Limites Infinitos e no Infinito

Daniel Miranda
UFABC

Sumário

Introdução

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Limites Infinitos e no Infinito

Limites no Infinito

Definição Limite no Infinito.
Seja $f$ uma função definida para $x>c$ para algum $c\in \bbR$ e seja $L$ um número real. Dizemos que

(1)
\[\limitex{\infty}f(x)=L \]

se para todo $\eps>0$ existe um $\delta>0$ tal que

(2)
\[\text{se } x> \delta \text{ então } \abs{f(x)-L}<\eps. \]

Seja $f$ uma função definida para $x<c$ para algum $c\in \bbR$ e seja $L$ um número real. Dizemos que

(3)
\[\limitex{-\infty}f(x)=L \]

se para todo $\eps>0$ existe um $\delta>0$ tal que

(4)
\[\text{se } x< \delta \text{ então } \abs{f(x)-L}<\eps. \]

Exercício. Mostre a partir da definição que $\limitex{\infty} \dfrac{1}{x}=0$.

Resolução. Queremos mostrar que existe $\delta$ tal que se $x>\delta$ então $\abs{f(x)}<\eps$.

Para tanto começaremos determinando quando $\abs{f(x)}<\eps$. Como estamos interessados no comportamento no infinito, podemos supor sem perda de generalidade que $x>0$, e assim temos que a desigualdade $\nicefrac{1}{x}<\eps$ é equivalente a $x>\nicefrac{1}{\eps}$. Assim escolhemos $\delta=\nicefrac{1}{\eps}$. Quando $x>\delta$ então $x>\nicefrac{1}{\eps}$ e assim $0<\nicefrac{1}{x}<\eps$. O que prova que $\limitex{\infty} \dfrac{1}{x}=0$.

Limites Infinitos

O limite $\limitex{0}\dfrac{1}{\abs{x}}$ não existe, pois escolhendo o valor de $x$ suficientemente pequeno podemos fazer o valor da função $\dfrac{1}{\abs{x}}$ arbitrariamente grande.

umsobrex

Nesses casos nos quais o limite não existe, mas a função toma valores que crescem de forma ilimita dizemos que o limite da função é infinito.

Vejamos outro exemplo:

Os limites $\limitex{4^+}\dfrac{7}{x-4}$ e $\limitex{4^-}\dfrac{7}{x-4}$.

setesobrex

A partir da Figura podemos observar que quando $x$ tende a $4$ pela direita, isto é, por valores maiores que $4$ a função $\dfrac{7}{x-4}$ cresce indefinidamente, tomando valores arbitrariamente grandes. Enquanto que quando $x$ tende a $4$ pela esquerda, isto é, por valores menores que $4$ a função $\dfrac{7}{x-4}$ decresce indefinidamente, tomando valores arbitrariamente grandes e negativos.

Representamos esses comportamentos por:

(5)
\[\limitex{4^+}\dfrac{7}{x-4}=\infty \quad \text{ e }\quad \limitex{4^-}\dfrac{7}{x-4}=-\infty \]

Definição Limites Infinitos.

Seja $f$ uma função definida num intervalo aberto contendo $a$, exceto possivelmente em $a$.

  • Dizemos que $\limitex{a}f(x)=\infty$ se para todo $\eps>0$ existe um $\delta>0$ tal que
(6)
\[\text{se } 0<\abs{x-a}<\delta \text{ então } f(x)>\eps. \]
  • Dizemos que $\limitex{a}f(x)=-\infty$ se para todo $\eps>0$ existe um $\delta>0$ tal que
(7)
\[\text{se } 0<\abs{x-a}<\delta \text{ então } f(x)<\eps. \]

Exercício.

Mostre que $\limitex{\infty}x=\infty$.

Resolução. Pela definição temos que mostrar que dado $\eps>0$ existe $\delta>0$ tal que se $x>\delta$ então $f(x)>\eps$. A demonstração nesse caso é imediata pois escolhendo $\delta=\eps$ temos o resultado desejado.

Exercício. Mostre que $\limitex{\infty}x^2=\infty$.

Resolução. Nesse caso basta escolher $\delta=\sqrt{\eps}$ para termos que se $x>\delta>0$ então $x^2>\eps$.

Teorema 1.

  • Se $f(x)>g(x)$ e $\limitex{a} g(x)=\infty$ então $\limitex{a} f(x)=\infty$

  • Se $f(x)<g(x)$ e $\limitex{a} g(x)=-\infty$ então $\limitex{a} f(x)=-\infty$

  • Se $f(x)>0$ e $\limitex{a} f(x)=0$ então $\limitex{a} \dfrac{1}{f(x)}=\infty$.

  • Se $f(x)<0$ e $\limitex{a} f(x)=0$ então $\limitex{a} \dfrac{1}{f(x)}=-\infty$.

  • Se $f(x)\neq 0$ $\limitex{a} f(x)=\infty$ ou $\limitex{a} f(x)=-\infty$ então $\limitex{a} \dfrac{1}{f(x)}=0$.

Exemplos Como corolário do teorema anterior, temos os seguintes limites, que são facilmente obtidos através de comparação com uma das funções $x$ e ou $-x$.

  • Dado $c>0$ então $\limitex{\infty} c^x = \infty$.
  • Dado $k\in \bbN^*$ então $\limitex{\infty} x^k=\infty$.
  • Dado $k\in \bbN^*$ ímpar então $\limitex{-\infty} x^k=-\infty$.
  • Dado $k\in \bbN^*$ par então $\limitex{-\infty} x^k=\infty$.
  • $\limitex{\infty} \ln x=\infty$

Propriedades do Limite Infinito e no Infinito

Teorema [Propriedades Aditivas do Limite Infinito].

Sejam $f(x) ,g(x), h(x) \text{ e } m(x) $ funções, tais que:

(8)
\[\limitex{a} f(x)=\infty,\quad\qquad\limitex{a} g(x)=\infty \]
(9)
\[\limitex{a} h(x)=-\infty\quad\qquad\limitex{a} m(x)=-\infty \]

e seja $n(x)$ uma função limitada. Então:

  • $\limitex{a} (f(x)+g(x))=\infty$.

  • $\limitex{a} (f(x)-h(x))=\infty$.

  • $\limitex{a}(f(x)+n(x))=\infty$.

  • $\limitex{a}(h(x)+n(x))=-\infty$.

Teorema Continuação.

  • $\limitex{a} ( h(x)+m(x))=-\infty$.

  • $\limitex{a} (h(x)-f(x))=-\infty$.

Teorema [Propriedades Multiplicativas do Limite Infinito].
Seja $c$ um número real e $f(x),g(x),h(x),m(x),n(x)$ e $p(x)$ funções , tais que

(10)
\[\limitex{a} f(x)=\infty,\quad\qquad\limitex{a} g(x)=\infty \]
(11)
\[\limitex{a} h(x)=-\infty\quad\qquad\limitex{a} m(x)=-\infty \]
(12)
\[\limitex{a} n(x)=L_{1}>0\quad\qquad\limitex{a} p(x)=L_{2}<0 \]

Então:

  • $\limitex{a} n(x)f(x)=\infty$

  • $\limitex{a} p(x)f(x)=-\infty$

  • $\limitex{a} n(x)h(x)=-\infty$

Teorema [Continuação.].

  • $\limitex{a} p(x)h(x)=\infty$

  • $\limitex{a} f(x)\cdot g(x)=\infty$

  • $\limitex{a} f(x)\cdot h(x)=-\infty$

  • $\limitex{a} h(x)\cdot m(x)=\infty$

As propriedades anteriores permanecem válidas se trocamos o limite no ponto $a$ por limites laterais ou por limites infinitos.

Teorema  [Propriedades do Limite no Infinito] .

Seja $c$ um número real e $f,g$ duas funções reais tais que $\limitex{\infty} f(x)=A$ e $\limitex{\infty} g(x)= B$. Então:

  • $\limitex{\infty} (f(x)+g(x))=A+B$.
  • $\limitex{\infty} (f(x)-g(x))=A-B$.
  • $\limitex{\infty} (f(x)\cdot g(x))=AB$.
  • $\limitex{\infty} (c f(x))=cA$.

Teorema [Continuação].

  • Se $B\neq 0$ então $\limitex{\infty} \left(\dfrac{f(x)}{ g(x)}\right)=\dfrac{A}{B}$.
  • $\limitex{\infty} \left| f(x)\right|=\left| A\right|$.
  • $\limitex{\infty}\left(f(x)^n\right) = A^n$
  • $\limitex{\infty} \sqrt{f(x)} = \sqrt{A}$

Indeterminações

Quando tivermos $\limitex{a} \dfrac{f(x)}{g(x)}$ com $\limitex{a} f(x) =\infty$ e $\limitex{a} g(x)=\infty$ dizemos que temos uma indeterminação do tipo $\dfrac{\infty}{\infty}.$

Nesses casos para o cálculo do limite, de modo análogo as indeterminações do tipo $\dfrac{0}{0}$, temos que realizar uma simplificação antes da utilização das propriedades do limite.

As estratégias de simplificação usuais são a fatoração e a multiplicação pelo conjugado e também multiplicar ou dividir o numerador e o denominador por um termo apropriado, como ilustram os exemplos a seguir.

Exercício. Calcule $\limitex{\infty} \dfrac{x^2+1}{x^2-1}$.

Resolução.

(13)
\[\begin{aligned} \limitex{\infty} \dfrac{x^2+1}{x^2-1}&=& \limitex{\infty} \dfrac{x^2+1 }{x^2-1 }\dfrac{\div x^2}{\div x^2} &=& \limitex{\infty} \dfrac{1+\nicefrac{1}{x^2} }{1-\nicefrac{1}{x^2}} \end{aligned} \]

Como $\limitex{\infty}\nicefrac{1}{x^2}=\limitex{\infty}\nicefrac{1}{x} \limitex{\infty}\nicefrac{1}{x}=0$, temos que $\limitex{\infty}1+\nicefrac{1}{x^2}=1= \limitex{\infty} 1-\nicefrac{1}{x^2}$

Temos que

(14)
\[\limitex{\infty} \dfrac{x^2+1}{x^2-1}=1 \]

Exercício. Calcule $\limitex{\infty}(2x^3-3x^2+1)$.

Resolução. Colocando o termo de maior grau em evidência:

(15)
\[ \begin{aligned} \limitex{\infty}(2x^3-3x^2+1)&=& x^3\limitex{\infty}2-3\nicefrac{1}{x}+\nicefrac{1}{x^3} &=& \infty \cdot 2=\infty \end{aligned} \]

Exercício. Calcule $\limitex{\infty} \dfrac{2x^3+3x^2+1}{4x^2-2x+1}$.

Resolução.

(16)
\[ \begin{aligned} \limitex{\infty}\dfrac{2x^3+3x^2+1}{4x^2-2x+1}&=& \dfrac{x^3(2+3\nicefrac{1}{x}+\nicefrac{1}{x^3}}{x^2(4-2\nicefrac{1}{x}+\nicefrac{1}{x^2}}\\ &=& x \dfrac{(2+3\nicefrac{1}{x}+\nicefrac{1}{x^3}}{(4-2\nicefrac{1}{x}+\nicefrac{1}{x^2}}\\ &=& \infty \cdot \dfrac{2}{4}=\infty \end{aligned} \]

Exercício. Mostre que $\limitex{\infty} \dfrac{x}{\sqrt{9x^2+1}}=\dfrac{1}{3}$.

Resolução.

(17)
\[\begin{aligned} \limitex{\infty} \dfrac{x}{\sqrt{9x^2+1}}&=& \limitex{\infty} \dfrac{x }{\sqrt{9x^2+1}}\dfrac{\div x}{\div x} &=& \limitex{\infty} \dfrac{1 }{\sqrt{9 + \nicefrac{1}{x^2}}} \end{aligned} \]

Como $\limitex{\infty}\sqrt{9 + \nicefrac{1}{x^2}}=\sqrt{\limitex{\infty} 9 + \nicefrac{1}{x^2}}=3$ então

(18)
\[\limitex{\infty} \dfrac{x}{\sqrt{9x^2+1}}=\dfrac{1}{3}. \]

Exercício. Calcule $\limitex{\infty} \dfrac{5x^3+x^2-3}{2x^3-x+5}$.

Resolução.

(19)
\[\begin{aligned} \limitex{\infty} \dfrac{5x^3+x^2-3}{2x^3-x+5}&= & \limitex{\infty} \dfrac{5x^3+x^2-3}{2x^3-x+5} \dfrac{\div x^3}{\div x^3}\\ &= & \limitex{\infty} \dfrac{5+\nicefrac{1}{x}-3\nicefrac{1}{x^3}}{2-\nicefrac{1}{x^2}+5\nicefrac{1}{x^3}} \\ &=& \dfrac{5}{2} \end{aligned} \]

Exercício. Calcule $\limitex{\infty} \dfrac{5x^2+x-3}{4x^4-x+2}$.

Resolução.

(20)
\[\begin{aligned} \limitex{\infty} \dfrac{5x^2+x-3}{4x^4-x+2}&=& \limitex{\infty} \dfrac{5x^2+x-3}{4x^4-x+2}\dfrac{\div x^4}{\div x^4} &=& \limitex{\infty} \dfrac{5\nicefrac{1}{x^2}+\nicefrac{1}{x^3}-3\nicefrac{1}{x^4}}{4-\nicefrac{1}{x^3}+2\nicefrac{1}{x^4}} &=&0 \end{aligned} \]

O Número $e$ e as Funções Exponencial e Logaritmo

O próximo limite é conhecido como Limite Exponencial Fundamental é a base dos logaritmos naturais ou neperianos.

Teorema 8.
[Segundo Limite Fundamental]

(21)
\[\limitex{\infty} \left( 1+\dfrac{1}{x} \right)^x=e, \]

onde $e \approx 2,71828$ é a constante de Euler.

e

Exercício. Calcule $\limitex{\infty} \left( 1+\dfrac{5}{x} \right)^x$.

Resolução. Fazemos a mudança de variável $t=\dfrac{x}{5}$ temos:

(22)
\[\begin{aligned} \limitex{\infty} \left( 1+\dfrac{5}{x} \right)^x& =& \limitet{\infty} \left( 1+\dfrac{1}{t} \right)^{5t}\\ & =& \left( \limitet{\infty} \left( 1+\dfrac{1}{t} \right)^{t}\right)^5\\ & =&e^5 \end{aligned} \]

Exercício. Calcule $\limitex{\infty} \left(\dfrac{x}{x+1} \right)^x$.

Resolução. Dividindo o numerador e o denominador por $x$ temos:

(23)
\[ \begin{aligned} \limitex{\infty} \left(\dfrac{x}{x+1} \right)^x & =& \limitex{\infty} \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}} \right)^x\\ & =& \limitex{\infty} \dfrac{1}{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x} \\ & =& e^{-1} \end{aligned} \]

Logaritmo Natural

Definição 3.

O logaritmo de base $e$ é denominado função logaritmo natural ou simplesmente logaritmo. Assim a função logaritmo é a função $\ln:(0,\infty)\to \bbR$ dada pela regra

\[\ln x = y \sse e^{y}=x \]

Teorema 9.
[Terceiro Limite Fundamental]

(24)
\[\limitex{0}\dfrac{a^x-1}{x}= \ln a. \]

Exercício. Calcule o limite $\limitex{2} \dfrac{3^{\frac{x-2}{5}}-1}{x-2}$.

Resolução. Fazendo a troca de variáveis $t=\dfrac{x-2}{5}$ temos:

(25)
\[ \begin{aligned} \limitex{2} \dfrac{3^{\frac{x-2}{5}}-1}{x-2} &=& \limitet{0} \dfrac{3^t-1}{5t} &=& \dfrac{\ln 3}{5} \end{aligned} \]