿 o ato de andar uma quadra para leste e por 𝑁 o ato de andar
uma quadra para o norte. Desta forma a palavra
𝑁𝑁𝐿𝐿𝐿𝑁𝑁𝐿𝐿𝐿
signica (lida da esquerda para a direita) andar duas quadras para o norte, depois três para
leste, duas para o norte e nalmente três para leste.
Com essa notação um caminho entre a casa e a universidade pode ser identicado como
uma palavra de 10 letras composta por 4 N e 6 L.
Logo, pelo teorema 5.15, existem
10!
6!4!
= 210 caminhos entre a casa do estudante e a univer-
sidade.
◁
Exercícios
Ex. 5.1 — Calcule o número de palavras de 2 letras que é possível formar utilizando as letras
{𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹} e permitindo repetição das letras. Enumere todas as possibilidades.
Ex. 5.2 — Calcule o número de palavras com 2 letras não repetidas que é possível formar
utilizando as letras {𝐶, 𝐷, 𝐸}. Enumere todas as possibilidades.
Ex. 5.3 — Calcule o número de palavras com 5 letras que é possível formar utilizando as
letras e {𝐶, 𝐷, 𝐸} , de modo que as letras 𝐶 e 𝐸 se repitam duas vezes.
91
5 Análise Combinatória
Ex. 5.4 — Quantas palavras diferentes são possíveis de serem escritas com as letras de “MA-
TEMATICA”
Ex. 5.5 — Considere o mapa abaixo. Suponha que inicialmente você se localiza no ponto A,
e que você deve se mover apenas para a leste e para norte.
0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 242 4 6 8 10
22
4
6
8
10
12
b
b
A
B
b
C
L
N
O
S
a) De quantas formas é possível ir de 𝐴 e 𝐵.
b) De quantas formas é possível ir 𝐴 e 𝐶 passando por 𝐵.
c) De quantas formas é possível ir 𝐴 e 𝐶 não passando por 𝐵.
d) De quantas formas é possível ir de 𝐴 até 𝐶 e depois retornar a 𝐵.
5.4 Conjuntos sem Repetição: Combinação
Nessa seção estamos interessados em determinar quantos subconjuntos distintos de 𝑟 ele-
mentos podem ser construídos a partir de um conjunto de 𝑛 elementos.
Assim, por exemplo, quantos subconjuntos distintos de {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 } podemos construir
com 3 elementos cada? Veja que temos 5 opções para a primeira escolha, 4 para a segunda e
3 para a terceira, ou seja 5 · 4 · 3 = 60 possibilidades de escolhermos 3 elementos dentre as 5
possibilidades acima desde que a ordem importe. Observe que estamos contando cada sub-
conjunto 𝐴(3, 3) = 3! vezes. (por exemplo os subconjuntos formados pelas letras 𝑎, 𝑏, 𝑐 foram
contados 6 vezes na forma 𝑎𝑏𝑐, 𝑎𝑐𝑏, 𝑏𝑎𝑐, 𝑏𝑐𝑎, 𝑐𝑎𝑏, 𝑐𝑏𝑎). E assim temos
60
3!
= 10 conjuntos de
três elementos.
Denição 5.18 Dado um conjunto 𝐴 com 𝑛 elementos, e 𝐵 um subconjunto com 𝑟. Dizemos que
𝐵 é uma combinação de 𝑟 elementos de 𝐴.
Em geral temos 𝐴(𝑛, 𝑟) diferentes formas de escolher 𝑟 elementos num conjunto de 𝑛 ele-
mentos desde que a ordem seja relevante e cada grupo de 𝑟 elementos será contado 𝑟! vezes.
92
Bases Matemáticas
Logo temos que o número de subconjuntos de 𝑟 elementos de um conjunto de 𝑛 elementos,
que denotaremos 𝐶(𝑛, 𝑟) é
𝐶( 𝑛, 𝑟) =
𝐴(𝑛, 𝑟)
𝑟!
=
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!𝑟!
.
Teorema 5.19 O número de combinações de 𝑟 elementos de um conjunto com 𝑛 elementos, que
denotaremos 𝐶(𝑛, 𝑟) é:
𝐶( 𝑛, 𝑟) =
𝐴(𝑛, 𝑟)
𝑟!
=
𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!𝑟!
.
Exercício Resolvido 5.20 Numa eleição estudantil 20 alunos escolheram 4 representantes
para um comitê. Quantos comitês são possíveis?
Solução: São possíveis
20!
16!4!
=
20·19·18·17
4·3·2·1
= 4845 comitês. ◁
Exercício Resolvido 5.21 No exemplo anterior imagine que dos 20 alunos, 11 são mulheres
e 9 homens, e que o comitê tenha dois representantes de cada sexo. Quantos comitês são
possíveis?
Solução: Para a representação feminina temos
11!
9!2!
= 55 possibilidades e para a masculina
temos
9!
7!2!
= 36 e assim temos 55 · 36 = 1980 possíveis comitês. ◁
Exercício Resolvido 5.22 Num jogo são sorteados 5 números de 1 a 50. Os números sor-
teados não são recolocados na urna. Quantos resultados distintos é possível nesse jogo se a
ordem de saída não importa, como por exemplo na loteria?
Solução:
𝐴(50,5)
5!
=
50!
45!5!
= 2118760 possibilidades. ◁
Exercício Resolvido 5.23 Quantas palavras diferentes são possíveis de serem escritas com
as letras de “BANANA”
Outra Solução:
Esse problema é equivalente a de quantos modos podemos preencher as 6 caixas abaixo
usando 3 vezes a letra A, 2 vezes a letra N e 1 vez a letra B.
Escolhemos inicialmente 3 caixas (das 6 disponíveis) para serem preenchidas com a letra
A. Existem 𝐶(6, 3) modos de fazer essa escolha. Agora das 3 restantes, escolhemos 2 para
serem preenchidas com a letra N, existem 𝐶(3, 2) modos de fazer isso. A caixa restante deve
ser necessariamente preenchida com a letra B. Logo temos pelo princípio fundamental da
93
5 Análise Combinatória
contagem
𝐶(6, 3)𝐶(3, 2) =
6!
3!3!
·
3!
2!1!
=
6!
3!2!
= 60 palavras
◁
Exercícios
Ex. 5.6 — Dado o conjunto 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}. Quantos subconjuntos de 𝐴 existem com 3
elementos. Enumere esses subconjuntos.
Ex. 5.7 — Uma sala tem 6 portas. De quantas maneiras é possível entrar e sair dessa sala?
Ex. 5.8 — De quantas formas é possível entrar e sair da sala anterior por portas distintas?
Ex. 5.9 — Quantos inteiros existem entre 10000 e 100000 cujos dígitos são somente 6, 7 ou 8?
Ex. 5.10 — Quantos inteiros existem entre 10000 e 100000 cujos dígitos são somente 1, 6, 7 ou
8?
Ex. 5.11 — Quantos inteiros existem entre 1000 e 9999 (inclusive) com todos os dígitos dis-
tintos? Desses quantos são pares?
Ex. 5.12 — Dados 20 pontos não colineares no plano. Quantas retas podem ser formadas
ligando dois pontos? Quantos triângulos podem ser formados ligando uma tripla de pontos?
Ex. 5.13 — Numa estante temos 13 livros: 6 de cálculo, 3 de geometria analítica e 4 de física
básica. De quantas maneiras é possível ordenar os livros se:
a) Não colocarmos nenhuma restrição.
b) Se pedirmos para que os livros de cálculo sejam colocados primeiro, depois os de
geometria analítica e por m os de física básica.
c) Se pedirmos para que os livros do mesmo assunto quem juntos.
Ex. 5.14 — Imagine que na coleção de livros anteriores, 3 livros de cálculo eram iguais. Agora,
de quantas maneiras é possível ordenar os livros se:
a) Não colocarmos nenhuma restrição.
b) Se pedirmos para que os livros de cálculo sejam colocados primeiro, depois os de
geometria analítica e por m os de física básica.
94
Bases Matemáticas
c) Se pedirmos para que os livros do mesmo assunto quem juntos.
* Ex. 5.15 — Quantos conjuntos de quatro letras é possível formar tal que nenhum par de
letras seja consecutivo?
Ex. 5.16 — Um estudante precisa vender 3 CDs de sua coleção formada por 7 CDs de jazz, 6
de rock e 4 de música clássica. Quantas escolhas de venda ele possui, se
a) ele quiser vender quaisquer CDs
b) ele quiser vender os três do mesmo estilo.
c) ele quiser vender pelo menos dois do mesmo estilo.
5.5 Equações Lineares com Coecientes
Unitários
Queremos contar o número de soluções inteiras positivas de uma equação da forma
𝑥
1
+ 𝑥
2
+ ··· + 𝑥
𝑟
= 𝑛.
com 𝑛 inteiro positivo maior ou igual que 𝑟.
Exemplos 5.24
1. Considere a equação 𝑥 + 𝑦 = 5. Nesse caso o conjunto de soluções é {(1, 4), (2, 3), (3, 2),
(4, 1)} que tem 4 elementos.
2. Considere a equação 𝑥+𝑦 +𝑧 = 4. Nesse caso o conjunto de soluções é { ( 1, 1, 2), (1, 2 , 1),
(2, 1, 1)}.
◁
O número de soluções desse problema pode ser determinado através do seguinte argu-
mento: o número 𝑛 pode ser visto como o número 1 somado 𝑛 vezes
1 + 1 + 1 + ··· +1
| {z }
𝑛 números 1 e 𝑛−1 símbolos de +
Enquanto que uma solução de 𝑥
1
+𝑥
2
+···+𝑥
𝑟
= 𝑛 pode ser interpretada como apagar todos
os sinais de mais exceto por 𝑟 − 1 desses (Note que com 𝑟 − 1 símbolos + temos 𝑟 blocos de
95
5 Análise Combinatória
1s.)
111 + 11 + ··· + 1
| {z }
𝑛 números 1 e 𝑟−1 símbolos de +
Assim um bloco de 𝑘 números 1s passa a representar o número 𝑘.
Exemplos 5.25
1. As soluções de 𝑥 + 𝑦 = 5 (apresentadas no exemplo anterior) podem ser representadas
como
1 + 1111 11 + 111
111 + 11 1111 + 1
2. As soluções de 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 podem ser representadas como :
1 + 1 + 11 1 + 11 + 1 11 + 1 + 1
◁
Veja que o problema agora se reduziu a escolher 𝑟 −1 símbolos de + dentre 𝑛 −1 símbolos
de +, que já sabemos que é 𝐶(𝑛 − 1, 𝑟 − 1).
Teorema 5.26 O número de soluções inteiras positivas de uma equação da forma 𝑥
1
+𝑥
2
+···+
𝑥
𝑟
= 𝑛, com 𝑛 inteiro é
𝐶( 𝑛 − 1, 𝑟 − 1).
Exercício Resolvido 5.27 O número de soluções positivas da equação 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 é
𝐶(3, 2) = 3, que coincide com a enumeração que zemos em um exemplo anterior.
Exercício Resolvido 5.28 Um lantropo quer doar 10 ambulâncias à 5 instituições de cari-
dade. Cada instituição receberá pelo menos uma ambulância. De quantas maneiras ele pode
fazer essa distribuição?
Solução: Esse problema se reduz a encontrar as soluções inteiras e positivas de 𝑥
1
+𝑥
2
+𝑥
3
+
𝑥
4
+ 𝑥
5
= 10, sendo que 𝑥
𝑖
representa o número de ambulâncias que 𝑖-ésima instituição de
caridade receberá. Pelo teorema 5.26 temos 𝐶(9, 3) possíveis distribuições. ◁
Exercícios
Ex. 5.17 — Um apostador possui 18 chas e quer aposta-las em 4 cavalos, de modo que a
aposta em cada cavalo seja de pelo menos uma cha, de quantos modo o apostador pode
realizar sua aposta?
96
Bases Matemáticas
Ex. 5.18 — Quantas soluções inteiras positivas têm a equação 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 23?
* Ex. 5.19 — Quantas soluções inteiras não negativas têm a equação 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 23?
Ex. 5.20 —
** a) Mostre que o número de soluções inteiras não negativas de uma equação da forma
𝑥
1
+ 𝑥
2
+ ··· + 𝑥
𝑟
= 𝑛, com 𝑛 inteiro é
𝐶( 𝑛 + 𝑟 −1, 𝑟 − 1).
b) Quantas soluções inteiras não negativas têm a equação 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 23?
5.6 Probabilidade Discreta
Um espaço amostral Ω é o conjunto de todos os resultados possíveis em um determinado pro-
blema (experimento). Para nossos ns só consideraremos experimentos com espaços amos-
trais nitos.
Um evento é um subconjunto de Ω. Ou seja, um evento é um subconjunto pertencente as
partes do espaço amostral. Os subconjuntos com exatamente um elementos são chamados de
eventos elementares. Os exemplos abaixo ilustram a utilidade de se considerar eventos:
Exemplos 5.29
1. Se por exemplo considerarmos o experimento de jogarmos um dado, o espaço amostral
nesse caso pode ser representado como:
Ω = { , , , , , }
ou, de modo mais algébrico, como Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Nesse caso, por exemplo, pode-
mos considerar o evento {4, 5, 6} que é o evento do dado ser maior que 4, ou o evento
{1, 3, 5} que é o evento de sair um número ímpar.
2. Se por exemplo considerarmos o experimento de jogarmos par ou ímpar (em duas
pessoas, cada uma delas usando somente os dedos de uma das mãos, e cada uma
dessas mãos com exatos cinco dedos). Nesse caso o espaço amostral pode ser repre-
sentado como Ω = {0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, 10} e alguns eventos de importância são
𝑃 = {0, 2, 4, 6, 7, 8, 10} o evento de sair um número par e 𝐼 = {1, 3, 5 , 7, 9} o evento
97
5 Análise Combinatória
de sair um número ímpar.
Esse experimento também pode ser representado através do seguinte espaço amostral:
Ω = {(𝑖, 𝑗) : 1 ≤ 𝑖 ≤ 5, 1 ≤ 𝑗 ≤ 5},
ou seja, os pares ordenados cuja primeira entrada representa o número de dedos coloca-
dos pelo primeiro jogador, enquanto a segunda entrada representa o número de dedos
colocados pelo do segundo jogador. Nessa representação temos o seguinte evento ele-
mentar (1, 3) que representa o fato do primeiro jogador colocar um dedo e o segundo
três.
Nessa representação o evento da soma dos dedos colocados ser um número par pode
ser representado pelo conjunto:
𝑃 = {(𝑖, 𝑗) : 𝑖 + 𝑗 é par, com 1 ≤ 𝑖 ≤ 5, 1 ≤ 𝑗 ≤ 5}
3. Se considerarmos o evento de recebermos a primeira carta no jogo de truco. Então nesse
caso o espaço amostral é uma das 52 cartas do baralho.
Um evento particularmente agradável é que nossa primeira carta seja uma das mani-
lhas, esse evento é representado pelo conjunto
Manilha = {
4
♣
,
7
r
,
7
q
,
A
♠
}
4. No caso de jogarmos dois dados o espaço amostral pode ser considerado Ω = {(𝑖, 𝑗) :
1 ≤ 𝑖 ≤ 6 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 6}, ou seja, os pares ordenados cuja primeira entrada representa a
saída do primeiro dado, enquanto a segunda entrada a saída do segundo dado. Nesse
caso o espaço amostral tem 36 elementos.
Nesse caso podemos, por exemplo, considerar o evento 𝐹 de que a soma dos dois dados
seja maior que 10, que é representado pelo conjunto:
𝐹 = {(𝑖, 𝑗) : 𝑖 + 𝑗 > 10} = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5) , (6, 6)}.
◁
Exercícios
Ex. 5.21 — Considere o experimento de lançar um dado duas vezes. Para esse experimento,
descreva os elementos dos seguintes eventos:
a) A=”o resultado do segundo lançamento é dois ou três”
b) B=”a soma dos dígitos é seis”
c) C=”a soma dos dígitos é onze”
d) D = “ os resultados dos lançamentos dos dois dados são iguais”
98
Bases Matemáticas
e) E=”o resultado do primeiro lançamento é primo”
f) F=”o resultado do primeiro lançamento é par e do segundo ímpar”
Ex. 5.22 — Considere o experimento de lançar uma moeda quatro vezes. Para esse experi-
mento, descreva os elementos dos seguintes eventos:
a) A=”Exatamente três lançamentos com resultados cara”
b) B=”Pelo menos três lançamentos com resultados cara”
c) A=”Exatamente dois lançamentos com resultados cara”
d) A=”Pelo menos dois lançamentos com resultados cara”
Um espaço de probabilidade é um espaço amostral juntamente com um regra que atribui
uma probabilidade (chance) 𝑃(𝑤) a cada evento elementar 𝑤 em Ω. A probabilidade 𝑃(𝑤)
deve ser um número real não negativo, e satisfazendo a condição que a soma probabilidade
de todos os eventos elementares é 1.
Í
𝑤∈Ω
𝑃(𝑤) = 1.
Um espaço de probabilidade no qual todo evento elementar tem a mesma probabilidade,
i.e, 𝑃(𝑤
1
) = 𝑃(𝑤
2
), ∀𝑤
1
, 𝑤
2
∈ Ω, é chamado de espaço de probabilidade uniforme. Para
probabilidades uniformes podemos denir a probabilidade de um evento 𝐸 como:
𝑃(𝐸) =
número de elementos em 𝐸
número de elementos em Ω
.
Exercício Resolvido 5.30 Qual a probabilidade de tiramos duas caras jogando 1 moeda três
vezes?
Solução: Se denotarmos cara por 𝑐𝑎 e coroa por 𝑐𝑜, temos que o espaço amostral nesse caso
pode ser representado por:
{(𝑐𝑎, 𝑐𝑎, 𝑐𝑎), (𝑐𝑎, 𝑐𝑎, 𝑐𝑜), (𝑐𝑎, 𝑐𝑜, 𝑐𝑎), (𝑐𝑜, 𝑐𝑎, 𝑐𝑎), (𝑐𝑎, 𝑐𝑜, 𝑐𝑜), (𝑐𝑜, 𝑐𝑎, 𝑐𝑜), (𝑐𝑜, 𝑐𝑜, 𝑐𝑎),
(𝑐𝑜, 𝑐𝑜, 𝑐𝑜)} e tem 2
3
elementos igualmente prováveis.
O evento “tirar duas caras” tem 4 elementos:
{(𝑐𝑎, 𝑐𝑎, 𝑐𝑎), (𝑐𝑎, 𝑐𝑎, 𝑐𝑜), (𝑐𝑎, 𝑐𝑜, 𝑐𝑎), (𝑐𝑜, 𝑐𝑎, 𝑐𝑎)}
e logo temos que a probabilidade de tirarmos 2 caras é
4
8
=
1
2
◁
Exercício Resolvido 5.31 Qual a probabilidade de tirarmos 12 jogando 2 dados?
Solução: Poderíamos considerar nesse caso que o espaço amostral fosse constituído pela
soma dos valores dos dados sendo assim
{
2
,
3
,
4
, . . . ,
11
,
12
}
. Mas, se considerássemos esse
99
5 Análise Combinatória
espaço amostral, os eventos elementares não teriam a mesma probabilidade pois para tira-
mos 12 temos que tirar dois 6 enquanto para tirarmos 10 temos 3 possibilidades (4 e 6), (5 e
5) ou (6 e 4) para o primeiro e segundo dado respectivamente.
Nesse caso é muito mais interessante considerar o espaço amostral como {(𝑖, 𝑗) : 1 ≤ 𝑖 ≤
6, 1 ≤ 𝑗 ≤ 6}, ou seja, os pares ordenados cuja primeira entrada representa a saída do pri-
meiro dado, enquanto a segunda entrada a saída do segundo dado. Nesse caso o espaço
amostral tem 36 elementos igualmente prováveis. E nesse caso a probabilidade de tirarmos
12 é
1
36
. ◁
Exercício Resolvido 5.32 Qual a probabilidade de tirarmos mais de 10 jogando 2 dados?
Solução: Nesse caso podemos, por exemplo, considerar o evento de que a soma dos dois da-
dos seja maior que 10, que é representado pelo conjunto {(𝑖, 𝑗) : 𝑖+𝑗 > 10} = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5) , (6, 6)}.
Esse conjunto tem 6 elementos e assim a probabilidade de tirarmos mais que 10 é
6
36
=
1
6
◁
Exercício Resolvido 5.33 Numa gaveta tem 4 meias vermelhas e 8 meias azuis. Se tirarmos
4 meias aleatoriamente qual a probabilidade que 3 delas sejam vermelhas e 1 azul?
Solução: Para a construção do espaço amostral consideraremos a ordem de retirada impor-
tante e as meias distintas. Nesse caso temos 12 · 11 · 10 · 9 triplas de meias.
Para contarmos o número de eventos favoráveis note temos 8 · 4 · 3 · 2 possibilidades
da primeira meia ser azul e as outras 3 vermelhas, bem como 8 · 4 · 3 · 2 possibilidades
da segunda meia ser azul e as outras vermelhas e assim por diante. Assim temos no total
4 ·(8 ·4 ·3 ·2) possibilidades de termos 3 meias vermelhas e uma azul. Logo a probabilidade
é
4·(8·4·3·2)
12·11·10·9
=
768
11880
0, 06464. ◁
Outra Solução: Nesta resolução consideraremos que a ordem de retirada não é importante
e as meias da mesma cor distintas. Assim o espaço amostral tem
12
4
!
= 495 elementos.
O número de conjuntos de 4 meias, nos quais três sejam vermelhas e 1 azul é
8
1
!
·
4
3
!
=
32 e assim a probabilidade é
32
495
0, 06464 ◁
Exercícios
Ex. 5.23 — Dê exemplos de experimentos:
a) nitos (i.e, com espaço amostrais nitos)
b) innitos;
100
Bases Matemáticas
c) nitos e no qual todos eventos elementares tem a mesma probabilidade;
d) nitos e no qual nem todos os eventos elementares tenham a mesma probabilidade;
e) innitos e no qual todos eventos elementares tem a mesma probabilidade;
f) innitos e no qual nem todos os eventos elementares tenham a mesma probabilidade;
Algumas vezes ao calcularmos a probabilidade de ocorrência de um evento, é mais conve-
niente começarmos calculando a probabilidade do evento complementar. Se a probabilidade
de um evento no caso de probabilidades uniformes é
𝑃(𝐸) =
número de elementos em 𝐸
número de elementos em Ω
.
A probabilidade do evento complementar é:
𝑃(𝐸
C
) =
número de elementos em 𝐸
C
número de elementos em Ω
.
Como o número de elementos em 𝐸 adicionados com o número de elementos em 𝐸
C
é igual
ao número de elementos em Ω, temos que
𝑃(𝐸)+ 𝑃(𝐸
C
) = 1 ou equivalentemente 𝑃(𝐸
C
) = 1 − 𝑃(𝐸)
Exercício Resolvido 5.34 Uma carta é escolhida aleatoriamente de um baralho de 52 cartas.
Qual é a probabilidade da carta escolhida não ser um rei?
Solução: Vamos calcular inicialmente a probabilidade que a carta seja um rei. Nesse caso o
evento favorável é {
K
q
,
K
♠
,
K
r
,
K
♣
}. E assim, a probabilidade que a carta retirada seja um rei é
4
52
.
Logo a probabilidade que a carta não seja um rei é 1 −
4
52
=
48
52
◁
Exercício Resolvido 5.35 Um dado é jogado oito vezes. Qual é a probabilidade que o número
1 seja sorteado pelo menos uma vez?
Solução: Vamos calcular primeiramente a probabilidade que o número 1 não seja sorteado.
O espaço amostral é constituído de listas de 8 elementos com 6 possibilidades para cada
entrada. Assim pelo principio fundamental da contagem o espaço amostral tem 6
8
elementos.
Para os eventos onde o número 1 não é sorteado o número de possibilidade em cada entrada
diminui para 5, e assim 5
8
desses eventos, logo a probabilidade do 1 não ser sorteado é igual
a
5
8
5
8
0, 23.
Logo a probabilidade do evento complementar, sortear o número 1 pelo menos uma vez,
é 1 −
5
8
5
8
77
◁
101
5 Análise Combinatória
Proposição 5.36 Dados dois eventos 𝐴 e 𝐵. Se a ocorrência 𝐴 não afeta a probabilidade de 𝐵, então
dizemos que 𝐴 e 𝐵 são eventos independentes, neste caso, a probabilidade de que ocorra 𝐴 e 𝐵 é dada
por
𝑃(𝐴
e
𝐵) = 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝐵).
Claramente podemos generalizar a proposição anterior para 𝑛 eventos independentes.
Exercício Resolvido 5.37 Um dado é jogado 2 vezes. Qual é a probabilidade que o número
1 não seja sorteado?
Solução: Considere os seguintes eventos:
𝐸
1
=”o número 1 não ser sorteado no primeiro lançamento”
𝐸
2
=”o número 1 não ser sorteado no segundo lançamento”
Claramente 𝑃( 𝐸
1
) = 𝑃(𝐸
2
) =
5
/6 . Como os eventos 𝐸
1
e 𝐸
2
são independentes e pela pro-
posição 5.36 temos que a probabilidade que o número 1 não seja sorteado em ambos os lan-
çamentos é dado por:
5
6
·
5
6
0, 694
◁
Exercício Resolvido 5.38 Quantas vezes um dado deve ser lançado para que a probabilidade
do número 1 não ser sorteado nenhuma vez seja menor que
1
/10?
Solução: Suponha que um dado seja lançado 𝑘 vezes, e para este experimento considere os
eventos: 𝐸
𝑖
=”o número 1 não ser sorteado no 𝑖-ésimo lançamento” para 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Os
eventos 𝐸
𝑖
são independentes e 𝑃(𝐸
𝑖
) =
5
6
.
Desta forma temos que a probabilidade que o número 1 não seja sorteado em 𝑘 lançamentos
é:
𝑃(𝐸
1
) · 𝑃(𝐸
2
) · ··· · 𝑃(𝐸𝑘) =
5
6
· ··· ·
5
6
| {z }
k-vezes
=
5
6
𝑘
Logo, queremos determinar 𝑘 de modo que:
5
6
𝑘
<
1
10
Aplicando logaritmo de ambos os lados dessa igualdade temos:
log
10
5
6
𝑘
< log
1
10
Utilizando a propriedades do logaritmo que log
𝑎
𝑥
𝑦
= 𝑦 log
𝑎
𝑥 (veja pág. 145 para outras
propriedades do logaritmo) temos:
𝑘 log
10
5
6
< log
1
10
102
Bases Matemáticas
Como
5
6
< 1 temos que log
5
6
< 0 e consequentemente:
𝑘 >
log
1
10
log
5
6
12.62.
E assim o dado deve ser lançado pelo menos 13 vezes para que a probabilidade do número
1 não ser sorteado nenhuma vez seja menor que
1
/10.
0
2 4 6 8 10 12 14
0.2
0.4
0.6
0.8
5
6
𝑥
1
10
b
Figura 5.3: Representação gráca da inequação
5
6
𝑘
<
1
10
◁
O problema de Monty Hall
Em um programa de auditório, o convidado deve escolher entre três portas. Atrás de uma
das portas está um carro e atrás de cada uma das outras duas está um bode.
Após o convidado escolher uma das portas, o apresentador, que conhece o que está por
detrás de cada porta, abre uma das portas que tem um bode. O apresentador oferece então
ao convidado a opção de car com a porta que escolheu ou de trocar pela outra porta fechada.
Que estratégia deve o convidado adotar para escolher a porta com o carro? Em particular, faz
diferença o convidado trocar de portas?
Exercícios
Ex. 5.24 — Qual a probabilidade de tirar 7 jogando dois dados?
Ex. 5.25 — Um dado vermelho e um branco são jogados, qual a probabilidade que o resul-
tado do dado vermelho seja maior que a do branco?
Ex. 5.26 — Qual a probabilidade de tirarmos 4 números distintos jogando 4 dados.
Ex. 5.27 — Se 1 moeda for jogada 7 vezes.
a) Qual a probabilidade que não saia nenhuma caras?
b) Qual a probabilidade que saia 3 caras?
103
5 Análise Combinatória
c) Qual a probabilidade que saia pelo menos 3 caras?
Ex. 5.28 — Um professor quer separar seus 10 alunos em dois grupos de 5 e resolveu fazer
isso através de um sorteio. Dois alunos gostariam de car no mesmo grupo. Qual a probabi-
lidade que isso ocorra?
Ex. 5.29 — Num jogo de pôquer, cada jogador recebe cinco cartas de um baralho de 52.
a) Qual a chance de um jogador sair com um ush, ou seja todas as cartas do mesmo
naipe?
b) Qual a chance do jogador obter uma dupla?
c) Qual a chance do jogador obter uma tripla?
d) Qual a chance do jogador obter duas duplas?
e) Qual a chance do jogador obter uma dupla e uma tripla?
Ex. 5.30 — Num evento cientíco temos 15 físicos e 11 matemáticos. Três deles serão esco-
lhidos aleatoriamente para participar de uma mesa redonda.
a) Qual a chance que sejam todos físicos?
b) Qual a chance que pelo menos um seja matemático?
c) Qual a chance que exatamente dois sejam matemáticos?
Ex. 5.31 — Um professor possui um chaveiro com 15 chaves. Se consideramos que ele usa as
chaves de modo aleatório.
a) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de 7 tentativas, se considerarmos que ele
descarta as chaves já tentadas?
b) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de 7 tentativas, se considerarmos que ele
não descarta as chaves já tentadas?
c) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de 𝑘 tentativas, se considerarmos que
ele descarta as chaves já tentadas?
d) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de 𝑘 tentativas, se considerarmos que
ele não descarta as chaves já tentadas?
e) Qual a probabilidade dele abrir a porta na 7
𝑎
tentativas, se considerarmos que ele
descarta as chaves já tentadas?
f) Qual a probabilidade dele abrir a porta na 7
𝑎
tentativas, se considerarmos que ele não
descarta as chaves já tentadas?
104
Bases Matemáticas
Ex. 5.32 — Numa sala de 30 alunos qual é a probabilidade que dois alunos façam aniversário
no mesmo dia?
Ex. 5.33 — Numa sala de 𝑛 alunos:
a) qual é a probabilidade que pelo menos dois alunos façam aniversário no mesmo dia?
b) qual é o menor valor de 𝑛 de modo que a probabilidade que pelo menos dois alunos
façam aniversário no mesmo dia seja maior que
1
/2?
105
6
Generalidades sobre
Funções
6.1 Conceitos básicos
O termo função é usualmente associado à seguinte ideia: se duas quantidades (variáveis) 𝑥 e
𝑦 estão relacionadas de modo que, a cada valor atribuído a 𝑥, corresponde, por alguma lei ou
regra (implícita ou explícita), um valor a 𝑦, dizemos que 𝑦 é função de 𝑥. Esse enfoque é, em
geral, suciente para qualquer curso inicial de cálculo diferencial e integral em uma variável.
Entretanto, tal ideia não compreende toda a abrangência que o conceito de função passou a
ter a partir do desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos. Com esse arcabouço teórico à dis-
posição, uma função, mais do que ser vista como uma relação entre variáveis, passou a ser
vista como uma relação entre conjuntos.
Sob o ponto de vista matemático, mas ainda de modo informal, uma
relação
entre conjuntos
é uma escolha do tipo: certos elementos de um dos conjuntos está relacionado com alguns
elementos do outro. De modo mais preciso: uma relação entre dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 é um
subconjunto do produto cartesiano 𝐴 × 𝐵.
Exemplo 6.1 Sejam 𝐴 = {1, 2, 3} e 𝐵 = {𝑥, 𝑦}. Então
𝐴 × 𝐵 = {(1, 𝑥), (1, 𝑦), (2, 𝑥), (2, 𝑦), (3, 𝑥), (3, 𝑦)}.
Tome 𝑅 = {(1, 𝑥), (2, 𝑥), (2 , 𝑦)}. O subconjunto 𝑅 estabelece uma relação entre 𝐴 e 𝐵, na qual:
1 está relacionado a 𝑥, pois (1, 𝑥) ∈ 𝑅
2 está relacionado a 𝑥, pois (2, 𝑥) ∈ 𝑅
2 está relacionado a 𝑦, pois (2, 𝑦) ∈ 𝑅
Não há mais nenhuma outra relação entre elementos de 𝐴 e 𝐵
107
6 Generalidades sobre Funções
◁
Note que cada escolha de um subconjunto de 𝐴 ×𝐵 determina uma relação diferente entre
esses conjuntos.
Não é nosso interesse aprofundar o conceito de relação. Se o introduzimos aqui foi apenas
para contextualizar adequadamente o conceito de função, já que esta é um caso particular de
relação entre conjuntos. Temos, de fato, a seguinte denição:
Denição 6.2 Dados dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, uma função de 𝐴 em 𝐵 é um subconjunto 𝑓 de
𝐴 × 𝐵 (portanto, uma relação entre 𝐴 e 𝐵) satisfazendo a seguinte propriedade:
para todo 𝑥 ∈ 𝐴, existe um único elemento 𝑦 ∈ 𝐵 tal que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 .
Notação. Apesar de denir o conceito de função dentro do contexto mais geral de relação,
a notação que adotaremos é aquela mais adequada às necessidades do cálculo diferencial e
integral, além de ser mais familiar àqueles que se iniciam em tal estudo. Segundo a denição
acima, uma função é caracterizada por uma terna de elementos (𝐴, 𝑓 , 𝐵), onde 𝐴 e 𝐵 são
conjuntos e 𝑓 é uma relação entre eles (satisfazendo as condições para ser função). Denota-se
isso por
𝑓 : 𝐴 → 𝐵,
que se lê 𝑓 é uma função de 𝐴 em 𝐵. Se 𝑓 relaciona um elemento 𝑥 ∈ 𝐴 com um elemento 𝑦 ∈ 𝐵
(i.e. se (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 ), tal relação é denotada por 𝑓 (𝑥) = 𝑦.
Exemplos 6.3
𝑓 : {1, 2, 3} → {𝑎, 𝑏} , dada por 𝑓 (1) = 𝑎, 𝑓 (2) = 𝑎, 𝑓 (3) = 𝑏
𝑓 : R → R, dada por 𝑓 (𝑥) = 𝑥
2
𝑓 : R → R, dada por 𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 1
𝑓 : [0, 1] → R, dada por 𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 1
𝜙 : { 𝑛 ∈ N | 𝑛 > 1} → N, onde 𝜙(𝑛) denota o número de inteiros positivos menores que
𝑛 que são co-primos com 𝑛.
◁
Nos exemplos acima, temos alguns comportamentos diferentes que valem a pena serem ob-
servados. No primeiro exemplo, os valores da função são explicitados, um a um. Nos demais,
isso não seria possível, uma vez que precisaríamos, para isso, de uma lista innita de valores.
108
Bases Matemáticas
Nos três exemplos intermediários, a função é descrita a partir de uma expressão algébrica,
enquanto no último exemplo isso não seria possível. Neste, a função é descrita através do
procedimento, por assim dizer, para determinar o valor da função para cada variável assu-
mida. Por m, note ainda que o terceiro e quarto exemplos parecem tratar da mesma função,
uma vez que usam a mesma expressão algébrica, mas em cada um dos casos os conjuntos
envolvidos são diferentes.
Antes de voltarmos nossa atenção ao contexto que mais nos interessa, vejamos um pouco de
nomenclatura para funções. Para isso, tomemos uma função qualquer 𝑓 : 𝐴 → 𝐵. O conjunto
𝐴 é chamado de domínio de 𝑓 e é denotado por Dom 𝑓 . Já o conjunto 𝐵 é chamado de con-
tradomínio (não há uma notação para o contradomínio). Dado um elemento 𝑥 do domínio,
então, pela própria denição de função, deve existir um elemento 𝑦 do contradomínio tal que
𝑦 = 𝑓 (𝑥) (e esse elemento, lembre-se, é único). Dizemos, nesse caso, que 𝑦 é imagem de 𝑥¹. O
conjunto de todas as imagens dos elementos do domínio, i.e. o conjunto dos elementos de 𝐵
que estão relacionados a algum elemento de 𝐴, é chamado de imagem de 𝑓 e denotado por
Im 𝑓 , isto é
Im 𝑓 := {𝑦 ∈ 𝐵 | 𝑦 = 𝑓 (𝑥) para algum 𝑥 ∈ 𝐴}
que também pode ser descrito por
Im 𝑓 = {𝑓 (𝑥) | 𝑥 ∈ 𝐴}.
Em outras palavras, para que um elemento 𝑦 do contradomínio 𝐵 pertença à imagem de 𝑓 ,
ele deve ser imagem de algum elemento do domínio 𝐴, i.e. deve existir algum elemento 𝑥 ∈ 𝐴
tal que 𝑓 (𝑥) = 𝑦.
Outra situação de interesse ocorre quando se quer descrever a imagem de elementos de um
subconjunto do domínio. Dado um subconjunto 𝑋 ⊂ 𝐴, o conjunto de todas as imagens dos
elementos de 𝑋 é chamado de imagem do conjunto 𝑋 através da função 𝑓 e é denotado por
𝑓 (𝑋). Assim:
𝑓 (𝑋) := {𝑦 ∈ 𝐵 | 𝑦 = 𝑓 (𝑎) para algum 𝑎 ∈ 𝑋},
ou, alternativamente,
𝑓
(
𝑋
)
=
{
𝑓
(
𝑎
)|
𝑎
∈
𝑋
}
.
Note, em particular, que faz sentido falar em 𝑓 (𝐴), uma vez que 𝐴 ⊂ 𝐴. Nesse caso, apenas
reencontramos a imagem de 𝑓 , i.e. 𝑓 (𝐴) = Im 𝑓 .
Uma vez que a cada elemento do domínio 𝐴 associamos a sua imagem em 𝐵, cabe a questão
”recíproca”: dado 𝑦 ∈ 𝐵, qual o conjunto de elementos do domínio que têm 𝑦 como imagem?
¹Note que, embora o elemento 𝑥 só possa ter uma única imagem, a sua imagem 𝑦 pode também ser imagem de
outros elementos do domínio.
109
6 Generalidades sobre Funções
Tal conjunto (que pode ser vazio) é chamado de pré-imagem de 𝑦. De modo mais geral, dado
um subconjunto 𝑌 ⊂ 𝐵, denimos a pré-imagem de 𝑌 como sendo o conjunto que se obtém
fazendo a união das pré-imagens dos elementos de 𝑌. Tal conjunto é denotado por 𝑓
−1
(𝑌) e
pode ser descrito por
𝑓
−1
(𝑌) = {𝑥 ∈ 𝐴 | 𝑓 (𝑥) ∈ 𝑌}.
Com a notação acima, a pré-imagem de um elemento 𝑦 ∈ 𝐵 pode ser expressa por
𝑓
−1
({𝑦}) = {𝑥 ∈ 𝐴 | 𝑓 (𝑥) = 𝑦}.
Observação. A notação usada acima, com o símbolo 𝑓
−1
, é a mesma usada para o conceito
de função inversa (que será visto mais adiante). Tal uso poderia gerar confusão entre esses
diferentes conceitos, mas deve-se notar que o argumento entre parênteses, no caso em que a
notação 𝑓
−1
se refere a uma pré-imagem (caso acima), é um conjunto, enquanto que no caso
dessa mesma notação ser usada para funções inversas, o argumento entre parênteses, como
veremos, é um elemento do contradomínio.
Retomemos os exemplos acima. No que se refere ao domínio, contradomínio e imagem, te-
mos:
Exemplos 6.4
Dom 𝑓 = {1, 2, 3}, Im 𝑓 = {𝑎, 𝑏} e o contradomínio é {𝑎, 𝑏}.
Dom 𝑓 = R, Im 𝑓 = R
+
e o contradomínio é R.
Dom 𝑓 = R, Im 𝑓 = R e o contradomínio é R.
Dom 𝑓 = [0, 1], Im 𝑓 = [1, 2] e o contradomínio é R.
Dom 𝜙 = {𝑛 ∈ N | 𝑛 > 1} e o contradomínio é N. Sabe determinar Im 𝜙? Se souber,
publique!
◁
Ainda considerando os exemplos acima, vejamos algumas pré-imagens:
Exemplos 6.5
𝑓
−1
({𝑎}) = {1, 2}, 𝑓
−1
({𝑏}) = {3}
𝑓
−1
({1}) = {−1, 1 }, 𝑓
−1
({−2}) = , 𝑓
−1
([0, 4]) = [−2, 2]
𝑓
−1
({3}) = {2}, 𝑓
−1
((−1, 5]) = (−2, 4], 𝑓
−1
([2, +∞)) = [1, +∞)
𝑓
−1
({3}) = , 𝑓
−1
((−1, 5]) = [0, 1], 𝑓
−1
([2, +∞)) = {1}
110
Bases Matemáticas
𝜙
−1
({1}) = {2}, 𝜙
−1
({2}) = {3, 4, 6} (sabe provar essas armações?)
◁
Exercício. Seja dada uma função 𝑓 : 𝐴 → 𝐵. Se 𝑋 e 𝑌 são subconjuntos do domínio 𝐴 e se 𝑉
e 𝑊 são subconjuntos do contradomínio 𝐵, então:
1. 𝑓
(
𝑋
∪
𝑌
)
=
𝑓
(
𝑋
) ∪
𝑓
(
𝑌
)
2. 𝑓 (𝑋 ∩𝑌) ⊂ 𝑓 (𝑋) ∩ 𝑓 (𝑌)
3. 𝑓
−1
(𝑉 ∪𝑊) = 𝑓
−1
(𝑉) ∪ 𝑓
−1
(𝑊)
4. 𝑓
−1
(𝑉 ∩𝑊) = 𝑓
−1
(𝑉) ∩ 𝑓
−1
(𝑊)
Para nalizar esta seção, vamos introduzir uma nomenclatura que pode ser útil em alguns
contextos. Em alguns casos, duas funções podem diferir somente pelos seus domínios, sendo
um deles um subconjunto do outro. Nesse caso, falamos em restrição ou em extensão de uma
função. Mais especicamente:
Se 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 é uma função e 𝐶 ⊂ 𝐴, a função 𝑔 : 𝐶 → 𝐵 dada por 𝑔(𝑥) = 𝑓 (𝑥) é
chamada de restrição de 𝑓 a 𝐶. Usualmente, denotamos a função 𝑔 pelo símbolo 𝑓
|
𝐶
(no qual a barra | designa a ”restrição”).
Se 𝑔 : 𝐴 → 𝐵 é uma função e 𝐶 ⊃ 𝐴, uma função 𝑓 : 𝐶 → 𝐵 para a qual valha
𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐴, é chamada de extensão de 𝑔 a 𝐶.
Não há uma notação especíca para uma extensão de uma função, até mesmo porque tal
extensão não é em geral única. Entretanto, observe que vale a seguinte propriedade (onde
supõe-se 𝑋 ⊂ 𝑌):
𝑓 : 𝑌 → 𝑍 é uma extensão de 𝑔 : 𝑋 → 𝑍 se, e somente se, 𝑔 = 𝑓
|
𝑋
.
6.2 Propriedades
Dada uma função 𝑓 : 𝐴 → 𝐵, sabemos que cada elemento do domínio possui uma única ima-
gem, mas tal imagem pode ser comum a mais elementos do domínio. Além disso, nem todos
os elementos do contradomínio são imagem de algum elemento do domínio. Essas duas ca-
racterísticas têm uma certa relevância no estudo das funções, tanto que foram introduzidos
os conceitos de injetividade e sobrejetividade.
111
6 Generalidades sobre Funções
Denição 6.6 Uma função 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 é injetora se para qualquer par de elementos distintos do
domínio, suas imagens são também distintas. Em outras palavras, uma função é injetora quando
cada elemento da imagem da função é imagem de um único elemento do domínio.
Apesar da denição acima ser sucientemente clara, não é, em geral, muito ”operacional”.
Uma forma equivalente, mas mais operacional, de se caracterizar as funções injetoras é a
seguinte:
Uma função 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 é injetora se, e somente se,
para todo par de elementos 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐴, vale:
𝑓 (𝑢) = 𝑓 (𝑣) ⇒ 𝑢 = 𝑣.
Veremos mais adiante, em alguns exemplos, como usar a caracterização acima para provar
que uma função é injetora. Antes, vejamos outro conceito:
Denição 6.7 Uma função 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 é sobrejetora se a conjunto imagem Im 𝑓 coincide com
o contradomínio 𝐵, i.e., se todo elemento de 𝐵 é imagem de algum elemento de 𝐴.
Exemplo. Seja 𝑓 : R → R dada por 𝑓 (𝑥) = 𝑥
3
− 𝑥. Tal função é sobrejetora, pois para todo
número real 𝑦, existe um número real 𝑥 tal que 𝑥
3
− 𝑥 = 𝑦. De fato, o polinômio 𝑥
3
− 𝑥 − 𝑦
(na variável 𝑥) sempre possui ao menos uma raiz real, uma vez que seu grau é ímpar. Por
outro lado, 𝑓 não é uma função injetora, já que 𝑓 (1) = 𝑓 (0), i.e., dois elementos distintos do
domínio possuem imagens iguais.
Exemplo. A função 𝑔 : [0, 1] → [0, 2], dada por 𝑔(𝑥) = 𝑥
2
, não é sobrejetora, pois não existe
nenhum número real 𝑥 ∈ [0, 1] cujo quadrado seja igual a 2. Na verdade, é fácil vericar que
Im 𝑔 = [0, 1], a qual está contida propriamente no contradomínio. Por outro lado, a função 𝑔
é injetora. Para vericarmos isso, utilizaremos a última caracterização que demos das funções
injetoras. A ideia é mostrar que se 𝑢 e 𝑣 são tais que 𝑔(𝑢) = 𝑔(𝑣), então necessariamente deve
ser 𝑢 = 𝑣. Sejam então 𝑢, 𝑣 ∈ [0, 1]tais que 𝑢
2
= 𝑣
2
. Dessa igualdade, segue que 𝑢 = ±𝑣. Mas,
tendo em mente que ambos são não negativos, deve necessariamente ser 𝑢 = 𝑣.
Observação. Note, em ambos os exemplos, que a injetividade e a sobrejetividade de uma fun-
ção não depende somente da relação algébrica explicitada. De fato, a função 𝑓 poderia se
tornar injetora se tomássemos como domínio, por exemplo, a semi-reta [2, +∞)². Por outro
lado, a função 𝑔 também poderia se tornar sobrejetora se tomássemos como contradomínio
²Esse tipo de estudo é fácil de se fazer com as ferramentas do cálculo diferencial. Nesse caso, inclusive, podería-
mos ter escolhido uma semi-reta ainda maior, [
√
3/3, +∞), de modo a ter 𝑓 injetora. Mas tal ferramenta não
será desenvolvida neste curso.
112
Bases Matemáticas
o conjunto [0, 1]. Assim, qualquer discussão em torno da injetividade e/ou sobrejetividade
de uma função deve levar em consideração também seu domínio e contradomínio, além, é
claro, da relação entre eles.
Quando uma função 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 é injetora e sobrejetora simultaneamente, faz sentido dizer
que cada elemento da imagem da função está relacionado a um único elemento do domínio.
De fato, tal relação existe, graças à sobrejetividade, e é única, graças à injetividade. Em outras
palavras, podemos
inverter
os papéis dos conjuntos
𝐴
e
𝐵
nessa relação. Nesse caso, falamos
em bijeção:
Denição 6.8 Uma função 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 é bijetora se é, simultaneamente, injetora e sobrejetora.
Na esteira do que foi dito no parágrafo acima, dada uma função bijetora 𝑓 : 𝐴 → 𝐵, denimos
a função inversa 𝑓
−1
: 𝐵 → 𝐴, através da seguinte relação:
𝑓
−1
(𝑦) = 𝑥 ⇔ 𝑓 (𝑥) = 𝑦
Assim, nesse caso, se um elemento 𝑥 de 𝐴 está associado a um elemento 𝑦 de 𝐵 através da
função 𝑓 (que, lembre, estamos supondo bijetora), então o elemento 𝑦 está associado ao ele-
mento 𝑥 pela função inversa 𝑓
−1
.
Exemplo 6.9 Considere a função 𝑓 : [0, 1] → [1, 3]dada por 𝑓 (𝑥) = 2𝑥+1. Tal função é bijetora
(verique por exercício) e, portanto, possui inversa 𝑓
−1
: [1, 3] → [0, 1]. Para determinar a
expressão de 𝑓
−1
, usa-se a relação que a dene, i.e.
𝑓
−1
(𝑦) = 𝑥 ⇔ 𝑓 (𝑥) = 𝑦
Assim, a partir de 𝑦 = 2𝑥 + 1, devemos obter a expressão de 𝑥 em função de 𝑦 (ou seja,
𝑥 = 𝑓
−1
(𝑦)), o que se obtém facilmente isolando a variável 𝑥:
𝑓
−1
(𝑦) = 𝑥 =
1
2
(𝑦 − 1)
◁
Observação. Mais adiante, ao falarmos em composição de funções, veremos com o conceito
de função inversa está relacionado, em algum modo, à operação inversa de uma certa opera-
ção sobre funções (justamente, a operação de composição). Isso permitirá uma compreensão
ainda melhor da relação entre uma função e sua inversa (quando esta existir, claro).
Exercícios
113
6 Generalidades sobre Funções
Ex. 6.1 — Dados os conjuntos 𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} e 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5}, diga qual das relações
abaixo denem uma função 𝑓 : 𝐴 → 𝐵.
a) 𝑅 = {(𝑒, 1), (𝑜, 2)}
b) 𝑅 = {(𝑎, 1), (𝑒, 1), (𝑖, 1), (𝑜, 2), (𝑢, 2)}
c) 𝑅 = {(𝑎, 1), (𝑒, 2), (𝑖, 3), (𝑜, 4), (𝑢, 5)}
d) 𝑅 = {(𝑎, 1), (𝑒, 1), (𝑒, 2) , (𝑖, 1), (𝑢, 2), (𝑢, 5)}
e) 𝑅 = {(𝑎, 3), (𝑒, 3), (𝑖, 3), (𝑜, 3), (𝑢, 3)}
f) 𝑅 = {(𝑎, 1), (𝑒, 3), (𝑖, 3), (𝑜, 2), (𝑢, 2)}
g) 𝑅 = {(𝑎, 2), (𝑒, 1), (𝑖, 4), (𝑜, 5), (𝑢, 3)}
Ex. 6.2 — Para cada função que aparece no exercício acima, diga se é injetora, sobrejetora
e/ou bijetora.
Ex. 6.3 — Determine o conjunto imagem da função
𝑓
:
N
→
Z
dada por
𝑓 (𝑛) = (−1)
𝑛
𝑛.
Ex. 6.4 — Considerando a função 𝑓 do exercício anterior, determine o conjunto imagem da
função 𝑔 : N → Z dada por 𝑔(𝑛) = 𝑓 (𝑛) + 𝑓 (𝑛 +1).
Ex. 6.5 — Seja 𝐴 um conjunto (não vazio) com 𝑛 elementos e seja 𝐵 um conjunto qualquer.
Mostre cada uma das seguintes armações:
a) Se existe uma função injetora 𝑓 : 𝐴 → 𝐵, então 𝐵 possui pelo menos 𝑛 elementos.
b) Se existe uma função sobrejetora 𝑓 : 𝐴 → 𝐵, então 𝐵 possui no máximo 𝑛 elementos.
c) Conclua, das armações acima, a seguinte propriedade: dois conjuntos nitos³ pos-
suem o mesmo número de elementos se, e somente se, existe uma função bijetora entre
tais conjuntos.
Ex. 6.6 — Para cada uma das seguintes funções, prove ou dê contra-exemplos que elas são
injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.
a) Se 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e 𝑓 : 𝐴 → 𝐴 dada por:
𝑓 (𝑥) =
(
𝑥, se 𝑥 é ímpar
𝑥
2
, se 𝑥 é par
³Dizem-se nitos os conjuntos que possuem um número nito de elementos. Voltaremos a discutir essa deni-
ção mais adiante, com mais propriedade.
114
Bases Matemáticas
b) Se 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e 𝑔 : 𝐴 → 𝐴 dada por:
𝑓 (𝑥) =
(
𝑥 + 1, se 𝑥 ≠ 7
𝑓 (7) = 1 se 𝑥 = 7.
c) 𝑓 : N → N, 𝑓 (𝑛) = 3𝑛 + 1.
d) 𝑓 : Z → Z, 𝑓 (𝑛) = 𝑛 − |𝑛|.
e) 𝑓 : R → R, 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com 𝑎 ≠ 0.
f) 𝑓 : R → R, 𝑓 (𝑥) = 2𝑥
2
.
g) 𝑓 : (0, ∞) → R, 𝑓 (𝑥) =
1
𝑥
.
h) 𝑓 : R
∗
→ R, 𝑓 (𝑥) =
1
𝑥
2
.
i) 𝑓 : [0, ∞) → R, 𝑓 (𝑥) =
√
𝑥.
j) 𝑓 : R → R ×R, 𝑓 (𝑥) = (𝑥, 𝑥).
k) 𝑓 : R → R ×R, 𝑓 (𝑥) = (𝑥, |𝑥|).
l) 𝑓 : R × R → R, 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 − |𝑦|.
m) 𝑓 : R × R → R × R, 𝑓 (𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦
3
).
Ex. 6.7 — Determine o conjunto imagem da função 𝑓 : N → Z dada por
𝑓 (𝑛) = (−1)
𝑛
𝑛.
Ex. 6.8 — Considerando a função 𝑓 do exercício anterior, determine o conjunto imagem da
função 𝑔 : N → Z dada por 𝑔(𝑛) = 𝑓 (𝑛) + 𝑓 (𝑛 +1).
Ex. 6.9 — Para cada uma das seguintes funções, calcule 𝑓
−1
({0}), 𝑓
−1
({1}), 𝑓
−1
({2})
a) 𝑓 : N → N, 𝑓 (𝑛) = 3𝑛 + 1.
b) 𝑓 : R → R, 𝑓 (𝑥) = 𝑥 − |(𝑥 + 2)
2
− 1|.
c) 𝑓 : [0, ∞) → R, 𝑓 (𝑥) =
√
𝑥 + 1 −
√
𝑥.
d) 𝑓 : R × R → R, 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 − |𝑦|.
Ex. 6.10 — Seja dada uma função 𝑓 : 𝐴 → 𝐵. Se 𝑋 e 𝑌 são subconjuntos do domínio 𝐴 e se
𝑉
e
𝑊
são subconjuntos do contradomínio
𝐵
, mostre que:
a) 𝑓 (𝑋 ∪ 𝑌) = 𝑓 (𝑋) ∪ 𝑓 (𝑌).
b) 𝑓 (𝑋 ∩ 𝑌) ⊂ 𝑓 (𝑋) ∩ 𝑓 (𝑌).
c) 𝑓
−1
(𝑉 ∪𝑊) = 𝑓
−1
(𝑉) ∪ 𝑓
−1
(𝑊).
115
6 Generalidades sobre Funções
d) 𝑓
−1
(𝑉 ∩𝑊) = 𝑓
−1
(𝑉) ∩ 𝑓
−1
(𝑊).
e) Se 𝑋 ⊂ 𝑌 então 𝑓 (𝑋) ⊂ 𝑓 (𝑌).
f) Se 𝑓 é injetora então 𝑓 (𝑋 ∩ 𝑌) = 𝑓 (𝑋) ∩ 𝑓 (𝑌).
g) Se 𝑉 ⊂ 𝑊 então 𝑓
−1
(𝑉) ⊂ 𝑓
−1
(𝑊).
h) 𝑋 ⊂ 𝑓
−1
(𝑓 (𝑋)).
i) Se 𝑓 é injetora então 𝑋 = 𝑓
−1
(𝑓 (𝑋)).
Para reetir: Hotel de Hilbert
Na exata junção das fronteiras dos estados de SP, RJ e MG, há um hotel diferente de todos
os outros já vistos (e ainda por ver) pelo mundo. Trata-se do Hotel Hilbert, um hotel com
nada mais, nada menos, do que innitos aposentos! Um para cada número natural 0, 1, 2, . . .
(o quarto número 0, na verdade, é ocupado pela gerência do hotel). No último feriado de
carnaval, o hotel estava totalmente ocupado por uma legião de turistas paulistas. Não havia
uma vaga sequer disponível.
Quando a noite do sábado de carnaval já se transformava em madrugada, um solitário tu-
rista carioca, desesperado para fugir dos ares da Sapucaí, procurou por uma vaga no Hotel
Hilbert. Quando se dirigiu ao gerente do hotel, ao contrário do que poderíamos esperar, ou-
viu como resposta: ”Aguarde alguns minutinhos, já já providenciamos um quarto para o
senhor”. Como o gerente solucionou o problema?
Na terça-feira de carnaval, um imenso grupo de turistas mineiros chegou ao Hotel Hilbert.
Quando dizemos ”imenso”, assim é: innitos mineiros chegaram pleiteando (silenciosa e
educadamente, como é costume lá pelas gerais) por acomodações em quartos individuais
para aquela última noite de delírio e festa. Ocorre que nenhum dos hóspedes paulistas - e
tampouco o solitário hóspede carioca - haviam deixado o hotel. O gerente, mais uma vez e
ainda mais satisfeito com a perspectiva de lucro carnavalesco, respondeu gentilmente aos
seus novos clientes: ”Por favor, aguardem somente um punhadinho de minutinhos e logo se-
rão levados aos seus respectivos quartos”. E agora, o que fez o gerente para acomodar tanta
gente?
Ao cair da tarde da quarta-feira de cinzas, com o hotel novamente vazio (à exceção, claro,
do quarto número 0 da gerência), o habilidoso gerente, feliz com seu pé-de-meia recheado,
pensou, perplexo: ”Mas anal, em qual dia houve mais movimento de hóspedes? Qual grupo
de turistas era maior? Será o grupo dos paulistas? Ou o grupo dos paulistas acrescido do
solitário carioca? Provavelmente, deve ser o grupo de todos os turistas, paulistas, carioca
116
Bases Matemáticas
e mineiros. Será?”A essa altura, porém, o cansaço por ter lidado tão brilhantemente com o
innito já tomava conta do pobre (no sentido gurado) gerente e este caiu no sono. Antes
que ele acorde, alguém saberia desvendar seu dilema?
117
7
Funções Reais a Variáveis
Reais
Após apresentarmos o conceito de função dentro do contexto mais geral das relações entre
conjuntos, voltemos nossa atenção ao âmbito que nos interessa especicamente, qual seja,
aquele das funções reais de uma variável real¹. Com tal expressão, entendemos funções do
tipo 𝑓 : 𝐴 → 𝐵, onde 𝐴 e 𝐵 são subconjuntos de R. De agora em diante, salvo menção em
contrário, consideraremos somente funções desse tipo.
Recuperando a ideia de função como variação de uma quantidade em dependência de outra,
é comum adotar os termos variável independente e variável dependente. O primeiro se refere
aos elementos do domínio de uma função, enquanto o segundo se refere às suas imagens. As-
sim, se vale uma relação do tipo 𝑦 = 𝑓 (𝑥), para alguma função 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 entre subconjuntos
𝐴 e 𝐵 de números reais, dizemos que 𝑥 é a variável independente e 𝑦 é a variável dependente.
Em geral, trabalharemos com funções expressas através de relações algébricas, como 𝑓 (𝑥) =
𝑥
2
, 𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 1 etc. Tais expressões são também chamadas de expressão analítica da função
considerada. A rigor, constitui somente uma parte da função (anal, o domínio e o contra-
domínio também compõem o objeto matemático chamado ”função”). Entretanto, é comum
identicar a função com sua expressão analítica. E assim aqui também o faremos, desde que
lembremos, sempre que necessário, do real signicado do conceito ”função”.
Ao identicar uma função com sua expressão analítica, parece que perdemos a visão de fun-
ção como um subconjunto do produto cartesiano entre domínio e contradomínio. Mas tal
ideia é recuperada, em sua essência, através da noção de gráco de uma função:
Denição 7.1 Dados dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 de números reais e dada uma função 𝑓 : 𝐴 → 𝐵, o
¹A contextualização mais ampla que aqui foi feita não deve ser vista como mera nota cultural. Ao contrário,
convém ter sempre em mente esse enfoque sobre as funções, pois permite uma compreensão geralmente mais
satisfatória dos conceitos e questões pertinentes.
119
7 Funções Reais a Variáveis Reais
gráco de 𝑓 , aqui denotado por Graf(𝑓 ), é o conjunto
Graf(𝑓 ) := {(𝑥, 𝑦) ∈ R
2
| 𝑦 = 𝑓 (𝑥)}
o qual também pode ser expresso por
Graf(𝑓 ) = {(𝑥, 𝑓 (𝑥))| 𝑥 ∈ 𝐴}
0
1 2−1
1
𝑥
𝑓 (𝑥)
(𝑥, 𝑓 (𝑥))
𝑓
bb
b
Figura 7.1: Gráco de 𝑓 (𝑥)
Note que o gráco de uma função é um subconjunto do plano cartesiano R
2
. Se observarmos
que Graf(𝑓 ) ⊂ 𝐴×𝐵 ⊂ R
2
, percebemos como o gráco de 𝑓 representa a função 𝑓 novamente
como relação entre conjuntos.
Exemplos 7.2
𝑓 : [−1, 2] → R, 𝑓 (𝑥) = 𝑥
2
0
1 2−1
1
2
3
4
𝑓 (𝑥) = 𝑥
2
𝑥
b
b
b
b
𝑔 : N → N, 𝑔(𝑛) = |𝑛|
120
Bases Matemáticas
0
1 2 3 4 5−1−2−3−4
1
2
3
4
5
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
𝑔(𝑛) = |𝑛|
ℎ : R → R, dada por
ℎ(𝑥) =
−𝑥 se 𝑥 ≤ −1
1 se −1 < 𝑥 ≤ 1
2 − 𝑥 se 𝑥 > 1
0
1 2−1−2−3
−1
1
2
Gráco de ℎ(𝑥)
◁
Uma aplicação simples, mas útil, de grácos é para compararmos duas funções (em um do-
mínio comum). Representando os grácos dessas funções em um mesmo plano cartesiano,
podemos identicar (ao menos gracamente) os pontos do domínio nos quais as funções
são iguais ou uma função supera a outra. Na gura abaixo, o ponto 𝑃 de abscissa 𝑎 é co-
mum aos dois grácos. Assim, as suas coordenadas escrevem-se como (𝑎, 𝑓 (𝑎)), uma vez
que 𝑃 pertence ao gráco de 𝑓 , mas também como (𝑎, 𝑔(𝑎)), pois 𝑃 pertence ao gráco de
𝑔. Daí conclui-se que tanto 𝑓 (𝑎) quanto 𝑔(𝑎) representam a ordenada do ponto 𝑃, ou seja,
𝑓 (𝑎) = 𝑔(𝑎). Por outro lado, se compararmos os pontos 𝑄 e 𝑅, ambos com abscissa 𝑏, perce-
bemos que a ordenada de 𝑅 é maior que a ordenada de 𝑄. Como 𝑄 é um ponto do gráco
de 𝑓 e 𝑅 é um ponto do gráco de 𝑔, concluímos que 𝑓 (𝑏) < 𝑔(𝑏).
121
7 Funções Reais a Variáveis Reais
0
2 4−2
−2
2
4
6
8
𝑃
𝑄
𝑅
𝑓 (𝑥)
𝑔(𝑥)
b
b
b
7.1 Transformações do gráco de uma função
Grácos são muito úteis para se analisar o comportamento e outras propriedades de uma
função. Torna-se interessante, então, obter ferramentas que facilitem o esboço de um gráco.
É com esse intuito que trataremos agora de translações, homotetias, reexões.
7.1.1 Translações
Dada uma função 𝑓 : R → R e dada uma constante 𝑐 ∈ R, denamos duas funções 𝑔, ℎ :
R → R relacionadas com a função 𝑓 da seguinte maneira:
𝑔(𝑥) := 𝑓 (𝑥) + 𝑐 ℎ(𝑥) := 𝑓 (𝑥 + 𝑐)
Qual a relação entre os grácos das funções 𝑔 e ℎ com o da função 𝑓 ? Note-se que para cal-
cular o valor de 𝑔(𝑥), calcula-se o valor de 𝑓 (𝑥) e, após, soma-se a constante 𝑐. Ao contrário,
para se calcular o valor de ℎ(𝑥), soma-se antes a constante 𝑐 (à abscissa 𝑥) e só então calcula-se
o valor da função 𝑓 no ponto 𝑥 + 𝑐. Assim, no primeiro caso, a constante 𝑐 opera na orde-
nada do ponto do gráco da função 𝑓 , enquanto que no segundo caso, a constante 𝑐 opera na
abscissa do ponto do gráco da 𝑓 . Vejamos como essa diferença se reete nos grácos de 𝑔 e ℎ.
Os pontos do gráco da função 𝑔 têm coordenadas dadas por (𝑥, 𝑔(𝑥)), ou seja, (𝑥, 𝑓 (𝑥)+ 𝑐).
Assim, para obter um ponto do gráco de 𝑔, basta tomar o ponto de mesma abscissa do grá-
co de 𝑓 e transladar verticalmente esse ponto por uma distância |𝑐| (para cima, se 𝑐 > 0, para
baixo, se 𝑐 < 0). Conclui-se que o gráco de 𝑔 é obtido a partir do gráco de 𝑓 por uma trans-
lação vertical correspondente a uma distância |𝑐| (para cima, se 𝑐 > 0, para baixo, se 𝑐 < 0).
Já os pontos do gráco da função ℎ têm coordenadas (𝑥, ℎ(𝑥)), i.e. (𝑥, 𝑓 (𝑥 + 𝑐)). Para obter o
ponto do gráco de ℎ correspondente à abscissa 𝑥, basta tomar o ponto de abscissa 𝑥 + 𝑐 do
122
Bases Matemáticas
gráco de 𝑓 e transladar horizontalmente esse ponto por uma distância |𝑐| (para a esquerda, se
𝑐 > 0, para a direita, se 𝑐 < 0). Em outras palavras, o gráco de ℎ é obtido a partir do gráco
de 𝑓 por uma translação horizontal correspondente a uma distância |𝑐| (para a esquerda, se
𝑐 > 0, para a direita, se 𝑐 < 0).
Exemplo 7.3 Seja dada a função 𝑓 : R → R, 𝑓 (𝑥) = 𝑥
3
− 𝑥. Tomemos as funções 𝑔, ℎ : R → R
dadas por
𝑔(𝑥) = 𝑥
3
− 𝑥 + 2 ℎ(𝑥) = 𝑥
3
− 3𝑥
2
+ 2𝑥 = 𝑓 (𝑥 − 1)
Os grácos dessas funções estão representados abaixo:
0
1 2 3−1−2
−1
−2
−3
1
2
3
𝑎
𝑎 −1
ℎ(𝑎) = 𝑓 (𝑎 − 1)
𝑏
𝑓 (𝑏)
𝑔(𝑏) = 𝑓 (𝑏) + 2
𝑓𝑔
ℎ
b
bb b
bb
b
b
b
b
Observação. Em um primeiro momento, pode parecer anti-intuitivo o deslocamento horizon-
tal se dar para a esquerda, quando a constante é positiva, ou para a direita, quando é negativa.
Entretanto, observando com um pouco mais de cuidado, pode-se entender o que está ocor-
rendo. Tomemos uma função ℎ(𝑥) = 𝑓 (𝑥 +𝑐), com 𝑐 > 0. Para marcar no gráco de ℎ o ponto
de abscissa 𝑥, copia-se o ponto do gráco de 𝑓 com abscissa 𝑥 + 𝑐, o qual está mais à direita
de 𝑥. Assim, se o ponto do gráco de 𝑓 está mais á direita do seu correspondente no gráco
de ℎ, este último estará mais à esquerda. Isso explica por que, nesse caso, o gráco de ℎ é
um deslocamento à esquerda. Uma situação análoga ocorre quando 𝑐 < 0, produzindo uma
translação horizontal à direita.
Uma outra observação é importante, dessa vez a respeito dos domínios das funções. Se a
partir de uma função 𝑓 : 𝐴 → R, obtemos uma translação vertical 𝑔(𝑥) = 𝑓 (𝑥)+𝑐, o domínio
de 𝑔 é o mesmo de 𝑓 . Mas se obtemos uma translação horizontal ℎ(𝑥) = 𝑓 (𝑥 + 𝑐), então o
domínio de ℎ deve também ser ”deslocado”, i.e.
Dom ℎ = {𝑥 ∈ R | 𝑥 + 𝑐 ∈ 𝐴}
Exercício. Mostre que vale a relação abaixo:
𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 +
𝑏
2
)
2
+
4𝑐 − 𝑏
2
4
123
7 Funções Reais a Variáveis Reais
e conclua que toda parábola do tipo 𝑦 = 𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 pode ser obtida a partir da parábola
𝑦 = 𝑥
2
através de uma translação horizontal, seguida de uma translação vertical.
7.1.2 Homotetias
Deixemos provisoriamente de lado o plano cartesiano para nos concentrar na reta real. Nesta,
denotemos por 𝑂 a origem e por 𝑈 o ponto correspondente à unidade. Tomemos um ponto
genérico 𝑃 de abscissa 𝑥. Se 𝑐 ∈ R é uma constante positiva xada, onde se encontra o ponto
𝑃
de abscissa 𝑐𝑥? Sem perda de generalidade, suponhamos que 𝑃 esteja do lado direito de
𝑂, ou seja, suponhamos 𝑥 > 0. Tendo em mente que, nesse caso, a abscissa de um ponto
representa a distância ao ponto 𝑂, concluímos que o ponto 𝑃
encontra-se mais à direita de
𝑃, se 𝑐 > 1, ou mais à esquerda, se 0 < 𝑐 < 1 (e também 𝑃
= 𝑃 se 𝑐 = 1, mas esse caso não
apresenta interesse). Além disso, se 𝑄 é um ponto de abscissa 𝑦 > 0 e 𝑄
tem abscissa 𝑐𝑦,
então vale a proporção
𝑃
𝑄
𝑃𝑄
= 𝑐
donde concluímos que: se 𝑐 > 1, os segmentos da reta sofrem uma dilatação; se 0 < 𝑐 < 1,
os segmentos da reta sofrem uma contração. Em ambos os casos, falamos em homotetia
por um fator 𝑐. Pode-se interpretar uma homotetia como sendo uma mudança homogênea
de escala na reta real.
Queremos usar as homotetias nos eixos do plano cartesiano e observar o efeito dessas trans-
formações no gráco de uma função. Sejam dadas então uma função 𝑓 : R → R e uma
constante positiva 𝑐. Denamos as funções 𝑔, ℎ : R → R por
𝑔(𝑥) := 𝑐 𝑓 (𝑥) ℎ(𝑥) := 𝑓 (𝑐𝑥)
O valor da função 𝑔 em 𝑥 é o resultado de uma homotetia por um fator 𝑐 sobre o valor da
função 𝑓 em 𝑥. Em termos dos grácos dessas funções, a ordenada do ponto de abscissa 𝑥
do gráco de 𝑔 é o resultado de uma homotetia por um fator 𝑐 sobre a ordenada do ponto de
abscissa 𝑥 do gráco de 𝑓 . Dizemos, nesse caso, que o gráco de 𝑔 se obtém do gráco de 𝑓
por uma homotetia vertical.
Já com relação à função ℎ, a homotetia é aplicada antes do cálculo do valor de 𝑓 . Em ou-
tras palavras, o valor da função ℎ em 𝑥 é obtido aplicando uma homotetia por um fator 𝑐 à
variável 𝑥 para, em seguida, calcular o valor de 𝑓 no ponto obtido. Em termos dos grácos
dessas funções, o ponto (𝑥, ℎ(𝑥)) do gráco de ℎ é obtido copiando o valor da função 𝑓 no
ponto de abscissa 𝑐𝑥, o qual é resultado de uma homotetia por um fator 𝑐 aplicada a 𝑥. Di-
zemos, nesse caso, que o gráco de ℎ é obtido do gráco de 𝑓 por uma homotetia horizontal.
124
Bases Matemáticas
Exemplo 7.4 Dada 𝑓 : R → R, 𝑓 (𝑥) = 𝑥
3
− 𝑥, dena as funções 𝑔, ℎ : R → R por
𝑔(𝑥) = 2 𝑓 ( 𝑥) = 2𝑥
3
− 2𝑥 ℎ(𝑥) = 𝑓 (2𝑥) = 8𝑥
3
− 2𝑥
Os grácos dessas funções estão representados abaixo:
0
0.5 1.0−0.5−1.0−1.5
−0.5
−1.0
0.5
𝑎
𝑏2𝑏
𝑔(𝑎) = 2 𝑓 (𝑎)
ℎ(𝑏) = 𝑓 (2𝑏)
𝑓
𝑔
ℎ
2 𝑓 (𝑎)
b
b
b
b
b b
b
b
b
b
Observação. Em ambos os casos, é usual adotar os termos dilatação (horizontal ou vertical) ou
contração (horizontal ou vertical). Entretanto, similarmente ao que ocorre com a translação,
as homotetias horizontal e vertical se comportam de modos diferentes. No caso das homo-
tetias verticais, é imediato vericar que o gráco da função 𝑐 𝑓 (𝑥) é uma dilatação (vertical)
do gráco de 𝑓 , se 𝑐 > 1, ou uma contração (vertical) se 0 < 𝑐 < 1. No caso das homotetias
horizontais, ocorre o oposto: o gráco de uma função 𝑓 ( 𝑐𝑥) é uma contração (horizontal) se
𝑐 > 1, ou uma dilatação (horizontal), se 0 < 𝑐 < 1 (verique por exercício).
Exercício. Dada uma função 𝑓 : 𝐴 → R e dada uma constante positiva 𝑐, dena as funções
𝑔(𝑥) = 𝑐 𝑓 (𝑥) e ℎ(𝑥) = 𝑓 (𝑐𝑥). Qual é o domínio das funções 𝑔 e ℎ, se comparados ao domínio
𝐴 de 𝑓 ?
7.1.3 Reexões
As últimas transformações que queremos tratar são as reexões relativas aos eixos coorde-
nados. Dado um ponto 𝑃 de coordenadas (𝑥, 𝑦), dizemos que:
O ponto de coordenadas (𝑥, −𝑦) é o ponto simétrico de 𝑃 relativamente ao eixo 𝑥.
O ponto de coordenadas (−𝑥, 𝑦) é o ponto simétrico de 𝑃 relativamente ao eixo 𝑦.
O ponto de coordenadas (−𝑥, −𝑦) é o ponto simétrico de 𝑃 relativamente à origem 𝑂.
125
7 Funções Reais a Variáveis Reais
A reexão relativa ao eixo 𝑥 é a transformação que leva cada ponto do plano em seu simé-
trico relativamente ao eixo 𝑥. Similarmente, a reexão relativa ao eixo 𝑦 é a transformação
que leva cada ponto do plano em seu simétrico relativamente ao eixo 𝑦. Se aplicarmos uma
das reexões acima, seguida da outra, obtemos uma reexão relativa à origem, ou seja, uma
transformação que leva cada ponto do plano em seu simétrico relativamente à origem.
Qual o efeito das reexões no gráco de uma função? Dada uma função 𝑓 : R → R, tome
um ponto
𝑃
=
(
𝑥, 𝑓
(
𝑥
))
do seu gráco. Então, após uma reexão relativa ao eixo
𝑥
, o ponto
𝑃 é levado ao ponto (𝑥, −𝑓 (𝑥)). Após uma reexão relativa ao eixo 𝑦, o ponto 𝑃 é levado ao
ponto (−𝑥, 𝑓 (𝑥)). Conclui-se que:
Após uma reexão relativa ao eixo 𝑥, o gráco de 𝑓 torna-se o gráco da função 𝑔(𝑥) =
−𝑓 (𝑥).
Após uma reexão relativa ao eixo 𝑦, o gráco de 𝑓 torna-se o gráco da função ℎ(𝑥) =
𝑓 (−𝑥).
Exemplo 7.5 Dada a função 𝑓 (𝑥) = 𝑥
2
− 3𝑥 + 2, dena
𝑔(𝑥) = −𝑓 (𝑥) = −𝑥
2
+ 3𝑥 − 2 ℎ(𝑥) = 𝑓 (−𝑥) = 𝑥
2
+ 3𝑥 + 2
Os grácos dessas funções estão representados abaixo:
0
1 2 3−1−2−3−4
−1
−2
−3
−4
1
2
3
ℎ(𝑏)= 𝑓 (−𝑏)
𝑔(𝑎)=−𝑓 (𝑎)
𝑎
𝑏
−𝑏
𝑓 (𝑎)
𝑓
𝑔
ℎ
bb
b
b
b
b
b
b
b
b
Figura 7.2: Grácos das funções obtidas através de reexões em relação aos eixos coordena-
dos.
126
Bases Matemáticas
Exercício. Dada uma função 𝑓 : 𝐴 → R, dena as funções 𝑔(𝑥) = −𝑓 (𝑥) e ℎ(𝑥) = 𝑓 (−𝑥). Qual
é o domínio das funções 𝑔 e ℎ, se comparados ao domínio 𝐴 de 𝑓 ?
7.2 Gráco da função inversa
Seja 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 uma função bijetora, i.e. uma função inversível. Qual a relação do gráco de
𝑓
−1
com o gráco de 𝑓 ? Se um ponto (𝑥, 𝑦) do plano está no gráco de 𝑓 é porque 𝑦 = 𝑓 (𝑥).
Isso equivale a dizer que 𝑥 = 𝑓
−1
(𝑦). Logo, o ponto (𝑦, 𝑥) está no gráco de 𝑓
−1
. Como os
pontos (𝑥, 𝑦) e (𝑦, 𝑥) são simétricos relativamente à bissetriz do primeiro e terceiro quadran-
tes, concluímos que os grácos de 𝑓 e 𝑓
−1
também são simétricos relativamente à bissetriz do
primeiro e terceiro quadrantes. Em outras palavras, o gráco de uma delas é obtido a partir
do gráco da outra, através de uma reexão em relação à reta 𝑥 = 𝑦.
Exemplo 7.6 A função 𝑓 (𝑥) = 𝑥
3
é injetora e sobrejetora, logo, inversível. O gráco de 𝑓 e o
de 𝑓
−1
estão representados abaixo:
0
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
−1
−2
−3
1
2
3
4
𝑓 (𝑥) = 𝑥
3
𝑓
−1
(𝑥) =
3
√
𝑥
7.3 Simetrias do gráco de uma função
Quando o gráco de uma função apresenta algum tipo de simetria, seu esboço torna-se uma
tarefa mais simples. Para o que nos interessa, estudaremos dois casos de simetria: aquela re-
lativa ao eixo 𝑦 e aquela relativa à origem.
Dizemos que uma gura 𝐹 do plano é simétrica em relação ao eixo 𝑦 se vale a seguinte condi-
ção: para cada ponto 𝑃 da gura, o ponto 𝑃
simétrico de 𝑃 relativamente ao eixo 𝑦 também
pertence à gura. Outro modo de dizer o mesmo é: uma gura 𝐹 é simétrica em relação ao
eixo 𝑦 se, ao fazermos um reexão do plano relativamente ao eixo 𝑦, a gura resta invariada
127
7 Funções Reais a Variáveis Reais
(dizemos, nesse caso, que tal gura é invariante por reexão relativa ao eixo 𝑦).
Dizemos que uma gura 𝐹 do plano é simétrica em relação à origem se vale a seguinte condi-
ção: para cada ponto 𝑃 da gura, o ponto 𝑃
simétrico de 𝑃 relativamente à origem também
pertence à gura. Outro modo de dizer o mesmo é: uma gura 𝐹 é simétrica em relação ao
eixo 𝑦 se, ao fazermos um reexão do plano relativamente à origem, a gura resta invariada
(dizemos, nesse caso, que tal gura é invariante por reexão relativa à origem).
O gráco de uma função 𝑓 , sendo uma gura do plano, pode ser simétrico em relação ao
eixo 𝑦, simétrico em relação à origem ou mesmo não possuir nenhum tipo de simetria. No
primeiro caso, dizemos que a função 𝑓 é par. No segundo, que 𝑓 é ímpar.
Além dessa caracterização geométrica, há uma caracterização analítica das funções pares e
ímpares. Tomemos inicialmente uma função 𝑓 par. Como seu gráco é simétrico em relação
ao eixo 𝑦, então para cada ponto (𝑥, 𝑓 (𝑥)) do gráco de 𝑓 , o ponto de coordenadas (−𝑥, 𝑓 (𝑥))
tem que pertencer também ao gráco (uma vez que (−𝑥, 𝑓 (𝑥)) é o simétrico de (𝑥, 𝑓 (𝑥)) rela-
tivamente ao eixo 𝑦). Mas o ponto do gráco de 𝑓 correspondente ao valor −𝑥 da abscissa é,
por denição de gráco, o ponto de coordenadas (−𝑥, 𝑓 (−𝑥)). Como os pares de coordena-
das (−𝑥, 𝑓 (𝑥))e (−𝑥, −𝑓 (𝑥))representam o mesmo ponto, suas coordenadas devem ser iguais.
Logo, deve valer 𝑓 (−𝑥) = 𝑓 (𝑥), para todo 𝑥 no domínio da 𝑓 . É imediato vericar, reciproca-
mente, que se 𝑓 (−𝑥) = 𝑓 ( 𝑥), para todo 𝑥 no domínio da 𝑓 , então a função 𝑓 é par (faça por
exercício).
Seja agora dada uma função 𝑓 ímpar. Sendo seu gráco simétrico em relação à origem, então
para cada ponto (𝑥, 𝑓 ( 𝑥)) do gráco de 𝑓 , o ponto de coordenadas (−𝑥, −𝑓 (𝑥)) tem que per-
tencer também ao gráco (uma vez que (−𝑥, −𝑓 (𝑥)) é o simétrico de (𝑥, 𝑓 (𝑥)) relativamente à
origem). Mas o ponto do gráco de 𝑓 correspondente ao valor −𝑥 da abscissa é, por denição
de gráco, o ponto de coordenadas (−𝑥, 𝑓 (−𝑥)). Como os pares de coordenadas (−𝑥, −𝑓 (𝑥))
e (−𝑥, −𝑓 (𝑥)) representam o mesmo ponto, suas coordenadas devem ser iguais. Logo, deve
valer 𝑓 (−𝑥) = −𝑓 (𝑥), para todo 𝑥 no domínio da 𝑓 . É imediato vericar, reciprocamente, que
se 𝑓 (−𝑥) = −𝑓 (𝑥), para todo 𝑥 no domínio da 𝑓 , então a função 𝑓 é ímpar (faça por exercício).
Em suma, temos a seguinte caracterização: dada uma função 𝑓 : 𝐴 → 𝐵, então
𝑓 é par se, e somente se 𝑓 (−𝑥) = 𝑓 (𝑥), para todo 𝑥 em 𝐴;
𝑓 é ímpar se, e somente se 𝑓 (−𝑥) = −𝑓 (𝑥), para todo 𝑥 em 𝐴.
Exemplos 7.7
128
Bases Matemáticas
A função 𝑓 (𝑥) = 𝑥
4
− 4𝑥
2
+ 1 é par.
0
1 2−1−2−3
−1
−2
−3
1
2
3
4
f
A função 𝑔(𝑥) = 𝑥
5
− 3𝑥
3
+ 2𝑥 é ímpar.
0
1 2−1−2
−1
−2
−3
−4
−5
1
2
3
4
𝑔
A função ℎ(𝑥) = 𝑥
3
+ 𝑥
2
não é nem par, nem ímpar.
0
1
2
3
4
−
1
−
2
−1
−2
−3
−4
1
2
3
4
ℎ
◁
Exercícios
1. Seria possível considerar grácos simétricos em relação ao eixo 𝑥? Por que?
2. O que se pode dizer do domínio de uma função par ou ímpar?
129
7 Funções Reais a Variáveis Reais
3. Existe uma função que seja simultaneamente par e ímpar? Quantas funções desse tipo
existem?
4. Dadas duas funções 𝑓 : R → R e 𝑔 : R → R, dena as funções:
a) 𝑎(𝑥) := 𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)
b) 𝑏(𝑥) := 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)
Discuta a paridade (isto é, se são pares, ímpares ou não possuem esse tipo de simetria)
das funções 𝑎 e 𝑏 em termos da paridade das funções 𝑓 e 𝑔.
5. Seja 𝑓 uma função par e seja 𝑔 uma função ímpar. Fixada uma constante 𝑘 ∈ R, discuta
a paridade das funções abaixo:
a) 𝑟(𝑥) := 𝑘 𝑓 (𝑥)
b) 𝑠(𝑥) := 𝑘 𝑔(𝑥)
c) 𝑡(𝑥) := 𝑓 (𝑥) + 𝑘
d) 𝑢
(
𝑥
)
:
=
𝑔
(
𝑥
) +
𝑘
e) 𝑣(𝑥) := |𝑓 (𝑥)|
f) 𝑤(𝑥) := |𝑔(𝑥)|
7.3.1 Simetria translacional: funções periódicas
Quando se fala em simetria, é usual associá-la à ideia de reexão. Mas o conceito de simetria
é muito mais abrangente do que isso. Não entraremos no mérito especíco desse conceito
aqui, mas queremos lançar mão de um tipo de simetria que também contribui a facilitar a
tarefa de traçar o esboço de um gráco. Trata-se da simetria translacional: uma gura possui
simetria translacional quando é possível transladá-la em uma certa direção, de modo a fazer
com que essa gura transladada coincida com a gura original.
No caso de grácos de funções, o que nos interessa destacar são as translações horizontais,
i.e. paralelas ao eixo 𝑥. Se, ao transladar horizontalmente o gráco de uma função, por uma
distância positiva 𝑇, obtivermos o mesmo gráco, então a função é dita periódica. Analitica-
mente, tal situação é expressa pela seguinte denição:
Denição 7.8 Uma função 𝑓 : R → R é periódica se existe um número real positivo 𝑟 tal que
𝑓 (𝑥 + 𝑟) = 𝑓 (𝑥) para todo 𝑥 ∈ R.
Se 𝑓 é uma função periódica, faz sentido considerar o conjunto dos números reais positivos
𝑟 para os quais a condição da denição acima é satisfeita. Nesse caso, se 𝑓 não é uma função
130
Bases Matemáticas
constante, então tal conjunto possui um elemento mínimo, i.e. um número real positivo 𝑇 tal
que:
1. 𝑓 (𝑥 +𝑇) = 𝑓 (𝑥) para todo 𝑥 ∈ R.
2. 𝑇 é o menor dos números positivos que satisfazem a condição acima.
O número 𝑇 é chamado de período da função 𝑓 .
Os exemplos clássicos de funções periódicas são as funções trigonométricas. Deixaremos, po-
rém, para tratá-las mais adiante, quando da seção dedicada a essas funções. Por ora, vejamos
o seguinte exemplo: seja 𝑓 : R → R dada por
𝑓 (𝑥) = 𝑥 − ~𝑥
onde ~𝑥 denota a função maior inteiro menor ou igual a 𝑥, i.e.
~𝑥 = max{𝑛 ∈ Z | 𝑛 ≤ 𝑥}.
A função 𝑓 é periódica, pois para todo inteiro 𝑛, resulta
𝑓 (𝑥 + 𝑛) = (𝑥 + 𝑛) − ~𝑥 + 𝑛 = 𝑥 + 𝑛 − (~𝑥 + 𝑛) = 𝑥 − ~𝑥 = 𝑓 (𝑥)
Em particular, 𝑓 tem período 𝑇 = 1. O gráco de 𝑓 está representado abaixo:
0
1 2 3−1−2−3
−1
1
2
𝑓 (𝑥) = 𝑥 − ~𝑥
131
7 Funções Reais a Variáveis Reais
7.4 Exemplos clássicos de funções e seus
grácos - I
Nesta seção, apresentaremos os exemplos mais comuns de funções, a maioria delas usual-
mente desenvolvidas já no ensino médio. Além disso, apesar de não possuir todas as fer-
ramentas adequadas para traçar os grácos dessas funções, apresentaremos seus esboços,
complementando, quando for o caso, com algumas informações e análises.
0
1 2−1−2−3
1
2
𝑓 (𝑥) = 2
Figura 7.3: Gráco da função constante 𝑓 (𝑥) = 2
7.4.1 Funções constantes
São funções do tipo 𝑓 : R → R, dadas por 𝑓 (𝑥) = 𝑐, onde 𝑐 é uma constante arbitrária. O
gráco de uma função constante é uma reta paralela ao eixo 𝑥, uma vez que todos os pontos
do gráco têm coordenadas do tipo (𝑥, 𝑐).
0
1 2 3 4 5−1−2−3
−1
−2
1
2
3
𝑓 (𝑥) = 𝑥
Figura 7.4: Gráco da função identidade 𝑓 (𝑥) = 𝑥
7.4.2 Função Identidade
A função identidade é a função 𝚤 : R → R dada simplesmente por 𝚤(𝑥) = 𝑥. Mais adiante,
quando falarmos em composição de funções, veremos que a função identidade desempenha
132
Bases Matemáticas
o papel do elemento neutro dessa operação.
0
2−2
−2
2
Figura 7.5: Gráco da função identidade 𝑓 (𝑥) = 𝑥
7.4.3 Função módulo
0
1 2 3−1−2−3−4
1
2
3
4
5
𝑓 (𝑥) = |𝑥|
Figura 7.6: Gráco da função módulo 𝑓 (𝑥) = |𝑥|
Por uma lado, a função módulo é a função 𝑓 : R → R dada por 𝑓 (𝑥) = |𝑥|. Pela denição
de módulo, temos que o gráco de |𝑥| coincide com o da função identidade, quando 𝑥 ≥ 0.
Já quando 𝑥 < 0, o gráco de |𝑥| coincide com o gráco da função −𝑥, i.e. com o oposto da
função identidade.
Por outro lado, dada qualquer função 𝑓 : 𝐴 → 𝐵, pode-se considerar a função 𝑔 : 𝐴 → 𝐵
dada por 𝑔(𝑥) = |𝑓 (𝑥)|. O gráco de 𝑔 coincide com o de 𝑓 quando esta é positiva. Já quando
𝑓 é negativa, o gráco de 𝑔 é o seu reexo relativo ao eixo 𝑥. Na gura abaixo, estão repre-
sentados os grácos das funções 𝑓 (𝑥) = 𝑥
4
+ 𝑥
3
− 7𝑥
2
+ 6 e 𝑔(𝑥) = |𝑥
4
+ 𝑥
3
− 7𝑥
2
+ 6|.
133
7 Funções Reais a Variáveis Reais
0
2−2−4
−20
20
𝑥
4
+ 𝑥
3
− 7𝑥
2
+ 6
𝑥
4
+ 𝑥
3
− 7𝑥
2
+ 6
7.4.4 Funções do tipo escada
Considere a função maior inteiro menor ou igual a 𝑥, vista na seção anterior, i.e.
~𝑥 = max{𝑛 ∈ Z | 𝑛 ≤ 𝑥}.
Dado qualquer inteiro 𝑛, temos que ~𝑛 = 𝑛. Além disso, para todo número real 𝑥, com
𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1, tem-se que ~𝑥 = 𝑛. Assim, o gráco de ~𝑥 tem a aparência de uma escada:
00
1 2 3 4 5−1−2−3
−1
−2
−3
1
2
3
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
Gráco de ~𝑥
7.4.5 Funções características
Dado um conjunto 𝐴 ⊂ R xado, dena a função χ
𝐴
: R → R por
χ
𝐴
(𝑥) =
(
1 se 𝑥 ∈ 𝐴
0 se 𝑥 ∉ 𝐴
Tal função é chamada de função característica do conjunto 𝐴, uma vez que cumpre o papel de
dizer quais elementos pertencem a 𝐴, quais não. Note que, para cada subconjunto 𝐴 ⊂ R há
134
Bases Matemáticas
uma função característica diferente. A gura abaixo representa o gráco da função caracte-
rística do conjunto 𝐴 = {−2} ∪ [−1, 1)∪ (1, 2).
0
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
1
2
b
bc b
bc
bc
b
b
bc
Exercício. Determine um conjunto ≠ 𝐴 ⊊ R de modo que a função característica χ
𝐴
seja
periódica.
7.4.6 Funções lineares
São funções do tipo 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥, onde 𝑎 é uma constante. O gráco de uma função linear é uma
reta que passa pela origem. Abaixo, o gráco de 𝑓 (𝑥) = 2𝑥.
0
1 2 3−1−2−3
−
1
−2
1
2
3
4
𝑓 (𝑥) = 2𝑥
Note que também entram nessa categoria a função identidade e a função constante 𝑓 (𝑥) = 0.
7.4.7 Funções ans
Semelhantes às funções lineares, as funções ans são funções do tipo 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, onde
𝑎, 𝑏 são constantes. O gráco de uma função am também é um reta, embora não necessari-
amente passante pela origem. Abaixo, o gráco da função 𝑓 (𝑥) = −2𝑥 + 3.
135
7 Funções Reais a Variáveis Reais
0
1 2 3 4−1−2
−1
1
2
3
4
5
𝑔(𝑥) = −2𝑥 + 3
Note que as funções lineares e as funções constantes são casos particulares de funções ans.
7.4.8 Funções polinomiais
Uma categoria que engloba as funções ans é aquela das funções polinomiais, ou seja, funções
cujo expressão analítica é dada por um polinômio. No caso das funções ans, tal polinômio
é de primeiro grau. As funções polinomiais podem ter qualquer grau. Na gura abaixo, está
representado o gráco da função polinomial 𝑓 (𝑥) = 𝑥
7
+ 𝑥
6
+ 𝑥
5
+ 𝑥
4
+ 𝑥
3
+ 𝑥
2
+ 𝑥 + 1.
0
1 2−1−2
−1
−
2
1
2
3
4
5
As funções polinomiais de grau 1 ou 2 têm grácos conhecidos: retas, no primeiro caso, pará-
bolas no segundo. Já as funções polinomiais de grau maior podem ter grácos razoavelmente
variáveis em suas formas globais. Veja-se, por exemplo, as funções polinomiais abaixo, todas
de quarto grau, e seus grácos:
136
Bases Matemáticas
0
1 2−1−2
−1
−2
1
2
3
𝑥
4
+ 2𝑥
2
𝑥
4
− 2𝑥
2
𝑥
4
− 2𝑥
2
+ 𝑥
Entretanto, para o esboço de grácos de funções polinomiais quaisquer pode ser útil conhe-
cer o comportamento das funções polinomiais em sua forma mais simples, a saber, 𝑓 (𝑥) = 𝑥
𝑛
.
Nas guras abaixo estão representados os grácos das funções 𝑥
𝑛
nos casos em que 𝑛 é par
e em que 𝑛 é ímpar.
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4−0.2−0.4−0.6−0.8−1.0−1.2−1.4
−0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
𝑥
2
𝑥
4
𝑥
6
𝑥
8
137
7 Funções Reais a Variáveis Reais
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2−0.2−0.4−0.6−0.8−1.0−1.2−1.4
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1.0
−1.2
−1.4
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
𝑥
𝑥
3
𝑥
5
𝑥
7
7.4.9 Funções racionais
São funções do tipo
𝑓 (𝑥) =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
onde 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) são polinômios². O domínio de uma função racional depende da eventual
existência de raízes reais do denominador. Assim, na expressão acima, se 𝜁
𝑞
denota o con-
junto das raízes reais de 𝑞(𝑥) (eventualmente, esse conjunto pode ser vazio), então
Dom 𝑓 = R\ 𝜁
𝑞
.
Alguns exemplos de funções racionais são
𝑥
2
− 𝑥 + 3
𝑥
4
+ 𝑥
3
− 2𝑥 − 1
,
3
𝑥
2
,
5𝑥
5
− 3𝑥
3
+ 𝑥
𝑥
4
O gráco de uma função racional pode variar muito em sua forma global. Entretanto, um
comportamento bastante recorrente das funções racionais pode ser observado no exemplo
abaixo:
²Se o grau de 𝑞(𝑥) é zero, então a função 𝑓 é, na verdade, uma função polinomial. Os casos mais interessantes,
portanto, se dão quando 𝑞(𝑥) tem grau positivo.
138
Bases Matemáticas
0
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
−1
−2
−3
−4
−5
1
2
3
4
5
Gráco da função 1/𝑥
O gráco acima é uma hipérbole equilátera com centro na origem e assíntotas nos eixos coor-
denados. Mas o que é importante destacar é o comportamento do gráco de 1/𝑥 para valores
da abscissa próximos a 𝑥 = 0, assim como para valores ”muito grandes” ou ”muito peque-
nos” de 𝑥. O que queremos dizer com isso?
Por enquanto, faremos uma análise somente intuitiva, deixando o formalismo para a seção
que trataremos de limites de funções. Observando o gráco de 1/𝑥, percebe-se que este se
aproxima do eixo 𝑦 conforme o valor da abscissa se aproxima de 0. Aproximando-se de 0
pela direita (isto é, com valores positivos de 𝑥), o valor da função tende a crescer indenida-
mente. Aproximando-se pela esquerda (isto é, com valores negativos de 𝑥), o valor da função
tende a decrescer ilimitadamente. Por outro lado, percebe-se também que quando 𝑥 cresce
indenidamente, o valor da função tende a se aproximar de 0, por valores positivos. Similar-
mente, quando 𝑥 decresce indenidamente, o valor da função também tende a se aproximar
de 0, dessa vez por valores negativos.
Os comportamentos descritos acima, chamados de assintóticos, são comuns em funções raci-
onais. Retas verticais que ”aproximam” o gráco de uma função são chamadas de assíntotas
verticais (como a reta 𝑥 = 0 no exemplo anterior). Retas horizontais que ”aproximam”o grá-
co de uma função são chamadas de assíntotas horizontais (como a reta 𝑦 = 0 no exemplo
acima). Eventualmente, podem existir também assíntotas oblíquas (i.e. nem verticais, nem
horizontais).
Exemplos 7.9
𝑓 (𝑥) =
𝑥
𝑥+1
139
7 Funções Reais a Variáveis Reais
0
1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6
−1
−2
−3
1
2
3
4
5
6
7
𝑓 (𝑥) =
𝑥
𝑥 + 1
𝑓 (𝑥) =
1
𝑥
2
0
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
𝑓 (𝑥) =
1
𝑥
2
𝑓 (𝑥) =
𝑥
2
+1
𝑥
2
−1
0
2 4 6−2−4−6
−2
−4
2
4
𝑓 (𝑥) =
𝑥
2
+1
𝑥
2
−1
𝑓 (𝑥) =
𝑥
3
−1
𝑥
3
+1
140
Bases Matemáticas
0
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6−7
−1
−2
−3
1
2
3
4
5
𝑓 (𝑥) =
𝑥
3
−1
𝑥
3
+1
𝑓 (𝑥) =
𝑥
2
−1
𝑥
4
+1
0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5−0.5−1.0−1.5−2.0−2.5−3.0−3.5
−0.5
−1.0
0.5
1.0
1.5
𝑓 (𝑥) =
𝑥
2
−1
𝑥
4
+1
◁
141
7 Funções Reais a Variáveis Reais
7.5 Funções monótonas
Antes de continuarmos a ver exemplos clássicos de funções, dediquemos nossa atenção ao
comportamento de uma função no que concerne ao seu crescimento e/ou decrescimento, isto
é, o estudo do (de)crescimento da variável dependente, conforme cresce a variável indepen-
dente. Temos as seguintes denições:
Denição 7.10 Dada uma função 𝑓 e dado um subconjunto 𝐴 ⊂ Dom 𝑓 , dizemos que:
𝑓 é crescente em 𝐴 se, para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 com 𝑎 < 𝑏, resulta 𝑓 (𝑎) < 𝑓 (𝑏).
𝑓 é não-decrescente em 𝐴 se, para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 com 𝑎 < 𝑏, resulta 𝑓 (𝑎) ≤ 𝑓 (𝑏).
𝑓 é decrescente em 𝐴 se, para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 com 𝑎 < 𝑏, resulta 𝑓 (𝑎) > 𝑓 (𝑏).
𝑓 é não-crescente em 𝐴 se, para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 com 𝑎 < 𝑏, resulta 𝑓 (𝑎) ≥ 𝑓 (𝑏).
Em qualquer um dos casos acima, dizemos que a função é monótona³. Em particular, quando
a função é crescente ou decrescente, dizemos que é estritamente monótona.
Exemplos 7.11
A função identidade é crescente em R.
A função 𝑥
2
é decrescente em R
−
e crescente em R
+
.
A função ~𝑥 é não-decrescente em R. A mesma função é crescente em Z.
◁
Exercício. Determine os intervalos nos quais a função 𝑓 (𝑥) =
𝑥
𝑥+1
é monótona, dizendo o tipo
de monotonia. É possível dizer que 𝑓 é monótona em todo o seu domínio?
Exercício. Mostre que uma função estritamente monótona é injetora.
³É também usual na literatura o termo monotônica.
142
Bases Matemáticas
7.6 Exemplos clássicos de funções e seus
grácos - II
7.6.1 Funções exponenciais
Fixado um número real positivo 𝑎, sabemos o signicado da expressão 𝑎
𝑥
quando 𝑥 é um
número real qualquer. Para isso, partimos da idéia de potência inteira e, com a ajuda do
conceito de supremo, estendemos a operação de potência para expoentes racionais e, em
seguida, expoentes reais. Assim, faz sentido estudar a variação da expressão 𝑎
𝑥
em termos
do expoente.
Denição 7.12 Fixado 𝑎 ∈ R, com 0 < 𝑎 ≠ 1, a função exponencial de base 𝑎 é a função
𝑓 (𝑥) = 𝑎
𝑥
.
Das propriedades vistas para a operação de exponenciação, sabemos que 𝑎
𝑥
> 0 para todo
𝑥 ∈ R. Além disso, pode-se mostrar que todo número real positivo 𝑦 pode ser escrito como
𝑎
𝑥
, para algum 𝑥 ∈ R. Logo, o conjunto imagem da exponencial (em qualquer base) é (0, +∞).
Ainda pelas propriedades da exponenciação, sabemos que:
Se 𝑎 > 1, então para todo 𝑥
< 𝑥
, resulta 𝑎
𝑥
< 𝑎
𝑥
.
Se 0 < 𝑎 < 1, então para todo 𝑥
< 𝑥
, resulta 𝑎
𝑥
> 𝑎
𝑥
.
Desse modo, a função exponencial de base 𝑎 é crescente, se 𝑎 > 1, e decrescente, se 0 < 𝑎 < 1.
Os grácos das funções exponencias têm sempre a forma apresentada abaixo:
0
1 2 3 4−1−2−3−4
1
2
3
4
5
𝑓 (𝑥) = 2
𝑥
143
7 Funções Reais a Variáveis Reais
0
1 2 3 4−1−2−3−4
1
2
3
4
5
𝑓 (𝑥) = (
1
2
)
𝑥
Note que em ambos os casos, o eixo 𝑥 cumpre o papel de assíntota horizontal do gráco de 𝑎
𝑥
.
Exercício. Fixada uma constante 𝑎 (com 0 < 𝑎 ≠ 1), compare os grácos de 𝑎
𝑥
e 𝑎
−𝑥
.
7.6.2 Funções logarítmicas
Fixada uma base 𝑎, vimos acima que a função exponencial de base 𝑎 é estritamente monótona.
Logo, é injetora. Assim, a função 𝑎
𝑥
: R → (0, +∞) é bijetora e podemos falar em sua inversa.
Denição 7.13 Fixado 𝑎 ∈ R, com 0 < 𝑎 ≠ 1, a função logarítmica de base 𝑎 é a função
log
𝑎
: (0, +∞) → R dada pela regra
log
𝑎
𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑎
𝑦
= 𝑥
O gráco da função log
𝑎
é obtido a partir do gráco da exponencial de base 𝑎, através da
reexão relativa à reta 𝑥 = 𝑦. Dependendo do valor da base, obtemos os dois grácos típicos
abaixo:
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2
−1
−2
−3
1
2
3
4
5
𝑓 (𝑥) = log
2
𝑥
144
Bases Matemáticas
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1−2
−1
−2
−3
1
2
3
4
5
6
𝑓 (𝑥) = log
1/2
𝑥
Em particular, nota-se que
log
𝑎
é uma função crescente, quando
𝑎
>
1
, e decrescente, quando
0 < 𝑎 ≠ 1. Tem-se também que log
𝑎
1 = 0. Isso signica que, quando 𝑎 > 1, a função log
𝑎
é
negativa em (0, 1) e positiva em (1, +∞). Quando 0 < 𝑎 ≠ 1, a função log
𝑎
é positiva em (0, 1)
e negativa em (1, +∞).
Relacionadas às propriedades da exponenciação, temos as seguintes propriedades dos loga-
ritmos:
1. 𝑎
log
𝑎
𝑥
= 𝑥
2. log
𝑎
𝑥
𝑦
= 𝑦 log
𝑎
𝑥
3. log
𝑎
𝑥𝑦
=
log
𝑎
𝑥
+
log
𝑎
𝑦
4. log
𝑎
𝑥
𝑦
= log
𝑎
𝑥 − log
𝑎
𝑦
7.6.3 Funções trigonométricas
Para falar em funções trigonométricas, precisamos, antes, relacionar os números reais com
medidas de ângulos. Ângulos são objetos geométricos denidos a partir de semi-retas com
origem comum. Para associar a cada número real um ângulo geométrico, comecemos to-
mando, no plano cartesiano, a circunferência de raio 1 centrada na origem. Se tomarmos um
ângulo 𝛼 com vértice na origem e uma das semi-retas coincidindo com o semi-eixo positivo
das abscissas, a outra semi-reta encontrará a circunferência em um ponto 𝑃 (veja Figura ???
0
P
𝛼
b
b
b
1−1
−1
1
Se 𝐴 denota o ponto de encontro da circunferência com o
semi-eixo positivo das abscissas, então o ângulo 𝛼 deter-
mina o arco 𝐴𝑃 na circunferência (descrito, a partir de 𝐴,
no sentido anti-horário). O comprimento desse arco nos dá
a medida em radianos do ângulo 𝛼. Como o comprimento
145
7 Funções Reais a Variáveis Reais
da circunferência unitária é 2𝜋, esse procedimento esta-
belece uma relação entre ângulos geométricos e números
reais do intervalo [0, 2𝜋). Reciprocamente, para cada nú-
mero real 𝑥 ∈ [0, 2𝜋), se tomarmos, a partir do ponto 𝐴 e
seguindo no sentido anti-horário, o ponto 𝑃 que determina
um arco de comprimento 𝑥, a semi-reta 𝑂𝑃 forma, com o semi-eixo positivo das abscissas,
um ângulo geométrico de comprimento 𝑥 radianos. Assim, a relação entre ângulos e núme-
ros do intervalo
[
0
,
2
𝜋
)
é bijetora. Queremos estender essa relação a todos os números reais
(evidentemente de maneira não bijetora), associando a cada um deles um ângulo geométrico
ou, o que dá no mesmo (na interpretação acima), um ponto da circunferência unitária. Para
isso, basta permitir que o ponto 𝑃 ”dê voltas”na circunferência. O que signica isso?
Inicialmente, tomemos números reais não-negativos. Dado 𝑥 ∈ R
+
, seja 𝑘 ∈ Z tal que 𝑥−2𝑘𝜋 ∈
[0, 2𝜋) (note que sempre existirá tal inteiro 𝑘). O número 𝑥
= 𝑥 − 2𝑘𝜋 determina um ponto
𝑃 na circunferência unitária, pelo procedimento descrito acima⁴. Por extensão, associamos
a 𝑥 o mesmo ponto 𝑃 da circunferência. Desse modo, podemos interpretar 𝑥 como sendo a
medida do arco que percorremos a partir de 𝐴, dando 𝑘 voltas na circunferência, e seguindo
até 𝑃.
Para o caso dos números negativos, na verdade, pode-se seguir exatamente o mesmo proce-
dimento do parágrafo anterior: dado 𝑥 < 0, tomar 𝑘 ∈ Z de modo que 𝑥
:= 𝑥 −2𝑘𝜋 ∈ [0, 2𝜋)
e associar a 𝑥 o mesmo ponto 𝑃 associado a 𝑥
. A diferença com o caso anterior está na inter-
pretação: se 𝑥 < 0, então |𝑥| é a medida do arco que percorremos a partir de 𝐴, em sentido
horário, dando (𝑘 − 1) voltas na circunferência, e seguindo até 𝑃.
Uma vez estabelecida a relação entre números reais e ângulos geométricos, queremos esten-
der as noções de seno e cosseno, já conhecidas quando aplicadas a ângulos, para números
reais. A idéia é simples, baseada na seguinte observação (fácil de ser vericada): se um ponto
𝑃 da circunferência unitária tem coordenadas (𝑎, 𝑏), então o ângulo 𝛼 associado ao ponto 𝑃
é tal que sen 𝛼 = 𝑏 e cos 𝛼 = 𝑎.
Denição 7.14 Dado um número real 𝑥, seja 𝑃 = (𝑎, 𝑏) o ponto da circunferência unitária
associado a 𝑥. Denimos então as funções sen : R → R e cos : R → R por:
sen 𝑥 = 𝑏 e cos 𝑥 = 𝑎
Lembrando que a equação da circunferência unitária é 𝑥
2
+𝑦
2
= 1 e observando que para todo
⁴O número real 𝑥
é chamado de determinação principal de 𝑥.
146
Bases Matemáticas
número real 𝑥 o ponto de coordenadas (cos 𝑥, sen 𝑥)está na circunferência unitária, reobtemos
a relação fundamental
sen
2
𝑥 + cos
2
𝑥 = 1, ∀ 𝑥 ∈ R.
Outras propriedades das funções seno e cosseno são apresentadas abaixo, sem demonstração:
1. Im sen = [−1, 1]
2. Im cos = [−1, 1]
3. sen(𝑥 + 2𝑘𝜋) = sen 𝑥, para todo 𝑥 ∈ R, para todo 𝑘 ∈ Z
4. cos(𝑥 + 2𝑘𝜋) = sen 𝑥, para todo 𝑥 ∈ R, para todo 𝑘 ∈ Z
5. sen(−𝑥) = −sen(𝑥), para todo 𝑥 ∈ R
6. cos(−𝑥) = cos(𝑥), para todo 𝑥 ∈ R
7. sen(𝑥 ± 𝑦) = sen 𝑥 cos 𝑦 ± sen 𝑦 cos 𝑥, para todo 𝑥, 𝑦 ∈ R
8. cos(𝑥 ± 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 ∓ sen 𝑥 sen 𝑦, para todo 𝑥, 𝑦 ∈ R
Das duas últimas propriedades acima, temos que
cos 𝑥 = sen(𝑥 +
𝜋
2
)
e
sen 𝑥 = cos(𝑥 −
𝜋
2
)
Disso segue que o gráco da função cosseno pode ser obtido a partir do gráco da função
seno, através de uma translação horizontal para a esquerda (por uma distância 𝜋/2) ou, o
que dá no mesmo, que o gráco da função seno é obtido a partir daquele do cosseno por
uma translação à direita (por uma distância 𝜋/2). Também observamos que a função seno é
ímpar, enquanto a função cosseno é par.
Ainda das propriedades acima, concluímos que as funções seno e cosseno são periódicas de
período 2𝜋 (veja exercício abaixo). Assim, para traçar os grácos dessas funções, basta estudar
um intervalo de medida 2𝜋, por exemplo, o intervalo [0, 2𝜋]. Nesse intervalo, temos:
A função sen 𝑥 é crescente em [0, 𝜋/2] e em [3𝜋/2, 2𝜋] e é decrescente em [𝜋/2, 3𝜋/2].
A função cos 𝑥 é decrescente em [0, 𝜋] e é crescente em [𝜋, 2𝜋].
Os grácos das funções seno e cosseno são apresentados abaixo:
147
7 Funções Reais a Variáveis Reais
0
1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5
−1
1
2
𝑓 (𝑥) = sen 𝑥
𝜋
𝜋
2
3𝜋
2
2𝜋
5𝜋
2
−
𝜋
2
−𝜋
−
3𝜋
2
b b b
b b
bbb b
0
1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5
−1
1
2
𝑓 (𝑥) = cos 𝑥
𝜋
𝜋
2
3𝜋
2
2𝜋
5𝜋
2
−
𝜋
2
−𝜋
−
3𝜋
2
b b b
b b
bbb b b
Exercício.
1. Usando a propriedade 7 acima, mostre que se 𝑎 ∈ R é uma constante para a qual vale
sen(𝑥 + 𝑎) = sen 𝑥 ∀ 𝑥 ∈ R
então 𝑎 é um múltiplo inteiro de 2𝜋. Conclua, que a função seno é periódica de período
2𝜋.
2. Seria possível chegar a essa conclusão a partir da propriedade 3 acima, somente?
3. Usando a relação entre os grácos de seno e cosseno, conclua que a função cosseno
também é periódica de período 2𝜋.
As funções tangente e secante
A partir das funções seno e cosseno, denimos as funções
Tangente: tan 𝑥 :=
sen 𝑥
cos 𝑥
Secante: sec 𝑥 :=
1
cos 𝑥
Ambas as funções estão denidas no domínio R\{
𝜋
2
+ 𝑘 𝜋 | 𝑘 ∈ Z}. A função secante tem a
mesma periodicidade da função cosseno, mas a tangente tem período 𝜋, uma vez que
tan(𝑥 + 𝜋) =
sen(𝑥 + 𝜋)
cos(𝑥 + 𝜋)
=
−sen 𝑥
−cos 𝑥
=
sen 𝑥
cos 𝑥
= tan 𝑥
148
Bases Matemáticas
A função secante, assim como a função cosseno, é par. Já a função tangente, sendo quociente
de uma função ímpar e uma par, é uma função ímpar. Com relação à monotonia, a fun-
ção secante tem o mesmo comportamento da função cosseno (verique por exercício). Para
estudar o comportamento da função tangente, é suciente tomar um intervalo de medida
𝜋, por exemplo, o intervalo (−𝜋/2, 𝜋/2). Dados 𝑥, 𝑦 ∈ (−𝜋/2, 𝜋/2), com 𝑥 < 𝑦, temos que
0 < 𝑦 − 𝑥 < 𝜋, logo
sen(𝑦 − 𝑥) > 0
Temos então que
sen 𝑦 cos 𝑥 − sen 𝑥 cos 𝑦 > 0
ou
sen 𝑦 cos 𝑥 > sen 𝑥 cos 𝑦
Como a função cosseno é positiva em tal intervalo, obtemos
sen 𝑥
cos 𝑥
<
sen 𝑦
cos 𝑦
então que a função tangente é crescente no intervalo (−𝜋/2, 𝜋/2).
Os grácos das funções tangente e secante estão representados abaixo:
0
1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5
−1
−2
−3
−
4
1
2
3
4
5
𝜋
2
3𝜋
2
5𝜋
2
−
𝜋
2
−
3𝜋
2
𝑓 (𝑥) = tan 𝑥
0
1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5
−1
−2
1
2
3
4
5
6
𝜋
2
3𝜋
2
5𝜋
2
−
𝜋
2
−
3𝜋
2
𝑓 (𝑥) = sec 𝑥
149
7 Funções Reais a Variáveis Reais
Dentre as propriedades da tangente e da secante, destacamos a seguinte identidade trigono-
métrica, consequência direta da relação fundamental entre seno e cosseno:
tan
2
𝑥 + 1 = sec
2
𝑥
As funções cotangente e cossecante
A partir das funções seno e cosseno, denimos as funções
Cotangente: cotg 𝑥 :=
cos 𝑥
sen 𝑥
Cossecante: cossec 𝑥 :=
1
sen 𝑥
Ambas as funções estão denidas no domínio R\{𝑘𝜋 | 𝑘 ∈ Z}. A função cossecante tem a
mesma periodicidade da função seno, mas a cotangente tem período 𝜋 (verique por exercí-
cio).
Deixamos como exercício o estudo da paridade e da monotonia dessas funções. Limitamo-
nos, aqui, a apresentar os seus grácos:
0
1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7
−1
−2
−3
1
2
3
4
𝜋
2𝜋
−𝜋
−2𝜋
𝑓 (𝑥) = cotg 𝑥
0
1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7
−1
−2
1
2
3
4
𝜋
2𝜋
−𝜋
−2𝜋
𝑓 (𝑥) = cossec 𝑥
150
Bases Matemáticas
De modo semelhante ao caso da tangente e da secante, vale a seguinte identidade trigono-
métrica:
cotg
2
𝑥 + 1 = cossec
2
𝑥
7.6.4 Funções trigonométricas inversas
As funções trigonométricas denidas acima não são bijetoras em seus domínios. Entretanto,
é possível falar em suas inversas, desde que tomemos domínios restritos. Apresentamos
abaixo, sem maiores detalhes, as funções trigonométricas restritas a domínios nos quais são
bijetoras e as respectivas funções inversas. Acompanham os respectivos grácos.
Função arco seno
A função sen : [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] → [−1, 1] tem por inversa a função
arcsen : [−1, 1] → [−
𝜋
2
,
𝜋
2
]
arcsen 𝑦 = 𝑥 ⇔ sen 𝑥 = 𝑦
0
1−1
−1
1
2
𝑓 (𝑥) = arcsen 𝑥
𝜋
2
−
𝜋
2
Função arco cosseno
A função cos : [0, 𝜋] → [−1, 1] tem por inversa a função
arccos : [−1, 1] → [0, 𝜋]
arccos 𝑦 = 𝑥 ⇔ cos 𝑥 = 𝑦
151
7 Funções Reais a Variáveis Reais
0
1−1
1
2
3
𝑓 (𝑥) = arccos 𝑥
Função arco tangente
A função tan : (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) → R tem por inversa a função
arctan : R → (−
𝜋
2
,
𝜋
2
)
arctan 𝑦 = 𝑥 ⇔ tan 𝑥 = 𝑦
0
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
−1
−2
1
2
𝜋
2
−
𝜋
2
𝑓 (𝑥) = arctan 𝑥
Função arco cotangente
A função cotg : (0, 𝜋) → R tem por inversa a função
arccotg : R → (0, 𝜋)
arccotg 𝑦 = 𝑥 ⇔ cotg 𝑥 = 𝑦
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5−6−7−8−9
1
2
3
𝑓 (𝑥) = arccotg 𝑥
152
Bases Matemáticas
Função arco secante
A função sec : [0,
𝜋
2
) ∪ (
𝜋
2
, 𝜋] → (−∞, −1] ∪ [1, ∞) tem por inversa a função
arcsec : (−∞, −1] ∪[1, ∞) → [0,
𝜋
2
) ∪ (
𝜋
2
, 𝜋]
arcsec 𝑦 = 𝑥 ⇔ sec 𝑥 = 𝑦
0
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
1
2
3
𝑓 (𝑥) = arcsec 𝑥
𝑦 = 𝜋
𝑦 =
𝜋
2
Função arco cossecante
A função cossec : [−
𝜋
2
, 0) ∪ (0,
𝜋
2
] → (−∞, −1] ∪[1, ∞) tem por inversa a função
arccossec : (−∞, −1] ∪[1, ∞) → [−
𝜋
2
, 0) ∪ (0,
𝜋
2
]
arccossec 𝑦 = 𝑥 ⇔ cossec 𝑥 = 𝑦
0
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6
−1
−2
1
2
𝑦
=
𝜋
2
𝑦
=
−
𝜋
2
𝑓 (𝑥) = arccossec 𝑥
ℎ
Exercício. Mostre que valem as seguintes propriedades:
1. arcsec 𝑥 = arccos
1
𝑥
2. arccossec 𝑥 = arcsen
1
𝑥
3. arccotg 𝑥 = arctan
1
𝑥
, para todo 𝑥 > 0
4. arccotg 𝑥 = 𝜋 + arctan
1
𝑥
, para todo 𝑥 < 0
153
7 Funções Reais a Variáveis Reais
5. cos(arcsen 𝑥) =
√
1 − 𝑥
2
6. sen(arccos 𝑥) =
√
1 − 𝑥
2
7. sec(arctan 𝑥) =
√
1 + 𝑥
2
7.7 Operações com funções
O formalismo que apresentaremos a seguir tem muitos propósitos, mas para nosso escopo,
um deles é preponderante: obter um modo de expressar uma dada função em termos de
funções mais elementares (em algum sentido), de modo a estudar propriedades da função
original a partir das mesmas propriedades nas funções elementares que a compõem.
Sejam dadas duas funções reais a uma variável real 𝑓 e 𝑔. Denimos as funções:
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) := 𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) := 𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)
(𝑓 𝑔)(𝑥) := 𝑓 (𝑥) 𝑔(𝑥)
(
𝑓
𝑔
)(𝑥) :=
𝑓 (𝑥)
𝑔(𝑥)
Os domínios das funções acima dependem, evidentemente, dos domínios das funções 𝑓 e 𝑔,
mas podem depender também da operação envolvida. De fato, a função 𝑓 /𝑔 denida acima
só faz sentido se o quociente 𝑓 (𝑥)/𝑔(𝑥)também zer sentido, o que só ocorre quando 𝑔(𝑥) ≠ 0.
Temos, então:
Dom(𝑓 + 𝑔) = Dom 𝑓 ∩Dom 𝑔
Dom(𝑓 − 𝑔) = Dom 𝑓 ∩Dom 𝑔
Dom(𝑓 𝑔) = Dom 𝑓 ∩ Dom 𝑔
Dom(
𝑓
𝑔
) = (Dom 𝑓 ∩ Dom
∗
𝑔), onde Dom
∗
𝑔 = {𝑥 ∈ Dom 𝑔 | 𝑔(𝑥) ≠ 0}
Exemplo. Toda função polinomial pode ser obtida a partir da função identidade 𝚤(𝑥) = 𝑥 e
das funções constantes 𝑓 (𝑥) = 𝑐, através de operações como aquelas acima. De fato, usando
produto de funções com a função 𝚤, obtemos todas as funções do tipo 𝑓 ( 𝑥) = 𝑥
𝑛
. Novamente
usando o produto de funções entre as funções constantes e as funções do tipo 𝑥
𝑛
, obtemos
todos os possíveis monômios. Por m, usando a soma de funções com os monômios, obte-
mos toda e qualquer função polinomial. Assim, todas as propriedades que valem para as
funções constantes e para a função identidade, e que são preservadas pelas operações acima
descritas, valerão automaticamente para todas as funções polinomiais. Um exemplo típico,
154
Bases Matemáticas
é a continuidade, conceito que veremos mais adiante e de fundamental importância para o
cálculo.
Exercício. Determinar condições sobre os domínios de 𝑓 e 𝑔 de modo a poder denir a função
(𝑓
𝑔
)(𝑥) := 𝑓 (𝑥)
𝑔(𝑥)
Função composta
Dentre as operações entre funções, uma das mais importantes é, sem dúvida, a composição.
Dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, denimos as funções compostas 𝑓 ◦ 𝑔 e 𝑔 ◦ 𝑓 por
(𝑓 ◦ 𝑔)(𝑥) := 𝑓
(
𝑔(𝑥)
)
e (𝑔 ◦ 𝑓 )(𝑥) := 𝑔
(
𝑓 (𝑥)
)
Em outras palavras, para calcular o valor da função 𝑓 ◦𝑔 em um ponto 𝑥 do domínio, deve-se
calcular o valor 𝑔(𝑥) e, após, calcular o valor de 𝑓 correspondente ao valor 𝑔(𝑥) da variável.
Procedimento semelhante deve ser feito para a composta 𝑔 ◦ 𝑓 .
A
B
C
x
f(x)
f(g(x))
g(x)
f(x)
f(g(x))
Figura 7.7: Função Composta
Exemplo. Seja 𝑓 (𝑥) = 2
𝑥
e 𝑔(𝑥) = sen 𝑥. Então
(𝑓 ◦ 𝑔)(𝑥) = 2
sen 𝑥
Note que, para calcular o valor de 𝑓 ◦ 𝑔 em 𝑥 = 𝜋, devemos antes calcular 𝑔(𝜋), i.e sen 𝜋, o
que retorna o valor 0. Em seguida, calculamos 𝑓 em 𝑥 = 𝑔(𝜋), i.e. em 𝑥 = 0, obtendo 2
0
= 1.
O domínio de uma função composta também depende do domínio das funções envolvidas.
Para determinar o domínio de 𝑓 ◦ 𝑔, devemos ter em mente o procedimento acima descrito,
ou seja, que o cálculo de (𝑓 ◦ 𝑔)(𝑥) se faz em duas etapas: (i) cálculo de 𝑔(𝑥); (ii) cálculo de
𝑓 (𝑔(𝑥)). Temos então que:
Para efetuar a primeira etapa, deve valer 𝑥 ∈ Dom 𝑔.
Para a segunda etapa, deve valer 𝑔(𝑥) ∈ Dom 𝑓 .
155
7 Funções Reais a Variáveis Reais
Assim, obtemos que
Dom(𝑓 ◦ 𝑔) = {𝑥 ∈ Dom 𝑔 | 𝑔(𝑥) ∈ Dom 𝑓 }
Exemplos 7.15
Se 𝑓 (𝑥) =
√
𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑥
2
, então Dom 𝑓 = R
+
, Dom 𝑔 = R e:
Dom(𝑓 ◦ 𝑔) = R e (𝑓 ◦ 𝑔)(𝑥) = |𝑥|
Dom(𝑔 ◦ 𝑓 ) = R
+
e (𝑔 ◦ 𝑓 )(𝑥) = 𝑥
Se 𝑓 (𝑥) = 1/𝑥 e 𝑔(𝑥) =
√
1 − 𝑥, então Dom 𝑓 = R
∗
, Dom 𝑔 = (−∞, 1] e:
Dom(𝑓 ◦ 𝑔) = (−∞, 1) e (𝑓 ◦ 𝑔)(𝑥) =
1
√
1−𝑥
Dom(𝑔 ◦ 𝑓 ) = (−∞, 0) ∪[1, +∞) e (𝑔 ◦ 𝑓 )(𝑥) =
q
1−𝑥
𝑥
◁
Exercícios
Ex. 7.1 — Dadas as funções 𝑓 (𝑥) = sen 𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝜋~𝑥, determine os domínios e as imagens
das funções compostas 𝑓 ◦ 𝑔 e 𝑔 ◦ 𝑓 .
Ex. 7.2 — Denotando por 𝚤 a função identidade, mostre que para toda função 𝑓 vale que:
a) 𝚤 ◦ 𝑓 = 𝑓 e 𝑓 ◦𝚤 = 𝑓
b) Se 𝑓 é inversível, então 𝑓 ◦ 𝑓
−1
= 𝚤 e 𝑓
−1
◦ 𝑓 = 𝚤
Em tempo, isso signica que a função identidade cumpre o papel de elemento neutro
da operação de composição de funções.
Ex. 7.3 — Para as funções abaixo encontre 𝑓 (𝑥 +2), 𝑓 (−𝑥), 𝑓 (𝑥 + ℎ) e
𝑓 (𝑥+ℎ)−𝑓 (𝑥)
ℎ
, sendo ℎ ≠ 0:
a) 𝑥
b) 3𝑥 + 4
c) 𝑥
2
d) 5𝑥
2
+ 1
e) 𝑥
2
− 𝑥
f) 𝑥
3
+ 𝑥
2
Ex. 7.4 —
a) Como o gráco de 𝑓 (|𝑥|) está relacionado como o gráco de 𝑓 (𝑥)?
156
Bases Matemáticas
b) Esboce o gráco de |𝑥|
3
.
c) Esboce o gráco de −|𝑥|
5
.
d) Esboce o gráco de sen(|𝑥|)
e) Esboce o gráco de cos(|𝑥|)
Ex. 7.5 — Encontre uma expressão para a função cujo gráco é a curva abaixo:
0
1 2 3 4 5 6 7−1−2−3
−1
1
2
3
4
b
𝐵
b
𝐷
b
𝐸
b
𝐴
Ex. 7.6 — Para cada par de funções 𝑓 : 𝐴 ⊂ R → R e 𝑔 : 𝐵 ⊂ R → R abaixo, determine os
domínios máximo de denição de 𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥),(𝑓 + 𝑔)(𝑥), 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥),
𝑓 (𝑥)
𝑔(𝑥)
, (𝑓
◦
𝑔)(𝑥) e (𝑔
◦
𝑓 )(𝑥) e
nalmente as expressões para (𝑓
◦
𝑔)(𝑥) e (𝑔
◦
𝑓 )(𝑥):
a) 𝑓 (𝑥) =
p
(𝑥 + 2) e 𝑔(𝑥) = |𝑥|
b) 𝑓 (𝑥) =
1
𝑥(𝑥−2)
e 𝑔(𝑥) = 𝑥
2
c) 𝑓 (𝑥) =
1
𝑥(𝑥−2)
e 𝑔(𝑥) =
√
𝑥
d) 𝑓 (𝑥) =
5
√
𝑥
3
e 𝑔 : 2
−𝑥
Ex. 7.7 — Sejam 𝑓 : R → R e 𝑔 : R → R duas funções cujos grácos estão apresentados a
seguir
0
2 4 6 8 10−2
−2
2
4
6
Gráfico de 𝑓 (𝑥)
157
7 Funções Reais a Variáveis Reais
0
2 4 6 8 10−2
−2
2
4
6
Gráfico de 𝑔(𝑥)
A partir desses grácos, esboce o gráco das seguintes funções:
a) 2 𝑓 (𝑥)
b) 2𝑔(𝑥)
c) −𝑓 (𝑥)
d) −𝑔(𝑥)
e) 𝑓 (−𝑥)
f) 𝑔(−𝑥)
g) 𝑓 (|𝑥|)
h) 𝑔(|𝑥|
i) 𝑓 (−|𝑥|)
j)
1
2
𝑔(𝑥) +1
k) −
1
2
𝑔(𝑥) +1
l) −
1
2
|𝑔(𝑥)| + 1
m) 𝑓 (
1
2
𝑥)
n) ||𝑓 (𝑥)| − 1|
o) (𝑓 + 𝑔)(𝑥)
p) (𝑓 − 𝑔)(𝑥)
q) (𝑓 + 𝑔)(|𝑥|)
Ex. 7.8 — Esboçe o gráco das seguintes funções, utilizando o gráco de uma função mais
simples e aplicando as transformações apropriadas. Para cada uma dessas funções indique
as intersecções com os eixos 𝑥 e 𝑦, as regiões nas quais as funções são positivas, negativas,
crescentes, decrescentes e os pontos de máximo e mínimo local se existirem.
a) |2𝑥| + 1
b) (𝑥 + 3)
4
c) (𝑥 + 3)
4
− 1
d) |(𝑥 + 3)
4
− 1|
158
Bases Matemáticas
e) |(𝑥 + 3)
4
− 1| − 1
f) |𝑥 − 1| + 1
g) cos|𝑥 − 1|
h) |2𝑥
2
− 1|
i) |2𝑥
2
− 1| − 1
j) ||2𝑥
2
− 1| − 1| −2
k) |(𝑥 − 4)
6
− 2|
l) sen(2𝑥) +3
m) −2|sen(2𝑥) + 3| + 1
n)
p
|𝑥 + 2|
o) 2 cos(3𝑥 + 𝜋)
p) 1 +cos(|𝑥 − 1|)
q) 2
(𝑥−𝜋)
r) 2
(𝑥−𝜋)
− 5
s) 5
|𝑥|
t) 5
|𝑥+2|
u) |3
𝑥
− 5|
v) 𝑓 (𝑥) =
(
𝑥, se 𝑥 < 0
𝑥
2
+ 1, se 𝑥 ≥ 0
w) 𝑓 (𝑥) =
(
cos(2𝑥), se 𝑥 < 1
2 cos(𝑥 − 1), se 𝑥 ≥ 1
x) 𝑓 (𝑥) =
(
𝑥
2
− 5𝑥, se |𝑥
2
− 1| + 1 < 0
cos(3𝑥), se |𝑥
2
− 1| + 1 ≥ 0
Ex. 7.9 — Para cada par de funções 𝑓 , 𝑔 abaixo encontre o domínio e as expressões de 𝑓
◦
𝑔,
𝑓
◦
𝑓 , 𝑔
◦
𝑓 e 𝑔
◦
𝑔.
a)
𝑓 : R → R, 𝑓 (𝑥) = 𝑥
3
𝑔 : [1, ∞) → R, 𝑔(𝑥) =
√
𝑥 − 1
b)
𝑓 : R
∗
→ R, 𝑓 (𝑥) = −
1
𝑥
𝑔 : (−∞, 2] → R, 𝑔(𝑥) =
√
2 − 𝑥
c)
𝑓 : R
∗
→ R, 𝑓 (𝑥) =
1
𝑥
𝑔 : R\{2, 3} → R, 𝑔(𝑥) =
1
(𝑥−2)(𝑥−3)
d)
𝑓 : R → R, 𝑓 (𝑥) = sen(𝑥)
𝑔 : R
+
→ R, 𝑔(𝑥) =
√
𝑥
159
7 Funções Reais a Variáveis Reais
Ex. 7.10 — Encontre o domínio máximo de denição e esboce o gráco das seguintes fun-
ções„ utilizando o gráco de uma função mais simples e aplicando as transformações apro-
priadas. Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eixos 𝑥 e 𝑦, as regiões
nas quais as funções são positivas, negativas, crescentes, decrescentes e os pontos de máximo
e mínimo local se existirem.
a)
1
𝑥+7
b)
1
𝑥
2
+4𝑥+4
c)
𝑥+2
𝑥
2
−1
.
d)
p
|𝑡 −1| −1
e) log
3
(𝑥 − 2)
f) log
2
(|𝑥|)
g) log
2
(2𝑥 − |𝑥 − 1|)
h) tan(𝑥 + 𝜋)
i) tan(−𝑥) +2
j) |tan(𝑥)|
k) tan(|𝑥|)
l) tan
(
2
𝑥
− |
𝑥
−
1
|)
160
8
Sequências
8.1 Conceitos Básicos
Uma sequência real 𝑎 é uma função dos números naturais positivos nos reais
𝑎 : N
∗
→ R.
A imagem do natural 𝑛 pela sequência 𝑎 será denotado por 𝑎
𝑛
, i.e, 𝑎
𝑛
:= 𝑎(𝑛). A ordem dos
números naturais nos leva a dizer que 𝑎
1
é o primeiro termo da sequência, que 𝑎
2
é o segundo
termo da sequência e em geral que 𝑎
𝑛
é o n-ésimo termo da sequência. Em geral, denotaremos
a sequência 𝑎 : N
∗
→ R por (𝑎
𝑛
) ou ainda por (𝑎
𝑛
)
∞
𝑛=1
.
N
∗
𝑎
1
𝑎
2
𝑎
3
𝑎
4
𝑎
··· 𝑛
𝑎
R 𝑎
1
𝑎
2
𝑎
3
𝑎
4
··· 𝑎
𝑛
Figura 8.1: A sequência (𝑎
𝑛
) associa a cada natural 𝑛 um real 𝑎
𝑛
.
Em diversas situações consideraremos funções cujo domínio não seja o conjunto dos naturais,
mas sim um subconjunto dos inteiros da forma {𝑛 : Z : 𝑛 ≥ 𝑘} para algum 𝑘. Essas funções
também serão ditas sequências e para essas sequências usaremos a notação (𝑎
𝑛
)
∞
𝑛=𝑘
, indicando
o ponto a partir do qual a sequência está denida.
Uma sequência, sendo uma função pode ser especicada através de uma regra ou fórmula
para o 𝑛-ésimo termo da sequência.
Exemplos 8.1
1. Os primeiros termos da sequência (𝑎
𝑛
) =
(
1
/𝑛
)
∞
𝑛=1
são:
𝑎
1
= 1 𝑎
2
=
1
/2 𝑎
3
=
1
/3 𝑎
4
=
1
/4 𝑎
5
=
1
/5
161
8 Sequências
Essa sequência também pode ser representada como:
(
1
,
1
/
2
,
1
/
3
,
1
/
4
,
1
/
5
, . . .
)
2. Os quatro primeiros termos da sequência (𝑏
𝑛
) =
𝑛
3
3
𝑛
+1
∞
𝑛=1
são:
𝑏
1
=
1
3
3
1
+ 1
=
1
4
𝑏
2
=
2
3
3
2
+ 1
=
8
10
𝑏
3
=
3
3
3
3
+ 1
=
27
28
𝑏
4
=
64
82
3. Os primeiros termos da sequência de termo geral 𝑐
𝑛
=
𝑛!
𝑛
𝑛
são:
𝑐
1
=
1!
1
1
= 1 𝑐
2
=
2!
2
2
=
1
2
𝑐
3
=
3!
3
3
=
2
9
4. Seja (𝑑
𝑛
) a sequência especicada pela regra 𝑑
𝑛
= (−1)
𝑛
. Os primeiros termos dessa
sequência são:
𝑑
1
= (−1)
1
= −1 𝑑
2
= (−1)
2
= 1 𝑑
3
= (−1)
3
= −1
e de modo geral 𝑑
2𝑛
= 1 e 𝑑
2𝑛+1
= −1. E assim podemos representar essa sequência por:
(−1, 1, −1, 1, −1, 1, . . . )
5. Seja (𝑒
𝑛
) a sequência especicada pela regra 𝑒
𝑛
=
1 +
1
𝑛
𝑛
. Os primeiros termos dessa
sequência são:
𝑒
1
= (1 + 1)
1
= 2 𝑑
2
=
1 +
1
2
2
=
9
4
= 2.25 𝑒
3
=
1 +
1
3
3
=
4
3
3
≈ 2.37
𝑒
4
=
1 +
1
4
4
≈ 2.44 𝑒
5
=
1 +
1
5
5
≈ 2.49 𝑒
6
=
1 +
1
6
6
≈ 2.52
◁
Como uma sequência é uma função dos naturais nos reais, um ponto da função é um par
ordenado (𝑛, 𝑎
𝑛
) com 𝑛 ∈ N
∗
e 𝑎
𝑛
∈ R e desse modo uma sequência real pode ser vista como
um subconjunto do plano cartesiano R × R.
Exemplo 8.2 Gráco da sequência
𝑎
𝑛
=
1
𝑛
Solução: O gráco da sequência
𝑎
𝑛
=
1
𝑛
162
Bases Matemáticas
n a
n
=
1
/n
1 1.00
2 0.50
3 0.33
4 0.25
5 0.20
pode ser construído marcando os pares ordenados (𝑛,
1
/𝑛) no plano cartesiano. A tabela
abaixo contém o valor aproximado dos cinco primeiros termos dessa sequência. Esse pro-
cedimento apesar de correto, nos fornece o comportamento apenas nos pontos tabelados.
Porém, como essa sequência é obtida da restrição da função real
𝑓 (𝑥) =
1
𝑥
: R
+
→ 𝑅,
todos os pontos do gráco da sequência pertencem ao gráco de
1
/𝑥. Para ser mais preciso
os pontos do gráco dessa sequência, são os pontos do gráco cuja coordenada 𝑥 é um nú-
mero natural. Veja que que conforme os valores de 𝑛 tornam-se maiores, os valores de
1
/𝑛 se
0
2 4 6 8 10 12
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b b
b b
(1, 1)
(2,
1
2
)
(3,
1
3
)
𝑓 (𝑥) =
1
𝑥
Figura 8.2: Gráco da sequência
1
/𝑛
aproximam de zero. Esse comportamento é corroborado pela tabela de valores aproximados.
Conforme veremos, no “limite” a sequência
1
/𝑛 tende a zero, no sentido que para valores
sucientemente grandes de 𝑛,
1
/𝑛 está arbitrariamente próximo do zero. ◁
Outra forma de representar uma sequência gracamente, é representar sobre a reta real as
imagens da sequência, rotuladas pelo termo que representam.
Assim a sequência do exemplo anterior 𝑎
𝑛
=
1
/𝑛, pode ser também representada graca-
mente como:
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0−0.1
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
𝑎
1
𝑎
2
𝑎
3
𝑎
4
𝑎
5
163
8 Sequências
Exemplo 8.3 Gráco da sequência 𝑐
𝑛
=
(−1)
𝑛
√
𝑛
Solução: O gráco da sequência 𝑐
𝑛
=
(−1)
𝑛
√
𝑛
pode ser construído observando que para valores
pares de 𝑛 os pontos
𝑛,
(−1)
𝑛
√
𝑛
pertencem ao gráco da função 𝑓 (𝑥) =
1
√
𝑥
: R
+
→ R e para va-
lores impares de 𝑛 os pontos
𝑛,
(−1)
𝑛
√
𝑛
pertencem ao gráco da função 𝑓 (𝑥) =
−1
√
𝑥
: R
+
→ R.
Assim o gráco dessa sequência pode ser representado como: ◁
0
5 10 15 20 25
−0.5
0.5
𝑔
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
(1,−
√
1)
(2,
√
2)
(3,−
√
3)
(4,
√
4)
𝑓 (𝑥) =
1
√
𝑥
𝑔(𝑥) = −
1
√
𝑥
Figura 8.3: Gráco da sequência 𝑐
𝑛
=
(−1)
𝑛
√
𝑛
Sequências Denidas Recursivamente
Outra forma de denir uma sequência é recursivamente ou indutivamente. Trataremos de
denições recursivas de sequências com mais detalhes e cuidados numa seção posterior, mas
antes disso apresentaremos alguns exemplos de sequências especicadas dessa forma.
Uma sequência pode ser denida através das seguintes regras:
𝑎
1
=
√
2 e 𝑎
𝑛
=
√
2𝑎
𝑛−1
Para ilustrar como que as regras acima especicam uma sequência vamos calcular os pri-
meiros termos dessa sequência. Como o primeiro termo já nos é fornecido nas regras acima,
calculemos o segundo termo dessa sequência. Para esse m é suciente notarmos que: 𝑎
2
=
√
2𝑎
1
=
p
2
√
2. Para calcularmos o terceiro termo, notemos que 𝑎
3
=
√
2𝑎
2
e assim 𝑎
3
=
q
2
p
2
√
2, de modo geral o termo 𝑎
𝑛
terá a forma:
𝑎
𝑛
=
r
2 ···
q
2
√
2
| {z }
𝑛 raízes
.
164
Bases Matemáticas
n a
n
1 1.41421
2 1.68179
3 1.83401
4 1.91521
5 1.95714
Observe que a denição da sequência anterior, consta de duas partes, a primeira dene o
primeiro termo e a segunda que dene o termo 𝑎
𝑛
em função do termo 𝑎
𝑛−1
. Essa é a estru-
tura geral de uma denição recursiva: denimos alguns casos iniciais, e denimos então os
seguintes como função destes. Claramente, esse procedimento se assemelha a estrutura da
demonstração por indução.
A tabela abaixo contém o valor aproximado dos primeiros termos dessa sequência.
E o gráco dessa sequência construído utilizando essa tabela é apresentado abaixo. Veja
que o gráco sugere que essa sequência é crescente e limitada superiormente por 2. E que
conforme os valores de 𝑛 crescem o termo 𝑎
𝑛
se aproxima do valor 2.
0
1 2 3 4 5 6 7−1
0.5
1.0
1.5
2.0
b
𝑎
1
b
𝑎
2
b
𝑎
3
b
𝑎
4
b
𝑎
5
b
𝑎
6
b
𝑎
7
Figura 8.4: Gráco da sequência denida recursivamente: 𝑎
1
=
√
2 e 𝑎
𝑛
=
p
2
√
𝑎
𝑛−1
Outra sequência que pode ser denida recursivamente é a sequência de Fibonacci, denida
pelas regras recursivas:
𝑓
1
=
1
𝑓
2
=
1
𝑓
𝑛+1
=
𝑓
𝑛
+
𝑓
𝑛−1
Claramente, os primeiros termos dessa sequência são:
(
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 , 987, 1597, 2584, . . .
)
A sequência anterior foi descrita primeiramente pelo matemático italiano Fibonacci (1175-
1250), como solução ao seguinte problema sobre o crescimento de uma população de coelhos:
165
8 Sequências
“Um homem tem um casal de coelhos. Desejamos saber quantos casais de coelhos
podem ser gerados deste par, se a cada mês um casal fértil gera um novo casal e
cada casal novo se torna fértil quando completa dois meses de vida.”
A sequência de Fibonacci (𝑓
𝑛
) descreve o número de casais de coelhos após 𝑛 meses se eles
se multiplicarem como descrito.
0
2 4 6 8 10
10
20
30
40
50
b b
b
b
b
b
b
b
b
b
Figura 8.5: Gráco da sequência de Fibonacci
Por último considere a sequência (𝑠
𝑛
) especicada recursivamente como
𝑠
1
= 1 e 𝑠
𝑛
= 𝑠
𝑛−1
+
1
2
𝑛−1
.
Os primeiros termos dessa sequência são:
𝑠
1
= 1 𝑠
2
= 1 +
1
/2 =
3
/2, 𝑠
3
= 1 +
1
/2 +
1
/4 =
7
/4
O termo geral terá então a forma:
𝑠
𝑛
= 1 +
1
/2 +
1
/4 + ··· +
1
/2
𝑛−1
=
1 −
1
/2
𝑛
1 −
1
/2
= 2
(
1 −
1
/2
𝑛
)
.
Note que o termo geral da sequência anterior, 𝑠
𝑛
, é a soma dos 𝑛 primeiros termos da
sequência
1
/2
𝑛−1
. Uma sequência dessa forma é dita série.
Exercícios
Ex. 8.1 — Faça os grácos das seguintes sequências:
a) 𝑎
𝑛
= 𝑛
1
𝑛
b) 𝑎
𝑛
=
1
1+
√
𝑛
c) 𝑎
𝑛
=
𝑛
4
𝑛!
d) 𝑎
𝑛
=
sen(𝑛)
√
𝑛
e) 𝑎
𝑛
=
𝑛 sen(𝑛)
𝑛
2
+
1
f) 𝑎
𝑛
=
1
1
+
1
2
+ ··· +
1
𝑛
166
Bases Matemáticas
g) 𝑎
𝑛
=
1
1
2
+
1
2
2
+ ··· +
1
𝑛
2
h) A sequência denida recursivamente por 𝑎
1
=
√
2 e 𝑎
𝑛
=
√
2𝑎
𝑛−1
i) A sequência denida recursivamente por: 𝑎
𝑛
= 𝑛
𝑎
𝑛−1
e 𝑎
1
= 1
j) A sequência denida recursivamente por: 𝑎
𝑛
=
1
1+𝑎
𝑛−1
e 𝑎
1
= 1
Ex. 8.2 — Faça os grácos das seguintes sequências utilizando-se do fato que elas provêm de
restrições de funções reais:
a) 𝑎
𝑛
= 𝑛
5
b) 𝑎
𝑛
= ( 𝑛 + 2)
5
c) 𝑎
𝑛
=
1
√
𝑛+2
d) 𝑎
𝑛
=
|
sen(𝑥) + 1
|
+ 2
e) 𝑎
𝑛
= 1 +
1
(𝑛+1)
2
f) 𝑎
𝑛
=
3 cos(3𝑛)
2
g) 𝑎
𝑛
=
3 cos(3𝑛)
𝑛
8.1.1 Sequências Crescentes e Decrescentes
De modo análogo às funções reais, as sequências podem ser classicadas em relação ao seu
crescimento e/ou decrescimento, ou seja, o estudo do (de)crescimento dos termos da sequên-
cia em relação a sua posição na sequência. Assim, dada uma sequência (𝑎
𝑛
) dizemos que:
(𝑎
𝑛
) é crescente se, para todo 𝑛, 𝑚 ∈ N
∗
com 𝑛 < 𝑚, resulta 𝑎
𝑛
< 𝑎
𝑚
.
(𝑎
𝑛
) é não-decrescente para todo 𝑛, 𝑚 ∈ N
∗
com 𝑛 < 𝑚, resulta 𝑎
𝑛
≤ 𝑎
𝑚
.
(𝑎
𝑛
) é decrescente para todo 𝑛, 𝑚 ∈ N
∗
com 𝑛 < 𝑚, resulta 𝑎
𝑛
> 𝑎
𝑚
.
(𝑎
𝑛
) é não-crescente para todo 𝑛, 𝑚 ∈ N
∗
com 𝑛 < 𝑚, resulta 𝑎
𝑛
≥ 𝑎
𝑚
.
Em qualquer um dos casos acima, dizemos que a função é monótona¹. Em particular, quando
a função é crescente ou decrescente, dizemos que é estritamente monótona.
As denições anteriores são as análogas diretas das denições reais. No caso de sequência
elas admitem as seguintes simplicações úteis:
¹É também usual na literatura o termo monotônica.
167
8 Sequências
Denição 8.4
(𝑎
𝑛
) é crescente se, para todo 𝑛 ∈ N
∗
temos que 𝑎
𝑛
< 𝑎
𝑛+1
.
(𝑎
𝑛
) é não-decrescente se para todo 𝑛 ∈ N
∗
temos que 𝑎
𝑛
≤ 𝑎
𝑛+1
.
(𝑎
𝑛
) é decrescente se para todo 𝑛 ∈ N
∗
temos que 𝑎
𝑛
> 𝑎
𝑛+1
).
(𝑎
𝑛
) é não-crescente se para todo 𝑛 ∈ N
∗
temos que 𝑎
𝑛
≥ 𝑎
𝑛+1
.
Exercício Resolvido 8.5 A sequência (𝑎
𝑛
) =
1
𝑛 + 1
é decrescente pois para todo 𝑛 ∈ N
∗
temos
que
1
𝑛
>
1
𝑛 + 1
.
Solução: Vamos provar que a sequência é decrescente resolvendo a desigualdade na variável
𝑛 que segue:
1
𝑛
>
1
𝑛 + 1
Essa desigualdade é equivalente à 𝑛 +1 > 𝑛, que é equivalente à 1 > 0. O conjunto solução
da última desigualdade é N
∗
, ou seja para todo 𝑛 ∈ N
∗
vale a desigualdade
1
𝑛
>
1
𝑛 + 1
e assim a sequência é decrescente. ◁
Exercício Resolvido 8.6 A sequência
𝑛
𝑛
2
+ 1
é não-crescente.
Solução: Demonstraremos esse fato resolvendo a desigualdade:
𝑛
𝑛
2
+ 1
>
𝑛 + 1
(𝑛 + 1)
2
+ 1
A desigualdade anterior claramente é equivalente à :
(
𝑛
+
1
)(
𝑛
2
+
1
)
<
𝑛
((
𝑛
+
1
)
2
+
1
)
⇔ 𝑛
3
+ 𝑛
2
+ 𝑛 + 1 < 𝑛
3
+ 2𝑛
2
+ 2𝑛
⇔ 1 < 𝑛
2
+ 𝑛
Agora claramente se 𝑛 ≥ 1 então 𝑛
2
+ 𝑛 > 1, ou seja, o conjunto solução é os naturais e a
sequência é decrescente.
(Se o leitor julgar necessário, ele pode provar que 𝑛
2
+ 𝑛 > 1, para todo 𝑛 ≥ 1 através de
uma indução sobre 𝑛.) ◁
168
Bases Matemáticas
Exercício Resolvido 8.7 A sequência
1 +
1
𝑛
𝑛
é crescente.
Solução: Vamos demonstrar que essa sequência é estritamente crescente, mostrando que o
quociente de dois termos consecutivos é maior que 1. Dividindo dois termos consecutivos da
sequência temos:
1 +
1
𝑛
𝑛
1 +
1
𝑛 − 1
𝑛−1
=
1 +
1
𝑛
𝑛−1
1 +
1
𝑛
1 +
1
𝑛 − 1
𝑛−1
=
1 +
1
𝑛
1 +
1
𝑛−1
!
𝑛−1
1 +
1
𝑛
=
1 −
1
𝑛
2
𝑛−1
1 +
1
𝑛
(8.1)
Para mostrar que
1 −
1
𝑛
2
𝑛−1
1 +
1
𝑛
é maior que 1, vamos usar a seguinte desigualdade:
(1 + 𝑥)
𝑛
≥ 1 + 𝑛𝑥 para todo 𝑥 (vide exercício 8.6). Usando essa estimativa temos que:
1 −
1
𝑛
2
𝑛−1
≥ 1 −
𝑛 − 1
𝑛
2
.
E assim por 8.1 temos
1 +
1
𝑛
𝑛
1 +
1
𝑛 − 1
𝑛−1
=
1 −
1
𝑛
2
𝑛−1
1 +
1
𝑛
≥
1 −
𝑛 − 1
𝑛
2
1 +
1
𝑛
= 1 +
1
𝑛
3
> 1
Logo a sequência é crescente. ◁
8.1.2 Sequências Limitadas
Para algumas sequências o conjunto imagem Im(𝑎
𝑛
) ⊂ R é um conjunto limitado superior-
mente ou inferiormente, classicaremos as sequências em relação as propriedades de limita-
ção da sua imagem como:
Denição 8.8
Uma sequência (𝑎
𝑛
) é dita limitada superiormente se o conjunto {𝑎
𝑛
: 𝑛 ∈ N
∗
} for
limitado superiormente como subconjunto dos números reais, i.e, se existir 𝑀 tal que 𝑎
𝑛
≤
𝑀 para todo 𝑛 ∈ N
∗
.
169
8 Sequências
Uma sequência (𝑎
𝑛
) é dita limitada inferiormente se o conjunto {𝑎
𝑛
: 𝑛 ∈ N
∗
} for
limitado inferiormente como subconjunto dos números reais, i.e, se existir 𝑀 tal que 𝑎
𝑛
≥
𝑀 para todo 𝑛 ∈ N
∗
.
Uma sequência (𝑎
𝑛
)é dita limitada se o conjunto {𝑎
𝑛
: 𝑛 ∈ N
∗
}for limitado superiormente
e inferiormente. Ou de modo equivalente se existir 𝑀 tal que
|
𝑎
𝑛
|
≤ 𝑀 para todo 𝑛 ∈ N
∗
.
Uma sequência que não é limitada é dita ilimitada
Exercício Resolvido 8.9 A sequência (𝑎
𝑛
) =
1
𝑛+1
é limitada pois
1
𝑛 + 1
< 2 para todo 𝑛 ∈ N
∗
.
Solução: Vamos provar que
1
𝑛 + 1
< 2 resolvendo essa desigualdade
1
𝑛 + 1
=
1
𝑛 + 1
< 2
⇔ 1 < 2𝑛 + 2 ⇔ −
1
2
< 𝑛
O conjunto solução da desigualdade anterior é N
∗
, ou seja, mostramos que para todo 𝑛:
1
𝑛 + 1
< 2
e deste modo a sequência é limitada. ◁
Exemplos 8.10
1. Do mesmo modo que o exemplo anterior pode-se mostrar que a sequência 𝑎
𝑛
= −
1
/𝑛
2
é
limitada superiormente pelo 0, e limitada inferiormente por 1, sendo assim limitada.
2. A sequência (𝑏
𝑛
) = 𝑛 como veremos abaixo não é limitada superiormente, mas é limi-
tada inferiormente. Uma cota inferior nesse caso é 0.
◁ Como observamos no exemplo anterior sequência 𝑎
𝑛
= 𝑛 é não limitada,
ou seja,o conjunto dos números naturais não é limitado superiormente. Esse fato de extrema
importância é conhecido como propriedade Arquimediana dos números reais.
Propriedade Arquimediana dos Números Reais
Para todo número real 𝑟 existe um número natural 𝑛 tal que 𝑛 > 𝑟.
Demonstração: Suponha que exista 𝑟 tal que para todo 𝑛, 𝑛 < 𝑟. Isto implicaria que os natu-
rais são um conjunto limitado e logo teriam um supremo, digamos 𝑠. O número 𝑠 − 1 sendo
menor que 𝑠 não é cota superior para N
∗
, ou seja existe um natural 𝑛
0
tal que 𝑛
0
> 𝑠 −1, mas
isto implicaria que 𝑛
0
+ 1 > 𝑠, o que contradiz o fato de 𝑠 ser cota superior para N
∗
. □
170
Bases Matemáticas
Uma consequência desse teorema é que dados 𝑥, 𝑦 > 0 dois números reais arbitrários então
existe um natural tal que 𝑛𝑥 > 𝑦. Esse pode ser provado se tomarmos 𝑟 = 𝑦/𝑥 no teorema
anterior. A importância geométrica desse fato é que qualquer segmento real de tamanho 𝑦
pode ser coberta com um número nito de segmentos de tamanho 𝑥.
Exercício Resolvido 8.11 A sequência 𝑒
𝑛
=
1 +
1
𝑛
𝑛
é limitada superiormente.
Solução: Primeiro, usando a expansão binomial temos:
1 +
1
𝑛
𝑛
= 1 +
𝑛
1
1
𝑛
+
𝑛(𝑛 − 1
2!
1
𝑛
2
+
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
3!
1
𝑛
3
+ ··· +
𝑛!
𝑛!
1
𝑛
𝑛
= 1 +1 +
1
2!
𝑛(𝑛 − 1)
𝑛 · 𝑛
+
1
3!
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
𝑛 · 𝑛 · 𝑛
+
1
𝑛!
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)···𝑛
𝑛 · 𝑛 ···𝑛
= 1 +1 +
1
2!
1 −
1
𝑛
+
1
3!
1 −
1
𝑛
1 −
2
𝑛
+
1
𝑛!
1 −
1
𝑛
1 −
2
𝑛
···
1 −
𝑛−1
𝑛
Utilizando que 0 <
1 −
𝑚
𝑛
< 1 sempre que 𝑚 < 𝑛, podemos majorar a soma anterior,
obtendo:
1 +
1
𝑛
𝑛
≤ 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+ ··· +
1
𝑛!
Agora, como 𝑘! ≥ 2
𝑘−1
para 𝑘 ≥ 2, temos:
1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+ ··· +
1
𝑛!
≤ 1 +
1 +
1
2
+
1
4
+ ··· +
1
2
𝑛−1
Finalmente, como a expressão em parenteses é a soma de progressão geométrica de termo
inicial 1 e razão
1
2
, temos que
1 +
1
2
+
1
4
+ ··· +
1
2
𝑛−1
=
1 −
1
2
𝑛
1 −
1
2
= 2
1 −
1
2
𝑛
< 2
para todo 𝑛 e assim:
1 +
1
𝑛
2
≤ 1 +
1 +
1
2
+
1
4
+ ··· +
1
2
𝑛−1
< 1 +2 = 3
Por outro lado, como essa sequência é crescente todos os seus termos são maiores que o
primeiro termo 𝑒
1
= 2, ou seja :
2 <
1 +
1
𝑛
2
< 3
e logo a sequência é limitada. ◁
Um modo fácil de mostrar que uma sequência é limitada e compará-la com outra que já co-
nhecemos. O seguinte teorema nos fornece um modo de realizar essa comparação.
Teorema 8.12 Sejam (𝑎
𝑛
), (𝑏
𝑛
) duas sequências satisfazendo 𝑎
𝑛
≤ 𝑏
𝑛
para todo 𝑛 > 𝑛
0
. Então:
se a sequência 𝑎
𝑛
é limitada inferiormente, a sequência 𝑏
𝑛
também é limitada inferiormente.
171
8 Sequências
se a sequência 𝑏
𝑛
é limitada superiormente, a sequência 𝑎
𝑛
também é limitada superior-
mente.
Exemplos 8.13
A sequência 𝑎
𝑛
=
1
/2
𝑛
é limitada superiormente pois
1
/2
𝑛
≤
1
/𝑛 para todo 𝑛 ∈ N. Essa
sequência também é limitada inferiormente pois
1
/2
𝑛
> 0 para todo 𝑛 ∈ N.
A sequência 𝑏
𝑛
=
1
/𝑛! é limitada superiormente pois
1
/𝑛! ≤
1
/𝑛 para todo 𝑛 ∈ N.
A sequência 𝑐
𝑛
=
(−1)
𝑛
/𝑛
3
é uma sequência limitada pois −
1
/𝑛 <
(−1)
𝑛
/𝑛
3
≤
1
/𝑛 para todo
𝑛 ∈ N
◁
Exercícios
Ex. 8.3 — Liste os 6 primeiros termos das sequências:
a) 𝑎
𝑛
= 1 −
1
3 + 𝑛
b) 𝑎
𝑛
= (1)
𝑛
−
1
3
𝑛
c) A sequência denida recursivamente por: 𝑎
𝑛
= 𝑛 · 𝑎
𝑛−1
e 𝑎
1
= 1
d) A sequência denida recursivamente por: 𝑎
𝑛
= 𝑛
𝑎
𝑛−1
e 𝑎
1
= 1
e) A sequência denida recursivamente por: 𝑎
𝑛
=
1
1+𝑎
𝑛−1
e 𝑎
1
= 1
f) 𝑎
𝑛
= 2
sen(
𝑛𝜋
2
)
Ex. 8.4 — Para cada uma das seguintes sequências diga se ela é crescente, decrescente ou
nenhuma dessas duas. Prove suas armações:
a) 𝑎
𝑛
𝑛 + 7
b) 𝑎
𝑛
= 𝑛
2
+ 𝑛
c) 𝑎
𝑛
= 𝑛
2
− 7𝑛
d) 𝑎
𝑛
= 𝑛
2
−
𝑛
2
e) 𝑎
𝑛
=
𝑛!
2
𝑛
f) 𝑎
𝑛
=
1
𝑛
2
g) 𝑎
𝑛
=
(−1)
𝑛
𝑛
3
h) 𝑎
𝑛
= 2
𝑛
i) 𝑎
𝑛
=
2𝑛 − 6
3𝑛 + 4
j) 𝑎
𝑛
=
√
𝑛
𝑛 + 3
172
Bases Matemáticas
k) A sequência denida recursivamente por 𝑎
1
=
√
2 e 𝑎
𝑛
=
√
2𝑎
𝑛−1
Ex. 8.5 — Para cada uma das seguintes sequências diga se ela é limitada superiormente e
inferiormente. Prove suas armações:
a) 𝑎
𝑛
= 𝑛
2
+ 𝑛
b) 𝑎
𝑛
= 𝑛
2
− 7𝑛
c) 𝑎
𝑛
= 𝑛
2
−
𝑛
2
d) 𝑎
𝑛
=
𝑛
!
2
𝑛
e) 𝑎
𝑛
=
1
𝑛
2
f) 𝑎
𝑛
=
(−1)
𝑛
𝑛
3
g) 𝑎
𝑛
= 2
𝑛
h) 𝑛/𝑛!
i) A sequência denida recursivamente por 𝑎
1
=
√
2 e 𝑎
𝑛
=
√
2𝑎
𝑛−1
.
Ex. 8.6 — Prove que (1 + 𝑥)
𝑛
≥ 1 + 𝑛𝑥 para todo 𝑥. [Sugestão: Use a expansão Binomial]
Ex. 8.7 — .
a) Mostre que 𝑒
𝑥
≥
1 +
𝑥
𝑛
𝑛
para 𝑛 ≥ 1.
b) Mostre que 𝑒
𝑥
≥ 1 + 𝑥.
c) Usando que 𝑒
𝑥
≥ 1 + 𝑥 e que 𝑒
−𝑥
≥ 1 − 𝑥 mostre que 1 + 𝑥 ≤ 𝑒
𝑥
≤
1
1−𝑥
.
Ex. 8.8 — a) Usando a propriedade arquimediana, prove que se
|
𝑥 − 𝑦
|
<
1
𝑛
para todo
𝑛 ∈ N
∗
, então 𝑥 = 𝑦.
b) Usando o item anterior prove que se
|
𝑥 − 𝑦
|
< 𝜀 para todo 𝜀 > 0, então 𝑥 = 𝑦.
Ex. 8.9 — Dados 𝑥, 𝑦 ∈ R com 𝑥 < 𝑦, prove que existe um racional 𝑝 tal que 𝑥 < 𝑝 < 𝑦.
173
8 Sequências
8.2 Convergência e Limite de Sequências
8.2.1 Intuições sobre Convergência
Para algumas sequências podemos entender o comportamento de seus termos para “valores
grandes” de 𝑛. Por exemplo os termos da sequência 𝑎
𝑛
=
1
𝑛
para valores grandes de 𝑛 vão se
aproximando do zero, no sentido que para 𝑛 cada vez maior, os termos dessa sequência vão
se tornando cada vez menores.
O conceito de limite de uma sequência é a formalização dessa ideia intuitiva. Antes de
apresentarmos uma denição precisa de limite, vamos entender em que sentido os termos
dessa sequência se aproximam do zero para valores sucientemente grandes de 𝑛.
Vamos dividir esse problema em duas partes: entender o que signica “para valores su-
cientemente grandes” e o que signica “aproximar”.
Dizemos que uma propriedade/armação 𝑝(𝑛)vale para “valores sucientemente grandes
de 𝑛”, se existe 𝑁 tal que 𝑝(𝑛) é válida para todos 𝑛 > 𝑁. Em outras palavras, se existe 𝑁 a
partir do qual 𝑝(𝑛) é verdadeira. Veja que a armação não necessita ser sempre verdadeira,
mas somente necessita ser verdadeira para 𝑛 > 𝑁.
Exemplos 8.14
1. 5𝑛 −100 é positivo para valores sucientemente grandes de 𝑛. Se resolvermos a inequa-
ção 5𝑛 −100 > 0 nos naturais, veremos que ela vale para 𝑛 > 20.
2. 𝑛
2
é maior que 7𝑛 para valores sucientemente grandes de 𝑛. Se resolvermos a inequa-
ção 𝑛
2
> 7𝑛 nos naturais, veremos que ela vale para 𝑛 > 7.
3.
1
/𝑛 é menor que 10
−3
para 𝑛 sucientemente grande. Se resolvermos a inequação
1
/𝑛 <
10
−3
nos naturais, veremos o conjunto solução será 𝑛 > 10
3
.
4.
1
/𝑛 é menor que 10
−5
para 𝑛 sucientemente grande. Se resolvermos a inequação
1
/𝑛 <
10
−5
nos naturais, veremos o conjunto solução será 𝑛 > 10
5
.
◁
E agora nos dedicaremos a aclarar o signicado da sequência 𝑎
𝑛
se aproximar do 𝑎.
Dizemos que um ponto 𝑦 é uma aproximação de 𝑎 com erro 𝜀 se 𝑦 satisfaz
|
𝑦 − 𝑎
|
< 𝜀, ou
seja se 𝑦 ∈
(
𝑎 − 𝜀, 𝑎 + 𝜀
)
. De modo análogo, dizemos que a sequência 𝑎
𝑛
é uma aproximação
de 𝑎 com erro 𝜀 para 𝑎 para valores maiores que 𝑁, se para 𝑛 > 𝑁 então:
|
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
< 𝜀.
Os dois últimos itens do exemplo anterior mostram que
1
/𝑛 é uma aproximação do zero
com erro menor que 10
−3
se 𝑛 > 10
3
e que
1
/𝑛 é uma aproximação do zero com erro menor
174
Bases Matemáticas
que 10
−5
se 𝑛 > 10
5
. Uma pergunta natural é se existe um ponto 𝑁 a partir do qual
1
/𝑛 é uma
aproximação do zero com erro 𝜀 arbitrário?
Começamos resolvendo a desigualdade
|
1
/𝑛 − 0
|
< 𝜀:
1
𝑛
− 0
< 𝜀 ⇔
1
𝑛
< 𝜀 ⇔ 𝑛 >
1
𝜀
.
Ou seja, seja 𝑁 um natural maior que
1
/𝜀, então se 𝑛 > 𝑁 temos que
|
1
/𝑛 − 0
|
< 𝜀. Em outras
palavras, a sequência
1
/𝑛 é uma aproximação do zero com erros arbitrariamente pequenos
para valores sucientemente grandes de 𝑛. E é nesse sentido que diremos que
1
/𝑛 converge a
0, fato que denotaremos por
1
/𝑛 → 0.
Denição de Limite Dado (𝑎
𝑛
) : N
∗
→ R uma sequência, dizemos que (𝑎
𝑛
)converge para
o número real 𝐿, se se dado 𝜀 > 0, para valores sucientemente grandes de 𝑛 tivermos
que
|
𝑎
𝑛
− 𝐿
|
< 𝜀.
Ou ainda, apenas reescrevendo:
Denição 8.15 Denição de Limite Dado (𝑎
𝑛
) : N
∗
→ R uma sequência, dizemos que (𝑎
𝑛
)
converge para o número real 𝐿, se dado 𝜀 > 0 existe 𝑀 ∈ N
∗
tal que se 𝑛 > 𝑀 então
|
𝑎
𝑛
− 𝐿
|
< 𝜀.
Se a sequência 𝑎
𝑛
convergir à 𝐿, denotaremos esse fato por lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= 𝐿 ou por 𝑎
𝑛
→ 𝐿.
Observe que a denição de convergência de uma sequência não exige que a sequência se
torne igual ao seu limite, apenas que conforme os valores do domínio se tornem suciente-
mente grandes a sequência se aproxime do limite.
0
b
𝐵
b
𝐶
b
𝐷
b
𝐴
𝑏𝑑
bb
𝐹
𝑒
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b b
b
b
b
b
b
b
b
𝑎+𝜀
𝑎−𝜀
𝑁
0
𝑎+𝜀
𝑎−𝜀
𝑁
b
𝐵
b
𝐶
b
𝐷
b
𝑑
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Essa denição pode ser entendida intuitivamente
através de uma analogia com um desao: a primeira
parte do desao, é escolher a diculdade, ou seja, um
erro 𝜀, a segunda é mostrar que se pode superar esse
desao exibindo um ponto 𝑁 a partir do qual
|
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
< 𝜀.
O limite de sequência existir, nessa analogia, é equi-
valente à que não importa quão difícil seja o desao
(ou seja, não importa quão pequeno seja 𝜀), o desa-
o pode ser vencido (ou seja, existirá um ponto 𝑁 a
partir do qual
|
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
< 𝜀).
Gracamente o fato do limite existir, signica que
para valores sucientemente grandes (maiores que
𝑁), a sequência estará dentro da faixa horizontal
175
8 Sequências
dada por (𝑎 −𝜀, 𝑎 +𝜀). Se diminuirmos o erro para 𝜀
então existirá um novo ponto 𝑁
, (talvez maior que
N) a a partir do qual a sequência estará dentro da faixa horizontal dada por (𝑎 − 𝜀
, 𝑎 + 𝜀
).
176
Bases Matemáticas
A sequência
𝑛
𝑛+1
0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
0.2
0.4
0.6
0
.
8
1.0
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b b
b b
b b b
b b b b
b b b b
𝑛
𝑛 + 1
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.10.1 0.2 0.3
i i i i i i i i i i i i i i i i i iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
De modo a ilustrar os conceitos apresentados fa-
remos uma análise detalhada da sequência
𝑛
𝑛+1
.
É fácil de mostrar, usando as técnicas da seção an-
terior que essa sequência é crescente, limitada supe-
riormente por 1 e inferiormente por 0. Ao lado apre-
sentamos o gráco dessa sequência. Veja que con-
forme
𝑛
cresce o quociente
𝑛
𝑛+1
parece se aproximar
de
1
e assim o gráco ao lado nos sugere que essa
sequência converge a 1.
Vamos começar mostrando que existe um ponto
a partir do qual essa sequência é uma aproximação do 1 com erro menor que 10
−1
. Para esse
m, vamos resolver a desigualdade:
1 −
𝑛
𝑛 + 1
< 10
−1
⇔
1
𝑛 + 1
< 10
−1
⇔ 𝑛 > 9
n
𝑛
/(n+1)
10 0, 90909090
100 0, 99009901
1000 0, 99900100
10000 0, 99990001
100000 0, 99999900
Assim se 𝑛 > 9, temos que:
1 −
𝑛
𝑛 + 1
< 10
−1
.
De modo inteiramente análogo se 𝑛 > 999 então
1 −
𝑛
𝑛 + 1
< 10
−3
e de modo geral, se 𝑛 > 10
𝑘
− 1 então
1 −
𝑛
𝑛 + 1
< 10
−𝑘
A linha de argumento que acabamos de apresentar sugere que essa sequência converge a
zero. Para demonstrar a validade desse fato precisamos provar que existe um ponto 𝑁 tal que
se 𝑛 > 𝑁 então
1 −
𝑛
𝑛+1
< 𝜀. Com o intuito de obter 𝑁, resolvemos a desigualdade:
1 −
𝑛
𝑛 + 1
< 𝜀 ⇔
1
𝑛
< 𝜀 ⇔ 𝑛 >
1
𝜀
− 1
Desta forma se escolhermos 𝑁 como um inteiro maior que
1
𝜀
− 1 teremos que para 𝑛 > 𝑁
1 −
𝑛
𝑛 + 1
< 𝜀
E assim temos que essa sequência converge e que seu limite é 1.
lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛 + 1
= 1
𝑛
𝑛 + 1
→ 1
Aproximação de
1
/7
177
8 Sequências
Um exemplo interessante do uso de limites é a representação dos números reais. Nesse
exemplo ilustraremos o aproximação do número
1
/7, para tanto denimos a sequência 𝑏
𝑛
que
é a truncamento da representação decimal de
1
/7 com 𝑛 casas depois da vírgula.
Assim calculando os dígitos de
1
/7 ≈ 0, 142857142857142 através do algoritmo de divi-
são, temos que 𝑏
1
= 0, 1 𝑏
2
= 0, 14 𝑏
3
= 0, 142 𝑏
4
= 0, 1428 𝑏
5
= 0, 14285 𝑏
6
=
0, 142857 𝑏
7
= 0, 1428571 e 𝑏
8
= 0, 14285714. Observe que nenhum termo da sequência
𝑏
𝑛
é igual a
1
/7. Porém a diferença entre a fração é o 𝑛-ésimo termo dessa sequência vai se
tornando cada vez menor, conforme o número de dígitos cresce.
Vamos estimar o erro que cometemos ao aproximar a fração
1
/7 pelo truncamento com 𝑛
casas decimais, 𝑏
𝑛
. A diferença entre ambos é um número cujas 𝑛 primeiras casas depois da
vírgula são todas zero. e assim é um número menor que 10
−𝑛
(Por que?).
Assim se queremos fazer o erro menor que 𝜀 basta fazer acharmos 𝑁 tal que para 𝑛 > 𝑁
10
−𝑛
< 𝜀 ⇔ −𝑛 < log
10
(𝜀) ⇔ 𝑛 > −log
10
(𝜀).
Pela propriedade Arquimediana existe um número real 𝑁 tal que 𝑁 > −log
10
(𝜀)e se 𝑛 > 𝑁
então
𝑛 > 𝑁 > −log
10
(𝜀)
e o erro entre 𝑏
𝑛
e
1
/7
|
1
/7 − 𝑏
𝑛
|
< 𝜀.
E assim os truncamentos 𝑏
𝑛
convergem a série
1
/7. E temos:
lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
=
1
/7.
Voltaremos a discutir a representação dos números reais através de sequências (e séries)
na seção 8.6.
Exercícios
Ex. 8.10 — Sejam dadas as sequências
𝑎
𝑛
=
1
𝑛
, 𝑏
𝑛
=
𝑛 − 1
𝑛
𝑐
𝑛
= (−1)
𝑛
, 𝑑
𝑛
=
(−1)
𝑛
𝑛
.
Em cada caso abaixo, determine para quais valores de 𝑛 vale
a) 𝑎
𝑛
∈ (−
1
10
,
1
10
)
b) 𝑏
𝑛
∈ (0.999, 1.111)
c) 𝑐
𝑛
∈ (
1
2
,
3
2
)
d) 𝑑
𝑛
∈ (−
1
1000
,
1
1000
)
178
Bases Matemáticas
Ex. 8.11 — Considerando as mesmas sequências do exercício anterior, diga se são verdadei-
ras ou falsas as armações:
a) Existe 𝑚 ∈ N
∗
tal que 𝑎
𝑛
∈ (−
1
10
,
1
10
) para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
b) Existe 𝑚 ∈ N
∗
tal que 𝑏
𝑛
∈ (0.999, 1.111) para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
c) Existe 𝑚 ∈ N
∗
tal que 𝑐
𝑛
∈ (
1
2
,
3
2
) para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
d) Existe 𝑚 ∈ N
∗
tal que 𝑑
𝑛
∈ (−
1
1000
,
1
1000
) para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
Ex. 8.12 — Em cada caso abaixo, determine 𝑚 ∈ N
∗
de modo que
a)
1
𝑛
2
−𝑛+1
<
1
2
, para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
b)
1
𝑛
< 10
−23
, para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
c) 1 −
1
10
4
<
𝑛+2
𝑛−2
< 1 +
1
10
4
, para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
d) −
1
10
10
< e
−𝑛
<
1
10
10
, para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
e) −
1
10
<
sen 𝑛
√
𝑛
<
1
10
, para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
Ex. 8.13 — Dado 𝜖 > 0 arbitrário, determine, em cada caso, 𝑚 ∈ N
∗
tal que 𝑎
𝑛
∈ (𝐿 −𝜖, 𝐿 + 𝜖)
para todo 𝑛 ≥ 𝑚, onde:
a) 𝑎
𝑛
=
1
𝑛
e 𝐿 = 0
b) 𝑎
𝑛
=
𝑛
𝑛−1
e 𝐿 = 1
c) 𝑎
𝑛
=
1
√
𝑛+2
e 𝐿 = 0
d) 𝑎
𝑛
=
1
2+
√
𝑛+1
𝑛
e 𝐿 = 1/3
e) 𝑎
𝑛
=
1
2+
√
𝑛+1
𝑛
e 𝐿 = 1
f) 𝑎
𝑛
=
𝑛
2
9−𝑛
2
e 𝐿 = −1
Ex. 8.14 — Sejam dadas as sequências
𝑎
𝑛
= 𝑛
2
, 𝑏
𝑛
= − 𝑛
3
, 𝑐
𝑛
=
√
𝑛
𝑑
𝑛
= (−1)
𝑛
𝑛, 𝑒
𝑛
= 𝑛 + (−1)
𝑛
𝑛.
Em cada caso abaixo, determine para quais valores de 𝑛 vale
a) 𝑎
𝑛
> 10
4
b) 𝑏
𝑛
< −10
6
c) 𝑐
𝑛
> 2000
d) 𝑑
𝑛
< −10
20
e) 𝑒
𝑛
> 10
179
8 Sequências
Ex. 8.15 — Considerando as mesmas sequências do exercício anterior, diga se são verdadei-
ras ou falsas as armações:
a) Existe 𝑚 ∈ N
∗
tal que 𝑎
𝑛
> 10
4
para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
b) Existe 𝑚 ∈ N
∗
tal que 𝑏
𝑛
< −10
6
para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
c) Existe 𝑚 ∈ N
∗
tal que 𝑐
𝑛
> 2000 para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
d) Existe 𝑚 ∈ N
∗
tal que 𝑑
𝑛
< −10
20
para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
e) Existe 𝑚 ∈ N
∗
tal que 𝑒
𝑛
> 10 para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
Ex. 8.16 — Em cada caso abaixo, determine 𝑚 ∈ N
∗
de modo que
a)
𝑛
2
+𝑛+1
𝑛
> 100, para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
b) e
𝑛
> 10
4
, para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
c) −𝑛
3
< −10
6
, para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
d)
√
𝑛 > 4.10
10
, para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
e) 1 − 𝑛
2
< −10
10
, para todo 𝑛 ≥ 𝑚.
Ex. 8.17 — Dado 𝑀 > 0 arbitrário, determine, em cada caso, 𝑚 ∈ N
∗
tal que 𝑎
𝑛
> 𝑀 para
todo 𝑛 ≥ 𝑚, onde:
a) 𝑎
𝑛
= 𝑛!
b) 𝑎
𝑛
=
√
𝑛
Ex. 8.18 — Dado 𝑀 > 0 arbitrário, determine, em cada caso, 𝑚 ∈ N
∗
tal que 𝑎
𝑛
< −𝑀 para
todo 𝑛 ≥ 𝑚, onde:
a) 𝑎
𝑛
= − 𝑛
4
b) 𝑎
𝑛
= ln
1
𝑛
Ex. 8.19 — Mostre que a sequência (0.9, 0 .99, 0.999, 0.9999, . . . ) converge a 1.
Ex. 8.20 — Mostre que a sequência (0.3, 0 .33, 0.333, 0.3333, . . . ) converge a
1
/3.
180
Bases Matemáticas
8.2.2 Denição Precisa de Limite de uma sequência
O conceito formal de limite, cuja introdução na matemática se atribui ao matemático francês
Cauchy, é um dos conceitos centrais da matemática moderna. Pode-se dizer, sem exageros
que esse conceito e seus desenvolvimentos, mudaram de forma profunda o conhecimento e
a natureza da matemática.
Originalmente, esse conceito foi introduzido para formalizar o conceito de derivada, porém
se percebeu que sua importância e aplicação é muito mais ampla e diversa que “apenas” o
desenvolvimento lógico do cálculo diferencial e integral.
A ideia intuitiva do limite, porém precede os trabalhos de Cauchy e pode ser remontada
aos gregos e, em especial, aparece subentendida em alguns trabalhos de Arquimedes. Esse
conceito transparece ainda esporadicamente em diversos trabalhos de matemáticos anteri-
ores a Cauchy, como Newton e Euler. O passo de transformar uma visão intuitiva em uma
denição matemática do conceito foi longo e tortuoso e a denição que apresentamos é fruto
desse longo desenvolvimento histórico.
Essa denição tem um gosto distinto da matemática a que você deve estar acostumado.
Ela é sutil, elegante e abstrata, logo, não espere compreende-la de uma só vez. Por ser sútil,
um erro comum é simplica-lá. Não cometa esse erro, a denição que apresentamos é a mais
simples e clara disponível.
Feito essa apologia e esse alerta, retomaremos a denição que já apresentamos anterior-
mente:
Denição 8.16 Denição de Limite Dado (𝑎
𝑛
) : N
∗
→ R uma sequência, dizemos que (𝑎
𝑛
)
converge para o número real 𝐿, denotado por lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= 𝐿, se dado 𝜀 > 0, ∃𝑀 ∈ N
∗
tal que se
𝑛 > 𝑀 então
|
𝑎
𝑛
− 𝐿
|
< 𝜀.
Uma sequência que converge para algum valor é dita convergente , e caso contrário dize-
mos que a sequência é divergente .
Dado 𝑎 ∈ R e um número real 𝜀 > 0, o conjunto aberto:
𝑉
𝜀
(𝑎) := (𝑎 − 𝜀, 𝑎 + 𝜀)
é dito
𝜀
-
vizinhança
de
𝑎
.
Dizemos que um ponto 𝑦 é uma aproximação de 𝑎 com erro 𝜀 se 𝑦 está na 𝜀-vizinhança de
𝑎, ou seja se
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝜀.
a-𝜀
a+𝜀
b
a
𝑉
𝜀
(𝑎)
Com essa terminologia podemos reescrever a denição de limite como:
181
8 Sequências
Denição 8.17 Denição de Limite, Versão topológica
Dado (𝑎
𝑛
) : N
∗
→ R uma sequência, dizemos que (𝑎
𝑛
) converge para o número real 𝐿 se para
toda 𝜀-vizinhança 𝑉
𝜀
(𝑎), existe um ponto 𝑀 a partir do qual todos os termos da sequência estão
em 𝑉
𝜀
(𝑎)
Ou seja, para toda 𝜀-vizinhança do ponto 𝐿 exceto um número nito de elementos da
sequência todos os outros estão nessa vizinhança.
Vamos provar alguns limites elementares utilizando a denição
Exercício Resolvido 8.18 lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0.
Demonstração: Neste caso, devemos mostrar que dado 𝜀 > 0 existe um ponto 𝑀 a partir do
qual
1
𝑛
− 0
< 𝜀
(Onde a “partir do qual”, deve se entender para todo 𝑛 > 𝑀).
Vamos provar que existe esse ponto usando a propriedade Arquimediana dos reais. A pro-
priedade Arquimediana nos diz que existe um número natural 𝑀 tal que
𝑀 >
1
𝜀
ou seja, tal que
1
𝑀
< 𝜀
Agora se 𝑛 > 𝑀 temos que
1
𝑛
<
1
𝑀
< 𝜀. O que implica que:
1
𝑛
− 0
=
1
𝑛
<
1
𝑀
< 𝜀
E assim provamos que lim
𝑛→∞
1
/𝑛 = 0.
Observe que demonstramos que para todo 𝑛 > 𝑀 (onde esse 𝑀 nos foi dado indiretamente
pela propriedade Arquimediana dos reais) temos que a sequência (𝑎
𝑛
) =
1
𝑛
está toda contida
na 𝜀-vizinhança de 0, pois
1
𝑛
− 0
< 𝜀. □
Exercício Resolvido 8.19 Seja 𝑏
𝑛
a sequência constante igual a 𝑏, i.e, 𝑏
𝑛
= 𝑏, então lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= 𝑏.
Demonstração: Queremos mostrar que dado 𝜀 > 0 existe um 𝑀 tal que se 𝑛 > 𝑀 então
|
𝑏
𝑛
− 𝑏
|
< 𝜀.
Mas veja que para 𝑀 = 0, já é válida a desigualdade, pois
|
𝑏
𝑛
− 𝑏
|
=
|
𝑏 − 𝑏
|
= 0 < 𝜀.
A demonstração acima é (tão) trivial porque a sequência constante igual a 𝑏 sempre está
na 𝜀-vizinhança de 𝑏, para todo 𝜀 > 0. □
182
Bases Matemáticas
Exercício Resolvido 8.20 Se 𝑐
𝑛
=
𝑛
𝑛 + 1
então lim
𝑛→∞
𝑐
𝑛
= 1.
Demonstração: Queremos mostrar que dado 𝜀 > 0 existe um 𝑀 tal que se 𝑛 > 𝑀 então
𝑛
𝑛 + 1
− 1
< 𝜀..
Vamos começar simplicando a última desigualdade:
𝑛
𝑛 + 1
− 1
=
𝑛
𝑛 + 1
−
𝑛 + 1
𝑛 + 1
=
−1
𝑛 + 1
≤
1
𝑛
Veja que reduzimos o problema à encontrar um ponto 𝑀 a partir do qual
1
𝑛
< 𝜀. Mas isso,
como já sabemos, pode ser feito através da propriedade Arquimediana.
Pela propriedade Arquimediana existe 𝑀 tal que
𝑀 >
1
𝜀
ou seja, tal que
1
𝑀
< 𝜀
Agora se 𝑛 > 𝑀 temos que
1
𝑛
<
1
𝑀
< 𝜀. O que implica que:
𝑛
𝑛 + 1
− 1
=
1
𝑛
<
1
𝑀
< 𝜀.
□
Intuitivamente, a sequência 𝑖
𝑛
= (−1)
𝑛
não converge pois ca oscilando entre os valores 1 e
−1 e desta forma não se aproxima de nenhum valor conforme 𝑛 cresce. Abaixo apresentamos
a prova desse fato.
Exercício Resolvido 8.21 A sequência 𝑖
𝑛
= (−1)
𝑛
não converge.
Solução:
Suponha que a sequência convergisse, digamos a 𝑖. Então deveria existir um ponto 𝑀 tal
que se 𝑛 > 𝑀 então
|
𝑖
𝑛
− 𝑖
|
<
1
2
Mas, para 𝑛 maior que 𝑀 e par isso implicaria que
|
1 − 𝑖
|
<
1
2
⇔ −1/2 < 1 − 𝑖 < 1/2 ⇒ 𝑖 >
1
2
.
E para 𝑛 maior que 𝑀 e ímpar isso implicaria que
|
−1 − 𝑖
|
<
1
2
⇔ −1/2 < −1 − 𝑖 < 1/2 ⇒ 𝑖 <
1
2
.
O que é absurdo. Logo a sequência não converge ◁
183
8 Sequências
Proposição 8.22 O limite de uma sequência se existir é único.
Demonstração: Suponha 𝑎
1
e 𝑎
2
tais que
lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= 𝑎
1
e lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= 𝑎
2
.
A denição de 𝑎
𝑛
→ 𝑎
1
nos diz que dado 𝜀 > 0 existe um ponto 𝑁
1
, tal que 𝑛 > 𝑁
1
então:
|
𝑎
𝑛
− 𝑎
1
|
<
𝜀
2
(8.2)
Por outro lado como 𝑎
𝑛
→ 𝑎
2
, temos que dado 𝜀 > 0 existe um ponto 𝑁
2
, tal que 𝑛 > 𝑁
2
então:
|
𝑎
𝑛
− 𝑎
1
|
<
𝜀
2
(8.3)
Agora se escolhemos 𝑁 = max{𝑁
1
, 𝑁
2
}, temos que ambas as desigualdades 8.2 e 8.3 são
válidas para 𝑛 > 𝑁 e assim podemos estimar
|
𝑎
1
− 𝑎
2
|
:
|
𝑎
1
− 𝑎
2
|
=
|
𝑎
1
− 𝑎
𝑛
+ 𝑎
𝑛
− 𝑎
2
|
<
|
𝑎
1
− 𝑎
𝑛
|
+
|
𝑎
2
− 𝑎
𝑛
|
< 𝜀
para todo 𝜀 > 0 e assim pelo exercício 8.8 𝑎
1
= 𝑎
2
.
□
Proposição 8.23 Se a sequência (𝑎
𝑛
) converge então (𝑎
𝑛
) é limitada.
Demonstração: Como 𝑎
𝑛
converge, digamos ao ponto 𝑎, existe 𝑀 tal que se 𝑛 > 𝑀 então:
|
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
< 1,
(veja que na denição de limite escolhemos 𝜀 = 1) o que implica que
|
𝑎
𝑛
|
<
|
𝑎
|
+ 1
Veja que mostramos que a partir do ponto 𝑀 a sequência é limitada por
|
𝑎
|
+ 1. Sobrou
apenas um número nito de termos {𝑎
1
, . . . 𝑎
𝑀
} que não são necessariamente limitados por
|
𝑎
|
+ 1. Mas como esse conjunto é nito ele é limitado por 𝐶 = max{
|
𝑎
1
|
, . . . ,
|
𝑎
𝑀
|
}.
Agora se tomarmos 𝐷 = max{
|
𝑎
|
+ 1, 𝐶} teremos que todos os termos da sequência satis-
fazem
|
𝑎
𝑛
|
< 𝐷. Vejamos porque:
Se 𝑛 < 𝑀 então
|
𝑎
𝑛
|
≤ max{
|
𝑎
1
|
, . . . ,
|
𝑎
𝑀
|
} ≤ 𝐷
Se 𝑛 > 𝑀 então
|
𝑎
𝑛
|
<
|
𝑎
|
+ 1 < 𝐷.
□
184
Bases Matemáticas
Como consequência da proposição anterior temos que as seguintes sequências não con-
vergem, pois não são limitadas.
Exemplos 8.24
1. A sequência
(
𝑛!
)
∞
𝑛=1
diverge. Ela não é limitada superiormente pois para todo 𝑛, 𝑛! > 𝑛
.
2. A sequência
(
2
𝑛
)
∞
𝑛=1
diverge Essa sequência não é limitada superiormente pois para
todo 𝑛, 2
𝑛
> 𝑛.
3. A sequência
𝑛
2
𝑛+1
∞
𝑛=1
diverge. Essa sequência não é limitada pois
𝑛
2
𝑛 + 1
>
𝑛
2
𝑛 + 𝑛
>
𝑛
2
.
◁
Teorema 8.25 Toda sequência monótona e limitada converge.
Demonstração: Vamos primeiro provar o resultado supondo (𝑎
𝑛
)crescente e limitada. Como
o conjunto 𝐴 = {𝑎
𝑛
: 𝑛 ∈ N
∗
} é limitado, pela propriedade de completude dos reais, esse
conjunto possui supremo, que denotaremos por 𝐿. Provaremos que 𝐿 é o limite da sequência
(𝑎
𝑛
). Como 𝐿 é supremo, claramente 𝑎
𝑛
≤ 𝐿 para todo 𝑛.
Agora seja 𝜀 > 0, então 𝐿 − 𝜖 não pode ser cota superior de 𝐴, pois isso implicaria que 𝐿
não é supremo. E assim existe um termo 𝑎
𝑁
tal que 𝑎
𝑁
> 𝐿 −𝜀. Como a sequência é crescente
isso implica que para todo 𝑛 > 𝑁
𝑎
𝑛
> 𝐿 − 𝜀
𝐿 − 𝜀 𝐿
i
𝑎
1
i
𝑎
2
i
𝑎
3
i
𝑎
𝑁
i
𝑎
𝑛
i i i i
Figura 8.6: Uma sequência monótona crescente converge para o seu supremo.
E assim
𝐿
−
𝜀 <
𝑎
𝑛
≤
𝐿
⇔ −
𝜀 <
𝑎
𝑛
−
𝐿
≤
0
< 𝜀
E logo a sequência converge a 𝐿.
Se a sequência (𝑎
𝑛
) é decrescente, a demonstração é análoga tomando 𝐿 o ínmo de 𝐴 e
será deixada como exercício
□
185
8 Sequências
Exercícios
Ex. 8.21 — Prove que se (𝑎
𝑛
) é decrescente e limitada então 𝑎
𝑛
converge.
Ex. 8.22 — Prove que as seguintes sequências divergem:
a) 𝑛 − 10000
b) 𝑛
2
− 2
c) 𝑛!
d) 𝑛
3
e) (−1)
𝑛
𝑛
f) 𝑎
1
= 1 𝑎
𝑛
= 𝑛!𝑎
𝑛−1
g)
√
𝑛 (Dica: eleve ao quadrado)
h) sen(𝑛) (Difícil)
i)
1
sen(𝑛)
(Difícil)
Ex. 8.23 — Dado 𝑘 ∈ N
∗
.
a) Seja (𝑎
𝑛
)
∞
𝑛=1
uma sequência real convergente e seja 𝑏
𝑛
= 𝑎
𝑛+𝑘
a sequência obtida “re-
movendo os 𝑘 primeiros termos de 𝑎
𝑛
”. Prove que 𝑏
𝑛
converge e que
lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
.
b) Prove que se 𝑏
𝑛
converge então 𝑎
𝑛
converge e que:
lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
.
Ou seja, a convergência da sequência independe de um número nito de termos ini-
ciais.
O número 𝑒
Como já mostramos, a sequência
1 +
1
𝑛
𝑛
é monótona crescente e limitada. Logo pelo teo-
rema 8.25 ela converge. O limite dessa sequência é chamado número de Euler ou simples-
mente “e” e é denotado por 𝑒. Pelas estimativas que obtivemos no exemplo 8.11, sabemos que
esse número está entre 2 e 3. Com um pouco mais de esforço pode-se provar que os primeiros
dígitos do número 𝑒 são 2, 71828183, ou seja 𝑒 ≈ 2, 71828183), e que 𝑒 é irracional.
De posse do número 𝑒, conforme descrito na seção 7.6.1, podemos denir a função expo-
nencial de base 𝑒 que neste caso será denominada apenas por exponencial. .
186
Bases Matemáticas
Como valem as desigualdades 2 < 𝑒 < 3, temos as seguintes desigualdades entre funções:
se 𝑥 > 0 então 2
𝑥
< 𝑒
𝑥
< 3
𝑥
e se 𝑥 < 0 então 3
𝑥
< 𝑒
𝑥
< 2
𝑥
e assim podemos representar o
gráco da função exponencial como:
0
2 4−2−4
2
4
𝑒
𝑥
2
𝑥
3
𝑥
O logaritmo de base 𝑒 é denominado função logaritmo natural ou simplesmente loga-
ritmo. Como já apresentado na na seção 7.6.2, a função logaritmo é a função ln : (0, +∞) → R
dada pela regra
ln 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑒
𝑦
= 𝑥
O gráco da função logaritmo natural está representado abaixo:
0
1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5
−1
−2
−3
−4
−5
1
2
3
𝑒
𝑥
ln(𝑥)
8.2.3 Propriedades do Limite de Sequências
Vamos nessa seção apresentar algumas propriedades dos limites que serão muito úteis nos
cálculos dos mesmos.
Proposição 8.26 Propriedades Algébricas do Limite.
Seja 𝑐 um número real e (𝑎
𝑛
)e (𝑏
𝑛
)duas sequências convergentes, tais que lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= 𝐴 e lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= 𝐵.
Então:
L1. lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛
) = 𝐴 + 𝐵. (Limite da Soma)
187
8 Sequências
L2. lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛
− 𝑏
𝑛
) = 𝐴 − 𝐵. (Limite da Diferença)
L3. lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛
· 𝑏
𝑛
) = 𝐴𝐵. (Limite do Produto)
L4. lim
𝑛→∞
(𝑐𝑎
𝑛
) = 𝑐𝐴.
L5. Se lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= 𝐵 ≠ 0 então lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
=
𝐴
𝐵
. (Limite do Quociente)
L6. lim
𝑛→∞
|
𝑎
𝑛
|
=
|
𝐴
|
. (Limite do módulo )
L7. Se 𝑘 é impar, lim
𝑛→∞
𝑘
√
𝑎
𝑛
=
𝑘
√
𝐴. (Limite da raiz)
L8. Se 𝑘 é par e 𝑎
𝑛
> 0, lim
𝑛→∞
𝑘
√
𝑎
𝑛
=
𝑘
√
𝐴. (Limite da raiz)
A demonstração dessas propriedades serão apresentadas na próxima seção, antes disso
ilustraremos sua utilização no cálculo de alguns limites.
Exercício Resolvido 8.27 lim
𝑛→∞
𝑛 + 1
𝑛
= 1.
Solução: Pela propriedade da soma (L1), se os limites lim
𝑛→∞
1, lim
𝑛→∞
1
𝑛
existirem, então
lim
𝑛→∞
𝑛 + 1
𝑛
= lim
𝑛→∞
1 + lim
𝑛→∞
1
𝑛
Mas, como já demonstramos lim
𝑛→∞
1 = 1, por ser uma sequência constante e lim
𝑛→∞
1
𝑛
=
0
e assim
lim
𝑛→∞
𝑛 + 1
𝑛
= 1
◁
Exercício Resolvido 8.28 Para todo 𝑘 ∈ N
∗
, lim
𝑛→∞
1
𝑛
𝑘
= 0.
Solução: Vamos provar por indução. O caso 𝑘 = 1 já foi feito. Assim vamos supor por hipótese
indutiva que lim
𝑛→∞
1
𝑛
𝑘−1
= 0. Mas usando a L3 temos que;
lim
𝑛→∞
1
𝑛
𝑘
= lim
𝑛→∞
1
𝑛
· lim
𝑛→∞
1
𝑛
𝑘−1
= 0 · 0 = 0
◁
Exercícios
Ex. 8.24 — Prove por indução que se lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= 𝑎 então
lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛
)
𝑘
= 𝑎
𝑘
,
para todo 𝑘 ∈ N
∗
.
188
Bases Matemáticas
Ex. 8.25 — Usando o exercício anterior, mostre que dados 𝑝, 𝑞 ∈ N
∗
, se lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= 𝑎 então
lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛
)
𝑝
𝑞
= 𝑎
𝑝
𝑞
.
Ex. 8.26 — (Difícil) Mostre que dado 𝛼 ∈ R, se lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= 𝑎 então
lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛
)
𝛼
= 𝑎
𝛼
.
Exercício Resolvido 8.29 lim
𝑛→∞
2𝑛
2
+ 1
𝑛
2
+ 3
Solução: Observe que não podemos usar L5 pois ambas as sequências do numerador e do
denominador são divergentes.
Para calcularmos esse limite devemos usar a seguinte estrategia começamos dividindo por
𝑛
2
o numerador e o denominador, e logo:
lim
𝑛→∞
2𝑛
2
+ 1
𝑛
2
+ 3
= lim
𝑛→∞
2 +
1
𝑛
2
1 +
3
𝑛
2
Supondo que os limites no denominador e no numerador existam, podemos usar L5, e temos
=
lim
𝑛→∞
2 +
1
𝑛
2
lim
𝑛→∞
1 +
3
𝑛
2
Supondo que os limites de cada termo da soma existam, podemos usar que o limite da
soma é a soma dos limites (L1) e
=
lim
𝑛→∞
2 + lim
𝑛→∞
1
𝑛
2
lim
𝑛→∞
1 + lim
𝑛→∞
3
𝑛
2
=
2 + 0
1 + 0
= 2
Veja que no nal, chegamos que cada limite de cada termo soma existia, o que implica que
o limite no numerador e denominador existiam, e assim nossa cadeia de raciocínios estava
correta, pois cada suposição era correta. ◁
Exercício Resolvido 8.30 lim
𝑛→∞
4𝑛
4
+ 2𝑛
3
+ 3
5𝑛
4
+ 3
Solução: Novamente não podemos usar a propriedade L5 pois as sequências no denomi-
nador e numerador não convergem, pois ambas são ilimitadas. Novamente a estratégia é
189
8 Sequências
começar dividindo o numerador e o denominador pelo termo do polinômio de maior grau,
neste caso 𝑛
4
. Desta forma temos:
lim
𝑛→∞
4𝑛
4
+ 2𝑛
3
+ 3
5𝑛
4
+ 3
= lim
𝑛
→∞
4 +
2
𝑛
+
3
𝑛
4
5 +
3
+
3
𝑛
4
= lim
𝑛→∞
4 +
2
𝑛
+
3
𝑛
4
5 +
3
𝑛
4
Agora por L1 temos que:
lim
𝑛→∞
4 +
2
𝑛
+
3
𝑛
4
= 4 e lim
𝑛→∞
5 +
3
𝑛
4
= 5
e por L5 temos que
lim
𝑛→∞
4 +
2
𝑛
+
3
𝑛
4
5 +
3
𝑛
4
=
lim
𝑛→∞
4 +
2
𝑛
+
3
𝑛
4
lim
𝑛→∞
5 +
3
𝑛
4
=
4
5
◁
Exercício Resolvido 8.31 lim
𝑛
→∞
1 −
1
𝑛
𝑛
Solução:
Vamos calcular esse limite reduzindo seu calculo ao limite conhecido lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛
𝑛
= 𝑒.
Para tanto começamos com algumas manipulações algébricas:
lim
𝑛→∞
1 −
1
𝑛
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛 − 1
𝑛
𝑛
(8.4)
= lim
𝑛→∞
1
𝑛
𝑛−1
𝑛
(8.5)
= lim
𝑛→∞
1
1 +
1
𝑛−1
𝑛
(8.6)
= lim
𝑛→∞
1
1 +
1
𝑛−1
𝑛−1
1 +
1
𝑛−1
(8.7)
Para calcularmos o limite
lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛 − 1
𝑛−1
observe que a sequência 𝑏
𝑛
=
1 +
1
𝑛−1
𝑛
−
1
e a sequência 𝑒
𝑛
=
1 +
1
𝑛
𝑛
são tais que 𝑒
𝑛
= 𝑏
𝑛+1
e assim pelo exercício 8.23 elas possuem o mesmo limite
lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛 − 1
𝑛−1
= lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛
𝑛
= 𝑒
e como
lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛 − 1
= 1
190
Bases Matemáticas
Temos que
lim
𝑛→∞
1
1 +
1
𝑛−1
𝑛−1
1 +
1
𝑛−1
= 𝑒
−1
◁
Exercício Resolvido 8.32 lim
𝑛→∞
𝑛 − 1
𝑛 + 1
𝑛
Solução:
lim
𝑛→∞
𝑛 − 1
𝑛 + 1
ℎ
= lim
𝑛→∞
𝑛−1
𝑛
𝑛
𝑛+1
𝑛
𝑛
(8.8)
= lim
𝑛→∞
1 −
1
𝑛
𝑛
1 +
1
𝑛
𝑛
(8.9)
= lim
𝑛→∞
1 −
1
𝑛
−𝑛
−1
1 +
1
𝑛
𝑛
=
𝑒
−1
𝑒
= 𝑒
−2
(8.10)
◁
Exercício Resolvido 8.33 lim
𝑛→∞
𝑛
q
3 +
1
𝑛
−
√
3
Solução: Observe inicialmente que não podemos usar que o limite da multiplicação é a mul-
tiplicação dos limite, pois lim
𝑛
→∞
𝑛 não existe (essa sequência não é limitada). Para calcular
esse limite vamos usar o articio de primeiramente multiplicar e dividir pelo conjugado
q
3 +
1
𝑛
+
√
3
:
lim
𝑛→∞
𝑛
r
3 +
1
𝑛
−
√
3
!
= lim
𝑛→∞
𝑛
q
3 +
1
𝑛
−
√
3
q
3 +
1
𝑛
+
√
3
q
3 +
1
𝑛
+
√
3
= lim
𝑛→∞
𝑛(3 +
1
𝑛
− 3)
q
3 +
1
𝑛
+
√
3
= lim
𝑛→∞
1
q
3 +
1
𝑛
+
√
3
=
1
2
√
3
L5
◁
191
8 Sequências
8.2.4 Teorema do confronto
Um modo extremamente ecaz de calcular limites é o teorema do confronto, que em termos
vagos nos diz que se uma sequência está ensanduichada por duas outras que convergem ao
mesmo limite, então a sequência ensanduichada também converge a esse limite.
Teorema 8.34 (Teorema do confronto ) Dadas (𝑎
𝑛
), (𝑏
𝑛
)(𝑐
𝑛
) sequências reais tais que 𝑎
𝑛
≤
𝑏
𝑛
≤ 𝑐
𝑛
para todo 𝑛 > 𝑛
0
. Então se lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑐
𝑛
= 𝐿, então existe lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= 𝐿.
Exercício Resolvido 8.35 Se
|
𝑟
|
< 1 então lim
𝑛→∞
𝑟
𝑛
= 0
Solução: Provaremos primeiramente o caso 0 < 𝑟 < 1, neste caso como 𝑟 < 1 então
1
𝑟
> 1 e
desta forma
1
𝑟
= 1 + 𝛼 ⇔ 𝑟 =
1
1+𝛼
.
Pelo exercício 8.36 temos que
(
1 + 𝛼
)
𝑛
> 1 + 𝑛𝛼 e assim
0 < 𝑟
𝑛
=
1
(1 + 𝛼)
𝑛
<
1
1 + 𝑛𝛼
<
1
𝑛𝛼
e logo pelo teorema do confronto o limite é zero.
No caso que −1 < 𝑟 < 0, note que −
|
𝑟
|
𝑛
< 𝑟
𝑛
<
|
𝑟
|
𝑛
e agora como 0 <
|
𝑟
|
< 1, temos que
|
𝑟
|
𝑛
→ 0 e assim novamente usando o teorema do confronto temos que 𝑟
𝑛
→ 0. ◁
Exercício Resolvido 8.36 lim
𝑛→∞
sen(𝑛)
𝑛
= 0
Solução: Como: −1 ≤ sen(𝑥) ≤ 1, dividindo essa desigualdade por 𝑛 temos:
−
1
𝑛
≤
sen(𝑛)
𝑛
≤
1
𝑛
Como lim
𝑛→∞
1
𝑛
= lim
𝑛→∞
−
1
𝑛
= 0, pelo teorema do confronto
lim
𝑛→∞
sen
(
𝑛
)
𝑛
= 0
◁
Exercício Resolvido 8.37 lim
𝑛→∞
sen
1
𝑛
= 0
0
Sin(x)
b
𝑂
b
𝐵
𝑥
b
𝐶
b
𝐴
sen(𝑥)
Solução: Considere no círculo trigonométrico um ângulo 𝑥
tal que
0 < 𝑥 <
𝜋
2
,
conforme apresentado na gura ao lado. Geometricamente,
temos que área do triângulo 𝑂𝐵𝐶, que vale sen(𝑥)/2, é me-
nor que a área do setor circular 𝑂𝐵𝐶, cujo valor é
𝑥
/2. Con-
sequentemente para 0 < 𝑥 <
𝜋
2
, valem as desigualdades:
192
Bases Matemáticas
0 < sen(𝑥) < 𝑥
Tomando 𝑥 =
1
𝑛
(porque podemos?) na desigualdade anterior temos que :
0 < sen(
1
𝑛
) <
1
𝑛
,
e consequentemente pelo teorema do confronto, como lim
𝑛→∞
0 = lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0, temos que
lim
𝑛→∞
sen
1
𝑛
= 0.
◁
0
2 4 6 8 10 12 14 16 18
−0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b b
b b
b b b
b
Figura 8.7: Gráco da sequência sen
(
1
/𝑛
)
O último exemplo de uso do teorema do confronto que iremos apresentar é de extrema
importância, e é conhecido como limite fundamental.
Exercício Resolvido 8.38 Limite Fundamental lim
𝑛→∞
𝑛 sen
1
𝑛
= 1.
0
Sin(x)
b
𝑂
b
𝐵
x
b
𝐶
b
𝐴
b
𝐷
cos(𝑥)
sen(𝑥)
ℎ =
sen(𝑥)
cos(𝑥)
Solução: Começaremos provando que para
0 < 𝑥 <
𝜋
2
valem as desigualdades:
0 < cos(𝑥) <
sen 𝑥
𝑥
<
1
cos(𝑥)
.
Considere no círculo trigonométrico um ângulo 𝑥
com
0 < 𝑥 <
𝜋
2
,
conforme apresentado na gura ao lado, como os triângulos 𝑂𝐶𝐵 e 𝑂𝐴𝐷 são semelhan-
tes, se denotarmos por ℎ o tamanho do segmento 𝐴𝐷, por semelhança de triângulos temos
que
ℎ
1
=
sen(𝑥)
cos(𝑥)
193
8 Sequências
e logo Área(𝑂𝐴𝐷) =
sen(𝑥)
2 cos(𝑥)
.
Se denotarmos a área do setor circular delimitado pelos pontos 𝑂, 𝐴, 𝐵 por Área(𝑂𝐴𝐵),
pela gura ao lado é fácil ver que valem as desigualdades para 𝑥 <
𝜋
2
:
Área(𝑂𝐵𝐶) < Área(𝑂𝐴𝐵) < Área(𝑂𝐴𝐷)
⇒
1
2
sen(𝑥)cos(𝑥) <
1
2
𝑥 <
sen(𝑥)
2 cos(𝑥)
Dividindo por 2 sen)(𝑥) temos:
cos(𝑥) <
𝑥
sen(𝑥)
<
1
cos(𝑥)
Finalmente, Comparando os inversos dos três termos, obtemos:
⇒ cos(𝑥) <
sen 𝑥
𝑥
<
1
cos(𝑥)
.
Tomando 𝑥 =
1
/𝑛 na desigualdade anterior, temos:
0 < cos
(
1
/𝑛
)
<
sen
(
1
/𝑛
)
1
/𝑛
<
1
cos
(
1
/𝑛
)
.
Como lim
𝑛→∞
cos(
1
/𝑛) = 1 (veja exercício 8.27), e como pela propriedade L5:
lim
𝑛→∞
1
cos
(
1
/𝑛
)
=
1
lim
𝑛→∞
cos
(
1
/𝑛
)
=
1
1
= 1,
pelo teorema do confronto temos que:
lim
𝑛→∞
𝑛 sen
1
𝑛
= 1.
◁
0
5 10 15
0.5
1.0
b
b
b
b b
b b b b b b b b b b b b b b b
𝑛 sen
1
𝑛
→ 1
Figura 8.8: Gráco da Sequência 𝑛 sen
(
1
/𝑛
)
Exercício Resolvido 8.39 Seja 𝑎
𝑛
uma sequência limitada e 𝑏
𝑛
uma sequência que converge
194
Bases Matemáticas
a 0 então:
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
→ 0
Solução:
Como 𝑎
𝑛
é limitada, existe 𝐶 tal que
−𝐶 < 𝑎
𝑛
< 𝐶.
Multiplicando a desigualdade anterior por
|
𝑏
𝑛
|
temos:
−𝐶
|
𝑏
𝑛
|
< 𝑎
𝑛
< 𝐶
|
𝑏𝑛
|
.
Agora como 𝑏
𝑛
→ 0 então
|
𝑏
𝑛
|
→ 0 e assim 𝐶
|
𝑏𝑛
|
→ 0 e −𝐶
|
𝑏𝑛
|
→ 0, logo pelo teorema
do confronto 𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
→ 0.
◁
Exercícios
Ex. 8.27 — Mostre que lim
𝑛→∞
cos(
1
𝑛
) = 1 (Dica: observe que cos(𝑥) =
p
1 − sen(𝑥)
2
e use as
propriedades do limite).
Ex. 8.28 — Calcule lim
𝑛→∞
tan(
1
𝑛
)
Ex. 8.29 — Calcule os seguintes limites:
a) lim
𝑛→∞
4 sen
1
𝑛
+ 2 cos
1
𝑛
b) lim
𝑛→∞
3 + 2 sen
1
𝑛
7 + 2 cos
1
𝑛
c) lim
𝑛→∞
3𝑛 + 1
𝑛 + 1
d) lim
𝑛→∞
r
2𝑛
2
3𝑛
2
+ 1
e) lim
𝑛→∞
𝑛
8𝑛
2
+ 𝑛 + 3
f) lim
𝑛→∞
r
5 +
2
𝑛
g) lim
𝑛→∞
9𝑛
3
4𝑛
4
+ 3𝑛
3
h) lim
𝑛→∞
9𝑛
9
+ 3𝑛 − 2
4𝑛
9
+ 4𝑛
8
i) lim
𝑛→∞
q
9𝑛
9
+3𝑛−2
4𝑛
9
+4𝑛
8
195
8 Sequências
j) lim
𝑛→∞
sen(
1
/6𝑛)
sen(
1
/4𝑛)
k) lim
𝑛→∞
tan(
1
/7𝑛)
tan(
1
/3𝑛)
l) lim
𝑛→∞
𝑛 tan(
1
𝑛
)
m) lim
𝑛→∞
𝑛 −
√
𝑛
2
+ 2
n) lim
𝑛→∞
3 +
1
𝑛
2
− 3
2
1
𝑛
o) lim
𝑛→∞
q
4 +
1
𝑛
−
√
4
𝑛
p) lim
𝑛→∞
q
4 −
1
𝑛
−
√
4
𝑛
Ex. 8.30 — Mostre usando o teorema do confronto que se 𝑎
𝑛
→ 0 então:
lim
𝑛→∞
sen(𝑎
𝑛
) = 0
Conclua então que se 𝑎
𝑛
→ 0 então lim
𝑛→∞
cos(𝑎
𝑛
) = 1.
Ex. 8.31 — Mostre que lim
𝑛→∞
cos
3
𝑛
3
𝑛
5
= 0
Ex. 8.32 — Mostre que lim
𝑛→∞
2
cos
(
𝑛
2
+2
𝑛
)
√
𝑛
= 0
Ex. 8.33 — Usando as formulas para cos(𝑎 + 𝑏) e sen(𝑎 + 𝑏) e o exercício 8.30, mostre que se
𝑎
𝑛
→ 0 então:
a) lim
𝑛→∞
sen(𝑥 + 𝑎
𝑛
) = sen(𝑥)
b) lim
𝑛→∞
cos(𝑥 + 𝑎
𝑛
) = cos(𝑥).
Uma função que satisfaz 𝑓 (𝑥 + 𝑎
𝑛
) → 𝑓 (𝑥) para toda sequência 𝑎
𝑛
tal que 𝑎
𝑛
→ 0 é
dita contínua.
Ex. 8.34 — Seja ℎ ∈ R ≠ 0. Usando identidades trigonométricas mostre que:
a)
sen(𝑥+ℎ)−sen(𝑥)
ℎ
=
sen(ℎ/2)
ℎ/2
cos
𝑥 +
ℎ
2
b)
cos(𝑥+ℎ)−cos(𝑥)
ℎ
= −
sen(ℎ/2)
ℎ/2
sen
𝑥 +
ℎ
2
Ex. 8.35 — Use a identidade do exercício anterior para mostrar que:
196
Bases Matemáticas
a) lim
𝑛→∞
sen(𝑥 +
1
𝑛
) − sen(𝑥)
1
𝑛
= cos(𝑥)
b) lim
𝑛→∞
cos(𝑥 +
1
𝑛
) − cos(𝑥)
1
𝑛
= −sen(𝑥)
Ex. 8.36 — Prove a desigualdade binomial: (1 + 𝑥)
𝑛
≥ 1 + 𝑛𝑥 para todo 𝑥. [Sugestão: Use a
expansão Binomial]
Ex. 8.37 — Sejam 𝑎
𝑛
e 𝑏
𝑛
duas sequências divergentes então 𝑎
𝑛
+𝑏
𝑛
necessariamente diverge?
8.2.5 ★ Demonstração das Propriedades do Limite
Nesta seção apresentaremos as demonstrações de algumas das propriedades do limite e a
demonstração do teorema do confronto.
Teorema 8.40 Seja 𝑐 um número real e (𝑎
𝑛
)e (𝑏
𝑛
)duas sequências convergentes, tais que lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
=
𝐴 e lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= 𝐵. Então:
(i) lim
𝑛→∞
(𝑐𝑎
𝑛
) = 𝑐𝐴.
(ii) lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛
) = 𝐴 + 𝐵.
(iii) lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛
· 𝑏
𝑛
) = 𝐴𝐵.
(iv) Se lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= 𝐴 ≠ 0 então lim
𝑛→∞
(
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
) =
𝐴
𝐵
.
Demonstração: i Começaremos considerando o caso 𝑐 ≠ 0. Nosso objetivo é mostrar que a
sequência (𝑐𝑎
𝑛
) converge a 𝑐𝑎, ou seja nós queremos achar um ponto (𝑀) a partir do
qual
|
𝑐𝑎
𝑛
− 𝑐𝑎
|
< 𝜀.
Observamos inicialmente que vale a igualdade:
|
𝑐𝑎
𝑛
− 𝑐𝑎
|
=
|
𝑐
| |
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
(8.11)
Como por hipótese sabemos que 𝑎
𝑛
→ 𝑎, isto implica que existe um ponto 𝑀
1
a partir
do qual a diferença entre a sequência 𝑎
𝑛
e 𝑎 é tão pequena quanto queiramos, ou seja:
se 𝑛 > 𝑀
1
então temos que
|
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
<
𝜀
|
𝑐
|
(8.12)
197
8 Sequências
(veja que o número real escolhido nesse caso foi
𝜀
|
𝑐
|
, falaremos mais sobre o porque
dessa escolha depois, por enquanto apenas note que podemos escolher esse número, e
que pela denição de limite vai existir um ponto 𝑀
1
a partir do qual a desigualdade
8.12 é válida.)
Agora basta combinarmos as equações 8.11 e 8.12 para terminarmos a demonstração.
Vejamos como:
Seja 𝑀 = 𝑀
1
, como denimos acima, então para 𝑛 > 𝑀
1
temos que:
|
𝑐𝑎
𝑛
− 𝑐𝑎
|
=
|
𝑐
| |
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
<
|
𝑐
|
𝜀
|
𝑐
|
< 𝜀. (8.13)
E assim provamos que (𝑐𝑎
𝑛
) → 𝑐𝑎.
Antes de fazermos a demonstração dos outros itens. Vamos observar alguns pontos im-
portantes. Primeiro porque escolher
𝜀
|
𝑐
|
? A resposta é simples: para que a demonstração
funcione, nem mais nem menos. Com essa escolha foi fácil provar
|
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
< 𝜀. Ou seja,
“para aonde eu devo ir, depende de onde quero chegar”. É possível de antemão saber
que escolha deve ser feita? Na verdade, não é necessário saber de antemão, vejamos
como refazendo a demonstração:
Segunda demonstração Reobservamos que vale a igualdade:
|
𝑐𝑎
𝑛
− 𝑐𝑎
|
=
|
𝑐
| |
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
(8.14)
Como por hipótese sabemos que 𝑎
𝑛
→ 𝑎, isto implica que existe um ponto 𝑀
1
a partir
do qual a diferença é tão pequena quanto queiramos, ou seja: se 𝑛 > 𝑀
1
então temos
que
|
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
< 𝜀
1
(8.15)
Agora basta combinarmos as equações 8.14 e 8.15 temos que
Seja 𝑀 = 𝑀
1
, como denimos acima, então para 𝑛 > 𝑀
1
temos que:
|
𝑐𝑎
𝑛
− 𝑐𝑎
|
=
|
𝑐
| |
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
<
|
𝑐
|
𝜀
1
(8.16)
Agora como podemos escolher 𝜀
1
tão pequeno quanto queiramos, escolhemos 𝜀
1
=
𝜀
|
𝑐
|
e assim 8.16 ca:
|
𝑐𝑎
𝑛
− 𝑐𝑎
|
=
|
𝑐
| |
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
<
|
𝑐
|
𝜀
1
=
|
𝑐
|
𝜀
|
𝑐
|
= 𝜀 (8.17)
O que prova que (𝑐𝑎
𝑛
) → 𝑐𝑎.
Vale observar também mais alguns fatos: foi fundamental a liberdade de podermos es-
colher o primeiro 𝜀 tão pequeno quanto queiramos. É fundamental, em demonstrações
de limites entender quando e como escolher essas grandezas.
198
Bases Matemáticas
(ii) Para provarmos que (𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛
) → (𝑎 + 𝑏), precisamos estimar
|
(
𝑎
𝑛
+
𝑏
𝑛
) − (
𝑎
+
𝑏
)
|
para valores grandes de 𝑛, e para esses valores obter que o módulo anterior é menor
que 𝜀.
Começamos reordenado o módulo anterior, e assim:
|
(𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛
) − (𝑎 + 𝑏)
|
=
|
(𝑎
𝑛
− 𝑎) +(𝑏
𝑛
− 𝑏)
|
Agora usaremos a desigualdade triangular para obtermos:
|
(𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛
) − (𝑎 + 𝑏)
|
=
|
(𝑎
𝑛
− 𝑎) +(𝑏
𝑛
− 𝑏)
|
<
|
(𝑎
𝑛
− 𝑎)
|
+
|
(𝑏
𝑛
− 𝑏)
|
(8.18)
Veja que reduzimos o problema de estimarmos
|
(𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛
) − (𝑎 + 𝑏)
|
ao problema de es-
timarmos
|
(𝑎
𝑛
− 𝑎)
|
e
|
(𝑏
𝑛
− 𝑏)
|
. Mas essas estimativas nos são dadas pela denição que
as sequência 𝑎
𝑛
e 𝑏
𝑛
convergem respectivamente a 𝑎 e 𝑏.
Como 𝑎
𝑛
→ 𝑎, por denição de convergência, temos que existe um ponto 𝑀
1
a partir
do qual
|
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
<
𝜀
2
, i.e,
|
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
<
𝜀
2
sempre que 𝑛 > 𝑀
1
(8.19)
Por outro lado como por hipótese 𝑏
𝑛
→ 𝑏, por denição de convergência, temos que
existe um ponto 𝑀
2
a partir do qual
|
𝑏
𝑛
− 𝑏
|
<
𝜀
2
, i.e,
|
𝑏
𝑛
− 𝑏
|
<
𝜀
2
sempre que 𝑛 > 𝑀
2
(8.20)
Aqui é importante observar que a convergência de (𝑎
𝑛
) e (𝑏
𝑛
) implica que para cada
uma dessas sequência temos um ponto para o qual cada uma delas é menor que 𝜀,
respectivamente 𝑀
1
e 𝑀
2
. A priori, esses pontos não são iguais e portanto é necessário
distingui-los. Intuitivamente eles são distintos pois as séries podem convergir com velo-
cidades diferentes. Veja que a denição de convergência de cada série diz que para essa
série existe um ponto (que depende da série, e do épsilon) a partir do qual os termos
série estão a distância menor que 𝜀 do limite.
Feita essa observação, veja que existe um ponto a partir do qual ambas as sequências
estão simultaneamente na 𝜀-vizinhança de seus limites, esse ponto é 𝑀 = max{𝑀
1
, 𝑀
2
}
pois se 𝑛 > 𝑀 então valem:
|
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
<
𝜀
2
sempre que 𝑛 > 𝑀 (8.21)
|
𝑏
𝑛
− 𝑏
|
<
𝜀
2
sempre que 𝑛 > 𝑀 (8.22)
199
8 Sequências
pois se 𝑛 > 𝑀 então 𝑛 > 𝑀
1
e 𝑛 > 𝑀
2
. Ou seja a partir do ponto 𝑀 os termos de ambas
as séries vão estar a distância menor que 𝜀 do seus limites, como dito anteriormente.
Agora, temos todos os ingredientes da nossa demonstração. Dado 𝜀 > 0 seja 𝑀 =
max{𝑀
1
, 𝑀
2
} então por 8.18
|
(𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛
) − (𝑎 + 𝑏)
|
=
|
(𝑎
𝑛
− 𝑎) +(𝑏
𝑛
− 𝑏)
|
<
|
(𝑎
𝑛
− 𝑎)
|
+
|
(𝑏
𝑛
− 𝑏)
|
e substituindo 8.21 e 8.22 na equação anterior temos:
|
(𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛
) − (𝑎 + 𝑏)
|
=
|
(𝑎
𝑛
− 𝑎) +(𝑏
𝑛
− 𝑏)
|
<
|
(𝑎
𝑛
− 𝑎)
|
+
|
(𝑏
𝑛
− 𝑏)
|
<
𝜀
2
+
𝜀
2
= 𝜀.
(iii) Vamos provar que (𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
) → 𝑎𝑏. Observamos primeiramente que vale as desigualdades
|
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
− 𝑎𝑏
|
=
|
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
− 𝑎𝑏
𝑛
+ 𝑎𝑏
𝑛
− 𝑎𝑏
|
(8.23)
≤
|
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
− 𝑎𝑏
𝑛
|
+
|
𝑎𝑏
𝑛
− 𝑎𝑏
|
(8.24)
≤
|
𝑏
𝑛
| |
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
+
|
𝑎
| |
𝑏
𝑛
− 𝑏
|
(8.25)
No primeiro passo acima adicionamos e subtraímos 𝑎𝑏
𝑛
, o que nos permitiu usar a
desigualdade triangular. Esta é uma técnica inteligente e a usaremos algumas vezes.
Agora vamos proceder como anteriormente fazendo cada pedaço da ultima desigual-
dade menor que
𝜀
2
e assim fazendo a soma menor que 𝜀.
Vamos agora supor que 𝑎 ≠ 0 (o caso 𝑎 = 0 deixamos como exercício ao leitor). Como
(𝑏
𝑛
) → 𝑏, existe 𝑀
1
tal que se 𝑛 > 𝑀
1
então
|
𝑏
𝑛
− 𝑏
|
<
𝜀
|
𝑎
|
2
(8.26)
Feito isso temos uma estimativa para o segundo termo da equação 8.25. Estimar o pri-
meiro termo, i.e,
|
𝑏
𝑛
| |
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
existe um pouco mais de cuidado, pois neste termo esta-
mos multiplicando por
|
𝑏
𝑛
|
que é um termo variável. Como já vimos em existe uma cota
𝐶 tal que para todo 𝑛 temos que
|
𝑏
𝑛
<
|
𝐶 e observamos que está cota pode ser escolhida
diferente de zero. (Porque?) e assim como 𝑎
𝑛
→ 𝑎 existe um ponto 𝑀
2
tal que se 𝑛 > 𝑀
2
então:
|
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
<
𝜀
𝐶
(8.27)
Agora podemos terminar a demonstração, para tanto seja 𝑀 = max{𝑀
1
, 𝑀
2
}, então se
𝑛 > 𝑀 temos que:
200
Bases Matemáticas
|
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
− 𝑎𝑏
|
=
|
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
− 𝑎𝑏
𝑛
+ 𝑎𝑏
𝑛
− 𝑎𝑏
|
(8.28)
≤
|
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
− 𝑎𝑏
𝑛
|
+
|
𝑎𝑏
𝑛
− 𝑎𝑏
|
(8.29)
≤
|
𝑏
𝑛
| |
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
+
|
𝑎
| |
𝑏
𝑛
− 𝑏
|
(8.30)
< 𝐶
|
𝑎
𝑛
− 𝑎
|
+
|
𝑎
| |
𝑏
𝑛
− 𝑏
|
(8.31)
< 𝐶
𝜀
𝐶
+
|
𝑎
|
𝜀
|
𝑎
|
2
= 𝜀. (8.32)
(iv) Como
𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
= 𝑎
𝑛
·
1
𝑏
𝑛
,
pelo item 3 basta provarmos que se 𝑏
𝑛
→ 𝑏 então
1
𝑏
𝑛
→
1
𝑏
, sempre que 𝑏 ≠ 0. Começa-
mos observando que:
1
𝑏
𝑛
−
1
𝑏
=
|
𝑏 − 𝑏
𝑛
|
|
𝑏
| |
𝑏
𝑛
|
(8.33)
Como 𝑏
𝑛
→ 𝑏 sabemos que a sequência existe um ponto 𝑀 tal que se 𝑛 > 𝑀
1
então
|
𝑏
𝑛
−
𝑏
|
<
|
𝑏
|
2
,
(8.34)
o que implica que
|
𝑏
𝑛
|
>
|
𝑏
|
/2 (porque?). Veja que existe um outro ponto 𝑀
2
tal que se
𝑛 > 𝑁
2
então
|
𝑏
𝑛
− 𝑏
|
<
𝜀
|
𝑏
|
2
2
. (8.35)
Finalmente escolhemos 𝑀 = max{𝑀
1
, 𝑀
2
}, para 𝑛 > 𝑀, teremos:
1
𝑏
𝑛
−
1
𝑏
=
|
𝑏 − 𝑏
𝑛
|
|
𝑏
| |
𝑏
𝑛
|
<
𝜀
|
𝑏
|
2
2
1
|
𝑏
| |
𝑏/2
|
= 𝜀 (8.36)
□
Teorema 8.41 (Teorema do Confronto para Sequências) Dadas (𝑎
𝑛
), (𝑏
𝑛
)(𝑐
𝑛
)sequências re-
ais tais que 𝑎
𝑛
≤ 𝑏
𝑛
≤ 𝑐
𝑛
para todo 𝑛 > 𝑛
0
. Então se lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑐
𝑛
= 𝐿, então existe
lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= 𝐿.
Demonstração: Como 𝑎
𝑛
é convergente existe um ponto 𝑀
1
tal que se 𝑛 > 𝑀
1
, então:
|
𝑎
𝑛
− 𝐿
|
< 𝜀 ⇔ 𝐿 − 𝜀 < 𝑎
𝑛
< 𝐿 + 𝜀 (8.37)
Por outro lado como 𝑐
𝑛
é convergente existe um ponto 𝑀
2
tal que se 𝑛 > 𝑀
2
, então:
|
𝑐
𝑛
− 𝐿
|
< 𝜀 ⇔ 𝐿 − 𝜀 < 𝑐
𝑛
< 𝐿 + 𝜀 (8.38)
201
8 Sequências
Agora seja 𝑀 = max{𝑀
1
, 𝑒𝑀
2
} então pela equação 8.37 𝐿 − 𝜀 < 𝑎
𝑛
e como 𝑏
𝑛
> 𝑎
𝑛
temos
que 𝑏
𝑛
> 𝐿 − 𝜀. Já pela equação 8.38 𝑏
𝑛
< 𝐿 + 𝜀 e como 𝑐
𝑛
< 𝑏
𝑛
então 𝑏
𝑛
< 𝐿 + 𝜀. Assim
𝐿 − 𝜀 < 𝑏
𝑛
< 𝐿 + 𝜀 para todo 𝑛 > 𝑀 e assim temos que 𝑏
𝑛
converge a 𝐿. □
Exercícios
Ex. 8.38 — Mostre que se lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= 𝑎, então lim
𝑛→∞
|
𝑎
𝑛
|
=
|
𝑎
|
Ex. 8.39 — Mostre que se 𝑎
𝑛
> 0, então lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
≥ 0
202
Bases Matemáticas
8.3 Limites Innitos
8.3.1 Denição de Limites Innitos
Algumas sequencias, apesar de não convergirem possuem um comportamento inteligível
conforme o valor de 𝑛 cresce: a sequência torna-se maior que qualquer número real 𝐶 para
valores sucientemente grandes de 𝑛. Para essas sequências diremos que o limite é innito e
usaremos a notação
𝑎
𝑛
→ ∞ ou lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= ∞
Se uma sequência se torna menor que qualquer número real 𝐶, para valores suciente-
mente grandes de 𝑛, diremos que o limite da sequência é menos innito e denotaremos tal
fato por:
𝑏
𝑛
→ ∞ ou lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= −∞.
0
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
𝑎
𝑛
lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= ∞
0
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
𝑏
𝑛
lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= −∞
Limites Innitos
Dado uma sequência (𝑎
𝑛
) : N
∗
→ R , dizemos que o limite da sequências (𝑎
𝑛
) é mais
innito, fato que denotaremos por lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= ∞, se para todo 𝐶 ∈ R, existe 𝑀 ∈ N
∗
tal
que se 𝑛 > 𝑀 então 𝑎
𝑛
> 𝐶.
Dado uma sequência (𝑎
𝑛
) : N
∗
→ R, dizemos que o limite da sequências (𝑎
𝑛
) é menos
innito, fato que denotaremos por lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= −∞, se para todo 𝐶 ∈ R, existe 𝑀 ∈ N
∗
tal
que se 𝑛 > 𝑀 então 𝑎
𝑛
< 𝐶.
É importante observar que ∞ é somente uma notação para o fato da sequência se tornar
maior que qualquer número natural para termos sucientemente grandes. Dessa forma não
podemos realizar operações algébricas com o símbolo de innito. Em outras palavras as ex-
pressões ∞ − ∞ ou
∞
/∞. não fazem sentido.
Comecemos mostrando através da denição que a sequência 𝑎
𝑛
= 𝑛 possui limite innito.
Exemplo 8.42 lim
𝑛→∞
𝑛 = ∞
Solução: Queremos provar que dado 𝐶 > 0 existe 𝑀 tal que se 𝑛 > 𝑀 então:
𝑛 > 𝐶
203
8 Sequências
Como a sequência 𝑛 não é limitada superiormente, pelo menos um de seus termos, digamos
𝑎
𝑀
é maior que 𝐶. Agora se 𝑛 > 𝑀 então 𝑛 > 𝑀 > 𝐶, como queríamos. ◁
Pode-se mostrar de modo análogo que lim
𝑛→∞
(−𝑛) = −∞.
Um modo simples de mostrar que o limite de uma sequência é ∞ é mostrando que a partir
de um certo ponto ela é maior que uma sequência cujo limite já sabemos ser ∞. De modo
análogo se uma sequência a partir de um certo ponto é menor que uma sequência cujo limite
é menos innito então o limite dessa sequência é menos innito.
Teorema 8.43 (de Comparação de Sequências) Sejam 𝑎
𝑛
e 𝑏
𝑛
duas sequências reais satisfa-
zendo 𝑎
𝑛
≤ 𝑏
𝑛
para todo 𝑛.
1. Se lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= ∞ então lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= ∞.
2. Se lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= −∞ então lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= −∞.
Exemplos 8.44 Como corolário do teorema anterior, temos os seguintes limites, que são
facilmente obtidos através de comparação com uma das sequências 𝑎
𝑛
= 𝑛 e 𝑏
𝑛
= − 𝑛.
1. lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛
= ∞
2. lim
𝑛→∞
𝑛! = ∞
3. lim
𝑛→∞
2
𝑛
= ∞
4. Dado 𝑘 ∈ N
∗
então lim
𝑛→∞
𝑛
𝑘
= ∞.
5. Dado
𝑘
∈
N
∗
ímpar então
lim
𝑛→∞
(−
𝑛
)
𝑘
=
−∞
6. Dado 𝑘 ∈ N
∗
par então lim
𝑛→∞
(−𝑛)
𝑘
= ∞
7. lim
𝑛→∞
𝑒
𝑛
= ∞
◁
Proposição 8.45 Se 𝑎
𝑛
é uma sequência não-decrescente e não limitada superiormente, então 𝑎
𝑛
→
∞.
Demonstração: Seja 𝐶 ∈ R, como 𝑎
𝑛
não é limitada superiormente existe 𝑎
𝑁
tal que 𝑎
𝑁
> 𝐶.
Como a sequência 𝑎
𝑛
é não-decrescente, se 𝑛 > 𝑁 então 𝑎
𝑛
≥ 𝑎
𝑁
> 𝐶 e assim 𝑎
𝑛
→ ∞. □
De modo análogo, pode-se provar que se 𝑎
𝑛
é não-crescente e não limitada inferiormente
então seu limite é −∞.
204
Bases Matemáticas
Exemplo 8.46 lim
𝑛→∞
ln 𝑛 = ∞
Solução: A sequência ln (𝑛) é monótona crescente, logo temos duas possibilidades ou ela é
limitada superiormente e nesse caso converge ou ela é ilimitada superiormente e neste caso
seu limite é ∞.
Suponha que ln 𝑛 fosse limitada superiormente. ou seja existe 𝐶 ∈ R tal que ln 𝑛 < 𝐶 para
todo 𝑛 ∈ N
∗
. Neste caso teríamos que 𝑛 = 𝑒
ln 𝑛
< 𝑒
𝐶
, e a sequência 𝑛 seria limitada superior-
mente. Absurdo. E assim temos que a sequência ln 𝑛 é ilimitada e seu limite é ∞ ◁
A seguinte proposição descreve o limite do inverso de uma sequência nos casos em que o
limite da sequência inicial é zero ou innito. Intuitivamente, ele nos diz que o inverso de algo
muito grande é muito pequeno, que o inverso de algo pequeno (próximo de zero)e positivo
é muito grande, e que que o inverso de algo pequeno (próximo de zero) e negativo é muito
grande em módulo, mas de sinal negativo.
0
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
𝑎
𝑛
→ 0
1
/𝑎
𝑛
→ ∞
0
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b b
b
b
b b b
b
b b
b b b b
1
/𝑎
𝑛
→ −∞
𝑎
𝑛
→ 0
Proposição 8.47
Se 𝑎
𝑛
> 0 e lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= 0 então lim
𝑛→∞
1
𝑎
𝑛
= ∞.
Se 𝑎
𝑛
< 0 e lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= 0 então lim
𝑛→∞
1
𝑎
𝑛
= −∞.
Se 𝑎
𝑛
≠ 0 lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= ∞ ou lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= −∞ então lim
𝑛→∞
1
𝑎
𝑛
= 0
Exemplo 8.48 Se 𝑟 > 1 então lim
𝑛→∞
𝑟
𝑛
= ∞
Solução: Se
𝑟
>
1
então
1
/
𝑟
<
1
o que implica que
lim
𝑛→∞
(
1
/
𝑟
)
𝑛
=
0
. Como
(
1
/
𝑟
)
𝑛
>
0
, temos pela
proposição 10.7 que lim
𝑛→∞
𝑟
𝑛
=
1
(
1
/𝑟
)
𝑛
= ∞. ◁
Exemplo 8.49 lim
𝑛→∞
1
sen
(
1
/𝑛
)
= ∞
205
8 Sequências
Solução: Como 0 <
1
/𝑛 <
𝜋
/2 para todo 𝑛 ∈ N
∗
temos que sen
(
1
/𝑛
)
> 0. Por outro lado
lim
𝑛→∞
(
sen
(
1
/𝑛
))
= 0. Desta forma pela proposição 10.7 podemos concluir que :
lim
𝑛→∞
1
sen
(
1
/𝑛
)
= ∞
◁
Exemplo 8.50 lim
𝑛→∞
1
cos
(
1
/𝑛
)
− 1
= −∞
Solução: Como cos
(
1
/𝑛
)
−1 < 0 para todo 𝑛 ∈ N
∗
e lim
𝑛→∞
(
cos
(
1
/𝑛
)
− 1
)
= 0, então a proposição
10.7 implica que:
lim
𝑛→∞
1
cos
(
1
/𝑛
)
− 1
= −∞
◁
8.3.2 Propriedades do Limite Innito
O limite innito possui as seguintes propriedades algébricas:
Propriedades Aditivas do Limite Innito
Sejam (𝑎
𝑛
), (𝑏
𝑛
),
(
𝑐
𝑛
)
𝑒
(
𝑑
𝑛
)
sequências, tais que:
lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= ∞, lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= ∞
lim
𝑛→∞
𝑐
𝑛
= −∞ lim
𝑛→∞
𝑑
𝑛
= −∞
e seja 𝑒
𝑛
uma sequência limitada. Então:
Ł1. lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛
) = ∞.
Ł2. lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛
− 𝑐
𝑛
) = ∞.
Ł3. lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛
+ 𝑒
𝑛
) = ∞.
Ł4. lim
𝑛→∞
(𝑐
𝑛
+ 𝑒
𝑛
) = −∞.
Ł5. lim
𝑛→∞
(𝑐
𝑛
+ 𝑑
𝑛
) = −∞.
Ł6. lim
𝑛→∞
(𝑐
𝑛
− 𝑎
𝑛
) = −∞.
Exemplo 8.51 lim
𝑛→∞
2
𝑛
+ 𝑛
2
= ∞
Solução: Como lim
𝑛→∞
2
𝑛
= ∞, e lim
𝑛→∞
𝑛
2
= ∞, temos por A1 que lim
𝑛→∞
2
𝑛
+ 𝑛
2
= ∞. ◁
Exemplo 8.52 lim
𝑛→∞
−𝑛
3
+ 2
cos(𝑛)
= −∞
206
Bases Matemáticas
Solução: Começamos observando que como −1 ≤ cos(𝑛) ≤ 1 temos que 2
−1
≤ 2
cos(𝑛)
≤
2, e logo a sequência 2
cos(𝑛)
é limitada. Assim, como lim
𝑛→∞
−𝑛
3
= −∞, por A4 temos que
lim
𝑛→∞
−2
𝑛
− 𝑛
2
= −∞. ◁
No próximo exemplo para cada número real 𝑟, exibimos sequências 𝑎
𝑛
, 𝑏
𝑛
tais que lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
=
∞, lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= −∞ e tais que lim
𝑛→∞
(
𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛
)
= 𝑟. Esse exemplo demonstra a impossibilidade de
encontrarmos uma lei geral para a soma de duas sequências, uma das quais converge para
innito e a outra que converge a menos innito.
Exemplo 8.53 Sejam 𝑎
𝑛
= 𝑛 e 𝑏
𝑛
= (− 𝑛 + 𝑟) então lim
𝑛→∞
(
𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛
)
= 𝑟
Solução: Como já demonstramos no exercício 8.3.1 lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= ∞. A sequência 𝑏
𝑛
= (−𝑛 + 𝑟)
converge a menos innito pois é soma de uma sequência que converge a menos innito com
uma que converge a 𝑟 (propriedade A4).
E por último, claramente temos que lim
𝑛→∞
(
𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛
)
= lim
𝑛→∞
(
𝑛 − 𝑛 + 𝑟
)
= 𝑟.
◁
Propriedades Multiplicativas do Limite Innito
Seja 𝑐 um número real e (𝑎
𝑛
), (𝑏
𝑛
), 𝑐
𝑛
e 𝑑
𝑛
sequências , tais que
lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= ∞, lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= ∞
lim
𝑛→∞
𝑐
𝑛
= −∞ lim
𝑛→∞
𝑑
𝑛
= −∞
lim
𝑛→∞
𝑒
𝑛
= 𝐿
1
> 0 lim
𝑛→∞
𝑓
𝑛
= 𝐿
2
< 0
Então:
Ł1. lim
𝑛→∞
𝑒
𝑛
𝑎
𝑛
= ∞
Ł2. lim
𝑛→∞
𝑓
𝑛
𝑎
𝑛
− ∞
Ł3. lim
𝑛→∞
𝑒
𝑛
𝑐
𝑛
= −∞
Ł4. lim
𝑛→∞
𝑓
𝑛
𝑐
𝑛
= ∞
Ł5. lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
· 𝑏
𝑛
= ∞
Ł6. lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
· 𝑐
𝑛
= −∞
Ł7. lim
𝑛→∞
𝑐
𝑛
· 𝑑
𝑛
= ∞
Observações 8.54
Uma consequência muito útil da propriedade M5 (veja exercício 8.41) é que dado 𝑘 > 0, se
lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= ∞ então lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛
)
𝑘
= ∞.
207
8 Sequências
Uma consequência de M1 é que dado 𝑐 > 0 e 𝑎
𝑛
uma sequência real tal que lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= ∞, então
lim
𝑛→∞
𝑐𝑎
𝑛
= ∞.
De modo análogo, por M2, se 𝑐 < 0 e 𝑎
𝑛
é uma sequência real tal que lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= ∞, então
lim
𝑛→∞
𝑐𝑎
𝑛
= −∞.
Apresentaremos no que se segue uma série de exemplos que ilustram a utilização dessas
propriedades no cálculo de limites.
Exemplo 8.55 lim
𝑛→∞
4𝑛
2
− 7𝑛 + 1
= ∞
Solução: Começamos colocando em evidência o termo 𝑛
2
:
lim
𝑛→∞
4𝑛
2
− 7𝑛 + 1
= lim
𝑛→∞
𝑛
2
4 −
7
𝑛
+
1
𝑛
2
Agora, como lim
𝑛→∞
4 −
7
𝑛
+
1
𝑛
2
= 4 e como lim
𝑛→∞
𝑛
2
= ∞ por M5 temos que:
lim
𝑛→∞
4𝑛
2
− 7𝑛 + 1
= ∞
◁
Exemplo 8.56 lim
𝑛→∞
𝑛
4
+ 3𝑛
𝑛
3
+ 5
= ∞
0
5 10
−1
−2
−3
−4
−5
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Figura 8.9: Gráco da sequên-
cia
𝑛
4
+3𝑛
𝑛
3
+5
Primeira Solução:
Começamos dividindo o numerador e o denominador
por 𝑛
4
e assim:
lim
𝑛→∞
𝑛
4
+ 3𝑛
𝑛
3
+ 5
= lim
𝑛→∞
1 +
3
𝑛
3
1
𝑛
3
+
5
𝑛
4
.
Note primeiramente que
1
𝑛
3
+
5
𝑛
4
> 0 para todo 𝑛 ∈ N
∗
.
Também temos que lim
𝑛→∞
1 +
3
𝑛
3
= 1 e que lim
𝑛→∞
1
𝑛
3
+
5
𝑛
4
= 0
desta forma pela proposição 10.7 podemos concluir que:
lim
𝑛→∞
𝑛
4
+ 3𝑛
𝑛
3
+ 5
= ∞
Segunda Solução: Começamos dividindo o numerador e o denominador por 𝑛
3
obtendo:
lim
𝑛→∞
𝑛
4
+ 3𝑛
𝑛
3
+ 5
= lim
𝑛→∞
𝑛 +
3
𝑛
2
1 +
5
𝑛
3
= lim
𝑛→∞
𝑛 +
3
𝑛
2
1
1 +
5
𝑛
3
!
Agora pela propriedade A3 temos que lim
𝑛→∞
𝑛 +
3
𝑛
2
= ∞. Além disso lim
𝑛→∞
1 +
5
𝑛
3
= 1, logo,
pela propriedade
M1 temos que:
lim
𝑛→∞
𝑛
4
+ 3𝑛
𝑛
3
+ 5
= ∞
208
Bases Matemáticas
◁
Exemplo 8.57 lim
𝑛→∞
2
𝑛
1
3
− cos
1
𝑛
= −∞
Solução: Como lim
𝑛→∞
1
3
− cos
1
𝑛
= −
2
3
e lim
𝑛→∞
2
𝑛
= ∞, pela propriedade M2 podemos con-
cluir que:
lim
𝑛→∞
2
𝑛
1
3
− cos
1
𝑛
= −∞
◁
Exemplo 8.58 lim
𝑛
→∞
𝑛
4
+ 𝑛
3
+ 2
−3𝑛
3
+ 5𝑛
= −∞
Solução: Começamos dividindo por 𝑛
3
e desta forma obtemos:
lim
𝑛→∞
𝑛
4
+ 𝑛
3
+ 2
3𝑛
3
+ 5𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛 + 1 +
2
𝑛
2
−3 +
5
𝑛
2
= lim
𝑛→∞
𝑛 + 1 +
2
𝑛
2
1
−3 +
5
𝑛
2
!
Como lim
𝑛→∞
𝑛 + 1 +
2
𝑛
3
= ∞ e lim
𝑛→∞
1
−3+
5
𝑛
2
= −
1
3
, temos por M2 que:
lim
𝑛→∞
𝑛
4
+ 𝑛
3
+ 2
3𝑛
3
+ 5𝑛
= −∞
◁
Exemplo 8.59 lim
𝑛→∞
(
2
𝑛
− 3
𝑛
)
= −∞
Solução: Note que como 2
𝑛
→ ∞ e −3
𝑛
→ −∞, não podemos decompor o limite anterior
em soma de produtos. Desta maneira vamos inicialmente colocar o termo 3
𝑛
em evidência:
lim
𝑛→∞
(
2
𝑛
− 3
𝑛
)
= 3
𝑛
2
3
𝑛
− 1
Como lim
𝑛→∞
2
3
𝑛
− 1
= −1 e lim
𝑛→∞
3
𝑛
= ∞ então por M3:
lim
𝑛→∞
(
2
𝑛
− 3
𝑛
)
= −∞.
◁
209
8 Sequências
Outras Propriedades do Limite Innito
Sejam (𝑎
𝑛
), (𝑏
𝑛
) sequências, tais que:
lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= ∞, lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
= −∞
Então:
Ł1. lim
𝑛→∞
|
𝑎
𝑛
|
= ∞
Ł2. lim
𝑛→∞
|
𝑏
𝑛
|
= ∞
Ł3. Para todo 𝑘 ∈ N
∗
, lim
𝑛→∞
𝑘
√
𝑎
𝑛
= ∞
Ł4. Se 𝑘 ∈ N
∗
é impar, lim
𝑛→∞
𝑘
√
𝑏
𝑛
= −∞
Exemplo 8.60
Se 𝛼 > 0 então lim
𝑛→∞
𝑛
𝛼
= ∞
Se 𝛼 < 0, lim
𝑛→∞
𝑛
𝛼
= 0
Solução: Se 𝛼 > 0 existe um número racional
𝑝
𝑞
tal que 𝛼 >
𝑝
𝑞
e assim
𝑛
𝛼
≥ 𝑛
𝑝
𝑞
=
𝑞
√
𝑛
𝑝
Pelas propriedades do limite innito Ł3 e M5 temos:
lim
𝑛→∞
𝑞
√
𝑛
𝑝
= ∞
e como 𝑛
𝛼
≥ 𝑛
𝑝
𝑞
pelo teorema 1 temos que se 𝛼 > 0 então lim
𝑛→∞
𝑛
𝛼
= ∞.
Se 𝛼 < 0 então
lim
𝑛→∞
𝑛
𝛼
= lim
𝑛→∞
𝑛
−(−𝛼)
= lim
𝑛→∞
1
𝑛
−𝛼
Mas se 𝛼 < 0 então −𝛼 > 0 e assim
lim
𝑛→∞
𝑛
−𝛼
= ∞
Finalmente pela proposição 10.7:
lim
𝑛→∞
𝑛
𝛼
= lim
𝑛→∞
1
𝑛
−𝛼
= 0
◁
Exemplo 8.61 lim
𝑛→∞
𝑛
3/2
− 5𝑛
= ∞
210
Bases Matemáticas
Solução: O primeiro passo é colocar em evidência 𝑛
3/2
:
lim
𝑛→∞
𝑛
3/2
− 5𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛
3/2
1 − 5𝑛
−1/2
Como lim
𝑛→∞
1 − 5𝑛
−1/2
= 1 e lim
𝑛→∞
𝑛
3/2
= ∞ por M1 temos que:
lim
𝑛→∞
𝑛
3/2
− 5𝑛
= ∞
◁
Exemplo 8.62 lim
𝑛→∞
5
r
𝑛
5
+
√
𝑛
10𝑛
3
+ 𝑛
= ∞
Solução: Dividindo o numerador e o denominador por 𝑛
5
temos que
lim
𝑛→∞
5
r
𝑛
5
+
√
𝑛
10𝑛
3
+ 𝑛
= lim
𝑛→∞
5
r
1 + 𝑛
−9/2
10𝑛
−2
+ 𝑛
−4
Observeprimeiramente que 10𝑛
−2
+𝑛
−4
> 0 para todo 𝑛. Também temos que lim
𝑛→∞
1 + 𝑛
−9/2
=
1 e que lim
𝑛→∞
10𝑛
−2
+ 𝑛
−4
= 0, então por 10.7
lim
𝑛→∞
1 + 𝑛
−9/2
10𝑛
−2
+ 𝑛
−4
= ∞
Finalmente por Ł3 temos que:
lim
𝑛→∞
5
r
𝑛
5
+
√
𝑛
10𝑛
3
+ 𝑛
= ∞
◁
Exercícios
Ex. 8.40 — Calcule os seguintes limites
a) lim
𝑛→∞
(
2
𝑛
+ 𝑛
)
b) lim
𝑛→∞
𝑛
√
𝑛
2
+ 1
c) lim
𝑛→∞
2𝑛
3
√
3𝑛
3
− 3
d) lim
𝑛→∞
(𝑛 + 3)
2
(2𝑛 + 3)
3
(−𝑛 + 2)
(𝑛 + 7)
4
(𝑛 − 8)
e) lim
𝑛→∞
2𝑛
3
√
3𝑛
4
− 3
f) lim
𝑛→∞
2
𝑛
3
𝑛
g) lim
𝑛→∞
𝑛
6
+ 3𝑛
3
+ 2
211
8 Sequências
h) lim
𝑛→∞
−𝑛
4
+ 𝑛
3
+ 2𝑛 +
√
𝑛
i) lim
𝑛→∞
𝑛
3/2
− 𝑛
1/2
j) lim
𝑛→∞
𝑛 −
√
2𝑛
3
+ 4
k) lim
𝑛→∞
1 +
1
𝑛
𝑛
2
l) lim
𝑛→∞
2𝑛
3
√
3𝑛
2
− 3
m) lim
𝑛→∞
1
3
𝑛
+ 4𝑛 + sen(
1
/𝑛)
n) lim
𝑛→∞
3
cos(
1
/𝑛) − 1
o) lim
𝑛→∞
𝑛
2
3𝑛 + 2
p) lim
𝑛→∞
2𝑛
5
+ 3𝑛
3𝑛
3
+ 2
q) lim
𝑛→∞
43𝑛
7
+ 3𝑛
273𝑛
7
+ 2
r) lim
𝑛→∞
𝑛 +
1
𝑛
s) lim
𝑛→∞
log
2
(𝑛
2
)
t) lim
𝑛→∞
tan
𝜋
2
+
1
𝑛
u) lim
𝑛→∞
tan
𝜋
2
−
1
𝑛
v) lim
𝑛→∞
√
𝑛
𝑛 +
p
𝑛 +
√
𝑛
Ex. 8.41 — Prove por indução que para todo 𝑘 ∈ N
∗
, se lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= ∞ então lim
𝑛→∞
(𝑎
𝑛
)
𝑘
= ∞.
Ex. 8.42 — Dados dois polinômios 𝑝(𝑛) = 𝑎
𝑘
𝑛
𝑘
+𝑎
𝑘−1
𝑛
𝑘−1
+···+𝑎
0
e 𝑞(𝑛) = 𝑏
𝑚
𝑛
𝑚
+𝑏
𝑚−1
𝑛
𝑚−1
+
··· + 𝑏
0
. Calcule
lim
𝑛→∞
𝑝(𝑛)
𝑞(𝑛)
.
(Dica: Considere os casos 𝑘 < 𝑚, 𝑘 > 𝑚, 𝑘 = 𝑚.)
Ex. 8.43 — Prove que se 𝑟 < −1 então a série 𝑟
𝑛
diverge. (Dica prove que
|
𝑟
|
𝑛
diverge e conclua
a partir desse fato que 𝑟
𝑛
diverge.)
212
Bases Matemáticas
8.4 ★ Sequências Denidas Recursivamente
8.4.1 Fatorial
Uma sequência de grande importância na combinatória em particular, e na matemática em
geral é a função fatorial denida (informalmente?) como:
𝑛! = 𝑛 · (𝑛 − 1)···2 · 1
Veja que a expressão acima apesar de esclarecer o que devemos entender como 𝑛!, não de-
ne claramente que função é essa. Os três pontinhos nos dizem “continue seguindo a regra”
até chegar ao número 1. Precisamos esclarecer que regra e essa e como segui-lá.
Para tanto, partiremos da observação que 1! = 1 e 2! = 2.1! e que em geral 𝑛! = 𝑛(𝑛 −
1)!. Queremos tomar a última igualdade como ponto de partida para a denição da função
fatorial.
Denição 8.63 Denimos a função fatorial 𝑓 (𝑛) : N
∗
→ N
∗
como sendo a função que satisfaz
as seguintes propriedades:
1. 𝑓 (1) = 1
2. 𝑓 (𝑛) = 𝑛 · 𝑓 (𝑛 − 1) para todo 𝑛 maior que 1.
O denição anterior é um exemplo de denição por recursão, também conhecida como
denição por indução. Esse tipo de denição como, as demonstrações por indução, possui
duas partes:
A denição do caso inicial;
A denição de 𝑓 (𝑛) a partir de 𝑓 (𝑛 −1).
Para entendermos como que as “regras” acima denem 𝑓 (𝑛) vamos calcular alguns valo-
res da função fatorial através da denição. Assim por exemplo, vamos calcular 𝑓 (3) que por
denição vale 𝑓 (3) = 3 𝑓 (2), porém ainda por denição 𝑓 (2) = 2 𝑓 (1) e 𝑓 (1) = 1, e assim:
𝑓 (3) = 3 · 𝑓 (2) = 3 · 2 · 𝑓 (1) = 3 · 2 · 1 = 6.
Já 𝑓 (4) = 4 · 𝑓 (3) = 4 · 6 = 24. Deve estar intuitivamente claro nesse estágio que a função
𝑓 (𝑛) é a função fatorial.
8.4.2 Somatório
Vamos examinar outro exemplo. Na seção de indução encontramos somas como:
1
2
+ 2
2
+ ··· + 𝑛
2
213
8 Sequências
Observe que na soma acima o termo típico a ser somado é da forma 𝑘
2
e estamos somando
esses termos de 1 até 𝑛. Um modo sucinto e muito útil de escrever essa soma é utilizando a
notação de somatório:
𝑛
Õ
𝑘=1
𝑘
2
A expressão anterior deve ser lida como “soma de 𝑘
2
com 𝑘 variando de 1 até 𝑛.
E de modo mais geral a soma dos números reais 𝑎
1
, ··· 𝑎
𝑛
pode ser escrita usando a notação
de somatório como
𝑛
Õ
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑎
1
+ ··· + 𝑎
𝑛
Claramente, não é necessário que a soma comece do 1. Assim por exemplo, podemos es-
crever:
4
Õ
𝑠=0
(2𝑠 + 1) = 1 +3 + 5 + 7 + 9
5
Õ
𝑗=2
𝑗
𝑗
= 2
2
+ 3
3
+ 4
4
+ 5
5
De modo análogo ao fatorial, podemos denir o somatório como
Denição 8.64 Dado 𝑎
𝑘
uma sequência de números reais. Denimos o somatório de 𝑎
𝑘
de 1 até
𝑛 como sendo a função
Í
𝑛
𝑘=1
𝑎
𝑘
: N
∗
→ R que satisfaz as seguintes propriedades:
1.
1
Í
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑎
1
2.
𝑛
Í
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑎
𝑛
+
𝑛
−
1
Í
𝑘=1
𝑎
𝑘
para todo 𝑛 maior que 1.
Veja que pelas denições acima:
2
Õ
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑎
2
+
1
Õ
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑎
2
+ 𝑎
1
3
Õ
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑎
3
+
2
Õ
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑎
3
+ (𝑎
2
+ 𝑎
1
)
4
Õ
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑎
4
+
3
Õ
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑎
4
+ (𝑎
3
+ 𝑎
2
+ 𝑎
1
)
Por m, vejamos o exemplo do produtório:
214
Bases Matemáticas
Denição 8.65 Dada 𝑎
𝑘
uma sequência de números reais. Denimos o produtório de 𝑎
𝑘
de 1 até
𝑛 como sendo a função
𝑛
Î
𝑘=1
𝑎
𝑘
: N
∗
→ R que satisfaz as seguintes propriedades:
1.
1
Î
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑎
1
.
2.
𝑛
Î
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑎
𝑛
·
𝑛−1
Î
𝑘=1
𝑎
𝑘
para todo 𝑛 maior que 1.
Para ilustrar a denição de produtório vamos calcular alguns exemplos:
3
Ö
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑎
3
·
2
Ö
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑎
3
· 𝑎
2
·
1
Ö
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑎
3
· 𝑎
2
· 𝑎
1
.
5
Ö
𝑘=2
(1 −
1
𝑘
2
) = (1 −
1
4
)(1 −
1
9
)(1 −
1
16
)(1 −
1
25
)
Note também que 𝑛! =
𝑛
Î
𝑘=1
𝑘.
8.4.3 Principio da Recursão
As construções anteriores são justicadas pelo Teorema da Recursão, que nos assegura a
existência de funções denidas recursivamente.
Principio da Recursão
Seja 𝐴 um conjunto não vazio e 𝑔 : 𝐴 × N
∗
→ 𝐴 Então existe uma única função 𝑓 :
N
∗
→ 𝐴 satisfazendo:
1. 𝑓 (1) = 𝑎, com 𝑎 ∈ 𝐴
2. 𝑓 (𝑛) = 𝑔(𝑛, 𝑓 (𝑛 − 1)) para todo 𝑛 em N
∗
Esbo�o da demonstração: Provaremos primeiro a existência, ou seja, demonstraremos que a
função 𝑓 (𝑛) está bem denida pelas regras recursiva. A demonstração desse fato será feita
por indução sobre 𝑛. Começamos observando que 𝑓 (1) está bem denida, pois 𝑓 (1) = 𝑎.
Suponha, agora que 𝑓 (𝑛) está bem denida, então temos que 𝑓 (𝑛 + 1) = 𝑔(𝑛, 𝑓 (𝑛)) está bem
denida. E assim existe uma função com essa propriedade.
Provaremos a unicidade também por indução sobre
𝑛
. Para isso sejam
𝑓
e
𝑓
duas funções
satisfazendo as hipóteses do teorema, provaremos que para todo 𝑛 ∈ N
∗
, 𝑓 (𝑛) = 𝑓
(𝑛). Por
hipótese 𝑓 (1) = 𝑎 = 𝑓
(1). Agora por hipótese indutiva suponha que 𝑓 (𝑛 − 1) = 𝑓
(𝑛 − 1),
215
8 Sequências
então 𝑓 (𝑛) = 𝑔(𝑛, 𝑓 (𝑛 − 1)) = 𝑔(𝑛, 𝑓
(𝑛 − 1)) = 𝑓
(𝑛) e desta forma temos a unicidade da
função.
□
Vamos usar o princípio da recursão para provar a existência da função fatorial. Nesse caso
tomamos o conjunto 𝐴 como sendo os naturais e 𝑔 : N
∗
×N
∗
→ N
∗
: 𝑔(𝑎, 𝑏) = 𝑎 +𝑏 e denimos
𝑓 (1) = 1 e como 𝑓 (𝑛) = 𝑔(𝑛, 𝑓 (𝑛 − 1)) = 𝑛 𝑓 (𝑛 − 1) teremos que 𝑓 (𝑛) é a função fatorial.
Exercícios
Ex. 8.44 — Ache o valor das seguintes somas:
a)
5
Í
𝑘=1
𝑘
b)
5
Í
𝑘=2
2
𝑘
c)
5
Í
𝑘=0
(2𝑘 +1)
d)
5
Í
𝑘=1
1
3𝑘+2
Ex. 8.45 — Ache o valor dos seguintes produtos:
a)
5
Î
𝑘=1
𝑘
b)
3
Î
𝑘=2
2
𝑘
c)
3
Î
𝑘=0
(2𝑘 +1)
d)
3
Î
𝑘=1
1
3𝑘+2
Ex. 8.46 — Prove por indução as seguintes propriedades do somatório
a)
𝑛
Í
𝑘=1
(𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛
) =
𝑛
Í
𝑘=1
𝑎
𝑛
+
𝑛
Í
𝑘=1
𝑏
𝑛
b)
𝑛
Í
𝑘=1
(𝑐𝑎
𝑛
) = 𝑐
𝑛
Í
𝑘=1
𝑎
𝑛
c)
𝑛
Í
𝑘=1
(𝑎
𝑘
− 𝑎
𝑘+1
) = 𝑎
0
− 𝑎
𝑛
(propriedade telescópica)
Ex. 8.47 — Prove por indução a seguinte generalização da desigualdade triangular
𝑛
Õ
𝑘=1
𝑎
𝑛
≤
𝑛
Õ
𝑘=1
|
𝑎
𝑛
|
216
Bases Matemáticas
Ex. 8.48 — Prove por indução as seguintes propriedades do somatório
a)
𝑛
Î
𝑘=1
(𝑎
𝑛
· 𝑏
𝑛
) =
𝑛
Î
𝑘=1
𝑎
𝑛
·
𝑛
Î
𝑘=1
𝑏
𝑛
b)
𝑛
Î
𝑘=1
(𝑐𝑎
𝑛
) = 𝑐
𝑛
𝑛
Î
𝑘=1
𝑎
𝑛
c)
𝑛
Î
𝑘=1
𝑎
𝑛
𝑎
𝑛−1
=
𝑎
𝑛
𝑎
0
Ex. 8.49 — Usando o princípio da recursão e escolhendo o conjunto 𝐴 e a função 𝑔 prove a
existência e unicidade das seguintes funções:
a) O somatório de uma sequência
b) O produtório de uma sequência
8.5 ★ Séries
0
2 4 6 8 10
1
2
𝑎
b
b
b
b
b
b
b
b
b b b b b
Figura 8.10: Gráco da série
∞
Í
𝑘=0
1
2
𝑘
Na busca de uma solução para o paradoxo de Zenão sobre
a impossibilidade do movimento (vide pág. ??), denimos
o signicado da soma innita
1
/2 +
1
/4 +
1
/8 ···
como o limite das soma nitas
1
/2,
1
/2 +
1
/4,
1
/2 +
1
/4 +
1
/8, . . .
Nesta seção generalizaremos essa construção e denire-
mos, quando possível, a soma innita de uma sequência
𝑎
𝑛
:
∞
Õ
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑎
0
+ 𝑎
1
+ 𝑎
2
+ 𝑎
3
+ ···
Dado (𝑎
𝑛
)uma sequência de números reais, podemos construir uma nova sequência a par-
tir dessa, através de somas parciais dos termos dessa sequência:
𝑠
1
= 𝑎
1
𝑠
2
= 𝑎
1
+ 𝑎
2
𝑠
3
= 𝑎
1
+ 𝑎
2
+ 𝑎
3
e em geral
𝑠
𝑛
=
𝑛
Õ
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑎
1
+ 𝑎
2
+ ··· + 𝑎
𝑛
217
8 Sequências
A sequência (𝑠
𝑛
) é denominada série innita ou simplesmente série e é denotada por
∞
Õ
𝑘=1
𝑎
𝑘
ou
Õ
𝑎
𝑘
O termos de uma série são chamados somas parciais, e assim diremos que 𝑠
𝑛
=
𝑛
Í
𝑘=1
𝑎
𝑘
é a
𝑛−ésima soma parcial da série
∞
Í
𝑘=1
𝑎
𝑘
Exemplos 8.66
1. As primeiras somas parciais da série
∞
Í
𝑘=1
1
𝑘
são:
𝑠
1
=
1
/1 = 1 𝑠
2
= 1 +
1
/2 𝑠
3
= 1 +
1
/2 +
1
/3 𝑠
4
= 1 +
1
/2 +
1
/3 +
1
/4
2. As primeiras somas parciais da série
∞
Í
𝑘=1
1
2
𝑘
são:
𝑠
1
=
1
/2 𝑠
2
=
1
/2 +
1
/4 𝑠
3
=
1
/2 +
1
/4 +
1
/8 𝑠
3
=
1
/2 +
1
/4 +
1
/8 +
1
/16
3. As primeiras somas parciais da série
∞
Í
𝑘=1
𝑥
𝑘−1
são:
𝑠
1
= 1 𝑠
2
= 1 + 𝑥 𝑠
3
= 1 + 𝑥 + 𝑥
2
𝑠
4
= 1 + 𝑥 + 𝑥
2
+ 𝑥
3
◁
Como séries são um tipo particular de sequências, podemos falar em convergência e limites
de séries. Porém, para maior clareza reescreveremos a denição de limite de sequências para
o caso particular das séries.
Convergência de Séries
Dada
∞
Í
𝑘=1
𝑎
𝑘
uma série, e seja 𝑠
𝑛
=
𝑛
Í
𝑘=1
𝑎
𝑘
a sequência das somas parciais, dizemos que
o limite da série é 𝐿 se a sequência das somas parciais converge a 𝐿, ou seja se dado 𝜀 > 0
existe 𝑀 ∈ N tal que se 𝑛 > 𝑀 então
|
𝑠
𝑛
− 𝐿
|
=
𝑛
Õ
𝑘=1
𝑎
𝑘
− 𝐿
< 𝜀.
Neste caso 𝐿 é dito soma da série e a série
∞
Í
𝑘=1
𝑎
𝑘
é dita convergente.
Observação Apesar de ambíguo, é costume denotar tanto a série innita como seu limite,
caso esse exista, como
∞
Í
𝑘=1
𝑎
𝑘
.
218
Bases Matemáticas
Teorema 8.67 Se
∞
Í
𝑘=1
𝑎
𝑘
é convergente, então 𝑎
𝑘
→ 0.
Demonstração: Como 𝑎
𝑛
= 𝑠
𝑛
− 𝑠
𝑛
−
1
e lim
𝑛→∞
𝑠
𝑛
−
1
= lim
𝑛→∞
𝑠
𝑛
(Por que?), temos:
lim
𝑛→∞
𝑎
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑠
𝑛
− lim
𝑛→∞
𝑠
𝑛−1
= 0
O que prova que o limite de 𝑎
𝑛
existe e é 0.
□
Exemplo 8.68 A série
∞
Í
𝑘=1
𝑛
3
2𝑛
3
+ 5
diverge.
Solução: Pelo teorema anterior uma condição necessária para que a série convirja é que o
limite lim
𝑛→∞
𝑛
3
2𝑛
3
+ 5
seja igual a zero. Mas se calcularmos o limite
lim
𝑛→∞
𝑛
3
2𝑛
3
+ 5
= lim
𝑛→∞
1
2 + 5/𝑛
3
=
1
2
≠ 0
vemos que essa condição não é satisfeita, logo a série diverge.
◁
8.5.1 Série Geométrica
A série geométrica é obtida através da soma dos termos de uma progressão geométrica, i.e.
∞
Õ
𝑘=1
𝑝𝑥
𝑘−1
.
Como vimos no exercício ?? se 𝑥 ≠ 1 as somas parciais de uma progressão geométrica
podem ser expressas através da formula fechada:
𝑛
Õ
𝑘=1
𝑝𝑥
𝑛−1
=
𝑝 − 𝑝𝑥
𝑛
1 − 𝑥
.
No caso 𝑥 = 1 a soma da progressão geométrica se reduz a soma de constantes, e assim
𝑛
Õ
𝑘=1
𝑝 = 𝑛𝑝.
Vamos agora calcular a “soma innita de uma progressão geométrica”, ou seja o limite da
série geométrica. Começamos observando que se 𝑥 ≠ 1 então:
lim
𝑛→∞
𝑛
Õ
𝑘=1
𝑝𝑥
𝑛−1
= lim
𝑛→∞
𝑝 − 𝑝𝑥
𝑛
1 − 𝑥
. (8.39)
= 𝑝 lim
𝑛→∞
1 − 𝑥
𝑛
1 − 𝑥
(8.40)
(8.41)
219
8 Sequências
E deste modo o comportamento de 𝑠
𝑛
é determinado pelo comportamento de 𝑥
𝑛
. Como vimos
no exercício 8.35 se
|
𝑥
|
< 1 então 𝑥
𝑛
→ 0 e assim
lim
𝑛→∞
𝑛
Õ
𝑘=1
𝑝𝑥
𝑛−1
= lim
𝑛→∞
𝑝 − 𝑝𝑥
𝑛
1 − 𝑥
=
𝑝
1 − 𝑥
.
Pelo exemplo 8.3.1 e ppelo exercício 8.43, temos quue se
|
𝑥
|
> 1 então 𝑥
𝑛
diverge e logo a
série também diverge. No caso restante 𝑥 = 1 claramente a série diverge.
Assim provamos que:
Teorema 8.69 Dados 𝑝, 𝑥 ∈ R. Se
|
𝑥
|
< 1 então lim
𝑛→∞
𝑛
Í
𝑘=1
𝑝𝑥
𝑛−1
converge e
𝑝 + 𝑝𝑥 + 𝑝𝑥
2
+ ···𝑝𝑥
𝑛−1
+ ··· =
𝑝
1 − 𝑥
(8.42)
Se
|
𝑥
|
≥ 1 então lim
𝑛→∞
𝑛
Í
𝑘=1
𝑝𝑥
𝑛−1
diverge.
Como consequências desse resultado temos:
Exemplos 8.70
1. Se escolhermos o termo inicial como sendo 1 e a razão como sendo 𝑥 na equação 8.42
temos:
1 + 𝑥 + 𝑥
2
+ ··· + 𝑥
𝑛
+ ··· =
1
1 − 𝑥
|
𝑥
|
< 1
2. Se escolhermos o termo inicial como sendo 1 e a razão como sendo −𝑥 na equação 8.42
temos:
1 − 𝑥 + 𝑥
2
− 𝑥
3
+ 𝑥
4
+ ··· +(−1)
𝑛
𝑥
𝑛
+ ··· =
1
1 + 𝑥
|
𝑥
|
< 1
3. Se escolhermos o termo inicial como sendo 1 e a razão como 𝑥
2
na equação 8.42 temos:
1 + 𝑥
2
+ 𝑥
4
+ 𝑥
6
+ 𝑥
8
+ ··· + 𝑥
2𝑛
+ ··· =
1
1 − 𝑥
2
|
𝑥
|
< 1
4. Se escolhermos o termo inicial como sendo 1 e a razão como sendo −𝑥
2
na equação 8.42
temos:
1 − 𝑥
2
+ 𝑥
4
− 𝑥
6
+ 𝑥
8
+ ··· +(−1)
𝑛
𝑥
2𝑛
+ ··· =
1
1 − 𝑥
2
|
𝑥
|
< 1
5. Finalmente, se escolhermos o termo inicial como sendo 𝑥 e a razão como −𝑥
2
na equação
8.42 temos:
𝑥 − 𝑥
3
+ 𝑥
5
− 𝑥
7
+ ··· +(−1)
𝑛
𝑥
2𝑛+1
+ ··· =
𝑥
1 + 𝑥
2
|
𝑥
|
< 1
220
Bases Matemáticas
◁
Exemplo 8.71 Encontre a soma da série
3 −
6
5
+
12
25
−
24
125
+ ···
Solução:
Veja que a série anterior é uma série geométrica de termo inicial 3 e razão −
2
5
. Como
−
2
5
< 1
a série converge e sua soma é:
3 −
6
5
+
12
25
−
24
125
+ ··· =
3
1 +
2
5
=
15
7
◁
8.5.2 Série Telescópica
A propriedade telescópica de soma (vide exercício 8.46.c) nos diz que:
𝑛
Õ
𝑘=1
(𝑎
𝑘
− 𝑎
𝑘+1
) = 𝑎
0
− 𝑎
𝑛
Uma série
∞
Í
𝑘=1
𝑎
𝑘
é dita telescópica em relação a sequência 𝑏
𝑛
se cada termo 𝑎
𝑛
puder ser
expresso como
𝑎
𝑛
= 𝑏
𝑛
− 𝑏
𝑛+1
Teorema 8.72 Dado
∞
Í
𝑘=1
𝑎
𝑘
uma série telescópica em relação a sequência 𝑏
𝑛
, i.e, 𝑎
𝑛
= 𝑏
𝑛
− 𝑏
𝑛+1
para todo 𝑛 ∈ N
∗
. Então a série
∞
Í
𝑘=1
𝑎
𝑘
converge se e somente se a sequência 𝑏
𝑛
converge.
Se a sequência 𝑏
𝑛
converge a 𝑏 então
∞
Õ
𝑘=1
𝑎
𝑘
= 𝑏
1
− 𝑏 𝑏 = lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛
Demonstração: Seja 𝑠
𝑛
a soma parcial, então:
𝑠
𝑛
=
𝑛
Õ
𝑘=1
𝑎
𝑘
=
𝑛
Õ
𝑘=1
𝑏
𝑘
− 𝑏
𝑘
+ 1 = 𝑏
1
− 𝑏
𝑛+1
e assim
lim
𝑛→∞
𝑠
𝑛
= lim
𝑛→∞
𝑛
Õ
𝑘=1
𝑎
𝑘
!
= lim
𝑛→∞
𝑛
Õ
𝑘=1
𝑏
𝑘
− 𝑏
𝑘
+ 1
!
= 𝑏
1
− lim
𝑛→∞
𝑏
𝑛+1
= 𝑏
1
− 𝑏
□
221
8 Sequências
Exemplo 8.73
∞
Í
𝑛=1
2
𝑛
3
+ 6𝑛
2
+ 11𝑛 + 6
=
1
6
Solução: Começamos observando que
2
𝑛
3
+ 6𝑛
2
+ 11𝑛 + 6
=
1
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
−
1
(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
ou seja a série
∞
Õ
𝑘=1
2
𝑛
3
+ 6𝑛
2
+ 11𝑛 + 6
=
∞
Õ
𝑘=1
1
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
−
1
(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
Como 𝑏
𝑛
=
1
(𝑛+1)(𝑛+2)
. Então 𝑏
1
=
1
6
e 𝑏 = 0. ◁
Exercícios
Ex. 8.50 — Determine se a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente de-
termine sua soma:
a)
∞
Í
𝑛=1
7
2
5
𝑛−1
b)
∞
Í
𝑛=1
7
𝑒
1+
1
𝑛
c)
∞
Í
𝑛=1
−6
5
𝑛−1
d)
∞
Í
𝑛=1
1
𝜋
𝑛−1
e)
∞
Í
𝑛=1
7
5
𝑛−1
f)
∞
Í
𝑛=1
2
𝑛
2
+4𝑛+3
g)
∞
Í
𝑛=1
2
𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)
h)
∞
Í
𝑛=1
3
𝑛
2
i)
∞
Í
𝑛=1
1
𝑛
2
−1
Ex. 8.51 — Usando as propriedades do limite L1 e L4 e as propriedades do somatório 8.46
prove que:
a)
∞
Í
𝑛=1
(
𝑎
𝑛
+ 𝑏
𝑛
)
=
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
+
∞
Í
𝑛=1
𝑏
𝑛
b)
∞
Í
𝑛=1
(
𝑐𝑎
𝑛
)
= 𝑐
∞
Í
𝑛=1
𝑎
𝑛
222
Bases Matemáticas
8.6 Representação decimal dos números reais
II
Na seção 3.3.3 apresentamos uma breve discussão sobre a representação dos números re-
ais, e um dos pontos problemáticos levantados era o signicado preciso das representações
decimais innitas, como a do número
𝑟 = 1, 2385757204765736885692....
Naquele ponto apresentamos uma interpretação para as representações innitas, que re-
lida aos olhos dos conceitos desse capítulo nos dizia que o limite da sequência dos “trunca-
mentos da representação innita” seria o número 𝑟. De posse dos conceitos de limite, vamos
olhar mais cuidadosamente a essa representação. Para isso, começaremos construindo a par-
tir um número real 𝑟 sua representação decimal.
A observação fundamental para construirmos a representação de um número real é a ar-
mação bastante natural e intuitiva que dado um número real 𝑟 existe um inteiro 𝑎
0
tal que
𝑎
0
≤ 𝑟 < 𝑎
0
+ 1,
sendo que a igualdade na expressão anterior somente ocorre se 𝑟 for um inteiro. (Veja exer-
cício 8.52). O número 𝑎
0
descrito assim será a parte inteira da representação decimal de 𝑟.
Para encontrarmos o primeiro dígito da representação decimal de 𝑟, considere agora o
número real 𝑟 − 𝑎
0
, que claramente está no intervalo [0, 1). Logo, o número 10(𝑟 − 𝑎
0
) está no
intervalo [0, 10). Novamente, sabemos existe um inteiro 𝑎
1
com 𝑎
1
∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} tal
que 𝑎
1
≤ 10(𝑟 − 𝑎
0
) < 𝑎
1
+ 1. Ou seja, de modo equivalente existe 𝑎
1
tal que:
𝑎
1
10
≤ (𝑟 − 𝑎
0
) < 𝑎
1
+ 1 <
(𝑎
1
+ 1)
10
e logo
0 ≤ 𝑟 − (𝑎
0
+
𝑎
1
10
) <
1
10
.
Para encontrarmos o segundo dígito da representação decimal consideramos 𝑟 − (𝑎
0
+
𝑎
1
10
,
que como sabemos está no intervalo [0, 1/10) multiplicando por 100 temos teremos um nú-
mero no intervalo [0, 10). E assim novamente temos que existe um inteiro 𝑎
2
, com 𝑎
2
∈
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } tal que 𝑎
2
≤ 100(𝑟 − (𝑎
0
+
𝑎
1
10
) < 𝑎
2
+ 1. ou seja tal que
0 ≤ 𝑟 − (𝑎
0
+
𝑎
1
10
−
𝑎
2
100
) <
1
100
.
Na 𝑛-enésima etapa teremos:
𝑎
0
+
𝑎
1
10
−
𝑎
2
100
+ ···
𝑎𝑛
10
𝑛
≤ 𝑟 < 𝑎
0
+
𝑎
1
10
−
𝑎
2
100
+ ···
𝑎𝑛 + 1
10
𝑛
(8.43)
223
8 Sequências
ou de modo equivalente
0 ≤ 𝑟 −
𝑎
0
+
𝑎
1
10
−
𝑎
2
100
+ ···
𝑎𝑛
10
𝑛
<
1
10
𝑛
(8.44)
Desta forma construímos para um número real 𝑟 sua representação decimal 𝑎
0
.𝑎
1
𝑎
2
𝑎
3
···,
onde 𝑎
0
∈ Z e 𝑎
𝑖
∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} para todo 𝑖 > 0. Veja que para sermos precisos, o
resultado de nossa construção foi uma série innita cujas somas parciais são:
𝑠
𝑛
=
𝑛
Õ
𝑛=0
𝑎
𝑛
10
𝑛
E pela desigualdade 8.43 temos a seguinte estimativa do erro da aproximação:
|
𝑟 − 𝑠
𝑛
|
<
1
10
𝑛
e assim temos que a série converge a 𝑟.
∞
Õ
𝑛=0
𝑎
𝑛
10
𝑛
= 𝑟.
Exercícios
Ex. 8.52 — Prove que dado um número real 𝑟 existe um inteiro 𝑛 tal que 𝑛 ≤ 𝑟 < 𝑛 +1. (Dica:
Princípio Arquimediano)
Ex. 8.53 — Represente os números reais abaixo como quociente de dois inteiros:
a) 0.6666…
b) 0.171717…
c) 0.135713571357…
d) 0.314153141531415…
Ex. 8.54 — Prove que a representação decimal de um número racional é nita ou periódica.
Ex. 8.55 — Prove que se a representação decimal de um número é nita ou periódica então
ele é racional.
Ex. 8.56 — Prove que todo número cuja representação decimal é da forma forma 𝑎
0
.𝑎
1
𝑎
2
··· 𝑎
𝑛
com 𝑎
𝑛
≠ 0 também pode ser representado como 𝑎
0
.𝑎
1
𝑎
2
···(𝑎
𝑛
− 1)99999 ···
Ex. 8.57 — Prove que a constante de Liouville 𝐿 =
Í
∞
𝑘=1
10
−𝑘!
é irracional.
224
9
Limites e Continuidade de
Funções
“It has long been an axiom of mine that the little things are innitely more important.”
- Sherlock Holmes, in A Case of Identity, Arthur Conan Doyle
Neste capítulo começaremos o estudo da teoria matemática subjacente ao Cálculo, explo-
rando o conceito de limite. O conceito de limite é uma das noções fundamentais do Cálculo
moderno. Por exemplo, a propriedade de continuidade é denida em termos de limites e, de
modo semelhante, a derivada é denida como um limite do quociente de diferenças. Neste
capítulo, vamos desenvolver o conceito de limite, começando a partir de uma noção intuitiva
informal à uma denição matemática precisa. Nós também iremos apresentar as proprieda-
des de limite e desenvolveremos procedimentos para o cálculo de limites. Concluiremos o
capítulo usando os limites para o estudo curvas contínuas.
9.1 Motivação
9.1.1 O Problema da Reta Tangente
No problema da reta tangente temos uma função 𝑓 e um ponto 𝑃 no gráco de 𝑓 e queremos
determinar a equação da reta tangente ao gráco de 𝑓 no ponto 𝑃, que intuitivamente é a reta
que toca localmente uma curva em um e apenas um ponto, como mostra a Figura 9.1.1.
0
𝑓
𝑃
b
Figura 9.1: Reta tangente a 𝑓 em 𝑃.
225
9 Limites e Continuidade de Funções
Exceto nos pontos nos quais a reta tangente é vertical, o problema de encontrar reta tan-
gente no ponto 𝑃 se resume ao problema de determinar a inclinação da reta tangente à 𝑓 no
ponto 𝑃, ou seja, determinar o coeciente angular desta reta.
Um modo de atacar esse problema é aproximar o coeciente angular da reta tangente uti-
lizando retas que passam pelo ponto 𝑃 e por um segundo ponto, que denotaremos por 𝑄,
essa reta é denominada reta secante por 𝑃 e 𝑄.
𝑃
𝑄
reta tangente
reta secante por P e Q
𝑓
ℎ
b
b
𝑎
Se considerarmos que o ponto 𝑃 tenha coordenadas 𝑃 : (𝑥, 𝑓 (𝑥)) e que o ponto 𝑄 tenha
coordenadas 𝑄 : (𝑥 + ℎ, 𝑓 (𝑥 + ℎ)), então o coeciente angular da reta secante é dado por:
𝑚
sec
=
𝑓 (𝑥 + ℎ) − 𝑓 (𝑥)
𝑥 + ℎ − 𝑥
=
𝑓 (𝑥 + ℎ) − 𝑓 (𝑥)
ℎ
𝑥
𝑥 + ℎ
𝑓 (𝑥)
𝑃
𝑓 (𝑥 + ℎ)
Δ𝑦
Δ𝑥
𝑦 = 𝑓 (𝑥)
𝑃
b
bb
b
bb
Intuitivamente, temos que conforme o ponto 𝑄 se aproxima do ponto 𝑃 temos que a incli-
nação da reta secante por 𝑃 e 𝑄 se aproxima da inclinação da reta tangente a 𝑓 no ponto 𝑃 e
no “limite” é igual a inclinação. Assim temos:
𝑚
tan
:= lim
ℎ→0
𝑓 (𝑥 + ℎ) − 𝑓 (𝑥)
ℎ
O limite anterior se existir, é denominado de derivada da função 𝑓 no ponto 𝑥.
226
Bases Matemáticas
𝑓
ℎ
b
𝑃
𝑄
b
b
b
b
Figura 9.2: Conforme o ponto 𝑄 se aproxima de 𝑃 as retas secantes se aproximam da reta
tangente.
9.2 Intuições sobre Limite
O conceito de limite de uma função num ponto 𝑎 descreve o comportamento dessa função
em valores próximos de 𝑎, mas diferentes de 𝑎.
Descrição Informal de Limite
Dizemos que o limite da função 𝑓 (𝑥) é 𝐿 quando 𝑥 tende a 𝑎 se a função 𝑓 (𝑥) torna-se
arbitrariamente próxima de 𝐿 quando 𝑥 está sucientemente próximo de 𝑎, mas diferente
de 𝑎. Denotaremos tal fato por:
lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 𝐿
Como o limite com 𝑥 tendendo a 𝑎 de 𝑓 (𝑥) descreve o comportamento da função 𝑓 para
valores próximo a 𝑎, mas diferentes de 𝑎, assim uma exigência natural a ser imposta sobre a
função 𝑓 é que esta esteja denida ao menos num intervalo contendo 𝑎, exceto possivelmente
no próprio ponto 𝑎.
Os grácos da Figura 9.3 mostram três exemplos de funções para os quais os limites existem
e são 𝐿. No primeiro caso a função 𝑓 está denida em 𝑎, e 𝑓 (𝑎) = 𝐿, na segunda a função 𝑔
não está denida em 𝑎 e na terceira apesar da função estar denida em 𝑎 temos que ℎ(𝑎) ≠ 𝐿.
Já os grácos da Figura 9.4 ilustram duas situações nas quais o limite em 𝑎 não existe.
0
𝐿
𝑎
𝑓
𝑚
𝑎
b
0
𝐿
𝑔
𝑎
b
0
𝐿
ℎ
𝑎
b
b
Figura 9.3: Exemplos de funções para as quais o limite quando 𝑥 tende a 𝑎 é 𝐿.
227
9 Limites e Continuidade de Funções
0
𝑎
𝑔
𝑒
0
𝑎
𝑔
𝑒
Figura 9.4: Exemplos de funções para as quais o limite não existe.
Vamos inicialmente ilustrar o conceito de limite através de alguns exemplos para os quais
existem o limite:
Exercício Resolvido 9.1 Conjecture o valor de lim
𝑥→2
3𝑥 + 1.
Observamos inicialmente que o limite anterior, se existir, nos descreverá o comportamento
da função 3𝑥 + 1 para valores próximos de 𝑥 = 2, mas diferentes de 2. Para conjecturar qual
o valor do limite, começaremos calculando alguns valores que essa função assume próximo
ao ponto 2:
𝑥 3𝑥 + 1
3 10
2,1 7,3
2,01 7,03
2,001 7,003
.
.
.
.
.
.
↓ ↓
2 7
𝑥 3𝑥 + 1
1 4
1.9 6,7
1,99 6,97
1,999 6,997
.
.
.
.
.
.
↓ ↓
2 7
Os dados da tabela anterior seguem um padrão, conforme os valores de 𝑥 se aproximam de
2 os valores da função 𝑓 (𝑥)se aproximam de 7. O que nos permite conjecturar que lim
𝑥→2
3𝑥+1 =
7
.
Podemos ir além, e vericar que os valores da função 3𝑥 + 1 tornam-se arbitrariamente
próxima de 7 quando escolhemos valores de 𝑥 sucientemente próximos de 2. Para isso ten-
taremos exigir que a distância entre a função 3𝑥 + 1 e o valor 7 seja menor que um valor
pequeno, por exemplo, 10
−3
. Para tal m temos que resolver a inequação:
|
3𝑥 + 1 − 7
|
< 10
−3
resolvendo essa inequação temos:
|
3𝑥 − 6
|
< 10
−3
⇔
|
𝑥 − 2
|
<
10
−3
3
228
Bases Matemáticas
Ou seja, quando
|
𝑥 − 2
|
<
10
−3
3
temos que
|
3𝑥 + 1 − 7
|
< 10
−3
.
Esse raciocínio pode ser generalizado. Se quisermos forçar a distância entre a função 3𝑥+1 e
o valor 7 ser menor que um valor positivo 𝜀 teríamos que resolver a inequação
|
3𝑥 + 1 − 7
|
< 𝜀.
E de maneira análoga, teríamos que quando
|
𝑥 − 2
|
<
𝜀
3
temos que
|
3𝑥 + 1 − 7
|
< 𝜀.
Assim, temos que podemos controlar a distância na imagem (
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
) controlando a dis-
tância no domínio (
|
𝑥 − 𝑎
|
), fato que, como formalizaremos na próxima seção, nos permitirá
concluir que realmente lim
𝑥→2
3𝑥 + 1 = 7.
Exercício Resolvido 9.2 Conjecture o valor de lim
𝑥→1
2𝑥
2
− 2𝑥
𝑥 − 1
.
Observamos inicialmente que não podemos calcular a função em 1, pois a função não está
denida para esse valor. Esse fato é irrelevante para o cálculo do limite, pois, como já disse-
mos ao calcularmos o limite estamos entendendo o comportamento da função para valores
próximos ao ponto, mas diferente deste.
Novamente vamos começar atribuindo alguns valores próximos de 1 à função
2𝑥
2
− 2𝑥
𝑥 − 1
.
𝑥
2𝑥
2
− 2𝑥
𝑥 − 1
10 20
1,1 2,2
1,01 2,02
1,001 2,002
1,0001 2,0002
1,00001 2,00002
.
.
.
.
.
.
↓ ↓
1 2
𝑥
2𝑥
2
− 2𝑥
𝑥 − 1
0.5 1
0.9 1.8
0.99 1.98
0.999 1.998
0.9999 1.9998
0.99999 1.99998
.
.
.
.
.
.
↓ ↓
1 2
0
2 4
−2
2
4
6
2𝑥
2
− 2𝑥
𝑥 − 1
bc
𝑓
Figura 9.5: Gráco de
2𝑥
2
− 2𝑥
𝑥 − 1
.
229
9 Limites e Continuidade de Funções
A tabela e o gráco 9.5 induzem a acreditar que lim
𝑥→1
2𝑥
2
− 2𝑥
𝑥 − 1
= 2. Podemos melhorar a
força de nossa conjectura analisando como se comporta a distância entre a função e o limite.
Assim, se quisermos forçar a distância entre a função
2𝑥 − 2
𝑥
2
− 𝑥
e o valor 2 a ser menor que um
valor pequeno, por exemplo, 10
−5
teríamos que resolver a inequação:
2𝑥
2
− 2𝑥
𝑥 − 1
− 2
< 10
−5
,
quando 𝑥 ≠ 1 podemos simplicar a função:
2𝑥
2
− 2𝑥
𝑥 − 1
=
2𝑥(𝑥 − 1)
𝑥 − 1
= 2𝑥
Ou seja, para 𝑥 ≠ 1 temos que
2𝑥
2
− 2𝑥
𝑥 − 1
= 2𝑥, e assim a desigualdade ca:
|
2𝑥 − 2
|
< 10
−5
|
𝑥 − 1
|
<
10
−5
2
Assim se
|
𝑥 − 1
|
<
10
−5
2
então
2𝑥
2
− 2𝑥
𝑥 − 1
− 2
< 10
−5
.
De modo análogo, podemos fazer a distância entre a função
2𝑥 − 2
𝑥
2
− 𝑥
e o valor 2 menor que
𝜀, nesse caso teríamos que fazer
|
𝑥 − 1
|
<
𝜀
2
.
Exercício Resolvido 9.3 Conjecture o valor de lim
𝑥→0
√
𝑥 + 25 − 5
𝑥
.
Inicialmente observamos que
√
𝑥 + 25 − 5
𝑥
não está denida em 𝑥 = 0.
0
10 20−10
−0.1
0.1
bc
√
𝑥 + 25 − 5
𝑥
Figura 9.6: lim
𝑥→0
√
𝑥 + 25 − 5
𝑥
= 0, 1.
Calculando alguns valores temos:
230
Bases Matemáticas
𝑥
√
𝑥 + 25 − 5
𝑥
10 0,09161
1 0,09902
0,1 0,09990
0,01 0,09999
0,001 0,1000
.
.
.
.
.
.
↓ ↓
0 0,1
Nesse caso tanto o numerador quanto o denominador de
√
𝑥 + 25 − 5
𝑥
se anulam em 𝑥 = 5,
apesar disso, conforme os valores de 𝑥 se aproximam de 0 os valores de 𝑓 (𝑥) se aproximam
de 0, 1. O que nos permite conjecturar que lim
𝑥→0
√
𝑥 + 25 − 5
𝑥
= 0, 1.
Calcularemos esse limite mais adiante no Exercício Resolvido 9.27.
Exemplos da não Existência do Limite
Exercício Resolvido 9.4 [Comportamentos Diferentes à Esquerda e à Direita] Seja 𝑔 =
|
𝑥
|
𝑥
então lim
𝑥→0
𝑔(𝑥) não existe.
Solução:
Para valores positivos de 𝑥 temos que
𝑔(𝑥) =
|
𝑥
|
𝑥
=
𝑥
𝑥
= 1, 𝑥 > 0
e para valores negativos de 𝑥
𝑔(𝑥) =
|
𝑥
|
𝑥
=
−𝑥
𝑥
= −1, 𝑥 < 0
0
1 2−1−2−3
−1
1
𝑔
bc
b
Figura 9.7: Não existe o limite lim
𝑥→0
|
𝑥
|
𝑥
As igualdades anteriores mostram que mesmo para valores próximos a zero, teremos va-
lores de 𝑥 tais que 𝑔(𝑥) = 1 e tais que 𝑔(𝑥) = −1. Desse fato podemos intuir que o limite não
existe pois independente do quão próximo 𝑥 que do zero 𝑓 (𝑥) não se aproxima de nenhum
231
9 Limites e Continuidade de Funções
valor. Provaremos esse fato no Exercício Resolvido 9.13. ◁
Exercício Resolvido 9.5 [Comportamento Ilimitado] Não existe o limite lim
𝑥→0
1
|
𝑥
|
.
0
1 2 3−1−2−3
1
2
3
4
𝑓
Figura 9.8: Não existe lim
𝑥
→
0
1
|
𝑥
|
Solução: Seja ℎ(𝑥) =
1
|
𝑥
|
. Analisando o gráco 9.8 podemos perceber que quando 𝑥 se apro-
xima de 0, tanto pela direita, isto é, por valores maiores que 0, bem como pela esquerda, isto
é, por valores menores que 0 temos que ℎ(𝑥) cresce de modo ilimitado. Ou seja, podemos
fazer ℎ(𝑥) maior que qualquer número real tomando 𝑥 próximo de 0.
Como ℎ(𝑥) não está se aproximando de nenhum valor, temos que o limite não existe.
◁
9.3 Denição de Limite
Para formalizar a descrição informal de limite que apresentamos na seção anterior, um passo
importante é formalizar o conceito de próximo.
Dizemos que um ponto 𝑦 é uma aproximação de 𝑎 com erro menor que 𝛿 se 𝑦 satisfaz
|
𝑦 − 𝑎
|
< 𝛿, ou seja se 𝑦 ∈
(
𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿
)
. De modo análogo, dizemos que a função 𝑓 (𝑥) é uma
aproximação de 𝐿 com erro menor que 𝜀 para 𝐿 para valores de 𝑥 sucientemente próximos
de 𝑎, se para 𝑦 :
|
𝑦 − 𝑎
|
< 𝛿 então
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
< 𝜀.
Exercício Resolvido 9.6 O exemplo 9.2 mostra que
2𝑥 − 2
𝑥
2
− 𝑥
é uma aproximação de 0 com erro
menor que 10
−5
se se 𝑥 é uma aproximação de 1 com erro menor que
10
−5
2
.
Exercício Resolvido 9.7 O exemplo 9.1 mostra que 3𝑥 +1 é uma aproximação de 7 com erro
menor que 𝜀 se 𝑥 é uma aproximação de 2 com erro menor que
𝜀
3
.
Mais ainda, o exemplo 9.1 mostra que 3𝑥 +1 é uma aproximação de 7 com erro menor que
𝜀 para valores de 𝑥 sucientemente próximos de 2.
232
Bases Matemáticas
De posse desses conceitos, podemos reescrever a denição de limite como:
Denição 9.8 (Limite) Seja 𝑓 uma função denida num intervalo aberto contendo 𝑎, exceto
possivelmente no próprio ponto 𝑎 e seja 𝐿 um número real. Dizemos que o limite de 𝑓 (𝑥) é 𝐿
quando 𝑥 tende a, denotado por:
lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 𝐿,
se para todo 𝜀 > 0 existe um 𝛿 > 0 tal que
se 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿 então
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
< 𝜀.
Observação 9.9 A notação lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 𝐿 signica que o limite existe e é igual a 𝐿.
Pela denição anterior, para demostrar que o limite de 𝑓 (𝑥) quando 𝑥 tende a 𝑎 é 𝐿 teremos
que garantir que os valores de 𝑓 (𝑥) estão a uma distância 𝜀 acima ou abaixo do valor limite
𝐿, como mostrado nos grácos de 9.9. Para fazer isso, devemos escolher os valores de 𝑥 que
estão sucientemente perto de 𝑎, digamos, a uma distância 𝛿 > 0 para a esquerda ou direita
de 𝑎, como mostrado no segundo gráco. A terceira gura ilustra que a a escolha de um
𝑥 dentro do intervalo azul (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) determina um 𝑓 (𝑥) dentro do intervalo vermelho
(𝐿 − 𝜀, 𝐿 + 𝜀).
A denição de limite pode ser reescrita em linguagem simbólica como:
lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 𝐿 ⇔ (∀𝜀 > 0)(∃𝛿 > 0)| se 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿 então
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
< 𝜀.
Vamos analisar a armação anterior dividindo-a em pedaços:
A armação de que
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
< 𝜀 nos diz que a função em 𝑥 estará perto do número
real 𝐿. Quão próximo? Menos de 𝜀 de distância.
A desigualdade 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿 nos diz que ponto 𝑥 está a uma distância menor que 𝛿
de 𝑎 e é diferente de 𝑎.
A implicação “se 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿 então
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
< 𝜀” arma que a condição de que 𝑥
esteja 𝛿 próximo de 𝑎 força a função 𝑓 (𝑥) a estar 𝜀 próximo de 𝐿. Em outras palavras,
ao controlar 𝑥 permitindo que uma variação inferior a 𝛿, controlamos 𝑓 (𝑥) com uma
variação inferior a 𝜀.
Finalmente a armação inteira nos diz que para qualquer valor de 𝜀, podemos encontrar
um 𝛿 que satisfaz o item anterior.
Merece ser ressaltado que a denição de limite não nos fornece modos de determinar o
valor do limite 𝐿. Em uma demonstração a partir da denição o valor do limite deve ser
233
9 Limites e Continuidade de Funções
0
𝐿
𝑎
Queremos que 𝑓 (𝑥) esteja em (𝐿 − 𝜀, 𝐿 + 𝜀)
𝑓
𝑎
𝐿
0
𝐿
Logo escolhemos 𝑥 em (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿)
𝑎
0
𝐿
𝑎
𝑓 (𝑥)
𝑥
𝑓
𝐿
Se 𝑥 em (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿)
então 𝑓 (𝑥) em (𝐿 − 𝜀, 𝐿 + 𝜀)
Figura 9.9: Denição de Limite
conjecturado. Mais adiante forneceremos uma série de ferramentas que nos permitiram efe-
tivamente calcular os limites.
Assim, deve estar claro que uma etapa crucial na demonstração de um limite a partir da
denição (por 𝜀 e 𝛿) é encontrar o 𝛿 de modo que
se 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿 então
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
< 𝜀.
Para realizar tal tarefa uma estratégia é partir da desigualdade
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
< 𝜀 para entender
como esse termo pode ser controlado por 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿, em particular encontrar uma
fatoração de
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
< 𝜀 na qual
|
𝑥 − 𝑎
|
é fator. Essa estratégia nos permite encontrar o 𝛿.
A etapa seguinte é mostrar que esse 𝛿 funciona.
Ilustraremos essa estratégia nos exemplos a seguir.
Exercício Resolvido 9.10 Mostre a partir da denição de limite que lim
𝑥→2
3𝑥 + 4 = 10
Solução: Começamos estimando
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
< 𝜀:
|
3𝑥 + 4 − 10
|
=
|
3𝑥 − 6
|
= 3
|
𝑥 − 2
|
< 𝜀
234
Bases Matemáticas
Ou seja
|
𝑥 − 2
|
<
𝜀
3
.
Agora podemos escolher 𝛿 =
𝜀
3
. Fazemos essa escolha pois assim se 0 <
|
𝑥 − 2
|
<
𝜀
3
então
|
3𝑥 + 4 − 10
|
=
|
3𝑥 − 6
|
= 3
|
𝑥 − 2
|
< 3
𝜀
3
= 𝜀
e logo
|
3𝑥 + 4 − 10
|
< 𝜀.
◁
Exercício Resolvido 9.11 Mostre a partir da denição de limite que lim
𝑥→𝑎
𝑐 = 𝑐
Solução: Como dito anteriormente para demostrar um limite temos que estimar
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
numa vizinhança de 𝑎.
Nesse caso temos que
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
=
|
𝑐 − 𝑐
|
= 0, independente dos valores de 𝑥. Ou seja, para
qualquer 𝛿 se 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿 então
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
=
|
𝑐 − 𝑐
|
= 0 < 𝜀
◁
Exercício Resolvido 9.12 Mostre a partir da denição de limite que lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎
Solução: Dado 𝜀 > 0, como:
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
=
|
𝑥 − 𝑎
|
Podemos escolher o valor de 𝛿, fazendo 𝛿 = 𝜀, assim temos que: se 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿 = 𝜀
então
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
=
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝜀
Ou seja,
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
=< 𝜀.
◁
Exercício Resolvido 9.13 [Comportamentos Diferentes à Esquerda e à Direita] Seja 𝑔 =
|
𝑥
|
𝑥
então lim
𝑥→0
𝑔(𝑥) não existe.
Solução: Como:
𝑔(𝑥) =
1 se 𝑥 > 0
−1 se 𝑥 < 0
Mostraremos que o limite não existe mostrando que não podemos fazer a distância entre
𝑓 (𝑥) e um suposto limite 𝐿 menor que 𝜀, pois independente do quão próximo escolhermos o
ponto da origem
|
𝑥
|
< 𝛿 teríamos :
se 𝑥 > 0,
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
=
|
1 − 𝐿
|
< 𝜀
235
9 Limites e Continuidade de Funções
se 𝑥 < 0,
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
=
|
−1 + 𝐿
|
< 𝜀
As equações anteriores teriam que ser satisfeitas simultaneamente para todo 𝜀 > 0. Em
especial, considerando o caso em que 𝜀 = 1 teríamos:
se 𝑥 > 0, 1 − 𝜀 < 𝐿 < 1 + 𝜀 ⇔ 0 < 𝐿 < 2
se 𝑥 < 0, −1 − 𝜀 < 𝐿 < −1 + 𝜀 ⇔ −2 < 𝐿 < 0
O que mostra que não existe 𝐿.
◁
Exercícios
Ex. 9.1 — Calcule a função nos pontos dados. Use os resultados para conjecturar o valor do
limite:
a) 𝑓 (𝑥) = 𝑥
2
+ 2𝑥 nos pontos 1.1 1.01 1.001; lim
𝑥→1
𝑥
2
+ 2𝑥
b) 𝑔(𝑥) =
𝑥 − 4
𝑥
2
− 𝑥 − 12
nos pontos 4.1 4.01 4.001; lim
𝑥→4
𝑥 − 4
𝑥
2
− 𝑥 − 12
c) ℎ(𝑥) =
3
√
𝑥 − 1
√
𝑥
−
1
nos pontos 1.1 1.01 1.001; lim
𝑥→1
3
√
𝑥 − 1
√
𝑥
−
1
Ex. 9.2 — Mostre a partir da denição os seguintes limites.
a) lim
𝑥→2
𝑥
7
=
2
7
b) lim
𝑥→0
𝑥
2
= 0
c) lim
𝑥→0
𝑥
3
= 0
d) lim
𝑥→2
𝑥
2
= 4
Ex. 9.3 — Calcule, se existir, o limite, ou demonstre que não existe:
a) lim
𝑥→2
|
𝑥 − 2
|
b) lim
𝑥→2
|
𝑥 − 2
|
𝑥 − 2
c) lim
𝑥→2
𝑥
2
− 2𝑥
𝑥 − 2
Ex. 9.4 — Seja
𝑓 (𝑥) =
(
𝑥
2
se 𝑥 ∈ Q
0 se 𝑥 ∉ Q
Prove que lim
𝑥→0
𝑓 (𝑥) = 0.
236
Bases Matemáticas
9.4 Limites Laterais
0
1 2−1−2−3
−1
1
𝑔
bc
b
No exemplo 9.13, vimos que a função 𝑔 denida como
𝑔(𝑥) =
(
1 se 𝑥 ≥ 0
−1 se 𝑥 < 0
possui dois comportamentos distintos na vizinhança da origem. Se considerarmos valores
maiores que 0 teremos que 𝑔(𝑥) = 1 e logo
lim
𝑥→0,𝑥>0
𝑔(𝑥) = 1,
enquanto que se consideramos valores menores que 0 teremos que 𝑔(𝑥) = −1 e logo
lim
𝑥→0,𝑥<0
𝑔(𝑥) = −1.
Indicaremos tais fatos por:
lim
𝑥
→
0
+
𝑔(𝑥) = 1, lim
𝑥→0
−
𝑔(𝑥) = −1
Denição 9.14 Seja 𝑓 uma função denida num intervalo aberto contendo 𝑎, exceto possivel-
mente em 𝑎 e seja 𝐿 um número real.
Dizemos que o limite lateral de 𝑓 (𝑥) quando 𝑥 tende a 𝑎 pela esquerda é 𝐿
lim
𝑥→𝑎
−
𝑓 (𝑥) = 𝐿
se para todo 𝜀 > 0 existe um 𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0 tal que
se 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎 então
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
< 𝜀.
Em linguagem simbólica:
lim
𝑥→𝑎
−
𝑓 (𝑥) = 𝐿 ⇔ (∀𝜀 > 0)(∃𝛿 > 0)| se 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎 então
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
< 𝜀.
De modo análogo, temos:
237
9 Limites e Continuidade de Funções
Denição 9.15 Seja 𝑓 uma função denida num intervalo aberto contendo 𝑎, exceto possivel-
mente em 𝑎 e seja 𝐿 um número real.
Dizemos que o limite lateral de 𝑓 (𝑥) quando 𝑥 tende a 𝑎 pela direita é 𝐿
lim
𝑥→𝑎
+
𝑓 (𝑥) = 𝐿
se para todo 𝜀 > 0 existe um 𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0 tal que
se 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿 então
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
< 𝜀.
Em linguagem simbólica:
lim
𝑥→𝑎
+
𝑓
(
𝑥
)
=
𝐿
⇔ (∀
𝜀 >
0
)(∃
𝛿 >
0
)|
se
𝑎
<
𝑥
<
𝑎
+
𝛿
então
|
𝑓
(
𝑥
) −
𝐿
|
< 𝜀
.
A diferença essencial da denição de limites laterais em relação a denição de limites é que
nos limites laterais estamos considerando apenas valores menores que 𝑎 (ou seja intervalos
da forma 𝑎 −𝛿 < 𝑥 < 𝑎) nos limites pela esquerda e valores maiores que 𝑎 (ou seja intervalos
da forma 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿) nos limites pela direita.
0
𝑥 > 𝑎
𝑓 (𝑥)
𝑓
b
bbbbb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
0
𝑥 < 𝑎
𝑓 (𝑥)
𝑓
b
b b b b b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
A próxima proposição relaciona a existência dos limites laterais e do limite para uma fun-
ção 𝑓 .
Teorema 9.16 Seja 𝑓 uma função denida num intervalo aberto contendo 𝑎, exceto possivelmente
em 𝑎 e seja 𝐿 um número real. Então lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 𝐿 se e somente se lim
𝑥→𝑎
+
𝑓 (𝑥) = 𝐿 e lim
𝑥→𝑎
−
𝑓 (𝑥) = 𝐿.
O teorema anterior pode ser usado para demonstrar a existência ou não de alguns limites,
como ilustrado nos exemplos seguintes:
Exercício Resolvido 9.17 Mostre que lim
𝑥→0
|
𝑥
|
= 0.
Solução: Vamos demonstrar a existência do limite usando os limites laterais. Para tanto, co-
meçaremos calculando o limite pela direita. Como
|
𝑥
|
= 𝑥 se 𝑥 > 0, temos que
lim
𝑥→0+
|
𝑥
|
= lim
𝑥→0+
𝑥 = 0.
238
Bases Matemáticas
De maneira análoga, vamos calcular o limite pela esquerda. Como
|
𝑥
|
= −𝑥 se 𝑥 < 0, temos
que
lim
𝑥→0−
|
𝑥
|
= 0.
Como ambos os limites laterais existem e são iguais temos pelo teorema 9.16 que:
lim
𝑥→0
|
𝑥
|
= 0.
◁
0
𝑥 > 0
𝑓 (𝑥)
𝑥 < 0
𝑓 (𝑥)
|
(
|
𝑥)
bbbbb
b
b
b
b
b
b b b b b
b
b
b
b
b
Figura 9.10: Limite
|
𝑥
|
quando 𝑥 tende a 0.
Exercício Resolvido 9.18 Considere a função maior inteiro menor ou igual a 𝑥, i.e.,
~𝑥 = max{𝑛 ∈ Z | 𝑛 ≤ 𝑥}.
Para todo 𝑛 ∈ N, encontre
lim
𝑥→𝑛
+
~𝑥 e lim
𝑥→𝑛
−
~𝑥
Solução: Começaremos calculando o limite lim
𝑥→𝑛
+
~𝑥. Para isso seja 𝑥 tal que 𝑥 > 𝑛. Como
estamos interessados no comportamento numa vizinhança de 𝑛 podemos assumir sem perda
de generalidade que 𝑥 < 𝑛 + 1 e assim que 𝑛 < 𝑥 < 𝑛 + 1
Desta forma como para todo número real 𝑥, com 𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1, tem-se que ~𝑥 = 𝑛 e
assim:
lim
𝑥→𝑛
+
~𝑥 = 𝑛
Para calcularmos o limite lim
𝑥→𝑛
−
~𝑥, tomemos um 𝑥 satisfazendo 𝑥 < 𝑛. Como estamos
interessados no comportamento numa vizinhança de 𝑛 podemos assumir sem perda de ge-
neralidade que 𝑛 − 1 < 𝑥 e assim que 𝑛 −1 < 𝑥 < 𝑛
lim
𝑥→𝑛
−
~𝑥 = 𝑛 − 1
Como os limites laterais são distintos podemos concluir que não existe lim
𝑥→𝑛
~𝑥 para todo
𝑛 ∈ N. ◁
239
9 Limites e Continuidade de Funções
0
1 2 3 4 5−1−2−3
−1
−2
−3
1
2
3
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
bc
Gráco de ~𝑥
Exercício Resolvido 9.19 Considere a função
𝑓 (𝑥) =
3𝑥 − 5 se 𝑥 < 2
2𝑥 − 𝐶 se 𝑥 ≥ 2
Determine o valor de 𝐶 de modo que o limite lim
𝑥→2
𝑓 (𝑥) exista.
Solução: Vamos começar calculando os limites laterais
lim
𝑥→2
−
𝑓
(
𝑥
)
=
lim
𝑥→2
−
3
𝑥
−
5
=
1
lim
𝑥→2
+
𝑓 (𝑥) = lim
𝑥→2
−
2𝑥 − 𝐶 = 4 − 𝐶
Pelo Teorema 9.16, para que o limite exista devemos ter:
lim
𝑥→2
−
𝑓 (𝑥) = lim
𝑥→2
+
𝑓 (𝑥)
E assim 1 = 4 − 𝐶, e logo 𝐶 = 3. ◁
9.5 Propriedades do Limite de Funções
De modo análogo ao limite de sequências, os limites de funções possuem as seguintes pro-
priedades:
Proposição 9.20 (Propriedades do Limite) Seja 𝑐 um número real e 𝑓 , 𝑔 duas funções reais tais
que lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 𝐴 e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐵. Então:
L1. lim
𝑥→𝑎
(𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝐴 + 𝐵. (Limite da Soma)
L2. lim
𝑥→𝑎
(𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)) = 𝐴 − 𝐵. (Limite da Diferença)
L3. lim
𝑥
→
𝑎
(𝑓 (𝑥) · 𝑔(𝑥)) = 𝐴𝐵. (Limite do Produto)
L4. lim
𝑥→𝑎
(𝑐 𝑓 (𝑥)) = 𝑐𝐴. (Limite do Produto por Escalar)
240
Bases Matemáticas
L5. Se lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐵 ≠ 0 então lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝐴
𝐵
. (Limite do Quociente)
L6. lim
𝑥→𝑎
|
𝑓 (𝑥)
|
=
|
𝐴
|
. (Limite do Módulo )
L7. lim
𝑥→𝑎
(
𝑓 (𝑥)
𝑛
)
= 𝐴
𝑛
para todo 𝑛 ∈ N (Limite de Potências)
L8. lim
𝑥→𝑎
p
𝑓 (𝑥) =
√
𝐴Se 𝐴 > 0 então (Limite da Raiz)
Usaremos as propriedades anteriores para calcular alguns limites:
Exercício Resolvido 9.21 Calcule lim
𝑥→2
𝑥
3
+ 3𝑥 + 2
Solução:
lim
𝑥→2
𝑥
3
+ 3𝑥 + 2 = lim
𝑥→2
𝑥
3
+ lim
𝑥→2
3𝑥 + lim
𝑥→2
2 por L1 (9.1)
=
lim
𝑥→2
𝑥
3
+ 3 lim
𝑥→2
𝑥 + lim
𝑥→2
2 por L4 e L7 (9.2)
= 8 +6 + 2 = 16 (9.3)
◁
Exercício Resolvido 9.22 Calcule lim
𝑥→𝑎
𝑥
4
+ 2
𝑥
2
+ 1
Solução: Se lim
𝑥→𝑎
𝑥
2
+ 1 ≠ 0 então
lim
𝑥→𝑎
𝑥
4
+ 2
𝑥
2
+ 1
=
lim
𝑥→𝑎
𝑥
4
+ 2
lim
𝑥→𝑎
(
𝑥
2
+ 1
)
por L5 (9.4)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑥
4
+ lim
𝑥→𝑎
2
lim
𝑥→𝑎
𝑥
2
+ lim
𝑥→𝑎
1
por L1 (9.5)
=
𝑎
4
+ 2
𝑎
2
+ 1
por L7 (9.6)
◁
De modo geral para um polinômio 𝑝(𝑥) podemos calcular o seu limite no ponto 𝑎 calcu-
lando simplesmente 𝑝(𝑎) ou seja por substituição direta de 𝑥 por 𝑎.
Teorema 9.23 Dado um polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑐
𝑛
𝑥
𝑛
+ 𝑐
𝑛−1
𝑥
𝑛−1
+ ··· + 𝑐
1
𝑥 + 𝑐
0
então
lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑎).
Demonstração: Vamos demonstrar por indução sobre o grau do polinômio. Se 𝑝(𝑥) é um
polinômio de grau zero, ou seja constante, a igualdade é clara. Por hipótese indutiva, supo-
nhamos que a igualdade anterior seja válida para os polinômios de grau menor igual que
241
9 Limites e Continuidade de Funções
𝑛 − 1. Agora usando a hipótese indutiva, L1 e L3 temos:
lim
𝑥→𝑎
𝑝
(
𝑥
)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑐
𝑛
𝑥
𝑛−1
lim
𝑥→𝑎
𝑥
+
lim
𝑥→𝑎
𝑐
𝑛−1
𝑥
𝑛−1
+ ··· + 𝑐
1
𝑥 + 𝑐
0
= 𝑐
𝑛
𝑎
𝑛
−
1
𝑎 + 𝑐
𝑛−1
𝑎
𝑛
−
1
+ ··· + 𝑐
1
𝑎 + 𝑐
0
= 𝑝(𝑎).
□
Usando a propriedade L5 temos que para funções racionais também vale substituição di-
reta para o cálculo de limites:
Teorema 9.24 Dados polinômios 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) com 𝑞(𝑎) ≠ 0 então
lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
=
𝑝(𝑎)
𝑞(𝑎)
.
Exercício Resolvido 9.25 Calcule lim
𝑥→2
𝑥
3
+ 12𝑥 + 2
4𝑥
2
+ 4𝑥 − 2
.
Solução: Usando o exemplo anterior podemos calcular o limite por substituição e logo
lim
𝑥→2
𝑥
3
+ 12𝑥 + 2
4𝑥
2
+ 4𝑥 − 2
=
8 + 24 + 2
16 + 8 − 2
=
34
22
◁
Ressaltemosque nem todos os limites podem ser calculados por substituição direta. Quando
tivermos lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥)
𝑔(𝑥)
com lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 0 e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0 dizemos que temos uma indeterminação
do tipo
0
0
. Nesses casos para o cálculo do limite temos que realizar uma simplicação an-
tes da utilização das propriedades do limite. Duas estratégias de simplicação usuais são a
fatoração e a multiplicação pelo conjugado, como ilustram os exemplos a seguir.
Exercício Resolvido 9.26 [Indeterminação do tipo 0/0]
Calcule lim
𝑥→2
𝑥
2
− 6𝑥 + 8
𝑥
2
+ 𝑥 − 6
.
Solução: Nesse caso não podemos realizar substituição direta nem tampouco usar a propri-
edade L 5 pois o limite do denominador é 0. Como o limite do numerador também é 0 temos
que 2 é raiz de ambos os polinômios e assim podemos fatorar:
lim
𝑥→2
𝑥
2
− 6𝑥 + 8
𝑥
2
+ 𝑥 − 6
= lim
𝑥→2
(𝑥 − 2)(𝑥 − 4)
(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
Agora para o cálculo do limite 𝑥 ≠ 2 e logo podemos fazer a simplicação
lim
𝑥
→
2
𝑥
2
− 6𝑥 + 8
𝑥
2
+ 𝑥 − 6
= lim
𝑥
→
2
(𝑥 − 2)(𝑥 − 4)
(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
= lim
𝑥
→
2
𝑥 − 4
𝑥 + 3
= −
2
5
.
242
Bases Matemáticas
◁
Agora retornaremos ao exemplo 9.3
Exercício Resolvido 9.27 [Indeterminação do tipo 0/0]
Calcule lim
𝑥→0
√
𝑥 + 25 − 5
𝑥
.
Solução: Novamente não podemos realizar substituição direta nem tampouco usar a propri-
edade L5 pois o limite do denominador é 0. Nesse caso multiplicaremos o numerador e o
denominador pelo conjugado:
lim
𝑥→0
√
𝑥 + 25 − 5
𝑥
= lim
𝑥→0
(
√
𝑥 + 25 − 5)(
√
𝑥 + 25 + 5)
𝑥(
√
𝑥 + 25 + 5)
(9.7)
= lim
𝑥→0
𝑥 + 25 − 25
𝑥(
√
𝑥 + 25 + 5)
(9.8)
= lim
𝑥→0
𝑥
𝑥(
√
𝑥 + 25 + 5)
(9.9)
=
lim
𝑥→0
1
√
𝑥 + 25 + 5
(9.10)
(9.11)
E assim temos que:
lim
𝑥→0
√
𝑥 + 25 − 5
𝑥
=
1
10
◁
Teorema 9.28 (Teorema do Confronto) Dadas 𝑓 , 𝑔, ℎ funções denidas num intervalo con-
tendo o ponto 𝑎, exceto possivelmente em 𝑎, e tais que 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) nesse intervalo. Se
lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 𝐿 = lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥), então
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿
Demonstração: Das hipóteses, temos que existe 𝛿 tal que
|
𝑔(𝑥) − 𝐿
|
< 𝜀 e
|
ℎ(𝑥) − 𝐿
|
< 𝜀 se
0 <
|
𝑥 − 𝑐
|
< 𝛿.
Podemos reescrever as desigualdades anteriores como
𝐿 − 𝜀 < 𝑔(𝑥) < 𝐿 + 𝜀
e
𝐿 − 𝜀 < ℎ(𝑥) < 𝐿 + 𝜀
se 0 <
|
𝑥 − 𝑐
|
< 𝛿.
243
9 Limites e Continuidade de Funções
0
𝑓
ℎ
𝑔
b
𝑎
bb
𝐿
Figura 9.11: Teorema do Confronto
Logo
−𝜀 < 𝑔(𝑥) < 𝑓 (𝑥) < ℎ(𝑥) < 𝐿 + 𝜀 se 0 <
|
𝑥 − 𝑐
|
< 𝛿. (9.12)
equivalentemente
−𝜀 < 𝑔(𝑥) − 𝐿 < 𝑓 (𝑥) − 𝐿 < ℎ(𝑥) − 𝐿 < 𝜀 se 0 <
|
𝑥 − 𝑐
|
< 𝛿 (9.13)
Consequentemente
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
< 𝑚𝑎𝑥(
|
𝑔(𝑥) − 𝐿
|
,
|
ℎ(𝑥) − 𝐿
|
) < 𝜀 se 0 <
|
𝑥 − 𝑐
|
< 𝛿.
□
Exercício Resolvido 9.29 Mostre que lim
𝑥→0
𝑥
2
sen
1
𝑥
= 0.
0
𝑦 = 𝑥
2
𝑦 = −𝑥
2
𝑦 = 𝑥
2
sen
1
𝑥
𝑓
𝑔
ℎ
Solução: Como
−1 ≤ sen
1
𝑥
≤ 1
temos que
−𝑥
2
≤ 𝑥
2
sen
1
𝑥
≤ 𝑥
2
Como lim
𝑥→0
𝑥
2
= lim
𝑥→0
−𝑥
2
= 0, pelo Teorema do Confronto temos que
lim
𝑥→0
𝑥
2
sen
1
𝑥
= 0.
◁
244
Bases Matemáticas
Teorema 9.30 (Limite Fundamental)
lim
𝑥→0
sen(𝑥)
𝑥
= 1.
1 2 3−1−2−3
−0.5
−1.0
0.5
1.0
1.5
sen(𝑥)
𝑥
bc
Figura 9.12: Gráco de
sen
(
𝑥
)
𝑥
Sin(x)
b
𝑂
b
𝐵
𝑥
b
𝐶
b
𝐴
b
𝐷
cos(𝑥)
sen(𝑥)
ℎ =
sen(𝑥)
cos(𝑥)
Figura 9.13: cos(𝑥) <
sen 𝑥
𝑥
<
1
cos(𝑥)
Demonstração: Começaremos provando que para
−
𝜋
2
< 𝑥 <
𝜋
2
valem as desigualdades:
0 < cos(𝑥) <
sen 𝑥
𝑥
<
1
cos(𝑥)
.
Considere no círculo trigonométrico um ângulo 𝑥 com
0 < 𝑥 <
𝜋
2
,
conforme apresentado na gura 9.13, como os triângulos 𝑂𝐶𝐵 e 𝑂𝐴𝐷 são semelhantes,
se denotarmos por ℎ o tamanho do segmento 𝐴𝐷, por semelhança de triângulos temos que
ℎ
1
=
sen(𝑥)
cos(𝑥)
245
9 Limites e Continuidade de Funções
e logo Área(𝑂𝐴𝐷) =
sen(𝑥)
2 cos(𝑥)
.
Se denotarmos a área do setor circular delimitado pelos pontos 𝑂, 𝐴, 𝐵 por Área(𝑂𝐴𝐵),
pela gura ao lado é fácil ver que valem as desigualdades para 𝑥 <
𝜋
2
:
Área(𝑂𝐵𝐶) < Área(𝑂𝐴𝐵) < Área(𝑂𝐴𝐷)
⇒
1
2
sen(𝑥)cos(𝑥) <
1
2
𝑥 <
sen(𝑥)
2 cos(𝑥)
.
Dividindo por
sen(𝑥)
2
temos:
cos(𝑥) <
𝑥
sen(𝑥)
<
1
cos(𝑥)
.
Finalmente, comparando os inversos dos três termos, obtemos:
⇒ cos(𝑥) <
sen 𝑥
𝑥
<
1
cos(𝑥)
.
O caso
−
𝜋
2
< 𝑥 < 0
é análogo e será deixado como exercício.
Assim como lim
𝑥→0
cos(𝑥) = 1 = lim
𝑥→0
1
cos(𝑥)
pelo Teorema do Confronto temos o limite dese-
jado.
□
Exercício Resolvido 9.31 Calcule lim
𝑥→0
1 − cos(𝑥)
𝑥
2
Solução: Não podemos usar diretamente a regra do quociente pois lim
𝑥→0
𝑥
2
= 0. Para eliminar
a indeterminação, multiplicaremos o numerador e o denominador por 1 + cos(𝑥) e assim
temos:
lim
𝑥→0
1 − cos(𝑥)
𝑥
2
= lim
𝑥→0
1 − cos(𝑥)
𝑥
2
(1 + cos(𝑥))
(1 + cos(𝑥))
(9.14)
= lim
𝑥→0
1 − cos
2
(𝑥)
𝑥
2
1
(1 + cos(𝑥))
(9.15)
= lim
𝑥→0
sen
2
(𝑥)
𝑥
2
1
1 + cos(𝑥)
(9.16)
= lim
𝑥→0
sen
2
(𝑥)
𝑥
2
lim
𝑥→0
1
1 + cos(𝑥)
(9.17)
=
1
2
(9.18)
◁
Exercício Resolvido 9.32 Se então lim
𝑥→0
𝑒
𝑥
= 1
246
Bases Matemáticas
Solução: Pelo exercício 8.7 temos a desigualdade
1
+
𝑥
≤
𝑒
𝑥
≤
1
1 − 𝑥
.
Como lim
𝑥→0
1 + 𝑥 = 1 e lim
𝑥→0
1
1−𝑥
= 1. Pelo Teorema do Confronto temos que lim
𝑥→0
𝑒
𝑥
= 1 ◁
Teorema 9.33 (Mudança de Variáveis) Suponha que lim
𝑦→𝑏
𝑓 (𝑦) = 𝐿. E suponha que Im 𝑔 ⊆
Dom 𝑓 , e que lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑏 e que 𝑔(𝑥) ≠ 𝑏 numa vizinhança de 𝑎. Então
lim
𝑥→𝑎
𝑓
◦
𝑔
(
𝑥
)
=
𝐿
Demonstração: Seja 𝜖 > 0. Como lim
𝑦→𝑏
𝑓 (𝑦) = 𝐿 existe 𝛿 > 0 tal que 0 < |𝑦 − 𝑏| < 𝛿 implica
|
𝑓
(
𝑦
)−
𝐿
|
< 𝜖
. Como
lim
𝑥→𝑎
𝑔
(
𝑥
)
=
𝑏
, existe
𝛿
>
0
tal que
0
<
|
𝑥
−
𝑎
|
< 𝛿
implica
0
<
|
𝑔
(
𝑥
)−
𝑏
|
<
𝛿. E logo |𝑓 (𝑔(𝑥)) − 𝐿| < 𝜖 se 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿
. □
Exercício Resolvido 9.34 Mostre que lim
𝑥→2
sen(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
= 1.
Solução: Como lim
𝑥→0
sen(𝑥) = 0 como lim
𝑥→2
(𝑥−2) = 0. Pelo Teorema 9.32 temos que: lim
𝑥→2
sen(𝑥 − 2)
𝑥 − 2
=
lim
𝑦→0
sen(𝑦)
𝑦
= 1. ◁
Exercícios
Ex. 9.5 — Calcule os seguintes limites:
a) lim
𝑥→2
7𝑥
3
+ 𝑥 + 2
b) lim
𝑥→3
(𝑥
3
+ 𝑥 + 2)(𝑥
3
+ 2)
c) lim
𝑥→1
6𝑥
2
+ 2𝑥 + 2
𝑥
3
+ 2
d) lim
𝑥→2
7𝑥
3
+ 𝑥 + 2
e) lim
𝑥→0
4
√
8𝑥
3
+ 4𝑥 + 4
f) lim
ℎ→0
(2 + ℎ)
2
− 4
ℎ
g) lim
ℎ→0
(4 + ℎ)
2
− 16
ℎ
h) lim
𝑥→0
𝑥
4
− 81
𝑥 − 3
i) lim
𝑥→0
√
𝑥
2
+ 9 −3
𝑥
2
247
9 Limites e Continuidade de Funções
Ex. 9.6 — Forneça exemplos de funções 𝑓 (𝑥) e 𝑔(𝑥) tal que lim
𝑥→𝑎
(𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) exista, mas que
não existam lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
Ex. 9.7 — Determine 𝑎 de modo que o limite exista.
lim
𝑥→2
𝑥
3
− 𝑎𝑥
2
− 9𝑥 + 9𝑎
𝑥
2
− 5𝑥 + 6
Ex. 9.8 — Mostre que lim
𝑥→0
𝑥
3
cos
1
𝑥
= 0.
Ex. 9.9 — Use o limite fundamental para calcular os seguintes limites:
a) lim
𝑥→0
sen 5𝑥
𝑥
b) lim
𝑥
→
0
sen 5𝑥
sen 4𝑥
c) lim
𝑥→0
tan 5𝑥
sen 3𝑥
d) lim
𝑥→0
sen 5𝑥 −sen 3𝑥
𝑥
9.6 Continuidade
De modo intuitivo, uma função 𝑓 : 𝐴 → 𝐵, com 𝐴, 𝐵 ⊂ R é dita contínua se variações su-
cientemente pequenas em 𝑥 resultam em variações pequenas de 𝑓 (𝑥), ou equivalentemente,
se para 𝑥 sucientemente próximo de 𝑎 tivermos que 𝑓 (𝑥) é próximo de 𝑓 (𝑎).
Antes de apresentarmos uma denição precisa de continuidade, vamos examinar alguns
exemplos de comportamentos de continuidade e descontinuidades num ponto. Começare-
mos por dois exemplos de descontinuidade:
0
1 2 3−1−2
−1
−2
1
2
3
.
𝑓
bc
b
Figura 9.14: Função descontínua em 𝑥 = 1.
248
Bases Matemáticas
No exemplo da gura 9.14 quando tomamos valores de 𝑥 diferentes de 1 porém cada vez
mais próximos de 1, os valores de 𝑓 (𝑥) se aproximam de 2, porém o valor de 𝑓 (1) é 3, e
consequentemente temos uma descontinuidade nesse ponto.
No exemplo da gura 9.15 temos um tipo distinto de descontinuidade. Quando aproxi-
mamos de 1 por valores maiores que 1, temos que 𝑓 (𝑥) se aproxima de 2, enquanto que se
aproximarmos de 1 por valores menores que 1 então 𝑓 (𝑥) se aproxima de 1. Veja que isso se
manifesta no “salto” da função no ponto 𝑥 = 1.
0
1 2 3 4−1
−1
1
2
3
4
bc
b
𝑔
Figura 9.15: Função descontínua em 𝑥 = 1
Vamos agora examinar um exemplo de função contínua, a função 𝑓 (𝑥) = 𝑥
2
. Vamos nos
concentrar em entender o porquê dessa função ser contínua numa vizinhança do ponto 𝑥 = 1.
𝑥 𝑥
2
2 4
1.5 2.25
1.3 1.69
1.2 1.44
1.1 1.21
1.01 1.0201
1.001 1.002001
Intuitivamente, quando tomamos valores de 𝑥 diferentes de 1 porém cada vez mais pró-
ximos de 1, os valores de 𝑓 (𝑥) se aproximam de de 𝑓 (1) = 1, e logo a função 𝑓 (𝑥) = 𝑥
2
é
contínua nesse ponto.
Denição 9.35 Dada uma função 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 denida em pelo menos um conjunto aberto
contendo o ponto 𝑎. Dizemos que a função 𝑓 (𝑥) é contínua em 𝑎 se e somente se
lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑎)
249
9 Limites e Continuidade de Funções
0
0.5 1.0 1.5−0.5−1.0
−0.5
0.5
1.0
1.5
𝑓
b
b
𝐵
ou equivalentemente
lim
𝑥→𝑎
+
𝑓 (𝑥) = lim
𝑥→𝑎
−
𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑎)
Uma função que é contínua em todo o seu domínio é dita contínua.
Utilizaremos a denição de continuidade apresentada anteriormente para provarmos que
algumas funções clássicas são contínuas:
Teorema 9.36 As seguintes funções são contínuas (em todo o seu domínio):
(i). Funções Polinomiais.
(ii). Funções Racionais.
(iii). sen(𝑥)
(iv). cos(𝑥)
(v). 𝑒
𝑥
Demonstração: A demonstração da continuidade das funções polinomiais e racionais já foi
feita implicitamente nos teoremas 9.23 e 9.24, nos quais provamos que dados polinômios 𝑝(𝑥)
e 𝑞(𝑥) com 𝑞(𝑎) ≠ 0 então:
lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑎) lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
=
𝑝(𝑎)
𝑞(𝑎)
Vamos provar que sen(𝑥) é contínua. Para isso começamos mostrando que
|
sen(𝑥)
|
<
|
𝑥
|
.
Considere no círculo trigonométrico um ângulo 𝑥 tal que
−
𝜋
2
< 𝑥 <
𝜋
2
,
conforme apresentado na Figura 9.16.
250
Bases Matemáticas
sen 𝑥
𝑥
0
𝐴
𝐵
Figura 9.16: A área do triângulo 𝑂𝐴𝐵 é menor que a área do setor circular 𝑂𝐴𝐵.
Geometricamente, temos que área do triângulo 𝑂𝐴𝐵, que vale
|
sen(𝑥)/2
|
, é menor que a
área do setor circular 𝑂𝐴𝐵, cujo valor é
𝑥
2
. Consequentemente para −
𝜋
2
< 𝑥 <
𝜋
2
, vale a
desigualdade:
|
sen(𝑥)
|
<
|
𝑥
|
e assim
|
sen 𝑥 −sen 𝑎
|
= 2
sen
𝑥 − 𝑎
2
cos
𝑥 + 𝑎
2
(9.19)
= 2 sen
𝑥 − 𝑎
2
cos
𝑥 + 𝑎
2
≤ 2
𝑥 − 𝑎
2
(9.20)
≤
|
𝑥 − 𝑎
|
(9.21)
E assim
0 < lim
𝑥→𝑎
|
sen 𝑥 −sen 𝑎
|
< lim
𝑥→𝑎
|
𝑥 − 𝑎
|
Pelo Teorema do Confronto temos:
lim
𝑥→𝑎
|
sen 𝑥 −sen 𝑎
|
= 0
e logo lim
𝑥→𝑎
sen 𝑥 = sen 𝑎. Consequentemente a função sen(𝑥) é contínua.
Para demonstrar que 𝑒
𝑥
é contínua em 𝑎 escrevemos
𝑒
𝑥
− 𝑒
𝑎
= 𝑒
𝑎
(𝑒
𝑥−𝑎
− 1) (9.22)
e recordamos que no exercício 8.7 mostramos que
1 + 𝑥 ≤ 𝑒
𝑥
≤
1
1 − 𝑥
(9.23)
Observamos inicialmente que podemos restringir aos valores de 𝑥 tais que |𝑥 − 𝑎| < 1.
Então, aplicando 9.22 a 9.23, descobrimos que
𝑒
𝑎
(𝑥 − 𝑎) ≤ 𝑒
𝑥
− 𝑒
𝑎
≤ 𝑒
𝑎
𝑥 − 𝑎
1 − (𝑥 − 𝑎)
(9.24)
251
9 Limites e Continuidade de Funções
em aplicando o teorema do confronto temos que
lim
𝑥→𝑎
(𝑒
𝑥
− 𝑒
𝑎
) = 0 .
Portanto, 𝑒
𝑥
é contínua em 𝑎 para todo 𝑎.
□
Como consequência das propriedades do limite, temos as seguintes propriedades da con-
tinuidade de funções.
Teorema 9.37 Se 𝑓 (𝑥) e 𝑔(𝑥) são contínuas num ponto 𝑎, então:
1. 𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑎
2. 𝑓 (𝑥).𝑔(𝑥) é contínua em 𝑎
3. Se 𝑔(𝑎) ≠ 0 então 𝑓 (𝑥)/𝑔(𝑥) é contínua em 𝑎
Demonstração: Faremos apenas a demonstração do item a.). A demonstração dos outros itens
é similar e deixamos como exercício ao leitor.
Como as funções 𝑓 , 𝑔 são contínuas em 𝑎 temos que os limites lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) existem e que:
lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑎) lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑎)
Logo pelo limite da soma (L1) temos que o limite da some existe e que:
lim
𝑥→𝑎
(
𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)
)
= lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) + lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑓 (𝑎) + 𝑔(𝑎)
o que prova a continuidade da soma em 𝑎.
□
Como corolário do teorema anterior temos que a função tan(𝑥) =
sen(𝑥)
cos(𝑥)
é contínua em
todos os pontos do seu domínio, ou seja, em R\{
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, com 𝑘 ∈ Z}
Podemos calcular o limite de funções compostas lim
𝑥→𝑎
𝑓
◦
𝑔(𝑥), desde que a função 𝑓 seja
contínua, calculando 𝑓 (lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)).
Teorema 9.38 (Limite da Composta) Sejam 𝑓 e 𝑔 duas funções tais que Im 𝑓 ⊂ Dom 𝑔. Se 𝑓
é contínua em 𝑏 e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑏 então lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑔(𝑥)) = lim
𝑦→𝑏
𝑓 (𝑦) = 𝑓 (𝑏).
Demonstração: Como 𝑓 é contínua em 𝑏, temos que lim
𝑥→𝑏
𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑏). Por hipótese temos que
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑏 Se 𝑔(𝑥) ≠ 𝑏 numa vizinhança de 𝑎, pelo Teorema 9.32
lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑔(𝑥)) = 𝑓 (lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)) = 𝑓 (𝑔(𝑎))
O outro caso é imediato. □
252
Bases Matemáticas
x
y
−
3𝜋
2
−
𝜋
2
𝜋
2
3𝜋
2
𝑦 = tan(𝑥)
O Teorema do Limite da Composta permite calcular limites utilizando a mudança de va-
riáveis, como ilustra o exemplo a seguir.
Exercício Resolvido 9.39 Mostre que lim
𝑥→0
sen(𝑥
2
+ 4𝑥 + 𝜋) + 2
cos(𝑥
3
+ 𝑥
5
)
= 2.
Solução: Como já mostramos as funções 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e 𝑐𝑜𝑠(𝑥) são contínuas em todos os pontos.
Além disso temos:
lim
𝑥→0
𝑥
2
+ 4𝑥 + 𝜋
= 𝜋 e lim
𝑥→0
𝑥
3
+ 𝑥
5
= 0
Logo,
lim
𝑥→0
sen(𝑥
2
+ 4𝑥 + 𝜋) + 2 = sen(lim
𝑥→0
𝑥
2
+ 4𝑥 + 𝜋) + 2 = sen(𝜋) + 2 = 2
e
lim
𝑥→0
cos(𝑥
3
+ 𝑥
5
) = cos(lim
𝑥→0
𝑥
3
+ 𝑥
5
) = cos(0) = 1
Logo por L5 temos que:
lim
𝑥→0
sen(𝑥
2
+ 4𝑥 + 𝜋) + 2
cos(𝑥
3
+ 𝑥
5
)
=
lim
𝑥→0
sen(𝑥
2
+ 4𝑥 + 𝜋) + 2
lim
𝑥→0
cos(𝑥
3
+ 𝑥
5
)
= 2
◁
Como consequência do Teorema do Limite da Composta (vide pág. 252) temos que a com-
posição de funções contínuas é contínuas:
Teorema 9.40 Dadas funções 𝑔 : 𝐴 → 𝐵 denida num aberto contendo o ponto 𝑎 e 𝑓 : 𝐵 → 𝐶
denida num aberto contendo o ponto 𝑔(𝑎). Então se 𝑔 é contínua em 𝑎 e se 𝑓 é contínua em 𝑔(𝑎),
então 𝑓 (𝑔(𝑥)) é contínua em 𝑎.
253
9 Limites e Continuidade de Funções
Exemplo 9.41 Se 𝑐 > 0 então 𝑐
𝑥
é uma função contínua pois 𝑐
𝑥
= 𝑒
ln(𝑐)𝑥
. ◁
Finalmente, temos que a inversa de uma função contínua é contínua.
Teorema 9.42 Dado um intervalo 𝐼 e 𝑓 : 𝐼 → R uma função contínua e monótona em 𝐼. Então
𝑓
−1
: 𝑓 (𝐼) → R é contínua em 𝑓 (𝐼).
Como consequência do Teorema 9.42 temos que as funções trigonométricas inversas arcsen(𝑥),
arccos(𝑥), arctan(𝑥), etc. e a função log são contínuas em todos os pontos de seus respectivos
domínios de denição.
E, ainda, como consequência do Teorema 9.40 temos que funções elementares, i.e, funções
que são obtidas por soma, produto, quociente e compostas de funções polinomiais, racionais,
trigonométricas, exponenciais e logarítmicas são contínuas em todos os pontos nos quais
estão denidas.
Exercícios
Ex. 9.10 — Use o limite da composta para calcular os seguintes limites:
a) lim
𝑥→0
cos(𝑥
2
+ 𝑥 +
1
1 + 𝑥
b) lim
𝑥→0
𝑒
sen(𝑥
2
)
c) lim
𝑥→2
arcsen
𝑥
2
− 𝑥 − 2
𝑥
2
+ 2𝑥 − 8
d) lim
𝑥→1
arctan
𝑥
2
− 1
𝑥
2
− 4 ∗ 𝑥 + 3
Ex. 9.11 — Calcule os seguintes limites:
a) lim
𝑥→1
3𝑥
3
+
1
𝑥
+ 4
b) lim
𝑥→0
cos(𝑥)
c) lim
𝑥→3
−5𝑥
3
+ 𝑥
d) lim
𝑥→2
(𝑥
3
+ 2)(𝑥
2
− 5𝑥)
e) lim
𝑥→1
𝑥
3
− 1
𝑥
2
− 1
f) lim
𝑡→4
4 − 𝑡
2 −
√
2
g) lim
𝑡→0
(𝑎 + 𝑡)
3
− 𝑎
3
𝑡
h) lim
𝑡→0
√
2 + 𝑡 −
√
2
𝑡
i) lim
𝑡→0
√
2 + 𝑡 −
√
2
𝑡
254
Bases Matemáticas
j) Prove que lim
𝑥→0
𝑥
2
2
cos(𝑥)
= 0.
Ex. 9.12 — Prove que se 𝑓 (𝑥) e 𝑔(𝑥) são contínuas num ponto 𝑎, então:
a) 𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥) é contínua em 𝑎
b) 𝑓 (𝑥).𝑔(𝑥) é contínua em 𝑎
c) Se 𝑔(𝑎) ≠ 0 então 𝑓 (𝑥)/𝑔(𝑥) é contínua em 𝑎
Ex. 9.13 — Seja 𝑓 (𝑥) a função denida como:
𝑓 (𝑥) =
(
𝑥
2
+ 1 se 𝑥 < 0
𝑎𝑥 + 3 se 𝑥 ≥ 0
Encontre o valor de 𝑎 de modo que 𝑓 seja contínua em 0.
Ex. 9.14 — Dado 𝑔(𝑥) a função denida como:
𝑔(𝑥) =
(
𝑥
3
+ 3𝑥 + 1 se 𝑥 < 𝑏
𝑎𝑥
2
+ 3 se 𝑥 ≥ 𝑏
Encontre o valor de 𝑎 de modo que 𝑔 seja contínua em 𝑏.
Ex. 9.15 — Dado ℎ(𝑥) a função denida como:
ℎ(𝑥) =
(
cos(𝑥) + 1 se 𝑥 < 𝑏
𝑎𝑥
2
+
𝑏
se
𝑥
≥
𝑏
Encontre o valor de 𝑎 de modo que ℎ seja contínua em 𝑏.
9.7 Propriedades das Funções Contínuas
Nessa seção apresentaremos algumas propriedades das funções contínuas.
9.7.1 Teorema do Valor Intermediário
Geometricamente, o Teorema do Valor Intermediário nos diz que o gráco de uma função
contínua assume todos os valores entre 𝑓 (𝑎) e 𝑓 (𝑏), ou dito de outra forma, dado 𝑑 entre 𝑓 (𝑎)
e 𝑓 (𝑏), o gráco de 𝑓 (𝑥) deve interceptar a reta horizontal 𝑦 = 𝑑.
255
9 Limites e Continuidade de Funções
Teorema 9.43 (Teorema do Valor Intermediário) Seja 𝑓 uma função contínua em todos os
pontos de um intervalo fechado
[
𝑎, 𝑏
]
e com 𝑓 (𝑎) ≠ 𝑓 (𝑏)então para todo 𝑑 entre 𝑓 (𝑎)e 𝑓 (𝑏) existe
𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓 (𝑐) = 𝑑;
0
d
𝑓
(
𝑥
)
b
𝑓
(
𝑎
)
b
𝑓
(
𝑏
)
b
𝑎
b
𝑏
b
b
𝑐
A demonstração desse teorema será apresentada na Seção ??. Nessa seção apresentare-
mos algumas aplicações do Teorema do Valor Intermediário na demonstração de existência
de soluções para equações. Para tanto, por sua utilidade, enunciaremos o Teorema do Valor
Intermediário em uma forma especial e mais restrita: o Teorema de Bolzano.
0
1 2 3 4 5−1
1
2
3
4
5
𝑓
𝑔
𝑎
𝑐
𝑑
Figura 9.17: O Teorema do Valor Intermediário só é válido para funções contínuas.
Teorema 9.44 (Teorema de Bolzano)
Seja 𝑓 uma função contínua em todos os pontos de um intervalo fechado
[
𝑎, 𝑏
]
e suponha que 𝑓 (𝑎)
e
𝑓
(
𝑏
)
tenham sinais opostos. Então existe um
𝑐
∈ (
𝑎, 𝑏
)
tal que
𝑓
(
𝑐
)
=
0
.
O teorema anterior nos diz que o gráco de uma função contínua que em 𝑎 está abaixo do
eixo 𝑥 e em 𝑏 está sobre este (ou vice-versa), em algum ponto do intervalo [𝑎, 𝑏] deve cruzar
o eixo 𝑥.
256
Bases Matemáticas
0
1 2−1−2
−5
5
𝑓
b
𝑎
b
𝑏
b
b
b
Exercício Resolvido 9.45 Mostre que a equação cos(𝑥) = 𝑥 tem pelo menos uma solução no
intervalo
[
0, 𝜋
]
.
Solução: Note que a equação anterior é equivalente cos(𝑥) − 𝑥 = 0. Assim começaremos
considerando a função 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑥, que é contínua pois é soma de funções contínuas.
Agora observamos que 𝑔(0) = cos(0)− 0 = 1, e logo 𝑔(0) > 0 e que 𝑔(𝜋) = cos(𝜋)−𝜋 = −1−𝜋,
e logo 𝑔(𝜋) < 0.
Logo pelo Teorema de Bolzano existe 𝑐 ∈ (0, 𝜋) tal que 𝑔(𝑐) = cos(𝑐) − 𝑐 = 0, e desta forma
temos que a equação tem uma solução. ◁
0
1 2−1
−1
1
𝑦 = cos(𝑥)
𝑦 = 𝑥
b
Figura 9.18: Intersecção dos grácos de 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = cos(𝑥)
0
1.57 3.14−1.57
−2
−4
−6
2
𝑦 = cos(𝑥) − 𝑥
𝑓
b
b
𝑐
Figura 9.19: Gráco de 𝑦 = cos(𝑥) − 𝑥.
Exercício Resolvido 9.46 Mostre que a equação 3
𝑥
= 𝑥
2
+ 4 tem pelo menos uma solução
no intervalo
(
1, 2
)
.
257
9 Limites e Continuidade de Funções
Solução: Note que a equação anterior é equivalente 3
𝑥
− 𝑥
2
− 4 = 0. Assim começaremos
considerando a função 𝑔(𝑥) = 3
𝑥
− 𝑥
2
− 4, que é contínua pois é soma de funções contínuas.
Agora observamos que 𝑔(0) = 3
0
−4 = −3, e logo 𝑔(0) < 0 e que 𝑔(2) = 9 −4 −4 = 1, e logo
𝑔(2) > 0.
Logo pelo Teorema de Bolzano existe 𝑐 ∈ (1, 2) tal que 𝑓 (𝑐) = 3
𝑐
− 𝑐
2
−4 = 0, e desta forma
temos que a equação tem pelo menos uma solução. ◁
0
1 2
−5
5
3
𝑥
− 𝑥
2
− 4
Figura 9.20: Gráco de 𝑦 = 3
𝑥
− 𝑥
2
− 4.
Demonstração: O teorema é consequência da propriedade de completude dos números re-
ais. Provaremos apenas o caso no qual 𝑓 (𝑎) < 𝑑 < 𝑓 (𝑏). A demonstração do outro caso,
𝑓 (𝑏) < 𝑑 < 𝑓 (𝑎), é similar.
Seja 𝑆 o conjunto de todos os 𝑥 em [𝑎, 𝑏]tais que 𝑓 (𝑥) < 𝑑. Então 𝑆 é um conjunto não-vazio
pois 𝑎 é um elemento de 𝑆, e 𝑆 é limitado superiormente por 𝑏. Assim, por completude, existe
o supremo 𝑐 = sup 𝑆. Provaremos que 𝑓 (𝑐) = 𝑑.
Dado 𝜀 > 0, como 𝑓 é contínua, existe 𝛿 > 0 tal que
|
𝑓 (𝑥) − 𝑓 ( 𝑐)
|
< 𝜀 sempre que
|
𝑥 − 𝑐
|
< 𝛿.
Isso signica que
𝑓 (𝑥) − 𝜀 < 𝑓 (𝑐) < 𝑓 (𝑥) + 𝜀
para todo 𝑥 entre 𝑐 − 𝛿 e 𝑐 + 𝛿. Pelas propriedades do supremo, existem entre um 𝑥
∗
entre
𝑐 − 𝛿 e 𝑐 e que está contido em 𝑆, de modo que, para esse 𝑥
∗
𝑓 (𝑐) < 𝑓 (𝑥
∗
) + 𝜀 < 𝑑 + 𝜀.
Escolha
ˆ
𝑥 entre 𝑐 e 𝑐 + 𝛿, que obviamente não estará contido em 𝑆, e dessa forma teremos:
𝑓 (𝑐) > 𝑓 (
ˆ
𝑥) − 𝜀 ≥ 𝑑 − 𝜀.
Combinando as desigualdades anteriores temos que
𝑑 − 𝜀 < 𝑓 ( 𝑐) < 𝑑 + 𝜀
para todo 𝜀 > 0, e pelo Exercício 3.24 temos que 𝑓 (𝑐) = 𝑑. □
258
Bases Matemáticas
Proposição 9.47 Uma função contínua 𝑓 : 𝐼 → R de um intervalo fechado 𝐼 = [𝑎, 𝑏] em R é injetiva
se e somente se a função 𝑓 é estritamente monotônica em [𝑎, 𝑏].
Demonstração: Se 𝑓 é estritamente crescente ou decrescente em qualquer conjunto 𝐼, a apli-
cação 𝑓 : 𝐼 → R é obviamente injetiva.
Assim, a parte mais substancial da proposição consiste na armação que cada função inje-
tiva e contínua 𝑓 : [𝑎, 𝑏] → R é uma função monótona.
Vamos provar por absurdo, suponha que existam três pontos 𝑥
1
< 𝑥
2
< 𝑥
3
em [𝑎, 𝑏], tal
que 𝑓 ( 𝑥
2
)não se encontra entre 𝑓 (𝑥
1
)e 𝑓 (𝑥
3
). Sem perda de generalidade vamos assumir que
𝑓 (𝑥
1
) está entre 𝑓 (𝑥
2
) e 𝑓 (𝑥
3
) . Por hipótese 𝑓 é contínua em [𝑥
2
, 𝑥
3
]. Portanto, pelo Teorema
do Valor Intermediário, existe 𝑥
neste intervalo tal que 𝑓 (𝑥
) = 𝑓 (𝑥
1
). Temos, então, 𝑥
1
< 𝑥
,
mas 𝑓 (𝑥
1
) = 𝑓 (𝑥
), que é incompatível com a injetividade da função. □
Exercícios
Ex. 9.16 — Mostre que a equação 𝑥
3
− 3𝑥 +1 = 0 tem pelo menos uma solução no intervalo
(
1
,
2
)
Ex. 9.17 — Mostre que a equação 4
𝑥
2
− 2(𝑥 + 1)
2
tem pelo menos uma solução no intervalo
(−1, 1)
Ex. 9.18 — Mostre que a equação 𝑥
5
− 𝑥
2
− 2 = 0 tem pelo menos uma solução no intervalo
(0, 2)
Ex. 9.19 — Mostre que a equação 𝑥
2
=
√
𝑥 + 2 tem pelo menos uma solução no intervalo
(0, 2)
Ex. 9.20 — Mostre que a equação tan(𝑥) = 𝑥 tem pelo menos 3 soluções.
Ex. 9.21 — Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe um número real 𝑏
tal que 𝑏
2
= 2, conclua que existe raiz quadrada de 2.
9.7.2 Valores Extremos
Teorema 9.48 Se uma função 𝑓 é contínua em um intervalo fechado [𝑎, 𝑏], então ela é limitada
nesse intervalo.
259
9 Limites e Continuidade de Funções
Demonstração: Suponha que 𝑓 não é limitada no intervalo [𝑎, 𝑏]. Deixe 𝑐 ser o ponto médio
de [𝑎, 𝑏]. Então 𝑓 será ilimitada em pelo menos um dos dois intervalos de [𝑎, 𝑐] e [𝑐, 𝑏] . Nós
escolhemos o intervalo em que é ilimitada (no caso, em que a função seja ilimitada em ambos
os intervalos, nós escolheremos o intervalo de esquerda). Denotaremos esse intervalo como
[𝑎
1
, 𝑏
1
].
Este processo de bisseção será realizado indenidamente e o intervalo [𝑎
𝑛+1
, 𝑏
𝑛+1
]indicará
a metade de [𝑎
𝑛
, 𝑏
𝑛
]em que 𝑓 é ilimitada. Caso seja ilimitada em ambas as metades, a metade
esquerda será selecionada.
O comprimento do 𝑛-ésimo intervalo é (𝑏 − 𝑎)/2
𝑛
.
Deixe 𝐴 denotar o conjunto de pontos de extremidade mais à esquerda 𝑎, 𝑎
1
, 𝑎
2
, 𝑎
3
... assim
obtido. Deixe 𝛼 denotar o supremo 𝐴. Então 𝛼 encontra-se em [𝑎, 𝑏].
Como 𝑓 é contínua em 𝛼, existe um 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 > 0 tal que
|𝑓 (𝑥)| < 1 + |𝑓 (𝛼)|
no intervalo de (𝛼 −𝛿, 𝛼 + 𝛿) (No caso 𝛼 = 𝑎, o intervalo deve ser [𝑎, 𝑎 +𝛿). Em caso 𝛼 = 𝑏,
o intervalo deve ser (𝑏 − 𝛿, 𝑏])
No entanto, o intervalo [𝑎
𝑛
, 𝑏
𝑛
] situa-se dentro do intervalo de (𝛼−𝛿, 𝛼+𝛿), pois (𝑏−𝑎)/2
𝑛
<
𝛿.
Portanto, 𝑓 é limitada em (𝑏 − 𝑎)/2
𝑛
, o que é uma contradição.
□
Denição 9.49 Seja 𝐼 um intervalo e 𝑓 : 𝐼 → R uma função.
Diremos que 𝑥
0
∈ 𝐼 é um ponto de máximo global (ou absoluto) de 𝑓 , se 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑓 (𝑥
0
),
para todo 𝑥 ∈ 𝐼. Neste caso, diremos que 𝑓 (𝑥
0
) é máximo global.
Diremos que 𝑥
0
∈ 𝐼 é um ponto de mínimo global de 𝑓 , se 𝑓 (𝑥) ≥ 𝑓 ( 𝑥
0
), para todo
𝑥 ∈ 𝐼. Neste caso, diremos que 𝑓 (𝑥
0
) é mínimo global.
Um ponto 𝑥
0
∈ 𝐼 será dito um ponto extremo global, se 𝑥
0
for um ponto de máximo
global ou um ponto de mínimo global.
Teorema 9.50 (Teorema de Weierstrass do Valor Extremo) Seja 𝑓 uma função contínua em
um intervalo [𝑎, 𝑏], então 𝑓 atinge seus valores máximos e mínimos em [𝑎, 𝑏].
Demonstração: Como 𝑓 é contínua, então 𝑓 possui a menor cota superior, que denominare-
mos 𝑀. Suponha que não há nenhum valor 𝑐 𝑖𝑛[𝑎, 𝑏] para que 𝑓 (𝑐) = 𝑀. Portanto, 𝑓 (𝑥) < 𝑀
para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Dena uma nova função 𝑔 por
260
Bases Matemáticas
𝑔(𝑥) =
1
𝑀 − 𝑓 (𝑥)
Observe que 𝑔(𝑥) > 0 para cada 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] e que 𝑔 é contínua e limitada em [𝑎, 𝑏]. Portanto,
existe 𝐾 > 0 tal que 𝑔(𝑥) ≤ 𝐾 para cada x in [a, b] . Uma vez que para cada 𝑥 𝑖𝑛[𝑎, 𝑏],
𝑔(𝑥) =
1
𝑀 − 𝑓 (𝑥)
≤ 𝐾 é equivalente a 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑀 −
1
𝐾
Contradizemos o fato de que 𝑀 foi assumido como sendo o extremo superior de 𝑓 em [a,
b]. Assim, deve haver uma valor 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tal que 𝐹(𝐶) = 𝑀. □
9.8 ★Demonstração das Propriedades Básicas
de Limite
Teorema 9.51 Se lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) existem, então
lim
𝑥→𝑎
(𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) = lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) + lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
Antes de começarmos efetivamente a demonstração faremos algumas estimativas que nos
guiarão na demonstração. Como ambos os limites existem, vamos supor que lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 𝐿
1
e
lim
𝑥→𝑎
𝑔
(
𝑥
)
=
𝐿
2
. E dessa forma queremos mostrar que
lim
𝑥→𝑎
(𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝐿
1
+ 𝐿
2
.
Pela denição de limite, queremos provar que dado 𝜀 > 0 podemos encontrar um 𝛿 > 0 tal
que se 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿, então
|
(𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) − (𝐿
1
+ 𝐿
2
)
|
< 𝜀
Como lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 𝐿
1
temos que para todo 𝜀
1
> 0, existe 𝛿
1
> 0 tal que se 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿
1
,
então
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
1
|
< 𝜀
1
.
Por outro lado, como lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿
2
temos que para todo 𝜀
2
> 0, existe 𝛿
2
> 0 tal que se
0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿
2
, então
|
𝑔(𝑥) − 𝐿
2
|
< 𝜀
2
.
Queremos estimar
|
(𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) − (𝐿
1
+ 𝐿
2
)
|
usando a desigualdade triangular temos:
|
(𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) − (𝐿
1
+ 𝐿
2
)
|
≤
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
1
|
+
|
𝑔(𝑥) − 𝐿
2
|
< 𝜀
1
+ 𝜀
2
Assim se pudermos escolher 𝛿
1
e 𝛿
2
de modo que 𝜀
1
= 𝜀
2
=
𝜀
2
teríamos:
|
(𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) − (𝐿
1
+ 𝐿
2
)
|
≤
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
1
|
+
|
𝑔(𝑥) − 𝐿
2
|
< 𝜀
1
+ 𝜀
2
= 𝜀
Agora vamos transformar o esboço de demonstração acima em uma prova.
Demonstração: Dado 𝜀 > 0. Como lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 𝐿
1
temos que para 𝜀
1
=
𝜀
2
, existe 𝛿
1
> 0 tal
que se
0
<
|
𝑥
−
𝑎
|
< 𝛿
1
, então
|
𝑓
(
𝑥
) −
𝐿
1
|
<
𝜀
2
.De modo similar, como
lim
𝑥→𝑎
𝑔
(
𝑥
)
=
𝐿
2
temos
que para 𝜀
2
=
𝜀
2
, existe 𝛿
2
> 0 tal que se 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿
2
, então
|
𝑔(𝑥) − 𝐿
2
|
< 𝜀
2
.
261
9 Limites e Continuidade de Funções
Seja 𝛿 = min{𝛿
1
, 𝛿
2
}. Para esse 𝛿 temos que se 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿 então 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿
1
e
0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿
2
e logo para esse 𝛿 temos que
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
1
|
<
𝜀
2
e
|
𝑔(𝑥) − 𝐿
2
|
<
𝜀
2
. Consequen-
temente:
|
(𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) − (𝐿
1
+ 𝐿
2
)
|
≤
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
1
|
+
|
𝑔(𝑥) − 𝐿
2
|
< 𝜀
1
+ 𝜀
2
= 𝜀.
□
Teorema 9.52 Se lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) existem, então
lim
𝑥→𝑎
(𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)) = lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) · lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
Demonstração: Seja 𝜀 > 0 e suponha que Se lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 𝐿 e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐺. A existência dos
limites de 𝑓 (𝑥) e 𝑔(𝑥) implicam na existência de 𝛿
1
, 𝛿
2
, 𝛿
3
tais que
|𝑓 (𝑥) − 𝐹| <
𝜀
2(1 + |𝐺|)
quando 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿
1
(9.25)
|𝑔(𝑥) − 𝐺| <
𝜀
2(1 + |𝐹|)
quando 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿
2
, (9.26)
|𝑔(𝑥) − 𝐺| < 1 quando 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿
3
. (9.27)
Da condição 9.8 temos:
|𝑔(𝑥)| = |𝑔(𝑥)−𝐺+𝐺| ≦ |𝑔(𝑥)−𝐺| + |𝐺| < 1+|𝐺| quando 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿
3
.
Suponha que 0 < |𝑥 − 𝑎| < min{𝛿
1
, 𝛿
2
, 𝛿
3
} então a partir de e temos:
|𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥) − 𝐹𝐺| = |𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥) − 𝐹𝑔(𝑥) + 𝐹𝑔(𝑥) − 𝐹𝐺|
≦ |𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)−𝐹𝑔(𝑥)| + |𝐹 𝑔(𝑥)−𝐹𝐺|
= |𝑔(𝑥)| · |𝑓 (𝑥)−𝐹| + |𝐹| · |𝑔(𝑥)−𝐺|
< (1+|𝐺|)
𝜀
2(1+|𝐺|)
+ (1+|𝐹|)
𝜀
2(1+|𝐹|)
= 𝜀
□
Teorema 9.53 (Limite do Quociente) Se lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) existem e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0, então
lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
262
Bases Matemáticas
Demonstração: Se pudermos mostrar que
lim
𝑥→𝑐
1
𝑔(𝑥)
=
1
𝑀
,
então escrevemos
𝑓 (𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝑓 (𝑥) ·
1
𝑔(𝑥)
e utilizando a Regra do Produto teremos o resultado.
Assim vamos provar que
lim
𝑥→𝑐
1
𝑔(𝑥)
=
1
𝑀
.
Seja 𝜀 > 0. A existência do limite implica que existem 𝛿
1
, 𝛿
2
tais que
|
𝑔(𝑥) − 𝑀
|
< 𝜀
|
𝑀
|
(1 +
|
𝑀
|
) se 0 <
|
𝑥 − 𝑐
|
< 𝛿
1
(9.28)
|
𝑔(𝑥) − 𝑀
|
< 1 se 0 <
|
𝑥 − 𝑐
|
< 𝛿
2
(9.29)
Assim
|
𝑔(𝑥)
|
=
|
𝑔(𝑥) − 𝑀 + 𝑀
|
≤
|
𝑔(𝑥) − 𝑀
|
+
|
𝑀
|
< 1 +
|
𝑀
|
quando
0 <
|
𝑥 − 𝑐
|
< 𝛿
2
e logo
1
𝑔(𝑥)
>
1
1 +
|
𝑀
|
quando 0 <
|
𝑥 − 𝑐
|
< 𝛿
2
(9.30)
Suponha agora que
0 <
|
𝑥 − 𝑐
|
< min{𝛿
1
, 𝛿
2
}
de 9.28 e 9.30 obtemos
1
𝑔(𝑥)
−
1
𝑀
=
𝑀 − 𝑔(𝑥)
𝑀 𝑔(𝑥)
(9.31)
=
𝑔(𝑥) − 𝑀
𝑀 𝑔(𝑥)
(9.32)
=
1
𝑔(𝑥)
·
𝑔(𝑥) − 𝑀
𝑀
(9.33)
<
1
1 +
|
𝑀
|
·
𝑔(𝑥) − 𝑀
𝑀
(9.34)
<
1
1 +
|
𝑀
|
·
𝜀
|
𝑀
|
(1 +
|
𝑀
|
)
𝑀
(9.35)
= 𝜀 (9.36)
□
263
9 Limites e Continuidade de Funções
9.9 ★ Continuidade Uniforme
Vamos agora considerar uma noção de continuidade que é mais forte do que a continuidade
normal.
Denição 9.54 Seja 𝑓 : 𝐴 → R. Dizemos que 𝑓 é uniformemente contínua em 𝐴 se para
todo 𝜖 > 0, existir 𝛿 > 0 tal que para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴
se
|
𝑥 − 𝑦
|
< 𝛿, então
|
𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑦)
|
< 𝜖.
A diferença entre continuidade e continuidade uniforme. Começamos analisando a de-
nição de continuidade:
Dado 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝜀 > 0. Seja 𝛿 = 𝛿(𝑥
0
, 𝜀). Então para todo 𝑦 ∈ 𝐴. tal que |𝑥 − 𝑦| < 𝛿.
Temos que |𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑦)| < 𝜀.
Logo a expressão 𝛿(𝑥, 𝜀)pode depender de 𝑥 e 𝜀 mas deve ser independente de 𝑦. A ordem
de os quanticadores na denição já nos diz isso; no ponto de escolha do 𝛿, 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝜀 > 0já
foram escolhidos, mas 𝑦 não de modo a denição de 𝛿 não deve envolver 𝑦.
Por outro lado na denição de continuidade uniforme:
Dado 𝜀 > 0. Seja 𝛿 = 𝛿(𝜀). Então para 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴. satisfazendo |𝑥 − 𝑦| < 𝛿. Temos que
|𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑦)| < 𝜀.
Desta forma a expressão de 𝛿 só depende de 𝜀 e não depende do ponto 𝑥. Ou seja, o mesmo
𝜀 funciona para todos os pontos
É óbvio que uma função uniformemente contínua é contínua: se podemos encontrar um 𝛿
que funciona para todos os valores 𝑥 ∈ 𝐴, podemos encontrar um (o mesmo), que funciona
para um valor em especial 𝑥. Veremos a seguir exemplos de funções contínuas que não são
uniformemente contínua.
Teorema 9.55 Se 𝑓 é uniformemente contínua, então 𝑓 é contínua.
Exercício Resolvido 9.56 Seja 𝑓 (𝑥) = 3𝑥 + 7. Então 𝑓 é uniformemente contínua em R.
Demonstração: Dado 𝜀 > 0. Deixe 𝛿 = 𝜀/3. Então dados 𝑥, 𝑦 ∈ R. Se |𝑥 − 𝑦| < 𝛿. Então
|𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑦)| = |(3𝑥 + 7) − (3𝑦 + 7)| = 3|𝑥 − 𝑦| < 3𝛿 = 𝜀.
□
Exercício Resolvido 9.57 Seja 𝐴 = {𝑥 ∈ R : 0 < 𝑥 < 4} e 𝑓 : 𝐴 → R dada por 𝑓 (𝑥) = 𝑥
2
.
Então 𝑓 é uniformemente contínua em 𝐴.
264
Bases Matemáticas
Demonstração: Escolha 𝜀 > 0. Escolha 𝛿 = 𝜀/8. Então dados 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴. Se 0 < 𝑥 < 4 e
0 < 𝑦 < 4 então 0 < 𝑥 + 𝑦 < 8. Então se |𝑥 − 𝑦| < 𝛿 temos que
|𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑦)| = |𝑥
2
− 𝑦
2
| = (𝑥 + 𝑦)|𝑥 − 𝑦| < (4 + 4)𝛿 = 𝜀.
□
Em ambas as provas anteriores a função 𝑓 satisfaz uma desigualdade da forma
|𝑓 (𝑥
1
) − 𝑓 (𝑥
2
)| ≤ 𝑀|𝑥
1
− 𝑥
2
| (9.37)
Para todo 𝑥
1
, 𝑥
2
∈ 𝐴. No Exemplo 9.56 tínhamos
|(3𝑥
1
+ 7) −(3𝑥
2
+ 7)| ≤ 3|𝑥
1
− 𝑥
2
|
e no Exemplo 9.57 nós tínhamos
|𝑥
2
1
− 𝑥
2
2
| ≤ 8|𝑥
1
− 𝑥
2
|
para 0 < 𝑥
1
, 𝑥
2
< 4. Uma desigualdade da forma (9.37)é dita uma desigualdade de Lipschitz
e a constante 𝑀 é dita a correspondente Constante de Lipschitz .
Teorema 9.58 Se 𝑓 satisfaz (9 .37) para todo 𝑥
1
, 𝑥
2
∈ 𝐴, então 𝑓 é uniformemente contínua em
𝐴.
Demonstração: Dado 𝜀 > 0. Seja 𝛿 = 𝜀/𝑀. Então para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴. Então se |𝑥 − 𝑥
0
| < 𝛿
teremos que
|𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑦)| ≤ 𝑀|𝑥 − 𝑦| < 𝑀𝛿 = 𝜀.
□
Teorema 9.59 Se 𝑓 e 𝑔 uniformemente contínua em 𝐴 ⊂ R. Então
1. A função 𝑓 + 𝑔 é uniformemente contínua em 𝐴.
2. Para toda constante 𝑐 ∈ R, a função 𝑐 · 𝑓 é uniformemente contínua em 𝐴.
Exercício Resolvido 9.60 A função 𝑓 (𝑥) = 𝑥
2
é contínua mas não uniformemente contínua
em 𝐴 = (0, ∞).
Demonstração: Primeiramente mostraremos que 𝑓 é contínua em 𝐴, i.e.
∀𝑥
0
∈ 𝐴 ∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐴
|𝑥 − 𝑥
0
| < 𝛿 =⇒ |𝑥
2
− 𝑥
2
0
| < 𝜀
.
265
9 Limites e Continuidade de Funções
Dado 𝑥
0
. Seja 𝑎 = 𝑥
0
+ 1 e 𝛿 = min(1, 𝜀/2𝑎). Observe que 𝛿 depende de 𝑥
0
pois 𝑎 depende.)
Dado 𝑥 ∈ 𝑆. Se |𝑥 − 𝑥
0
| < 𝛿 então |𝑥 − 𝑥
0
| < 1 logo 𝑥 < 𝑥
0
+ 1 = 𝑎 e assim 𝑥, 𝑥
0
< 𝑎 temos
|𝑥
2
− 𝑥
2
0
| = (𝑥 + 𝑥
0
)|𝑥 − 𝑥
0
| ≤ 2𝑎|𝑥 − 𝑥
0
| < 2𝑎𝛿 ≤ 2𝑎
𝜀
2𝑎
= 𝜀
como desejado.
Agora demonstraremos que 𝑓 não é uniformemente contínua em 𝐴, i.e.
∃𝜀 > 0 ∀𝛿 > 0 ∃𝑥
0
∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐴
|𝑥 − 𝑥
0
| < 𝛿 e |𝑥
2
− 𝑥
2
0
| ≥ 𝜀
.
Dado 𝜀 = 1 seja 𝛿 > 0. Então se escolhermos 𝑥
0
= 1/𝛿 e 𝑥 = 𝑥
0
+𝛿/2. Então |𝑥 −𝑥
0
| = 𝛿/2 < 𝛿
mas
|𝑥
2
− 𝑥
2
0
| =
1
𝛿
+
𝛿
2
2
−
1
𝛿
2
= 1 +
𝛿
2
4
> 1 = 𝜀
Observe que neste caso 𝑥
0
é grande quando 𝛿 é pequeno. □
Teorema 9.61 Suponha que 𝑓 : [𝑎, 𝑏] → R é contínua. Então 𝑓 é uniformemente contínua.
266
10
Limites Innitos e no
Innito
10.1 Limites no Innito
Vamos considerar a função 𝑓 (𝑥) =
𝑥
𝑥
2
+ 1
, cujo gráco é apresentado na Figura 10.1.
0
2 4 6 8 10−2−4−6−8−10−12
−0.5
−1.0
0.5
1.0
𝑥
𝑥
2
+ 1
𝑥 → ∞
𝑥 → −∞
𝑓
Figura 10.1: Gráco de 𝑓 (𝑥) =
𝑥
𝑥
2
+ 1
Podemos observar que conforme os valores de 𝑥 se tornam sucientemente grandes temos
que os valores da função se aproximam de 0. Denotaremos tal fato por
lim
𝑥→∞
𝑥
𝑥
2
+ 1
= 0
Por outro lado, conforme os valores de 𝑥 se tornam sucientemente grandes negativos (ne-
gativos e com valores absolutos grandes) temos que os valores da função também se aproxi-
mam de 0. Denotaremos tal fato por
lim
𝑥→−∞
𝑥
𝑥
2
+ 1
= 0
Podemos modicar a noção de limite anterior de modo a lidar com esses casos. A modica-
ção essencial é formalizar a armação que “se 𝑥 é sucientemente grande” através de “existe
𝛿 tal que se 𝑥 > 𝛿”.
267
10 Limites Innitos e no Innito
Denição 10.1 Limite no Innito
Seja 𝑓 uma função denida para 𝑥 > 𝑐 para algum 𝑐 ∈ R e seja 𝐿 um número real. Dizemos
que
lim
𝑥→∞
𝑓 (𝑥) = 𝐿
se para todo 𝜀 > 0 existe um 𝛿 > 0 tal que
se 𝑥 > 𝛿 então
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
< 𝜀.
Seja 𝑓 uma função denida para 𝑥 < 𝑐 para algum 𝑐 ∈ R e seja 𝐿 um número real. Dizemos
que
lim
𝑥→−∞
𝑓 (𝑥) = 𝐿
se para todo 𝜀 > 0 existe um 𝛿 > 0 tal que
se 𝑥 < 𝛿 então
|
𝑓 (𝑥) − 𝐿
|
< 𝜀.
Exercício Resolvido 10.2 Mostre a partir da denição que lim
𝑥→∞
1
𝑥
= 0.
Solução: Queremos mostrar que existe 𝛿 tal que se 𝑥 > 𝛿 então
|
𝑓 (𝑥)
|
< 𝜀.
Para tanto começaremos determinando quando
|
𝑓 (𝑥)
|
< 𝜀. Como estamos interessados no
comportamento no innito, podemos supor sem perda de generalidade que 𝑥 > 0, e assim
temos que a desigualdade
1
𝑥
< 𝜀 é equivalente a 𝑥 >
1
𝜀
. Assim escolhemos 𝛿 =
1
𝜀
.
Quando 𝑥 > 𝛿 então 𝑥 >
1
𝜀
e assim 0 <
1
𝑥
< 𝜀. O que prova que lim
𝑥→∞
1
𝑥
= 0.
◁
Exercício Resolvido 10.3 Mostre a partir da denição que lim
𝑥→∞
1
√
𝑥
= 0.
Solução: Queremos mostrar que existe 𝛿 tal que se 𝑥 > 𝛿 então
|
𝑓 (𝑥)
|
< 𝜀.
Para tanto começaremos determinando quando
|
𝑓 (𝑥)
|
< 𝜀. Como estamos interessados no
comportamento no innito, podemos supor sem perda de generalidade que 𝑥 > 0, e assim
temos que a desigualdade
1
√
𝑥
< 𝜀 é equivalente a 𝑥 >
1
𝜀
2
. Assim escolhemos 𝛿 =
1
𝜀
2
.
Quando 𝑥 > 𝛿 então 𝑥 >
1
𝜀
2
e assim 0 <
1
√
𝑥
< 𝜀. O que prova que lim
𝑥→∞
1
√
𝑥
= 0.
◁
10.2 Limites Innitos
No Exercício Resolvido 9.5 vimos que não existe o limite lim
𝑥→0
1
|
𝑥
|
.
268
Bases Matemáticas
0
1 2 3−1−2−3
1
2
3
4
𝑓
Figura 10.2: Não existe lim
𝑥→0
1
|
𝑥
|
Em especial, vimos que escolhendo o valor de 𝑥 sucientemente pequeno podemos fazer o
valor da função
1
|
𝑥
|
arbitrariamente grande. Nesses casos nos quais o limite não existe, mas a
função toma valores que crescem de forma ilimita dizemos que o limite da função é innito.
Vejamos outro exemplo:
Os limites lim
𝑥→4
+
7
𝑥 − 4
e lim
𝑥→4
−
7
𝑥 − 4
.
0
5 10 15−5−10−15−20
−5
−10
−15
5
10
15
𝑥 = 4
7
𝑥 − 4
Figura 10.3:
A partir da Figura 10.3 podemos observar que quando 𝑥 tende a 4 pela direita, isto é, por
valores maiores que 4 a função
7
𝑥 − 4
cresce indenidamente, tomando valores arbitraria-
mente grandes. Enquanto que quando 𝑥 tende a 4 pela esquerda, isto é, por valores menores
que 4 a função
7
𝑥 − 4
decresce indenidamente, tomando valores arbitrariamente grandes e
negativos.
Representamos esses comportamentos por:
lim
𝑥→4
+
7
𝑥 − 4
= ∞ e lim
𝑥→4
−
7
𝑥 − 4
= −∞
269
10 Limites Innitos e no Innito
Denição 10.4 Limites Innitos
Seja 𝑓 uma função denida num intervalo aberto contendo 𝑎, exceto possivelmente em 𝑎.
Dizemos que lim
𝑥
→
𝑎
𝑓 (𝑥) = ∞ se para todo 𝜀 > 0 existe um 𝛿 > 0 tal que
se 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿 então 𝑓 (𝑥) > 𝜀.
Dizemos que lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = −∞ se para todo 𝜀 > 0 existe um 𝛿 > 0 tal que
se 0 <
|
𝑥 − 𝑎
|
< 𝛿 então 𝑓 (𝑥) < 𝜀.
Dizemos que lim
𝑥→𝑎
+
𝑓 (𝑥) = ∞ se para todo 𝜀 > 0 existe um 𝛿 > 0 tal que
se 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿 então 𝑓 (𝑥) > 𝜀 .
Dizemos que lim
𝑥→𝑎
−
𝑓 (𝑥) = ∞ se para todo 𝜀 > 0 existe um 𝛿 > 0 tal que
se 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎 então 𝑓 (𝑥) > 𝜀.
De maneira análoga, podemos denir os limites laterais innitos negativos : lim
𝑥→𝑎
+
𝑓 (𝑥) = −∞
e lim
𝑥→𝑎
−
𝑓 (𝑥) = −∞e os limites innitos no innito lim
𝑥→∞
𝑓 (𝑥) = ∞, lim
𝑥→∞
𝑓 (𝑥) = −∞, lim
𝑥→−∞
𝑓 (𝑥) =
∞ e lim
𝑥→−∞
𝑓 (𝑥) = −∞.
Exercício Resolvido 10.5 Mostre que lim
𝑥→∞
𝑥 = ∞.
Solução: Pela denição temos que mostrar que dado 𝜀 > 0 existe 𝛿 > 0 tal que se 𝑥 > 𝛿 então
𝑓 (𝑥) > 𝜀.
A demonstração nesse caso é imediata pois escolhendo 𝛿 = 𝜀 temos o resultado desejado. ◁
Exercício Resolvido 10.6 Mostre que lim
𝑥→∞
𝑥
2
= ∞.
Solução: Nesse caso basta escolher 𝛿 =
√
𝜀 para termos que se 𝑥 > 𝛿 > 0 então 𝑥
2
> 𝜀. ◁
Proposição 10.7
Se 𝑓 (𝑥) > 𝑔(𝑥) e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = ∞ então lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = ∞.
Se 𝑓 (𝑥) < 𝑔(𝑥) e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = −∞ então lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = −∞.
Se 𝑓 (𝑥) > 0 e lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 0 então lim
𝑥→𝑎
1
𝑓 (𝑥)
= ∞.
Se 𝑓 (𝑥) < 0 e lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 0 então lim
𝑥→𝑎
1
𝑓 (𝑥)
= −∞.
270
Bases Matemáticas
Se 𝑓 (𝑥) ≠ 0 lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = ∞ ou lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = −∞ então lim
𝑥→𝑎
1
𝑓 (𝑥)
= 0.
Exemplos 10.8 Como corolário do teorema anterior, temos os seguintes limites, que são
facilmente obtidos através de comparação com uma das funções 𝑥 e ou −𝑥.
1. Dado 𝑐 > 0 então lim
𝑥→∞
𝑐
𝑥
= ∞.
2. Dado 𝑘 ∈ N
∗
então lim
𝑥→∞
𝑥
𝑘
= ∞.
3. Dado 𝑘 ∈ N
∗
ímpar então lim
𝑥→−∞
𝑥
𝑘
= −∞.
4. Dado 𝑘 ∈ N
∗
par então lim
𝑥→−∞
𝑥
𝑘
= ∞.
◁
10.2.1 Propriedades do Limite Innito e no Innito
O limite innito possui as seguintes propriedades algébricas:
Proposição 10.9 (Propriedades Aditivas do Limite Innito)
Sejam 𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) e 𝑚(𝑥) funções, tais que:
lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = ∞, lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = ∞
lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = −∞ lim
𝑥→𝑎
𝑚(𝑥) = −∞
e seja 𝑛(𝑥) uma função limitada. Então:
A1. lim
𝑥→𝑎
(𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) = ∞.
A2. lim
𝑥→𝑎
(𝑓 (𝑥) − ℎ(𝑥)) = ∞.
A3. lim
𝑥→𝑎
(𝑓 (𝑥) + 𝑛(𝑥)) = ∞.
A4. lim
𝑥→𝑎
(ℎ(𝑥) + 𝑛(𝑥)) = −∞.
A5. lim
𝑥→𝑎
(ℎ(𝑥) + 𝑚(𝑥)) = −∞.
A6. lim
𝑥→𝑎
(ℎ(𝑥) − 𝑓 (𝑥)) = −∞.
Proposição 10.10 (Propriedades Multiplicativas do Limite Innito)
Seja 𝑐 um número real e 𝑓 (𝑥), 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥), 𝑚(𝑥), 𝑛(𝑥) e 𝑝(𝑥) funções , tais que
lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = ∞, lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = ∞
lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = −∞ lim
𝑥→𝑎
𝑚(𝑥) = −∞
lim
𝑥→𝑎
𝑛(𝑥) = 𝐿
1
> 0 lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥) = 𝐿
2
< 0
Então:
271
10 Limites Innitos e no Innito
M1. lim
𝑥→𝑎
𝑛(𝑥)𝑓 (𝑥) = ∞
M2. lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥)𝑓 (𝑥) = −∞
M3. lim
𝑥→𝑎
𝑛(𝑥)ℎ(𝑥) = −∞
M4. lim
𝑥→𝑎
𝑝(𝑥)ℎ(𝑥) = ∞
M5. lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) · 𝑔(𝑥) = ∞
M6. lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) · ℎ(𝑥) = −∞
M7. lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) · 𝑚(𝑥) = ∞
As propriedades anteriores permanecem válidas se trocamos o limite no ponto 𝑎 por limi-
tes laterais ou por limites innitos.
Proposição 10.11 (Propriedades do Limite no Innito)
Seja 𝑐 um número real e 𝑓 , 𝑔 duas funções reais tais que lim
𝑥→∞
𝑓 (𝑥) = 𝐴 e lim
𝑥→∞
𝑔(𝑥) = 𝐵. Então:
I1. lim
𝑥→∞
(𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝐴 + 𝐵.
I2. lim
𝑥→∞
(𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)) = 𝐴 − 𝐵.
I3. lim
𝑥→∞
(𝑓 (𝑥) · 𝑔(𝑥)) = 𝐴𝐵.
I4. lim
𝑥
→∞
(𝑐 𝑓 (𝑥)) = 𝑐𝐴.
I5. Se 𝐵 ≠ 0 então lim
𝑥→∞
𝑓 (𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝐴
𝐵
.
I6. lim
𝑥→∞
|
𝑓 (𝑥)
|
=
|
𝐴
|
.
I7. lim
𝑥→∞
(
𝑓 (𝑥)
𝑛
)
= 𝐴
𝑛
I8. Se 𝐴 > 0 então lim
𝑥
→∞
p
𝑓 (𝑥) =
√
𝐴
Quando tivermos lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥)
𝑔(𝑥)
com
lim
𝑥→𝑎
𝑓
(
𝑥
)
=
∞
e
lim
𝑥→𝑎
𝑔
(
𝑥
)
=
∞
dizemos que temos uma
indeterminação do tipo
∞
∞
. Nesses casos para o cálculo do limite, de modo análogo as inde-
terminações do tipo
0
0
, temos que realizar uma simplicação antes da utilização das proprie-
dades do limite. As estratégias de simplicação usuais são a fatoração e a multiplicação pelo
conjugado e também multiplicar ou dividir o numerador e o denominador por um termo
apropriado, como ilustram os exemplos a seguir.
Exercício Resolvido 10.12 Calcule lim
𝑥→∞
𝑥
2
+ 1
𝑥
2
− 1
.
Solução:
lim
𝑥→∞
𝑥
2
+ 1
𝑥
2
− 1
= lim
𝑥→∞
𝑥
2
+ 1
𝑥
2
− 1
÷𝑥
2
÷𝑥
2
(10.1)
= lim
𝑥→∞
1 +
1
𝑥
2
1 −
1
𝑥
2
(10.2)
(10.3)
Como lim
𝑥→∞
1
𝑥
2
= lim
𝑥→∞
1
𝑥
lim
𝑥→∞
1
𝑥
= 0, temos que lim
𝑥→∞
1 +
1
𝑥
2
= 1 = lim
𝑥→∞
1 −
1
𝑥
2
Temos que
lim
𝑥→∞
𝑥
2
+ 1
𝑥
2
− 1
= 1
272
Bases Matemáticas
◁
Exercício Resolvido 10.13 Calcule lim
𝑥→∞
(2𝑥
3
− 3𝑥
2
+ 1).
Solução: Colocando o termo de maior grau em evidência:
lim
𝑥→∞
(2𝑥
3
− 3𝑥
2
+ 1) = 𝑥
3
lim
𝑥→∞
2 − 3
1
𝑥
+
1
𝑥
3
(10.4)
= ∞ · 2 = ∞ (10.5)
◁
Exercício Resolvido 10.14 Calcule
lim
𝑥→∞
2𝑥
3
+ 3𝑥
2
+ 1
4𝑥
2
− 2𝑥 + 1
.
Solução:
lim
𝑥→∞
2𝑥
3
+ 3𝑥
2
+ 1
4𝑥
2
− 2𝑥 + 1
=
𝑥
3
(2 + 3
1
𝑥
+
1
𝑥
3
𝑥
2
(4 − 2
1
𝑥
+
1
𝑥
2
(10.6)
= 𝑥
(2 + 3
1
𝑥
+
1
𝑥
3
(4 − 2
1
𝑥
+
1
𝑥
2
(10.7)
= ∞ ·
2
4
= ∞ (10.8)
(10.9)
◁
Exercício Resolvido 10.15 Mostre que lim
𝑥→∞
𝑥
√
9𝑥
2
+ 1
=
1
3
.
Solução:
lim
𝑥→∞
𝑥
√
9𝑥
2
+ 1
= lim
𝑥→∞
𝑥
√
9𝑥
2
+ 1
÷𝑥
÷𝑥
(10.10)
= lim
𝑥
→∞
1
q
9 +
1
𝑥
2
(10.11)
Como lim
𝑥→∞
q
9 +
1
𝑥
2
=
q
lim
𝑥→∞
9 +
1
𝑥
2
= 3 então
lim
𝑥→∞
𝑥
√
9𝑥
2
+ 1
=
1
3
.
◁
273
10 Limites Innitos e no Innito
Exercício Resolvido 10.16 Calcule lim
𝑥→∞
5𝑥
3
+ 𝑥
2
− 3
2𝑥
3
− 𝑥 + 5
.
Solução:
lim
𝑥→∞
5𝑥
3
+ 𝑥
2
− 3
2𝑥
3
− 𝑥 + 5
= lim
𝑥→∞
5𝑥
3
+ 𝑥
2
− 3
2𝑥
3
− 𝑥 + 5
÷𝑥
3
÷𝑥
3
(10.12)
= lim
𝑥→∞
5 +
1
𝑥
− 3
1
𝑥
3
2 −
1
𝑥
2
+ 5
1
𝑥
3
(10.13)
=
5
2
(10.14)
◁
Exercício Resolvido 10.17 Calcule lim
𝑥→∞
5𝑥
2
+ 𝑥 − 3
4𝑥
4
− 𝑥 + 2
.
Solução:
lim
𝑥→∞
5𝑥
2
+ 𝑥 − 3
4𝑥
4
− 𝑥 + 2
= lim
𝑥→∞
5𝑥
2
+ 𝑥 − 3
4𝑥
4
− 𝑥 + 2
÷𝑥
4
÷𝑥
4
(10.15)
= lim
𝑥→∞
5
1
𝑥
2
+
1
𝑥
3
− 3
1
𝑥
4
4 −
1
𝑥
3
+ 2
1
𝑥
4
(10.16)
= 0 (10.17)
◁
10.3 O Número 𝑒 e as Funções Exponencial e
Logaritmo
O próximo limite é conhecido como Limite Exponencial Fundamental é a base dos logaritmos
naturais ou neperianos.
Teorema 10.18 (Segundo Limite Fundamental )
lim
𝑥→∞
1 +
1
𝑥
𝑥
= 𝑒,
onde 𝑒 ≈ 2, 71828 é a constante de Euler.
Exercício Resolvido 10.19 Calcule lim
𝑥→∞
1 +
5
𝑥
𝑥
.
274
Bases Matemáticas
0
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
𝑏
𝑔
Figura 10.4: lim
𝑥→∞
1 +
1
𝑥
𝑥
= 𝑒
Solução: Fazemos a mudança de variável 𝑡 =
𝑥
5
temos:
lim
𝑥→∞
1
+
5
𝑥
𝑥
= lim
𝑡→∞
1 +
1
𝑡
5𝑡
(10.18)
=
lim
𝑡→∞
1 +
1
𝑡
𝑡
5
(10.19)
= 𝑒
5
(10.20)
◁
Exercício Resolvido 10.20 Calcule lim
𝑥→∞
𝑥
𝑥 + 1
𝑥
.
Solução: Dividindo o numerador e o denominador por 𝑥 temos:
lim
𝑥→∞
𝑥
𝑥 + 1
𝑥
= lim
𝑥→∞
©
«
1
1 +
1
𝑥
ª
®
®
¬
𝑥
(10.21)
= lim
𝑥→∞
1
1 +
1
𝑥
𝑥
(10.22)
= 𝑒
−1
(10.23)
◁
Denição 10.21 O logaritmo de base 𝑒 é denominado função logaritmo natural ou simples-
mente logaritmo . Assim pelos fatos apresentados na seção 7.6.2, a função logaritmo é a função
ln : (0, ∞) → R dada pela regra
ln 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑒
𝑦
= 𝑥
O gráco da função logaritmo natural está representado abaixo:
275
10 Limites Innitos e no Innito
0
1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5
−1
−2
−3
−4
−5
1
2
3
𝑒
𝑥
ln(𝑥)
Como a função 𝑒
𝑥
é contínua e crescente, pelo Teorema 9.42 a sua função inversa ln(𝑥) :
(0, ∞) → R é contínua em todo o seu domínio.
Teorema 10.22 (Terceiro Limite Fundamental )
lim
𝑥→0
𝑎
𝑥
− 1
𝑥
= ln 𝑎.
Demonstração: Fazendo a substituição 𝑢 = 𝑎
ℎ
− 1 temos que ℎ = log
𝑎
(1 + 𝑢) =
ln(1 + 𝑢)
ln 𝑎
e
assim:
𝑒
ℎ
− 1
ℎ
=
𝑢
ln(𝑢 + 1) · ln 𝑎
=
1
ln(𝑢 + 1)
1
𝑢
· ln 𝑎.
Quando ℎ → 0, 𝑢 → 0, e assim
lim
ℎ→0
𝑎
ℎ
− 1
ℎ
= lim
𝑢→0
1
ln(𝑢 + 1)
1
𝑢
· ln 𝑎 =
ln 𝑎
ln 𝑒
= ln 𝑎.
□
Exercício Resolvido 10.23 Calcule o limite lim
𝑥→2
3
𝑥 − 2
5
− 1
𝑥 − 2
.
Solução: Fazendo a troca de variáveis 𝑡 =
𝑥 − 2
5
temos:
lim
𝑥→2
3
𝑥 − 2
5
− 1
𝑥 − 2
= lim
𝑡→0
3
𝑡
− 1
5𝑡
(10.24)
=
ln 3
5
(10.25)
◁
276
Bases Matemáticas
0
1 2 3 4−1−2−3
−1
1
2
3
4
2
𝑥
− 1
𝑥
𝑏
Figura 10.5: lim
𝑥→0
2
𝑥
− 1
𝑥
= ln 2.
10.3.1 Juro Composto
Suponha que façamos um investimento de capital inicial 𝐶, uma taxa de juros anual de 𝑟
quanto dinheiro vamos ter decorrido 𝑘 anos?
Resposta: isso depende de como os juros são pagos. Se for utilizado juros simples o total
de juros será aplicado ao nal investimento, de modo que o acréscimo total produzido pelos
juros é 𝐶𝑟𝑘, e o capital nal será igual 𝐶(1 + 𝑟𝑘).
No entanto, o mais comum é que os juros sejam pagos em períodos mais curtos de tempo.
Dessa forma cada vez que esses interesses são pagos eles aumentam o capital inicial e produ-
zirão, por sua vez, mais capital quando novos interesses forem pagos. Isto é conhecido como
juros compostos. Por exemplo, se os juros são pagos 𝑛 vezes por ano (Trimestral (n = 4), mensal
(𝑛 = 12), etc). No nal do primeiro período, teremos 𝐶(1+𝑟/𝑁), nal do segundo 𝐶(1+𝑟/ 𝑛)
2
;
no nal do exercício 𝐶(1 + 𝑟/𝑛)
𝑛
, m do 𝑘 ésimo ano teremos 𝐶(1 + 𝑟/𝑛)𝑛
𝑛𝑘
.
Quando 𝑛 é grande, o número (1+𝑟/𝑛)
𝑛
é aproximadamente igual a 𝑒
𝑟
. Precisamente, se os
juros são aplicados acumulam, instantaneamente ao capital o que conhecido como compostos
continuamente, em seguida, o capital no nal do 𝑘 ésimo ano é dado pela 𝐶𝑒
𝑟𝑘
.
10.3.2 Crescimento demográco
Se denotarmos por 𝑃
0
a a população mundial atual, e por 𝜆 a taxa anual de crescimento, a qual
suporemos que se mantém constante. Denotaremos por 𝑃(𝑡) a população mundial passados
𝑡 anos.
Passado um ano, temos que a população mundial será
𝑃(1) ≊ 𝑃
0
+𝜆𝑃
0
= (1 + 𝜆)𝑃
0
.
Utilizamos o sinal de aproximação ≊ e não o = porque calculamos o crescimento da população
𝜆𝑃
0
como se esta fosse constantemente igual a 𝑃
0
em todo o ano, o que não é correto.
277
10 Limites Innitos e no Innito
Obteríamos um resultado mais exato se consideramos o crescimento da população men-
salmente. Como a taxa de crescimento mensual é 𝜆/12, passado um mês a população será
(1 +
𝜆
12
)𝑃
0
, e passados doze meses
𝑃(1) ≊
1 +
𝜆
12
12
𝑃
0
.
O cálculo segue sendo aproximado, pois a população cresce continuamente. Para obter uma
melhor aproximação poderíamos considerar dias em vez de meses. Em general, se dividimos
o ano em 𝑛 períodos, obteríamos como aproximação:
𝑃(1) ≊
1 +
𝜆
𝑛
𝑛
𝑃
0
Quanto maior seja 𝑛 menor será o erro que cometemos. Se fazemos que 𝑛 cresça indenida-
mente, então o número
1 +
𝜆
𝑛
𝑛
se converte em 𝑒
𝜆
, pelo que 𝑃(1) = 𝑒
𝜆
𝑃
0
. Se o período de
tempo é de 𝑡 anos, então 𝑃(𝑡) = 𝑃
0
𝑒
𝜆𝑡
.
Observa que tanto o juro composto contínuo como o crescimento demográco são, mate-
maticamente, o mesmo. Em ambos casos o que temos é uma magnitude que se incrementa
de forma proporcional a sua quantidade em cada momento. Outro processo que entra nesta
descrição é o decaimento radioativo, a única diferencia é que a masa de matéria radioativa
vá diminuindo, ou seja, que a constante de proporcionalidade é negativa.
278
Apêndice
279
A Álgebra
Alice perguntou: “Poderia me dizer, por favor, que caminho devo tomar ...?”
“Isso depende bastante de onde você quer chegar”, disse o Gato.
“O lugar não me importa muito...”, disse Alice.
“Então não importa que caminho tomar”, disse o Gato.
Alice no país das maravilhas - Lewis Carroll
A.1 Polinômios
Dados um número natural 𝑛 e números reais 𝑎
𝑛
, 𝑎
𝑛−1
, . . . 𝑎
1
, 𝑎
0
com 𝑎
𝑛
≠ 0, um polinômio
de grau 𝑛 na variável 𝑥 é uma expressão da forma:
𝑝(𝑥) = 𝑎
𝑛
𝑥
𝑛
+ 𝑎
𝑛−1
𝑥
𝑛−1
+ . . . 𝑎
1
𝑥 + 𝑎
0
O maior índice dos termos não nulos (𝑛) é dito grau do polinômio e o coeciente corres-
pondente é denominado coeciente principal do polinômio.
Assim, por exemplo, um polinômio de grau zero é da forma 𝑝(𝑥) = 𝑎
0
e é denominado
polinômio constante enquanto que um polinômio de grau 1 é da forma 𝑝(𝑥) = 𝑎
1
𝑥 + 𝑎
0
com
𝑎
1
≠ 0, e é denominado polinômio linear. Finalmente um polinômio é dito quadrático se seu
grau for dois, i.e., se for da forma 𝑝(𝑥) = 𝑎
2
𝑥
2
+ 𝑎
1
𝑥 + 𝑎
0
com 𝑎
2
≠ 0
Polinômios podem ser somados e multiplicados utilizando as propriedades de comutati-
vidade, associatividade, distributividade, etc. dos números reais:
Exemplos 1.1 Calcule:
1. (2𝑥
3
+ 𝑥
2
+ 3𝑥 + 2) + (𝑥
3
+ 5𝑥 + 1)
2. (𝑥
3
+ 1)(𝑥
2
+ 5𝑥 + 2)
Solução:
1. Agrupamos os termos de mesmo grau e combinando temos:
(2𝑥
3
+ 𝑥
2
+ 3𝑥 + 2) + (𝑥
3
+ 5𝑥 + 1) = (2𝑥
3
+ 𝑥
3
) + 𝑥
2
+ (3𝑥 + 5𝑥) +(2 + 1) (A.1)
= 3𝑥
3
+ 𝑥
2
+ 8𝑥 + 3 (A.2)
281
A Álgebra
2. Usando a propriedade distributiva temos:
(𝑥
3
+ 1)(𝑥
2
+ 5𝑥 + 2) = 𝑥
3
(𝑥
2
+ 5𝑥 + 2) + 1(𝑥
2
+ 5𝑥 + 2) (A.3)
= 𝑥
5
+ 5𝑥
4
+ 2𝑥
3
+ 𝑥
2
+ 5𝑥 + 2 (A.4)
◁
Exercícios
Ex. 1.1 — Prove as seguintes formulas para o produto:
a) (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥
2
− 𝑦
2
b) (𝑥 + 𝑦)
2
= 𝑥
2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦
2
c) (𝑥 − 𝑦)
2
= 𝑥
2
− 2𝑥𝑦 + 𝑦
2
d) (𝑥 + 𝑦)
3
= 𝑥
3
+ 3𝑥
2
𝑦 + 3𝑦
2
𝑥 + 𝑦
3
e) (𝑥 − 𝑦)
3
= 𝑥
3
− 3𝑥
2
𝑦 + 3𝑦
2
𝑥 − 𝑦
3
f) (𝑥 + 𝑦)(𝑥
2
− 𝑥𝑦 + 𝑦
2
) = 𝑥
3
+ 𝑦
3
g) (𝑥 − 𝑦)(𝑥
2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦
2
) = 𝑥
3
− 𝑦
3
A.1.1 Produtos Notáveis e Fatoração
Alguns produtos entre polinômios são extremamente úteis, esses produtos são conhecidos
como produtos notáveis . Apresentamos alguns deles:
Alguns Produtos Notáveis:
Dados 𝑥 e 𝑦 números reais, variáveis ou expressões algébricas:
1. (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥
2
− 𝑦
2
(diferença de quadrados)
2. (𝑥 + 𝑦)
2
= 𝑥
2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦
2
(quadrado da soma)
3. (𝑥 − 𝑦)
2
= 𝑥
2
− 2𝑥𝑦 + 𝑦
2
(quadrado da diferença)
4. (𝑥 + 𝑦)
3
= 𝑥
3
+ 3𝑥
2
𝑦 + 3𝑦
2
𝑥 + 𝑦
3
(cubo da soma)
5. (𝑥 − 𝑦)
3
= 𝑥
3
− 3𝑥
2
𝑦 + 3𝑦
2
𝑥 − 𝑦
3
(cubo da diferença)
6. (𝑥 + 𝑦)(𝑥
2
− 𝑥𝑦 + 𝑦
2
) = 𝑥
3
+ 𝑦
3
(soma de cubos)
7. (𝑥 − 𝑦)(𝑥
2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦
2
) = 𝑥
3
− 𝑦
3
(diferença de cubos)
282
Bases Matemáticas
Os produtos notáveis são particularmente uteis para fatorar expressões. O processo de
fatorar um polinômio consiste em escrever esse polinômio como produto de dois ou mais
polinômios, denominados fatores. Antes de utilizar os produtos notáveis para fatorar uma
expressão, vamos recordar um dos modos mais simples de fatorar um polinômio que é colo-
car os fatores comuns em evidência:
Exemplos 1.2
1. 3𝑥
4
+ 6𝑥
3
+ 9𝑥
2
= 3𝑥
2
(𝑥
2
+ 2𝑥 + 3)
2. 𝑝𝑞
2
− 𝑝𝑞
3
= 𝑝𝑞
2
(1 − 𝑞)
3. 2𝑥
3
+ 𝑥
2
+ 8𝑥 + 4 = 𝑥
2
(2𝑥 + 1) + 4(2𝑥 + 1) = (2𝑥 + 1)(𝑥
2
+ 4)
◁
Utilizando os produtos notáveis podemos realizar as seguintes fatorações:
Exemplos 1.3
1. 4𝑥
2
− 25 = (2𝑥)
2
− 5
2
= (2𝑥 + 5)(2𝑥 − 5) (diferença de quadrados );
2. 64𝑥
3
−125𝑦
3
= (4𝑥)
3
−(5𝑦)
3
= (4𝑥 −5𝑦)((4𝑥)
2
+4𝑥 ·5𝑦 +(5𝑦)
2
) = (4𝑥 −5𝑦)(16𝑥
2
+20𝑥𝑦 +
25𝑦
2
) (diferença de cubos);
3. 𝑥
2
− 10𝑥 + 25 = 𝑥
2
− 2 · 5𝑥 + 5
2
= (𝑥 − 5)
2
(quadrado das diferenças);
4. 𝑥
4
+ 6𝑥
2
+ 9 = (𝑥
2
)
2
+ 2 · 3 · 𝑥
2
+ 3
2
= (𝑥
2
+ 3)
2
(quadrado da soma);
◁
Exercícios
Ex. 1.2 — Expanda:
a) (3𝑎 +2𝑏)
2
b) (3𝑎 +2𝑏)
3
c) (3𝑎 −2𝑏)
3
d) (𝑥
2
− 1)(𝑥
2
+ 1)
e) [(𝑥 − 𝑦) + 1][(𝑥 − 𝑦) −1]
f) (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
2
g) (𝑎 − 𝑎𝑐 + 𝑐)
3
h) (𝑎 + 𝑏)
4
283
A Álgebra
Ex. 1.3 — Se 𝑎 +
1
𝑎
= 𝑏 determine 𝑎
2
+
1
𝑎
2
em função de 𝑏.
Ex. 1.4 — Fatore
a) 𝑎
2
𝑥 + 𝑏
2
𝑦 + 𝑎
2
𝑦 + 𝑏
2
𝑥
b) 2𝑥
2
− 𝑥 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦
c) 4𝑦
2
− 16
d) (𝑥 + 𝑏)
2
− 𝑎
2
e) 𝑥
2
− 𝑎
2
− 2𝑎𝑏 − 𝑏
2
f) 𝑥
3
+
1
𝑥
3
g) 𝑥
6
+ 1
h) 𝑥
6
− 1
i) 𝑥
2
− 6𝑥 + 9 − 𝑦
2
A.1.2 Divisão de Polinômios
Dados dois polinômios 𝑝(𝑥)e 𝑞(𝑥)tais que o grau de 𝑝(𝑥)é maior que o grau de 𝑞(𝑥)podemos
fazer a divisão de 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥) com resto 𝑟(𝑥), o qual será um polinômio de grau menor ou
igual a 𝑞(𝑥) e poderemos escrever:
𝑝(𝑥) = 𝑎(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)
O processo de divisão é análogo ao processo de divisão Euclideana. Como na divisão Eu-
clideana 𝑝(𝑥) será chamado de dividendo e 𝑞(𝑥) de divisor. Vejamos um exemplo:
Exemplo 1.4 Divida 𝑥
3
+ 7𝑥 + 6 por 𝑥 − 1
Solução: Vamos começar colocando o dividendo e o divisor da seguinte forma
𝑥
3
− 7𝑥 + 6 =
𝑥 − 1
Agora dividimos o maior termo do dividendo pelo maior termo do divisor 𝑥
3
÷ 𝑥 = 𝑥
2
e
colocamos esse termo no segundo parêntesis.
𝑥
3
− 7𝑥 + 6 =
𝑥 − 1
𝑥
2
Agora multiplicamos 𝑥
2
pelo divisor 𝑥 − 1 obtendo 𝑥
3
− 𝑥
2
. Subtraímos esse termo do
dividendo ( ou seja somamos −𝑥
3
+ 𝑥
2
):
𝑥
3
− 7𝑥 + 6 =
𝑥 − 1
𝑥
2
− 𝑥
3
+ 𝑥
2
Realizamos a soma do polinômio obtido na etapa anterior com o dividendo:
284
Bases Matemáticas
𝑥
3
− 7𝑥 + 6 =
𝑥 − 1
𝑥
2
− 𝑥
3
+ 𝑥
2
𝑥
2
− 7𝑥
Para acharmos o segundo termo da divisão. Repetiremos o processo com o polinômio ob-
tido na etapa anterior 𝑥
2
− 7𝑥. Dividimos o termo de maior grau de 𝑥
2
− 7𝑥 pelo termo de
maior grau de 𝑥 − 1 obtemos 𝑥 e colocamos esse termo no segundo parêntesis.
𝑥
3
− 7𝑥 + 6 =
𝑥 − 1
𝑥
2
+ 𝑥
− 𝑥
3
+ 𝑥
2
𝑥
2
− 7𝑥
Agora multiplicamos 𝑥 pelo divisor 𝑥 − 1 obtendo 𝑥
2
− 𝑥. Subtraímos esse termo do divi-
dendo ( ou seja somamos −𝑥
2
+ 𝑥):
𝑥
3
− 7𝑥 + 6 =
𝑥 − 1
𝑥
2
+ 𝑥
− 𝑥
3
+ 𝑥
2
𝑥
2
− 7𝑥
− 𝑥
2
+ 𝑥
Realizamos a soma do polinômio obtido na etapa anterior:
𝑥
3
− 7𝑥 + 6 =
𝑥 − 1
𝑥
2
+ 𝑥
− 𝑥
3
+ 𝑥
2
𝑥
2
− 7𝑥
−
𝑥
2
+
𝑥
− 6𝑥 + 6
Para acharmos o segundo termo da divisão. Repetiremos o processo com o polinômio ob-
tido na etapa anterior −6𝑥 + 6. Dividimos o termo de maior grau de −6𝑥 + 6 pelo termo de
maior grau de 𝑥 − 1 obtemos −6 e colocamos esse termo no segundo parêntesis.
𝑥
3
− 7𝑥 + 6 =
𝑥 − 1
𝑥
2
+ 𝑥 − 6
− 𝑥
3
+ 𝑥
2
𝑥
2
− 7𝑥
− 𝑥
2
+ 𝑥
− 6𝑥 + 6
Agora multiplicamos −6 pelo divisor 𝑥 − 1 obtendo −6𝑥 + 6. Subtraímos esse termo do
dividendo ( ou seja somamos 6𝑥 − 6):
285
A Álgebra
𝑥
3
− 7𝑥 + 6 =
𝑥 − 1
𝑥
2
+ 𝑥 − 6
− 𝑥
3
+ 𝑥
2
𝑥
2
− 7𝑥
− 𝑥
2
+ 𝑥
− 6𝑥 + 6
6𝑥 − 6
Realizamos a soma do polinômio obtido na etapa anterior:
𝑥
3
− 7𝑥 + 6 =
𝑥 − 1
𝑥
2
+ 𝑥 − 6
− 𝑥
3
+ 𝑥
2
𝑥
2
− 7𝑥
− 𝑥
2
+ 𝑥
− 6𝑥 + 6
6𝑥 − 6
0
Chegamos a um polinômio (0) que possui grau
menor que o divisor e assim a divisão terminou.
◁
No caso em que a divisão de 𝑝(𝑥) por 𝑞(𝑥) tiver resto 0 temos que
𝑝(𝑥) = 𝑎(𝑥)𝑞(𝑥)
ou seja, neste caso 𝑞(𝑥) é um fator de 𝑝(𝑥), e a divisão é dita exata.
A partir do exemplo acima podemos extrair o algoritmo da divisão de polinômios:
Algoritmo de divisão de polinômios
1. Arranje os termos do dividendo e do divisor dos termos de maior grau para os termos
de menor grau.
2. Divida o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor. O
resultado obtido é o primeiro termo do quociente.
3. Multiplique todos os termos do divisor pelo primeiro termo do quociente.
4. Subtraia o produto anterior do quociente.
5. Repita as operações anteriores com o termo obtido no lugar do quociente. O processo
terminará quando o polinômio obtido tiver grau menor que o divisor.
Exemplo 1.5 Divida 6𝑥
2
− 4𝑥 + 4 + 3𝑥
3
por 𝑥
2
− 2
Solução: Começamos escrevendo o dividendo e o divisor em potências decrescentes de 3𝑥 e
colocando na seguinte forma
286
Bases Matemáticas
3𝑥
3
+ 6𝑥
2
− 4𝑥 + 4 =
𝑥
2
− 2
Agora dividimos o maior termo do dividendo pelo maior termo do divisor 3𝑥
3
÷ 𝑥
2
= 𝑥 e
colocamos esse termo no segundo parêntesis.
3𝑥
3
+ 6𝑥
2
− 4𝑥 + 4 =
𝑥
2
− 2
3𝑥
Agora multiplicamos 𝑥 pelo divisor 𝑥
2
− 2 obtendo 3𝑥
3
− 6𝑥. Subtraímos esse termo do
dividendo ( ou seja somamos −3𝑥
3
+ 6𝑥):
3𝑥
3
+ 6𝑥
2
− 4𝑥 + 4 =
𝑥
2
− 2
3𝑥
− 3𝑥
3
+ 6𝑥
Realizamos a soma do polinômio obtido na etapa anterior com o dividendo:
3𝑥
3
+ 6𝑥
2
− 4𝑥 + 4 =
𝑥
2
− 2
3𝑥
− 3𝑥
3
+ 6𝑥
6𝑥
2
+ 2𝑥 + 4
Para acharmos o segundo termo da divisão. Repetiremos o processo com o polinômio ob-
tido na etapa anterior 6𝑥
2
+ 2𝑥 + 4. Dividimos o termo de maior grau de 6𝑥
2
+ 2𝑥 + 4 pelo
termo de maior grau de 𝑥
2
− 2 obtemos 6. Colocamos esse termo no segundo parêntesis.
3𝑥
3
+ 6𝑥
2
− 4𝑥 + 4 =
𝑥
2
− 2
3𝑥 + 6
− 3𝑥
3
+ 6𝑥
6𝑥
2
+ 2𝑥 + 4
Agora multiplicamos 6 pelo divisor 𝑥
2
− 2 obtendo 6𝑥
2
− 12. Subtraímos esse termo do
dividendo ( ou seja somamos −6𝑥
2
+ 12):
3𝑥
3
+ 6𝑥
2
− 4𝑥 + 4 =
𝑥
2
− 2
3𝑥 + 6
− 3𝑥
3
+ 6𝑥
6𝑥
2
+ 2𝑥 + 4
− 6𝑥
2
+ 12
Realizamos a soma do polinômio obtido na etapa anterior:
3𝑥
3
+ 6𝑥
2
− 4𝑥 + 4 =
𝑥
2
− 2
3𝑥 + 6
− 3𝑥
3
+ 6𝑥
6𝑥
2
+ 2𝑥 + 4
− 6𝑥
2
+ 12
2𝑥 + 16
Chegamos a um polinômio (2𝑥 +16) que possui grau menor que o divisor e assim a divisão
terminou. ◁
Exercícios
Ex. 1.5 — Realize as seguintes divisões de polinômios:
a) 5𝑥
2
+ 4𝑥 + 2 ÷ 6𝑥 + 2
287
A Álgebra
b) 𝑥
2
+ 𝑥 − 2 ÷ 𝑥 − 1
c) 𝑥
2
− 𝑎
2
÷ 𝑥 − 𝑎
d) 𝑥
4
− 256 ÷ 𝑥 − 4
e) 𝑥
4
− 𝑎
4
÷ 𝑥 − 𝑎
f) 𝑥
5
+ 𝑥
3
− 2 ÷ 𝑥 − 1
g) 4𝑥
3
+ 2𝑥 + 1 ÷ 𝑥 + 1
h) 𝑥
3
÷ 𝑥 − 𝑎
Ex. 1.6 — Encontre 𝑘 de modo que 3𝑥 + 6 seja um fator de 3𝑥
3
+ 30𝑥
2
+ 54𝑥 + 𝑘
A.1.3 Expressões Racionais
Uma expressão racional é uma expressão que pode ser escrita como quociente de dois po-
linômios:
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
Expressões racionais são somadas, multiplicadas e divididas de modo análogo as frações:
Operações com expressões racionais
Dados 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 números reais, ou expressões algébricas, então
1.
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝑏𝑑
2.
𝑎
𝑏
·
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑐
𝑏𝑑
3.
𝑎
𝑏
÷
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
·
𝑑
𝑐
=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
Exemplos 1.6 Simplique a seguintes expressões:
1.
2𝑥
𝑥
2
− 1
+
𝑥 − 1
𝑥 + 1
2.
2 −
5
𝑥 + 1
1 +
1
𝑥 − 2
Solução:
288
Bases Matemáticas
1.
2𝑥
𝑥
2
−
1
+
𝑥 − 1
𝑥 + 1
=
2𝑥(𝑥 + 1) + (𝑥 − 1)(𝑥
2
− 1)
(
𝑥
2
−
1
)(
𝑥
+
1
)
(A.5)
=
2𝑥(𝑥 + 1) + (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
(𝑥
2
− 1)(𝑥 + 1)
(A.6)
=
(𝑥 + 1)(2𝑥 + (𝑥 − 1)
2
)
(𝑥
2
− 1)(𝑥 + 1)
(A.7)
=
(𝑥 + 1)(2𝑥 + +𝑥
2
− 2𝑥 + 1
𝑥
2
− 1
(A.8)
=
𝑥
2
+ 1
𝑥
2
− 1
(A.9)
2.
2 −
5
𝑥 + 1
1 +
1
𝑥 − 2
=
2𝑥 + 2 − 5
𝑥 + 1
𝑥 − 2 + 1
𝑥 − 2
(A.10)
=
2𝑥 − 3
𝑥 + 1
𝑥 − 1
𝑥 − 2
(A.11)
=
(2𝑥 − 3)(𝑥 − 2)
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
(A.12)
◁
Exercícios
Ex. 1.7 — Simplique as expressões:
a)
8𝑥
3
𝑦
2
(𝑥 − 2)
4
6𝑥
2
𝑦
(𝑥 − 2)
3/2
b)
𝑥
2
− 𝑦
2
5𝑥
2
𝑦
5
𝑦 + 𝑥
𝑥 + 𝑦
c)
1
(𝑥 + ℎ)
2
−
1
𝑥
2
ℎ
d)
1
𝑎
+
1
𝑏
𝑏
𝑎
−
𝑎
𝑏
e)
(𝑧 + 𝑤)
−1
(𝑧 − 𝑤)
−1
289
A Álgebra
f) (𝑝
−1
+ 𝑞
−1
)
−1
A.2 Equações
De modo impreciso, uma equação na incógnita 𝑥 é uma proposição aberta sobre a igualdade
de duas expressões.
𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥)
De modo preciso, uma equação na incógnita x é uma igualdade 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥) onde 𝑓 e 𝑔 são
funções denidas no mesmo domínio, i.e, 𝑓 : 𝐷 ⊂ R → R. e 𝑔 : 𝐷 ⊂ R → R..
Neste caso, o domínio das funções 𝐷 é dito domínio da equação e 𝑥 é chamado de variável
ou incognita.
Por exemplo, uma equação da forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 com 𝑎 ≠ 0 é dita equação linear e uma
equação da forma 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 com 𝑎 ≠ 0 é dita equação quadrática.
Resolver uma equação é encontrar os valores no domínio da equação para os quais a pro-
posição é verdadeira. Tais valores são chamados de raízes ou soluções para a equação. Assim
por exemplo −2 é uma solução para a equação 4 𝑥 + 8 = 0, pois substituindo 𝑥 por −2, obte-
mos 4(−2)+8 = 0 que simplicando ca 0 = 0, que é uma proposição verdadeira. Neste caso
também dizemos que −2 satisfaz a equação.
Dada uma equação 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥), o conjunto de todos os números no domínio desta equa-
ção que satisfazem a equação é dito conjunto solução e será denotado por 𝑆𝑜𝑙
𝑓 (𝑥)=𝑔(𝑥)
ou
simplesmente 𝑆𝑜𝑙 quando estiver claro a qual equação estivermos nos referindo.
𝑆𝑜𝑙 = {𝑎 ∈ 𝐷|𝑓 (𝑎) = 𝑔(𝑎)}.
De modo geral, o método para resolver equações se baseia em transformar a equação inicial
em uma equação mais simples que possui a mesma solução. Duas equações que possuem as
mesmas soluções são ditas equivalentes .
Antes de apresentarmos exemplos de como resolver equações através de equações equiva-
lentes, vamos discutir um pouco mais detalhadamente o papel do domínio de uma equação.
Primeiramente, deve ser claro que a existência de soluções ou mesmo o número de soluções
de uma equação dependem fundamentalmente do domínio da equação, mesmo no caso em
que estas são representadas pela mesma expressão. Assim se consideramos o domínio de
2𝑥 = 1 como os números reais esta equação possui uma solução. Porém se consideramos essa
equação denida sobre os números naturais, essa equação não possui solução.
Assim ao resolvermos uma equação devemos sempre atentar em que domínio estamos tra-
balhando. Porém em diversos problemas que serão apresentados neste texto não explicitare-
mos claramente em qual domínio estaremos trabalhando. Nestes casos devemos considerar
290
Bases Matemáticas
o domínio máximo da expressão, ou seja, o maior subconjunto dos reais para o qual a expres-
são faz sentido. Assim por exemplo na equação
1
𝑥
= 2, devemos considerar o domínio como
sendo os reais não nulos.
A.2.1 Equações Polinomiais
Equação Linear
Uma equação linear na variável 𝑥 é uma expressão que pode ser escrita na forma
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
com 𝑎, 𝑏 ∈ R e 𝑎 ≠ 0.
Para resolvermos essa equação utilizaremos algumas propriedades dos reais. Começamos
observando que se temos uma equação e adicionarmos o mesmo termo a ambos os lados
não alteramos a igualdade e nem as soluções da equação. Assim adicionando −𝑏 a ambos os
lados teremos:
𝑎𝑥 + 𝑏 − 𝑏 = −𝑏
que podemos simplicar a
𝑎𝑥 = −𝑏
Agora veja que se multiplicarmos ambos os lados da equação pela mesma quantidade (não
nula) obtemos uma equação equivalente, nesse caso multiplicaremos por 𝑎
−1
ou se preferir,
dividiremos por 𝑎) assim obtemos:
𝑎
−1
𝑎𝑥 = −𝑎
−1
𝑏
ou seja
𝑥 = −
𝑏
𝑎
.
Logo o conjunto solução de uma equação linear 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 é {−
𝑏
𝑎
}
Equação Quadrática
Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 números reais, uma equação quadrática na variável 𝑥 é uma expressão que
pode ser escrita na forma
𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R e 𝑎 ≠ 0
Para resolvermos essa equação começamos multiplicando ambos os lados da equação por
4𝑎 (que é distinto de 0):
(4𝑎)(𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐) = (4𝑎) · 0,
expandindo a expressão anterior temos:
4𝑎
2
𝑥
2
+ 4𝑎𝑏𝑥 + 4𝑎𝑐 = 0,
291
A Álgebra
somando −4𝑎𝑐 em ambos os lados e simplicando chegamos a:
(2𝑎𝑥)
2
+ 2(2𝑎𝑥) 𝑏 = −4𝑎𝑐,
somando 𝑏
2
em ambos os lados a expressão ca:
(2𝑎𝑥)
2
+ 2(2𝑎𝑥) 𝑏 + 𝑏
2
= −4𝑎𝑐 + 𝑏
2
,
O lado esquerdo da equação é um quadrado perfeito e assim:
(2𝑎𝑥 + 𝑏)
2
= 𝑏
2
− 4𝑎𝑐
Note que se 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 < 0 a igualdade acima nunca é satisfeita, pois o lado esquerdo é
sempre não negativo e assim temos que a igualdade inicial não possui solução.
Continuaremos resolvendo o caso em que 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 ≥ 0. A equação (2𝑎𝑥 + 𝑏)
2
= 𝑏
2
− 4𝑎𝑐
implica que 2𝑎𝑥 + 𝑏 =
√
𝑏
2
− 4𝑎𝑐 ou 2𝑎𝑥 + 𝑏 = −
√
𝑏
2
− 4𝑎𝑐.
A solução de 2𝑎𝑥 + 𝑏 =
√
𝑏
2
− 4𝑎𝑐 pode ser obtida através das equivalências:
2𝑎𝑥 + 𝑏 =
√
𝑏
2
− 4𝑎𝑐 ⇔
2𝑎𝑥 =
√
𝑏
2
− 4𝑎𝑐 − 𝑏 ⇔
𝑥 =
−𝑏 +
√
𝑏
2
− 4𝑎𝑐
2𝑎
.
E a solução de 2𝑎𝑥 + 𝑏 = −
√
𝑏
2
− 4𝑎𝑐 pode ser obtida através das equivalências:
2𝑎𝑥 + 𝑏 = −
√
𝑏
2
− 4𝑎𝑐 ⇔
2𝑎𝑥 = −
√
𝑏
2
− 4𝑎𝑐 − 𝑏 ⇔
𝑥 =
−𝑏 −
√
𝑏
2
− 4𝑎𝑐
2𝑎
.
Logo se 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 ≥ 0 então 𝑆𝑜𝑙
𝑎𝑥
2
+𝑏𝑥+𝑐=0
=
(
−𝑏 ±
√
𝑏
2
− 4𝑎𝑐
2𝑎
)
, e se 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 < 0 então
𝑆𝑜𝑙
𝑎𝑥
2
+𝑏𝑥+𝑐=0
= .
Equações Biquadráticas
Uma equação biquadrática na variável 𝑥 é uma expressão da forma:
𝑎𝑥
4
+ 𝑏𝑥
2
+ 𝑐 = 0,
onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 são números reais e 𝑎 ≠ 0.
Para a resolução de uma equação biquadrada fazemos a substituição 𝑡 = 𝑥
2
(e assim 𝑡
2
=
𝑥
4
). Realizando essa substituição a equação 𝑎𝑥
4
+ 𝑏𝑥
2
+ 𝑐 = 0 transforma-se na equação
quadrática 𝑎𝑡
2
+ 𝑏𝑡 + 𝑐 = 0, que já sabemos resolver.
292
Bases Matemáticas
Exemplo 1.7 Resolva a equação 𝑥
4
− 13𝑥
2
+ 36 = 0.
Solução: Fazendo a substituição 𝑡 = 𝑥
2
obtemos 𝑡
2
− 13𝑡 + 36 = 0, cujas raízes são 𝑡
1
= 4 e
𝑡
2
= 9.
Agora resolvemos na incógnita 𝑥. Lembrando que 𝑡 = 𝑥
2
temos:
𝑥
2
= 4 ou 𝑥
2
= 9
e logo as soluções são {− 3, −2, 2, 3}.
◁
Exercícios
Ex. 1.8 — Dado uma equação quadrática 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 com raízes 𝑥
1
, 𝑥
2
mostre que:
a) A soma das raízes é igual a
−𝑏
𝑎
, i.e., 𝑆 = 𝑥
1
+ 𝑥
2
=
−𝑏
𝑎
.
b) O produto das raízes é igual a
𝑐
𝑎
, i.e., 𝑃 = 𝑥
1
· 𝑥
2
=
𝑐
𝑎
.
Ex. 1.9 — Na equação 𝑥
2
− 2𝑚𝑥 + 𝑚 −1 = 0 determine 𝑚 de modo que:
a) as raízes sejam opostas, i.e, 𝑥
1
= −𝑥
2
b) as raízes sejam inversas, i.e, 𝑥
1
=
1
𝑥
2
A.2.2 Equações Envolvendo Expressões Racionais
Ao lidarmos com expressões racionais
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
devemos ter o cuidado de vericar para que
valores a expressão está bem denida, isto é, o domínio da equação. Em particular, para
funções racionais devemos remover do domínio os valores nos quais o denominador é 0.
Exemplo 1.8 Resolva a equação:
𝑥
1 − 𝑥
+
𝑥 − 2
𝑥
− 1 = 0
Solução: Observe que a expressão acima não está denida para 1 − 𝑥 = 0 e para 𝑥 = 0. Logo
devemos excluir 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1 do domínio da equação.
293
A Álgebra
Simplicando a expressão temos:
𝑥
1
−
𝑥
+
𝑥 − 2
𝑥
− 1 =
𝑥
2
(𝑥 − 2)(1 − 𝑥) − 𝑥(1 − 𝑥)
𝑥(1 − 𝑥)
(A.13)
=
−2 + 2𝑥 + 𝑥
2
𝑥(1 − 𝑥)
= 0 (A.14)
E logo devemos ter −2 +2𝑥 + 𝑥
2
= 0.
As soluções da equação quadrática anterior são −1 −
√
3 e −1 +
√
3.
Como ambas as soluções pertencem ao domínio temos que o conjunto solução de
𝑥
1 − 𝑥
+
𝑥 − 2
𝑥
−
1
=
0
é
{−
1
−
√
3
,
−
1
+
√
3
}
.
◁
Exercícios
Ex. 1.10 — Resolva as seguintes equações:
a)
𝑥
𝑥 + 2
+
4
𝑥 − 1
= 5
b) 2𝑥 − 3(𝑥 − 1) = 8(𝑥 + 3).
c) 𝑥(𝑥
2
− 4) = 0.
d) (𝑥
2
− 2)(𝑥
2
− 9) = 0.
e) 𝑥
4
− 24𝑥
2
− 25 = 0
f) 2𝑥
4
− 5𝑥
2
+ 3 = 0
g)
2
𝑥
2
− 1
−
𝑥
𝑥 − 1
= 1
h) (𝑥
2
− 3𝑥 + 2)
2
− 3(𝑥
2
− 3𝑥 + 2) = 0 (dica faça a substituição 𝑦 = 𝑥
2
− 3𝑥 + 2.
i) 6𝑥
−2
− 17𝑥
−1
+ 12 = 0
A.2.3 Equações Envolvendo Raízes
Como no caso das expressões racionais, ao lidarmos com expressões envolvendo raízes de-
vemos ter o cuidado de vericar para que valores a expressão está bem denida, isto é,o
domínio da equação. Em especial devemos assegurar que as expressões que estão dentro de
um radicando sejam sempre maiores ou iguais a zero.
Em geral ao resolvermos uma equação envolvendo raízes temos que elevar ambos lados da
equação a uma potência. Se essa potência for par ao realizarmos esse procedimento podemos
ter introduzido falsas raízes.
Um exemplo simples que elevar ao quadrado introduz falsas raízes é a equação 𝑥 = 1.
Claramente essa equação possui uma única raiz o número 1. Porém se elevarmos ambos os
294
Bases Matemáticas
lados da equação ao quadrado obtemos 𝑥
2
= 1. A equação 𝑥
2
= 1 possui duas raízes: −1, 1.
Desta forma, ao elevarmos ambos os lados ao quadrado, introduzimos uma falsa raiz, −1.
Resumindo, se na resolução de uma equação elevarmos ambos os lados da equação a uma
potência par devemos vericar se as soluções que obtivemos são realmente soluções do pro-
blema original.
Exemplo 1.9 Resolva a equação
√
9𝑥 + 4 +
√
3𝑥 − 4 = 2
√
3𝑥.
Solução: Primeiro observamos que o domínio da equação é:
𝐷 = [−
4
9
, ∞) ∩ [
4
3
, ∞) ∩ [0, ∞) = [
4
3
, ∞)
Se elevarmos ambos os lados da equação ao quadrado, obtemos a equação consequente:
9𝑥 + 4 + 2
p
(9𝑥 + 4)(3𝑥 − 4) + 3𝑥 − 4 = 12𝑥.
Agrupando os termos em comum:
2
p
(9𝑥 + 4)(3𝑥 − 4) = 0
cujas soluções são 𝑥 = −
4
9
e 𝑥 =
4
3
. Ao elevarmos ao quadrado, podemos ter introduzido
falsas soluções do problema original. Por isso devemos necessariamente vericar se 𝑥 = −
4
9
e 𝑥 =
3
4
são raízes. Vericando, obtemos que 𝑥 = −
4
9
não é raiz pois não está no domínio. Por
outro lado a vericação nos mostra que 𝑥 =
4
3
é solução do problema. ◁
Uma outra técnica frequentemente usada na resolução de equações envolvendo raízes é
multiplicar a equação por uma expressão diferente de zero, em especial pelo conjugado.
Exemplo 1.10 Resolva a equação
√
3𝑥
2
− 2𝑥 + 15 −
√
3𝑥
2
− 2𝑥 + 8 = 1.
Solução: Nesse caso não iremos calcular o domínio da equação com antecedência, o que nos
obriga a vericar que os valores encontrados são realmente soluções.
Multiplicamos a equação
√
3𝑥
2
− 2𝑥 + 15 −
√
3𝑥
2
− 2𝑥 + 8 = 1 (A.15)
pelo conjugado
√
3𝑥
2
− 2𝑥 + 15 +
√
3𝑥
2
− 2𝑥 + 8 temos:
3𝑥
2
− 2𝑥 + 15 − (3𝑥
2
− 2𝑥 + 8) =
√
3𝑥
2
− 2𝑥 + 15 +
√
3𝑥
2
− 2𝑥 + 8,
que simplicando ca:
7 =
√
3𝑥
2
− 2𝑥 + 15 +
√
3𝑥
2
− 2𝑥 + 8 (A.16)
295
A Álgebra
somando A.15 e A.16 temos:
2
√
3𝑥
2
− 2𝑥 + 15 = 8
Quadrando essa temos:
3𝑥
2
− 2𝑥 + 15 = 16,
simplicando:
3𝑥
2
− 2𝑥 − 1 = 0,
cujas soluções são 𝑥 = −
1
3
e 𝑥 = 1. Vericando, temos que ambos os valores estão no domínio
e ambos são soluções.
◁
A.2.4 Equações Envolvendo Módulos
Para equações tais que as incógnitas aparecem dentro de módulos, precisamos considerar
separadamente os intervalos onde as expressões dentro dos módulos são positivas e os in-
tervalos nos quais são negativas.
Exemplo 1.11 Determine os números reais que satisfazem a seguinte igualdade
|𝑥 + 1| = 3
Solução: Note que não se pode determinar a priori se o número 𝑥 + 1 é ou não negativo. Isso
signica que devemos considerar ambas as possibilidades. Seguindo a denição acima, con-
sideremos, separadamente, os casos: (i) 𝑥 + 1 ≥ 0; (ii) 𝑥 + 1 < 0.
Caso (i): suponha 𝑥 + 1 ≥ 0. Então |𝑥 + 1| = 𝑥 + 1. Logo, a equação que queremos estudar se
torna
𝑥 + 1 = 3.
Note, porém, que agora buscamos uma solução para essa equação somente dentre os núme-
ros reais que satisfazem a condição 𝑥 + 1 ≥ 0. E encontramos a solução 𝑥 = 2.
Caso (ii): suponha agora 𝑥 + 1 < 0. Nesse caso, tem-se |𝑥 + 1| = −(𝑥 + 1) = −𝑥 − 1. Assim, a
equação original torna-se
−𝑥 − 1 = 3
A solução para essa equação (procurada no conjunto dos números reais que satisfazem a
condição 𝑥 + 1 < 0) é 𝑥 = −4.
296
Bases Matemáticas
Dos dois casos analisados, obtemos o conjunto-solução: 𝑆𝑜𝑙 = {−4, 2}. ◁
Exemplo 1.12 Resolva a equação
|𝑥 − 1| − 2|𝑥 −2| = −3.
Solução: Veja que para o primeiro módulo temos dois casos a considerar 𝑥 < 1 e 𝑥 > 1 e para
o segundo módulo temos outros dois casos a considerar 𝑥 < 2 e 𝑥 > 2. Desta forma temos no
total três casos a considerar:
Caso (i): Se 𝑥 < 1, neste caso
|𝑥 − 1| − 2|𝑥 −2| = −3 ⇔ −𝑥 + 1 − 2(−𝑥 + 2) = −3
que resolvendo, nos fornece 𝑥 = 0. Que é solução, pois 0 pertence ao intervalo em considera-
ção 𝑥 < 1.
Caso (ii): Se 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 temos a equivalência:
|𝑥 − 1| − 2|𝑥 −2| = −3 ⇔ 𝑥 − 1 − 2(−𝑥 + 2) = −3
que resolvendo, nos fornece 𝑥 =
2
3
. Que não é solução pois neste caso em consideração 1 ≤
𝑥 ≤ 2.
Caso (iii): Se 𝑥 > 2 temos a equivalência:
|𝑥 − 1| − 2|𝑥 −2| = 3 ⇔ 𝑥 − 1 − 2(𝑥 − 2) = −3
Que resolvendo nos fornece 𝑥 = 6 que é solução pois está no intervalo em consideração.
Logo, o conjunto solução é {0, 6} ◁
Exercícios
Ex. 1.11 — Resolva as seguintes equações:
a)
|
𝑥
|
= 𝑥
2
b)
𝑥
2
− 3
= 2
c)
|
𝑥
|
= 𝑥 + 2
d)
|
−𝑥 + 2
|
= 2𝑥 + 1
e)
|
𝑥 + 1
|
+
|
𝑥 − 2
|
= 1
f)
5𝑥 − 𝑥
2
− 6
= 𝑥
2
− 5𝑥 + 6
g)
|
𝑥 − 1
|
− 2
|
𝑥 − 2
|
+ 3
|
𝑥 − 3
|
= 4
297
A Álgebra
h)
𝑥
2
− 2
+ 2𝑥 + 1 ≥ 0
i)
9
|
𝑥 − 5
|
− 3
≥
|
𝑥 − 2
|
j)
√
𝑥 + 1 = 8 −
√
3𝑥 − 1
k)
p
𝑥 +
√
𝑥 + 11 +
p
𝑥 −
√
𝑥 + 11 = 4
l)
√
4𝑥 − 3 +
√
5𝑥 − 1 =
√
15𝑥 + 4
m)
3
√
𝑥 + 34 −
3
√
𝑥 − 3 = 1
A.3 Inequações
Uma inequação em uma variável é uma proposição aberta envolvendo duas expressões se-
parados por um dos símbolos da desigualdade <, ≤, > ou ≥:
𝑓 (𝑥) < 𝑔(𝑥) 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 𝑓 (𝑥) > 𝑔(𝑥) 𝑓 (𝑥) ≥ 𝑔(𝑥).
Resolver uma inequação é encontrar os valores no domínio da inequação para os quais
a proposição é verdadeira. Tais valores são chamados de raízes ou soluções da inequação.
Ou seja, uma solução para uma inequação 𝑓 (𝑥) < 𝑔(𝑥) é um número real 𝑠 ∈ Dom 𝑓 ∩
Dom 𝑔 tal que 𝑓 (𝑠) < 𝑔(𝑠) (essa denição pode ser facilmente reescrita para os outros tipos
de desigualdades).
O conjunto de todos os números no domínio de uma inequação que satisfazem uma ine-
quação é dito conjunto solução e será denotado por 𝑆𝑜𝑙
𝑓 (𝑥)<𝑔(𝑥)
ou 𝑆𝑜𝑙
𝑓 (𝑥)≤𝑔(𝑥)
𝑜𝑢 𝑆𝑜𝑙
𝑓 (𝑥)>𝑔(𝑥)
ou 𝑆𝑜𝑙
𝑓 (𝑥)≥𝑔(𝑥)
dependendo do tipo de desigualdade, ou ainda simplesmente como 𝑆𝑜𝑙 quando
estiver claro a qual inequação estivermos nos referindo.
𝑆𝑜𝑙
𝑓 (𝑥)<𝑔(𝑥)
= {𝑎 ∈ 𝐷|𝑓 (𝑎) < 𝑔(𝑎)
𝑆𝑜𝑙
𝑓 (𝑥)≤𝑞(𝑥)
= {𝑎 ∈ 𝐷|𝑓 (𝑎) ≤ 𝑔(𝑎)
𝑆𝑜𝑙
𝑓 (𝑥)>𝑔(𝑥)
= {𝑎 ∈ 𝐷|𝑓 (𝑎) > 𝑔(𝑎)
𝑆𝑜𝑙
𝑓 (𝑥)≥𝑔(𝑥)
= {𝑎 ∈ 𝐷|𝑓 (𝑎) ≥ 𝑔(𝑎)
A.3.1 Inequações Envolvendo Polinômios
Inequação Linear Uma inequação linear é uma inequação que pode ser escrita em uma das
seguintes formas:
𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0
𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0
298
Bases Matemáticas
onde 𝑎, 𝑏 são números reais e 𝑎 ≠ 0.
Uma inequação linear pode ser facilmente resolvida utilizando as propriedades de ordem
de R.
299
A Álgebra
Propriedades das desigualdades
1. Compatibilidade com a soma
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R, 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐
2. Compatibilidade com a multiplicação
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R, 𝑎 ≤ 𝑏 e 0 ≤ 𝑐 ⇒ 𝑎𝑐 ≤ 𝑏𝑐
3. Compatibilidade com a multiplicação
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ R, 𝑎 ≤ 𝑏 e 0 ≥ 𝑐 ⇒ 𝑎𝑐 ≥ 𝑏𝑐
As propriedades acimas foram formuladas para ≤ mas podem ser reformuladas para <, >, ≥
Exemplo 1.13 Resolva a inequação
1
5
𝑥 + 125 ≤ 335.
Solução:
Subtraindo 125 de ambos os lados da equação temos :
1
5
𝑥+125−125 ≤ 335−125 ⇒
1
5
𝑥 ≤ 210
Multiplicando ambos os lados da equação por 5 temos:
𝑥 ≤ 1050
Logo 𝑆𝑜𝑙 = {𝑥 ∈ R|𝑥 ≤ 1050} ◁
Exemplo 1.14 Resolva a inequação −3𝑥 +12 > 15.
Solução:
Subtraindo 12 de ambos os lados da equação temos : −3 𝑥 + 12 − 12 > 15 − 12 ⇒ −3𝑥 > 3
Multiplicando ambos os lados da equação por −
1
3
(o que reverte o sinal de desigualdade)
temos:
𝑥 < −1
Logo 𝑆𝑜𝑙 = {𝑥 ∈ R|𝑥 < −1} ◁
Agora vamos analisar o caso em que a equação envolve um polinômio de maior grau. Para
isso precisamos do seguinte resultado sobre as raízes de um polinômio:
Sejam 𝑥
1
, 𝑥
2
, . . . , 𝑥
𝑚
as raízes distintas de 𝑎
𝑛
𝑥
𝑛
+ 𝑎
𝑛−𝑎
𝑥
𝑛−1
+ ··· + 𝑎
0
, podemos supor sem
perda de generalidade que as raízes estão ordenadas de modo que
𝑥
1
< 𝑥
2
< ··· < 𝑥
𝑚
.
300
Bases Matemáticas
Um fato importante, que no contexto atual não podemos demonstrar¹, é que as expressões po-
linomiais só trocam de sinais nas raízes, ou seja, em cada um dos intervalos (−∞, 𝑎
1
), (𝑎
1
, 𝑎
2
), ··· , (𝑎
𝑛−1
, 𝑎
𝑛
), (𝑎
𝑛
, ∞)
temos que necessariamente 𝑝(𝑥) > 0 ou 𝑝(𝑥) < 0. Em particular, um polinômio sem raízes
reais é sempre positivo ou negativo.
Inequações Quadráticas e Polinomiais
Uma inequação quadrática é uma desigualdade que pode ser colocada em uma das for-
mas:
𝑎𝑥
2
+
𝑏𝑥
+
𝑐
<
0
𝑎𝑥
2
+
𝑏𝑥
+
𝑐
≤
0
(A.17)
𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 (A.18)
onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 são números reais e 𝑎 ≠ 0
Para resolver uma inequação quadrática começamos colocando-a numa das formas descri-
tas acima. Feito isso resolvemos a equação 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. Feito isso divida a reta real em
intervalos abertos delimitados pelas soluções da equação. Finalmente escolhemos um ponto
representativo em cada intervalo aberto. Se a inequação for satisfeita por esse ponto então
todos os pontos do intervalo satisfazem a inequação. Feito isso resta apenas analisar as raízes
da equação. Estas últimas pertencem ao conjunto solução da inequação somente nos casos
≤, ≥.
Exemplo 1.15 Resolva a inequação 𝑥
2
− 7𝑥 + 10 < 0
Solução: Neste caso as raízes de 𝑥
2
− 7𝑥 + 10 = 0 são 2 e 5. As raízes dividem a reta real em
três intervalos abertos (−∞, 2), (2, 5) e (5, ∞).
0
1 2 3 4 5 6−1−2
b b
Podemos escolher como pontos representativos desses intervalos os números 0, 3 e 7. Se
𝑥 = 0, a inequação se reduz a 0
2
− 7 · 0 + 10 < 0 ou seja 10 < 0, que é uma armação falsa.
Dessa forma nenhum ponto no intervalo (−𝑖𝑛 𝑓 𝑡𝑦, 2) é solução.
Se 𝑥 = 3, a inequação se reduz a 3
2
− 7 · 3 + 10 < 0 ou seja −2 < 0, que é uma armação
verdadeira. Dessa forma todos os pontos no intervalo (2, 5) são soluções.
Se 𝑥 = 7, a inequação se reduz a 7
2
− 7 · 7 + 10 < 0 ou seja 10 < 0. Dessa forma nenhum
ponto no intervalo (2, ∞) é solução.
As raízes não são soluções. Logo temos que o conjunto solução é (2, 5).
0
1 2 3 4 5 6−1−2
bc bc
¹a demonstração defende fundamentalmente da propriedade de continuidade dos polinômios
301
A Álgebra
◁
Exemplo 1.16 Se 𝑎 > 0, para que valores de 𝑥,
𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0.
Solução: Vamos dividir a análise em possíveis casos:
Caso (i): O polinômio 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 tem duas raízes distintas 𝑥
1
< 𝑥
2
e assim pode ser
escrito como: 𝑎𝑥
2
+𝑏𝑥 +𝑐 = 𝑎(𝑥 −𝑥
1
)(𝑥 −𝑥
2
) Nesse caso o polinômio tem sinal constante nos
intervalos (−∞, 𝑥
1
) (𝑥
1
, 𝑥
2
) e (𝑥
2
, ∞). Como (𝑥 − 𝑥
1
) > 0 se 𝑥 > 𝑥
1
e (𝑥 − 𝑥
1
) < 0 se 𝑥 < 𝑥
1
.
Como (𝑥 − 𝑥
2
) > 0 se 𝑥 > 𝑥
2
e (𝑥 − 𝑥
1
) < 0 se 𝑥 < 𝑥
2
.
(𝑥 − 𝑥
1
)
(𝑥 − 𝑥
2
)
(𝑥 − 𝑥
1
)(𝑥 − 𝑥
2
)
++
−
− −
+
+
−
+
b
𝑥
1
b
𝑥
2
b
𝑥
1
b
𝑥
2
b
𝑥
1
b
𝑥
2
Logo temos que 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 se 𝑥
1
< 𝑥 < 𝑥
2
Caso (ii): O polinômio 𝑎𝑥
2
+𝑏𝑥 + 𝑐 tem uma raiz de multiplicidade 2 𝑥
1
< 𝑥
2
e assim pode
ser escrito como: 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥
1
)
2
. E nesse caso nunca é menor que zero, pois 𝑎 é
positivo e (𝑥 − 𝑥
1
)
2
é não negativo. Logo 𝑆𝑜𝑙 = ∅
Caso (iii): O polinômio 𝑎𝑥
2
+𝑏𝑥 +𝑐 não tem raízes reais. Logo, 𝑎𝑥
2
+𝑏𝑥 +𝑐 é sempre positivo
ou sempre negativo. Avaliando a expressão em 𝑥 = 0 temos que 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 tem o mesmo
sinal que 𝑐, mas como 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 < 0 ⇔ 𝑎𝑐 >
𝑏
2
4
, e assim o produto de 𝑎𝑐 é positivo, ou seja 𝑎
e 𝑐 tem o mesmo sinal. Concluímos assim que se 𝑎 > 0 (então 𝑐 > 0) e o polinômio é sempre
positivo e assim o problema inicial não tem solução.
◁
Exercícios
Ex. 1.12 — Dado 𝑎 > 0, para que valores de 𝑥, 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0?
Ex. 1.13 — Dado 𝑎 < 0, para que valores de 𝑥, 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0?
302
Bases Matemáticas
Exemplo 1.17 Determine as soluções de
(𝑥 − 1)(𝑥 − 5)
3
(𝑥 − 9)(𝑥
2
+ 9) ≥ 0
Solução: Como o polinômio 𝑥
2
+ 9 é sempre positivo a inequação anterior é equivalente à
(𝑥 − 1)(𝑥 − 5)
3
(𝑥 − 9)
Como as raízes do ultimo polinômio são 1, 5 e 9, só temos que considerar os seguintes inter-
valos (−∞, 1), (1, 5), (5, 9) e (9, ∞).
Vamos considerar cada um deles separadamente:
Caso (i): Se 𝑥 ∈ (−∞, 1) então:
(𝑥 − 1)(𝑥 − 5)
3
(𝑥 − 9) < 0.
Caso (ii): Se 𝑥 ∈ (1, 5) então:
(𝑥 − 1)(𝑥 − 5)
3
(𝑥 − 9) > 0.
Caso (iii): Se 𝑥 ∈ (5, 9) então
(𝑥 − 1)(𝑥 − 5)
3
(𝑥 − 9) < 0.
Caso (iv): Se 𝑥 ∈ (9, ∞) então
(𝑥 − 1)(𝑥 − 5)
3
(𝑥 − 9) > 0.
Finalmente observe que as raízes também são soluções e assim, pela análise dos casos,
temos que o conjunto solução é 𝑆𝑜𝑙 = [1, 5] ∪[9, ∞).
◁
Exercícios
Ex. 1.14 — Resolva as seguintes desigualdades:
a) 6 + 𝑥 − 𝑥
2
≥ 0
b) 𝑥
2
− 1 > 0
c) 𝑥
2
− 4 ≤ 0
d) 2 − 𝑥 − 𝑥
2
≥ 0
e) 𝑥
2
+ 2𝑥 + 1 ≤ 0
f) (2𝑥 + 3)
2
≤ 4
g) (3𝑥 − 1)
2
> 9
h) (𝑥 − 𝜋)
3
(𝑥 + 𝜋)(𝑥 +
√
𝜋)
16
> 0
303
A Álgebra
i) (𝑥 −
𝜋
2
)(𝑥 + 𝜋)(𝑥 +
√
3)
15
> 0
j)
3
2 − 2𝑥
+
15
2 + 4𝑥
< 1
k)
2
2 − 𝑥
>
6
3 − 𝑥
l)
4𝑥
2
− 6𝑥 + 2
4𝑥
2
+ 6𝑥 + 2
≥ 1
m)
𝑥 − 5
4𝑥
2
− 4𝑥 − 3
< 0
n)
𝑥 + 4
2𝑥
< 3
o)
1
𝑥
< 3
p) −2 <
1
𝑥
< 3
q)
2𝑥 + 3
3𝑥 + 1
< 1
r)
4𝑥 − 2
𝑥 + 4
≥ 2
s) 2 ≤
4𝑥 − 2
𝑥 + 4
< 3
t) 5 < 2𝑥 + 7 ≤ 13
A.3.2 Inequações Envolvendo Raízes
Para lidarmos com inequações envolvendo raízes quadradas, precisamos poder elevar ao
quadrado, o que, como vimos, pode gerar falsas raízes. A introdução de falsas raízes é um
problema contornável para equações com um número nito de soluções pois podemos veri-
car quais dos valores encontrados são realmente raízes do problema original. Porém no caso
de inequações a situação é mais complicada pois genericamente as soluções são intervalos, o
que elimina a possibilidade de vericar se introduzimos falsas raízes.
Um modo de evitar a introdução de falsas raízes é garantindo que ambas as expressões
que serão elevadas ao quadrado são positivas. Ou seja se 𝑓 (𝑥) e 𝑔(𝑥) forem ambas positivas
então temos que as equações 𝑓 (𝑥)
2
= 𝑔(𝑥)
2
e 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥) são equivalentes, ou seja, possuem
as mesmas raízes.
A equivalência das equações é consequência do fato de existir uma única solução positiva
para a equação 𝑥
2
= 𝑎, se 𝑎 > 0 (𝑥 =
√
𝑎).
Vejamos como utilizar esse fato para resolver inequações envolvendo raízes.
Exemplo 1.18 Resolva a desigualdade
√
𝑥 + 2 −
√
3 − 𝑥 > 1.
Solução: Veja que o domínio da equação acima é 𝐷 = [−2, 3]. Temos ainda que a equação
304
Bases Matemáticas
acima é equivalente a
√
𝑥 − 2 > 1 +
√
3 − 𝑥.
Como ambos os lados são positivos, elevando ao quadrado e simplicando temos a seguinte
desigualdade equivalente:
2𝑥 − 2 > 2
√
3 − 𝑥.
Temos dois casos a considerar:
Caso (i): Se 2𝑥 − 2 < 0, ou seja 𝑥 < 1, então o lado esquerdo da desigualdade anterior é
negativo e o direito positivo, o que é um absurdo, logo a equação não é satisfeita.
Caso (ii): Se 2𝑥 − 2 > 0, ou seja 𝑥 > 1, então ambos os lados da inequação são positivos.
Quadrando ambos os lados e simplicando temos a desigualdade equivalente:
4𝑥
2
− 4𝑥 − 8 > 0
cujas soluções são dadas por 𝑥 ∈ (−∞, −1) ∪ (2, ∞). Como neste caso estamos considerando
apenas valores que satisfazem 𝑥 > 1 e que pertençam ao domínio temos que o conjunto so-
lução é (2, 3]. ◁
Exemplo 1.19
p
9 −
√
2 − 𝑥 −
√
−𝑥 + 6 > 0,
Solução: Começamos observando que a inequação acima só está denida se as três condições
abaixo são satisfeitas:
−𝑥 + 6 > 0 ⇒ 𝑥 ≤ 6
2 − 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥 ≤ 2
9 −
√
2 − 𝑥 ≥ 0 ⇒ 9 ≥
√
2 − 𝑥 ⇒ 81 ≥ 2 − 𝑥 ⇒ 𝑥 ≥ −79
Assim temos que o domínio da inequação é 𝐷 = [−79, 2].
Note agora que transpondo o termo
√
−𝑥 + 6 para o outro lado da inequação temos a ine-
quação equivalente:
q
9 −
√
2 − 𝑥 >
√
−𝑥 + 6
Como ambos os lados são positivos, podemos elevar ao quadrado cada lado, obtendo
⇔ 9 −
√
2 − 𝑥 > −𝑥 + 6
que é equivalente a:
𝑥 + 3 >
√
2 − 𝑥 (A.19)
Note que
√
2 − 𝑥 ≥ 0, assim temos que se 𝑥 −3 deve ser necessariamente maior que zero,
ou seja, 𝑥 > −3 para que a equação anterior possua solução.
305
A Álgebra
Se 𝑥 > −3 então ambos os lados da equação são positivos e podemos elevar ao quadrado e
assim:
⇔
(
𝑥 + 3
)
2
> 2 − 𝑥
⇔ 𝑥
2
+ 7𝑥 + 7 > 0
O conjunto solução da última desigualdade é
−∞, −
1
2
√
21 −
7
2
∪
1
2
√
21 −
7
2
, ∞
.
As seguintes condições apareceram na resolução do problema:
O domínio é [−89, 2].
Necessariamente 𝑥 > −3 pela consideração sobre a inequação (A.19).
e 𝑥 ∈
−∞, −
1
2
√
21 −
7
2
∪
1
2
√
21 −
7
2
, ∞
Como −
1
2
√
21 −
7
2
−5. 791 3 e
1
2
√
21 −
7
2
−1. 208 7
Fazendo a intersecção dos intervalos acima, temos;
𝑆𝑜𝑙 = {𝑥 ∈ R|
1
2
√
21 −
7
2
< 𝑥 ≤ 2
◁
A.3.3 Inequações Envolvendo Módulos
Exemplo 1.20 Resolva a desigualdade |𝑥
2
− 1| − 2𝑥 ≤ 0
Solução: Temos dois casos a considerar:
Caso (i): 𝑥
2
− 1 ≥ 0, ou seja 𝑥 ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞).
Nesse caso, |𝑥
2
− 1| = 𝑥
2
− 1 e a inequação ca:
𝑥
2
− 2𝑥 − 1 < 0.
O conjunto solução dessa última desigualdade é (1 −
√
2, 1 +
√
2).
Como 𝑥 ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞) e 𝑥 ∈ (1 −
√
2, 1 +
√
2) temos que as soluções nesse caso são
𝑥 ∈ [1, 1 +
√
2).
Caso (ii): 𝑥
2
− 1 ≤ 0 ou seja 𝑥 ∈ (−1, 1).
Nesse caso como |𝑥
2
− 1| = −𝑥
2
+ 1 e a inequação ca:
𝑥
2
+ 2𝑥 − 1 > 0.
306
Bases Matemáticas
As soluções da última desigualdade são:
𝑥
∈ (−∞
,
−
1
−
√
2) ∪ (−1 +
√
2, ∞).
Finalmente exigindo que 𝑥 ∈ (−1, 1) e que 𝑥 ∈ (−∞, −1 −
√
2) ∪ (−1 +
√
2, ∞) temos que o
conjunto solução é (−1 +
√
2, 1).
Logo o conjunto solução da inequação é
𝑆𝑜𝑙 = (−1 +
√
2, 1) ∪ [1, 1 +
√
2) = (−1 +
√
2, 1 +
√
2).
◁
Exercícios
Ex. 1.15 — Resolva as seguintes desigualdades
a)
|
𝑥 − 2
|
−
|
𝑥 + 2
|
> 2.
b)
|
𝑥 − 2
|
− 𝑥
|
𝑥 + 2
|
< 1.
c)
1
2 − 𝑥
+
5
2 + 𝑥
< 1.
d)
2𝑥 − 5
𝑥
2
− 6𝑥 − 7
<
1
𝑥 − 3
.
e)
(
𝑥 + 1
)
(3 − 𝑥)
(
𝑥 − 2
)
2
≥ 0.
f)
2 − 𝑥
2
1 − 𝑥
< 𝑥.
g)
√
1 − 3𝑥 −
√
5 + 𝑥 > 1.
h)
p
4 −
√
1 − 𝑥 −
√
2 − 𝑥 > 0.
i)
𝑥 − 𝜋
4𝑥
2
− 3𝑥 − 3
> 0.
j)
1 − 𝑥
2 − 𝑥
2
≤
1
𝑥
.
k)
1
2 − 𝑥
+
5
2 + 𝑥
> 1.
l)
9
|
𝑥 − 5
|
− 3
>
|
𝑥 − 2
|
.
307
B Fórmulas da Álgebra, da
Geometria e da
Trigonometria
Lei dos Expoentes
𝑎
𝑛
𝑎
𝑚
= 𝑎
𝑛
+ 𝑚 (𝑎
𝑚
)
𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛 (𝑎𝑏)
𝑛
= 𝑎
𝑛
𝑏
𝑛
𝑎
𝑚/𝑛
=
𝑛
√
𝑎
𝑚
em particular:
𝑎
1/𝑛
=
𝑛
√
𝑎
Se 𝑎 ≠ 0 então
𝑎
𝑚−𝑛
=
𝑎
𝑚
𝑎
𝑛
𝑎
−𝑛
=
1
𝑎
𝑛
𝑎
0
= 1
Fórmula de Baskhara
A equação quadrática
𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑎 ≠ 0
tem como soluções:
𝑥 =
−𝑏 ±
√
𝑏
2
− 4𝑎𝑐
2𝑎
Fatoração e Produtos Notáveis
𝑥
2
− 𝑦
2
= (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)
(𝑥 + 𝑦)
2
= 𝑥
2
+ 2𝑥𝑦 + 𝑦
2
(𝑥 − 𝑦)
2
= 𝑥
2
− 2𝑥𝑦 + 𝑦
2
(𝑥 + 𝑦)
3
= 𝑥
3
+ 3𝑥
2
𝑦 + 3𝑦
2
𝑥 + 𝑦
3
(𝑥 − 𝑦)
3
= 𝑥
3
− 3𝑥
2
𝑦 + 3𝑦
2
𝑥 − 𝑦
3
309
B Fórmulas da Álgebra, da Geometria e da Trigonometria
𝑥
3
+ 𝑦
3
= (𝑥 + 𝑦)(𝑥
2
− 𝑥𝑦 + 𝑦
2
)
𝑥
3
− 𝑦
3
= (𝑥 − 𝑦)(𝑥
2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦
2
)
Fórmula Binomial
𝑛
𝑘
!
:=
𝑛!
𝑘!(𝑛 − 𝑘)!
(𝑎 + 𝑏)
𝑛
=
𝑛
Õ
𝑖=0
𝑛
𝑖
!
𝑎
𝑛−𝑖
𝑏
𝑖
Áreas e Volumes
𝐴 = 𝑏ℎ
𝑏
ℎ
𝐴 = 𝑏ℎ
𝑏
ℎ
𝐴 =
1
2
𝑏ℎ
𝑏
ℎ
𝐴 =
1
2
(𝑏
1
+ 𝑏
2
)ℎ
𝑏
2
𝑏
1
ℎ
𝐴 = 𝜋𝑟
2
b
𝑟
Fórmulas Trigonométricas
Fórmulas de Peridiocidade
sen(𝑥 + 2𝑘𝜋) = sen 𝑥, para todo 𝑥 ∈ R, para todo 𝑘 ∈ Z
cos(𝑥 + 2𝑘𝜋) = sen 𝑥, para todo 𝑥 ∈ R, para todo 𝑘 ∈ Z
Fórmulas de Redução
sen(−𝑥) = −sen(𝑥)
cos(−𝑥) = cos(𝑥)
tan(−𝑥)− = tan(𝑥)
310
Bases Matemáticas
Fórmulas de Soma e Diferença
sen(𝑥 ± 𝑦) = sen 𝑥 cos 𝑦 ± sen 𝑦 cos 𝑥, para todo 𝑥, 𝑦 ∈ R
cos(𝑥 ± 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 − sen 𝑥 sen 𝑦, para todo 𝑥, 𝑦 ∈ R
tan(𝑥 + 𝑦) =
tan 𝑥 +tan 𝑦
1 + tan 𝑥 tan 𝑦
Fórmulas de Arco Duplo
sen 2𝑥 = 2 sen 𝑥 cos 𝑥
cos 2𝑥 = cos
2
𝑥 − sen
2
𝑥
tan 2𝑥 =
2 tan 𝑥
1 − tan
2
𝑥
Fórmulas de Redução de Potência
sen
2
𝜃
2
=
1
2
(
1 − cos 𝜃
)
cos
2
𝜃
2
=
1
2
(
1 + cos 𝜃
)
311
Respostas de Alguns Exercícios
313
Bases Matemáticas
Respostas de Alguns Exercícios
Respostas dos Exercícios
Capítulo 1
1.1 a.)∃𝑛 ∈ R | 𝑛
2
= 2 b.)não ∃𝑥 ∈ Q | 𝑥
2
= 2 f.)∀𝑥 ∈ R, ∃𝑦 ∈ R | 𝑥 + 𝑦 = 0
1.3 a.){0, 1, 2, 3} c.){4, 5, 6, 7 } e.){2, 3, 5, 7, 11, 13}
1.4 a.)
Exemplos: qualquer número real maior que 1. Contraexemplos: qualquer número real menor
igual a 1. b.)Exemplos: letra a. Contraexemplos: letras b,n
1.9 b.)Contrapositiva: 𝑞 ⇒ 𝑝. Recíproca: não 𝑞 ⇒ não 𝑝. Inversa: 𝑝 ⇒ 𝑞. d.)Contrapositiva: “Se vou
trabalhar então não chove”. Recíproca: “Se não vou trabalhar então chove”. Inversa: “Se não chove
então vou trabalhar.
1.10 a.)verdadeiro c.)falso e.)verdadeiro
1.11 a.)Condição necessária, mas não suciente. b.)Condição suciente, mas não necessária. e.)Condição
necessária, mas não suciente. f.)Condição necessária e suciente.
1.16 a.)Para todo número real 𝑥 existe um 𝑦 tal que 𝑥 < 𝑦. Ou seja, para qualquer número real 𝑥
existe um número real 𝑦 que é maior que 𝑥. Armação Universal. Contra-exemplos: não possui. Um
contra-exemplo seria um número real 𝑥 para o qual não existisse um número real 𝑦 tal que 𝑥 < 𝑦.
b.)Existe um 𝑦 tal que para todo 𝑥, 𝑥 menor que 𝑦. Armação particular. Armação falsa, pois para
qualquer número real 𝑦, 𝑦 +1 não é menor que 𝑦.
1.17 a.)∀𝑥, ∀𝑦, 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥. c.)∃𝑒 |∀𝑥, 𝑥 + 𝑒 = 𝑥.
1.18 a.)Verdadeira. b.)Existe 𝑦 tal que para todo 𝑥, 2𝑥 − 𝑦 = 0. Falsa, pois se 𝑥 = 0 então 𝑦 = 0, e se
𝑥 = 1 então 𝑦 = 2. c.)A armação nos diz que existe dois números cuja soma é 100. Verdadeira pois
15 +85 = 100.
1.21 Como 𝑎 divide 𝑏, temos que existe um inteiro 𝑘
1
tal que 𝑏 = 𝑎𝑘
1
. De modo análogo, como
𝑏 divide 𝑐, temos que existe um inteiro 𝑘
2
tal que 𝑐 = 𝑏𝑘
2
, logo 𝑐 = 𝑎𝑘
1
𝑘
2
. Como produto de
inteiros é inteiro, 𝑘
1
𝑘
2
é inteiro temos por denição que 𝑎 divide 𝑐.
1.22 Dica: use a mesma estratégia que foi usada para provar que
√
2 é irracional.
1.22 Dica: use a mesma estratégia que foi usada para provar que não existem soluções inteiras
positivas para a equação 𝑥
2
− 𝑦
2
= 1. Note que se 𝑎, 𝑏 ∈ Z e 𝑎𝑏 = 10 então podemos assumir
que 𝑎 = 2 ou 𝑎 = −2 e 𝑏 = 5 ou 𝑏 = −5.
315
1.22 Dica: Por redução ao absurdo, suponha que existe um racional
𝑝
/𝑞 (podemos assumir
que 𝑝 e 𝑞 são coprimos, ou seja que a fração é irredutível) que satisfaz a equação. Expanda e
mostre que 𝑝 divide 𝑞. Conclua
Capítulo 2
2.1 a.)Pelo argumento de vacuidade, a armação é verdadeira. b.)O conjunto à direita contém um
único elemento, que é exatamente o conjunto vazio. Logo, é um elemento de { } e a armação é
verdadeira. c.)Como visto no item anterior, o conjunto à direita contém um elemento, logo não pode
ser vazio. A igualdade é falsa.
2.7 a.){1, 2, 3, 4} b.){2, 3, 4} e.){5, 7}
2.14 a.)Demonstração que 𝐴 ∩ 𝐴 ⊂ 𝐴: se 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴 então 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐴 logo 𝑥 ∈ 𝐴.
Demonstração que 𝐴 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐴: se 𝑥 ∈ 𝐴 então 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐴 logo 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐴.
d.)Se 𝑥 ∈ 𝐴 então 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵, logo 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵.
g.)Demonstração que 𝐴 ∩ ∅ ⊂ ∅: se 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ ∅, então 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ ∅ logo 𝑥 ∈ ∅.
Demonstração que ∅ ⊂ 𝐴 ∩ ∅: se 𝑥 ∈ ∅, então por vacuidade temos que 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ ∅. Logo 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ ∅.
h.)Demonstraremos apenas uma das contenções, que 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) ⊂ 𝐴: se 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) então
𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵. Dois casos: ou 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵, no segundo caso temos então 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐵 e
logo 𝑥 ∈ 𝐴. Em ambos os casos 𝑥 ∈ 𝐴.
k.)
Demonstraremos apenas uma das contenções, que
𝒫
(
𝐴
)∩
𝒫
(
𝐵
) ⊂
𝒫
(
𝐴
∩
𝐵
)
. Se
𝐶
∈
𝒫
(
𝐴
)∩
𝒫
(
𝐵
)
então 𝐶 ∈ 𝒫( 𝐴)e 𝐶 ∈ 𝒫(𝐵)e pela denição de conjunto potência, 𝐶 ⊂ 𝐴 e 𝐶 ⊂ 𝐵, logo se 𝑐 ∈ 𝐶 temos
que 𝑐 ∈ 𝐴 e 𝑐 ∈ 𝐵, ou seja 𝑐 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵, ou seja 𝐶 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵, e logo 𝐶 ∈ 𝒫(𝐴 ∩ 𝐵).
2.16 a.)Se 𝑥 ∈ 𝐴 então, como 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝑥 ∈ 𝐵. Como por hipótese 𝐵 ⊂ 𝐶. se 𝑥 ∈ 𝐵 então 𝑥 ∈ 𝐶.
d.)Demonstraremos primeiramente que se 𝐴 ⊂ 𝐵 então 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵. Nesse caso provaremos que se
𝐴 ⊂ 𝐵 então 𝐴 ∪ 𝐵 ⊂ 𝐵 e que se 𝐴 ⊂ 𝐵 então 𝐵 ⊂ 𝐴 ∪ 𝐵.
Se 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵, então 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵. No caso em que 𝑥 ∈ 𝐴, usando que por hipótese 𝐴 ⊂ 𝐵 temos
que 𝑥 ∈ 𝐵.
Se 𝑥 ∈ 𝐵 então 𝑥 ∈ 𝐵 ou 𝑥 ∈ 𝐴, e assim 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵.
Agora demonstraremos que se 𝐴 ∪𝐵 = 𝐵 então 𝐴 ⊂ 𝐵. Seja 𝑥 ∈ 𝐴, então 𝑥 ∈ 𝐴 ∪𝐵 e como 𝐴 ∪𝐵 = 𝐵
então 𝑥 ∈ 𝐵.
Capítulo 3
3.4 b.)
Comecemos com vericar a condição PIF 1.
P(1) =”1 = 1
2
”
Logo, 𝑃(1)é verdadeira. Para vericar a condição PIF 2, devemos tomar um número natural positivo
qualquer 𝑘 ∈ N e mostrar que vale a implicação 𝑃(𝑘) ⇒ 𝑃(𝑘 +1). Em outras palavras, devemos supor
que 𝑃(𝑘) é verdadeira (hipótese indutiva) e mostrar que 𝑃(𝑘 +1) é verdadeira. Logo, a nossa hipótese
indutiva é
316
Bases Matemáticas
1 +3 + 5 + ··· + (2𝑘 − 1) = 𝑘
2
Reescrevendo 𝑃(𝑘 + 1) e usando a hipótese indutiva temos :
1 +3 + 5 + ··· + (2𝑘 − 1) +(2(𝑘 + 1) − 1)
= 𝑘
2
+ 2𝑘 + 1
= (𝑘 + 1)
2
Assim, vericamos que, se 𝑃(𝑘)é verdadeira, também o é 𝑃(𝑘 +1). Donde, pelo PIF, concluímos que
𝑃(𝑛) é verdadeira para todo natural 𝑛 ≥ 1, i.e. para todo natural positivo.
3.5 Comecemos com vericar a condição PIF 1.
𝑃(1) = “1 + 2 = 2
1+1
− 1
(B.1)
𝑃(1) = “3 = 3
verdadeira (B.2)
Logo, 𝑃(1)é verdadeira. Para vericar a condição PIF 2, devemos tomar um número natural
positivo qualquer 𝑘 ∈ N e mostrar que vale a implicação 𝑃(𝑘) ⇒ 𝑃(𝑘 +1). Em outras palavras,
devemos supor que 𝑃(𝑘)é verdadeira (hipótese indutiva) e mostrar que 𝑃(𝑘 +1)é verdadeira.
Logo, a nossa hipótese indutiva é
1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ ··· + 2
𝑘
= 2
𝑘+1
− 1
Reescrevendo 𝑃(𝑘 + 1) e usando a hipótese indutiva:
1 + 2 + 2
2
+ ··· + 2
𝑘
+ 2
𝑘+1
= 2
𝑘+1
− 1 +2
𝑘+1
= 2(2
𝑘+1
) − 1
= (2
𝑘+2
) − 1
Assim, vericamos que, se 𝑃(𝑘) é verdadeira, também o é 𝑃(𝑘 + 1). Donde, pelo PIF, con-
cluímos que 𝑃(𝑛) é verdadeira para todo natural 𝑛 ≥ 1, i.e. para todo natural positivo.
3.6 d.)Comecemos com vericar a condição PIF 1.
𝑃(1) = “1 + 2 = 2
1+1
− 1
𝑃(1) = “3 = 3
verdadeira
Logo, 𝑃(1)é verdadeira. Para vericar a condição PIF 2, devemos tomar um número natural positivo
qualquer 𝑘 ∈ N e mostrar que vale a implicação 𝑃(𝑘) ⇒ 𝑃(𝑘 +1). Em outras palavras, devemos supor
que 𝑃(𝑘) é verdadeira (hipótese indutiva) e mostrar que 𝑃(𝑘 +1) é verdadeira. Logo, a nossa hipótese
indutiva é
1 +2 + 2
2
+ 2
3
+ ··· + 2
𝑘
= 2
𝑘+1
− 1
317
Usando a hipótese de indução, queremos demonstrar 𝑃(𝑘 + 1), reescrevendo 𝑃(𝑘 + 1) e usando a
hipótese indutiva temos:
1 +2 + 2
2
+ 2
3
+ ··· + 2
𝑘
+ 2
𝑘
+ 1 = 2
𝑘+1
− 1 + 2
𝑘+1
= 2(2
𝑘+1
) −1
= (2
𝑘+2
) −1
3.9 Comecemos com vericar a condição PIF 1.
𝑃(2) = “(1 + 𝑥)
2
> 1 +2𝑥
𝑃(2) = “1 +2𝑥 + 𝑥
2
> 1 +2𝑥
como 𝑥 > 0, 𝑃(2) é verdadeira
Logo, 𝑃(2)é verdadeira. Para vericar a condição PIF 2, devemos tomar um número natural
positivo qualquer 𝑘 ∈ N e mostrar que vale a implicação 𝑃(𝑘) ⇒ 𝑃(𝑘 +1). Em outras palavras,
devemos supor que 𝑃(𝑘)é verdadeira (hipótese indutiva) e mostrar que 𝑃(𝑘 +1)é verdadeira.
Logo, a nossa hipótese indutiva é
(1 + 𝑥)
𝑘
> 1 + 𝑘𝑥
Usando a hipótese de indução, queremos demonstrar 𝑃(𝑘 + 1), reescrevendo 𝑃(𝑘 + 1) e
usando a hipótese indutiva temos:
(1 + 𝑥)
𝑘+1
= (1 + 𝑥)((1 + 𝑥)
𝑘
)
≥ (1 + 𝑥)(1 + 𝑘𝑥)
≥ 1 + 𝑘𝑥 + 𝑥 + 𝑘𝑥
2
≥ 1 + (𝑘 + 1)𝑥
3.10 Comecemos com vericar a condição PIF 1.
𝑃(1) = “
1
1 · 2
=
1
1 · 2
logo 𝑃(1) é verdadeira
Logo, 𝑃(1)é verdadeira. Para vericar a condição PIF 2, devemos tomar um número natural
positivo qualquer 𝑘 ∈ N e mostrar que vale a implicação 𝑃(𝑘) ⇒ 𝑃(𝑘 +1). Em outras palavras,
devemos supor que 𝑃(𝑘)é verdadeira (hipótese indutiva) e mostrar que 𝑃(𝑘 +1)é verdadeira.
Logo, a nossa hipótese indutiva é
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ ··· +
1
𝑘(𝑘 + 1)
=
𝑘
𝑘 + 1
318
Bases Matemáticas
Usando a hipótese de indução, queremos demonstrar 𝑃(𝑘 + 1), reescrevendo 𝑃(𝑘 + 1) e
usando a hipótese indutiva temos:
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ ··· +
1
𝑘(𝑘 + 1)
| {z }
Por hipótese de indução =
𝑘
/𝑘+1
+
1
(𝑘 +1)(𝑘 + 2)
=
=
𝑘
𝑘 + 1
+
1
(𝑘 +1)(𝑘 + 2)
=
𝑘 + 1
𝑘 + 2
3.11 Queremos demonstrar que para todo 𝑛 ∈ Z
∗
+
existe 𝑚 ∈ Z
∗
tal que
2
2𝑛
− 1 = 3𝑚
Comecemos com vericar a condição PIF 1.
𝑃
(
1
)
=
2
2.1
−
1
=
3
·
1
Vamos assumir que 𝑃(𝑘) é verdadeira, i.e., existe 𝑚 ∈ Z
∗
tal que
2
2𝑘
− 1 = 3.𝑚
ou seja, vamos assumir que
2
2𝑘
= 3.𝑚 + 1
Agora vamos demonstrar a implicação 𝑃(𝑘) ⇒ 𝑃(𝑘 +1). Reescrevendo 𝑃(𝑘 +1) e usando a
hipótese indutiva temos:
2
2
(𝑘 +1) − 1 = 2
2𝑘+2
− 1 (B.3)
= 4.22𝑘 − 1 (B.4)
= 4.(3𝑚 + 1) −1 (B.5)
= 12𝑚 + 4 −1 (B.6)
= 3(4𝑚 + 1) (B.7)
(B.8)
E logo 2
2
(𝑘 +1) − 1 é divisível por 3.
3.21 a.)Limitado inferiormente, mas não superiormente inf 𝐴 = 1.
b.)Limitado inferiormente e superiormente sup 𝐵 = 2 inf 𝐵 = 1
d.)Limitado inferiormente, mas não superiormente inf 𝐴 = 1.
f.)Limitado inferiormente e superiormente inf 𝐹 = −
√
3 e 𝑠𝑢𝑝𝐹 =
√
3.
g.)Limitado inferiormente e superiormente.
3.22 a.)Suponha que não fosse, i.e, existem 0 e 0
distintos tais que:
𝑎 + 0 = 𝑎 ∀𝑎
319
𝑎 + 0
= 𝑎 ∀𝑎
Considere então 0 +0
Como 0 = 0 + 0
= 0
Temos um absurdo.
3.23 a.)Por hipótese 𝑎𝑥 = 𝑎 e como 𝑎 ≠ 0 existe 𝑎
−1
Logo 𝑎
−1
(𝑎𝑥) = 𝑥 por um lado
e por outro
𝑎
−1
(𝑎𝑥) = 𝑎
−1
(𝑎) = 1 por outro.
Logo 𝑥 = 1
b.)Calculando (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) usando a distributiva temos:
(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = 𝑥(𝑥 + 𝑦) − 𝑦(𝑥 + 𝑦) = 𝑥
2
+ 𝑥𝑦 − 𝑦𝑥 − 𝑦
2
= 𝑥
2
− 𝑦
2
c.)Se 𝑥
2
= 𝑦
2
temos que 𝑥
2
− 𝑦
2
= 0 o que implica (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 0 o que implica 𝑥 = 𝑦 ou 𝑥 = −𝑦
f.)Como 𝑎 ≤ 𝑏 temos por 𝐴11 que 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐
Por outro lado como 𝑐 ≤ 𝑑 temos por 𝐴11 que 𝑏 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑑 logo por transitividade temos:
𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑑
h.)Como 𝑐 ≥ 𝑑, pelo item b temos −𝑐 ≤ −𝑑 e logo pelo item a temos: 𝑎 − 𝑐 ≤ 𝑏 − 𝑑.
3.25 a.)Como 𝑎 ≤ 𝑏 temos por 𝐴11 que 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑐
Por outro lado como 𝑐 ≤ 𝑑 temos por 𝐴11 que 𝑏 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑑 logo por transitividade temos:
𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑑
c.)Como 𝑐 ≥ 𝑑, pelo item b temos −𝑐 ≤ −𝑑 e logo pelo item a temos: 𝑎 − 𝑐 ≤ 𝑏 − 𝑑.
e.)Como 𝑎 > 1 temos 𝑎 > 0 logo multiplicando ambos os lados da equação 𝑎 > 1 por 𝑎 temos:
𝑎
2
> 𝑎
h.)Como 0 ≤ 𝑎 < 𝑏, multiplicando 𝑎 < 𝑏 por 𝑎 temos:
𝑎
2
< 𝑎𝑏
Como 0 ≤ 𝑎 < 𝑏, multiplicando 𝑎 < 𝑏 por 𝑏 temos:
𝑎𝑏 < 𝑏
2
Logo por transitividade temos: 𝑎
2
< 𝑏
2
.
Capítulo 5
5.4 A palavra tem 10 letras, dessas o A se repete 3 vezes, o M se repete 2 vezes e o T se repete
2 vezes. Desta forma, pelo teorema 5.15, temos que existem :
10!
3!2!2!
= 151200 palavras
5.7 6 · 6 = 36
320
Bases Matemáticas
5.8 6 · 5 = 30
5.9 243
5.11 4536; 2296
5.13 a.)13! b.)6!3!4! c.)6(6!3!4!)
5.14 a.)13!/3! b.)·6! · 4!
5.24 1/6
5.25 5/12
5.26 5/18
5.28 4/9
Capítulo 7
7.3 a.) 𝑓 (𝑥) = 𝑥, 𝑓 (𝑥 + 2) = 𝑥 + 2, 𝑓 (−𝑥) = −𝑥 e
𝑓 (𝑥+ℎ)−𝑓 (𝑥)
ℎ
=
𝑥
+
ℎ
−
𝑥
ℎ
= 1 d.) 𝑓 (𝑥) = 5𝑥
2
+ 1, 𝑓 (𝑥 + 2) =
5(𝑥 + 2)
2
+ 1, 𝑓 (−𝑥) = 5(−𝑥)
2
+ 1 = 5𝑥
2
+ 1 e
𝑓 (𝑥+ℎ)−𝑓 (𝑥)
ℎ
=
5(𝑥+ℎ)
2
+1−5𝑥
2
−1
ℎ
=
5𝑥 ℎ+ℎ
2
ℎ
= 5𝑥 + ℎ
7.4 b.)
0
1 2−1−2
1
2
3
4
|
𝑥
|
3
𝑥
3
d.)
0
2 4 6−2−4−6−8
−
2
sen
|
𝑥
|
sen 𝑥
7.7 a.)
0
2 4 6 8 10−2
−2
2
4
6
8
𝑓 (𝑥)
2 𝑓 (𝑥)
321
b.)
0
2 4 6 8 10−2
−2
−4
2
4
𝑓 (𝑥)
−𝑓 (𝑥)
j.)
0
2 4 6 8 10−2
−2
2
4
6
𝑔(𝑥)
1
2
(𝑔(𝑥) + 1
7.8 a.)
0
0.5 1.0 1.5 2.0−0.5−1.0−1.5−2.0
−0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
|
2𝑥
|
|
2𝑥
|
+ 1
b.)
0
1−1−2−3−4
1
2
3
(𝑥 + 3)
4
𝑥
4
e.)
322
Bases Matemáticas
0
−1−1−2−3−4
−1
1
(𝑥 + 3)
4
− 1
− 1
j.)
0
2−2
−2
2
𝑓
m.)
0
2 4 6− 2−4−6
−2
−4
−6
−8
𝑔
r.)
0
5−5
−5
5
10
𝑓
u.)
0
2−2−4−6−8−10
2
4
6
𝑔
323
7.10 d.)
0
10 20−10−20
5
𝑓
l.)
Capítulo 8
8.5 h.)A sequência 𝑛/𝑛! é não-crescente.
Provaremos por indução que 𝑛 + 1/(𝑛 + 1)! ≤ 𝑛 − 𝑛!.
O caso inicial da indução, 𝑛 = 1 é verdadeiro, pois 2/2! = 1 ≤ 1 = 1/1!.
Suponhamos por hipótese indutiva que a armação seja válida para 𝑘, i.e,
(𝑘 +1)/(𝑘 + 1)! ≤ 𝑘/𝑘!
Multiplicando ambos os lados da equação por (𝑘 + 2)/
(
(𝑘 +1)(𝑘 + 2)
)
temos que:
𝑘 + 2
(𝑘 +2)!
≤
𝑘
(𝑘 +1)!
≤
𝑘 + 1
(𝑘 +1)!
.
O que prova o caso 𝑘 + 1 a partir do caso 𝑘 e termina a demonstração.
8.10 a.){𝑛 ∈ N | 𝑛 > 10} b.){𝑛 ∈ N | 𝑛 > 999} c.){𝑛 ∈ N | 𝑛é par} d.){𝑛 ∈ N | 𝑛 > 1000}
8.11 a.)Sim b.)Sim c.)Não d.)Sim
8.12 a.)𝑚 = 2 (na realidade m pode ser qualquer natural maior igual à 2. b.)𝑚 = 10
2
3 +1 c.)𝑚 = 40003
d.)𝑚 = 24
8.13 a.)𝑚 =
1
𝜖
+ 1 b.)𝑚 =
1+𝜖
𝜖
+ 1 c.)𝑚 =
1−2𝑒
2
𝑒
2
+ 1 d.)𝑚 =
1−6𝑒+9𝑒
2
18𝑒+27𝑒
2
+ 1 e.)Não existe 𝑚 f.)𝑚 =
p
(9 +9𝑒)/𝑒 + 1
324
Bases Matemáticas
8.14 a.){𝑛 ∈ N | 𝑛 > 100 } b.){𝑛 ∈ N | 𝑛 > 100} c.){𝑛 ∈ N | 𝑛 > 4000000} d.){𝑛 ∈ N | 𝑛 é impar e 𝑛 >
10
(
20)} e.){𝑛 ∈ N | 𝑛 é par e 𝑛 > 5}
8.15 a.)Sim b.)Sim c.)Sim d.)Não e.)Não
8.16 a.)𝑚 =
1
2
99 +
√
9797
+ 1 b.)𝑚 = 10 e.)𝑚 =
√
10000000001 +1
8.17 a.)𝑚 = 𝑀 + 1 b.)𝑚 = 𝑀
2
+ 1
8.18 a.)𝑚 = 𝑀
1/4
+ 1
8.29 a.)2 b.)
1
/3 c.)3. Dica divida 3𝑛 +1 por 𝑛 +1 obtendo 3𝑛 +1 = 3(𝑛 +1)−2. Use esse fato para simpli-
car o limite. d.)
q
2
3
. e.)0 f.)
√
5 g.)
9
4
j.)
2
3
. Dica: limite fundamental. k.)
3
7
l.)1. Dica: limite fundamental.
m.)0. Dica: Multiplique e divida pelo conjugado. n.)6 o.)
1
4
p.)−
1
4
8.40 a.)∞ b.)1 c.)
2
3
1/3
d.)−∞ e.)0 f.)0 g.)∞ h.)−∞ j.)−∞ k.)∞ l.)∞ m.)0 n.)−∞ o.)∞ p.)∞ q.)
43
273
r.)∞
s.)∞ t.)−∞ u.)∞
Capítulo 9
9.9 a.)5 b.)
5
4
c.)
5
3
d.)2
9.10 d.)
−𝜋
4
Apêndice A
1.2 a.)9𝑎
2
+ 12𝑎𝑏 + 4𝑏
2
b.)27𝑎
3
+ 54𝑎
2
𝑏 + 36𝑎𝑏
2
+ 8𝑏
3
c.)27𝑎
3
− 54𝑎
2
𝑏 + 36𝑎𝑏
2
− 8𝑏
3
d.)𝑥
4
− 1 e.)−1 +
𝑥
2
− 2𝑥𝑦 + 𝑦
2
f.)𝑎
2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏
2
+ 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 + 𝑐
2
h.)𝑎
4
+ 4𝑎
3
𝑏 + 6𝑎
2
𝑏
2
+ 4𝑎𝑏
3
+ 𝑏
4
1.3 𝑎
2
+
1
𝑎
2
= 𝑏
2
− 2
1.4 a.)
(
𝑎
2
+
𝑏
2
)(
𝑥
+
𝑦
)
b.)
(
2
𝑥
−
1
)(
𝑥
+
2
𝑦
)
c.)
4
(
𝑦
−
2
)(
𝑦
+
2
)
d.)
−(
𝑎
−
𝑏
−
𝑥
)(
𝑎
+
𝑏
+
𝑥
)
e.)
−(
𝑎
+
𝑏
−
𝑥
)(
𝑎
+
𝑏
+
𝑥
)
f.)(1/𝑥
3
+ 𝑥
3
)(−1 +1/𝑥
6
+ 𝑥
6
)
1.5 a.)
5𝑥
2
+ 4𝑥 + 2 =
6𝑥 + 2
5
6
𝑥 +
7
18
+
11
9
− 5𝑥
2
−
5
3
𝑥
7
3
𝑥 +2
−
7
3
𝑥 −
7
9
11
9
b.)
𝑥
2
+ 𝑥 −2 =
𝑥 − 1
𝑥 + 2
− 𝑥
2
+ 𝑥
2𝑥 − 2
− 2𝑥 +2
0
325
c.)
𝑥
2
− 𝑎
2
=
𝑥 − 𝑎
𝑥 + 𝑎
− 𝑥
2
+ 𝑎𝑥
𝑎𝑥 − 𝑎
2
− 𝑎𝑥 + 𝑎
2
0
d.)
𝑥
4
− 256 =
𝑥 − 4
𝑥
3
+ 4𝑥
2
+ 16𝑥 +64
− 𝑥
4
+ 4𝑥
3
4𝑥
3
− 4𝑥
3
+ 16𝑥
2
16𝑥
2
− 16𝑥
2
+ 64𝑥
64𝑥 − 256
− 64𝑥 +256
0
e.)
𝑥
4
− 𝑎
4
=
𝑥 − 𝑎
𝑥
3
+ 𝑎𝑥
2
+ 𝑎
2
𝑥 + 𝑎
3
− 𝑥
4
+ 𝑎𝑥
3
𝑎𝑥
3
− 𝑎𝑥
3
+ 𝑎
2
𝑥
2
𝑎
2
𝑥
2
− 𝑎
2
𝑥
2
+ 𝑎
3
𝑥
𝑎
3
𝑥 − 𝑎
4
− 𝑎
3
𝑥 + 𝑎
4
0
f.)
𝑥
5
+ 𝑥
3
− 2 =
𝑥 − 1
𝑥
4
+ 𝑥
3
+ 2𝑥
2
+ 2𝑥 +2
− 𝑥
5
+ 𝑥
4
𝑥
4
+ 𝑥
3
− 𝑥
4
+ 𝑥
3
2𝑥
3
− 2𝑥
3
+ 2𝑥
2
2𝑥
2
− 2𝑥
2
+ 2𝑥
2𝑥 − 2
− 2𝑥 +2
0
1.6 𝑘 = 12
1.7 a.)
4𝑥𝑦
3(−2 + 𝑥)
5/2
b.)
𝑥
2
− 𝑦
2
5𝑥
2
𝑦
5
c.)−
ℎ + 2𝑥
𝑥
2
(ℎ + 𝑥)
2
d.)
1
−𝑎 + 𝑏
f.)
𝑝𝑞
𝑝 + 𝑞
1.10 a.){
1
4
−1 −
√
73
,
1
4
−1 +
√
73
}b.){−
7
3
}c.){−2, 0, 2}d.){−3, −
√
2,
√
2, 3}e.){ − 5, 5}f.){−
r
3
2
, −1, 1,
r
3
2
}
326
Bases Matemáticas
g.){−
3
2
} h.){ 1, 2
1
2
3 −
√
13 ,
1
2
3 +
√
13 } i.){
2
3
,
3
4
}
1.11 a.){−1, 0, 1} c.){−1} d.){
1
3
} j.){ 5
13 −8
√
2
} k.){5} l.)
1
22
43 +3
√
269
1.14 a.)−2 ≤ 𝑥 ≤ 3 b.)𝑥 < −1 ou 𝑥 > 1 c.)−2 ≤ 𝑥 ≤ 2 h.)𝑥 < −𝜋 ou 𝑥 > 𝜋 i.)−𝜋 < 𝑥 < −
√
3 ou 𝑥 > 𝜋/2
j.)𝑥 < −
1
2
ou 𝑥 > 1 k.)
3
2
< 𝑥 < 2 ou 𝑥 > 3 l.)𝑥 < −1 ou −
1
2
< 𝑥 ≤ 0 m.)𝑥 < −(1/2) ou 3/2 < 𝑥 < 5
n.)𝑥 < 0 ou 𝑥 > 4/5 o.)𝑥 < 0 ou 𝑥 > 1/3 p.)𝑥 < −(1/2) ou 𝑥 > 1/3 q.)𝑥 < −(1/3) ou 𝑥 > 2
327
Respostas dos Problemas
Paradoxo de Russell
O conjunto 𝐶 não pode ser nem exológico nem endológico. De fato, analisemos cada possi-
bilidade. Se 𝐶 fosse exológico, ele seria (pela denição do próprio conjunto 𝐶) um elemento
de 𝐶. Mas ser exológico signica, conforme nossa denição, que 𝐶 não é um elemento de si
mesmo. Ora, isso é uma contradição. Logo, nossa hipótese inicial (isto é, a de 𝐶 ser exológico)
era falsa. Se 𝐶 não é exológico, só lhe resta então ser endológico. Isso signica que 𝐶 contém
a si mesmo. Mas os elementos de 𝐶 são conjuntos exológicos, e novamente encontramos uma
contradição!
Paradoxo de Grelling. Na língua portuguesa, temos adjetivos que podem ser aplicados a si
mesmos: proparoxítono é um adjetivo proparoxítono; comum é um adjetivo comum; curto é um
adjetivo curto (caso não concorde, então pode considerar que longo é um adjetivo longo); mas-
culino é um adjetivo do gênero masculino. E assim por diante. Por outro lado, há adjetivos
(provavelmente a maioria deles) que não se aplicam a si mesmos: azul não é azul; econômico
não é econômico; fanático não é fanático. Vamos agora inventar mais dois termos: chamaremos
de autológico um adjetivo que se aplica a si mesmo; chamaremos de heterológico um adjetivo
que não se aplica a si mesmo. Evidentemente, todo adjetivo ou é autológico ou é heteroló-
gico, certo? Mas cada um desses dois novos termos também é um adjetivo, logo deveria ser
autológico ou heterológico. Pois então, a qual categoria pertence o adjetivo heterológico? Será
um adjetivo autológico? Será heterológico?
Problema do Circuito
A idéia é estudar o problema por indução, tomando como “índice” da indução o número
n de galões dispostos no circuito. O caso mais simples é quando só há um único galão ao
longo do circuito. Nesse caso, pela hipótese do problema (a quantidade total de gasolina é
suciente para dar uma volta completa no circuito), esse galão deve conter toda a gasolina
necessária a completar a volta. Logo, quando n = 1, a resposta do problema é armativa. Su-
ponhamos agora que para um certo número n de galões o problema admita solução, isto é:
qualquer que seja a distribuição de n galões ao longo do circuito (desde que respeitadas as
condições do problema), há sempre ao menos um galão que, tomado como ponto inicial, faz
com que o carro complete a volta. Isso assumido (é a nossa hipótese de indução), vejamos
o que acontece se tivermos n + 1 galões distribuídos ao longo do circuito. Nesse caso, é evi-
dente que existe ao menos um galão (denote-o por 𝐺) cuja gasolina é suciente para que o
carro, abastecendo-se somente com essa quantidade de gasolina, consiga chegar ao próximo
galão (denote-o por 𝐺+). De fato, se assim não fosse, a gasolina total distribuída em todos os
𝑛 + 1 galões não seria suciente para dar a volta completa do circuito. Pois bem, mantendo
328
Bases Matemáticas
intactos os outros 𝑛?1 galões, elimine o galão 𝐺+ transferindo a gasolina nele contida para o
galão G. A nova situação assim construída é equivalente ‘a anterior no seguinte sentido: se
na situação original era possível escolher um galão inicial de modo a completar a volta no
circuito, na nova situação também o é. E vice-versa. Anal, o que zemos foi apenas anteci-
par o versamento da gasolina de 𝐺+ no tanque do carro, o que não faz nenhuma diferença,
uma vez que a gasolina em 𝐺
já era suciente por si só a fazer o carro chegar ao galão G+. Agora, o passo principal foi
dado e já podemos usar a hipótese indutiva. De fato, a nova situação constitui-se de n galões,
nas condições do problema. Mas a nossa hipótese indutiva garante solução nesse caso, logo
o problema original também possui solução.
Monty Hall
A solução errada
A resposta intuitiva ao problema é que quando o apresentador revela uma das portas não
premiadas, o convidado teria à frente um novo dilema com duas portas e um prêmio e, por-
tanto a probabilidade de que o prêmio esteja atrás de cada porta é
1
/2. Desta forma ao abrir
uma das portas, o apresentador teria favorecido o convidado, já que a probabilidade de es-
colher a porta com o carro aumentou de
1
/3 para
1
/2. Porém seria irrelevante realizar a troca
de portas, pois ambas as portas teriam as mesmas chances de possuírem o prêmio.
A solução correta
Contrariando a intuição, no problema de Monty Hall é vantajoso realizar a troca de portas.
Na verdade é duas vezes mais provável ganhar o prêmio ao se optar pela troca de portas.
Para analisarmos as possibilidades, denotaremos a porta ganhadora por A e as portas res-
tantes por B e C. Logo temos três casos:
O participante escolhe a porta A. Então o apresentador abre uma das outras portas,
o que revele uma cabra. Se ele trocar de porta, ele perde. Se ele permanecer com sua
escolha original, ele ganha.
O participante escolhe a porta B. Logo o apresentador abre a porta C. Se ele mudar para
a porta A, ele ganha o carro. Caso contrário, ele perde.
O participante escolhe a porta C. Logo o apresentador abre a porta B. Se ele mudar para
a porta A, ele ganha o carro. Caso contrário, ele perde.
Cada uma das três opções acima tem probabilidade
1
/3 de ocorrer, pois o convidado escolhe
aleatoriamente uma das três portas. Em dois dos casos anteriores, o candidato ganha o carro
se ele mudar de porta, em apenas uma das opções que ele ganha se não trocar portas. Logo
se ele mudar de porta ele ganha o carro em 2 (o número de resultados favoráveis) das 3
opções possíveis (número total de possibilidades). Assim, a probabilidade de ganhar o carro
mudando de portas é
2
/3, e desta forma a estratégia a ser adotada no problema de Monty Hall
é sempre mudar de portas.
329
Índice Remissivo
𝜀-vizinhança , 180
𝑒, 185
aproximação, 232
arranjo, 88
axioma de completude, 60
base, 48
bi-implicação, 14
bicondicional, 14
bijetora, 113
coeciente
principal, 281
combinação, 92
complementar, 39
condicional, 11
condição suciente, 14
condição necessária, 14
conjunto, 29
complementar, 39
das partes, 35
disjuntos, 36
intersecção, 36
potência, 35
união, 35
vazio, 34
conjunto solução, 290, 298
conjunto verdade, 3
conjuntos
iguais, 32
conjunção, 8
Constante de Lipschitz, 264
contido, 32
contradomínio, 109
contraexemplos, 5
contrapositiva, 13
contínua, 248, 250
desigualdade de Lipschitz, 264
diagramas de Venn-Euler, 41
diferença, 38
diferença simétrica, 40
disjuntos, 36
disjunção, 8
divide, 21
domínio
de uma função, 109
de discurso, 2
domínio de uma equação, 290
elemento, 29
equação, 290
linear, 291
quadrática, 291
equações
lineares com coecientes unitários, 95
equivalentes, 290
espaço
amostral, 97
331
Índice Remissivo
de probabilidade, 99
evento, 97
eventos
elementares, 97
independentes, 102
Exemplos, 5
existe, 3
existe e é único, 4
expoente, 48
exponencial, 185
fatoração, 283
fatorial, 212
função, 108
bijetora, 113
contínua, 248, 250
exponencial, 185
injetora, 112
limite, 233, 268
sobrejetora, 112
função logaritmo natural, 275
grau
polinômio, 281
hipótese, 11
imagem, 109
implicação, 11
incógnita, 290
indeterminação, 242, 272
injetora, 112
inteiros, 47
intersecção, 36
inversa, 13
irracional, 22
limitado
superiormente, 61
limitado inferiormente, 62
limite, 217
fundamental, 192
função, 233, 268
lateral, 237
sequência, 173, 175, 180
limite da função, 227
limite lateral , 237, 238
limites, 240, 272
innitos, 202, 205, 271
propriedades, 186, 196, 240, 272
logaritmo, 275
majorante, 61
minorante, 62
naturais, 47
negação, 8
não-crescente, 167, 168
número
impar, 21
irracional, 22
par, 21
racional, 21
número 𝑒, 185
par, 21
para todo, 3
paradoxo
de Russell, 31
pela direita, 238
pela esquerda, 237
permutação, 89
pertence, 29
polinômio, 281
divisão, 284
grau, 281
multiplicação, 281
soma, 281
potência, 48
premissa, 11
princípio
332
Bases Matemáticas
de indução nita, 49
da recursão, 214
de indução nita, 53
fundamental da contagem, 83
multiplicativo, 83
probabilidade, 99
produto cartesiano, 42
produtos
notáveis, 282
produtório, 213
proposição, 1
contrapositiva, 13
inversa, 13
particular, 4
recíproca, 13
universal, 4
quanticador
existencial, 3
universal, 3
racionais, 47
racional, 21
reais, 56
axiomas, 56
completude, 60
reta, 69
recursão
veja recursão 214
recíproca, 13
relação, 107
representação
decimal, 66
reta
real, 69
se e somente se, 14
Segundo Limite Fundamental, 274
sequência, 161, 165
divergente, 180
convergente, 180
crescente, 167, 168
decrescente, 167, 168
limitada, 170
limitadas inferiormente, 170
limitadas superiormente, 169
limite, 175, 180
não-decrescente, 167, 168
termos de uma, 161
sequências
recursivas, 212
limite, 217
limites, 186
recursivas, 164
sobrejetora, 112
solução, 298
somas parciais, 217
somatório, 212
subconjunto, 32
próprio, 33
superconjunto, 32
supremo, 62
série, 217
geométrica, 218
telescópica, 220
séries, 216
convergência, 217
teorema
binomial, 52
do confronto, 191, 200
Teorema do valor Intermediário, 254
Terceiro Limite Fundamental, 276
tese, 11
universo do discurso, 2
união, 35
disjunta, 36
variável
333
